《完全平方公式》(第1课时)示范公开课教学PPT课件【部编北师大版七年级数学下册】
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1.6完全平方公式(第一课时)课件
首尾两项是这两项的平方和
右边：三项式
中间项是加上这两项的积的两倍
你能用字母表示吗？
(a+b) 2= a2+2ab+b2
(a+b) 2=a2+2ab+b2
语言叙述： 两项和的平方，等于这两项的平方和，
再加上这两项积的2倍.
活动探究一
你能用图1-7解释这一公式吗？
(a+b) 2=a2+2ab+b2
b ab b²
七年级下学期北师大版
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式（第1课时）
实验初中 贾莲香
温故知新
1.多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以另一个
多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n) = am +an +bm +bn
活动探究一
1.先计算，再观察下列算式及其运算结果， 你有什么发现？
(4) (x+y)2 =x2 ++2 xy +y2 错
2. 指出下列各式ຫໍສະໝຸດ 的错误，并加以改正：(1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; =(2a)2－2×2a×1+12
(2) (2a+1)2=＝44aa22－+41a；+1 =(2a)2+2×2a×1+12 =4a2+4a+1
(3) (a−1)2＝a2−2a−1.
2.注意：项数、符号、字母及其指数；
注意：1.项数：积的项数为三；
2.符号：特别是(a-b)2= a2 - 2ab+b2；
3.字母：不要漏写；
作业
1. 教材26页习题1.11 第1、2题
右边：三项式
中间项是加上这两项的积的两倍
你能用字母表示吗？
(a+b) 2= a2+2ab+b2
(a+b) 2=a2+2ab+b2
语言叙述： 两项和的平方，等于这两项的平方和，
再加上这两项积的2倍.
活动探究一
你能用图1-7解释这一公式吗？
(a+b) 2=a2+2ab+b2
b ab b²
七年级下学期北师大版
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式（第1课时）
实验初中 贾莲香
温故知新
1.多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以另一个
多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n) = am +an +bm +bn
活动探究一
1.先计算，再观察下列算式及其运算结果， 你有什么发现？
(4) (x+y)2 =x2 ++2 xy +y2 错
2. 指出下列各式ຫໍສະໝຸດ 的错误，并加以改正：(1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; =(2a)2－2×2a×1+12
(2) (2a+1)2=＝44aa22－+41a；+1 =(2a)2+2×2a×1+12 =4a2+4a+1
(3) (a−1)2＝a2−2a−1.
2.注意：项数、符号、字母及其指数；
注意：1.项数：积的项数为三；
2.符号：特别是(a-b)2= a2 - 2ab+b2；
3.字母：不要漏写；
作业
1. 教材26页习题1.11 第1、2题
1.6完全平方公式课件数学北师大版七年级下册
=
2
30 +2×30× +
2
=
感悟新知
知1－练
2-1. 运用完全平方公式进行简便计算：
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋ 4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2 ＝10 000－40＋ 0.04＝9 960.04；
感悟新知
知1－练
阴影部分面积的关系，可以验证的乘法公式是
②
_______.(填序号)
①(a+b)(a－b)=a2－b2；
② (a－b )2 = a2－2ab+b2；
③(a+b)2=a2+2ab+b2；
④(a+b)2=(a－b)2+4ab.
感悟新知
知识点 3 利用乘法公式进行整式的混合运算
知3－讲
1. 当两个三项式相乘时，先利用添括号使原式变成符合乘
感悟新知
知1－练
1-2. 计算：
(1)(2y－1)2；
解：原式＝4y2－4y＋1；
(2)(3a+2b)2；
原式＝9a2＋12ab＋4b2；
(3)(－x+2y)2；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知1－练
例2 计算：(1)9992；(2) 2.
=－(4x2+12xy+9y2)
若两项都相同或都相反，
=－4x2－12xy－9y2.
则用完全平方公式计算.
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·怀化] 下列计算正确的是( C )
2
30 +2×30× +
2
=
感悟新知
知1－练
2-1. 运用完全平方公式进行简便计算：
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋ 4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2 ＝10 000－40＋ 0.04＝9 960.04；
感悟新知
知1－练
阴影部分面积的关系，可以验证的乘法公式是
②
_______.(填序号)
①(a+b)(a－b)=a2－b2；
② (a－b )2 = a2－2ab+b2；
③(a+b)2=a2+2ab+b2；
④(a+b)2=(a－b)2+4ab.
感悟新知
知识点 3 利用乘法公式进行整式的混合运算
知3－讲
1. 当两个三项式相乘时，先利用添括号使原式变成符合乘
感悟新知
知1－练
1-2. 计算：
(1)(2y－1)2；
解：原式＝4y2－4y＋1；
(2)(3a+2b)2；
原式＝9a2＋12ab＋4b2；
(3)(－x+2y)2；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知1－练
例2 计算：(1)9992；(2) 2.
=－(4x2+12xy+9y2)
若两项都相同或都相反，
=－4x2－12xy－9y2.
则用完全平方公式计算.
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·怀化] 下列计算正确的是( C )
北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式1》公开课课件
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b)=a2+ab+ ab+b2
=a2+2ab+b2;
利用两数和的
(a−b)2= [a+(−b)]2
完全平方公式 推证公式
何 解
左边是 二项式 (两数和(差)) 的平方; 释: a a2 ab
右边是 两数的平方和 加上(减去) 这两数乘积的两倍.
a
b
(a−b)2 = a2−2ab+b2
a−b
b
语言表述: 两数和(差) 的平方
等于
用自己的语 言叙述上面
的公式
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
这两数的平方和
b
ab
加(a上−b)(2减=去a2) −这ab两−数b(a乘−b积) 的= 两a2−倍2a.b+b2 .
P34---35 读一读.
纠 错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1;
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
北师大版数学七年级下册《完全平方公式(第一课时)》课件
探索推广题
如图的三角形可解释(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角
形称为“杨辉三角”.
其中(a＋b)0＝1， (a＋b)1＝a＋b， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， 根据“杨辉三角”计算(a＋b)4.
解：原式＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
ZYT
探究新知
问题1 (a-b)2=?你是怎么做的呢？
方法一：(a-b)2
方法二：(a-b)2
=(a-b)(a-b)
=[a+(-b)][a+(-b)]
=a2-2ab+b2
=a2+2a(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2 问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a-b)2= a2-2ab+b2 .
为另一组”.
ZYT
典例精析
例3 已知x-y＝6，xy=-8.求: (1) x2+y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)因为x-y＝6，xy=-8， (x-y)2＝x2+y2-2xy，
所以x2+y2＝(x-y)2+2xy ＝36-16＝20；
(2)因为x2+y2＝20，xy=-8，
所以(x+y)2＝x2+y2+2xy ＝20-16＝4.
小结：本题要熟练掌握完 全平方公式的变式： x2＋y2＝(x－y)2＋2xy ＝(x+y)2－2xy, (x－y)2＝(x+y)2－4xy.
ZYT
巩固练习
（1）已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=__5_2__
北师大版七年级下 1.6完全平方公式 (第1课时) 教学课件
理由：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2 (a-b)2=a2-b2不一定相等. 只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.
知识讲解
判一判：在下列多项式的乘法中，能用完全平方公式计
=4x2 －12x +9；
(2)(4x+5y)2=(4x)2+2 • 4x•5y+(5y)2 =16x2+40xy+25y2;
(3)(mn-a)2 = (mn)2-2mna+a2 =m2n2-2amn+a2
知识讲解
思考? (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
想一想：这些计算结果有什么规律和特点？
新课导入
根据你发现的规律，计算下列式子： （a+b)2= a2+2ab+b2 ；（a-b)2= a2-2ab+b2 . 证明：
知识讲解
一、完全平方公式:
（a+b)2= a2+2ab+b2 ， （a-b)2= a2-2ab+b2 .
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方 和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫 做（乘法的）完全平方公式.
第 一章 整式的乘除
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
第1课时
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结 构特点;（重点） 2.会运用公式进行简单的运算.(难点)
复习旧知
知识讲解
判一判：在下列多项式的乘法中，能用完全平方公式计
=4x2 －12x +9；
(2)(4x+5y)2=(4x)2+2 • 4x•5y+(5y)2 =16x2+40xy+25y2;
(3)(mn-a)2 = (mn)2-2mna+a2 =m2n2-2amn+a2
知识讲解
思考? (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
想一想：这些计算结果有什么规律和特点？
新课导入
根据你发现的规律，计算下列式子： （a+b)2= a2+2ab+b2 ；（a-b)2= a2-2ab+b2 . 证明：
知识讲解
一、完全平方公式:
（a+b)2= a2+2ab+b2 ， （a-b)2= a2-2ab+b2 .
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方 和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫 做（乘法的）完全平方公式.
第 一章 整式的乘除
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
第1课时
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结 构特点;（重点） 2.会运用公式进行简单的运算.(难点)
复习旧知
初中数学《完全平方公式_公开课课件-ppt【北师大版】1
初中数学 《完全 平方公 式》ppt 北师大 版1-精 品课件 ppt(实 用版)
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本节课你的收获是什么？ 注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同． 完全平方公式的结果 是三项， 结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
（1） 1012 （2）（49 4）2
5
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计算: 1.(a+b+c)2 2.(x+2y-3)(x+2y+3)
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(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (2) (a-b)2与(b-a)2相等吗? (3) (a-b)2与a2-b2相等吗?
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=10000+400+9=10 409
(2) 1992 =(200-1)2 =2002-2200+12 =40000400+1=39601
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初中数学 《完全 平方公 式》ppt 北师大 版1-精 品课件 ppt(实 用版)
(4)(a b)2 (-2ab) a2 b2
下列计算是否正确？如不正确，应怎样改正？
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本节课你的收获是什么？ 注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同． 完全平方公式的结果 是三项， 结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
（1） 1012 （2）（49 4）2
5
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计算: 1.(a+b+c)2 2.(x+2y-3)(x+2y+3)
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(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (2) (a-b)2与(b-a)2相等吗? (3) (a-b)2与a2-b2相等吗?
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=10000+400+9=10 409
(2) 1992 =(200-1)2 =2002-2200+12 =40000400+1=39601
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(4)(a b)2 (-2ab) a2 b2
下列计算是否正确？如不正确，应怎样改正？
北师大数学七下课件课题：完全平方公式课件
• 导学：对问题1，同学们在着手求解时，思考数a= ,数b= ，然后代入 公式计算；对问题2，在填空时，要结合公式的数形特征，在理解的基础 上，正确填写。 设计的理由：依据应用迁移原理和重在基础的目的，设计了问题1；为加 深学生应用公式时对两数a、b及整个公式的结构特征的理解，设计了问 题2。力求学生在运用中，小中见大，粗中见细，细中见巧，深刻理解完 全平方公式。
• 设计的理由：根据由特殊到一般的认识规律，设计问题1、2；根据培养学生的逻辑推理能力，设计了 问题3,使学生在提升思维的过程中，经历由感性认识上升到理性认识的过程，实现思维认识的飞跃。
注重“数 形”体会
• • • •
三、合作探究 1、计算下列各题： 1 2 （1）（3m+n） （2）（x- 2 ）2 注意：在此处引导学生结合公式的“数形”来理解 题目中的“数形”，体会运用公式的关键处。 • 2、填空：（1）x2+4+ =（ ）2 • （2）4x2+9y2+ =（ ）2
• 六、作业与反思：略
• 设计的理由：针对学生在学习中的易错之 处，让学生反思；针对学生在学习中的疑 难点，让学生反思；针对学生在学习中的 好经验、好想法，让学生反思；针对教师 在教学中的不足，教师自己反思。
教学流程： 一、复习导入 1、回顾平方差公式，多项式的乘法法则。 2、运用平方差公式解题的关键之处是什么？ 3、运用多项式乘法法则，计算下列各题。同学们从 “数”、“形”上发现什么规律？ （1）（a+2）2；（2）（a+4）2 设计的理由：根据知识的相互联系和问题驱原则，在此 处设计了三个问题。力求学生运用已熟悉的知识和已积 累的知识经验，解决新问题，总结新规律1 1、计算：（1）（ x-2y）2 （2）、（2x+ y）2 2 5 2、总结： （1）本节课学习的知识及学习收获。 （2）运用公式步骤，关键注意的事项。 导学：总结学习收获，一可总结探究知识方面的收获；二可总结运用知 识方面的收获；三可总结思维技巧方面的收获；四可总结思维创新的收 获。 设计的理由：在此处设计基础题是进一步强化基础训练，做到熟能生巧， 在此处设计了总结的两个问题，目的是促进学生自然地形成知识结构， 积累经验，提高自主总结能力，凸显学生学习过程中的“主体”地位。
• 设计的理由：根据由特殊到一般的认识规律，设计问题1、2；根据培养学生的逻辑推理能力，设计了 问题3,使学生在提升思维的过程中，经历由感性认识上升到理性认识的过程，实现思维认识的飞跃。
注重“数 形”体会
• • • •
三、合作探究 1、计算下列各题： 1 2 （1）（3m+n） （2）（x- 2 ）2 注意：在此处引导学生结合公式的“数形”来理解 题目中的“数形”，体会运用公式的关键处。 • 2、填空：（1）x2+4+ =（ ）2 • （2）4x2+9y2+ =（ ）2
• 六、作业与反思：略
• 设计的理由：针对学生在学习中的易错之 处，让学生反思；针对学生在学习中的疑 难点，让学生反思；针对学生在学习中的 好经验、好想法，让学生反思；针对教师 在教学中的不足，教师自己反思。
教学流程： 一、复习导入 1、回顾平方差公式，多项式的乘法法则。 2、运用平方差公式解题的关键之处是什么？ 3、运用多项式乘法法则，计算下列各题。同学们从 “数”、“形”上发现什么规律？ （1）（a+2）2；（2）（a+4）2 设计的理由：根据知识的相互联系和问题驱原则，在此 处设计了三个问题。力求学生运用已熟悉的知识和已积 累的知识经验，解决新问题，总结新规律1 1、计算：（1）（ x-2y）2 （2）、（2x+ y）2 2 5 2、总结： （1）本节课学习的知识及学习收获。 （2）运用公式步骤，关键注意的事项。 导学：总结学习收获，一可总结探究知识方面的收获；二可总结运用知 识方面的收获；三可总结思维技巧方面的收获；四可总结思维创新的收 获。 设计的理由：在此处设计基础题是进一步强化基础训练，做到熟能生巧， 在此处设计了总结的两个问题，目的是促进学生自然地形成知识结构， 积累经验，提高自主总结能力，凸显学生学习过程中的“主体”地位。
初中数学《完全平方公式》ppt北师大版1
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2； (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
解疑点拨
反馈训练
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( B )
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( B ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
▪
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
▪
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
反馈训练
3.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的 值为___±__4______ ．
4.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
1 3
x2－2x＋3.
小聪和小明的解答过程如下：
小聪:
小明:
×
×
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
课堂小结
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
完全平方
公式分解
因
式
特点
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写 成某数或式的平方，另一项则是这 两数或式的乘积的2倍，符号可正 可负. （3）等于这两个数的和或差的平 方.
=3a（x+y）2； (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
解疑点拨
反馈训练
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( B )
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( B ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
▪
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
▪
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
反馈训练
3.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的 值为___±__4______ ．
4.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
1 3
x2－2x＋3.
小聪和小明的解答过程如下：
小聪:
小明:
×
×
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
课堂小结
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
完全平方
公式分解
因
式
特点
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写 成某数或式的平方，另一项则是这 两数或式的乘积的2倍，符号可正 可负. （3）等于这两个数的和或差的平 方.
北师大版《完全平方公式》ppt课件PPT1
解：原式 (m 2n)2 2(m 2n)(m n) (m n)2
(m 2n) (m n)2
(2m n)2
例2：把下列多项式分解因式
⑴ 3ax2+6axy+3ay2 解：原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
通过解这三题， 你觉得分解因 式时应该注意
什么？
⑵ －x2-4y2+4xy
解:原式
找到完全平方式中的 “头”和“尾”，确 定中间项的符号。
(3)(m n)2 6(m n) 9
解：原式 (m n) 32
(m n 3)2
完全平方式中的“头” 和“尾”，可以是数 字、字母，也可以是 单项式或多项式。
(4)(m 2n)2 2(2n m)(m n) (m n)2
完全平方式中的“头”和“尾”，可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式。
用完全平方公式分解因式。 形如以上两个多项式的式子叫做完全平方式。
⑴ 3ax2+6axy+3ay2
完全平方式中的“头”和“尾”，可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式。
（3）因式分解要_________。
通过解这三题，你觉得分解因式时应该注意什么？
按照完全平方公式填空：
(1) a 10a ( 2 首平方、尾平方，首尾乘积二倍在中央
（2）因式分解通常先考虑______________方法。 （2）因式分解通常先考虑______________方法。 现在我们把完全平方公式反过来，可得：
25 ) (
a 5 )2
通过解这三题，你觉得分解因式时应该注意什么？
1 x2 (__2_x_y_) y2； 2 4a2 9b2 ______； 3 x2 _(__4_y_) 4 y2； 4 a2 (__a__b_) 1 b2；
(m 2n) (m n)2
(2m n)2
例2：把下列多项式分解因式
⑴ 3ax2+6axy+3ay2 解：原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
通过解这三题， 你觉得分解因 式时应该注意
什么？
⑵ －x2-4y2+4xy
解:原式
找到完全平方式中的 “头”和“尾”，确 定中间项的符号。
(3)(m n)2 6(m n) 9
解：原式 (m n) 32
(m n 3)2
完全平方式中的“头” 和“尾”，可以是数 字、字母，也可以是 单项式或多项式。
(4)(m 2n)2 2(2n m)(m n) (m n)2
完全平方式中的“头”和“尾”，可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式。
用完全平方公式分解因式。 形如以上两个多项式的式子叫做完全平方式。
⑴ 3ax2+6axy+3ay2
完全平方式中的“头”和“尾”，可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式。
（3）因式分解要_________。
通过解这三题，你觉得分解因式时应该注意什么？
按照完全平方公式填空：
(1) a 10a ( 2 首平方、尾平方，首尾乘积二倍在中央
（2）因式分解通常先考虑______________方法。 （2）因式分解通常先考虑______________方法。 现在我们把完全平方公式反过来，可得：
25 ) (
a 5 )2
通过解这三题，你觉得分解因式时应该注意什么？
1 x2 (__2_x_y_) y2； 2 4a2 9b2 ______； 3 x2 _(__4_y_) 4 y2； 4 a2 (__a__b_) 1 b2；
北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式》课件
课后完成训练题 并整理巩固
再见!
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
学习目标：
1.能准确推导出完全平方公式，并能运用
公式进行简单的计算，提高计算能力；
2.通过自主学习，小组合作，探究总结完
全平方公式的应用技巧；
3.激情参与，阳光展示，充分感知数学美，
提高学习数学的兴趣和热爱生活的情感。
预习反馈
小组
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组 第九组
我们知道的东西是有限的，我们不知
道的东西则是无穷的；我们每一点的成功
都在于最大的付出，但你付出了不一定马
上就有收获，但不付出就永远没有收获；
我们不能急于求成，滴水穿石，有毅力坚
持不懈这才是成功之道 。
——赠
同学们
超越梦想一起飞。超越梦想一起飞
超越梦想一起飞。超越梦想一起飞。
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加
本节课你学到了什么?
本节课你的收获是什么？
注意完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同．
(a b)2＝a2 2ab+b2;
结果不同：，
(a+b)(a−b)＝a2−b2.
再见!
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
学习目标：
1.能准确推导出完全平方公式，并能运用
公式进行简单的计算，提高计算能力；
2.通过自主学习，小组合作，探究总结完
全平方公式的应用技巧；
3.激情参与，阳光展示，充分感知数学美，
提高学习数学的兴趣和热爱生活的情感。
预习反馈
小组
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组 第九组
我们知道的东西是有限的，我们不知
道的东西则是无穷的；我们每一点的成功
都在于最大的付出，但你付出了不一定马
上就有收获，但不付出就永远没有收获；
我们不能急于求成，滴水穿石，有毅力坚
持不懈这才是成功之道 。
——赠
同学们
超越梦想一起飞。超越梦想一起飞
超越梦想一起飞。超越梦想一起飞。
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加
本节课你学到了什么?
本节课你的收获是什么？
注意完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同．
(a b)2＝a2 2ab+b2;
结果不同：，
(a+b)(a−b)＝a2−b2.
完全平方公式 课件 北师大版数学七年级下册
2．已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
C
3．若a+b=3，a完全平方公式？它有什么特征？ 2．你在应用过程中有什么感想？ 3．在应用完全平方公式时，应注意什么？举例说明．
(a±b)2=a2±2ab+b2
b
a
b
a
思考:你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗?
b a
a
b
图1
b a
b a 图2
范例解析 例 运用完全平方公式计算：
(1) (4m+n)2 解: (4m+n)2= (4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a +b)2= a2 + 2ab + b2 =16m2 + 8mn +n2
(2) (x-2y)2 解： (x-2y)2=x2 -2•x•2y +(2y)2
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
具有相同形式的多项式相乘,可以直接写出运算结果.
归纳新知
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方 和，加上(或减去)它们的积的2倍．
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
为什么？
拓展提高
计算(-a-b)2,结果正确的是
拓展提高
计算：(a-b+c)(a+b+c)
解：原式=[(a+c)-b][(a+c)+b] =(a+c)2-b2 =a2+2ac+c2-b2
北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式 》公开课课件
计算:
1. (1 x 2y)2 2
2. (2xy 1 x)2 5
3. (n1)2n2
小结：
作业：P3பைடு நூலகம்习题
完全平方公式(2)
成都市实验外国语学校 初中数学教研组
一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都 要拿出糖果招待他们，来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖， 来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，……
(2) (a+b+3)(a+b-3)
=[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2-32 =a2+2ab+b2-9
(3) (x+5)2-(x-2)(x-3)
=x2+10x+25-(x2-5x+6) =x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19
随堂练习：
计算： 1. 962 2. (a-b-3)(a-b+3)
小结：
作业：P38习题1.14
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年3月29日星期二2022/3/292022/3/292022/3/29 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年3月2022/3/292022/3/292022/3/293/29/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/3/292022/3/29March 29, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
计算：(-2x-3)2
(-2x-3)2 =[(-2x)+(-3)]2 (-2x-3)2 =[(-2x)-3)]2 (-2x-3)2 =[-(2x+3)]2= (2x+3)2
1.6第1课时完全平方公式的认识-北师大版七年级数学下册课件
归纳总结 完全平方公式： (a+b)2= a2+2ab+b2 . (a-b)2= a2-2ab+b2 .
口诀： 首平方， 尾平方， 首尾积的2倍放中央
例题讲授 例 运用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2；(2)(4x+5y)2；(3)(mn－a)2 . 解:(1) (2x－3)2= (2x)2 －2•(2x) •3 +32
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？ (a＋b)2= a2+2ab+b2 .
想一想
两数和的完全平方公：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
+ + a b2 a2 2ab b2
你能通过几何 图形说明完全 平方公式吗？
议一议 (a-b)2=?你是怎么做的呢？
方法一： (a-b)2 =(a-b)(a-b)
=a2-2ab+b2
方法二： (a-b)2 =[a+(-b)][a+(-b)]
=a2+2a(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2
(a-b)2= a2-2ab+b2 .
两数差的完全平方公式：
b ab
b2
a
(a+b)²
(a b)2 a2 ab ab b2
(a－b)² ab
a2 2ab b2
ab
( a－ b )2 = a2 － 2ab + b2 =4x2 －12x +9；
(2)(4x+5y)2 = (4x)2 +2·4x·5y+ (5y)2
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 = 16x2 +40xy+ 25y2 ；
《完全平方公式》课件
例题
例1 利用完全平方公式计算： （1）( 2 x - 3 ) 2 ； （2）( 4 x + 5 y )2 ； （3）( mn - a ) 2 ．
例题
解：（1）(2x-3)2 = (2x)2-2·2x·3+32=4x2-12x+9； （2）(4x+5y)2= (4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2&mn·a+a2=m2n2-2amn+a2．
初中数学北师大版七年级下册
第一章 整式的乘除 6 完全平方公式
导入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n)=am +an +bm +bn （x ＋ 3)( x＋3） =x2＋3x ＋3x ＋9 =x2 ＋6x ＋9
新课
视察下列算式及其运算结果，你有什么发现？ ( m + 3 )2= ( m + 3 ) ( m + 3 ) = m 2 + 3m + 3m + 9 = m 2 + 2×3m + 9 = m 2 + 6m + 9， ( 2 + 3 x ) 2 = ( 2 + 3x ) ( 2 +3 x ) = 22 + 2 ×3 x +2×3 x + 9 x2= 4 + 2×2×3 x + 9 x2 = 4 + 12 x + 9 x2 ．
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方 和，加上（或减去）它们的积的2倍.
新课 思考:
你能根据图1和图2中的面积说明完全平
方
公式吗?
b
b
a
a
初中数学《完全平方公式》教用课件北师大版1
2
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
(3)(a-b+c)(a+b-c)
(4)(2a+3b-1)(1-2a-3b)
=[_a_-_(_b_-_c_)_]_[_a_+_(_b-c)] =(2a_+__3_b_-_1_)[_-__(_2_a_+_3_b-1)]
（2）（2a＋b）2 =4a2＋4ab＋b2 （3）（y－2）2 =y2－4y＋4 （4）( x +2y-3) (x- 2y +3)
(5) (a + b +c ) 2
想一想 （4）（5）它们可以 直接用乘法公式来计算吗？
学习目标
1、利用去括号法则得到添括号法则， 培养我们的逆向思维能力。 2、利用添括号法则灵活运用乘法公式。 3、进一步熟悉乘法公式，体会公式中 字母的含义。
（3）2y-3y+2=-(-2y+3y-2） 错 （4）a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+-5) 错
合作探究 思考：怎样添括号才能够变成
乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
❖
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
(3)(a-b+c)(a+b-c)
(4)(2a+3b-1)(1-2a-3b)
=[_a_-_(_b_-_c_)_]_[_a_+_(_b-c)] =(2a_+__3_b_-_1_)[_-__(_2_a_+_3_b-1)]
（2）（2a＋b）2 =4a2＋4ab＋b2 （3）（y－2）2 =y2－4y＋4 （4）( x +2y-3) (x- 2y +3)
(5) (a + b +c ) 2
想一想 （4）（5）它们可以 直接用乘法公式来计算吗？
学习目标
1、利用去括号法则得到添括号法则， 培养我们的逆向思维能力。 2、利用添括号法则灵活运用乘法公式。 3、进一步熟悉乘法公式，体会公式中 字母的含义。
（3）2y-3y+2=-(-2y+3y-2） 错 （4）a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+-5) 错
合作探究 思考：怎样添括号才能够变成
乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
❖
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
北师大版数学七年级下册第1课时 完全平方公式的认识课件
如果将上述每个式子的各项系数排成下表， 那么你能发现什么规律？
1 11 121 1331
按照这个规律可以继续将这个表写下去：
1
杨辉三角
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
……
随堂演练
1. 计算.
（1）（ 1 x – 2y）2
2
（2）（2xy+ 1x）2
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜 春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
3. 已知 a + b = 10，ab = 21，求下列各式的值. (1) a2 + b2； (2) (a – b)2.
解 （1）a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 102 – 2×21 = 100 – 42 = 58. （2）(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = 58 – 2×21 = 16.
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场 面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层 叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷 叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。 它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
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=4x2-12x+9
=16x2-40xy+25y2
（3）(mn−a)2 =(mn)2-2mna+a2 =m2n2-2mna+a2
典型例题
例2．运用完全平方公式计算：
（1）（4m n）2 ；
（2）（y
1 2
）2．
分析：使用完全平方公式与平方差公式的使用一样，先把要计算
的式子与完全平方公式对照，明确哪个是a，哪个是b．
（1） ( x 6)2 ( x )2 2 6 x ( 6 )2
（2） (2m n)2 ( 2m )2 ( 2 2m n) n2
探究新知
几何解析：你能根据图1和图2的面积说明完全平方公式吗？
探究新知
图1大正方形的边长为(a＋b)，面积就是（a b），2 同时，大正方形 可以分成图中①②③④四个部分，它们的面积分别为 b2，ab，ab，a2 ， 因此，整个面积为 a2 ab ab b2 a2 2ab b2 ，即说 明（a b）2 a2 2ab ．b2
北师大版·统编教材七年级数学下册
第一章整式的乘除
1.6 完全平方公式
学习目标
1.掌握完全平方公式，能利用完全平方公式进行运算； 2.理解公式的推导过程，了解公式的几何背景．
复习巩固
你能列出下列代数式吗？
（1）两数和的平方；（a b）2 （2）两数差的平方； （a b）2
你能计算出他们的结果吗？
（a b）2 （a b）（a b） a2 2ab b2 （a b）2 （a b）（a b） a2 2ab b2 （3）根据乘方的定义，我们知道：a2 a a，那么（a b）2 应该写 成什么样的形式呢？（a b）2的运算结果有什么规律？
探究新知
（1）计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
； -4c2)2
随堂练习
3.利用完全平方公式计算： (1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2． 解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2．
① （p 1）2 （p 1）（p 1） _p_2___2_p___1 ② （m 2）2 __m__2___4_m___4___ ③ （p 1）2 （p 1）（p 1） _p_2___2_p___1
④ （m 2）2 __m__2___4_m___4____
结果中都有两个数的平方和，而①②中间项2p＝2·p·1，4m＝2·m·2， 恰好是两个数乘积的2倍；
分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确 定m的值． 解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61．
典型例题
例4.（1）下列等式能成立的是( C )．
A．(a-b)2＝a2-ab+b2
（1）中可把4m看成a，n看成b；
（2）中可把y看成a， 看成b．
典型例题
解：（1）（4m n）2 （4m）2 2（ 4m） n n2 16m2 8mn n2
（2）（y 1）2 2
y2 2 y 1 （1）2 22
y2 y 1 4
典型例题
例3.如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
随堂练习
1.（1）计算 (a b)2 (a b)2 ，其结果为（ A）
A． 4ab
B． 2ab
C. 2a2
D． 2b2
（2）如果 x2 2ax 1是完全平方公式，则a的值为（C ）
A．1
B．1
C． 1
D．0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
随堂练习
（3） a2b4 2ab2 1 等于（ A ）
A．(ab2 1)2
B．(ab2 1)2
类似地可由图2说明（a b）2 a2 2ab ．b2
典型例题
例1．用完全平方公式计算： (1) (2x−3)2 ； (2) (4x－5y)2 ；
(3) (mn−a)2
分析：找准与公式中a，b对应因式，代入公式计算．
解：
（1）(2x−3)2
（2）(4x－5y)2
= (2x)2-2(2x)(3)+ (-3)2 =(4x)2-2(4x)(5y)+ (5y)2
C． (a2b2 1)2
D．(a2b 1)2
（4） 2xy x2 y2 等于（ D ）
A． (x y)2
B． (x y)2
C． (x y)2
D． (x y)2
随堂练习
2.（1）(3x+2y)2-(3x-2y)2＝ 24xy ； （2）(3a2-2a+1)(3a2+2a+1)＝ 9a4+2a2+1 （3）( 9a4 )-24a2c2+( 16c4 )＝( 3a2
A )＝
25x2 5xy 1 y2 成立．
A．5x 1 y 2
4
B．5x
1 2
y
C．5x 1 y D．5x 1 y
2
2
（4）(5x2-4y2)(-5x2+4y2)运算的结果是( B )．
A．-25x4-16y4
B．-25x4+40x2y2-16y2
C．25x4-16y4
D．25x4-40x2y2+16y2
①与③，②与④中间项符号相反．
探究新知
； （2）推广计算： （a b）2 _____________ （a b）2 _____________
得到结果：
（a b）2 （a b）（a b） a2 ab ab b2 a2 2ab b2 （a b）2 （a b）（a b） a2 ab ab b2 a2 2ab b2
（a b）2 a2 2ab b2 （a b）2 a2 2ab b2
即：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加 上（或减去）它们的积的2倍．
探究新知
（3）进一步挖掘公式的结构特征 ①公式左边是一个二项式的完全平方． ②公式的右边是一个二次三项式，分别是二项式中每一项的平方及 两项乘积的2倍（首平方，尾平方，乘积的两倍放中央，中间符号同前 方）．
B．(a+3b)2＝a2+9b2
C．(a+b)2＝a2+2ab+b2
D．(x+9)(x-9)＝x2-9
（2）(a+3b)2-(3a+b)2计算的结果是( C )．
A．8(a-b)2
B．8(a+b)2
C．8b2-8a2
D．8a2-8b2
典型例题
（3）在括号内选入适当的代数式使等式
5x
1 2
y
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