拉普拉斯变换习题集
拉普拉斯变换题库
拉普拉斯变换题库(共7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--六．拉普拉斯变换㈠选择㈡填空1.)(2)(t t f δ=的拉普拉斯变换是_______________2.)1()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________.3.)2()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________.4.t e t t f 22)(+=的拉普拉斯变换是_______________.5.)(5)(2t e t f t δ+=的拉普拉斯变换是_______________6.)2()(2-=t u e t f t 的拉普拉斯变换是________________.7.k e t t f kt n ()(=为实数)的拉普拉斯变换是__________________.8.t e t f t 3sin )(2-=的拉普拉斯变换是__________________.9.t e t f 2)(-=的拉普拉斯变换是_________________.10.t e t f 2)(=的拉普拉斯变换是__________________。
11.t t f =)(的拉普拉斯变换是________________12.t te t f -=)(的拉普拉斯变换是____________________.13.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是_____________.14.at t f sin )(=的拉普拉斯变换是_________________.15.t t t f cos sin )(=的拉普拉斯变换是___________________.16. ()()sin f t u t t =的拉普拉斯变换是________________.17. ()sin(2)f t t =-的拉普拉斯变换是________________.18.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是________________.19.t t f 2sin )(=的拉普拉斯变换是_______________.20.t e t f t sin )(-=的拉普拉斯变换是_________________.21.t e t f t cos )(=的拉普拉斯变换是______________.22.t e t t f 2)1()(-=的拉普拉斯变换是________________.23.t t t f cos 32sin 5)(-=的拉普拉斯变换是_________________.24.)(3sin 2)(t u t t f -=的拉普拉斯变换是_______________.25.)(3)(t t t f δ+=的拉普拉斯变换是___________________.26.t te t f -=1)(的拉普拉斯变换是__________________.27.)53()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_______________. 28.tt t f sin )(=的拉普拉斯变换是__________________. 29.t e t t f )()(δ=的拉普拉斯变换是_____________.30.t t t f sin )(=的拉普拉斯变换是______________. 31.932)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是___________________. 32.2)(+=s s s F 的拉普拉斯逆变换是_______________. 33.ss F 1)(=的拉普拉斯逆变换是_________________. 34.11)(-=s s F 的拉普拉斯逆变换是_________________. 35.11)(+=s s F 的拉普拉斯逆变换是___________________. 36.21)(ss F =的拉普拉斯逆变换是________________. 37.11)(2+=s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 38.2)1(1)(+=s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 39.11)(2-=s s F 的拉普拉斯逆变换是_________________. 40.se s F s2)(-=的拉普拉斯逆变换是____________________. 41.31)(ss F =的拉普拉斯逆变换是________________.42.91)(2+=s s F 的拉普拉斯逆变换是______________ 43.4)(2+=s s s F 的拉普拉斯逆变换是_______________. 44.41)(2+-=s s s F 的拉普拉斯逆变换是____________. 45.41)(2--=s s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 46.42)(s s F =的拉普拉斯逆变换是_______________. 47.51)(+=s s F 的拉普拉斯逆变换是______________. 48.2)(-=s s s F 的拉普拉斯逆变换是_______________. 49.)3)(1(2)(-+-=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 50.432)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是__________________. 51.61)(2-++=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是____________________. 52.61)(2--+=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 53.161)(4-=s s F 的拉普拉斯逆变换是____________________. 54.23)(se s F s-=的拉普拉斯逆变换是__________________. 55.)1(1)(22+=s s s F 的拉普拉斯逆变换是__________________. 56.)2)(1(3)(+-=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是_________________ 57.651)(2++-=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是__________________。
第二章_Laplace变换（答案）
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
laplace变换习题答案
laplace变换习题答案
Laplace变换习题答案
Laplace变换是一种非常重要的数学工具，它在控制工程、电路分析、信号处理等领域都有着广泛的应用。
通过Laplace变换，我们可以将一个复杂的微分方
程转化为一个简单的代数方程，从而更容易地解决问题。
在学习Laplace变换的过程中，习题是非常重要的一部分。
通过做习题，我们
可以更好地理解Laplace变换的原理和应用。
下面，我们来看几道Laplace变换的习题，并给出相应的答案。
1. 计算函数f(t) = e^(-2t)的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{e^(-2t)} = 1/(s+2)。
2. 计算函数f(t) = sin(3t)的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{sin(3t)} = 3/(s^2+9)。
3. 计算函数f(t) = t^2的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{t^2} = 2/s^3。
通过以上习题的解答，我们可以看到Laplace变换的计算并不复杂，只需要根
据定义进行变换即可。
但在实际应用中，可能会碰到更复杂的函数，需要运用
一些技巧和公式来进行计算。
因此，熟练掌握Laplace变换的原理和方法，对
于我们解决实际问题将会有很大的帮助。
总之，通过做Laplace变换的习题，我们可以更好地掌握这一重要的数学工具，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
希望大家能够认真对待Laplace变换，
多加练习，提高自己的数学水平。
信号与系统第4章答案
第4章拉普拉斯变换与连续系统复频域分析4.6本章习题全解4.1 求下列函数的拉普拉斯变换（注意：为变量，其它参数为常量）。
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）解：（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）(15)(16)(17)(18) ()(19)(20)(21)（22）（23）（24）4.2 已知，求下列信号的拉普拉斯变换。
（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）所以4.3 已知信号的拉普拉斯变换如下，求其逆变换的初值和终值。
（1）（2）（3）（4）解（1）初值：终值：（2）初值：终值：（3）初值：终值：（4）初值：终值：4.4 求题图4.4所示信号的单边拉普拉斯变换。
题图4.4解（1）所以根据微分性质所以注：该小题也可根据定义求解，可查看（5）小题（2）根据定义（3）根据（1）小题的结果再根据时移性质所以根据微分性质得（4）根据定义注：也可根据分部积分直接求取（5）根据单边拉氏变换的定义，本小题与（1）小题的结果一致。
（6）根据单边拉氏变换的定义，在是，对比（3）小题，可得4.5 已知为因果信号，，求下列信号的拉普拉斯变换。
（1）（2）（3）（4）解：（1）根据尺度性质再根据s域平移性质（2）根据尺度性质根据s域微分性质根据时移性质（3）根据尺度性质再根据s域平移性质（4）根据时移性质再根据尺度性质本小题也可先尺度变化得到，再时移单位，得到结果4.6 求下列函数的拉普拉斯逆变换。
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）{} =（15）{} =（16）{}=（17）{}=（18）{}=（19）{}=（20）{}=（21）{}=（22）{}=(23) {}=(24) ()=4.7 求如题图4.7所示的单边周期信号的拉普拉斯变换。
第四章拉普拉斯变换
第四章拉普拉斯变换第一题选择题1．系统函数H（ s）与激励信号X（ s）之间B。
A、是反比关系；B、无关系； C 、线性关系；D、不确定。
2．如果一连续时间系统的系统函数H(s) 只有一对在复平面左半平面的共轭极点，则它的h(t) 应是 B。
A、指数增长信号 B 、指数衰减振荡信号 C 、常数 D 、等幅振荡信号3．一个因果稳定的连续系统，其H（s）的全部极点须分布在复平面的A。
A、左半平面B、右半平面C、虚轴上D、虚轴或左半平面4．如果一连续时间系统的系统函数H(s) 只有一个在左半实轴上的极点，则它的h(t)应是B。
A、指数增长信号B、指数衰减振荡信号C、常数 D 、等幅振荡信号5．一个因果稳定的连续系统，其H( s) 的全部极点须分布在复平面的A。
A 左半平面B右半平面C虚轴上D虚轴或左半平面6．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面虚轴上的一阶共轭极点，则它的h(t)是 D 。
A 指数增长信号B指数衰减信号C常数D等幅振荡信号7．如果一连续时间系统的系统函数H(s) 只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h(t)应是DA、指数增长信号 B 、指数衰减振荡信号C、常数 D 、等幅振荡信号8．如果系统函数 H(s) 有一个极点在复平面的右半平面，则可知该系统B 。
A 稳定B 不稳定C 临界稳定D 无法判断稳定性9．系统函数 H( s) 是由 D决定的。
A 激励信号E(s) B响应信号R(s) C激励信号E(s) 和响应信号R(s) D系统。
10．若连续时间系统的系统函数H(s) 只有在左半实轴上的单极点，则它的h(t)应是B。
A 指数增长信号B指数衰减信号C常数D等幅振荡信号11、系统函数H（s）与激励信号X（s）之间BA、是反比关系； B 、无关系； C 、线性关系；D、不确定。
12．关于系统函数 H(s) 的说法，错误的是C。
A 是冲激响应 h(t)的拉氏变换 B决定冲激响应 h(t) 的模式 C 与激励成反比 D 决定自由响应模式13．若某连续时间系统的系统函数H(s) 只有一个在原点的极点，则它的h(t) 应是 C 。
拉普拉斯变换
第八章 拉普拉斯变换一、 判断题1．Laplace 变换本质是傅立叶变换。
（ ） 2．任意函数的拉普拉斯变换都存在。
（ ）3． )3sin(π-t 和)3()3sin(ππ--t u t 的拉普拉斯变换结果相同。
4．可以通过计算1+s s 在1-=s 处留数得到1+s s的拉普拉斯逆变换。
（ ） 5．可以通过计算st s e s e 1+ 在1-=s 处留数得到1+s e s的拉普拉斯逆变换。
（ ） 6．用拉普拉斯变换求微分方程时可直接求出满足初始条件的解。
（ ）二、 选择题（2）=-)]4[cos(πt L （ ）（A ）11222++s s （B ）11222+-s s （C ）s e s s 421122π-++ （D ）s e s s 421122π-+- (3) =⎰-]d sin [03ttt t eL （ ）（A ）1)3(112+-s s （B ）1)3(112++s s （C ）1)3(112++-s s （D ）1)3(112+--s s (4) =⎰-]d sin [L 03tt t t e t（ ）（A ）1)3(101231222+-++-s s s s （B ）1)3(101231222+-++s s s s )()]([),()()1(0=-=t f t t t f L 则设δπ2)()()(1)(00D eC e B A st st -（C ）1)3(101231222++++-s s s s （D ）1)3(101231222++++s s s s (5) 函数1)1(22++s s 的拉普拉斯逆变换为（ ） （A ）t e t t cos 2)(--δ （B ）t t t sin 2cos 2)(--δ （C ）t e t t sin 2)(--δ (D)ite i 21- (6) 函数s e s s-+1的拉普拉斯逆变换为（ ） （A ）t e t ---)1(δ （B ）t e t u t ----)1()1(δ（C ）)1()1(---t u e t （D ）)1()1()1()1(------t u e t u t t δ (7)积分⎰+∞-02cos tdt te t 的值为（ ）（A ） 0 (B)253 (C) 253- (D) 254 (8) 积分⎰⎰+∞-0]cos [dt e d e t ττττ的值为（ ）（A ） 0 (B) 1 (C) 1- (D) 不存在 (9) a t <时)()(t f a t u *-的值为（ ）（A ） 0 (B) 1 (C) 1- (D) 不存在三、 填空题 （1）设L ),()]([s F t f = ,0>a 则L =-)]([atf eat（2）L =--)]1([2te u t（3）L =+-]cos [)(t e t βα （4）L =--)]2()2[sin(t u t（5）L=+--][151se s（6）L=--])(1[31a s s （7）L=++-])1(1[ln 21s s s（8）=⎰∞+dt ttsin （9）=*-)()(t f a t δ 四、 计算下列函数的拉普拉斯变换.（1）⎪⎩⎪⎨⎧><≤-<≤=4,042,100,3)(t t t t f （2）282cos 32sin )(2+--=-te t t t f（3）at t t f cos )(= （4）)2(sin )(-⋅=t u t t f （5）dt tte tt ⎰-02cos 五、 计算下列函数的拉普拉斯逆变换。
信号与系统 第四章习题 王老师经典解法(青岛大学)小白发布
3
E1(s)
∑
1 s
-2 -1
（a）
1 s
2
∑
Y 1( s )
E2(s)
−2 t
Vo ( s ) ； E ( s)
U (t ) ，求零状态响应 vo (t ) ；
（3）若 e(t ) = 10 cos(5t ) ，求正弦稳态响应 voss (t ) 。
0.25F + e(t) -
2:1
1F
2:1
2F +
C1
C2
C3
R
vo(t
-
题图 4-17-1
4-18 题图 4-18-1 所示电路 （1）若初始无储能，信号源为 is (t ) ，为求 i1 (t ) （零状态响应） ，列写转移函数 H ( s ) ，并给 出对应于 is (t ) = 10 cos(2t )U (t ) 的零状态响应 i1 (t ) ； （2）若初始状态以 i1 (0) ， v 2 (0) 表示（都不等于零） ，但
is(t
)
1Ω + 1F
-
1H
i1(t
is (t ) = 0 ，求 i1 (t ) （零输入响应） 。
v 2( t )
1Ω
题图 4-18-1
4-19 求题图 4-19 中电路的电压传输函数，如果要求响应中不出现 强迫响应分量，激励函数应有怎样的模式？
C
R1
+ +
-)
e(t R2
vo(t)
-
题图 4-19
4-11 用拉氏变换分析法，求下列系统的响应。
d 2 r (t ) dr (t ) （1） +3 + 2r (t ) = 0 ， r (0 − ) = 1 ， r ' (0 − ) = 2 2 dt dt
积分变换_(Laplace)课件与习题
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
拉普拉斯变换
(d)
et2 u(t)
(e)
eet u(t)
(f)
x(
t)
=
⎧⎪e−t ⎨⎪⎩et ,
, t
t<0 >0
解： (a) 存在 1 ， Re{s} > 0 s2
(b)
(c) 存在
(s
1 + 2)2
， Re{s} >
−2
(d) (e) (f)不存在
6.若已知℘{u(t)} = 1 ，收敛域为 Re{s} > 0 ，试利用拉氏变换性质，求下列信号的拉氏变 s
(h)
x(t)
=
⎧⎪e−2t ⎨⎪⎩e3t ,
, t
t>0 <0
解：(a) σ 1 , Re{s} > a ，见图(a) s−a
(b)
1 , Re{s} > a , 见图(a)
(s − a)2
(c) − 1 , Re{s} < −a ,见图(b) s+a
(d) − s , Re{s} < −a , 见图(c) s2 + Ωc2
∫ s
= +∞ sin t[u(t) − u(t − π)]e−stdt =
1
− e−sπ ⋅
1
1− e−sT =
−∞
s2 +1
s2 +1 s2 +1
3. 对图 P6.3 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
(a) x(t)的傅立叶变换存在。 (b) x(t)e2t 的傅立叶变换存在
(c) x(t) = 0, t > 0 (d) x(t) = 0, t < 5
图(b), −3 < Re{s} < 3
Laplace变换习题课
《Laplace 变换》习题课一、 基本要求1. 理解并记住Laplace 变换及其逆变换的定义；了解Laplace 变换存在定理；2. 理解Laplace 变换的性质，并会证明积分性质和微分性质；3. 熟练掌握Laplace 变换及其逆变换的计算方法；4. 理解卷积的定义与卷积定理，会计算两个函数的卷积；5.掌握Laplace 变换在求解线性微分方程（组）的求解方法二、 内容提要1. Laplace 变换及其逆变换的定义；()()st F s f t e dt +∞-=⎰；)]([)(1s F L t f -==1()2i sti F s e ds iββπ+∞-∞⎰（右端成为反演积分） 2. Laplace 变换的性质；线性性质；微分性质；积分性质；位移性质；延迟性质 3. Laplace 逆变换的计算方法； 重要定理：若1s 、2s ……n s 是函数)(s F 的所有奇点（包含在β<)Re(s 的范围内），且0)(lim =∞→s F s ，则∑==nk k st s e s F s t f 1],)([Re )(,其中)]([)(t f L s F =。
有了以上定理，就可以利用复变函数求留数的方法来求像原函数)(t f ，下面就函数)(s F 是有理函数的情形来给出计算方法，即 ()()/()F s A s B s =分两种情形考虑：4. 卷积的定义与卷积定理；)(1t f 与)(2t f 的卷积（t>=0）定义为：⎰-=*td t f f t f t f 02121)()()()(τττ卷积定理：1212[()*()]()()L f t f t F s F s =•或=*)()(21t f t f 112[()()]L F s F s -•其中=)(s F i 1[()]i L f t -（i=1,2）5. 应用主要掌握Laplace 变换在解常微分方程（组）中的应用。
三、 几个常用函数的Laplace 变换1[()]L u t s =； 1[](Re()0)at L e s a s a=->-；[()]1L t δ=22[sin ]k s k L kt +=；22[cos ]ss k L kt +=；1![]m m m L t s+= 四、 典型例题解答例题1. 已知0()sin 2tf t t t dt =⎰，求[()]L f t 。
拉氏变换习题集1 (1)(1)
R1
s
sR2
s
r2
(0
)
2
R2
s
0
解得 R1 s 2 3s 1 s 1 1 3s 3 R2 s 1 3s 1 s 1 1 3s 3
因此
r1
t
2 3
et
1 3
e3t
u
t
r2
t
1 3
et
1 3
e3t
u
t
拉普拉斯变换应用
12.已知
r"(t) 5r' (t) 6r(t) 2e' (t) 8e(t)，(t) etu(t)，r(0 ) 3，r '(0 ) 2
F(s)
s2
s 2s
2
(s
1
s j)(s
1
j)
s
k1 1
j
s
k2 1
j
k1
lim (s
s1 j
1
j)F(s)
lim
s1 j
s
s 1
j
1 2
j
k2
lim (s 1
s1 j
j)F (s)
lim
s1 j
s s 1
j
1 2
j
查表可求得原函数为
f (t) 1 j e(1 j)t 1 j e(1 j)t et (cost sin t)
L
t
t0 u t
t0
1 s2
e st0
因此
F
s
1 s2
1 2 es e2s
1 s2
1 es
2
ROC：整个s平面
ROC： Res 0
f t
1
o
信号与系统应自炉第4章习题解
第四章 习题解4-1 根据拉氏变换定义，求下列函数的拉普拉斯变换。
（1）ate --1（2）()()t t 5cos 73sin 2+ （3）tet 3-（4）()t et5cos 4-（5）()[]tb e at --cos 1（6）()tett 22531-++（7）5232++t t （8）()te t 732--δ（9）()t Ω2cos （10）t te eβα---（11）()t et5cos 22-（12）()ϕω+t cos解：（1）)(111]1[a s s a s s eL at+=+-=--（2）()()2579657323]5cos 73sin 2[222222+++=+++⨯=+s s s s s s t t L （3）23)3(1][+=-s et L t（4）())](21[)](21[]5cos [)54()54(45544t j t j t t j t j t te e e jL e e e j L t eL --+-----+=+= 25)4(5)541541(212++=+++-+=s j s j s j （5）()[]()]cos []cos 1[at e e L e at L t b t b tb ----=-22)(1ab s a b s ++++=（6）由于1!][+=n ns n t L ,由s 域频移特性得()]53[]531[222222t t t t e t te e L e t t L ----++=++3232)2(207)2(10)2(3)2(1+++=+++++=s s s s s s （7）32232526526]523[ss s s s s t t L ++=++=++（8）()732]32[7+-=--s et L tδ（9）()()22242121]2cos 2121[]cos [Ω+⋅+=Ω+=Ωs s s t L t L （10）))((11][βααββαβα++-=+-+=---s s s s e eL t t（11）在（9）的计算结果基础上由s 域频移特性得()25)2(221)2(21]5cos [222+++⋅++=-s s s t e L t（12）()]sin sin cos cos []cos [ϕωϕωϕωt t L t L -=+222222sin cos sin cos ωϕωϕωϕωωϕ+-=+-+=s s s s s4-2 求下列信号的拉普拉斯变换（1）te t a --1（2）t e e tt 53---（3）()tt a sin 解：（1）由于as s eL ta +-=--11]1[由s 域积分特性得 )ln(ln )ln()11(]1[as ss a s ds a s s t e L s t a +-=-+=+-=-⎰∞-（2）由于5131][53+-+=---s s e eL t t由s 域积分特性得 )35ln()5ln()3ln()5131(][53++=+++-=+-+=-⎰∞--s s s s ds s s t e e L s t t（3）由于()22]sin [a s at a L +=由s 域积分特性得())arctan()(1)(1]sin [222as a s d as ds a s a t t a L s s -=+=+=⎰⎰∞∞π4-3 求下列信号的拉普拉斯变换 （1）)(3)1(2 t u e t at---δ （2）)1()2(---t u tet（3）)1(2)1(5---t u e t （4）)1(25--t u et（5）)(2)1(5t u e t --（6）()()()[]21---t u t u t （7）()()[]23---t u t u et（8）()()()[]23sin --t u t u t解： （1）由于1)( ↔t δ，由时移特性知se t -↔-)1( δ，可得as e t u e t s at +-=----32])(3)1(2 [L δ （2）由于)1()1()1()2(-=-----t u e te t u tet t ，由时移特性可得212)2()1()1(1])1([+=+⋅=-----s e s ee t u teL sst （3）由时移特性可得22)1(5)5(2)5(12])1(2[+=+⋅=-----s e s e t u eL sst （4）由于)1(2)1(2)1(555-⋅=-----t u ee t u e t t 由时移特性可得52512])1(2[55)1(5+=+⋅=-------s e s ee t u eL sst （5）由于)(2)(255)1(5t u e e t u et t -⋅=--可得52512])(2[55)1(5+=+⋅=--s e s e t u eL t （6）()()()[]()()()()()22221------=---t u t u t t u t tu t u t u t()()()[]s e se s s t u t u t L ss 222211]21[-----=---（7）()()[]()()22)2(3633-⋅-=-------t u e e t u e t u t u et t t()()[]313131]2[)3(2263+-=+⋅-+=--+----s e s e e s t u t u eL s st（8）()()()[]()()()()2]623sin[3sin 23sin -+--=--t u t t u t t u t u t()()()()()2]6sin 23cos 6cos 23sin [3sin --+--=t u t t t u t ()()()[]s s e s s s e s s s s t u t u t L 2222222]96sin 6cos 3[93]96sin 96cos 3[93]23sin [--++-+=+++-+=--4-4 已知因果信号()t f 的拉普拉斯变换为()s F ，求下列信号的拉普拉斯变换，已知所有参数都大于零。
拉普拉斯逆变换习题
拉普拉斯逆变换习题填空题：1. t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是________________。
2. t t f 2sin )(=的拉普拉斯变换是_______________。
3. t e t f t sin )(-=的拉普拉斯变换是_________________。
4. t e t f t cos )(=的拉普拉斯变换是______________。
5. t e t t f 2)1()(-=的拉普拉斯变换是________________。
6. t t t f cos 32sin 5)(-=的拉普拉斯变换是_________________。
7. )(3sin 2)(t u t t f -=的拉普拉斯变换是_______________。
8. )(3)(t t t f δ+=的拉普拉斯变换是___________________。
9. t te t f -=1)(的拉普拉斯变换是__________________。
10.t e t f 2)(-=的拉普拉斯变换是_________________。
11.t e t f 2)(=的拉普拉斯变换是__________________。
12.t t f =)(的拉普拉斯变换是________________ 13.t te t f -=)(的拉普拉斯变换是____________________。
14.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是_____________。
15.at t f sin )(=的拉普拉斯变换是_________________。
16.t t t f cos sin )(=的拉普拉斯变换是___________________。
17.)(2)(t t f δ=的拉普拉斯变换是_______________ 18.)1()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________。
第十五章 拉普拉斯变换典型习题解答与提示.
第十五章 拉普拉斯变换典型习题解答与提示习 题 15-11．（1）提示：2()f t t =， ￡20[()]()ptpt f t f t edt t e dt +∞+∞--==⎰⎰，求广义积分后可得￡32[()]f t p =，(0)p >； （2）提示：4()tf t e -=，￡40[()]()pt t pt f t f t e dt e e dt +∞+∞---==⎰⎰，￡1[()](4)4f t p p =>-+； （3）因302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩，则￡242[()]()3(1)ptptpt f t f t edt edt e dt +∞---==+-⎰⎰⎰24024,(0)31,(0)pt pt p e e p p p --=⎧⎪=⎨-+≠⎪⎩4234,(0)4,(0)p pe e p pp --⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩； （4）因()tf t te -=， 则￡2(1)(1)0001[()]()1ptp tp t f t f t edt tedt td e p +∞+∞--+-+⎛⎫===- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰ (1)(1)0111p t p t te e dt p p +∞+∞-+-+=-+++⎰ (1)21(1)(1)p tep p +∞-+=->-+21(1)(1)p p =>-+。
2．（1）￡231[()](263)(0)f t p p p p=+->； （2）￡2262[()](0)41pf t p p p =->++； （3）因()1tf t te =+，则￡[()]f t =￡(1)+￡()tte1(1)[p=+-￡()]t e ' （微分性） 222111(1)(1)(1)p p p p p p p -+=+=>--； （4）因3()sin 4tf t e t =，又因￡24(sin 4)()16t F p p ==+，则由位移性知￡24[()](3)(3)(3)16f t F p p p =-=>-+； （5）方法一 因22()tf t t e-=，又￡232[]()(0)t F p p p ==>，则由位移性知 ￡32[()](2)(2)(2)f t F p p p =+=>-+； 方法二 因￡21(),(2)2tep p -=>-+，则由微分性知 ￡2312[()](1)(2)2(2)f t p p p ''⎛⎫=-=>- ⎪++⎝⎭； （6）因21()sin (1cos 2)2f t t t ==-，则￡1[()][2f t =￡(1)-￡22112(cos 2)](0)24(4)p t p p p p p ⎛⎫=-=> ⎪++⎝⎭； （7）因1()sin 2cos 2sin 42f t t t t ==， 则￡1[()]2f t =￡22142(sin 4)(0)21616t p p p =⨯=>++；（8）因()sin()sin cos cos sin f t t t t ωϕωϕωϕ=+=+， 则￡[()]cos f t ϕ=￡(sin )sin t ωϕ+￡2222cos sin (cos )p t p p ωϕϕωωω=+++22cos sin (0)p p p ωϕϕω+=>+； （9）因11()(21)222f t t t t μμμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则由延滞性知￡121[()](0)p f t ep p-=>； （10）因3()sin 2tf t tet -=，又￡22(sin 2)(0)4t p p =>+， 则由位移性知￡322(sin 2)(3)(3)4t e t p p -=>-++，故再由微分性知 ￡22224(3)[()](3)(3)4[(3)4]p f t p p p '⎡⎤+=-=>-⎢⎥++++⎣⎦； （11）因4()cos 24tf t et π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因￡cos 242t π⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦￡222(cos 2sin 2)244p t t p p ⎫-=-⎪++⎝⎭2224p p -=+，则由位移性知￡22[()](4)2(4)4p f t p p +=⨯>-++。
第五章 拉普拉氏变换
第五章 拉普拉氏变换习题参考答案5.1 求下列信号的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。
（1）(1)u t + （2）22(e e )()t t u t -+ （3）(1)()t u t - （4）(1e )()t t u t -+ 解：（1）1(1):Re[]0S u t e ROC S S+↔> （2）2211(e e)():Re[]222ttu t ROC S S S -+↔+>-+（3）()()()()22R 1111 :e[]0St u t tu t u t ROC S S S S↔--=--=> (4)()()()()2111R 1(1) :e[]tt teu t u t te u t S S ROC S --+=+↔+-+>5.2求下列函数的单边拉普拉斯变换。
（1）0sin (1)(1)t U t ω-- （2）212e ett---+（3）2()e t t δ-- （4）3sin 2cos t t + （5）2e tt -（6）e sin(2)t t -解：（1）[]0022sin (1)(1)st U t e S ωωω---↔+ （2）()()()212112e e12t tSS S ---+↔-+++ （3）12()e21tt S δ--↔-+ （4）22232323sin 2cos 111S St t S S S ++↔+=+++ （5）221e(2)tt S -↔+（6）22e sin(2)(2)4tt S -↔++ 5.3 利用常用函数（如(),e (),sin()(),cos()()at u t u t t u t t u t ββ-等）的象函数及拉普拉斯变换的性质，求下列函数的拉普拉斯变换。
（1）[]e ()(2)t u t u t --- （2）[]sin()()sin (1)(1)t u t t u t ππ--- （3）(42)t δ- （4）sin(2)(2)44t u t ππ-- （5）0sin()tx dx π⎰ （6）22sin()()d t u t dtπ （7）22e ()t t u t - （8）e cos()()t t t u t αβ- 解：（1）[]222211e ()(2)(1e )111s ts e u t u t S S S -------↔-=-+++ （2）[]()()2221sin()()sin (1)(1)111SSt u t t u t e e SS ππππππ-----↔-=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）121(42)4S t e δ--↔（4）822sin(2)(2)444S t u t e S πππ---↔+ （5）()2222111sin()tS x dx S S S S ππππππ↔-+=++⎰（6）2223322222222sin()()d t S S u t S dt S S S ππππππππππ--↔-==-+++ （7）2232e ()(2)tt u t S -↔+（8）()()2222222()ecos()()(())tS dS S t t u t dsS αααβαββαβ-++++-↔-=++ 5.4一个冲激响应为()h t 的因果LTI 系统具有下列特性：（1）t -∞<<+∞时，系统的输出为21()()e 6ty t =。
拉普拉斯逆变换
21拉氏逆变换1、用留数方法求下列函数)(s F 的拉氏逆变换: (1) abs b a s ss F ++-=)()(2; 【解】 由于b s a s ==,是sts F e )(的一级极点, 且有ba a a sb a s s a s F atst st-==+-=e )(2e ],e )(Res[;ba b b s b a s s b s F btst st--==+-=e )(2e ],e )(Res[,故有)]([)(1s F t f -=L],e )(Res[],e )(Res[b s F a s F st st +=ab b a a b b b a a btat bt at --=---=e e e e . …………………………………………………………………………………………………………… (2) )9)(4()(22++=s s ss F ; 【解】 由于i s i s 3,2±=±=是sts F e )(的一级极点, 由Heaviside 展开式, 有)]([)(1s F t f -=Lis s s s i s s s s stst 2264e 2264e 33-=++=+=i s ss s i s s s s stst 3264e 3264e 33-=++=++)3cos 2(cos 51t t -=. ……………………………………………………………………………………………………………(3) 22)1(12)(+-+=s s s s s F ; 【解】 由于0=s 是st s F e )(的一级极点, 1-=s 是sts F e )(的二级极点, 且有1)1(12lim ]0,e )(Res[220-=+-+=→s s s s s s F s st; t t s st t s s s s s s F ---→+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=-e 2e 2)1(12)1(lim 1],e )(Res[2221, 故有)]([)(1s F t f -=L1e 2e 2-+=--t t t . (4)22)4(1)(s s s F -=.【解】 由于2±=s 是sts F e )(的一级极点, 0=s 是sts F e )(的二级极点, 且有16e )4(e )2(lim ]2,e )(Res[2222tst s sts s s s F =--=→; 16e )4(e )2(lim ]2,e )(Res[2222tst s sts s s s F --→-=-+=-; 4)4(e lim ]0,e )(Res[2220ts s s s F sts st -='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→, 故有)]([)(1s F t f -=L42sh 81tt -=.……………………………………………………………………………………………………………2、利用拉氏变换的性质求下列函数的拉氏逆变换: (1) 221)(a s s F -=;【解】 因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=-=a s a s a a s s F 11211)(22, 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==--a s a s a s F t f 1121)]([)(11LL⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--a s a a s a 1211211 1 L L ()at at a--=e e 21. ……………………………………………………………………………………………………………(2) 22e 1)(ss F s-+=; 【解】 由于sss s F 222e 11)(-+=, 且有2e 1 ,]1[22121-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---t s t ss L L, 所以22)]([)(1-==-t s F t f L .……………………………………………………………………………………………………………(3) 222e )(as s s F s+=-; 【解】 由于at as scos ][221=+-L,故利用延迟性质, 有)2(cos )]([)(1-==-t a s F t f L.……………………………………………………………………………………………………………(4) 221ln )(ss s F -=. 【解】 由于)1(21ln )(222-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='s s s s s F , 故有2e e )]([1-+='--t t s F L.根据微分性质, 有=-)(t tf 2e e )]([1-+='--t t s F L,因此, 有tt t s F t f tt ----==e e 2)]([)(1L. ……………………………………………………………………………………………………………。
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1. 求下列函数的拉式变换。
2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。
3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。
4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。
5.
如图1所示电路，0=t
以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求()t v r 并讨
论R 对波形的影响。
6.
电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从”
“1倒向”“2，求电流()t i 的表示式。
7. 电路如图3所示，0=t
以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示式和波形。
8.
激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得表示式和波形。
9.
电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求
（1） 系统函数()()
()
s V s V s H 13=； （2）
若2=K
，求冲激响应。
10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到()()()()()∑∞
=-=
=0
,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求：
（1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ；
（2）
若()()t u e
t f t
α-=，求()[]t f s L 。
11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。
（1） 写出电压转移函数()()
()
s E s V s H 2=
； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3）
求冲激响应、阶跃响应。
12. 如图7所示电路，
（1） 若初始无储能，信号源为()t i ，为求()t i 1（零状态响应），列出转移函数()s H ； （2）
若初始状态以()01i ，()02v 表示（都不等于0），但()0=t i （开路），求()t i 1（零输入
响应）。
13. 已知网络函数的零、极点分布如图8所示，此外()5=∞H ，写出网络函数表示式()s H 。
14. 已知网络函数()s H 的极点位于3-=s 处，零点在α-=s ，且()1=∞H 。
此网络的阶跃响应
中，包含一项为t
e
K 31-。
若α从0变到5，讨论相应的1K 如何随之改变。
15. 如图9反馈系统，回答下列各问：
（1） 写出()()
()
s V s V s H 12=
； （2） K 满足什么条件时系统稳定？
（3）
在临界稳定条件下，求系统冲激响应()t h 。
16. 已知信号表示式为
式中0>α，试求()t f 的双边拉氏变换，给出收敛域。