北京版-数学-九年级上册- 二次函数的应用 教案

《二次函数的应用》教案

教学目标

一、知识与技能

1．巩固并熟练掌握二次函数的性质．

2．能够运用二次函数的性质解决实际问题．

3．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．增强解决问题的能力．

二、能力目标

建立二次函数模型，进一步体会如何应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而提高理解实际问题、从数学角度抽象分析实际问题和运用数学知识解决实际问题的能力．

三、情感态度与价值观

1．从实际生活中认识到：数学来源于生活，数学服务于生活．

2．培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成．

3．经历求最大面积的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．

教学重点

能利用实际问题列出二次函数的解析式，并能利用二次函数的性质求出最大值和最小值． 教学难点

能利用几何图形的有关知识求二次函数的解析式．

教学过程

一、相关知识回顾

1．函数223y x x =+-的最值是，是最（填“大”或者“小”）值．

2．说说你是如何做的？

3．将函数2245y x x =+-化成顶点式，并指出顶点坐标，对称轴．

二、新课引入

1．合作讨论，解决问题：

如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角的边上． （1）如果设矩形的一边AB =x m ，那么AD 边的长度如何表示？

（2）设矩形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

解：（1）设AD的长度为a m，则：BC=a m

BC∥AD（已知）

∴

40

3040

a x

-

=

∴

3

30

4

a x

=-

即

3

30

4

AD x

=-

（2）∵

2

2

3

(30)

4

3

30

4

3

(20)300(040)

4

y x a

x x

x x

x x

=⋅

=⋅-

=-+

=--+<<

当20300

x y

==

最大

时，

2．变式训练，灵活运用

议一议：如果把上题中的矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？小组成员之间相互讨论．

解：由勾股定理可得，这个三角形的斜边长为50m

易求得斜边上的高为24m．

设矩形的一边 m AD x =，另一边AB =a m ，则有

24

2450a x -= 解得：122425a x =-

所以

2212242512(25)300(050)25

y x a

x x x x =⋅=-

=--+<< 因此，当25=x 时，300=最大y

3．归纳总结

解决问题的路和方法整理

（1）数据（常量、变量）提取；

（2）自变量、因变量识别；

（3）构建函数解析式，并求出自变量的取值范围；

（4）利用函数（或图像）的性质求最大（或最小）值．

4．迁移运用，培养能力

例1 利用函数图像求一元二次方程0222

12=--x x 的近似解（精确到0.1）. 例2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m .当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m ），此时，窗户的面积是多少？

解： 74π 15x y x ++=

∴4

715x x y π--= 015x <<且1570154x x π--<

<

∴0 1.48x <<

设窗户的面积是S m 2.则：

22221π22

1157ππ224

71522

715225()21456S x xy x x x x x x x =

+--=+⋅=-+=--+ ∴当15 1.0714x =≈时，225 4.0256

S =≈最大 因此，当x 约为1.07 m 时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m 2.

例3 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据销售经验，提高单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量会减少10件.当销售单价为多少时，该店能在一个月内获最大利润？

5．归纳总结，探索规律．

（1）对问题情景中的数量（提取常量、变量）关系进行梳理；

（2）建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等）；

（3）建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等），解决问题用字母（参数）来表示不同数量（如不同长度的线段）间的大小联系.