超静定结构影响线
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MP图
M ds l3 =∫ = EI 3EI
2 1
δ 1P
αl
ds = ∫ M 1M P ( x) EI 3 l =− (3α − α 3 ) 6 EI
M1图
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第4页
系数
P＝1引起的X1方向的位移，由于P＝1 是移动的，故 δ 1P 是 荷载位置x 的函数，于是可写出X1= RB影响线方程为
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第1页
§ 9-1
超静定结构影响线
绘制超静定结构的影响线需运用超静定问题的各种分析 方法——力法、位移法及渐近法等。 此外，绘制超静定结构中的位移影响线，需运用第七章 所述位移互等定理。 静力法作影响线： 通过静力计算求出基本未知量与荷载位置x 的函数关 系 ，并据此而绘出其图形即为影响线。
绘出基本结构的MP图及单位弯矩图 M 1 、M 2 图
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第10页
δ 1P
1 l (2 − α ) ds l2 = ∫ M 1M P = × α (1 − α )l × = α (1 − α )(2 − α ) 3 6 EI EI EI 2 l2
δ 2P
1 l (1 + α ) ds l2 = ∫ M 2M P = × α (1 − α )l × = α (1 − α )(1 + α ) 3 6 EI EI EI 2 l2
δ 11 是常数；自由项 δ 1P 是在基本结构中荷载
δ 1P 1 3 X 1 = RB = − = (3α − α ) δ 11 2
据此，给出沿跨度若干等分处的 α 值即可求得各纵标值.
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第5页
图示为由四分点纵标而绘成的RB影响线，正号表示RB 向上。
RB影响线
求得了反力影响线后，梁上任意截面的内力影响线都可由 静力平衡方程求出。
4l 2 M 1 ( x1 ) = − α (1 − α ) 15 l M 1 ( x3 ) = α (1 − α )(2 − α ) 15
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第13页
若将每跨四等分点的α 值分别代入 M 1 ( x) 方程，即可绘 出M1影响线。
其中负号表示荷载作用于该区段时将使支座1截面产生 负弯矩（上缘受拉）。
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第6页
如图a所示等截面三跨连续梁，求支座1截面的弯矩M1 影响线。
1
连续梁的诸支座截面弯矩一经求得，则其他各处的弯 矩、剪力及支座反力等就极易由平衡条件求出。所以连续 梁的支座截面弯矩影响线是基本未知力影响线。
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第7页
具体计算 ： 将荷载置于第一跨，设坐标为x1，求得M1影响线在第一 跨内的曲线方程式 M1(x1)。 将荷载置于第二跨，设坐标为x2 ，求得M1影响线在第二 跨内的曲线方程式 M1(x2 )。 将荷载置于第三跨，设坐标为x3，求得M1影响线在第三 跨内的曲线方程式M1(x3 )。 然后给出每一跨内若干等分处 值，从而绘出M1影响线。
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第11页
δ 11 = δ 22
2l = 3EI
δ 12 = δ 21
1 = 6 EI
代入力法方程，得
⎫ l2 2l 1 M 1 ( x2 ) + M 2 ( x2 ) + α (1 − α )(2 − α ) = 0⎪ 3EI 6 EI 6 EI ⎪ ⎬ ⎪ l l2 2l M 1 ( x2 ) + M 2 ( x2 ) + α (1 − α )(1 + α ) = 0 ⎪ 6 EI 3EI 6 EI ⎭
α
的值即可求得各纵标
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第8页
设荷载FP =1作用于基本结构的第二跨，坐标为
x2 = αl 2 = αl
P=1
所取基本结构为分跨的简支梁，多余约束未知力为支座 1、2截面的弯矩 M 1 ( x) 和 M 2 ( x)
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第9页
相应的力法方程为
δ 11M 1 + δ 12 M 2 + δ 1 p = 0 ⎫ ⎬ δ 21M 1 + δ 22 M 2 + δ 2 p = 0⎭
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第14页
同理可作支座2截面的弯矩M2影响线，由于结构的对称 性，它与M1影响线呈对称形式。
由上述可见，用静力法作n 次超静定结构的某一约束力 影响线时，须同时求解n 个未知约束力的影响线方程，这 对于高次超静定结构不很适宜。
由此解方程可得到荷载FP =1作用于基本结构的第二跨时， M1、 M2影响线方程，为
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第12页
l M 1 ( x 2 ) = − α (1 − α )(7 − 5α ) 15 l M 2 ( x 2 ) = − α (1 − α )(2 + 5α ) 15
同理，可求出荷载FP =1作用于基本结构的第一跨和第三跨 时，M1影响线方程，为
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第2页
如图所示超静定梁，EI = 常数。欲求右端支座反力RB影 响线。
பைடு நூலகம்
以该支座为多余联系而将其去掉并代以多余未知力X1（设 向上为正），此X1即为RB 。 力法方程为
δ11 X 1 + Δ1P = 0
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第3页
绘出 M 1、MP图
l
δ 11
M ds l3 =∫ = EI 3EI
2 1
δ 1P
αl
ds = ∫ M 1M P ( x) EI 3 l =− (3α − α 3 ) 6 EI
M1图
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第4页
系数
P＝1引起的X1方向的位移，由于P＝1 是移动的，故 δ 1P 是 荷载位置x 的函数，于是可写出X1= RB影响线方程为
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第1页
§ 9-1
超静定结构影响线
绘制超静定结构的影响线需运用超静定问题的各种分析 方法——力法、位移法及渐近法等。 此外，绘制超静定结构中的位移影响线，需运用第七章 所述位移互等定理。 静力法作影响线： 通过静力计算求出基本未知量与荷载位置x 的函数关 系 ，并据此而绘出其图形即为影响线。
绘出基本结构的MP图及单位弯矩图 M 1 、M 2 图
结构力学电子教案
第九章
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第10页
δ 1P
1 l (2 − α ) ds l2 = ∫ M 1M P = × α (1 − α )l × = α (1 − α )(2 − α ) 3 6 EI EI EI 2 l2
δ 2P
1 l (1 + α ) ds l2 = ∫ M 2M P = × α (1 − α )l × = α (1 − α )(1 + α ) 3 6 EI EI EI 2 l2
δ 11 是常数；自由项 δ 1P 是在基本结构中荷载
δ 1P 1 3 X 1 = RB = − = (3α − α ) δ 11 2
据此，给出沿跨度若干等分处的 α 值即可求得各纵标值.
结构力学电子教案
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第5页
图示为由四分点纵标而绘成的RB影响线，正号表示RB 向上。
RB影响线
求得了反力影响线后，梁上任意截面的内力影响线都可由 静力平衡方程求出。
4l 2 M 1 ( x1 ) = − α (1 − α ) 15 l M 1 ( x3 ) = α (1 − α )(2 − α ) 15
结构力学电子教案
第九章
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第13页
若将每跨四等分点的α 值分别代入 M 1 ( x) 方程，即可绘 出M1影响线。
其中负号表示荷载作用于该区段时将使支座1截面产生 负弯矩（上缘受拉）。
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第九章
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第6页
如图a所示等截面三跨连续梁，求支座1截面的弯矩M1 影响线。
1
连续梁的诸支座截面弯矩一经求得，则其他各处的弯 矩、剪力及支座反力等就极易由平衡条件求出。所以连续 梁的支座截面弯矩影响线是基本未知力影响线。
结构力学电子教案
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第7页
具体计算 ： 将荷载置于第一跨，设坐标为x1，求得M1影响线在第一 跨内的曲线方程式 M1(x1)。 将荷载置于第二跨，设坐标为x2 ，求得M1影响线在第二 跨内的曲线方程式 M1(x2 )。 将荷载置于第三跨，设坐标为x3，求得M1影响线在第三 跨内的曲线方程式M1(x3 )。 然后给出每一跨内若干等分处 值，从而绘出M1影响线。
结构力学电子教案
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第11页
δ 11 = δ 22
2l = 3EI
δ 12 = δ 21
1 = 6 EI
代入力法方程，得
⎫ l2 2l 1 M 1 ( x2 ) + M 2 ( x2 ) + α (1 − α )(2 − α ) = 0⎪ 3EI 6 EI 6 EI ⎪ ⎬ ⎪ l l2 2l M 1 ( x2 ) + M 2 ( x2 ) + α (1 − α )(1 + α ) = 0 ⎪ 6 EI 3EI 6 EI ⎭
α
的值即可求得各纵标
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第8页
设荷载FP =1作用于基本结构的第二跨，坐标为
x2 = αl 2 = αl
P=1
所取基本结构为分跨的简支梁，多余约束未知力为支座 1、2截面的弯矩 M 1 ( x) 和 M 2 ( x)
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第九章
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第9页
相应的力法方程为
δ 11M 1 + δ 12 M 2 + δ 1 p = 0 ⎫ ⎬ δ 21M 1 + δ 22 M 2 + δ 2 p = 0⎭
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第14页
同理可作支座2截面的弯矩M2影响线，由于结构的对称 性，它与M1影响线呈对称形式。
由上述可见，用静力法作n 次超静定结构的某一约束力 影响线时，须同时求解n 个未知约束力的影响线方程，这 对于高次超静定结构不很适宜。
由此解方程可得到荷载FP =1作用于基本结构的第二跨时， M1、 M2影响线方程，为
结构力学电子教案
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l M 1 ( x 2 ) = − α (1 − α )(7 − 5α ) 15 l M 2 ( x 2 ) = − α (1 − α )(2 + 5α ) 15
同理，可求出荷载FP =1作用于基本结构的第一跨和第三跨 时，M1影响线方程，为
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第2页
如图所示超静定梁，EI = 常数。欲求右端支座反力RB影 响线。
பைடு நூலகம்
以该支座为多余联系而将其去掉并代以多余未知力X1（设 向上为正），此X1即为RB 。 力法方程为
δ11 X 1 + Δ1P = 0
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第3页
绘出 M 1、MP图
l
δ 11