非线性方程求根

第七章 非线性方程求根

教学目的与要求：

理解二分法求根的思想；掌握二分法求解过程；了解二分法的优点和缺点。了解迭代法的基本思想，迭代法的收敛条件以及局部收敛性的定义；理解基本迭代法的迭代思路，收敛条件的产生与求证过程；掌握基本迭代法的迭代格式，收敛条件的应用以及局部收敛定理。

重点和难点：迭代法的基本思想，迭代法的收敛性 ■ 教学内容：

基本概念： 的零点； 的m 重零点。

)(x f )(x f 非线性方程的求根通常分为两个步骤：一是对根的搜索，二是根的精确化，求得根的足够精确的近似值。 求方程的有根区间有如下方法：

(1)描图法。画出的简图，从曲线与)(x f y =x 轴交点的位置确定有根区间。

(2)解析法。根据函数的连续性、介值定理以及单调性等寻找有根区间。

§ 1 二分法

分析二分法的基本原理

例1 用二分法求方程的一个正根，要求误差不超过.

01)(6=−−=x x x f 2105.0−ק 2 迭代法及其收敛性

一、迭代法的定义

二、基本迭代法

定义：将方程改写成以下等价形式() x x ϕ=取定初始值0x ，由迭代公式1()

(0,1,2,)n n x x n ϕ+==L 产生迭代序列{}n x 。显然，若{}n x 收敛于*x ,()x ϕ在*x 处连续，就有**

1lim lim ()()n n n n x x x ϕϕ+→∞→∞

===x 即*x 是方程() x x ϕ=的解，从而也是0)(=x f 的解。故当充分大时，可取作为方程根的近似值。用迭代格式求得方程近似根的方法称为基本迭代法，n n x )(x ϕ称为迭代函数。由于收敛点*x 满足*()*

x x ϕ=，故称*x 为)(x ϕ的不动点

例 求方程的一个实根，要求精确到六位小数。

032)(3

=−−=x x x f 注意：把此方程转换成三种等价形式 ,32)(31+==x x x ϕ)3(2

1)(32−=

=x x x ϕ, 3)(33−−==x x x x ϕ三、迭代法的收敛条件

定理1 （压缩映像原理）设函数()x ϕ在区间上满足条件：

],[b a （1）对任意[,]x a b ∈，都有()a x b ϕ≤≤；

（2）存在常数0

则（1）方程()x x ϕ=在内有唯一的根],[b a *x 。 （2） 对任何初值0[,]x a b ∈，迭代序列1() (0,1,)n n x x n ϕ+==L 均收敛于*x 。

（3）*

11n n L n x x x x L −−≤−− *101n n L x x x L x −≤−− 注意：

(I) 定理1中的条件(2)不容易检验。如果函数)(x ϕ在区间上可导，那么条件(2)可用更强的条件

),(b a ),(,1)(b a x L x ∈∀<≤′ϕ代替。事实上，若此式成立，则由微分中值定理，对任何都有

],[,b a y x ∈()()()x y x y L x ϕϕϕξ′−=−≤−y

其中ξ在x 与y 之间，从而条件(2)成立。 如32'

1

)32(32)(−+=x x ϕ，在区间上，]2,1[1)('1

四、迭代法的局部收敛性

定理2 如果函数()ϕx 在的一邻域*x **(,)O x δ内连续可微，为方程（7-3）的根，且*x *()1x ϕ′<，则存在正数δ，*δδ≤，使得对任意**0[,x x x ]δδ∈−+，迭代序列1()

(0,1,2,)n n x x n ϕ+==L 收敛于。

*x 定理2给出了初值在根邻近时，基本迭代法收敛的充分条件，称为局部收敛性定理。这一定理表明，只要构造迭代函数，使其在根的邻近满足导数的绝对值有小于1的上界，即可保证基本迭代法收敛。因此,定理7.2对初值的要求较高。如果已知的大概位置,为的一个较好的近似值，则可用0x *x 0x *x 0()1x ϕ′<代替*()1x ϕ′<，然后用定理7.2判断迭代格式的局部敛散性。

小结：1. 二分法的思路和误差估计式

2. 基本迭代法：迭代的具体过程

3. 迭代收敛性分析

作业：习题7 第3，4，5，6题

§ 3 Newton 法与弦截法

教学目的与要求：

理解Newton 法的构造过程，了解Newton 法的几何意义，掌握用Newton 迭代法、重根法求根的具体过程以Newton 迭代法的局部收敛性分析；最后掌握弦截法的迭代格式、几何意义以及两种迭代法的优缺点的比较。简单的了解求解非线性方程组的Newton 法的思想。

重点：Newton 法与弦截法；

难点：非线性方程组的求解。

■ 教学内容：

一、Newton 迭代法

Newton 迭代法的基本思想：将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解。

1．定义

2．几何意义

例 用Newton 迭代法求方程在内的一个根，要求精度。

01)(2

3=−−=x x x f ]6.1,4.1[510−=ε二、Newton 迭代法的局部收敛性

定理4 设函数()f x 在其零点*x 邻近二阶连续可微，且*()0f x ′≠，则存在0δ>，使得对任意**0[,x x x ]δδ∈−+，Newton 法所产生的序列{}n x 至少二阶收敛于*x 。

需要注意的是，Newton 法虽具有收敛快，形式简单等优点，但它对初值的要求较高。当初始值不够好时，Newton 法可能发散。一般可由问题的实际背景来预测或由二分法求得较好的初始值。另外当*x 是0)(=x f 的重根时也可用Newton 法求方程的近似解。

为了改善重根时Newton 法的收敛性，可将Newton 迭代格式做一些修改。*x 是的重根，则0)(=x f )2(≥m m *x 是0)]([1

=m x f 的单根，对此方程应用Newton 迭代法，则有L ,2,1,0,)

()(1=′−=+k x f x f m x x k k k k 三、弦截法

1．定义

2．几何意义

3．Newton 法与弦截法的比较

Newton 法和弦截法都是先将线性化再求根，但线性化的方式不同：Newton 法是作切线的方程，而弦截法是作弦线的方程；Newton 法只需一个初始值，而弦截法需要两个初始值。

)(x f