第03课 单自由度系统：阻尼自由振动汇总
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机械振动 第3章-单自由度系统的振动
kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子
J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n
单自由度体系自由振动
单自由度体系自由振动一、无阻尼振动单自由度体系自由振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。
在模型建立过程当中，可以直接进行建立。
在运行时，只需将c=0即可。
ω增加，单位时间内振动次数增加。
无阻尼振动是简谐振动，振幅和初相位仅取决于初位移和速度。
初始干扰反映了外部初始赋予体系能量的大小。
由于不考虑振动过程中体系能量的耗散，因而体系的总能量保持不变，这就表现为振幅Ａ保持不变，永不衰减。
于是振动一旦发生便永不停息，但这仅是一种理想状态。
二、对阻尼自由振动的讨论当阻尼系数ｃ不为０时，体系做阻尼运动。
由于有能量的耗散，体系的运动幅度会逐渐减小，最终停止振动。
有阻尼单自由度体系，自由振动的运动方程为ωξωm c m k t ky t y c t y m 2,0)()()(2===++∙∙∙， 则原式可变为022=++∙∙∙ωξωy y 。
解微分方程有如下结果：2.1 当1<ξ时，即小阻尼运动，方程的解为：)sin(A )sin cos ()(000ϕωωωξωωξωξω+=++=--t e t y v t y e t y d t d d d t 其中2200201)(ξωωωξω-=++=d d y v y A可画出小阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：是一条逐渐衰减的波动曲线2.2 当1>ξ时，即大阻尼的情况，方程的解为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+=-t ch y t sh v y e t y o t ωξωξξξωωξ11)1()(20220 上式不含有简谐振动的因子，是因为体系受干扰后偏离平衡位置所积蓄起来的初始能量在恢复平衡位置的过程中全部消耗克服阻尼，由于阻尼很大，不足以引起振动。
当初始速度，初始位移都大于０时，可画出大阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：2.3 当1=ξ时，即临界阻尼的情况，方程的解为：[]t v t y e t y t 00)1)(++=-ωω（当初始速度，初始位移都大于０时，可画出临界阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如下图所示；当体系在临界阻尼时，其运动衰减的最快，即他能在最短时间内无振动的回到平衡位置。
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
第三讲单自由度系统振动
ent D1d sin d t D2d cos d t
35
关于解的讨论——小阻尼振动系统
在t=0时有 x0 D1, 解得
x0 n x0 D2d
D2 x0 n x0
D1 x0 ,
d
经 D1与D2代入式(2.4-17)即得系统对于初始条件x0 0 的响应。 与x
另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。 相邻两个振幅之比
A1 Ae nTd n (t1 T d ) e A2 Ae
n d
nt1
(2.4-21)
式中称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅 T 1 e 减缩到初值的 。 在ζ=0.05时， =1.366，A2=A1/1.366=0.73A1 亦即在每一个周期内振幅减小27%，振幅按几何 41 级数缩减，衰减是显著的。
x0 A1 cosn 0 A2 sinn 0 0 A1n sinn 0 A2n cosn 0 x
A1 x0 0 n A2 x
22
0 x0 , x
x (t ) x0 cos n t
n
0 x
sin n t
关于解的讨论——小阻尼振动系统
为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅 来代替减幅系数，即 A1 2 T ln ln e nTd (2.4-22) A2 1 2 即对数缩减表示为唯一的变量ζ的函数。
n d
同样相对阻尼系数可以确定 为 2 (2） 2 当ζ <<1时
20
单自由度振动系统自由振动微分方程：
kx 0 m x
改写为标准方程：
x x 0
2 n
从数学上看，这是二阶常系数线性齐次常微分方程。
35
关于解的讨论——小阻尼振动系统
在t=0时有 x0 D1, 解得
x0 n x0 D2d
D2 x0 n x0
D1 x0 ,
d
经 D1与D2代入式(2.4-17)即得系统对于初始条件x0 0 的响应。 与x
另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。 相邻两个振幅之比
A1 Ae nTd n (t1 T d ) e A2 Ae
n d
nt1
(2.4-21)
式中称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅 T 1 e 减缩到初值的 。 在ζ=0.05时， =1.366，A2=A1/1.366=0.73A1 亦即在每一个周期内振幅减小27%，振幅按几何 41 级数缩减，衰减是显著的。
x0 A1 cosn 0 A2 sinn 0 0 A1n sinn 0 A2n cosn 0 x
A1 x0 0 n A2 x
22
0 x0 , x
x (t ) x0 cos n t
n
0 x
sin n t
关于解的讨论——小阻尼振动系统
为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅 来代替减幅系数，即 A1 2 T ln ln e nTd (2.4-22) A2 1 2 即对数缩减表示为唯一的变量ζ的函数。
n d
同样相对阻尼系数可以确定 为 2 (2） 2 当ζ <<1时
20
单自由度振动系统自由振动微分方程：
kx 0 m x
改写为标准方程：
x x 0
2 n
从数学上看，这是二阶常系数线性齐次常微分方程。
机械振动--第03课 单自由度系统：阻尼自由振动
c 2 k 2m m
称为系统的阻尼比，又称为相对阻尼系数。
粘性阻尼振动系统
cc 2 mk 2mn 2k /n
c cc
式 (2.3-1)可 以 写 成
mxcxkx0 x(0)x0, x(0)x0
x
2
n
x
2 n
x
0
(2.3-3)
根据 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
▪ 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分 析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体 或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的 热量等能量耗散的度量。
1. 引言
▪ 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。
。2粘
性
阻
尼
系
c
统的
自由2
振动k，
其
2m m
振 动 。实 际 阻 尼 小 于 临 界 阻 尼 的
位 系
统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
粘性阻尼振动系统
粘性阻尼振动系统
（ 2） 1 ， 临 界 阻 尼 （ critical damped）
这
时
，
系统
的c阻尼
系数c等于2
系
k
统
的
临
界
阻
c
尼
系2数，k这
粘性阻尼器
基于流体力学，作用于活塞上阻 力的大小近似地表示为
Fd
d 2 4
p
4L
d D
2
v
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与 速度成正比，方向与速度相反，这时 阻尼系数为
第三讲单自由度系统的振动(阻尼)解读
nt i
两端取自然对数得 其中
ln ln e nTd
nT
δ称为对数减缩系数
Td
2
0 1 2
c 0 2 m k
n
对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：
n
2
0 1
2
2 1
2
2
（ 2<<1 ）
上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼
x
这种振动的 振 幅 是 随 时 间 A x0 不断衰减的， 称为衰减振动。 衰减振动的运 动图线如图所 示。 d
Ae nt
衰减曲线的包络线
A1
A2
A3
t
Td
x
由衰减振动的表达式：
Ae
A x0
nt
x Ae
nt
sin(d t )
A1
A2
A3
这种振动不符合周期振 动 f (t ) f (t nT ) 的定
机械振动学
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随
时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响
nt 2 2 x Ae sin( n t ) 由衰减振动运动规律： 0
Ae-nt相当于振幅
设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有: 经过一个周期 Td ，系统到达另一个 比前者略小的最大偏离值Ai+1
第三节单自由度体系的自由振动
得
yk 1 e 2 (0.05) e0.周期后的振幅比前者约减少27%。
(4)阻尼比 值的测算
若用yk和yk+n表示相隔n个周期的两个振幅，它们的比值为
yk e nT e2n yk n
将上式两边取对数，得
ln yk 2n
yk n
则
1 ln yk
y(t) 2 y(t) 2 y(t) 0 y(t) Cert
代入运动方程，可得确定r的特征方程
r 2 2 r 2 0
其两个根为 于是一般解为
r1,2 ( 2 1)
(d)
y(t) C1e r1t C 2e r2t
方程的解取决于式(d)中根号内的数值。现分三种情况讨论。
1． ＜1(小阻尼情况)
kg
c 2m 2 81057 5 0.029 73848 kg/s
y0 e5T (eT )5 ( y0 )5
y5
y1
y5
y0 ( y0 )5
0.6 ( 0.6 )5
0.241cm
y1
0.5
y(0) v0
可求出 C1 y0 ,
C2
v0
代入上式，得到质点位移
y(t)
y0
cost
v0
sin t
由上式可知，自由振动由两部分 组成：一部分是由初始位移y0引 起的，质点按余弦规律振动，如 图 a所示；另一部分是由初始速 度v0引起的，质点按正弦规律振
动，如图b所示。两项均为简谐
函数，其合成运动仍为简谐运动,
得
C1 y0 ,
C2
v0
y0
故
y(t)
e t
(
y0
cost
v0
y0
sin
yk 1 e 2 (0.05) e0.周期后的振幅比前者约减少27%。
(4)阻尼比 值的测算
若用yk和yk+n表示相隔n个周期的两个振幅，它们的比值为
yk e nT e2n yk n
将上式两边取对数，得
ln yk 2n
yk n
则
1 ln yk
y(t) 2 y(t) 2 y(t) 0 y(t) Cert
代入运动方程，可得确定r的特征方程
r 2 2 r 2 0
其两个根为 于是一般解为
r1,2 ( 2 1)
(d)
y(t) C1e r1t C 2e r2t
方程的解取决于式(d)中根号内的数值。现分三种情况讨论。
1． ＜1(小阻尼情况)
kg
c 2m 2 81057 5 0.029 73848 kg/s
y0 e5T (eT )5 ( y0 )5
y5
y1
y5
y0 ( y0 )5
0.6 ( 0.6 )5
0.241cm
y1
0.5
y(0) v0
可求出 C1 y0 ,
C2
v0
代入上式，得到质点位移
y(t)
y0
cost
v0
sin t
由上式可知，自由振动由两部分 组成：一部分是由初始位移y0引 起的，质点按余弦规律振动，如 图 a所示；另一部分是由初始速 度v0引起的，质点按正弦规律振
动，如图b所示。两项均为简谐
函数，其合成运动仍为简谐运动,
得
C1 y0 ,
C2
v0
y0
故
y(t)
e t
(
y0
cost
v0
y0
sin
振动力学3单自由度自由
= 1 1 (ka 2θ 2 − mglθ 2 ) = ( ka 2 − mgl )θ 2 2 2 ka 2 − mgl ω0 = ml 2
x(t ) = A sin( ω0t + ϕ )
Tmax = U max
θ&max = ω0θ max
单自由度系统的自由振动-能量法
•
单自由度系统的自由振动-能量法
2
振动初始条件：
kx0 = mg × sin 30
0
考虑方向
x0 = −0.1 (cm)
& 初始速度： x0 = 0
运动方程： x(t ) = −0.1 cos( 70t ) (cm)
x(t ) = x0 cos(ω0t ) +
ω0
& x0
sin( ω0t )
单自由度系统的自由振动-无阻尼系统 • 例题
概述
• 时不变系统：指系统的物理特征或性质恒定，不随时间变 化。反之，则称为时变系统。 • 线性系统：指系统的运动规律可由线性方程描述。反之， 则称为非线性系统。线性系统满足如下的叠加原理，即
f表示激励，x表示响应。 • 一般而言，非线性系统不适用叠加原理。 • 实际的机械系统往往是非线性的，但多数系统在特定范围 或条件下，可以近似为线性系统。
ω0
A = x0 + (
2
ω0
& x0
) , ϕ = arctan
ω0 x0
& x0
• 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是 以为振动频率的简谐振动，并且永无休止 • 初始条件的说明 初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即传 入了弹性势能，有初始速度即传入了动能
单自由度系统自由振动
x(t ) = A sin( ω0t + ϕ )
Tmax = U max
θ&max = ω0θ max
单自由度系统的自由振动-能量法
•
单自由度系统的自由振动-能量法
2
振动初始条件：
kx0 = mg × sin 30
0
考虑方向
x0 = −0.1 (cm)
& 初始速度： x0 = 0
运动方程： x(t ) = −0.1 cos( 70t ) (cm)
x(t ) = x0 cos(ω0t ) +
ω0
& x0
sin( ω0t )
单自由度系统的自由振动-无阻尼系统 • 例题
概述
• 时不变系统：指系统的物理特征或性质恒定，不随时间变 化。反之，则称为时变系统。 • 线性系统：指系统的运动规律可由线性方程描述。反之， 则称为非线性系统。线性系统满足如下的叠加原理，即
f表示激励，x表示响应。 • 一般而言，非线性系统不适用叠加原理。 • 实际的机械系统往往是非线性的，但多数系统在特定范围 或条件下，可以近似为线性系统。
ω0
A = x0 + (
2
ω0
& x0
) , ϕ = arctan
ω0 x0
& x0
• 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是 以为振动频率的简谐振动，并且永无休止 • 初始条件的说明 初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即传 入了弹性势能，有初始速度即传入了动能
单自由度系统自由振动
第3章 单自由度体系的振动分析工程,振动,稳定,全套,课件
（3-13） ） （3-14） ）
R R R
ρ ρ ρ
y0
y0 y0
y0 ρ y0 y0
ω
. .
. . y y0000
. . .
ρ
y0
.
ρ y
I
0
I II y0
y0 .ω y0
ω
.
y0
ω
.
ω
ρ
y0
y0
y0
ω
.
y0
ω
.
y0
ω
.
ω .y0 ω y0 y0 ρ ω . . y0 y0 y
ω ω
0
.
ρ
ρ ρ y00 ρ y0000
1.临界阻尼 1.临界阻尼
自由振动方程： 自由振动方程： 特征方程： 特征方程：
m&& + cy + ky = 0 y &
2
（3-2） ）
c c 2 s=− ± −ω 2m 2m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记 当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为 ， 显然，应有c 作cc。显然，应有 c/2m=ω，即： ω
第 3 章 单自由度体系的振动分析
3.1 单自由度体系的自由振动分析
y (t) c F (t) m k
最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系 最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系. 已经得到单自由度体系的运动方程： 已经得到单自由度体系的运动方程：
& m&& + cy + ky = FP (t ) y
位移反应： 位移反应：
y( t ) = A sin ωt + B cos ωt & & y ( 0) = y 0
03-单自由度系统：阻尼自由振动
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—单自由度系统阻尼简谐振动 习题课 第2 章 单自由度系统--阻尼自由振动
27 Theory of Vibration with Applications
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—单自由度系统阻尼简谐振动 习题课 第2 章 单自由度系统--阻尼自由振动
cc 2n m
Theory of Vibration with Applications
2
d 2π z
1 2 1 d
2
z
Theory of Vibration with Applications
d z 2
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 阻尼对振幅的影响 例 在欠阻尼（z <1）的系统中，在振幅衰减曲线的包络线 上，已测得相隔N个周期的两点P、R的幅值之比xP/xR=r，如 图所示，试确定此振动系统的阻尼比z。
临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状 态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上 发生变化的重要临界值。 设cc为临界阻尼系数，由于z =n/p =1，即
cc 2nm 2 pm 2 km
cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由
c 2nm n z cc 2 pm p
z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z 称为阻尼比的原因。
衰减系数，单 位1/秒(1/s)
cx kx m x
c 2n m
2nx p x0 x
2
k p m
2
方程的解为
xe
rt
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Theory of Vibration with Applications
单自由度系统自由振动课件-精
m h
0
l/2
x
静平衡位置
11
无阻尼自由振动
例：圆盘转动
圆盘转动惯量 I
k
为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩 (N m / rad)
k
I
在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点位置
由牛顿第二定律： I k 0 02 0
扭振固有频率
0 k / I
12
无阻尼自由振动
• 特征方程：
2 02 0 i0
• 方程有两个复数解 ：
ei0t cos0tisin0t
ei0t cos0tisin0t
• 通解：
x(t) c1cos(0t)c2 sin(0t)
Asin(0t )
A c12 c22
tan 1 c1
c2
ω0称为固有圆频率，固有频率 f= ω0 /2π ， A称为振幅，φ称为 相位。
x
k
0 k( x)dx
（重力势能）
（弹性势能）
V
mgx
13
无阻尼自由振动
▪ 从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹 性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质 量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件， 它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加， 则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大
5
无阻尼自由振动
设 t 的位移和速度为：
x( ) x
x( ) x
带入通解式可以得到 ：
x Asin(0 ),x A0 cos(0 )
求解可得 ：
A
x
2
第三章单自由度有阻尼系统的振动
s是待定常数。代入（3-1）式得 ，要使所有时间内上式都能满足，必须 ，此即微分方程的特征方程，其解为
（b）
于是微分方程（3-1）的通解为
（3-2）
式中待定常数c1与c2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式 是实数、零、还是虚数。对应的根s1与s2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若s1与s2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为cc，即cc＝2mp。引进一个无量纲的量 ，称为相对阻尼系数或阻尼比。
1）当激扰频率很低，即λ=ω/P＜＜1时，放大因子β接近于1，即振幅B很近于B0，此时的振幅相当于把激扰力力幅F0当作静载荷加于系统上产生的静位移。
2）当扰频很高，即ω/p>>1时，放大因子β趋近于零，原因是，扰力方向改变很快，振动物体由于惯性来不及跟随，结果是停着不动。
3）当扰频与振系的固有频率很近，即ω/p≈1，在 较小的情况下，振幅B可以很大（即比B0大很多倍），此即共振现象。在共振区附近振幅的大小主要取决于阻尼大小，阻尼越小，振幅越大，在无阻尼的情况下，即 =0时，如2－3节中所提到的那样，振幅将变为无限大，共振振幅（ω=p时）可由下式求出：
[例3-4]如图3-4所示粘性阻尼振系，质量m、弹簧刚度k及阻尼系数c均为已知，有扰力F=F0sinωt作用，ω=P，设在t=0时，x=0、 ，求运动方程。
由式（3-16）可知，强迫振动的相位差ψ与频率比λ及阻尼比 有关。若以ψ为纵坐标，以频率比λ为横坐标，以阻尼比 为参变量，椐（3-16）式可绘成如图3-7所示的曲线，此曲线称为相位频率响应曲线（简称相频响应曲线）。从图中可以看出，ψ始终是正值，故强迫振动的位移总是滞后于激扰力，而且与阻尼比 的大小无关。还可看出，若 ≠0，则当λ<1时，ψ在0º-90º之间；当λ>1时，ψ在90º-180º之间。若 =0，及系统无阻尼存在时相位差ψ与频率图3-7
（b）
于是微分方程（3-1）的通解为
（3-2）
式中待定常数c1与c2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式 是实数、零、还是虚数。对应的根s1与s2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若s1与s2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为cc，即cc＝2mp。引进一个无量纲的量 ，称为相对阻尼系数或阻尼比。
1）当激扰频率很低，即λ=ω/P＜＜1时，放大因子β接近于1，即振幅B很近于B0，此时的振幅相当于把激扰力力幅F0当作静载荷加于系统上产生的静位移。
2）当扰频很高，即ω/p>>1时，放大因子β趋近于零，原因是，扰力方向改变很快，振动物体由于惯性来不及跟随，结果是停着不动。
3）当扰频与振系的固有频率很近，即ω/p≈1，在 较小的情况下，振幅B可以很大（即比B0大很多倍），此即共振现象。在共振区附近振幅的大小主要取决于阻尼大小，阻尼越小，振幅越大，在无阻尼的情况下，即 =0时，如2－3节中所提到的那样，振幅将变为无限大，共振振幅（ω=p时）可由下式求出：
[例3-4]如图3-4所示粘性阻尼振系，质量m、弹簧刚度k及阻尼系数c均为已知，有扰力F=F0sinωt作用，ω=P，设在t=0时，x=0、 ，求运动方程。
由式（3-16）可知，强迫振动的相位差ψ与频率比λ及阻尼比 有关。若以ψ为纵坐标，以频率比λ为横坐标，以阻尼比 为参变量，椐（3-16）式可绘成如图3-7所示的曲线，此曲线称为相位频率响应曲线（简称相频响应曲线）。从图中可以看出，ψ始终是正值，故强迫振动的位移总是滞后于激扰力，而且与阻尼比 的大小无关。还可看出，若 ≠0，则当λ<1时，ψ在0º-90º之间；当λ>1时，ψ在90º-180º之间。若 =0，及系统无阻尼存在时相位差ψ与频率图3-7
第3章_单自由度体系
将： c 2mn
c c ccr 2mn
代入：
s1,2
c 2m
(
c )2 2m
n2
得： s1,2 n in 1 2 n iD
3.2.2 低阻尼体系（Underdamped Systems）
u est s1,2 n iD
低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：
u(t
)
e
nt
[u(0)
得待定常数为：A u(0), B u(0)
n
3.1 无阻尼自由振动
体系无阻尼自由振动的解：
u
(t
)
u
(0)
cos
nt
u(0)
n
sin
nt
其中：
n
k m
无阻尼振动是一个简谐运动(Simple harmonic motion)
n ——自振频率（Natural frequency）。
3.1 无阻尼自由振动
3.2.2 低阻尼体系
现场实测： D 和 TD 理论计算： n 和 Tn 工程中结构的阻尼比
在1—5%之间， 一般不超过20%，
D n 1 2
TD
Tn
1 2
因此可以用 有阻尼体系的结果 代替 无阻尼结果。
阻尼对自振频率和自振周期的影响
3.2 有阻尼自由振动 u(t)
低阻尼体系的阻尼对 结 构 自 由 振 动 的 影 响 u(t)
(k m2 )C p0 sint (k m2 )D cost 0
C
p0 k
1
1
( / n
)2
,
D0
其中，/n—频率比，外荷载的激振频率与结构自振频
率之比 。
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
机械振动课程总结
Slide 15
广义力求法：（1）利用公式求解 （3）保守系统
δW （2）令某一位移变更，其他不变，算虚功 Q j = δ qj ∂V
Qj = − ∂q j
得出方程： M
ɺɺ [ ]{q} + [ K ]{q} = { p} 即为： [ M ]{ ɺɺ} + [ K ]{ x} = { p} x
根据方程的两种形式进行求解。 二、固有频率与主振型、振型矩阵 1 解力方程 考虑齐次方程
{P} ：外力列向量
4、拉氏方程：用广义速度 广义坐标表示动能T，势能V。 基本形式： d ∂T ∂T − = Qj ∂q ∂q dt ɺ j j d ∂L ∂L 保守力形式： − =0 ∂q ∂q dt ɺ j j
Q j : 广义力
L = T −V
ɺ x0 + ξ px0 1 −ξ pt x = e x0 cos qt + sin qt + B0βe sinε ⋅ cos qt + (ξ psinε −ωcosε ) sin qt q q +B0β sin(ωt − ε )
−ξ pt
不计阻尼时
ɺ x0 ω x = x0 cos pt + sin pt + B0 β sin ωt − sin pt p p
( j = 1, 2⋯ n )
Slide 18
A1 j = 1
所有元素对第一元素进行标准化得主振型矩阵：
A11 A 21 [ A] = ⋅ ⋅ An1
A12 A22 ⋅ ⋅ An 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
A1n 1 A2 n A21 ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Ann An1
广义力求法：（1）利用公式求解 （3）保守系统
δW （2）令某一位移变更，其他不变，算虚功 Q j = δ qj ∂V
Qj = − ∂q j
得出方程： M
ɺɺ [ ]{q} + [ K ]{q} = { p} 即为： [ M ]{ ɺɺ} + [ K ]{ x} = { p} x
根据方程的两种形式进行求解。 二、固有频率与主振型、振型矩阵 1 解力方程 考虑齐次方程
{P} ：外力列向量
4、拉氏方程：用广义速度 广义坐标表示动能T，势能V。 基本形式： d ∂T ∂T − = Qj ∂q ∂q dt ɺ j j d ∂L ∂L 保守力形式： − =0 ∂q ∂q dt ɺ j j
Q j : 广义力
L = T −V
ɺ x0 + ξ px0 1 −ξ pt x = e x0 cos qt + sin qt + B0βe sinε ⋅ cos qt + (ξ psinε −ωcosε ) sin qt q q +B0β sin(ωt − ε )
−ξ pt
不计阻尼时
ɺ x0 ω x = x0 cos pt + sin pt + B0 β sin ωt − sin pt p p
( j = 1, 2⋯ n )
Slide 18
A1 j = 1
所有元素对第一元素进行标准化得主振型矩阵：
A11 A 21 [ A] = ⋅ ⋅ An1
A12 A22 ⋅ ⋅ An 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
A1n 1 A2 n A21 ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Ann An1
第五章补充_单自由度系统的振动讲解
k —固有频率；
m
x n2x 0
解的形式：
x(t) cest,
特征方程：
s2 n2 0
方程特征根：
s jn
k
其中c、s为常量。
3.1单自由度系统的自由振动
特征解：
x1 c1es1t ,
x2 c2es2t
根据线性系统叠加原理，方程的通解为两个特征解的线性叠加:
3.2单自由度系统的强迫振动
x(t)
F0
k(1 2 )
(sin
t
sin
nt)
当激振力频率与固有频率接近，令： n 2n ,ε为一小量。
x(t)
F0
2k
sin
nt
cosnt
F0
2k
nt
cos nt
即出现“拍”的现象。
3.2单自由度系统的强迫振动
习题
1. 单摆
O
以角度θ为位移,建立运动方程，并求振动 θ
固有频率。
l
m
3.1单自由度系统的自由振动
2 . 升降机问题
升降机箱笼质量为m，由钢丝绳牵挂 以速度v0向下运动，钢丝绳刚度系数 为k，质量不计。如果升降机紧急刹 车，钢丝绳上端突然停止运动。 求此时钢丝绳受到的最大张力Tmax
（弹簧减振钩）
x1(t)
瞬态响应（通解） x1(t) ent (a1 cosdt a2 sin dt)
为对应齐次方程 mx cx kx 0 在欠阻尼情况下的解。
x2(t) 稳态响应（特解） x2(t) X sin( t )
为强迫振动下系统的特解。
3.2单自由度系统的强迫振动
单自由度系统有阻尼振动
bx 2 F F x 2 bx x 0 x 0
2 阻尼的分类
•
• d.结构阻尼 材料在变形过程中由内部晶体之间发生相对摩擦产生的阻尼称为结 构阻尼（固体阻尼或滞后阻尼），其阻尼大小决定于材料的性质。
3 动力学模型和微分方程
•
• •
根据牛顿第二定律得：
kx x mx
2.3 单自由度系统有阻尼振动
1 阻尼的作用
•
无阻尼自由振动是理想情况，它的振幅不随时 间衰减，系统受到激励后振动将永远维持下去。 但实际上，一切自由振动都会是衰减的，振幅随 时间增加而逐渐减小，最后振动停止。这是因为 系统在振动过程中，受到各种阻力的影响，这些 阻力的方向始终与振动体的运动方向相反，因而 对系统做负功，不断消耗系统能量，从而使振动 收到抑制，并逐渐平息。在振动中，这些阻力就 称为阻尼。
2 阻尼的分类
•
• • 一般假设阻尼原件既无质量也无弹性，只有当阻尼器两端有相对 运动时阻尼力才存在。输入阻尼器的功和能量转化为热。 a.粘性阻尼 粘性阻尼是振动系统的运动受大小与运动速度成正比而方向相反的 阻力所引起的能量损耗。粘性阻尼发生在物体内振动而产生形变的过 程中。物体振动时，部分振动能量损耗在物体所处的环境的阻力中， 比如说振动物体受到空气或水的阻力，并被转换为热能。
F cx
2 阻尼的分类
• • b.干摩擦阻尼 两个干燥表面相互紧压并做相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻 尼（或库伦阻尼），其大小取决于摩擦时的材料和法向压力，而与位 移和速度均无关。
N F 0 N x 0 x 0 x 0
• •
c.流体阻尼 物体以较大速度（3~15 m/s）在黏度较小的流体中运动时，其阻力 大小与物体运动的速度平方成正比，方向与速度方向相反，
2 阻尼的分类
•
• d.结构阻尼 材料在变形过程中由内部晶体之间发生相对摩擦产生的阻尼称为结 构阻尼（固体阻尼或滞后阻尼），其阻尼大小决定于材料的性质。
3 动力学模型和微分方程
•
• •
根据牛顿第二定律得：
kx x mx
2.3 单自由度系统有阻尼振动
1 阻尼的作用
•
无阻尼自由振动是理想情况，它的振幅不随时 间衰减，系统受到激励后振动将永远维持下去。 但实际上，一切自由振动都会是衰减的，振幅随 时间增加而逐渐减小，最后振动停止。这是因为 系统在振动过程中，受到各种阻力的影响，这些 阻力的方向始终与振动体的运动方向相反，因而 对系统做负功，不断消耗系统能量，从而使振动 收到抑制，并逐渐平息。在振动中，这些阻力就 称为阻尼。
2 阻尼的分类
•
• • 一般假设阻尼原件既无质量也无弹性，只有当阻尼器两端有相对 运动时阻尼力才存在。输入阻尼器的功和能量转化为热。 a.粘性阻尼 粘性阻尼是振动系统的运动受大小与运动速度成正比而方向相反的 阻力所引起的能量损耗。粘性阻尼发生在物体内振动而产生形变的过 程中。物体振动时，部分振动能量损耗在物体所处的环境的阻力中， 比如说振动物体受到空气或水的阻力，并被转换为热能。
F cx
2 阻尼的分类
• • b.干摩擦阻尼 两个干燥表面相互紧压并做相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻 尼（或库伦阻尼），其大小取决于摩擦时的材料和法向压力，而与位 移和速度均无关。
N F 0 N x 0 x 0 x 0
• •
c.流体阻尼 物体以较大速度（3~15 m/s）在黏度较小的流体中运动时，其阻力 大小与物体运动的速度平方成正比，方向与速度方向相反，
《阻尼自由振动》课件
阻尼自由振动的特性取决于阻尼 系数c的值，当c越大时，振幅衰 减越快，频率降低越快，相位滞 后越大。
03
阻尼自由振动的实验研究
实验设备与实验方法
实验设备
阻尼自由振动实验装置、测量仪 器、计算机等。
实验方法
搭建阻尼自由振动实验装置，设 定初始条件，记录振动数据，分 析实验结果。
实验结果与分析
结果
注重实际应用
在研究过程中注重实际应用的需求，将研究成果转化 为实际产品和技术，推动社会的发展和进步。
谢谢您的聆听
THANKS
阻尼自由振动还可以用于机械设备的故障诊断，通过监测 和分析异常振动信号，及时发现潜在的故障和问题。
阻尼自由振动在航空航天工程中的应用
飞机设计
在飞机设计中，阻尼自由振动对 于控制机翼、机身等结构的振动 和噪声具有重要意义，可以提高 飞行的安全性和舒适性。
航天器设计
在航天器设计中，阻尼自由振动 有助于控制航天器的姿态和轨道 稳定性，提高航天器的可靠性和 精度。
阻尼自由振动是振动理论 中的一个重要概念，广泛 应用于工程、物理、生物 等多个领域。
阻尼自由振动的研究有助 于深入了解各种实际系统 中振动现象的本质和规律 。
阻尼自由振动的物理意义
01
阻尼自由振动揭示了系统能量耗散的机制，即振动过程中能量 不断转化为其他形式的能量，如热能、光能等。
02
阻尼自由振动对于理解非线性动力学行为、混沌现象等复杂系
新材料开发
阻尼自由振动的研究将推动新材料的发展， 特别是具有优异阻尼性能的材料，为新产品 的开发提供更多可能性。
对阻尼自由振动研究的建议与展望
加强基础研究
进一步深入阻尼自由振动的基础研究，探索其内在规 律和机理，为实际应用提供理论支持。
单自由度系统阻尼自由振动
对数缩减率
前后相邻的任意两次振动的振幅之比的自 然对数，称为对数缩减率，记为：
x1 ln nTd x2
由于： Td
T 1
2
可得：
2 1
2
当在 1 的时候，有 2
作业2
证明：第t次与第t+n次振动的振幅对数缩减 率为 n ，第t次与第t+1次振动的振幅对数 缩减率为 ，则：
n
阻尼振动的特点
由于有衰减项的存在，因此阻尼振动既不 是简谐的，也不是周期的。而是随着时间t 趋于无穷时，振幅逐渐衰减为零，系统趋 于静止。这是阻尼自由振动和无阻尼自由 振动的主要区别之一。
阻尼振动的数字特征
习惯上，将函数 cos(d t ) 的周期称为衰 减振动的周期，故衰减振动的周期和频率 分别为： 2 T 2 Td d 1 2 1 2 n
U 2 有： U1
证明
设第一个位移最大值 x1 ，相邻的位移最大 值 x2 ，则相应的机械能为：
1 2 U1 kx1 2
1 2 U 2 kx2 2
2
x2 U U 1 U 2 1 U1 U1 x1
x1 ，从而 x 2 由 ln 2 e 2 x2
作业
有粘性阻尼的弹簧质量系统，无阻尼振动 的固有频率为 n ，从平衡位置拉开 x0 后释 放，初速度为零，求 1.25 和 1 时的 系统运动情况。
小阻尼系统的运动特点
当 1 ，特征方程的根
s1,2 n j 1 2 n
令：
d 1 2 n
xe
nt
s1,2 2 1 n ，
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▪ 固有频率计算方法
• 求解特征方程 • 单位加速度法 • 能量法
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
1. 引言
▪ 什么是阻尼？
• “阻”和“尼”均有“阻碍”、“阻止”的意思
▪ 比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工作缸被活塞 分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时， 强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运动，液体经脱阀时产生 的阻力，使运动能量变为热能耗散掉。
（3） 1 ，过阻尼（overdamped）
这时，系统叫做过c阻尼 系统 或c强阻2尼系k统，其特征 值c为两2实数k，即
由于
s12,21
2m s1,2 2m m 2 1 d 2m m
c ，2m可以看出
s1
和
s2
都是负实数，因 2而cm系统2 的运mk动是两个
指数衰减的运动 之和 c x2(mt)
i
A1e
k
m
c
2m 2
1
d
t
2
A2
e
c
2
2m
2
1
d
t
k m
系统的运动将是非振荡的。
例题
有一个有阻尼系统，质量为 m ，弹簧常数为 k 。测
得其自由振动数据，试确定其阻尼大小。
解：根据单自由度阻尼振动系统的运动方程
x(t) Aent cos(dt )
2m 2m m
2m m
统叫这 做x(s是 临t1),2一 界阻个A尼时1间 系22ccAmm的 统2t。线 ei由性n函 于mtk 数 与21一cm，个系2指统数的衰运减 动22的ccmm方函程22数可之以mmkk积写，为其
一般运动形式可以表示为如图所示，显然不发生振荡。
粘性阻尼振动系统
▪ 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分 析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体 或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的 热量等能量耗散的度量。
1. 引言
▪ 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。
粘性阻尼振动系统
cc 2 mk 2mn 2k / n
c
cc
式(2.3-1)可以写成
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
x 2n x n2x 0 (2.3-3)
根据 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
粘性阻尼振动系统
（1） 1，此时为弱阻尼（欠阻尼，underdamped）情况，此时特征值
粘性阻尼器
基于流体力学，作用于活塞上阻 力的大小近似地表示为
Fd
d 2 4
p
4L
d D
2 v
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与 速度成正比，方向与速度相反，这时 阻尼系数为
c
4L
d
2
D
粘性阻尼
▪ 若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻 尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在 粘性介质中运动（包括两接触面之间有润滑 剂时）可以认为阻尼与速度成正比。
为二共轭复根
c
s1,2
c
2
i1k
2
n
方程（2.3-3）的通2解m为 2m m
c
2
k
2m m
2
s c c k x(t) 1, 2
B1e
i
1 2 nt
B2e i
1 2 nt
2m 2m m ent A1 cos 1 2nt A2 sin nt Aent cos(dt )
(2.3-1)
为了得到它的解，设 x Aest 。代入式(2.3-1)得到
A ms2 cs s est 0
对于非平凡解， A 0 ，因此
k x
m
c
ms2 cs s 0
式(2.3-2)称为式(2.3-1)的特征方程。解之可得
(2.3-2)
粘性阻尼振动系统
s1,2
c 2m
c
c
2
k
2
k
c
2
k
2m 2m m
2m m
s1,2
的 cc 2
mk
c 2m
2mn
c i 2m
c 2 k 2m m
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
k
2m m
2k / n 称为临界阻尼（critical damping）。再令
k m
c
2
2m ccc
c
2
k
2m m
称为系统的阻尼比，又称为相对阻尼系数。
2m 2m m
c
2
2m
k m
c 2m
c
i
2m
k c 2 m 2m
k
c
c
2
k
2m m
c
2
k
2m m
c 2 k 2m m
x m
粘性阻尼振动系统
考虑 x Aest Aeσ iω ( Aeσ )eiω ，如果 0 ，则物体的运动将不
再是往复振动。c所以对于满 足c
粘性阻尼振动系统
在线性振动理论中规定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大小
与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数 c 为常数。单
自由度系统阻尼振动的模型如图所示,与阻尼自由振动相比，增加 一个阻尼器。按照前面讲述的建立系统运动微分方程的方法可得
k x
m c
粘性阻尼振动系统
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
▪ 最常见的阻尼是
• 粘性阻尼viscous damping • 库仑阻尼（干摩擦阻尼）Coulomb damping • 结构阻尼structural damping
▪ 我们将着重讨论粘性阻尼，如果没有特殊说明，有 阻尼系统就是粘性阻尼系统。
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
机械振动(Mechanical Vibration)
第三课 单自由度系统： 阻尼自由振动
交通与车辆工程学院 刚宪约 2020年10月4日
前课需要掌握的内容
▪ 运动方程的建模方法
• 牛顿第二定律 • 机械能守恒dE＝0 • 虚功原理
▪ 运动方程的解
• 求解方法 • 解的形式：幅值与相位 • 固有频率
移是一式个中具d有振幅12-随cm时2间n 叫按i 做指阻数mk尼衰固减有的2频减cm率小。振2粘动性。实阻际尼阻系尼统2c小的m于自临由2 界振阻动mk尼，的其系位
统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
粘性阻尼振动系统
粘性阻尼振动系统
（2） 1 ，临界阻尼（critical damped）
这时，系统 的c阻尼系数c等于2 系 统k 的临界阻 尼c 系2数，k这种系
• 求解特征方程 • 单位加速度法 • 能量法
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
1. 引言
▪ 什么是阻尼？
• “阻”和“尼”均有“阻碍”、“阻止”的意思
▪ 比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工作缸被活塞 分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时， 强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运动，液体经脱阀时产生 的阻力，使运动能量变为热能耗散掉。
（3） 1 ，过阻尼（overdamped）
这时，系统叫做过c阻尼 系统 或c强阻2尼系k统，其特征 值c为两2实数k，即
由于
s12,21
2m s1,2 2m m 2 1 d 2m m
c ，2m可以看出
s1
和
s2
都是负实数，因 2而cm系统2 的运mk动是两个
指数衰减的运动 之和 c x2(mt)
i
A1e
k
m
c
2m 2
1
d
t
2
A2
e
c
2
2m
2
1
d
t
k m
系统的运动将是非振荡的。
例题
有一个有阻尼系统，质量为 m ，弹簧常数为 k 。测
得其自由振动数据，试确定其阻尼大小。
解：根据单自由度阻尼振动系统的运动方程
x(t) Aent cos(dt )
2m 2m m
2m m
统叫这 做x(s是 临t1),2一 界阻个A尼时1间 系22ccAmm的 统2t。线 ei由性n函 于mtk 数 与21一cm，个系2指统数的衰运减 动22的ccmm方函程22数可之以mmkk积写，为其
一般运动形式可以表示为如图所示，显然不发生振荡。
粘性阻尼振动系统
▪ 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分 析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体 或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的 热量等能量耗散的度量。
1. 引言
▪ 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。
粘性阻尼振动系统
cc 2 mk 2mn 2k / n
c
cc
式(2.3-1)可以写成
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
x 2n x n2x 0 (2.3-3)
根据 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
粘性阻尼振动系统
（1） 1，此时为弱阻尼（欠阻尼，underdamped）情况，此时特征值
粘性阻尼器
基于流体力学，作用于活塞上阻 力的大小近似地表示为
Fd
d 2 4
p
4L
d D
2 v
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与 速度成正比，方向与速度相反，这时 阻尼系数为
c
4L
d
2
D
粘性阻尼
▪ 若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻 尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在 粘性介质中运动（包括两接触面之间有润滑 剂时）可以认为阻尼与速度成正比。
为二共轭复根
c
s1,2
c
2
i1k
2
n
方程（2.3-3）的通2解m为 2m m
c
2
k
2m m
2
s c c k x(t) 1, 2
B1e
i
1 2 nt
B2e i
1 2 nt
2m 2m m ent A1 cos 1 2nt A2 sin nt Aent cos(dt )
(2.3-1)
为了得到它的解，设 x Aest 。代入式(2.3-1)得到
A ms2 cs s est 0
对于非平凡解， A 0 ，因此
k x
m
c
ms2 cs s 0
式(2.3-2)称为式(2.3-1)的特征方程。解之可得
(2.3-2)
粘性阻尼振动系统
s1,2
c 2m
c
c
2
k
2
k
c
2
k
2m 2m m
2m m
s1,2
的 cc 2
mk
c 2m
2mn
c i 2m
c 2 k 2m m
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
k
2m m
2k / n 称为临界阻尼（critical damping）。再令
k m
c
2
2m ccc
c
2
k
2m m
称为系统的阻尼比，又称为相对阻尼系数。
2m 2m m
c
2
2m
k m
c 2m
c
i
2m
k c 2 m 2m
k
c
c
2
k
2m m
c
2
k
2m m
c 2 k 2m m
x m
粘性阻尼振动系统
考虑 x Aest Aeσ iω ( Aeσ )eiω ，如果 0 ，则物体的运动将不
再是往复振动。c所以对于满 足c
粘性阻尼振动系统
在线性振动理论中规定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大小
与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数 c 为常数。单
自由度系统阻尼振动的模型如图所示,与阻尼自由振动相比，增加 一个阻尼器。按照前面讲述的建立系统运动微分方程的方法可得
k x
m c
粘性阻尼振动系统
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
▪ 最常见的阻尼是
• 粘性阻尼viscous damping • 库仑阻尼（干摩擦阻尼）Coulomb damping • 结构阻尼structural damping
▪ 我们将着重讨论粘性阻尼，如果没有特殊说明，有 阻尼系统就是粘性阻尼系统。
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
机械振动(Mechanical Vibration)
第三课 单自由度系统： 阻尼自由振动
交通与车辆工程学院 刚宪约 2020年10月4日
前课需要掌握的内容
▪ 运动方程的建模方法
• 牛顿第二定律 • 机械能守恒dE＝0 • 虚功原理
▪ 运动方程的解
• 求解方法 • 解的形式：幅值与相位 • 固有频率
移是一式个中具d有振幅12-随cm时2间n 叫按i 做指阻数mk尼衰固减有的2频减cm率小。振2粘动性。实阻际尼阻系尼统2c小的m于自临由2 界振阻动mk尼，的其系位
统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
粘性阻尼振动系统
粘性阻尼振动系统
（2） 1 ，临界阻尼（critical damped）
这时，系统 的c阻尼系数c等于2 系 统k 的临界阻 尼c 系2数，k这种系