非线性方程求根
第6章 非线性方程求根(1、二分法、迭代法)
(2) 如果将原方程化为等价方程 x = 仍取初值
x0 = 0
3
3
x+1 2
x1 =
x0 + 1 = 2
3
3
1 ≈ 0 .7937 2
1 .7937 ≈ 0 .9644 2
x2 =
依此类推,得 依此类推, x3 = 0.9940 同样的方程 x4 = 0.9990 不同的迭代格式 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 有不同的结果 x7 = 1.0000 已经收敛, 已经收敛,故原方程的解为 x = 1.0000
用一般迭代法求方程x lnx＝ 在区间（ 例：用一般迭代法求方程x-lnx＝2在区间（2，∞） 内的根，要求|x 内的根，要求|xk-xk-1|/|xk|<=10-8 f(x)=x-lnx解：令f(x)=x-lnx-2 f(2)<0,f(4)>0,故方程在 2,4） 故方程在（ f(2)<0,f(4)>0,故方程在（2,4）内至少有一个根
y p1 p0
y=x y=g(x)
y p0
y=x
p1 x x0 y y=g(x) x1 x* y=x y y=g(x) p0 x0 x* x1
y=g(x)
x
y=x
p0 p1 x x1 x0 x* x0 x* x1 p1 x
f(x)=0化为等价方程x=g(x)的方式是不唯 f(x)=0化为等价方程x=g(x)的方式是不唯 化为等价方程x=g(x) 一的,有的收敛,有的发散. 一的,有的收敛,有的发散. example： For example：2x3-x-1=0
1 3 ( x + 1 ) = g ( x ) 进行迭代，则在 进行迭代，则在(1, 3
第八章 非线性方程(组)求根
ba 2n
然后取其中点 xn 作为方程的一个根的近似值。
xn
例1 证明方程 ex 10x 2 0 存在唯一的实根 x* (0,1)
用二分法求出此根，要求误差不超过 0.5102 。
解：记 f (x) ex 10x 2 ，则对任意 x R ，
解：
原方程可以等价变形为下列三个迭代格式
xk1 10 xk 4xk2 xk3 k 0,1, 2,...
xk 1
1 2
10 xk3 k 0,1, 2,...
xk1
10 k 0,1, 2,...
xk 4
（1） （2） （3）
由迭代格式 （1）
x 1 1
10
1
4
3 2
2 0.1414
2
10
所以迭代格式（3）也是收敛的。
结论:
通过以上算例可以看出对迭代函数 x 求导，
所得到的 x 的上界若是大于1，则迭代格式发散；
若小于1，则收敛；且上界越小收敛速度越快。
4．迭代过程的局部收敛性
xk1 (xk ), (k 0,1,L )
称这种迭代格式为不动点迭代。
例3：求方程 f (x) x 10 x 2 0
的一个根.
解： x 10x 2 0 10x x 2
x lg(x 2)
构造迭代格式
xk1 lg( xk 2)
给定初始点 x1 0.4771
xk1 10 xk 4xk 2 xk3
取初值 x0 1.25 得
x1 3.046875 x2 26.04005
非线性方程求根—牛顿迭代法(新)
非线性方程求根——牛顿迭代法一、牛顿迭代法的基本思想基本思想：将非线性方程逐步归结为某种线性方程求解。
设方程f (x )=0有近似根x k （f `(x k )≠0），将f (x )在x k 展开：（ξ在x 和x k 之间）2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-可设记该线性方程的根为x k +1，则()()()0k k k f x f x x x '+-=1()()k k k k f x x x f x +=-'故f (x )=0可近似表示为即为Newton 法迭代格式。
（k =0,1,……）例：用Newton 迭代法求方程310x x --=在x 0=1.5附近的近似实根。
解：32()1,()31f x x x f x x '=--=-迭代公式为312131kk k k k x x x x x +--=--计算步骤如下:（1）取初值x 0=1.5;（2）按照迭代公式计算x 1；（3）若|x 1-x 0|<=0.00001，终止迭代；否则，x 0=x 1；转(2)；（4）输出迭代次数和近似根.二、牛顿迭代法的实现MATLAB求解程序设计：方程及一阶导数函数：function[fun,dfun]=fun0(x)fun=x^3-x-1;%求原函数的值dfun=3*x^2-1;%求一阶导数的值计算主程序：clearx0=1.5;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=1;while abs(x1-x0)>1e-5x0=x1;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp('the solution is x1=')x1disp('the iter time is ')i计算结果为：the solution is x1=x1 =1.3247the iter time isi =4可见经过4次迭代即到达要求的精度，原方程的一个近似实数根为1.3247.三、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的迭代函数：)()()(x f x f x x '-=ϕ222)]([)()()]([)()()]([1)(x f x f x f x f x f x f x f x '''='''-'-='ϕ设f (x *)=0，f `(x *)≠0，则ϕ`(x *)=0，故Newton 迭代法在x *附近至少平方收敛。
第四章 非线性方程求根
4.1 方程求根与二分法
当 f ( x) 为代数多项式时，根据代数基本定理可知， n 次方程在复数域有且只有 n 个根，因此可利用迭代 法求代数方程的根。 二分法 若 f ( x) C[a, b] ，且 f (a) f (b) 0 ，根据连续函数性质 可知 f ( x) 在 [a, b]内至少有一个实根，此时称[a, b]为方程 若 f ( x) 可表示为 f ( x) ( x x* )m g ( x)，其中 m 为正整数，且 g ( x* ) 0 。当 m 1 时，称 x* 为单根，若m 1 称 x* 为 m 重 根，或 f ( x) 的 m 重零点。若 x* 是 f ( x) 的 m 重零点，且 g ( x) 充分光滑，则
4.1 方程求根与二分法
这样，我们得到了一个序列 xn ，为确定 xn 的收敛性 我们有如下的定理： 定理：设 f ( x) C[a, b], f (a) f (b) 0, 则二分算法产生的 序列 xn 满足 xn x* (b a) / 2n ,其中 x* [a, b]为方程的根。 证明：因为 [an , bn ] 由[an1 , bn1 ] 对分得到，所以对 n 1 bn1 bn , 否则取 an1 an , bn1 xn , 这样必有 f (an1 ) f (bn1 ) 0 所以 [an1 , bn1 ] 就是新的有根区间，继续此过程，即可得 到结果。 算法：(1)令 x (a b) / 2 (2) 若 f ( x) 或 b x ，则输出 x ，结束 (3) 若 f (a) f ( x) 0 ，则令 a x ，否则令 b x (4) 转向1)
非线性方程求根
第二章非线性方程求根线性方程是方程式中仅包含未知量的一次方项和常数项的方程，除此之外的方程都是非线性方程(nonlinear equation). 例如，大家熟知的“一元二次方程”就是一个非线性方程. 多元线性方程组的求解是数值计算领域的一个重要问题，在后续几章将专门讨论. 本章介绍求解非线性方程的数值方法，主要针对实数域，重点是单个非线性方程的求根问题.2.1引言2.1.1非线性方程的解记要求解的单变量非线性方程为f(x)=0(2.1)其中函数f: ℝ→ℝ. 一般而言，非线性方程的解的存在性和个数是很难确定的，它可能无解，也可能有一个或多个解.例2.1 (非线性方程的解)：分析下列非线性方程的解是否存在和解的个数.(1) e x+1=0. 此方程无解.(2) e−x−x=0. 此方程有一个解.(3) x2−4sinx=0. 此方程有两个解.(4) x3−6x2+5x=0. 此方程有三个解.(5) cosx=0. 此方程有无穷多个解.在实际问题中，往往要求的是自变量在一定范围内的解，比如限定x∈[a,b]. 函数f一般为连续函数，则可记为f(x)∈C[a,b]，C[a,b]表示区间[a,b]上所有连续实函数的集合. 假设在区间[a, b]上方程(2.1)的根为x∗，也称x∗为函数f(x)的零点. 方程的根可能不唯一，而且同一个根x∗也可能是方程(2.1)的多重根.定义2.1：对光滑函数f，若f(x∗)=f′(x∗)=⋯=f(m−1)(x∗)=0，但f(m)(x∗)≠0，则称x∗为方程(2.1)的m重根. 当m=1时，即f(x∗)=0,f′(x∗)≠0时，称x∗为单根.对于多项式函数f(x)，若x∗为m重根，则f(x)可因式分解为f(x)=(x−x∗)m g(x)其中g(x)也是多项式函数，且g(x∗)≠0. 很容易验证，f(x∗)=f′(x∗)=⋯=f(m−1)(x∗)=0，但f(m)(x∗)≠0，即多项式方程重根的概念与定义2.1是一致的. 对一般的函数f，x∗是方程(2.1)的重根的几何含义是，函数曲线在x∗处的斜率为0，且在该点处与x轴相交.非线性方程的一个特例是n次多项式方程（n≥2），根据代数基本定理可知，n次方程在复数域上有n个根（m重根计为m个根）. 当n=1, 2时，方程的求解方法是大家熟知的. 当n=3, 4时，虽然也有求根公式，但已经很复杂，在实际计算时并不一定适用. 当n≥5时，不存在一般的求根公式，只能借助数值求解方法来求根.2.1.2问题的敏感性根据问题敏感性的定义，这里需要考虑输入数据的扰动对方程的根有多大影响. 要分析敏感性首先应假设问题中的数据如何扰动，一种易于分析的情况是将非线性方程写成：f(x)=y的形式，然后讨论y在0值附近的扰动造成的问题敏感性. 此时，求根问题变成了函数求值问题：y =f (x )的反问题. 若函数值f (x )对输入参数x 不敏感（x 在解x ∗附近变化），则求根问题将很敏感；反之，若函数值对参数值敏感的话，求根则不敏感. 这两种情况如图2-1所示.下面分析y 发生扰动Δy 引起的方程的根的扰动Δx . 由于当x =x ∗时，y =0，我们使用绝对（而不是相对）条件数：cond =|Δx |≈1|| 条件数的大小反映方程求根问题(2.1)的敏感程度，若|f ′(x ∗)|很小，则问题很敏感，是一个病态问题；反之，若|f ′(x ∗)|很大，则问题不敏感.一种特殊情况是f ′(x ∗)=0，即x ∗为重根，此时求根问题很敏感，原问题的微小扰动将造成很大的解误差，甚至改变解的存在性和唯一性（如图2-2，问题的扰动可能使解不存在）.对于敏感的非线性方程求根问题，f (x )≈0并不意味着x 很接近x ∗，在后面讨论迭代解法的判停准则时应注意这一点.2.2二分法数值求解非线性方程通常是一个迭代的过程，迭代开始之前要先有个初始的近似解，然后随着迭代步数的增多，近似解越来越接近准确解，当达到一定要求时即停止计算过程. 本节先介绍一种最基本的方法——二分法(interval bisection method).2.2.1 方法原理先介绍有根区间的概念，有根区间就是包含至少一个根的区间，它限定了根存在的范围. 如果能计算出一个非常小的有根区间，那么区间的中点就是一个很好的近似解. 下面的定理给出了有根区间的充分条件.定理2.1：若f (x )∈C[a,b]，且f (a )f (b )<0，则区间(a,b )内至少有一实根.这里省略定理证明过程，只给出图2-3作为一个解释.定理2.1给出了一种获得有根区间的方法，即通过看f (a )、f (b )两个值是否符号相反来判断(a, b)是否为有根区图2-1 方程求根问题的敏感性：(a)不敏感；(b)敏感.(a) (b)图2-2 f . 图2-3 若f (a )f (b )<0，则在区间(a,b )内至少有一实根.间. 在实际操作时，可在一个较大的范围内取多个点计算f(x)函数值，从而得到一个或多个有根区间. 另外应注意，根据定理2.1得到的有根区间内不一定只有一个根，这从图2-3也可以看出.二分法的思想很简单，就是每次将有根区间一分为二，得到长度逐次减半的区间序列{(a k,b k)}，则区间中点x k=(a k+b k)2⁄就是第k步迭代的近似解. 具体算法如下：算法2.1：二分法输入：a, b, 函数f(x) ; 输出：x.While(b−a)> εdox:= a+(b−a)/2;If sign(f(x))=sign(f(a))thena:= x;Elseb:= x;EndEndx:= a+(b−a)/2.在算法2.1中，sign()表示取符号的函数，而二分迭代结束的条件为有根区间(a, b)的长度小于某个阈值ε. 应注意，浮点运算中几乎不可能出现等于0的情况，所以sign()函数的结果只是正号、或负号.假设二分法得到的有根区间序列为{(a k,b k),k=0,1,⋯}，若取解x k=(a k+b k)2⁄，则误差|x k−x∗|<(b k−a k)2⁄=(b0−a0)2k+1⁄,k=0,1,2,⋯.(2.2) 根据公式(2.2)和对解的准确度的要求，也可以事先估算出二分迭代执行的次数，以及相应的计算量. 这里每步迭代的计算量主要是计算一次函数f(x k).例2.2(二分法)：求方程f(x)=x4−x−2=0在区间[1.0, 1.5]上的一个实根，要求准确到小数点后第2位（四舍五入后）.[解] 首先验证(1.0, 1.5)是否是一个有根区间，易知f(1.0)<0,f(1.5)>0. 所以将(1.0, 1.5)作为二分法的初始区间. 利用(2.2)式我们可以估计，若(b−a)2k+1⁄≤0.5×10−2(2.3) 则|x k−x∗|<0.5×10−2，即结果准确到了小数点后第2位. 代入a=1.0, b=1.5,求解(2.3)得，k≥log20.50.5×10−2−1=5.6取最小的整数值k=6. 只需二分6次，可得到满足精度要求的解. 计算过程中的数据和结果列于表2-1. 从中看出，准确到小数点后两位的解为x=1.356(准确解为1.353210).表2-1 采用二分法求解例2.2的过程和结果2.2.2 算法稳定性和结果准确度算法的稳定性考察的是计算过程中的误差对结果的影响. 对于二分法来说，主要的计算步骤是计算函数值，一般采用双精度浮点数计算函数值的误差很小，而其他计算是少量的加减法，因此不至于对有根区间，以及最终结果的准确度造成多大影响. 另外，在计算过程中解的误差限逐次减半，这也说明二分法是稳定的.在实际的浮点算术体系中，二分法运行结果的准确度不可能随迭代过程一直提高. 首先看一个例子.例 2.3(二分法准确度的极限)：编写程序用二分法来求解方程f(x)=x2−2=0，初始区间为[1, 2].下面是用MATLAB语言编写的程序：M =2; a = 1; b= 2; k = 0;while b-a > eps //Matlab中的eps为2倍的机器精度，即2− 2 x = a + (b-a)/2;if x^2 > Mb = x //输出belsea = x //输出aendk = k+1;end这个程序执行了52步就结束了，输出结果如下：b = 1.50000000000000a = 1.25000000000000a = 1.37500000000000b = 1.43750000000000………………a = 1.41421356237309a = 1.41421356237309b = 1.41421356237310b = 1.41421356237310为了看得更清楚，输入MATLAB命令”format hex”，使输出按16进制格式显示，再运行一遍上述程序，最后的四个输出结果为：a = 3ff6a09e667f3bc8a = 3ff6a09e667f3bccb = 3ff6a09e667f3bceb = 3ff6a09e667f3bcd可以看出，最终区间(a, b)的两个端点已经是两个相邻的浮点数，即使让二分过程继续执行下去，区间仍然不会改变（由于a和b平均值的计算结果就是其中的某一个）. 也就是说迭代再多的次数，结果的准确度也无法提高了.上述例子说明了二分法结果准确度的极限情况. 一般地，二分法迭代过程中，有根区间缩小的极限情况是使它的端点a k, b k为两个相邻的机器浮点数. 此时，b k−a k=2⌊log2|x∗|⌋∙2εmacℎ其中εmacℎ为机器精度，⌊∙⌋为下取整符号，而2⌊log2|x∗|⌋为x∗的二进制表示中指数的那部分. 在这种极端情况下，解的误差限就是区间长度，即|e(x k)|=|x k−x∗|≤2⌊log2|x∗|⌋∙2εmacℎ .(2.4) 在IEEE双精度浮点数系统下，εmacℎ=2− 3，则|e(x k)|≤2⌊log2|x∗|⌋∙2εmacℎ≤|x∗|∙2− 2≈|x∗|∙2.22×10−16 .根据(2.4)式，也可得到相对误差的上限：|e r(x k)|=|x k−x∗||x∗|≤2εmacℎ .(2.5)这个相对误差限正好是计算机中用浮点数表示实数的误差限（定理1.5）的两倍.公式(2.4)给出了用二分法求解时绝对误差限可能达到的最小值，它说明在准确解较大的情况下，在执行二分法时无论迭代多少次都无法保证解的误差非常小. 综合上述讨论以及公式(2.2)，得到如下定理.定理2.2：在实际的浮点算术体系下采用二分法解方程f(x)=0，设初始有根区间为(a, b)，则：(1) 结果的误差限最小可达到2⌊log2|x∗|⌋∙2εmacℎ，其中x∗为准确解，相对误差限最小可达2εmacℎ.(2) 若误差阈值ε大于或等于2⌊log2|x∗|⌋∙2εmacℎ，需执行的迭代步数为k=⌈log2(b−a)−1⌉ .(2.6)定理2.2的结论(2)的证明留给读者思考.最后，对二分法说明几点：●二分法是求单变量方程f(x)=0的实根的一种可靠算法，一定能收敛.●二分法解的误差不一定随迭代次数增加一直减小，在实际的有限精度算术体系中，误差限存在最小值.●二分法的缺点是有时不易确定合适的初始有根区间（含两个初始值）、收敛较慢、且无法求解偶数重的根. 因此，实际应用中常将二分法与其他方法结合起来.2.3不动点迭代法二分法的计算效率不够高，在本章后续部分将介绍几种应用广泛、收敛较快的迭代法. 本节介绍不动点迭代法及其收敛性理论，为后续其他方法的讨论建立基础.2.3.1基本原理通过某种等价变换，可将非线性方程(2.1)改写为：x=φ(x)(2.7)其中φ(x)为连续函数. 给定初始值x0后，可构造迭代计算公式：x k+1=φ(x k),(k=0,1,⋯)(2.8) 从而得到近似解序列{x k}. 由于方程(2.1)和(2.7)的等价关系，很容易证明若序列{x k}收敛，其极限必为原方程(2.1)的解x∗. 由于解x∗满足x∗=φ(x∗)，称它为函数φ(x)的不动点(fixed point)，此方法为求解非线性方程(2.1)的不动点迭代法(fixed-point iterative method).不动点迭代法的求解过程如图2-4所示，而算法描述图2-4 采用不动点迭代法，近似∗在下面给出.算法2.2：基于函数φ(x)的不动点迭代法输入：x 0, 函数f (x ), φ(x) ; 输出：x .k:= 0 ;While |f (x k )|> ε1 或|x k −x k−1|> ε2 dox k+1:=φ(x k ) ;k:= k +1 ;Endx:= x k .其中ε1和ε2为用于判断迭代是否应停止的两个阈值. 关于迭代的判停准则，我们在2.4.3节详细讨论.例 2.4(不动点迭代法)：求f (x )=x 4−x −2=0在x 0=1.5附近的根. 以不同的方式得到方程的等价形式，研究相应的不动点迭代法的收敛情况.[解] 将原方程改为等价的(A), (B)两种形式，得到下述两种不动点迭代法.方法(A)：将方程改写为x =x 4−2. 得到的迭代法计算公式为：x 0=1.5, x k+1=x k 4−2,(k =0,1,⋯). 计算出结果如下：x 1=1.54−2=3.0625,x 2=2.3753−1=85.9639,… …从上述计算结果看，序列{x k }有趋于无穷大的趋势，迭代法不收敛，无法求出近似解. 方法(B)：将方程改写为x =√x +24. 得到的迭代法计算公式为：x 0=1.5, x k+1=√x k +24,(k =0,1,⋯). 计算出结果如下：x 1=√1.5+24=1.3678,x 2=√1.3678+24=1.3547,x 3=√1.3547+24=1.3534,x 4=√1.3534+24=1.3532,x =√1.3532+24=1.3532,从上述计算结果看，x 4和x 前5位有效数字均为1.3532，可认为迭代过程是收敛的，要求的根为1.3532.通过例2.4可以看出，用不同的方式改造原方程，可得到多种不动点迭代法计算过程，其收敛性质也是不同的. 因此，判断一个不动点迭代法是否收敛至关重要.2.3.2全局收敛的充分条件下面的定理给出一个函数存在唯一不动点的充分条件.定理2.3：设φ(x)∈C[a,b]，若满足如下两个条件：(1)对任意x ∈[a,b]，有a ≤φ(x)≤b ，(2)存在正常数L ∈(0,1)，使对任意x 1,x 2∈[a,b]，|φ(x 1)−φ(x 2)|≤L |x 1−x 2|则φ(x)在[a,b]上存在不动点，且不动点是唯一的.在证明定理之前，先理解一下定理中两个条件的含义. 首先，采用不动点迭代法的计算公式为x k+1=φ(x k ), k =0, 1, 2, …，因此要使后续迭代步的计算合法，必须要求φ(x k )的值在函数的定义域内，(1)的条件保证了这一点. 其次，(2)中新加的条件表明，φ(x)曲线上任两点连线斜率的绝对值不超过L ，当两点非常靠近时它就是导数，因此φ(x)曲线上任意点的切线斜率的绝对值都小于1，这说明φ(x)曲线变化很平缓，在曲线上任意点处的斜率都比y =x 和y=−x两条直线小. 这个条件也称为L<1的李普希兹（Lipschitz）条件，L为李普希兹系数. [证明] 先证明不动点的存在性，分两种情况：1). 若φ(a)=a，或φ(b)=b，则a或b为不动点;2). 若φ(a)≠a且φ(b)≠b，则φ(a)>a,φ(b)<b. 令f(x)=φ(x)−x，则f(x)为连续函数，且f(a)>0,f(b)<0.根据连续函数性质，必有x∗∈(a,b)，使f(x∗)=0，即φ(x∗)=x∗，x∗为不动点.再证明唯一性，采用反证法. 假设有两个不同的不动点x1∗,x2∗∈[a,b]，它们满足φ(x1∗)=x1∗,φ(x2∗)=x2∗,x1∗≠x2∗ .根据(2)中的条件推出，|x1∗−x2∗|=|φ(x1∗)−φ(x2∗)|≤L|x1∗−x2∗|<|x1∗−x2∗| .产生矛盾！所以假设x1∗≠x2∗不成立，不动点是唯一的.应说明的是，上述证明不动点的存在性只使用了条件(1). 事实上，通过画函数曲线图的方式也可以形象地说明不动点的存在性，这一点留给感兴趣的读者思考.下面的定理给出不动点迭代法收敛的充分条件.定理2.4：设φ(x)∈C[a,b]满足定理2.3的两个条件，则对于任意初值x0∈[a,b]，由不动点迭代法得到的序列{x k}收敛到φ(x)的不动点x∗，并有误差估计：|x k−x∗|≤L k1−L|x1−x0| .[证明] 首先注意到定理条件保证了不动点唯一存在，而且条件(1)保证了不动点迭代法可执行下去，从而得到序列{x k}. 下面证明序列{x k}收敛，其思路是考虑误差序列，证明其极限为0.|x k−x∗|=|φ(x k−1)−φ(x∗)|≤L|x k−1−x∗|≤⋯≤L k|x0−x∗|由于L为小于1的正常数，则lim k→∞L k|x0−x∗|=0,⟹limk→∞|x k−x∗|=0, ⟹limk→∞x k=x∗.这证明了不动点迭代法是收敛的. 剩下|x k−x∗|≤L k1−L|x1−x0|的证明，留给读者思考.定理2.4为判断不动点迭代法的收敛性提供了依据，这种收敛不依赖于初值x0的选取，因此称为全局收敛性. 为了方便应用，也可以将定理2.3, 2.4中的第2个条件替换为：对任意x∈[a,b]，有|φ′(x)|≤L<1，其中L为常数，得到便于使用的定理2.5.定理2.5：设φ(x)∈C[a,b]，且满足如下两个条件：(1)对任意x∈[a,b]，有a≤φ(x)≤b；(2)存在正常数L<1，使对任意x∈[a,b]，有|φ′(x)|≤L<1.则对于任意初值x0∈[a,b]，由不动点迭代法得到的序列{x k}收敛到φ(x)的不动点x∗，并有误差估计：|x k−x∗|≤L k1−L|x1−x0| .此定理可看成定理2.4的推论，其证明留给读者思考.例2.5(不动点迭代法的收敛性)：对于求f(x)=x4−x−2=0在x0=1.5附近的根的问题，使用定理2.5考察例2.4中两种方法的全局收敛性.[解]在区间[1, 2]上考察如下两种不动点迭代法的收敛性：方法(A)：x k+1=x k4−2, (k=0,1,⋯).方法(B)：x k+1=√x k+24, (k=0,1,⋯)很容易看出，方法(B)符合定理中的条件(1)，而φ′(x)=14(x+2)−3/4，也符合条件(2)，因此方法(B)具有全局收敛性. 而对于方法(A)，它不符合定理中的条件(1)，因此无法根据定理2.5说明其具有全局收敛性.关于全局收敛性再说明两点：●定理2.4, 2.5给出的都是不动点迭代法全局收敛的“充分条件”，也就是说，对一些满足条件的方法可以证明其具有全局收敛性，但根据它们并不说明某个方法不具有全局收敛性.●全局收敛性要求初始值x0为定义域内任意值时不动点迭代法都收敛，这常常是很难达到的要求.2.3.3局部收敛性不同于全局收敛性，下面给出重要的局部收敛性的概念.定义2.2：设函数φ(x)存在不动点x∗，若存在x∗的某个邻域D: [x∗−δ,x∗+δ]，对于任意初值x0∈D，迭代法x k+1=φ(x k)产生的解序列{x k}收敛到x∗，则称迭代法局部收敛.这个定义中的邻域是以x∗为中心点的一个对称区间，局部收敛性的定义要求的是存在这样一个邻域，而不关心它的大小. 下面的定理给出迭代法局部收敛的充分条件.定理2.6：设x∗为函数φ(x)的不动点，若φ′(x)在x∗的某个邻域上连续，且|φ′(x∗)|<1，则不动点迭代法x k+1=φ(x k)局部收敛.[证明] 因为φ′(x)在x=x∗附近连续且|φ′(x∗)|<1，则存在x∗的某个邻域D，使得对于任意. 显然L<1, 的xϵD, |φ′(x)|≤L, 其中L是某个介于|φ′(x∗)|和1之间的数, 例如L=|φ′(x∗)|+12即满足定理2.5的条件(2). 另外，对∀x∈D,φ(x)−x∗=φ(x)−φ(x∗)=φ′(ξ)(x−x∗), ξ∈D, ⟹|φ(x)−x∗|≤L|x−x∗|<|x−x∗|, 即φ(x)∈D，满足定理2.5的条件(1).因此，根据定理2.5，此迭代法对区间D内的任意初值都收敛，根据定义2.2知，此迭代法局部收敛.对比定理2.6和定理2.4、2.5可以看出，定理2.6的条件较为宽松，它只需要考察函数φ(x)在x∗这一点上是否满足要求. 因此，不动点迭代法较容易具有局部收敛性，对局部收敛的判断也相对简单.最后说明一点，定理2.5说明李普希兹系数L越小迭代收敛的速度越快，而定理2.6的证明过程说明了L与|φ′(x∗)|的关系. 因此，若|φ′(x∗)|越小，迭代收敛的速度就越快.2.3.4稳定性与收敛阶与二分法类似，不动点迭代法的每步计算都可以通过判停准则（包括考察f(x k)是否接近0）来评估解的准确度，因此解的误差容易被及时发现和纠正. 只要迭代过程是收敛的，误差将随迭代步的增加逐渐趋于零，而不会像某些算法的舍入误差会随迭代过程逐渐累积. 因此收敛的不动点迭代法总是稳定的. 在本章后续算法的讨论中，我们将不再关心稳定性，而将重点放在收敛性的讨论上.对于收敛的迭代法，其收敛速度的快慢也很重要，它关系到达到特定的准确度需要多少步迭代，也就是需要多少计算量. 下面先看一个例子，然后给出收敛阶的概念用于衡量迭代收敛的速度.例2.6(迭代收敛速度)：假设有(1)~(3)三个迭代求解过程，其迭代解的误差|e(x k)|=|x k−x∗|随迭代步变化情况分别为：(1) 10-2, 10-3, 10-4, 10-5, ……。
第7章 非线性方程求根
k 且区间长度逐次减半， bk ak (b a) 2 .
非线性方程求根的二分法
二分法基本步骤： 随着k的增大，有根区间长度趋于零，区间端点向 * lim a lim b lim x x . 一点收缩， k k k k k k 显然x*即为f(x)=0的根。而x0, x1, …,xk,…为近似根 * 序列。设要求精度为ε ,即 x xk ,
x1 x* ( )(x0 x* ) M ( x0 x* ), x2 ( x1 ), x2 x M ( x1 x ).
* *
加速迭代法
消去M得
x1 x* x0 x* , * * x2 x x1 x
2
2 x x x ( x x ) 1 0 x* x1 0 2 1 x0 , x2 2 x1 x0 x0 2 x1 x2
斯蒂芬森迭代法
结合埃特金加速法和不动点迭代法形成斯 蒂芬森迭代法：
yk ( xk ), z k ( yk ), ( y k xk ) xk 1 xk z k 2 y k xk
2
(k 0,1, ).
斯蒂芬森迭代法几何意义
定义x点关于方程 x ( x) 的误差为： ( x) ( x) x. * * * * ( x ) ( x ) x 0. 则该方程的根x 的误差
非线性方程的迭代法求根
基本概念 非线性方程f(x)=0的根(解) x*,也称为非线性 函数f(x)的零点，f(x*)=0。 f(x)=0的m重根定义：f(x)=(x-x*)mg(x), g(x*)≠0，则称x*为f(x)=0的m重根，或f(x)的 m重零点。 m重根的判定条件： x*为f(x)=0的m重根当 且仅当 * * ( m1) * ( m) * f (x ) f (x ) f ( x ) 0; f ( x ) 0.
第2章非线性方程求根
解：设最多需要迭代n次。
∵要求精确到小数点后3位，
∴误差限≤ 12×10-3，
∴由定理2.1得：
n=
lg(1
0)
lg( lg 2
1 2
103 )
1
=
0
( lg 2 lg 2
3)
1
=
0.301 0.301
3
1= 10 .97
1
=10，即最多需要迭代10次。
用对分法求f(x)=0在某区间的单根，最多迭代次数与函数f(x)曲线形状无 关。一般情况下，对分法的最多迭代次数比其他的变步长逐步搜索法要 少，因此对分法是用得最多的变步长逐步搜索法。
if(f(b)==0) x=b;
else for(begin=a,end=a+h;begin<b;begin=end,end+=h)
{
if(end>b)end=b;
if(f(begin)==0)
{x=begin;break; }
if(f(begin)*f(end)<0)
{x=(begin+end)/2;break; }}
Y
N
x=begin;
break;
f(begin)*f(end)<0
Y
N
(end－begin)/2<=ε
Y
N
x=(begin+end)/2;
h/=hnumber;
break;
end=begin;
输出方程f(x)=0的根x。
8
2.3 根的搜索
变步长逐步搜索法对应的程序
#include <stdio.h> double f(double x);
计算方法非线性方程求根
计算方法非线性方程求根第十章非线性方程求根知识点：求根的基本概念，对分法，迭代法，误差，编程停机判断，算法说明1.概念（1）根的概念方程f(x)=0的解叫做方程的根或f(x)的零点。
例如x-cosx=0,x-e x=0求方程的根是数值计算的任务之一，当不易求得f(x)=0的解析解时，可以考虑求其近似根。
求实根问题包括:根的存在性;根的分布;根的精确化.（2）根的存在性如果f(x)是[a,b]上的连续函数，且f(a) f(b)<0，则f(x)=0在（a,b）至少有一个根；若单调，则f(x)=0在(a,b)有惟一根。
（3）根的分布若有根区间的根多于一个，为了得到根的数值解，可以将该有根区间分割若干个子区间，使每个子区间只包含f(x)=0的一个根，这个过程称根的隔离，每个子区间称为隔根区间。
一般情形下，隔根区间内任一点都可作为相应根的近似值，隔根区间越小，近似程度越好。
（4）根的精确化在隔根区间内得到方程f(x)=0相应根的初步近似值后，为使近似值程度更好、符合预先期望，通常应继续逐步精确化根的近似值，直到满足规定的精度要求为止。
精确化方法有很多，常见的有二分法，迭代法等。
2.二分法二分法是利用隔根区间的两个端点来逐步求得满足预先给定精度的近似根。
（1）基本思想对分有根区间，判断f(x)的符号，逐步将有根区间缩小，使得在足够小的区间内取得满足预先给定精度要求的近似值。
（2）具体做法设区间[a,b]为有根区间，记α是f(x)=0在(a,b)的惟一根，二等分区间[a,b]。
令x0=(a+b)/2，如果f(x0)=0,则求得实根α=(a+b)/2。
否则，若f(a)f(x0)<0,则α∈[a,x0],取a1=a,b1=x0；若f(b)f(x0)<0,则α∈[x0,b],取a1=x0,b1=b。
在新的有根区间上重复二等分过程，得有根区间套序列[a,b]? [a1,b1]? [a2,b2] ?…? [a k,b k] ?…b-a>b1-a1>b2-a2>…>b k-a k…，a k≤α≤b k其中每个区间为前一个区间的一半，经过k次二分后，有根区间的长度为如此无限二等分区间[a,b](k→∞)有b k- a k→0(k→∞)或lim a k=lim b k=α(k→∞)。
第2章非线性方程求根
y
y=x
p1
x (x)
p0
✓
y
x (x)
p0
y=x
p1
x
x0
x1
x
x0 x1
说明在根 附近，曲线的切线不能太陡！ 17
例2.2.1 求方程 f (x) x3 x 1 0 在x0 1.5附近的根.
解 （1） 将方程改写为 x 3 x 1
由此建立迭代公式 xk1 3 xk 1 得
k0 1
(Lp1
Lp2
...1) |
xk 1
xk
|
1 1 L
|
xk 1
xk
|,
令p ，得
|
xk
|
1 1 L
|
xk 1
xk
|.
因而可通过检查 | xk1 xk | 来判断迭代过程应否终止。
24
例2.2.3 求 f (x) 9x2 sin x 1 0 在[0,1]内的一个根。
解 由于 f (0) 1 0,
(bk 1
ak1)
...
1 2k
(b
a).
因此，当
k
足够大时，我们可以用
xk
ak
bk 2
作为函数
f (x)的一个根 的近似值。
此时有误差估计：
xk
bk ak 2
ba. 2k 1
常用来估计k的值
9
四、算法的优点与缺点
优点：计算简单且必收敛，是一种可靠的算法；对函数性质要 求低，只要求函数f(x)连续就可以了。
(2). 若 f (x0 ) f (a) 0，则令a1 a，b1 x0； 若 f (x0 ) f (b) 0，则令a1 x0，b1 b.
第七章非线性方程求根
一、对分区间法 原理：若 f(x) C[a, b]，且 f (a) · (b) < f 0，则f(x) 在 (a, b) 上必有一根。
误差 分析： 第1步产生的
ab ba x1 有误差 |x1 x*| 2 2
| xk x*| ba 2k
第 k 步产生的 xk 有误差
有根区间 -(1,2)+ (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.313,1.375) (1.344,1.375) (1.360,1.375) (1.360,1.368)
中点 x n
x 2 1.25 x 3 1.375 x4 1.313 x5 1.344 x6 1.360 x7 1.368 x8 1.364
f ( x0 ) x1 x0 作为第一次近似值 f ( x0 )
重复上述过程
xk 1
f ( xk ) xk f ( xk )
牛顿法的几何意义
Tangent line : y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
y
f ( x0 ) x1 x0 f ( x0 )
≤
|x k-1-x*|
（|xk-xk-1|+|xk-x*|）,
故有 |xk-x*| ≤
/(1-)|xk-xk-1|.
可用 | xk 1 xk | 来 控制收敛精度
这就证明了估计式(6).
(5) |xk-xk-1| = |g(xk-1)-g(xk-2)|
≤
|x k-1-xk-2|≤…≤
收敛性分析
定义2 若存在常数(0≤ <1),使得对一切 x1,x2∈［a,b］, 成立不等式 |g(x1)-g(x2)|≤ |x1-x2|， (5) 则称g(x)是［a,b］上的一个压缩映射， 称为压缩系数
非线性方程求根
第7章 非线性方程求根本章主要内容：1.区间二分法. 2切线法. 3.弦位法. 4.一般迭代法.重点、难点一、区间二分法区间二分法是求方程f(x)=0根的近似值的常用方法。
基本思想：利用有根区间的判别方法确定方程根的区间[a,b] ,将有根区间平分为二；再利用有根区间的判别方法判断那一个区间是有根区间；重复上述步骤，直到小区间端点差的绝对值小于等于精度要求的数值，则用将上一区间的分半值作为方程的根的近似值。
区间二分法的计算步骤如下： 1.计算区间端点的函数值f(a) , f(b)（不妨设f(a)＜0,f(b)＞0）；确定初始有根区间[a,b]. 2.二分有根区间[a,b]，并计算)2(ba f + 取21b a x +=3.判断： 若0)(1=x f ，则方程的根为1x x =*；若 0)(1>x f ，则有根区间为[]1,x a x ∈*；令[]],[,111b a x a =若 0)(1<x f ，则有根区间为[]b x x ,1∈*；令 []],[,111b a b x =4. 如果│b-a │<ε（ε为误差限），则方程的根为2ba x +=*；否则转向步骤2，继续二分有根区间[a 1,b 1]，并计算中点值，继续有根区间的判断，直到满足精度要求为止，即│b n -a n │<ε二分次数的确定：如果给定误差限ε，则需要二分的次数可由公式12ln ln )ln(---≥εa b n 确定应二分的次数。
例1 用区间二分法求方程0353=+-x x 在某区间内实根的近似值（精确到0.001）【思路】参见上述区间二分法的计算步骤解 ∵f(1.8)=-0.168＜0, f(1.9)=0.359＞0 ∴f(x)在区间[1.8 ，1.9]内有一个根。
由公式 644.512ln 001.0ln 1.0ln 12ln ln )ln(=--=---≥εa b n取n=6， 计算结果列表如下：则方程在区间[1.8，1.9]内所求近似值为x *≈ x = 1.8328125区间二分法的优点是计算程序简单，只要f (x )在区间[a,b]上连续，区间二分法就可使用，但区间二分法不能用来求偶次重根，由于区间二分法收敛比较慢，在实际计算中，区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值，以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。
5非线性方程的求根
（3）迭代25次后 （4）迭代9次后 （5）迭代3次后
x3 1.36523001 若采用二分法则有 x25 1.364990235 ， x27 1.36523001
迭代格式构造的不同，可能会出现发散或无意义的情形，即使 是收敛的，收敛的速度也有快慢之分。 9
单点迭代法
计算第k+1个近似值 xk 1 时仅用到第k个点处 的信息,如（5.1) 多点迭代法 计算 xk 1 时需要用到前面P个点处的信息 一般形式为
§2
迭代法
x g ( x)
设方程 f ( x) 0 可以转化为等价的形式 从某个初值
xk 1 g ( xk ) k 0,1, 2, (5.1) 得到序列 {xk } 。当 g ( x) 连续，且序列 {xk } 收敛时，有
lim xk 1 lim g ( xk ) g (lim xk )
k k k
x0
出发令
即
即序列 {xk } 的极限 是方程 f ( x) 0 的根。 称(5.1)为迭代格式，函数 g ( x) 为迭代函数。构造迭代 格式的方法称为迭代法。 7
g ( )
例5.2 构造不同的迭代格式，求方程 x3 4 x 2 10 0 在(1,2)内的近似根。
当 n 充分大时就有 误差估计式为
k 1, 2, , n.
1 (an bn ) 2
an bn b a | | n 1 2 2
3
算法（二分法）
输入 f ( x )，区间 [ a, b] ，精度 0，最大的迭代次数N 1．对 2． 3． 4．若
k 1, 2,, N ,
对迭代方程 x g ( x) ，若迭代函数 g ( x) 满足
第4章_非线性方程求根 计算方法
解: 从[-4,4]区间以步长为1计算f(x)=x3-3x+1的函数值， 列如下表
4 结束
表2-1
x
计 算 方 法 课 件
-4
-3
-2
-1 3
0 1
1 -1
2 3
3 19
4 53
f(x) -51 -17 -1
可见，在[-2,-1]区间、[0,1]区间、[1,2]区间各有一实根，
下面求[0,1]区间上的实根，列表略： 可见x∊[0.347167968,0.347412109] 若取=0.005,由表可知,当k=13时, bk-ak=0.000244141<0.005,此时过程结束,取 xk=(0.347167968+0.347412109)/2=0.3472900380.347 5 结束
y x y g ( x)
它的解(x*,y *)中的x *就是x=g(x)的根.如图： 图2-3 图2-4 图2-5 10 图2-6 结束
计 算 方 法 课 件
不动点迭代算法: %input:初始解x0;最大迭代次数N；精度tol. %output:近似根x，迭代次数k. 1. k=1; 2. While k<N 2.1 x= g(x0) ; %函数g需要事先定义; 2.2 if abs(x-x0)<tol break end 2.3 k=k+1; x0=x; end 3. disp(x); disp(k)
此方程还可以有另外的迭代形式：
xk 1
计 算 方 法 课 件
1 , 2 3 xk
k 0,1,2,3,
xk 1 3 3xk 1,
4.2.2 迭代法的几何解释
k 0,1,2,3,
非线性方程求根方法
第12章非线性方程求根方法二分法二分法算法1．计算[a, b]区间的中点存放在变量x0中，x0 ⇐(a+b)/2；2．如果函数值f(x0)=0, 则x0是f(x)=0的实根x* ，输出根x0, 终止；3．如果函数值f(a)f(x0)<0,则b ⇐ x0 ，否则a ⇐ x0；4．如果b-a≤ε（ε为给定的精度）,则输出根的近似值(a+b)/2,终止，否则转1。
二分法程序Clear[x]f[x_]=Input[“键入函数f(x)=”];a= Input[“键入左端点a=”];b=Input[“键入右端点b=”];Print[“a=”,a, “b=”,b, “ f(x)=”,f[x]]e1=10^(-10);eps=Input[“键入根的误差限eps=”];n=0;While[b-a>eps,x=(a+b)/2;n=n+1;w=f[x];If[Abs[w]<e1,Print[“n=”,n, “x=”,x, “ f[x]=”,w];Break[]];p=f[a]*w//N;If[p<0,b=x,a=x];Print[“n=”,n, “x=”,x//N, “eps=”,b-a//N]]说明：本程序用于求非线性方程f(x)=0在区间[a, b]内的根，这里要求f(x)在区间[a, b]连续,且f(a)f(b)<0。
程序执行后，先通过键盘输入函数f(x)和区间左端点a和右端点b及根的精度要求e，程序即可给出每次二分的次数和对应的点列{x k}，其中最后输出的结果即为所求的根。
程序中变量说明x：存放初值x0和二分法中的x k；a：存放含根区间的左端点a k；b：存放含根区间的右端点b k；e1: 描述f(x k)=0的微小值, 这里用|f(x k)|<e1表示f(x k)=0；n: 存放二分次数。
注：语句“If[p<0,b=x,a=x]”中“p”的一定要是算出的数值，否则会出现错误。
非线性方程求根
实际中，用解方程组的形式
J ( X k )( X k 1 X k ) F ( X k )
迭代法的基本步骤如下：
f ( x) 0 x ( x ) 2、取合适的初值，产生迭代序列 x0 , xi 1 ( xi )
1、给出方程的局部等价形式 3、求极限
x* lim xn 易知，该值为方程的根 n
一定收敛吗？
y p1 p0
y=x y=g(x)
y y=g(x) p0
什么时候停止？
a
x a1 x* x2 b b
xk 1 xk ε1
或
f ( x ) ε2
算法
While(|a-b|>eps) x=(a+b)/2 f(x) 若(|f(x)|<eps) x为解 若f(x)*f(b)<0 修正区间为[x,b] 若f(a)*f(x)<0 修正区间为[a,x] End while
若 f ' ( x0 ) 0 ，则有
y
记为
f ( x0 ) x x0 f ' ( x0 )
类似，我们可以得到
x1
x* x
x0
f ( x1 ) x2 x1 f ' ( x1 )
这样一直下去，我们可以得到迭代序列
xk 1 xk
f ( xk ) f ' ( xk )
Newton迭代的等价方程为：
非线性方程求根
非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一个 不可缺的内容。但是，非线性方程的求根非常复杂。 通常非线性方程的根的情况非常复杂：
sin( 2 x) y 1 y 2
无穷组解
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 非线性方程求根教学目的与要求：理解二分法求根的思想；掌握二分法求解过程；了解二分法的优点和缺点。
了解迭代法的基本思想，迭代法的收敛条件以及局部收敛性的定义；理解基本迭代法的迭代思路，收敛条件的产生与求证过程；掌握基本迭代法的迭代格式，收敛条件的应用以及局部收敛定理。
重点和难点：迭代法的基本思想，迭代法的收敛性 ■ 教学内容：基本概念： 的零点； 的m 重零点。
)(x f )(x f 非线性方程的求根通常分为两个步骤：一是对根的搜索，二是根的精确化，求得根的足够精确的近似值。
求方程的有根区间有如下方法：(1)描图法。
画出的简图，从曲线与)(x f y =x 轴交点的位置确定有根区间。
(2)解析法。
根据函数的连续性、介值定理以及单调性等寻找有根区间。
§ 1 二分法分析二分法的基本原理例1 用二分法求方程的一个正根，要求误差不超过.01)(6=−−=x x x f 2105.0−ק 2 迭代法及其收敛性一、迭代法的定义二、基本迭代法定义：将方程改写成以下等价形式() x x ϕ=取定初始值0x ，由迭代公式1()(0,1,2,)n n x x n ϕ+==L 产生迭代序列{}n x 。
显然，若{}n x 收敛于*x ,()x ϕ在*x 处连续，就有**1lim lim ()()n n n n x x x ϕϕ+→∞→∞===x 即*x 是方程() x x ϕ=的解，从而也是0)(=x f 的解。
故当充分大时，可取作为方程根的近似值。
用迭代格式求得方程近似根的方法称为基本迭代法，n n x )(x ϕ称为迭代函数。
由于收敛点*x 满足*()*x x ϕ=，故称*x 为)(x ϕ的不动点例 求方程的一个实根，要求精确到六位小数。
032)(3=−−=x x x f 注意：把此方程转换成三种等价形式 ,32)(31+==x x x ϕ)3(21)(32−==x x x ϕ, 3)(33−−==x x x x ϕ三、迭代法的收敛条件定理1 （压缩映像原理）设函数()x ϕ在区间上满足条件：],[b a （1）对任意[,]x a b ∈，都有()a x b ϕ≤≤；（2）存在常数0<L<1，使得对一切,[,]x y a b ∈，都有()()x y L x y ϕϕ−≤−则（1）方程()x x ϕ=在内有唯一的根],[b a *x 。
（2） 对任何初值0[,]x a b ∈，迭代序列1() (0,1,)n n x x n ϕ+==L 均收敛于*x 。
（3）*11n n L n x x x x L −−≤−− *101n n L x x x L x −≤−− 注意：(I) 定理1中的条件(2)不容易检验。
如果函数)(x ϕ在区间上可导，那么条件(2)可用更强的条件),(b a ),(,1)(b a x L x ∈∀<≤′ϕ代替。
事实上，若此式成立，则由微分中值定理，对任何都有],[,b a y x ∈()()()x y x y L x ϕϕϕξ′−=−≤−y其中ξ在x 与y 之间，从而条件(2)成立。
如32'1)32(32)(−+=x x ϕ，在区间上，]2,1[1)('1<x ϕ，所以迭代格式(1)收敛；,23)(2'2x x =ϕ13)(2'3−=x x ϕ在区间上，其导数的绝对值均大于1，故发散。
当]2,1[L 较小时，可以用相邻两次迭代结果之差的绝对值是否小于允许误差ε来判断迭代可否终止。
但若L 很接近1，则收敛可能很慢。
四、迭代法的局部收敛性定理2 如果函数()ϕx 在的一邻域*x **(,)O x δ内连续可微，为方程（7-3）的根，且*x *()1x ϕ′<，则存在正数δ，*δδ≤，使得对任意**0[,x x x ]δδ∈−+，迭代序列1()(0,1,2,)n n x x n ϕ+==L 收敛于。
*x 定理2给出了初值在根邻近时，基本迭代法收敛的充分条件，称为局部收敛性定理。
这一定理表明，只要构造迭代函数，使其在根的邻近满足导数的绝对值有小于1的上界，即可保证基本迭代法收敛。
因此,定理7.2对初值的要求较高。
如果已知的大概位置,为的一个较好的近似值，则可用0x *x 0x *x 0()1x ϕ′<代替*()1x ϕ′<，然后用定理7.2判断迭代格式的局部敛散性。
小结：1. 二分法的思路和误差估计式2. 基本迭代法：迭代的具体过程3. 迭代收敛性分析作业：习题7 第3，4，5，6题§ 3 Newton 法与弦截法教学目的与要求：理解Newton 法的构造过程，了解Newton 法的几何意义，掌握用Newton 迭代法、重根法求根的具体过程以Newton 迭代法的局部收敛性分析；最后掌握弦截法的迭代格式、几何意义以及两种迭代法的优缺点的比较。
简单的了解求解非线性方程组的Newton 法的思想。
重点：Newton 法与弦截法；难点：非线性方程组的求解。
■ 教学内容：一、Newton 迭代法Newton 迭代法的基本思想：将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解。
1．定义2．几何意义例 用Newton 迭代法求方程在内的一个根，要求精度。
01)(23=−−=x x x f ]6.1,4.1[510−=ε二、Newton 迭代法的局部收敛性定理4 设函数()f x 在其零点*x 邻近二阶连续可微，且*()0f x ′≠，则存在0δ>，使得对任意**0[,x x x ]δδ∈−+，Newton 法所产生的序列{}n x 至少二阶收敛于*x 。
需要注意的是，Newton 法虽具有收敛快，形式简单等优点，但它对初值的要求较高。
当初始值不够好时，Newton 法可能发散。
一般可由问题的实际背景来预测或由二分法求得较好的初始值。
另外当*x 是0)(=x f 的重根时也可用Newton 法求方程的近似解。
为了改善重根时Newton 法的收敛性，可将Newton 迭代格式做一些修改。
*x 是的重根，则0)(=x f )2(≥m m *x 是0)]([1=m x f 的单根，对此方程应用Newton 迭代法，则有L ,2,1,0,)()(1=′−=+k x f x f m x x k k k k 三、弦截法1．定义2．几何意义3．Newton 法与弦截法的比较Newton 法和弦截法都是先将线性化再求根，但线性化的方式不同：Newton 法是作切线的方程，而弦截法是作弦线的方程；Newton 法只需一个初始值，而弦截法需要两个初始值。
)(x f例2 用弦截法求方程在内的一个根，要求精度。
01)(23=−−=x x x f ]6.1,4.1[510−=ε§ 4 解非线性方程组的Newton 法（略讲）对于非线性方程组，也可以构造类似于一元方程的Newton 迭代法，而且同样具有二阶局部收敛性。
设有非线性方程组 11221212(,,,)0(,,,)0(,,,)0n n n n f x x x f x x x f x x x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩L L LL L 若记=x 12(,,,)T n x x x L ,12()((),(),,())=L T n F x f x f x f x ，则方程组可简记成向量形式()=F x 0，如果存在向量,使，则称为非线性方程组的解。
n R x ∈*0)(*=x F *x 像单个方程的Newton 迭代法一样，采用逐次线性化的方法构造方程组的Newton 迭代法。
在某个近似解处，将向量函数作泰勒(Taylor)展开，则有： )(k x )(x F ()())()()()()(k k k x x x F x F x F −′+≈从而得方程的近似方程()()0)()()()(=−′+k k k x x x F x F即()()()()(′Δ=−k k k )F x x F x ，其中()()′=k F x ()1111212k n n nn n x x f f f x x x f f f x x x =∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦L L L 称为向量函数()F x 的Jacobi 矩阵，。
线性方程组称为Newton 方程组。
如果()()Δ=−k k x x x ()()1(,,)k k n x x =ΔΔL T ()F x 的Jacobi 矩阵在处非奇异，方程组（7-16）有唯一解，则为方程组（7-15）的第次近似解。
按上述过程求方程组的近似解称为Newton 方法。
可以证明，当初始值()k x ()Δk x (1)()()+=+Δk k x x x k 1+k (0)x 与解充分接近时，Newton 法是平方收敛的。
例3 求解方程组给定初值，用Newton 迭代法求解。
⎪⎩⎪⎨⎧=+−+=++−081008102122122121x x x x x x x T x )0,0()0(=小结： 1. 牛顿法的基本思想；2. 用牛顿法解非线性方程的具体方法；3. 弦截法与牛顿法的区别；4. 弦截法的定义及解题方法作业：习题7 第7，8，9题★ 数值实验：1． 程序设计基础知识：Solve 和FindRoot 都能求方程的根，Solve 主要用于多项式方程组的求根，FindRoot 计算非线性方程或方程组的一个数值解。
下列FindRoot 的求解形式及其意义： 函数FindRoot意义 FindRoot[方程，{x ，x0}] 从x=x0开始，计算方程的一个数值解FindRoot[方程，{x ，{x0，x1}}]以x0和x1为初始值，计算方程的一个数值解．当找不出f 的显式的导数表示时使用FindRoot[方程，{x ，xstart ，xmin ，xmax}]在xmin ，xmax 范围内计算方程的一个数值解FindRoot[{方程组}，{x ，x0}，{y ，u0}，…] 计算联立方程组的数值解2．编写一个非线性方程求解的Mathematica 程序：用迭代法求方程在0543)(35=−−=x x x f 10=x 附近的实根，要求精确到四位小数。
将方程改写成53)54(31)(+==x x x ϕ迭代格式为 521)54(31+=+n n x x L ,2,1,0=nf[x_]:=3x^5-4x^3-5;Plot[f[x],{x,-3,3}]x[n_]:=((4x[n-1]^3+5)*(1/3))^(1/5)x[0]=1.;N[Table[x[n],{n,1,20}],10];MatrixForm[%]N[Solve[f[x]==0,x],10][[5]]运行结果为：（1）图形（2）迭代结果1.245730941.3352421781.370826848… …1.3953037571.395303781.39530379{x -> 1.395303796}则取为方程在1附近的近似根。