第03课 单自由度系统：阻尼自由振动汇总

2
k
c
2
k
2m 2m m
2m m
s1,2
的 cc 2
mk
c 2m
2mn
c i 2m
c 2 k 2m m
Baidu Nhomakorabea
c
2
k
2m m
2k / n 称为临界阻尼（critical damping）。再令
k m
c
2
2m ccc
c
2
k
2m m
称为系统的阻尼比，又称为相对阻尼系数。
▪ 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分 析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体 或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的 热量等能量耗散的度量。
1. 引言
▪ 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。
移是一式个中具d有振幅12-随cm时2间n 叫按i 做指阻数mk尼衰固减有的2频减cm率小。振2粘动性。实阻际尼阻系尼统2c小的m于自临由2 界振阻动mk尼，的其系位
统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
粘性阻尼振动系统
粘性阻尼振动系统
（2） 1 ，临界阻尼（critical damped）
这时，系统 的c阻尼系数c等于2 系 统k 的临界阻 尼c 系2数，k这种系
2m 2m m
2m m
统叫这 做x(s是 临t1),2一 界阻个A尼时1间 系22ccAmm的 统2t。线 ei由性n函 于mtk 数 与21一cm，个系2指统数的衰运减 动22的ccmm方函程22数可之以mmkk积写，为其
一般运动形式可以表示为如图所示，显然不发生振荡。
粘性阻尼振动系统
粘性阻尼振动系统
cc 2 mk 2mn 2k / n
c
cc
式(2.3-1)可以写成
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
x 2n x n2x 0 (2.3-3)
根据 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
粘性阻尼振动系统
（1） 1，此时为弱阻尼（欠阻尼，underdamped）情况，此时特征值
机械振动(Mechanical Vibration)
第三课 单自由度系统： 阻尼自由振动
交通与车辆工程学院 刚宪约 2020年10月4日
前课需要掌握的内容
▪ 运动方程的建模方法
• 牛顿第二定律 • 机械能守恒dE＝0 • 虚功原理
▪ 运动方程的解
• 求解方法 • 解的形式：幅值与相位 • 固有频率
(2.3-1)
为了得到它的解，设 x Aest 。代入式(2.3-1)得到
A ms2 cs s est 0
对于非平凡解， A 0 ，因此
k x
m
c
ms2 cs s 0
式(2.3-2)称为式(2.3-1)的特征方程。解之可得
(2.3-2)
粘性阻尼振动系统
s1,2
c 2m
c
c
2
k
▪ 最常见的阻尼是
• 粘性阻尼viscous damping • 库仑阻尼（干摩擦阻尼）Coulomb damping • 结构阻尼structural damping
▪ 我们将着重讨论粘性阻尼，如果没有特殊说明，有 阻尼系统就是粘性阻尼系统。
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
粘性阻尼振动系统
在线性振动理论中规定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大小
与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数 c 为常数。单
自由度系统阻尼振动的模型如图所示,与阻尼自由振动相比，增加 一个阻尼器。按照前面讲述的建立系统运动微分方程的方法可得
k x
m c
粘性阻尼振动系统
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
（3） 1 ，过阻尼（overdamped）
这时，系统叫做过c阻尼 系统 或c强阻2尼系k统，其特征 值c为两2实数k，即
由于
s12,21
2m s1,2 2m m 2 1 d 2m m
c ，2m可以看出
s1
和
s2
都是负实数，因 2而cm系统2 的运mk动是两个
指数衰减的运动 之和 c x2(mt)
为二共轭复根
c
s1,2
c
2
i1k
2
n
方程（2.3-3）的通2解m为 2m m
c
2
k
2m m
2
s c c k x(t) 1, 2
B1e
i
1 2 nt
B2e i
1 2 nt
2m 2m m ent A1 cos 1 2nt A2 sin nt Aent cos(dt )
粘性阻尼器
基于流体力学，作用于活塞上阻 力的大小近似地表示为
Fd
d 2 4
p
4L
d D
2 v
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与 速度成正比，方向与速度相反，这时 阻尼系数为
c
4L
d
2
D
粘性阻尼
▪ 若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻 尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在 粘性介质中运动（包括两接触面之间有润滑 剂时）可以认为阻尼与速度成正比。
▪ 固有频率计算方法
• 求解特征方程 • 单位加速度法 • 能量法
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
1. 引言
▪ 什么是阻尼？
• “阻”和“尼”均有“阻碍”、“阻止”的意思
▪ 比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工作缸被活塞 分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时， 强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运动，液体经脱阀时产生 的阻力，使运动能量变为热能耗散掉。
2m 2m m
c
2
2m
k m
c 2m
c
i
2m
k c 2 m 2m
k
c
c
2
k
2m m
c
2
k
2m m
c 2 k 2m m
x m
粘性阻尼振动系统
考虑 x Aest Aeσ iω ( Aeσ )eiω ，如果 0 ，则物体的运动将不
再是往复振动。c所以对于满 足c
i
A1e
k
m
c
2m 2
1
d
t
2
A2
e
c
2
2m
2
1
d
t
k m
系统的运动将是非振荡的。
例题
有一个有阻尼系统，质量为 m ，弹簧常数为 k 。测
得其自由振动数据，试确定其阻尼大小。
解：根据单自由度阻尼振动系统的运动方程
x(t) Aent cos(dt )