初中数学辅助线添加技巧：弦图

初中数学辅助线添加技巧：弦图

勾股的几个重要证明方法

证法一（赵爽证明）：以a 、b 为直角边（b >a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1

2

ab ．把这四个直角三角形拼成如图所示形状．

c b a

H

G F E

D

C

B

A

∵ Rt △DAH ≌ Rt △ABE ， ∴ ∠HDA = ∠EAB ． ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2． ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ，∠HEF = 90º．

∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2

b a -． ∴()2

2142

ab b a c ⨯+-= ．

∴ 222a b c +=．

证法二（邹元治证明）：以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1

2

ab ． 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B

三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上．

c

b a H

G

F

E

D C

B

A

∵ Rt △HAE ≌ Rt △EBF ， ∴ ∠AHE = ∠BEF ． ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º，

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º． ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º．

∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形．它的面积等于c 2． ∵ Rt △GDH ≌ Rt △HAE ， ∴ ∠HGD =∠EHA ． ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º， ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º． 又∵ ∠GHE = 90º， ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º．

∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2

a b +． ∴ ()2

2142

a b ab c +=⨯+．

∴ 222a b c +=．

证法三（陈杰证明）：直角边长分别为a 、b 的四个三角形全等，斜边长为c ，图中有3个正方形边长分别为a 、b 、c ，设整个图形的面积为S ．

c b a I

c b a H

G

F E

D

C

B

A

∵△ABH ≌ △HEF ， ∴BAH EHF ∠=∠，

∴90BAH AHB EHF AHB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90AHF ∠=︒，

∴四边形AHFI 是正方形．

∵22221

22S a b ab a b ab =++⨯=++，

221

22

S c ab c ab =+⨯=+，

∴222a b ab c ab ++=+， ∴222a b c +=．

证法四（1876年美国总统Garfield 证明）：

c b a c

b E

D C B

A

以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1

2

ab ．把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上． ∵ Rt △EAD ≌ Rt △CBE ， ∴ ∠ADE = ∠BEC ． ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º， ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º． ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º． ∴ △DEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于21

2

c ．

又∵ ∠DAE = 90º， ∠EBC = 90º， ∴ AD ∥BC ．

∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2

12

a b +． ∴

()2

21112222

a b ab c +=⨯+． ∴222a b c +=．

证法五（总统证法变形）：

如图，矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90º至AB'C'D'的位置，连接CC'．设

,,AB a BC b AC c ===．

B'C'D'

c b a

D C B

A

∵四边形BCC'D'为直角梯形，

∴()()2

1

22

'D'

a b S BC C'D'BD'+=+=梯形BCC ． ∵Rt Rt ABC AB'C'△≌△， ∴BAC B'AC'∠=∠．

∴2211122222

ABC CAC'D'AC'

'D'c ab

S S S S ab c ab +=++=++=

△△△梯形BCC ． ∴

()

2

222

2

a b c ab

++=．

∴222a b c +=．

证法六（梅文鼎证明）：作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ． 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上． 过C 作AC 的延长线交DF 于点P ．

a b c a b c a b

c P c

b a H

G F E D

C B

A

∵ D 、E 、F 在一条直线上，且Rt △GEF ≌ Rt △EBD ， ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º． 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形． ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º． ∵ Rt △ABC ≌ Rt △EBD ， ∴ ∠ABC = ∠EBD ． ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º． 即∠CBD = 90º．