判别式
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
无条件极值判别式
无条件极值判别式
无条件极值的判别方法有多种，其中一种常用的方法是判别式法。
这种方法基于一元函数极值的必要条件，通过构建判别式来判定极值的存在性。
具体步骤如下：
1.计算一元函数的导数，得到f'(x)。
2.计算二阶导数，得到f''(x)。
3.构建判别式Δ=b²-4ac，其中a=f''(x)，b=f'(x)，c=-f'(x)。
4.根据判别式的值进行判断：
o当Δ>0时，存在极小值；
o当Δ<0时，不存在极值；
o当Δ=0时，需要进一步分析。
通过这种方法，可以判断一元函数是否存在无条件极值，以及极值的具体位置。
对于多元函数，无条件极值的判别方法更加复杂，需要使用梯度向量和海森矩阵等工具进行判断。
一元二次方程的解的判别
一元二次方程的解的判别一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a不等于0。
解方程的过程主要是通过判别式的值来确定方程有几个实根或者虚根。
本文将介绍一元二次方程解的判别式以及相应的结果。
1. 一元二次方程的判别式一元二次方程的判别式是指根据方程的系数计算得到的一个值，用Δ表示（读作“delta”），计算公式为Δ=b^2-4ac。
2. 判别式的含义及结果根据判别式的值可以确定方程的解的情况，具体如下：（1）当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
根据求根公式，实根可表示为x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a。
（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
实根可以表示为x=-b/2a。
（3）当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根（虚根）。
虚根的表示形式为x1=(-b+√(-Δ)i)/2a和x2=(-b-√(-Δ)i)/2a，其中i是虚数单位。
3. 解方程的步骤解一元二次方程的步骤如下：（1）计算判别式Δ=b^2-4ac的值。
（2）根据Δ的值判断方程的解的情况。
（3）根据判别式的结果，使用相应的公式计算方程的根。
4. 举例说明以方程2x^2-5x+2=0为例，计算该方程的解。
（1）计算判别式Δ=(-5)^2-4*2*2=25-16=9。
（2）由于Δ=9>0，根据判别式的结果可知方程有两个不相等的实根。
（3）根据求根公式，计算实根：x1=(-(-5)+√9)/(2*2)=7/4，x2=(-(-5)-√9)/(2*2)=1/2。
因此，方程2x^2-5x+2=0的解为x1=7/4，x2=1/2。
5. 总结一元二次方程的解的判别是通过计算方程的判别式来确定方程的解的性质。
根据判别式的值可以判断方程有几个实根或虚根。
通过求根公式，可以计算出方程的根。
理解和掌握一元二次方程解的判别式对于解决相关的数学问题具有重要意义。
一元三次多项式的判别式的初等对称多项式的表示式
一元三次多项式的判别式的初等对称多项式的表示式一元三次多项式的判别式是指对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，其判别式Δ=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd的表达式。
而该判别式的表达式可以通过初等对称多项式来表示。
在本文中，我们将深入探讨一元三次多项式的判别式以及初等对称多项式的表示式，希望能给读者带来一些启发和帮助。
一、一元三次多项式的判别式的定义一元三次多项式的判别式是一个重要的概念，它能帮助我们判断一个一元三次方程的根的情况。
一元三次多项式的判别式Δ=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd是通过方程的系数所组成的表达式，它可以在某种程度上反映出方程根的性质。
通过判别式，我们可以判断方程的根是实根还是复根，是重根还是不重根，是正根还是负根。
一元三次多项式的判别式在代数学中具有重要意义。
二、初等对称多项式的概念初等对称多项式是指对于n个元素x1,x2,...,xn的一组实数，以及n个未知数a1,a2,...,an，形如a1^1*a2^2*...*an^nk的多项式。
初等对称多项式的概念是对称多项式的一种具体表现形式，它在数学中有着广泛的应用。
在代数学、数学分析和组合数学等领域，初等对称多项式是一种非常基础的数学概念，对研究和解决一些数学问题具有重要作用。
三、一元三次多项式的判别式的初等对称多项式表示式通过初等对称多项式，我们可以将一元三次多项式的判别式Δ=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd进行表示。
具体的表示式如下：1. 对称多项式的表示式将二次项系数b、一次项系数c、常数项d视为三个未知数x1、x2、x3，可得到三个未知数的多项式函数f(x)=x^3-px^2+qx-r。
其中，p=b/a、q=c/a、r=d/a。
2. 初等对称多项式的计算根据初等对称多项式的定义，我们可以得到一元三次多项式的判别式Δ的表示式为：Δ =(x1-x2) ^2 (x1-x3) ^2 (x2-x3) ^2其中，(x1-x2) ^2 (x1-x3) ^2 (x2-x3) ^2 是初等对称多项式的展开式，表示了一元三次方程的判别式。
判别式的作用及用法
判别式的作用及用法
1. 哎呀呀，判别式可是个厉害的家伙呢！你看，就像我们在黑暗中寻找正确的路一样，判别式能帮我们判断一元二次方程有没有解呀！比如方程x²-5x+6=0，通过判别式b²-4ac，就能知道它有两个不同的解呢！这多神奇呀！
2. 嘿，判别式的作用可大了去啦！它就好比是一个聪明的裁判，能一下子告诉我们方程的情况。
比如说，对于方程2x²-3x+1=0 ，判别式就能让我们清楚知道它是有解还是无解，是不是超厉害？
3. 哇塞，判别式真的太重要啦！这就好像是你在寻找宝藏的地图上的关键标记一样。
就像方程3x²+2x-1=0，靠着判别式我们就能确切知道能不能找到宝藏，也就是方程的解呀！
4. 你知道吗？判别式的用法那叫一个妙啊！它就仿佛是我们解题路上的指明灯。
像是方程4x²-4x+1=0，判别式一展身手，答案就清晰可见啦，太赞了吧！
5. 判别式可真是个宝啊！可以想象一下，它就像是一把神奇的钥匙，能打开方程的秘密之门。
就拿方程5x²-6x+2=0 来说，判别式让我们对它的解一目了然呀！
6. 哎呀呀，判别式的作用简直绝了！它就和我们走路的指南一样重要呢。
例如方程6x²-7x+3=0，判别式立马就能告诉你能不能顺利走下去找到答案，是不是超牛？
7. 嘿哟，判别式的作用和用法真不简单呐！它就像一个贴心小助手。
比如面对方程7x²-8x+4=0，判别式迅速帮我们搞清楚状况，你说妙不妙？总之，判别式在数学里那可是不可或缺的存在呀！。
线性方程组解的判别式的六种常见应用
线性方程组解的判别式的六种常见应用1. 判断方程组的解的情况线性方程组的判别式是用来判断方程组的解的情况的一个重要工具。
通过计算判别式的值可以确定方程组的解的类型，例如有唯一解、无解或者无穷多解。
这是线性代数中应用最为广泛的一种情况。
2. 计算方程组的解在一些特殊情况下，可以使用判别式直接计算方程组的解。
例如，对于二元一次方程组，可以通过计算判别式来求解方程组的解。
这种方法在实际问题中经常被使用，因为它可以快速、准确地计算解。
3. 分析方程组的解的条件判别式还可以帮助我们分析方程组的解的条件。
通过观察判别式的值与方程组的系数之间的关系，可以得到方程组解的一些特定条件。
这对于优化求解方程组的过程非常有帮助。
4. 判断线性相关性判别式也可以用来判断向量组的线性相关性。
当判别式为零时，向量组线性相关；当判别式不为零时，向量组线性无关。
这个应用在研究向量空间中的基和维度时经常用到。
5. 矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵的计算与线性方程组的判别式有密切的关系。
如果判别式不为零，那么矩阵是可逆的，逆矩阵存在；反之，如果判别式为零，则矩阵是不可逆的，逆矩阵不存在。
这个应用在线性代数中是十分重要的。
6. 计算特定方程组的系数通过判别式可以计算特定类型方程组的系数。
一些特殊的线性方程组，如二次线性方程组，可以通过判别式来求解系数。
这对于研究特定类型的方程组非常有帮助，并且能够更快速地解决实际问题。
以上是线性方程组解的判别式的六种常见应用。
通过判别式，我们可以判断方程组的解的情况，计算方程组的解，分析解的条件，判断线性相关性，求解矩阵的逆矩阵，以及计算特定方程组的系数。
判别式作为线性代数中的重要概念，具有广泛的应用价值。
德尔塔判别式公式
德尔塔判别式公式先来看看德尔塔判别式的公式：Δ=b^2-4ac。
其中，a、b、c分别为二次方程ax^2+bx+c=0的系数。
德尔塔判别式的值Δ可以通过计算得出，根据Δ的值可以判断二次方程的根的情况。
接下来，我们来详细解释德尔塔判别式的三种情况：1. 当Δ>0时，二次方程有两个不相等的实根。
这意味着二次方程在坐标系中与x轴交点为两个不同的点。
这种情况下，方程的解可以通过以下公式求得：x1 = (-b+√Δ)/(2a)x2 = (-b-√Δ)/(2a)其中，x1和x2分别为方程的两个实根。
2. 当Δ=0时，二次方程有两个相等的实根。
这意味着二次方程在坐标系中与x轴交点为同一个点。
这种情况下，方程的解可以通过以下公式求得：x = -b/(2a)其中，x为方程的实根。
3. 当Δ<0时，二次方程没有实根，而有两个共轭复根。
这意味着二次方程在坐标系中与x轴没有交点。
这种情况下，方程的解可以通过以下公式求得：x1 = (-b+√(-Δ)i)/(2a)x2 = (-b-√(-Δ)i)/(2a)其中，x1和x2分别为方程的两个共轭复根，i为虚数单位。
德尔塔判别式的公式可以帮助我们快速判断二次方程的根的情况，从而更好地理解和解决问题。
下面我们通过一个例子来说明德尔塔判别式的应用。
假设我们有一个二次方程x^2+2x+1=0，我们可以通过德尔塔判别式来计算Δ的值。
根据公式Δ=b^2-4ac，将a=1，b=2，c=1代入计算，得到Δ=4-4=0。
由于Δ=0，我们可以判断这个二次方程有两个相等的实根。
通过公式x = -b/(2a)，将a=1，b=2代入计算，得到x = -2/2 = -1。
所以，这个二次方程的解为x=-1。
通过上述例子，我们可以看到德尔塔判别式的公式在解决二次方程问题时非常有用。
它可以帮助我们快速判断方程的根的情况，并通过相应的公式计算出解。
在实际应用中，德尔塔判别式的公式可以帮助我们解决各种与二次方程相关的问题，例如求解物理问题中的运动轨迹、计算图形的交点等。
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式判别式D是一个用来判别一元二次方程的根性质的数学公式，它被定义为D = b^2 - 4ac。
判别式可以帮助我们确定一元二次方程的根的类型以及解的个数。
根据判别式D的值，一元二次方程的根可以分为以下三种情况：1.当D>0时，方程有两个不同实数根。
如果判别式D大于零，意味着b^2 - 4ac大于零，即方程的平方项系数平方减去四倍的ac是正数。
这意味着方程的根是两个不同的实数。
我们可以用求根公式来计算方程的根：x1=(-b+√D)/2ax2=(-b-√D)/2a当D大于零时，方程有两个不同实数根。
2.当D=0时，方程有两个相等的实数根。
如果判别式D等于零，意味着b^2 - 4ac等于零，即方程的平方项系数平方减去四倍的ac是零。
这意味着方程的根是两个相等的实数。
我们可以用求根公式来计算方程的根：x1=x2=-b/2a当D等于零时，方程有两个相等的实数根。
3.当D<0时，方程没有实数根。
如果判别式D小于零，意味着b^2 - 4ac小于零，即方程的平方项系数平方减去四倍的ac是负数。
这意味着方程没有实数根。
在这种情况下，方程的解是两个虚数根。
虚数根通常用i来表示。
虚数根是复数，其实部为零。
我们可以用求根公式来计算方程的虚数根：x1=(-b+√(-D))/2ax2=(-b-√(-D))/2a当D小于零时，方程没有实数根，而是两个虚数根。
利用判别式可以帮助我们确定一元二次方程的根的性质和解的个数。
通过计算判别式，我们可以得知方程的根是否为实数，以及方程是否有一个或两个相等的实数根。
这对于求解方程以及解方程中的相关问题都非常有用。
生成式和判别式
生成式和判别式
生成式和判别式是机器学习中两种不同的方法，用于解决不同的问题。
生成式模型是基于数据的概率分布来建模的。
这种方法通常用于生成新的数据，例如图像、文本等。
生成式模型的目标是学习输入数据的概率分布，从而能够生成与原数据类似的新数据。
生成式模型的一个例子是生成对抗网络（GANs），它可以生成逼真的图像。
判别式模型则是通过将输入数据映射到输出标签来进行分类。
判别式模型的目标是学习输入和输出之间的映射关系，从而能够对输入进行分类。
判别式模型的一个例子是支持向量机（SVM），它可以将输入数据映射到不同的分类。
生成式和判别式都有其优缺点。
生成式模型能够生成新的数据，但它的训练比较困难，需要较多的数据和计算资源。
判别式模型则训练比较简单，并且可以处理大规模的数据，但它不能生成新的数据。
在实际应用中，通常需要根据不同的问题选择适当的模型。
如果需要生成新的数据，那么生成式模型更为适合；如果需要进行分类或预测，那么判别式模型更为适合。
- 1 -。
二次方程的判别式与根的性质
二次方程的判别式与根的性质二次方程是一个常见且重要的数学概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本篇文章将着重介绍二次方程的判别式和根的性质。
二次方程一般的形式是：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c分别是实数常数，并且a不等于0。
解二次方程的关键是通过判别式来判断方程的根的性质。
一、二次方程的判别式判别式是二次方程的一个重要性质，它可以帮助我们快速判断方程的根的性质。
二次方程的判别式D的公式如下：D = b^2 - 4ac判别式的值可以分为三种情况来讨论：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实根。
这意味着二次曲线与x轴交于两个不同的点。
例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，判别式D = 16，大于0，因此方程有两个不相等的实根。
2. 当D = 0时，方程有两个相等的实根，也就是有一个重根。
这意味着二次曲线与x轴相切于一个点。
例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，判别式D = 0，因此方程有两个相等的实根。
3. 当D < 0时，方程没有实根，只有复数解。
这意味着二次曲线与x轴没有交点。
例如，对于方程x^2 + 3x + 4 = 0，判别式D = -7，小于0，因此方程没有实根。
二、二次方程的根的性质通过判别式可以判断方程的根的性质，接下来我们将详细讨论不同情况下的根的性质。
1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实根。
这两个实根的性质如下：- 根的和：x1 + x2 = -b / a- 根的积：x1 * x2 = c / a例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，根的和为-2，根的积为-3。
2. 当D = 0时，方程有一个重根。
这个实根的性质如下：- 根的值：x = -b / (2a)例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，根的值为-2。
3. 当D < 0时，方程没有实根，只有复数解。
我们可以用复数的形式表示根，其中虚部可以由判别式D求得。
三次方程根的判别式
三次方程根的判别式
三次方程根，又称埃尔米特方程，是指一个三次多项式方程在一定的条件下有三个不同的实根的方程。
它常常与判别式联系在一起，判别式是指用于确定三次方程根存在性的一个重要定义，通常用费马多项式来表示。
一般地，一个三次方程的根的存在性和特征可以从它的判别式中识别出来。
下面是三次方程判别式的定义：
判别式D = b²c² - 4ac³ - 4b³d - 27a²d² + 18abcd
这里，b和c是三次多项式方程的系数，a和d则是方程常数项系数。
判别式D的值可以告诉我们解三次方程时需要考虑的情况：
如果D > 0，则三次方程的三个不同的实根。
如果D = 0，那么三次方程有三个相同的实根。
如果D < 0，则三次方程有一个实根和两个复数根。
对于不同的三次方程式，判别式的值也不尽相同，例如：
一个具体的三次方程可表示为：3x^3 - 4x^2 + 7x + 5 = 0，那么该方程的判别式为 D = -287。
通过判别式，可以确定该方程有一个实根和两个复数根。
判别式在解决三次方程上有着重要的作用。
它可以帮助我们快速判定三次方程是否有实根，以及实根的个数，从而可以更快的求出方程的解。
因此，学好判别式对于解决三次方程很有用处。
二次函数的解的情况与判别式
二次函数的解的情况与判别式二次函数是高中数学中非常重要的一种函数类型，它的解对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
在研究二次函数的解的情况时，我们可以利用判别式来确定解的个数和性质。
本文将介绍二次函数的解的情况以及与判别式的关系。
一、二次函数的一般形式与判别式二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
而二次函数的判别式为：Δ = b² - 4ac，Δ为大写希腊字母“delta”。
判别式Δ是二次函数的重要性质之一，它可以用来确定二次函数的解的情况。
二、判别式与二次函数解的情况1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实数根。
当判别式Δ大于0时，二次函数的解有两个不相等的实数根。
这意味着二次函数的图像与x轴有两个交点，也就是函数的图像开口向上或向下，并与x轴有两个交点。
例如，对于二次函数y = x² - 4x + 3，判别式Δ = (-4)² - 4(1)(3) = 4，由于Δ大于0，该二次函数有两个不相等的实数根。
2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实数根。
当判别式Δ等于0时，二次函数的解有两个相等的实数根。
这意味着二次函数的图像与x轴有一个交点，也就是函数的图像开口向上或向下，并与x轴有一个交点。
例如，对于二次函数y = x² - 4x + 4，判别式Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 0，由于Δ等于0，该二次函数有两个相等的实数根。
3. 当Δ < 0时，二次函数没有实数根，而是有两个共轭复数根。
当判别式Δ小于0时，二次函数没有实数根，而是有两个共轭复数根。
这意味着二次函数的图像与x轴没有交点，也就是函数的图像开口向上或向下，但与x轴没有交点。
例如，对于二次函数y = x² + 4，判别式Δ = 0² - 4(1)(4) = -16，由于Δ小于0，该二次函数没有实数根，而是有两个共轭复数根。
二次函数的判别式
二次函数的判别式
二次函数的判别式是指二次函数的一个重要特征，它可以用来判断二次函数的性质。
一般来说，二次函数的判别式可以表示为：D=b^2-4ac，其中a、b、c分别为二次函数的系数，即
f(x)=ax^2+bx+c。
根据判别式的定义，可以得出以下结论：
1. 如果D>0，则二次函数有两个不同的实根；
2. 如果D=0，则二次函数有两个相同的实根；
3. 如果D<0，则二次函数没有实根，只有两个虚根。
因此，二次函数的判别式可以用来判断二次函数的性质，从而帮助我们更好地理解二次函数的特性。
四次方程判别式
四次方程判别式一、概述四次方程是一个最高次数为4的多项式方程，可以表示为ax4+bx3+cx2+dx+e=0。
对于任意给定的四次方程，我们可以通过求解其判别式来求得方程的解。
本文将详细介绍四次方程的判别式及其相关内容。
二、四次方程的判别式对于四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0，它的判别式D可以通过以下公式计算：D=b2c2−4ac3−4b3d−27a2d2+18abcd三、判别式的含义判别式D是用来判断四次方程的解的性质的。
根据判别式D的取值情况，我们可以分为以下几种情况：1. D>0当判别式D大于0时，四次方程将有两个实根和两个共轭虚根。
实根可以通过传统的求根公式进行计算，而共轭虚根则需要借助复数的概念进行求解。
2. D=0当判别式D等于0时，四次方程将有两个重根和两个共轭虚根。
重根意味着方程的两个根相等，而共轭虚根与上述情况中的情况相同。
3. D<0当判别式D小于0时，四次方程将有四个共轭虚根。
此时方程没有实数解，只有复数解。
四、判别式的应用判别式不仅仅可以用来判断四次方程的解的性质，还可以用来解决其他与四次方程相关的问题。
1. 求解代数方程的个数判别式D的取值情况可以告诉我们方程的解的个数。
如果D>0，则方程有两个实根和两个共轭虚根，共计四个解；如果D=0，则方程有两个重根和两个共轭虚根，共计四个解；如果D<0，则方程有四个共轭虚根，共计四个解。
2. 求解代数方程的实根对于D>0的情况，可以利用传统的求根公式来计算方程的实根。
3. 求解代数方程的复根对于D>0的情况，除了可以计算出方程的实根外，还可以通过借助复数的概念来计算方程的复根。
五、判别式的推导判别式的推导过程较为繁琐，这里我们只给出最终的判别式公式，不再详细展开推导过程。
六、总结本文介绍了四次方程的判别式及其相关内容。
通过判别式的取值情况，我们可以得出方程的解的性质，并且可以利用判别式来解决与四次方程相关的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程根的判别式
〖教学目标〗
知识与技能：
1.了解一元二次方程根的判别式的意义，理解为什么能根据它判断方程根的情况；
2.能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。
过程与方法：
3.经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，
4.体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。
情感态度与价值观：
5.通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严谨的治学态度。
〖教学流程〗
一、创设情境，提出问题
1、你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？
2、能力展示：分组比赛解方程
（1）x2+4=4x ；（2）x2+2x=3 ；（3）x2-x+2=0 。
（待学生做完后，教师点评。
解答结果：（1）x1 = x2= 2 ；（2）x1 = 1 ，x2= -3 ；（3）无实数根。
)
3、发现问题
观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？
（学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中（1）有两个相等的实数根，（2）有两个不相等的实数根，（3）没有实数根）
4、提出问题
教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：
一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时
有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？（板书课题，出示学习目标）学习目标：
（1）、知道什么叫一元二次方程的根的判别式，理解为什么能根据它来判断方程根的情况；（2）、能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等；（3）、体会分类思想、转化思想的应用。
二、探究新知
1、一元二次方程的根的判别式
活动1 ：学生自学，初步感悟
请学生带着下面的问题，自学第43-44页有关内容，并注意分类讨论的思想方法的使用。
一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，它何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？何时没有实数根？
为什么说方程根的情况是由b2-4ac 决定的？
教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备。
活动2 ：合作交流，深入探究
请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由。
活动3 ：师生合作，归纳提升
由上面的讨论可见，一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2 -4ac来决定。
因此，我们把b2 -4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。
通常用符号“Δ”（希腊字母）来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2 -4ac。
2、一元二次方程的根的判别方法
思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？
学生思考，师生共同得出：
结论1 ：一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根。
这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况。
活动4 ：应用迁移，发展能力
例题1 ：不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）5x2-3x=2 （2）25y2+4=20y （3）2x2+3x+1=0
本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第（1）小题的解法，教师
板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式。
解（1）原方程可变形为
5x2-3x-2=0，
因为Δ＝（-3）2- 4×5×（-2）＞0，
所以，原方程有两个不相等的实数根。
请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的步骤：
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2 -4ac是针对一般形式而言
的，所以，不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：
一化（将一元二次方程化为一般形式）；
二算（确定a、b、c的值，算出Δ的值）；
三判断（根据结论1判别方程根的情况）。
（2）、（3）小题由学生完成，教师巡视。
待学生做完后，教师请一名学生向大家公布自己的解题结果，教师及时点评。
3、逆定理
活动5 ：逆向思考，拓展延伸
上面的结论1中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？
学生思考、交流并回答，教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：
结论2 ：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；
当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；
当方程没有实数根时，Δ＜0。
（将结论2与结论1放在一起展示，以便学生能更清楚地认识到二者的区别与联系）例题2：
已知关于x的方程x2－3x + k = 0，问k取何值时，该方程有两个相等的实数根?
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，其间，教师可以参与学生的讨论，然后请同学说出自己的想法，教师视情况进行点拨：这道题中已知的是什么条件？要得出怎样的结论？应该使用结论1还是结论2？
师生共同得到正确的思路，解题过程由学生自行完成后，教师展示参考答案，并再次强调解题根据为结论2。
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ= 0，即(－3) 2－4k = 0,
解得k= 4 9，
∴k= 4 9 时，方程有两个相等的实数根。
变式训练：
已知关于x的方程x2－3x + k = 0，问k取何值时，这个方程有两个实数根?
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路。
解：∵方程有两个实数根，
∴Δ≥0，即(－3) 2－4k ≥0,
解得k ≤4 9，
∴k≤4 9 时，方程有两个相等的实数根。
三、当堂检测
1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判别式的值为______ 。
所以方程根的情况是_______________ .
2.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等，则a的值是（）
A.a=0
B.a =2或a =-2
C.a =2
D.a =2或a =0
3. 不解方程，判别下列方程根的情况：
x(x +1)=3 .
4、已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a和c异号，试证明：此方程必有两个不相
等的实数根。
（说明：当堂检测中的1、2两题，让学生思考、计算后抢答，并说明理由，第3、4题请两位同学到黑板前板演，待学生都做齐后由学生讲评。
）
四、小结与评价
1、通过本节课的学习，你有哪些收获？
本节课的主要内容：
（1）、一元二次方程根的判别式的意义；
（2）、由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况（即结论1）；
（3）、由一元二次方程根的情况判断根的判别式的符号（即结论2）。
2、本节课你对自己的表现满意吗？对同学呢？能给老师一个评价吗？
五、作业设计
课本第45页练习第1,2题；
选做题：习题2.3第2，3，4题
板书设计
2.3一元二次方程根的判别式
1、定义例题解（1）学生板演处
2、结论1
结论2
反思：本节课的教学坚持从学生实际出发，以学生为主体，注重对新理念的贯彻和教学方法的使用；在突破难点时，多种方法并用，注意培养自学能力；坚持当堂训练，例题、练习的设计针对性强，重点突出，对方法的总结言简意赅；学生能够积极、主动的参与，充分经历了知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握了知识，形成了技能，发展了思
维；教学效果很好！在课堂教学进程的把握上还应再简练些，当堂检测可让学生课后完成，这样教学目标的达成会更从容。