等腰三角形的判定定理(解析版)

考点04 等腰三角形的判定定理1.（2020·浙江·中考模拟）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A.1，1，2B.1，1，3C.2，2，1D.2，2，5【答案】C【解析】根据三角形的三边关系对以下选项进行一一分析、判断．2.（2020·甘肃·期中试卷）△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定【答案】B【解析】根据AB=AC可得∠B=∠C，结合∠A=∠C即可判断出△ABC的形状．3.（2020·广西期末试卷）下列三角形中，是正三角形的为（）①有一个角是60∘的等腰三角形；①有两个角是60∘的三角形；①底边与腰相等的等腰三角形；①三边相等的三角形．A.①①B.①①C.①①D.①①①①【答案】D【解析】等边三角形的判定定理有①三个都相等的三角形是等边三角形，①有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形，①三边都相等的三角形是等边三角形，根据以上定理判断即可．4.（2020·浙江·月考试卷）等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（）A.有一个内角是60∘B.有一个外角是120∘C.有两个角相等D.腰与底边相等【答案】C【解析】(1)由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．(2)判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．(3)判定定理2：有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形．5.（2020·山西·月考试卷）下列命题不正确的是（）A.等腰三角形的底角不能是钝角B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30∘的直角三角形可以拼成一个等边三角形【答案】B【解析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．6.（2020·陕西·中考模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36∘，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（）A.8个B.7个C.6个D.5个【答案】A【解析】根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝72∘，根据角平分线求出∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB ＝36∘，根据三角形内角和定理求出∠BDC、∠BEC、∠EOB、∠DOC，根据等腰三角形的判定推出即可．7.（2020·四川·期末试卷）如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是()A.△ABD≅△ACDB.∠B=∠CC.△ABC是等腰三角形D.△ABC是等边三角形【答案】D【解析】根据垂直的定义可得∠ADB=∠ADC=90∘，根据线段中点的定义可得BD=CD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，全等三角形对应边相等可得AB=AC，然后选择答案即可．BC长为半径作8.（2020·河北·中考复习）如图，在△ABC中，按下列步骤作图，分别以B、C为圆心，大于12弧，弧线两两交于M、N两点，作直线MN，与边AC、BC分别交于D、E两点，连接BD、AE，若∠BAC=90∘，在下列说法中：①E为△ABC外接圆的圆心；①图中有4个等腰三角形；①△ABE是等边三角形；①当∠C=30∘时，BD垂直且平分AE．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B9.（2020·四川·期中试卷）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48∘，则该等腰三角形的底角的度数为________．【答案】69∘或21∘【解析】分两种情况讨论：①若∠A<90∘；①若∠A>90∘；先求出顶角∠BAC，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数．10.（2020·浙江·期末试卷）若△ABC的三边a，b，c满足(a−b)(b−c)(c−a)=0，那么△ABC的形状是________．【答案】等腰三角形【解析】根据(a−b)(b−c)(c−a)=0，可得a=b或b=c或c=a，从而可判断△ABC的形状．11.（2020·内蒙古·月考试卷）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于25∘，则顶角的度数为________．【答案】65∘或115∘【解析】(1)首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．(2)要分两种情况推论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在三角形的外部，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；当等腰三角形的顶角是锐角时，根据直角三角形的两个锐角互余，求得底角，再根据三角形的内角和是180∘，得顶角的度数．12.（2020·广东·期中试卷）已知△ABC的三边长为a，b，c，若(a−b)2+|b−c|＝0，则此三角形是________三角形．【答案】等边【解析】根据非负数的性质列式求出a＝b＝c，然后判断出三角形是等边三角形．13.（2020·四川·单元测试）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50∘，则∠B=________．【答案】65∘【解析】根据等腰三角形性质即可直接得出答案．14.（2020·山西·期末试卷）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE // BC，分别交AB、AC于点D、E，若AB＝6，AC＝5，则△ADE的周长是________．【答案】11【解析】由在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE // BC，易证得△BOD与△COE是等腰三角形，继而可得△ADE的周长等于AB+AC．15.（2020·云南·月考试卷）从①∠B=∠C；①∠BAD=∠CDA；①AB=DC；①BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：________(只填序号)，求证：△AED是等腰三角形.【解析】首先选择条件证得△BAD≅△CDA，再利用全等三角形的性质得出∠ADB=∠DAC，即得出∠ADE=∠DAE，利用等腰三角形的判定定理可得结论．【解答】证明：选择的条件是：①∠B=∠C①∠BAD=∠CDA（或①①，①①，①①）；证明：在△BAD和△CDA中，① {∠B=∠C,∠BAD=∠CDA, AD=DA,① △BAD≅△CDA(AAS)，① ∠ADB=∠DAC，即在△AED中∠ADE=∠DAE，① AE=DE，△AED为等腰三角形．16.（2020·河北·期末试卷）如图，已知：AD平分∠CAE，AD // BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．【解析】（1）根据角平分线的定义可得∠EAD＝∠CAD，再根据平行线的性质可得∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，然后求出∠B＝∠C，再根据等角对等边即可得证．（2）根据角平分线的定义可得∠EAD＝∠CAD＝60∘，再根据平行线的性质可得∠EAD＝∠B＝60∘，∠CAD＝∠C＝60∘，然后求出∠B＝∠C＝60∘，即可证得△ABC是等边三角形．【解答】证明：① AD平分∠CAE，① ∠EAD＝∠CAD，① AD // BC，① ∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，① ∠B＝∠C，① AB＝AC．故△ABC是等腰三角形．当∠CAE＝120∘时△ABC是等边三角形．① ∠CAE＝120∘，AD平分∠CAE，① ∠EAD＝∠CAD＝60∘，① AD // BC，① ∠EAD＝∠B＝60∘，∠CAD＝∠C＝60∘，① ∠B＝∠C＝60∘，① △ABC是等边三角形．17.（2020·山东·期中试卷）如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．【解析】要证明△ABC是等腰三角形，只需要证明∠ABC=∠ACB即可，根据题目中的条件可以证明这两个角相等，本题得以解决．【解答】证明：① 锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，① ∠OEB=∠ODC=90∘，∠EOB=∠DOC，① ∠EBO=∠DCO，又① OB=OC，① ∠OBC=∠OCB，① ∠ABC=∠ACB，① AB=AC，① △ABC是等腰三角形．18.（2020·江西·月考试卷）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA的延长线于点F.(1)试判断△ADF的形状，并说明理由；(2)若AF=BE=2,∠F=30∘，求△ABC的周长.【答案】解：(1)△ADF是等腰三角形，理由如下：∴AB=AC，∴∠B=∠C．① FE⊥BC，∴∠F+∠C=90∘，∠BDE+∠B=90∘，∴∠F=∠BDE，又∠BDE=∠FDA，∴∠F=∠FDA，① AF=AD，即△ADF是等腰三角形．(2)① DE⊥BC,，∴∠C=90∘−∠F=60∘．又AB=AC，① △ABC是等边三角形．① △ADF是等腰三角形，① AD=AF=2．在Rt△BDE中，∠BDE=90∘−∠B=30∘，∴BD=2BE=4．∴AB=BD+AD=6．△ABC的周长=3AB=18．19.（2020·江苏·期中试卷）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，AE=BE，D为EC中点．（1）求∠CAE的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．【解析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠B=30∘，∠BAE=∠B=30∘，即可得出结果；EC=ED=DC，得出∠DAC=∠C=30∘，因此∠EAD=（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得出AD=1260∘，即可得出结论．【解答】（1）解：① AB=AC，∠BAC=120∘，×(180∘−120∘)=30∘，① ∠B=12① AE=BE，① ∠BAE=∠B=30∘，① ∠CAE=120∘−30∘=90∘；（2）证明：① ∠CAE=90∘，D是EC的中点，EC=ED=DC，① AD=12① ∠DAC=∠C=30∘，① ∠EAD=60∘，① △ADE是等边三角形．20.（2020·湖北·期末试卷）在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，若AD=BD，求∠A的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，作DE⊥AB于E，连接EC．求证：△EBC是等边三角形．【解析】（1）根据角平分线和等腰三角形的性质求得∠A=∠DBA=∠DBC，由∠A+∠DBA+∠DBC=90∘，即可求得∠A=30∘；（2）根据等腰三角形三线合一的性质得出CE=BE，由∠EBC=60∘，即可证得△EBC是等边三角形．【解答】（1）解：① AD=BD，① ∠A=∠DBA，① ∠DBA=∠DBC，① ∠A=∠DBA=∠DBC，① ∠ACB=90∘，① ∠A+∠DBA+∠DBC=90∘，① ∠A=30∘；（2）证明：① AD=BD，DE⊥AB，① AE=BE，① CE=BE，① ∠A=30∘，① ∠EBC=60∘，① △EBC是等边三角形．21.（2010-2011·江苏·期中试卷）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110∘，∠BOC=α．将△BOC绕点C逆时针旋转60∘得△ADC，连接OD．（1）求证：△DOC是等边三角形；（2）当AO=5，BO=4，α=150∘时，求CO的长；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【解析】（1）由△BOC≅△ADC，得出CO=CD，再由∠OCD=60∘，得出结论；（2）由勾股定理的逆定理判断△AOD为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO的长；（3）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、①∠ODA=∠OAD、①∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110∘，∠COD=60∘，∠BOC=190∘−∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125∘，由①∠ODA=∠OAD可得α=110∘，由①∠AOD=∠DAO可得α=140∘．【解答】（1）证明：① 将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60∘得△ADC，① △BOC≅△ADC，∠OCD=60∘，① CO=CD．① △COD是等边三角形；（2）① △ADC≅△BOC，① DA=OB=4，① △COD是等边三角形，① ∠CDO=60∘，又∠ADC=∠α=150∘，① ∠ADO=∠ADC−∠CDO=90∘，① △AOD为直角三角形．又AO=5，AD=4，① OD=3，① CO=OD=3；（3）若△AOD是等腰三角形，所以分三种情况：①∠AOD=∠ADO①∠ODA=∠OAD①∠AOD=∠DAO，① ∠AOB=110∘，∠COD=60∘，① ∠BOC=360∘−110∘−60∘−∠AOD=190∘−∠AOD，而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO，由①∠AOD=∠ADO可得∠BOC=∠AOD+60∘，求得α=125∘；∠AOD由①∠ODA=∠OAD可得∠BOC=150∘−12求得α=110∘；由①∠AOD=∠DAO可得∠BOC=240∘−2∠AOD，求得α=140∘；综上可知α=125∘、α=110∘或α=140∘．。