4.5 线性系统的结构分解和零极点相消
现代控制理论_长安大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
现代控制理论_长安大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.线性系统的状态空间表达式如下，则系统能控能观子空间为（）维系统。
【图片】答案:22.已知线性定常系统的状态方程如下，状态反馈阵【图片】（）使闭环系统极点配置为【图片】。
【图片】答案:3.下列语句中，正确的是（）。
答案:系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数是唯一的。
4.线性系统的状态空间表达式为如下，则系统的模拟结构图为（）。
【图片】答案:5.系统方框图，如下图所示，则根据系统方框图建立的状态空间表达式为（）。
【图片】答案:6.已知机械系统如下图所示。
其中质量块m受到外力u(t)的作用产生位移y(t)，质量块m与地面之间无摩擦。
以外力 u(t)为输入信号，位移y(t)为输出量，系统状态空间模型为（）。
【图片】答案:7.若A、B是方阵，则必有【图片】。
答案:错误8.已知单输入单输出系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式为（）。
答案:9.已知系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式为（）。
答案:10.原系统传递函数阵的阶数一定高于能控能观子系统传递函数的阶数。
答案:错误11.带状态观测器的状态反馈系统和直接状态反馈系统具有相同的传递函数矩阵。
答案:正确12.带状态观测器的状态反馈系统，观测器的极点会全部被闭环系统的零点相消。
答案:正确13.单输入-单输出线性时不变系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为（）。
答案:14.系统方框图如下所示，则系统的状态空间表达式为（）。
【图片】答案:；15.RLC电路网络如下图所示，其中【图片】为输入电压, 【图片】为输出电压。
选择状态变量【图片】，则系统状态空间表达式为（）。
【图片】答案:16.已知单输入单输出系统的微分方程为【图片】，则系统状态空间模型为（）。
答案:17.已知系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式的对角型实现为（）。
答案:18.已知非线性系统的微分方程为【图片】，则利用近似线性化方法得到系统的局部线性化状态方程是（）。
第三章线性系统的可控性与可观性2
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
若满足下列条件，则称 1 与 2 是互为对偶的。
A2 A1T , B2 C1T , C 2 B1T
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性， 能观性，而且只有系统完全能控（能观）才能 化成能控（能观）标准型，对于一个传递函数 为
bn 1 s n 1 bn 2 s n 2 b1 s b0 W ( s) n s a n 1 s n 1 a1 s a 0
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
两个n维系统 S1(A1 B1 CI)、S2(A2 B2 C2) 若满足下列关系 A2=A1T B2=C1T C2=B1T 则称S1与S2是对偶系统.
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
如果∑1 和 ∑2 互为对偶系统，那么： 1．如果将∑1模拟结构图中将信号线反向；输入 端变输出端，输出端变输入端；信号综合点变信 号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成 的就是∑2的模拟结构图，如下图所示。
《自动控制原理》线性定常系统的线性变换及结构分解 (2)
y = 0
2
1
xc x
c
3．系统按可观测性得结构分解
系统按可观测性结构分解的所有结论，都对偶于系统按可控性
结构分解的结果。设不可观测系统的动态方程为
•
x = Ax + Bu, y = Cx
（9－201）
其中，x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维输出向量。系统
得可观测性矩阵为
C
V
=
CA
xcTo
xT co
xT co
xT co
，相应地使原动态方程中的A, B,C 矩阵变换成某种标
准构造的形式。
结构分解的过程或方法可先从整个系统的可控性分解开始，将可控
与不可控的状态变量分离开，继而分别对可控和不可控子系统进行
可观测性分解，便可以分离出四类状态变量及四类子系统。当然，
结构分解的过程也可以从系统的可观测性分解开始。下面着重介绍
整个系统的输出响应
y(t)
均与不可控子系统的状态
x c
有关。
3)由于选取非奇异变换阵 P−1 的列向量s1, s2 ,, sr 及sr+1,, sn的非惟 一性，虽然系统可控性规范分解的形式不变，但诸系数阵不相同， 故可控性规范分解不是惟一的。 设一个可控性规范分解系统为（ A, B,C ），（书Ver6没有）
xco
可控
可观
x
co 可控 不可观
x co
不可控
可观
x co
不可控
不可观
由对应状态变量构成的子空间也分为四类，因而系统也对应分成了四
类子系统，称为系统的结构分解，也有的参考文献称此为系统的规范分解。
研究结构分解可以更明显地揭示系统的内部结构特性和传递特性。
线性系统理论第三章
adj(sIA)b与Δ(s) 、 c adj(sIA)与Δ(s)都有零、 极对消。
10
例题 1
1
0
A
1 , b 1, c
0
1
不可控模态：1；
不可观模态：1；
(3 22)
是可控、可观的。用反证法。设系统不是既可控又 可观测的。不妨设 (3-30) 是不可控的。这时可按可 控性分解为(2-36) 的形式，并且可知这时传递函数，
g (s) c (sI A) 1b
c adj(sI A)b det(sI A)
N (s) D(s)
6
c1(sI A1) 1b1
c1 adj(sI A1)b1 det(sI A1)
adj(sIA)与 Δ(s) 有 s=1 对消；
adj(sIA)b与Δ(s)有s=1 对消；
cadj(sIA)与Δ(s)有s=1 对消。
101
11
▪ adj(sIA)与Δ(s)无零、极对消，也有可能有既不 可控又不可观的模态。见下面的例2。
例题2
1
2 A
3
1
1
,b
,c 1 0 1 0
0
4
0
不可控模态：3、4, adj(sIA)b 与 Δ(s)可对消 (s3)(s4)；
反之不成立
adj(sI-A)b与Δ(s) 有s-s0对消，
cadj(sI-A)与Δ(s) 有s-s0对消。
14
二、有理传递函数的最小实现
设给定有理函数
g0 (s)
d0sn d1sn 1 sn a1sn 1
现代控制理论知识点汇总
第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式n 阶 DuCx y Bu Ax x +=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯:r n B ⨯:n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
2022年长安大学812自动控制理论考研初试大纲
2022年长安大学812自动控制理论考研初试大纲一、说明主要内容包括经典控制理论和现代控制理论两部分，试题的比例为：经典控制理论部分占比70%，现代控制理论部分占比30%。
二、考试内容经典控制理论部分的基本内容和要求：1、引论理解开环控制和闭环控制的区别，了解反馈控制理论的研究对象和方法。
掌握自动控制系统的基本概念、术语，了解自动控制系统的组成和分类，及对自动控制系统稳、准、快三方面的基本要求。
2、线性系统的数学模型一般了解数学模型的概念、表达方式，建模的方法;能够列写一般物理系统的微分方程;熟悉拉氏变换的定义、性质，记住常见的简单时间函数的拉氏变换式，能根据拉氏变换的性质求解较复杂时间函数的拉氏变换式，会求拉氏反变换;理解传递函数的概念及典型环节的传递函数。
重点掌握控制系统的方框图及方框图的化简方法，能用梅逊公式求取系统传递函数。
3、线性系统的时域分析了解控制系统的典型输入信号;了解线性定常系统的时域响应组成，熟悉控制系统暂态响应性能指标的定义;熟悉一阶系统的暂态响应及性能指标;熟悉二阶系统的暂态响应分析及其与极点之间的关系，重点掌握二阶系统的瞬态响应指标与参量、 n间的关系及计算;一般了解高阶系统的暂态响应和闭环主导极点的概念;了解稳定性的概念，掌握线性定常连续系统稳定的充要条件;重点掌握判断稳定性的Routh代数判据及应用，对Hurwitz判据有一般了解;了解稳态误差的概念;重点掌握给定稳态误差终值的计算及减小稳态误差的方法。
4、线性系统的根轨迹分析了解根轨迹的概念。
重点掌握绘制常规负反馈系统根轨迹的基本条件和基本规则，能根据已知的系统开环传递函数绘制闭环系统的根轨迹，也能由已知的闭环系统的根轨迹(起点和终点)写出系统的开环传递函数，一般了解参量根轨迹的绘制及增加开环零极点对根轨迹的影响。
5、线性系统的频域分析掌握频率特性的基本概念，幅相频率特性图与对数频率特性图的建立;熟悉典型环节的频率特性及其Nyquist图与Bode图;掌握系统开环频率特性(Nyquist 图和Bode图)的绘制;重点掌握乃奎斯特稳定判据(包括利用开环幅相频率特性曲线和开环对数频率特性曲线进行判断);了解最小相位系统的概念;重点掌握利用实测开环对数幅频特性确定最小相位系统开环传递函数的方法;熟悉控制系统相角裕度、幅值裕度的基本定义和概念及计算方法;了解闭环幅频特性的概念及其频域性能指标。
卡尔曼分解互质分解下讨论最小实现以及零极点相消
目录一．卡尔曼分解下讨论零极点相消与最小实现 (1)1.1卡尔曼分解概述 (1)1.2卡尔曼分解的原理 (2)1.3 卡尔曼分解与最小实现以及互质分解 (4)二．零极点相消与最小实现的关系 (4)2.1 概述 (4)2.2 单变量系统的能控性、能观性与传递函数零极点相消之间的关系。
(5)2.3 最小实现的判据 (6)三．利用互质分解 (10)3.1 互质分解与卡尔曼分解 (10)3.2 matlab上的验证 (12)3.3 最小实现与互质分解以及卡尔曼分解之间的关系 (13)摘要：本文主要在卡尔曼分解以及互质分解下讨论了最小实现以及零极点相消的问题。
讨论了非互质的传递函数会使系统实现时出现不能控或者不能观的部分，从而引出了卡尔曼分解，卡尔曼分解后的能控能观部分的实现为最小实现，系统维数降低，说明出现了零极点相消的情况。
系统的维数等于互质分解后传递函数的维数的实现时最小实现，此时的实现也是能控能观的实现。
但如果传递函数中消掉的是不稳定的零极点，则不稳定的极点会导致不稳定的状态，出入输出稳定与系统渐进稳定之间是有很大差别的。
一．卡尔曼分解下讨论零极点相消与最小实现1.1卡尔曼分解概述A B C D不卡尔曼分解，即能控能观性分解，在已知系统状态方程{}能控或者不能观的情况下，对其做矩阵等价变换，使其状态变量划分为能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四个部分。
A B C D能够分解为不能控或者不能观部分说明了两个问状态方程{}题：1. 对一个实际系统，并不是所有的状态都能控，也不是说所有的初始状态都能够通过系统输出反映出来，表征输入输出关系的传递函数也仅反映能控能观部分的关系，从而区分输入输出稳定以及系统渐进稳定；2. 卡尔曼分解说明了系统实现时的维数是大于最小实现时的维数的（参见第二章最小实现的内容），因此在表示系统传递函数时必然存在零极点相消的现象，或者说零极点相消的现象使得系统实现时存在不能控或者不能观的部分。
现代控制理论第三章4
~ ~ x1 A11 ~ 0 x2 ~ y [C1
其中nc维子系统 是状态完全能控的。 而n-nc维子系统 是状态完全不能控的。
~ ~ ~ A12 x1 B1 ~ ~ u A22 x2 0 ~ ~ x1 C2 ]~ x2
定理中非奇异变换阵的构造 对能观性分解,能将状态不完全能观的线性定常连续系 统进行能观性分解的变换矩阵Po的逆阵可选为 q1 q Po1 2 ... q n 其中前no个行向量q1,…, qn 为能观性矩阵Qo的no个线性无关 o 的行向量,qno 1,…,qn为任意选择的n-no个线性无关的行向 量但必须使变换矩阵Po-1可逆。
q1 Ap1 ... qnc Ap1 0 ... 0
... ...
q1 Apnc ...
q1 Apnc 1 ... qnc Apnc 1 qnc 1 Apnc 1 ... qn Apnc 1
... ... ... ... ... ...
... qnc Apnc ... 0 ... ... ... 0
定理表明: 任何状态不完全能观的线性定常连续系统,
总可通过线性变换将系统分解成完全能观子系统 和完全不能观子系统两部,
且变换矩阵Po的逆阵Po-1前no行必须为能观性矩阵 Qo的no个线性无关的行或它的一组基底。 对于这种状态的能观性结构分解情况如下图所示。
~ B1
+ +
~ x1
~ A11
~ x1
~ C1
y1
u
能观部分
+
y
+
~ A21
~ x2
现代控制理论课程教学大纲.
《现代控制理论》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程代码：AU3022、课程名称（中/英文）：现代控制理论（Modern Control System）3、学时/学分：54学时/3学分4、先修课程：自动控制理论5、面向对象：自动化专业本科生，相邻专业研究生6、开课院（系）、教研室：自动化系7、教材、教学参考书：教材：现代控制理论刘豹机械工业出版社2000教学参考书：Linear System Theory and Design Chi-Tsong Chen Oxford university press 1999二、本课程的性质和任务现代控制理论是自动化专业的高年级本科生的必修课程，课程包括了现代控制理论中的基础理论部分，主要内容为线性系统理论基础内容。
课程首先介绍了控制理论的发展概况和应用概况，说明了线性系统的特性，然后深入讲解系统的状态空间描述，状态空间表达式的求解，线性控制系统的能控性和能观性、系统的稳定性和李雅普诺夫方法、线性定常系统的综合，最优控制问题的概述和线性定常二次型最优控制问题。
通过本课程的学习，学生可以掌握线性系统的基本分析和设计方法，为学生学习后继课程、从事工程技术工作、科学研究及开拓性技术工作打下坚实的基础。
三、本课程教学内容和基本要求《现代控制理论》现代控制理论的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数)第一章概论(1)控制理论的发展、现代控制理论的特点及举例、线性系统的特点(1)要求：掌握现代控制理论与经典控制理论的不同点和线性系统的特点。
第二章控制系统的状态空间表达式（7）1．状态变量及状态空间表达式、状态空间表达式的模拟结构图（2）2．状态空间表达式的建立（一）（1）3．状态空间表达式的建立（二）（1）4．状态向量的线性变换（1）5．由状态空间表达式求传递函数阵、时变系统和非线性系统的状态空间表达式（2）要求：熟练掌握系统状态空间表达方法的概念、形式，掌握系统状态空间表达式的各种建立方法、掌握系统的线性变换方法、掌握模型转换方法。
控制系统的能控性和能观性【资料参考】
,使得根据
期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态
，则称状态
是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完
全能观测的，或简称是能观的。
医学档案~
9
3.3.2 定常系统能观性的判别
定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将 系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的 C 阵，判 别其能观性，另一种方法是直接根据 A 阵和 C 阵进行判别。
(5)
医学档案~
17
3.5 时变系统的能控性与能观性
3.5.1 能控性判别 1.有关线性时变系统能控性的几点说明 1)定义中的允许控制 ，在数学上要求其元在 绝对平方可积的，即
区间是
这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。 2)定义中的 ，是系统在允许控制作用下，由初始状态 目标状态(原点)的时刻。
则 的能控性等价于 的能观性， 的能观性等价于 的能控性。或
者说，若 是状态完全能控的(完全能观的)，则 是状态完全能观的(完
全能控的)。
3.6.3 时变系统的对偶原理
时变系统的对偶关系和定常系统稍有不同，且其对偶原理的证明也复 杂得多。
对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念，利用对偶原理可以 把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易地得到 其对偶系统能观性方面的结论。
医学档案~
25
3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型
3.7.1 单输入系统的能控标准艰 对于一般的 维定常系统：
如果系统是状态完全能控的，即满足： 1．能控标准 型 若线性定常单输入系统：
是能控的，则存在线性非奇异变换：
医学档案~
线性定常离散系统的能控性和能观性
✓
即,若数学逻辑关系式
x1 u(k)(k∈[0,n-1] x(0)=0∩x(n)=x1
为真,则称系统状态完全能达。
➢ 若系统存在某个状态x1不满足上述条件,则称此系统是状 态不完全能达旳,简称系统为状态不能达。
线性定常离散系统旳能控性与能达性定义(4/4)—能达性定义
➢ 设在第n步上能使初始状态x(0)转移到零状态,于是上式可 记为
n1
0 Gnx(0) Gn j1Hu( j) j0
即
n1
Gn x(0) Gn j1Hu( j) Gn1Hu(0) Gn2Hu(1) ... Hu(n-1) j0
线性定常离散系统旳状态能控性判据(4/9 )--定理4-12
线性定常离散系统旳能控性和能观性(2/2)
本节旳关键问题为: ➢ 基本概念: 线性离散系统旳状态能控性/能观性 ➢ 基本措施: 线性离散系统状态能控性/能观性旳鉴别措施
离散化系统旳能控性/能观性
本节旳主要内容为: ➢ 线性定常离散系统旳状态能控性与能达性 ➢ 线性定常离散系统旳能观性 ➢ 离散化线性定常系统旳状态能控性和能观性
n1
Gn x(0) Gn j1Hu( j) Gn1Hu(0) Gn2Hu(1) ... Hu(n-1) j0
➢ 上式写成矩阵形式即为
u(n 1)
[H GH ... Gn1H ]u(n 2) Gnx(0) ...
u(0)
➢ 这是一种非齐次线性代数方程,由线性方程解旳存在性理 论可知,上式存在控制序列{u(0),u(1),…,u(n-1)}旳充要条 件为
4.3.2 线性定常离散系统旳能观性
与线性连续系统一样,线性离散系统旳状态能观性只与系统 输出y(t)以及系统矩阵G和输出矩阵C有关,
第10讲第4章根轨迹
4.5.2 开环零极点对系统的影响
对于图4-1所描述的系统，影响系统稳定性有三 大因素：开环增益、开环极点、开环零点影响，请看图4-13所示的例子。
图4-13a,b 开环零、极点对系统的影响
第四章 根轨迹法
图4-13c,d,e,f 开环零、极点对系统的影响 第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
(b)
(c)
(d)
(e)
第四章 根轨迹法
(f)
4.5.4 闭环零极点与时间响应
系统的动态性能最终体现在时间响应，影响时间响 应的因素有两个：闭环传递函数和输入函数。在第三章 中已经分析：时间响应的暂态分量主要取决于闭环零、 极点，时间响应的稳态分量主要取决于输入函数。 如前所说，闭环系统的稳定性完全取决于闭环极 点，实际上时间响应的暂态分量也主要取决于闭环极 点。每一个闭环极点si对应时间响应中的一个因子 exp(sit)——称为系统的一个模态（Mode），si在S平 面上的位置决定了它对应的暂态分量的运动形式。
图4-13（a）-（d）所对应的系统开环传递函数 分别为：
a 图 : 图 : b 图 : c 图 : d
1 G(s)H(s) = s(s + 2) s +3 G(s)H(s) = s(s + 2) s +3 G(s)H(s) = s(s − 2) s −3 G(s)H(s) = s(s + 2)
第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
j
σ
——闭环极点位置
———
的共轭
图4-15 闭环极点分布与暂态分量的运动形式
第四章 根轨迹法
设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根 据上述规律，一般首先配置主导极点，然后配置非主 导极点，非主导极点与虚轴的距离应当是主导极点与 虚轴距离的2～5倍，这样系统的时间响应就主要取决 于一对主导极点。 主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于 如图4-5虚轴左边60o扇形区内，且离虚轴有一定的距 离，其理由在于： 1）闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态 性能与一个二阶欠阻尼系统相似，二阶系统的动态性 能是分析得最透彻的，欠阻尼系统则具有较快的反应 速度。
能控规范形和能观规范形PPT课件
AB
...
An 1 B
0
1
...
*
1 * ... *
即能控性矩阵的秩都为n。
故能控规范I形与II型必定是状态完全能控的。
能控规范形(5/16)
由于线性变换不改变状态能控性,而能控规范形一定状态完 全能控, 因此,只有状态完全能控的系统才能变换成能控规范形。 下面讨论将完全能控的状态空间模型变换成能控规范形, 以及该线性变换的变换矩阵的构造问题。 对此,有如下对能控状态空间模型变换成能控规范I形 和II型的定理。
能控规范形(6/16)--能控规范I形定理
定理4-24 对状态完全能控的线性定常连续系统Σ(A,B)引入变 换矩阵Tc1如下 Tc1=Qc=[B AB … An-1B]
是非奇异的。
那么必存在一线性变换 x Tc1x ,能将上述状态方程变换 成能控规范I形:
~x A~~x B~u
能观规范形(8/9)
(1) 求能观规范I形。
根据定理4-26,系统变换矩阵可取为
To11
Qo
1 2
-2 -2
-1
0
0
证明 证明的思路为:
先构造变换 矩阵P的逆为 行向量组成
利用变换关系 A~=P-1AP,确定 P-1的行之间的关系
证明过程为:
设变换矩阵Tc2的逆阵为
T1
T 1 c2
T2
...
Tn
能控规范形(10/16)
利用变换关系 B~=P-1B,最后
确定T1
能控规范形(11/16)
...
0
...
...
...
现代控制理论复习知识点
xe渐近稳定。 渐近稳定时，若||x||时， V(x) ： xe大范围渐近
M满秩，M=？注意矩阵维数
能观
特殊情况判别：对角线，特征值互异；约当阵，特征值 有重复
N满秩，N=？注意矩阵维数
离散时间系统的能控能观性判别M, N->G, H。
第三章复习要点
3、标准型及转化 (单输入单输出，系统能控)
标准型：
能控标准I型 A (I在右上角)，B=(0, … 0, 1)T，C 能控标准II型 A (I在左下角), B=(1, 0, … 0)T ，C 能观标准I型 A (I在右上角) ，B，C=(1, 0, …, 0) 能观标准II型 A(I在左下角)，B，C= (0, …, 0 1) 直接写出传递函数： 能控I，能观II
原理：状态反馈增益矩阵K… 结构图？ 特点：改变闭环系统的特征值，可配置极点
2、输出反馈
原理：输出反馈增益矩阵H… 结构图？ 特点：
3、闭环系统的能控性、能观性
状态反馈不改变系统的能控性，但不保证能观性不变 输出反馈不改变系统的能控性和能观性
第五章复习要点
4、极点配置
状态反馈：前提：系统完全能控
第二章 系统解的表达式
要求内容：
包括线性定常系统状态方程齐次解，矩阵指数函数和 状态转移矩阵的概念及其计算方法，线性定常系统状 态方程的非齐次解，离散系统状态方程解，连续时间 系统状态方程离散化
第8讲 线性系统的结构分解
0 1 - 3 0
y [0 1 - 2]x
列3=列1-2列2
解 由于
C
0 1 - 2
rank QO
rank
CA
rank
1
-2
3
2
3
CA2
- 2 3 - 4
故该系统为状态不完全能观且能观部分的维数为2。
能观性分解(9/10)
➢ 为分解系统,选择变换矩阵
➢ 为分解系统,选择变换矩阵 0 1 0
Pc 0 0 1 1 3 0
其中前两列取自能控性矩阵Qc,后一列是任意选择的但保证 变换矩阵为非奇异的。
✓ 该变换矩阵的逆矩阵为
3 0 1 Pc1 1 0 0
0 1 0
能控性分解(18/18)
➢ 经变换所得的状态空间模型的各矩阵为
0 4 2 A~ Pc1APc 1 4 2
0 1 - 2
rank B~1
A~11B~1
...
A~1n11
B~1
0 0 ... 0
rank[ B~1 A~11B~1 ... A~1n11B~1]
nc
能控性分解(12/18)
➢ 根据凯莱-哈密顿定理,由上式又可推得 rank[ B~1 A~11B~1 ... A~1n1c 1B~1] rank[ B~1 A~11B~1 ... A~1n11B~1] nc
这nc个列向量构成能控性矩阵Qc的一组基底, ✓ 即Qc中任何的列都可以由这nc个线性无关列向量p1, p2,…, pnc线性表示。
能控性分解(5/18)
➢ 同样,还可以找到n-nc个线性无关向量 pnc 1,..., pn 使如下线 性变换矩阵: Pc [ p1 ... pnc pnc 1 ... pn ]
4.5 线性系统的结构分解和零极点相消
能观性分解(6/10)
由于线性变换不改变系统传递函数阵, 所以
~ ~ ~ 1 ~ G ( s ) G ( s ) C ( sI A) B
1 ~ ~ A11 0 B1 ~ [C1 0] sI ~ ~ ~ A21 A22 B2 ~ ~ sI A 1 B ~ 0 1 11 [C1 0] ~ ~ 1 * sI A22 B2 ~ ~ 1 ~ C1 ( sI A11 ) B1
~ B1
+
~ x1
~ A11 ~ A12
~ x1
~ C1
y1
+ u 能控部分
+
+ y +
~ x2
+ 不能控部分
~ A22
~ x2
~ C2
y2
能控性分解
由于线性变换不改变系统传递函数阵, 所以有
~ ~ ~ 1 ~ G ( s ) G ( s ) C ( sI A) B
1 ~ ~ ~ A11 A12 B1 ~ ~ [C1 C2 ] sI ~ 0 A22 0 ~ ~ sI A 1 B ~ ~ * 1 11 [C1 C2 ] ~ 1 0 sI A22 0 ~ ~ 1 ~ C1 ( sI A11 ) B1
能控性分解(1/18)—能控性分解定理
4.5.1 能控性分解
对状态不完全能控的线性定常连续系统, 存在如下能控性结 构分解定理
定理4-12 若线性定常连续系统
x Ax Bu y Cx
状态不完全能控, 其能控性矩阵的秩为 rankQc rank[B AB … An-1B] ncn
(完整word版)现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性3-3-1 判断下列系统的状态能控性。
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01,0101B A （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111001,342100010B A （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1110,0000000011111B A λλλλ【解】： (1)[]2,1011==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==n rankU AB BU c c ，所以系统完全能控。
(2)[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==7111111010012B A ABBU c 前三列已经可使3==n rankU c ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。
（3）A 为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B 阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。
（4）A 阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
[]2,111321031211312113121121132=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==c c rankU B A BA AB BU λλλλλλλλλλλ，所以系统不完全能控。
3-3-2 判断下列系统的输出能控性。
(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=xy u x x 011101020011100030013 (2) []⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x y u x x 0011006116100010【解】： （1）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011101C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000D []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=111300002B CA CABCB D前两列已经使[]22==m B CA CAB CB D rank ，所以系统输出能控。
线性系统的结构分解
xco y = CRO1 = (C1 , 0) xco
经过上述三步，便可以导出系统同时按 能控性和能观性进行分解的表达式：
⋅ % % x co A11 ⋅ % % x co = A21 ⋅ 0 % x co ⋅ 0 x co %
− 3 −1 ~ A= −2 0 ~ C = [0 1 1 0 ]
0 1 ~ 2 , B = 0 − 4 0
由3.2节知：x1,x2能控，x3,x4不能控 由3.3节知：x2,x3能观，x1,x4不能观
由3.2节知：x1,x2能控，x3,x4不能控 由3.3节知：x2,x3能观，x1,x4不能观 系统有： （1）能控能观 （2）能控不能观 （3）不能控能观 （4）不能控不能观 结构图：
% A11 % % = T −1 AT = A21 A 0 0
0 % A 0 0
22
% A13 % A23 % A
33
% A43
0 % A24 0 % A44
B1 % = T −1 B = B2 B 0 0
% B1 % % % B = TB = , C = CT −1 = C 1r 0 n−r
r
n−r
% C2
则系统得状态空间被分解成能控和不能控的 两部分：
⋅ ~ ~ ~ ~ ~ ~ x 1 = A11 x1 + A12 x2 + B1u , r维子系统 ~~ y1 = C1 x1 ⋅ ~ ~ ~ x 2 = A22 x2 ， − r )维子系统 (n ~~ y 2 = C 2 x2
~ = R −1 AR ~ + R −1bu x 0 0x 0 1 0 0 1 − 1 − 2 0 ~ + − 1u x = 1 0 0 − 1 ~ = [1 0 0]~ y = CR0 x x
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~~ ~ n 1 ~ A B ... A B ] ~ ~ ~ n 1 ~ A11B1 ... A11 B1 0 ... 0 ~ ~ ~ n 1 ~ A11B1 ... A11 B1 ]
能控性分解(12/18)
根据凯莱-哈密顿定理,由上式又可推得 ~ nc 1 ~ ~ n1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ rank[ B1 A11B1 ... A11 B1 ] rank[ B1 A11B1 ... A11 B1 ] nc ~ ~ x1是状态完全能控的。 即 A11 和B1为能控矩阵对,亦即nc维子系统 ~ 通过对定理4-17的证明,对系统的能控性分解得到一个重要 结论,即 对任何一个状态不完全能控的线性定常连续系统, 总可通过线性变换的方法将系统分解成完全能控的 子系统和完全不能控的子系统两部, 且变换矩阵Pc的前nc列必须为能控性矩阵Qc的nc个 线性无关的列或它的一组基底。
能控性分解(15/18)
因此,由上式可归纳出一结论: 状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控性分 解后能控子系统的传递函数阵。
由于状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控 子系统的传递函数阵,则其极点必少于n个,
即系统存在零极点相消现象。
能控性分解(16/18)—例4-15
2
控的。
c
~ ~ ~ x1为状态变量的nc维子系统 下面将证明以~ 是状态 ( A11, B1 ) 完全能控的。
能控性分解(11/18)
由于线性变换不改变系统的状态能控性,因此线性变换后的 能控性矩阵的秩应等于变换前的能控性矩阵的秩。 所以有
~ ~ rank Qc rank[ B ~ B rank 1 0 ~ rank[ B1 nc
,使得状态空间模型可变换成 则存在非奇异线性变换x=Pc x
能控性分解(2/18)
~ ~ x1 A11 ~ 0 x2 ~ y [C1
其中nc维子系统 是状态完全能控的。 而n-nc维子系统 是状态完全不能控的。
~ ~ ~ A12 x1 B1 ~ ~ u A22 x2 0 ~ ~ x1 C2 ]~ x2
能控性分解(18/18)
经变换所得的状态空间模型的各矩阵为
0 4 2 ~ A Pc1 APc 1 4 2 1 0 0 ~ C CPc [1 2 1]
则能控子系统的状态方程为
1 ~ B Pc1 B 0 0
... ...
q1 Apnc ...
q1 Apnc 1 ... qnc Apnc 1 qnc 1 Apnc 1 ... qn Apnc 1
... ... ... ... ... ...
... qnc Apnc ... 0 ... ... ... 0
q1 Apn ... ~ qnc Apn A 11 qnc 1 Apn 0 ... qn Apn
能控性分解(4/18)—能控性分解定理证明
证明过程: 由于系统状态不完全能控,其能控性矩阵 Qc=[B AB … An-1B] 的秩为nc 。 于是从Qc中总可以找到nc个线性无关列向量p1,p2,…, pnc , 这nc个列向量构成能控性矩阵Qc的一组基底, 即Qc中任何的列都可以由这nc个线性无关列向量p1, p2,…, pnc 线性表示。
pnc都可由矩阵Qc的列线性表示出 因此, Ap1, Ap2,…,A 来,也必然可由Qc的基底p1,p2,…, pnc线性表示出来。
所以,由式(4-52),必然有 qiApj=0 inc+1,jnc
能控性分解(8/18)
因此,有
q1 q ~ 1 A Pc APc 2 A[ p1 p2 ... pn ] ... q n
线性系统的结构分解和零极点相消(2/3)
也存在能否基于线性变换将系统的完全能观部分和 完全不能观部分分离开来? 系统状态空间模型的状态能控性/能观性问题是系统的 两个不变的结构性问题,描述了系统的本质特征的问题, 它们与描述系统的输入输出特性的传递函数阵之间 有何联系? 本节主要讨论上述关于线性系统状态空间结构性的2个问题, 即:
例4-15 试求如下系统的能控子系统: 1 2 1 0 x 0 u x 0 1 0 1 4 3 1 y [1 1 1 ]x 解 由于
0 1 4 23 rank Qc rank [ B AB A2 B] rank 0 0 0 0 1 3 故该系统为状态不完全能控且能控部分的维数为2。
~ A12 ~ A22
能控性分解(10/18)
由能控性矩阵Qc的定义可知,B矩阵的列也可由Qc的基底 p1, p2,…, pn线性表示出来。 c
因此,仿照上述证明,我们亦可证明得 ~ ~ B1 1 B Pc B 0 至此已证明了,当选择变换矩阵为Pc时,系统可分解为状态 x1和~ x 2的两个子系统。 变量分别为~ x 为状态变量的n-n 维子系统是状态完全不能 显然,以 ~
x1 0 4 ~ x1 2 ~ 1 ~ x3 u ~ ~ 1 4 x2 2 0 x2
能观性分解(1/10)—能观性分解定理
4.5.2 能观性分解
类似于能控性分解,对状态不完全能观的线性定常连续系统, 有如下能观性结构分解定理。
An ai An 1i
i 0 n 1
能控性分解(7/18)
故
0 qi p j 1
n 1 i 0
i j i j
(4 52)
AQc [ AB A2 B ... An B] [ AB A2 B ...
i a A i B]
即矩阵AQc的列都可由矩阵Qc的列线性表示出来。
Ch.4 线性系统的能控性和 能观性
目录(1/1)
目
录
概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结
... qnc Apnc ... qnc 1 Apnc ... ... ... qn Apnc
q1 Apn qiApj=0 ... qnc Apn inc+1,jnc qnc 1 Apn ... qn Apn
q1 Ap1 ... qnc Ap1 0 ... 0
线性系统的结构分解和零极点相消(1/3)
4.5 线性系统的结构分解和零极点相消
一个系统状态不完全能控,意味着系统的部分状态不能控, 但也存在部分状态能控。
到底哪一部分状态能控,哪一部分状态不能控的问题,对 于控制系统的分析、设计和综合,显然是至关重要的。 由前面的结论已知,系统的非奇异线性变换不改变能控 性,那么是否存在线性变换后将系统的状态变量中完全 能控的部分和完全不能控的部分分离开来? 对状态不完全能观的系统, 也存在类似的区分哪些状态能观,哪些状态不能观 的问题。
能控性分解(1/18)—能控性分解定理
4.5.1 能控性分解
对状态不完全能控的线性定常连续系统,存在如下能控性结 构分解定理。
定理4-17 若线性定常连续系统
x Ax Bu y Cx
状态不完全能控,其能控性矩阵的秩为 rankQc=rank[B AB … An-1B]=nc<n
定理4-18 若线性定常连续系统 x Ax Bu y Cx 状态不完全能观,其能观性矩阵的秩为 C CA no n rank Qo rank ... CAn 1
能观性分解(2/10)
能控性分解(13/18)
对于这种状态的能控性结构分解情况如下图所示。 ~ ~ x x1 y1 1 ~ ~ + B1 C1
+ u 能控部分 +
~ A11
+ y +
~ A12
~ x2
+ 不能控部分
~ A22
~ x2
~ C2
y2
能控性分解(14/18)
由于线性变换不改变系统传递函数阵,所以有 ~ ~ ~ 1 ~ G ( s ) G ( s ) C ( sI A) B 1 ~ ~ ~ A11 A12 B1 ~ ~ [C1 C2 ] sI ~ 0 0 A 22 ~ ~ 1 B1 ~ ~ sI A11 * [C1 C2 ] ~ 1 0 0 sI A22 ~ ~ 1 ~ C1 ( sI A11 ) B1
能控性分解(9/18)
q1 Ap1 ... qnc Ap1 qnc 1 Ap1 ... qn Ap1
... ...
q1 Apnc ...
q1 Apnc 1 ... qnc Apnc 1 qnc 1 Apnc 1 ... qn Apnc 1
... ... ... ... ... ...
状态空间模型的结构性分解以及
传递函数阵与能控性/能观性的关系。 难点喔!
线性系统的结构分解和零极点相消(3/3)
本节讨论的主要问题: 基本概念: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极 点相消 基本方法: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极 点相消判据 本节讲授顺序为: 能控性分解 能观性分解 能控能观分解 系统传递函数中的零极点相消定理
能控性分解(5/18)
同样,还可以找到n-nc个线性无关向量 pnc 1 ,..., pn 使如下线 性变换矩阵: Pc [ p1 ... pnc pnc 1 ... pn ] 为非奇异的。 将变换矩阵Pc选作能控性分解的变换矩阵,则可以作 变换x=Pcx 。 设Pc的逆矩阵可以记成