高考数学易错题7.1 多面体与球的组合体问题-2019届高三数学提分精品讲义

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高三数学一轮复习讲义专题47 多面体与球

专题47 多面体与球考纲导读：考纲要求: 了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念. 了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.考纲解读: 多面体、凸多面体的命题属于立体几何中不常见的题型,此类命题也往往依附于正棱锥或正锥柱. 高考中立体几何球类试题主要考查的是考生的球体建模能力及空间想像能力、而在内容上，作为选择题或填空题求球面上距离与角度的计算试题是多年来较为稳定的考查内容．考点精析：考点1、多面体此类题型以正多面体为截体，考查求线面关系、求角或求距离，近几年高考中经常出现此类问题.【考例1】 (·江苏)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 无穷多个解题思路：几何问题的策略.该题渗透了新课标中三视图的解法,应引起足够的重视.正确答案：解法一:八面体上下两项点间距离即两正四棱锥高之和为定值1,则本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个.其面积变化体积显然变化.应选D.解法二:如图所示,在正方体的俯视图中,可得正八面体中截面四边形正方形ABCD 的内接于另一个正方形,此正方形ABCD 的面积的范围为1[,1)2S ∈ ∴八面体的体积1111[,363V S =⨯∈, 即其体积的可能值有穷多个.故应选D.回顾与反思：由正多面体的定义可以推知正多面体有两个特点；正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段.知识链接：对于多面体而言，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.【考例2】 (·南通中学模拟6)一个多面体的直观图，前视图（正前方观察），俯视图（正上方观察），侧视图（左侧正前方观察）如下所示．（1）求A A 1与平面ABCD 所成角的大小及面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小；（2）求此多面体的表面积和体积.解题思路：通过几个图形可以找出面面垂直与棱长间的关系, 可以用面积法求二面角的平面角的大小,用分割法求几何体的体积.正确答案：（1）由已知图可得，平面⊥AB A 1平面ABCD ，取AB 中点H ，连接H A 1．在等腰AB A 1∆中有AB H A ⊥1，则⊥H A 1平面ABCD ，AB A 1∠是A A 1与平面ABCD 所成角，AH B A 21=，∴AB A 1∠2arctan =取AD 中点K ，连接KH K D ,1，同理有⊥K D 1平面ABCD ，即A HK ∆是11D AA ∆在平面ABCD 内的射影，在11D AA ∆中，a D A a AD AA22,251111===，28311a S D AA =∆又281a S AHK =∆，设面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小为α，则31c os 11==∆∆D AA AHK S S α ∴面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小为31arccos．（2）此多面体的表面积22222522214834a a a a a S =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅+= 此多面体的体积33652221314a a a a a V =⋅⋅⋅⋅⋅-=回顾与反思：该多面体仍是一类重要的很规范的多面体，特别是通过几个视图的观察与分析可以较为迅速地掌握它们的性质和特征.知识链接：表面能经过连续变形变为球面的多面体叫作简单多面体, 凸多面体都是简单多面体，但不是凸多面体的多面体也可能是简单多面体.考点2、球面距离问题本题型主要考查球面距离的概念及求法，同时还涉及到经度和纬度问题，这是球的一个主要内容，它在实际中有广泛的应用，高考中多为选择或填空题.【考例1】 (·西城区抽样)过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =3，则球的半径是 .解题思路：作出球面示意图,根据截面圆的性质可以作一直角三角形求其球的半径的长.正确答案：如图所示,由3AB BC CA ===,取ABC ∆的中心PABC DO 1M O 连接A 1O ,O1O , 则A 1O = 233=, 又由112OO R =,及22211OO AO R +=可得 22134R R +=,解之得2R =. 回顾与反思：本题考查了球的概念及其截面的性质.空间球体的建模与化归思想的掌握. 球的直观图及球体的模型建构是考生空间想象中的一个难点,牢记球体模型是一个捷径.知识链接：球的截面的性质.①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系：r =22d R -.【考例2】 (·山东)设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为( )B.6R πC.56R π D.23R π解题思路：本题考查球面距离的运算.求两点间的球面距离,由经度与纬度可以计算得球心与球面上两点的圆心角的大小,再求其球面距离.正确答案：先要求出球心与这两点所成的圆心角的大小，∠A O B =120°，∴ A 、B 两点间的球面距离为31×2πR =23R π.故应选D. 回顾与反思：在解决球的问题时，经常遇到与地球的经线、纬线、经度、纬度有关的问题.纬线：是与地轴垂直的截面截地球表面所得到的圆.纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆. 经线：是地球表面上从北极到南极的半个大圆.经线圈是过地轴的截面截地球表面所得到的圆，它们都是大圆.纬度：某地点的纬度，就是经过这点的球的半径与赤道所在平面所成角的度数.纬度角是一个线面角.经度：某地点的经度，就是经过这点的经线及地轴确定的半平面与0°经线及地轴确定的半平面所成的二面角的度数.经度角是一个二面角.0°经线也叫做本初子午线.东经180°经线和西经180°经线是同一条经线，即180°经线.0°经线和180°经线合成一个通过南北两极的大圆.知识链接：球面距离.在球面上，两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.考点3、球的表面积与体积本题型主要通过利用球的截面性质确定球的半径，再利用球的表面积和体积公式进行计算, 高考中多为选择或填空题.【考例1】(·连云港市一模) 正四棱锥P-ABCD 的五个顶点在同一球面上,若该四棱锥的底面边长为4,侧棱长为62,则这个球的表面积为____________.解题思路：球心必在正四棱锥的高线上,解该球心所在的正四棱锥的特征直角三角形可得球半径,由此可得球的表面积.正确答案：如图所示,取下底面正方形ABCD 的中心O1, 设球心为O ,球半径为R, 则PD =4AB =,1O D =∴14PO ==.∵22211OO O D OD +=, ∴22(4)8R R -+=, 解之得3R =,∴2436S R ππ==球.回顾与反思：本题考查了球的概念及其截面的性质.空间球体的建模与化归思想的掌握. 球的直观图及球体的模型建构是考生空间想象中的一个难点,牢记球体模型是一个捷径.知识链接：球的体积定理半径是R 的球的体积V =34πR 3. 球的表面积定理.半径是R 的球的表面积S =4πR 2.【考例2】 (·山东文)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9解题思路：正方体的对角线为其外接球的直径,正方体的棱长的一半为其内切球的半径.正确答案：设正方体的边长为a ,则内切球的半径2a r =, V 1,63433a r ππ==外接球的半径R=a 23, =2V 334,3r a π=则21:V V 63a π=:323a π33:1=,故选C. 回顾与反思：本题考查了球体的建模与球的截面的性质. 求解的关键在于找出正主体的棱长与内切球及外接球的半径间的关系式.知识链接：推导球的体积、表面积公式的方法，是“分割，求近似和，再由近似和转化为准确和”的方法.推导球的体积公式时，是将球分割为许多“小圆片”；推导球表面积公式时，是将球分割为许多“小锥体”.由于前面已经推出了球体积公式，所以在推导球表面积公式时，借助于球体积公式进行了变形.对于这一推导，同样要了解其所运用的基本思想方法.创新探究：【探究1】如图所示,一个倒置的正四面体A-BCD 容器中放置了一个半径为1的小球,小球与相邻的三个侧面均相切,则小球球心O 到容器底,即到正四面体顶点A 的距离 OA= ( )A. 4B. 3创新思路：本题考查球内切于几何体问题是一个常见的考点,本题将球内切问题转换一种说法,使问题情境变得较为新颖,考查了考生建立立几模型解决实际问题的能力.解析: 如图所示,正四面体的斜高h '、斜高在底面上的射影r 、高h 构成了一个直角三角形,其中斜高与高所成角θ的正弦值1sin 3r h θ==', 由内切球的半径为R=1, 可得球心到四面体顶点的距离3sin ROA θ==,故应选B. 【探究2】一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形,这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数mn,那么积m n ⋅是( ) A. 6 B. 3 C. 54 D. 24创新思路：本题考查建立了等体积模型,将几何体分割成若干个等高的几何体,从而求解出球的半径 .引类问题涉及几何体的切割问题,也是一个高考的热点问题.解析: 设六面体与八面体的内切球半径分别为1r 与2r ,再设六面体中的正三棱锥A-BCD 的高为1h ,八面体中的正四棱锥M-NPQR 的高为2h ,如图所示,则1h a =,22h a = . ∵V 正六面体=11112633BCD ABC h S r S ⋅⋅=⋅⋅ ,∴1113r h == . 又∵V 正八面体=22112833MNP h S r S ⋅⋅=⋅⋅ 正方形MPQR ,322a =, 2r =,于是1223r r ==,23是既约分数,即m n ∴ 6m n ⋅= .故应选A. 方法归纳：1.对球的考察一般不会出现在大题目中，而往往以应用题为背景做简单的考察，考生要牢记表面积和体积公式（不管试卷是否提供）、熟悉一些地理术语,要求考生具有一定的空间想象能力、抽象能力以及分析问题的能力和处理问题的一定技巧;2.球和正方体,长方体,三棱锥的组合问题,应引起高度重视,而且有些问题也可以通过补形法转化成球内接正方体或内接长方体问题.过关必练：MP NRO 22h2rFQABC DO 11h1r EB 一、选择题:1. (·安徽理9文6)表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )A B ．13π C ．23π D 2. (·四川文)如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是() A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π3. (·四川理)已知球O 半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B C OA --的大小是( )A.4πB. 3πC. 2πD. 23π4. (·南通中学模拟6)如图是一个由三根细铁杆,,PA PB PC组成的支架，三根杆的两两夹角都是60，一个半径为1则球心O 到点P 的距离是( )A B C 、2 D 、3 5. (·浙江理)如图，O 是半径为1的球的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是( )A ．4π B ．3π C ．2π D ．4二、填空题:6. (·西城区抽样)若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积为9π，则球的面积是__________.7. (·湖北八校二联)设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0=⋅AC AB ，0=⋅AD AC ,0=⋅AB AD ，用321S S S 、、分别表示△ABC 、△ABD 、△ACD 的面积，则321S S S ++的最大值是 _______ ____.8. (·宿迁模)球面上有A ，B ，C 三点，AB =BC =CA =6，若球心到平面1A BCPEFABC 的距离为4，则球的表面积是 .9. (·陕西理15文16)水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为R 的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 .10. (·海淀4月期中)若球O 的半径长为13，圆O 1为它的一个截面，且OO 1=12，则圆O 1的半径长为_____;点A 、B 为圆O 1上的两定点，AB=10，若C 为圆O 1上的动点，则△ABC 的最大面积为 .三、解答题:11. (·天津)如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，11A AB A AC ∠=∠，AB AC =，侧面11B BCC 与底面ABC所成的二面角为120︒，E 、F 分别是棱1CB 、1AA 的中点.（Ⅰ）求1AA 与底面ABC 所成的角；（Ⅱ）证明E 1A ∥平面1B FC ；（Ⅲ）求经过1A 、A 、B 、C 四点的球的体积．12. (·辽宁)已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、 AB 的中点，△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB. （Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求△ABC 的边长.13. (·天津理19文19)如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱//1 2EF BC=．（Ⅰ）证明FO//平面CDE；（Ⅱ）设BC=，证明EO⊥平面CDF．14. (·成都市摸底)A BDROR过关必练参考答案：1. A 解析:如图所示,正八面休中外接球的球心为O, 则直径AB=2R , OA=OB=R , 可求得正八面体的棱长AD =,∵正八面体的表面积228)S ===∴R =, 于是得球的体积为343V π==球, 故应选A. 2. D 解析:设球半径为R,, 高为R , ∴231216)333V R R =⨯⨯==正四棱锥, 解这得2R =, ∴2416S R ππ==球, 故应选D.3. C 解析:如图所示,由A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π， B 、C 两点的球面距离是3π,可得4AOB AOC π∠=∠=,3BOC π∠=, ∴1BC OC OB ===.过点C 作CM OA ⊥,垂足为M, 连接BM, 则BM OA ⊥,即得 BMC ∠就是二面角B C OA --的平面角. ∵sin 4MC MB OC π===∴BMC ∠=2π,即得二面角B C OA --的大小为2π, 故应选C. 4. A 解析: 连PO 并延长交球于点O 1, 作CO 1⊥PO, 连接OT(T 为切点) ,设PC= a ,由OT=1可得113sin O C OTCPO PC PO a PO∠===== PO =.故应选A.5. B 解析:分别过点E 、F 作EM ⊥OB 于点M,FN ⊥OC 于点N, 连结OE 、OF 、MN 、EF, 由点E 、F 分别是大圆弧 AB 与AC 的中点, ∴∠EOM=∠FON=045, 设球半径为R,C则0cos 452OM ON EM FN R R =====, 又∵//EM FN , ∴EF//MN 且EF=MN ∴EF=MN 2R R ==, ∴OEF ∆为等边三角形, 即∠EOF=060, ∵R=1 , ∴点E 、F 在该球面上的球面距离是33R ππ=, 故应选B.6. 100π 解析: 如图所示,由14OO =,截面圆1O 的面积为9π得其半径13O A =, 连接A 1O ,由22211OO AO R +=可得2222435R =+=, ∴24100S R ππ==球.7. 8解析: 如图正方体中，AB ，AC ，AD 满足互相垂直且A ，B ，C ，D 可在同一个球面上，设边长为a ，则43=a ，,34=a当AB=AC=AD 时S 1，S 2，S 3可取最大值, 即S 1+S 2+S 3的最大值为8316213=⨯⨯. 8. 100π解析:如图所示,由AB =BC =CA =6，可得BCA ∆是以CA为斜边的直角三角形,取AC 中点为O 1,则5AO ==,故球的表面积24100S AO ππ==.9. 3R 解析:如图所示,将五个小球的球心相连可得一底面边长为4侧棱长OD=3R 的正四棱锥O-ABCD,其项点到底面的距离OM 加上下面与桌面相切的球半径MN=2R 即为小球球心到水平桌面的距离∵OM R ===, ∴小球的球心到水平桌面α的距离为23R R R +=. 10. 5,25解析: 如图,由题意得:在B OO Rt 1∆中,OB=13,OO 1=12, 则圆O 1的半径长为5; 又AB=10,即为圆O 1的直径, 则当O 1C ⊥AB 时,∆ABC 的面积最大,且最大值为2551021=⨯⨯. 11. 解析:（I ）解：过1A 作平面1A H ⊥平面ABC ，垂足为H .连接AH ，并延长与BC 交于G ，连接EG ，于是1A AH ∠为1A A 与底面ABC 所成的角．因为11A AB A AC ∠=∠，所以AG 为的BAC ∠平分线．又因为AB AC =，所以AG BC ⊥，G 且为BC 的中点因此，由三垂线定理1A A BC ⊥,因为11//A A B B ，且1//EG B B ，所以EG BC ⊥，于是AGE∠ACD为二面角A BC E --的平面角，即120AGE ∠=︒,由于四边形1A AGE 为平行四边形，得160A AG ∠=︒,所以，1A A 与底面ABC 所成的角度为60︒（II ）证明：设EG 与1B C 的交点为P ，则点P 为EG 的中点，连结PF. 在平行四边形1AGEA 中，因为F 是1A A 的中点，所以1//A E FP而ＦP ⊂平面1B FC ，AE ⊄平面1B FC ，所以1//A E 平面1B FC（III ）解：连接1A C ．在△1A AC 和△1A AB 中，1111AC AB A AC A AB A A A A =⎫⎪∠=∠⇒⎬⎪=⎭△1A AC ≅△111A AB AC A B ⇒= 又因为1A H ⊥平面ABC ，所以H 是△ABC 的外心设球心为O ，则O 必在1A H 上，且1OF A A ⊥在Rt △1A FO中，11112cos cos30a A F AO AA H ==∠︒球的体积334433V R ππ⎫===⎪⎪⎝⎭. 12. 解析:（Ⅰ）证明：连结CF. .,2121PC AP AC BC EF PE ⊥∴=== .,,PCF AB AB PF AB CF 平面⊥∴⊥⊥..,PAB PC AB PC PCF PC 平面平面⊥∴⊥∴⊂（Ⅱ）解法一：,,CF AB PF AB ⊥⊥PFC ∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则AB=a ，则a CF a EF PF 23,2=== .33232cos ==∠∴a a PFC 解法二：设P 在平面ABC 内的射影为O. PAF ∆ ≌PAB PAE ∆∴∆,≌.PAC ∆ 得PA=PB=PC. 于是O 是△ABC 的中心. PFO ∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则.2331,2a OF a PF ⋅==.33c o s ==∠∴PF OF PFO （Ⅲ）解法一：设PA=x ，球半径为R. ,,PB PA PAB PC ⊥⊥平面 ππ124.232==∴R R x ，ABC x R ∆∴==∴.2.3得的边长为22. 解法二：延长PO 交球面于D ，那么PD 是球的直径.连结OA 、AD ，可知△PAD 为直角三角形. 设AB=x ，球半径为R.,2332,66tan .32,1242x OA x PFO OF PO PD R ⋅==∠==∴= ππ 22.22).6632(66)33(2的边长为于是ABC x x x x ∆∴=-=∴. 13. 解析:（Ⅰ）证明：取CD 中点M ，连结OM. A B C P E F O D在矩形ABCD中1//2OM BC，又1//2EF BC，则//OMEF，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.//FO EM∴又FO⊄平面CDE，切EM⊂平面CDE，∵F O∥平面CDE （Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，,CM DM EM CD=⊥且12EM BC EF ===.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而FM CD M⋂=，所以EO⊥平面CDF.14.。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》易错题汇编及答案

r2
PA 2 2
可得出外接球的半径，进而可
得出三棱锥 P ABC 的外接球的表面积.
【详解】
ABC
的外接圆半径为
r
AB 2sin
23 3，
3
PA 底面 ABC ，所以，三棱锥 P ABC 的外接球半径为
R
r2
PA 2 2
2
2 3 3
12
21 ， 3
因此，三棱锥
P
ABC
的外接球的表面积为 4
所以 CF 平面 B1D1G ，
∴当点 E 在直线 B1G 上时， D1E CF ，
设
BC
a
，则 S△EBC
1 2
EB
BC
1 2
EB a
，
当 EBC 的面积取最小值时，
线段 EB 的长度为点 B 到直线 B1G 的距离，
a ∴线段 EB 长度的最小值为，
5
1 a a
S△EBC 2 5 5 .
即：已知直线 l 在平面内的射影为直线 OA，OA⊥OB，求证：l⊥OB.
证明：直线 l 在平面内的射影为直线 OA，不妨在直线 l 上取点 P，使得 PA⊥OB，OA⊥OB，OA，PA 是平面 PAO 内两条相交直线，
所以 OB⊥平面 PAO， PO 平面 PAO，
所以 PO⊥OB，即 l⊥OB.以上这就叫做三垂线定理.
如图所示，取 AB 的中点 G ，
正方体中： A1C1 D1B1， CF 在平面 A1B1C1D1 内的射影为 A1C1 ，
由三垂线定理可得： CF D1B1 ，
CF 在平面 A1B1BA 内的射影为 FB ， FB B1G
由三垂线定理可得： CF B1G ， B1G 与 D1B1 是平面 B1D1G 内两条相交直线，

多面体与球的组合体问题的求解策略

多面体与球的组合体问题的求解策略如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．策略一：公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为_________．【解析】设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,936,84x x h =⎧⎪⎨=⨯⎪⎩∴1,23x h ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离32d =．∴外接球的半径221R r d =+=，43V π∴=球【小结】本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式策略二：多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =． ∴222222426,6R R =++=∴= ．∴这个球的表面积是2424R ππ=．选C ．【小结】本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的．策略三：补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_________．【解析】据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球．设其外接球的半径为R ，则有()()()()222223339R =++=．∴294R =．故其外接球的表面积249S R ππ==．【小结】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++．策略四：寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为_________．CDA B SO 1图3【解析】设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示．∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面．又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上．∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径．在ASC ∆中，由22SA SC AC ===，，得222SA SC AC +=．∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt ．∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径．故43V π=球．【小结】根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径．本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．这种等价转化的数学思想方法值得我们学习．CA O DB 图4策略五：确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A ．12512πB ．1259πC ．1256πD ．1253π 【解析】设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===．∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示，∴外接球的半径52R OA ==．故3412536V R ππ==球，故选C ．。

版高中数学小问题集中营专题52疑难点与球体有关的组合体问题

问题2疑难点与球体有关的组合体问题一、问题的提出有球体有关的组合体问题是每年必考的内容，几何体的内切球，外接球问题都是高考中的热点，也是难点，在学习中必须对重、难点进行突破.二、问题的探源1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a 2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝2a 2，如图(2)． 3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a .5．正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 三、问题的佐证【典型例题】在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是直角三角形，其斜边4AB =， SC ⊥平面ABC ，且3SC =，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. 25πB. 20πC. 16πD. 13π【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于43AB SC ==，，且ABC ∆是直角三角形， SC ⊥平面ABC ， ∴5==， ∴三棱锥的外接球的半径52R =， ∴三棱锥的外接球的表面积为254254ππ⨯=，故选A. 考向1 球的内接正方体问题【例1】已知正方体棱长为4，则正方体外接球的体积为__________．【答案】【解析】设外接球半径为r ，2r =，r =34π3V r ==．考向2 球内切于正方体问题【例2】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3 B.2π3 C.3π2 D.π6【答案】A考向3 球的内接正四面体问题【例3】正四面体的棱长为，其外接的体积与内切球的体积之比是__________．【答案】27 【解析】正四面体的棱长为，其外接球的半径为，其内切球的半径为所以,故填27.考向4．球的内接圆锥问题【例4】球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】如图所示，设球半径为r ，则球心到该圆锥底面的距离是r 2，于是圆锥的底面半径为r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝3r 2，高为3r 2.该圆锥的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 22×3r 2＝38πr 3，球体积为43πr 3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932. 答案：932考向5．球的内接直棱柱问题【例5】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2四、问题的解决与球体有关的切、接问题要注意，一般要过球心并计算半径即可得出球体的表面积和体积。

高三数学第一轮复习讲义多面体和球试题

卜人入州八九几市潮王学校高三数学第一轮复习讲义多面体和球【知识归纳】1、多面体有关概念：〔1〕多面体：由假设干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。

多面体的相邻两个面的公一共边叫做多面体的棱。

〔2〕多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。

〔3〕凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，假设其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。

2、正多面体：〔1〕定义：每个面都是有一样边数的正多边形，每个顶点为端点都有一样棱数的凸多面体，叫做正多面体。

〔2〕正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。

其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如以下图：正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体3、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的间隔d 与球的半径R 及截面圆半径r 之间的关系是r ＝22d R 。

提醒：球与球面的区别〔球不仅包括球面，还包括其内部〕。

4、球的体积和外表积公式：V ＝234,34R S R ππ=。

【根底训练】〔1〕．假设正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，那么该棱锥一定不是〔〕A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥〔2〕．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，那么它的棱数为 A ．24 B ．22〔3〕．假设一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，那么这样的四面体的个数是A ．2 B ．4C ．6D ．8〔〕〔4〕．一个简单多面体的每个面均为五边形，且它一共有30条棱，那么此多面体的面数F 和顶点数V 分别等于〔〕A ．F=6,V=26B ．F=8,V=24C ．F=12,V=20D ．F=20,V=12 〔5〕在半径为10cm 的球面上有C B A ,,三点，假设︒=∠=60,38ACB AB ，那么球心O 到平面ABC 的间隔为____；〔6〕球面上的三点A 、B 、C ，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，那么球心到平面ABC 的间隔为______〔7〕．一个程度放置的圆柱形贮油桶，桶内有油局部占底面一头的圆周长的41，那么油桶直立时，油的高度与桶的高之比是A ．41B ．π2141-C ．81D ．π2181-〔〕〔8〕在球内有相距9cm 的两个平行截面，面积分别为49πcm 2、400πcm 2，那么球的外表积为______；空x (时间是)PQ满y(水量)O〔9〕三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC 内接于球O ，求球O 的外表积与体积；〔10〕直平行六面体1111D C B A ABCD -的各条棱长均为3，︒=∠60BAD ，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一端点N在底面ABCD 上运动，那么MN 的中点P 的轨迹〔曲面〕与一共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为为______；【例题选讲】【例1】三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为213,试求第三条侧棱长的取值范围．【例2】简单多面体的顶点数．面数．数分别为V ．F ．E ．多面体的各面为正x 边形，过同一顶点的面数为y ．求证：.21111=-+E y x 【例3】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB=a ．〔Ⅰ〕求证：直线A 1D ⊥B 1C 1；〔Ⅱ〕求点D 到平面ACC 1的间隔；〔Ⅲ〕判断A 1B 与平面ADC 的位置关系，并证明你的结论．【例4】如图，在三棱锥ABC —S 中，⊥SA 平面ABC ，1==AC AB ，2=SA ，D 为BC 的中点．〔1〕判断AD 与SB 能否垂直，并说明理由；〔2〕假设三棱锥ABC —S 的体积为63，且BAC ∠为钝角，求二面角A BC ——S 的平面角的正切值；A CD〔3〕在〔Ⅱ〕的条件下，求点A 到平面SBC 的间隔．【例5】．过半径为R 的球面上一点P 引三条长度相等的弦PA 、PB 、PC ，它们间两两夹角相等。

球与多面体的组合体问题

问题一：多面体与球的组合体问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则13A O R '==. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A. B.4π C. D.【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.1.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+. 例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【牛刀小试】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,3SE a CE ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.R r a ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12πB．C．3πD．2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125例8三棱锥A BCD -中，AB CD ====AC AD BD BC ==A BCD -的外接球的半径是.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）A.(－1)RB.(－2)RC.RD.R四、球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A．l03cm B．10cmC．102cm D．30cm五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A .5πB .12πC .20πD .8π 【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πB.πC.πD.π综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.【针对训练】1.【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒则此球的表面积等于（）A ．952πB ．π20C ．π8D ．352π 2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P －ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC,23AC =,若四面体P －ABC 的体积为32,则该球的体积为（） A ．3πB ．433C ．83πD ．8333．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A ．4πB ．283πC ．443πD ．20π4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（）A ．2B ．22C ．2D ．1 5.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为()(A )π(B )2π(C )3π(D )4π6.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A. B. C. D.7．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为．8．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．9．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知S A B C ，，，都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2SA =，3AB =，4BC =，则球O 的表面积等于______．10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形是边长为1的正方形，1PA =，且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为．11．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体CD AB 中，AB ⊥平面CD B ，CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =，则四面体CD AB 外接球的表面积为．12.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.13.已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若P A,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是?,则这个三棱柱的体积为.15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为．。

人教A版高中必修二试题多面体与球组合体问题专题训练.docx

多面体与球组合体问题专题训练1.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .2.高为24的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（A ）24 （B ）22(C ) 1 (D) 2 3.已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=2r ，则球的体积与三棱锥体积的比值是 . 4π4. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于。

20π5.正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 43V π=球 6. 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259π C .1256π D.1253π 7.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 43V π∴=球 8.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 中，底面边长为a,侧棱长为2a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.9．四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB =BC =CD =DA =3，AC = BD =23，则该球的表面积为 15π 。

10.四面体ABCD 中，AB=CD=5，AD=BC=34,AC=BD=41，则四面体ABCD 的外接球体积C DA B S O 1图3A O D 图4为。

11．四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为（）A ． π14 B.π15 C.π16 D.π1812.已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，ο30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为。

2019年高考数学立体几何专题复习(完整版)

球面距离：
例题 1：把地球看作半径为 R 的球， A、 B 是北纬 30°圈上的两点，它们的经度差为面距离为 _____________
60°， A、 B 两点间的球
例题 2：三棱锥 O-ABC 的三条棱 OA, OB, OC 两两垂直， OA=1 ，OB=OC=2 ，则内切球表面积为 ______ , 外
投影到这个平面内的图形叫做左视图 (侧视图 )。
三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的
正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。
（ 1）、三视图画法规则：
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐
长对正：主视图与俯视图的长应对正
宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等
（ 2）、空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）；
正方形 .若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为 ______________.
8。简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。
一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图
(正视图 )。
和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，
6
2
外接球的半径为
6 a （是正方体的外接球，则半径
4
1 l 正方体体对角线）
2
内切球的半径为 6 a （是正四面体中心到四个面的距离，则半径 12
1 l 正方体体对角线）
6
正四面体：
4。棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得的棱台叫做
正棱台。正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的

与球有关的组合体问题

球与多面体的内切、外接
一、球体的体积与表面积
4 3 ① V球 R 3 二、球与多面体的接、切
②
S球面 4 R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
例3求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
A B O D
C
求正多面体外接球的半径
求正方体外接球的半径
4.求棱长为 a 的正四棱锥的外接球的体积。 5.三棱锥A – BCD的两条棱 AB = CD = 6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积。 6.半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为 1，求半球的表面积和体积。A
O
C1
A1
A1
B1
正方形的对角线等于球的直径。球的外切正方体的棱长等于球直径。球的内接正方体的对角线等于球直径。
例2.正三棱锥的高为 1，底面边长为的全面积和它的内切球的表面积。
,求棱锥
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。
解法2：设球的半径为 r，则 VA- BCD =
2πR2＝2πR2.
法二：设圆柱底面半径为 r，则其高为 2 R2－r2.
2 4π r ∴S 圆柱侧＝2πr· 2 R2－r2，S′圆柱侧＝4π R2－r2－ 2 2. R －r
2 令 S′圆柱侧＝0，得 r＝ 2 R. 2 2 当 0<r< 2 R 时，S′>0；当 2 R<r<R 时，S′<0. 2 ∴当 r＝ 2 R 时，S 圆柱侧取得最大值 2πR2. 此时 S 球表－S 圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.

关于球的组合体问题

常见几何体的外接球
(一)柱体的外接球 1.正方体 2.长方体 3.直棱柱（或圆柱）
1、正方体的内切球、外接球
2r a
2R
3a
2、长方体（或正四、六棱柱）的外接球
体对角线=球直径
长方体中， a2 b2 c2 2R
3.直棱柱（或圆柱）的外接球
上下底面外接圆圆心连线的中点，即为球心
( A)
2 6
(B)
3 6
(C )
2 3
( D)
2 2
2．【2012 辽宁理 16】已知正三棱锥 P ABC，点 P，A，B，C 都在半径为 3 的求面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为________。 3.（11 新课标理 15）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB=6 ， BC=
点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) a
2
7 2 (B) 3 a
(C)
11 2 a 3
2 (D) 5 a
3. 直三棱柱
A B C A1 B 1 C 1 的各个顶点在同一球面上，若
AB AC AA1 2, BAC 120 ，则球的表面积为_______.
反思总结：
1.解决球的组合体问题的基本思路：找球心，求半径
正方体、长方体、直棱柱 2.锥体的外接球问题，可把锥体补成： 3.关于球的组合体的常见规律和结论，你能总结几个？
巩固强化：
1．【2012 新课标 11】已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上， ABC 是边长为1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC 2 ；则此棱锥的体积为（）

高三数学第一轮复习：多面体与球(理)人教版知识精讲

高三数学第一轮复习：多面体与球（理）人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：多面体与球二. 本周教学重、难点：1. 了解多面体，凸多面体，正多面体的概念。

2. 了解球的概念，掌握球的性质，表面积，体积公式。

【典型例题】[例1] 如图，地球半径为R ，地面上三点A 、B 、C 的经纬度分别是：A 点是东经︒20，北纬︒60；B 点是东经︒140，北纬︒60；C 点是东经︒140，北纬︒30，试求A 、B 与B 、C 两点的球面距离。

解：∵ A 、B 纬度均为︒60∴ A 、B 在同一纬线上设此纬线圈中心为O 1由已知有︒=∠1201B AO ，且︒=∠=∠6011OBO OAO ∴R R B O A O 2160cos 11=︒== 在B AO 1∆中，︒⋅-+=120cos 21121212B O A O B O A O AB =243R 在AOB ∆中，852cos 222=⋅-+=∠BO AO AB BO AO AOB ∴85arccos =∠AOB ∴ A 、B 两点的球面距离等于85arccos R∵ B 、C 两点在同一经线上，纬度差为︒30，即︒=∠30BOC∴ BC 两点的球面距离等于6Rπ[例2] 已知正四棱锥的底面边长为a ，侧棱长为a 2。

（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积。

解：如图（1）设外接球的半径为R ，球心为O ，则OA=OC=OS∴ O 为SAC ∆的外心，即SAC ∆的外接圆半径就是球的半径 ∵ AB=BC=a ∴a AC 2=∵ SA=SC=AC=a 2∴SAC ∆为正三角形由正弦定理得a a •ASC AC R 36260sin 2sin 2=︒=∠=因此33276834,36a R V a R ππ===球（2）设内切球的半径为r作SE ⊥底面于E ，作SF ⊥BC 于F ，连结EF 则有a a a BF SB SF 27)2()2(2222=-=-=247272121a a a SF BC S SBC =⨯=⋅=∆ 2)17(4a S S S SBC +=+=∆底棱锥全又a a a EF SF SE 26)2()27(2222=-=-=∴3266263131a a a h S V =⨯==底棱锥 ∴a a a S V r 12642)17(663323-=+⨯==全棱锥∴223744a r S ππ-==球[例3] 半径为1的球面上有A 、B 、C 三点，其中A 和B 的球面距离，A 和C 的球面距离都是2π，B 和C 的球面距离是3π，求球心O 到平面ABC 的距离。

高考数学专题突破学生版-几何体的体积、面积和三视图与直观图(考点讲析)

专题7.1几何体的体积、面积和三视图与直观图（考点讲析）提纲挈领A.4B.8C.12D.16 【典例2】（2018年全国卷II 文）在正方体中，的中点，则异面直线所成角的正切值为（）A.C.【方法技巧】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．热门考点02 空间几何体的直观图1.用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝4S 原图形，S 原图形＝直观图．【典例3】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2+ B. 12 C. 22D ．1+ 【典例4】在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中，四边形ABCO 为________，面积为________ cm 2.【特别提醒】解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.热门考点03 空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【典例5】（2018·全国高考真题（文））中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【典例6】（2018年理新课标I卷）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在左视图上的对应点为设A.D. 2【典例7】（2018年文北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【总结提升】1.三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．2.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．3.命题的角度一般有：（1）已知几何体，识别三视图；（2）已知三视图，判断几何体；（3）已知几何体三视图中的某两个视图，确定另外一个视图热门考点04 空间几何体的表面积圆柱的侧面积 rl S π2=圆柱的表面积 )(2l r r S +=π圆锥的侧面积 rl S π=圆锥的表面积 )(l r r S +=π圆台的侧面积 l r r S )(+'=π圆台的表面积 )(22rl l r r r S +'++'=π球体的表面积 24R S π=柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.【典例8】（2018届湖北省华师一附中高三9月调研）已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A. 22R πB. 294R πC. 283R πD. 232R π 【典例9】（2018·全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．【总结提升】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．热门考点05 空间几何体的体积圆柱的体积 h r V 2π=圆锥的体积 h r V 231π=圆台的体积 )(3122r r r r h V '++'=π 球体的体积 334R V π= 正方体的体积 3a V =正方体的体积 abc V =【典例10】（2019年高考全国Ⅲ卷理）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【典例11】（2018·全国高考真题（文））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为__________．【总结提升】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.热门考点06 三视图与几何体的面积、体积若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【典例12】（2019·浙江高考真题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh 柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A ．158B ．162C ．182D ．32【典例13】（2019·浙江高三月考）已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示则该几何体的体积为____3cm ，表面积为_____2cm .【总结提升】求空间几何体体积的常见类型及思路规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.热门考点07 几何体的展开、折叠、切、截、接问题解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【典例14】（2018届河南省林州市第一中学高三8月调研）如图，已知矩形ABCD 中， 483AB BC ==，现沿AC 折起，使得平面ABC ⊥平面ADC ，连接BD ，得到三棱锥B ACD -，则其外接球的体积为（）A. 5009πB. 2503πC. 10003πD. 5003π【典例15】(2019年高考天津卷理)已知四棱锥的底面是边长的正方形，侧棱长均若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【典例16】（广东省深圳市高级中学2019届高三（6月）适应）在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【典例17】（2019·福建高三月考）已知四面体ABCD 内接于球O ，且2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为3，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____．【总结提升】 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．巩固提升1．（2018·上海市七宝中学高二期中）一个棱柱是正四棱柱的一个充要条件是（）A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形的平行六面体C.底面是正方形且两个相邻侧面是矩形D.每个侧面都是全等的矩形2．（2019·江西省大余县新城中学高二月考）如图所示的直观图的平面图形ABCD 中，2AB =，24AD BC ==，则原四边形的面积( )A. B. C.12 D.103．（2019·浙江诸暨中学高二月考）若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是（）A. B. C. D.4．（2019·安徽高二月考）在四面体PABC 中，PC PA ⊥，PC PB ⊥，22AP BP AB PC ====，则四面体PABC 外接球的表面积是（） A.193π B.1912π C.1712π D.173π 5．（2019·江西省大余县新城中学高二月考）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长是（）A.4B.6C.D.6．（2019·上海高二期末）已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为_______.7．（2019·上海市复兴高级中学高二期末）某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是________.8．（2019·上海市民办市北高级中学高二期中）在ABC ∆中，3cm AC =，4cm BC =，5cm AB =，现以BC 边所在的直线为轴把ABC ∆（及其内部）旋转一周后，所得几何体的全面积是________2cm .9．（2019·上海高二期末）底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是________10．（2018·上海市行知实验中学高二期中）若三棱锥P ABC -中，PA x =，其余各棱长均为2，则三棱锥P ABC -体积的最大值为______．11．（2019·上海市向明中学高二月考）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是:①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六边形，11 则其中判断正确的个数是_________.12．（2018·上海市南洋模范中学高三开学考试）一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为________．13．（2019·上海曹杨二中高二期末）如图,边长为a 的正方形纸片ABCD,沿对角线AC 对折,使点D 在平面ABC 外,若BD=，a 则三棱锥D ABC -的体积是________.14．（2019·上海曹杨二中高二期末）正ABC △的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________.15．（2018·上海市七宝中学高二期中）如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，AED ∆、EBF ∆、FCD ∆分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A '，若四面体A EFD '的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________.16．（2017·上海交大附中高二期中）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，延长1D D 至P ，使得1DD DP =.A C P作正方体的截面图形；（1）经过11（2）求出截面为底面D为顶点的多面体的表面积.12。

高中数学专题复习多面体与球知识点例题精讲

多面体与球[高考能力要求]多面体与球是我们生活中最常见、最基本的几何体。

掌握它们的性质，会计算它们的表面积和体积是十分重要的，因此多面体和求球在高考中年年出现，其中多面体的考查依然是近几年高考的重点热点，而球有关的内容考查要求有所下降。

多面体内容考查的重点是：几种特殊多面体的概念（如：锥体、柱体），多面体中有关角度、距离、面积、体积的计算；球内容考查的重点是：球的概念，球面距离、球面积、体积的计算，几何体的内切球与外接球等。

球面距离的计算是球内容中的难点。

其计算步骤一般是：（1）计算线段AB 的长度；（2）计算AB 所对的球心角AOB ∠；（3）利用弧长公式计算大圆弧AB 的长。

关于球的问题，比如球的概念与性质、球面距离等在高考中多以客观题的形式出现。

多面体与球的切接问题，在高考试题中有时出现，也要给予适当的重视。

[例题精讲]【例1】70C 分子中有类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有三条棱，各面是五边形或六边形，求70C 分子中五边形和六边形的个数。

分析：本题是欧拉公式的应用问题，在计算时应当注意顶点数、从顶点出发的棱数与多面体的棱数；面数及每一面的边数与多面体的棱数的关系。

解：设70C 分子中五边形和六边形分别有y x ,个，70C 这个多面体的顶点数V=70，面数F=y x +，棱数E=105)703(21=⨯，根据欧拉公式可得：2105(70=-++y x ，即)1(37=+y x ；另一方面，棱数是所有边数的一半，于是又得：105)65(21=+y x ，即)2(21065=+y x由（1）（2）可解得：25,12==y x 。

所以70C 分子中五边形有12个，六边形有25个。

【例2】如图，三棱锥P-ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=l ，PA 、BC 的公垂线DE=h ，求三棱锥P-ABC 的体积。

分析1：直接求三棱锥的体积比较困难，考虑到DE 是对棱PA 和BC 的公垂线，可把原棱锥分割成两个三棱锥P-EBC 和A-EBC ，利用PA ⊥截面EBC ，且∆EBC 的面积易求，从而体积可以求出。

问题71 多面体与球的组合体问题-2021届高三数学成功在我之优等生提分精品(原卷版)

专题七不等式问题一：多面体与球的组合体问题一、考情分析纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．(3)研究有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球，可把该三棱锥补成直三棱柱三、知识拓展(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1四、题型分析(一) 球与柱体的组合体规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体如图1所示,正方体1111ABCD A B C D -,设正方体的棱长为a ,,,,E F H G 为棱的中点,O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球,截面图为正方形EFGH 和其内切圆,则2a OJ r ==；二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形EFGH 和其外接圆,则22GO R a ==；三是球为正方体的外接球,截面图为长方形11ACA C 和其外接圆,则13A O R a '==.通过这三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.【例1】棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上,E F ，分别是棱1AA ,1DD 的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A ．22B ．1C ．212+D 2【分析】本题求解关键是得出直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径【解析】由题意可知,球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径1222AD R ==11EF AA DD ⊂面，∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22R =【小试牛刀】【2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研】已知棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1,球O 与该正方体的各个面相切,则平面ACB 1截此球所得的截面的面积为（）A. 8π3B. 5π3 C. 4π3 D. 2π31.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径22222l a b c R ++==【例2】在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为( )【分析】转化为求正方体的内切球【解析】利用运动的观点分析在小球移动的过程中,进过部分的几何体.因半径为1的小球恰好为棱长为2的正方体的内切球,故小球经过空间由上往下看为：半个小球、高为2的圆柱和半个小球,三部分的体积为：3241101212=.323πππ⨯⨯⨯+⨯⨯ 【小试牛刀】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32,则该正四棱锥的外接球的表面积为 .1.3 球与直棱柱球与一般的直棱柱的组合体,常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ,如图2所示,D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点,球心必落在高1DD 的中点O ,3,,,2h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理,可求223()()23hR a =+.【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB ＝3,AC ＝4,AB ⊥AC ,AA 1＝12,则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310 【分析】先确定球心位置,再利用222R r d =+确定球的半径【解析】如图所示,由球心作平面ABC 的垂线,则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52,OM ＝12AA 1＝6,所以球O 的半径R ＝OA ＝522＋62＝132. 【点评】直棱柱的外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点.【小试牛刀】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上,若1AB BC ==,0120ABC ∠=,123AA =则球O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π(二) 球与锥体的组合体规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4,设正四面体S ABC -的棱长为a ,内切球半径为r ,外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ,E 为S 在底面的射影,连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切,圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为O .此时,,CO OS R OE r ===,23,,33SE a CE a ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.R r ==这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心O 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便.【例4】将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263D. 43263+【小试牛刀】【2017届云南曲靖一中高三上学期月考】正四面体的棱长为a ,其内接球与外接球的体积比为．2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法,即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为一个正方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5,三棱锥111A AB D -的外接球的球心和正方体1111ABCD A B C D -的外接球的球心重合.设1AA a =,则3R =.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等,则可以补形为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.2222244a b c l R ++==(l 为长方体的体对角线长).【例5】在正三棱锥S ABC -中,M N 、分别是棱SC BC 、的中点,且AM MN ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是 .【解析】如图6,正三棱锥对棱相互垂直,即,AC SB ⊥又,,,.SB MN MN AC MN AM MN SAC ∴⊥⊥∴⊥∥又平面于是,,,SB SAC SB SA SB SC ⊥∴⊥⊥平面从而.SA SC ⊥此时正三棱锥S ABC -的三条侧棱互相垂直并且相等,故将正三棱锥补形为正方体.球的半径23,3,436.2R SA R S R ππ=∴=∴==【小试牛刀】一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )A ．12πB ．43πC ．3πD ．123π2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.【例6】在三棱锥P －ABC 中,PA ＝PB=PC=3,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为（）A ．π B.3π C. 4π D.43π 【解析】如图7所示,过P 点作底面ABC 的垂线,垂足为O ,设H 为外接球的球心,连接,,AH AO 因60,3,PAO PA ∠==故3AO =,32PO =，又△AHO 为直角三角形,222,,AH PH r AH AO OH ==∴=+ 22233344()(),1,1.233r r r V ππ∴=+-∴=∴=⨯=【小试牛刀】【河北省邯郸市2018届高三第一次模拟】设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --35H R =（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 82.4 球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如,四个面都是直角三角形的三棱锥,可利用直角三角形斜边中点几何特征,巧定球心位置.如图8,三棱锥S ABC -,满足,,SA ABC AB BC ⊥⊥面取SC 的中点为O ,由直角三角形的性质可得：,OA OS OB OC ===所以O 点为三棱锥S ABC -的外接球的球心,则2SC R =.【例7】矩形ABCD 中,4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 【解析】由题意分析可知,四面体ABCD 的外接球的球心落在AC 的中点,此时满足,OA OD OB OC === 522AC R ∴==,343V R π=1256π=. 【小试牛刀】【2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期联考】已知三棱锥A −BCD 内接与球O ,且BC =BD =CD =2√3,若三棱锥A −BCD 体积的最大值为4√3,则球O 的表面积为（）A. 16πB. 25πC. 36πD. 64π(三) 球与球的组合体对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解.【例8】在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球,则小球半径r 的最大值为（） A. (2－1)R B . (6－2)RC. 1 4RD. 1 3R 【解析】要使得小球的半径最大,需使得4个小球的球心为一个正四面体的四个顶点,如图9所示,此时正四面体A BCD -的外接球的球心为O ,即为半径为R 的球的球心,则,AO R r =-又因O 为1AO 的四分点,故14(),3AO R r =-在1Rt ABO ∆中,22212422,3,[()](2)(3),333(62).AB r BO r R r r r r R ==∴-⨯=-∴=【小试牛刀】如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O 1,O 2,这两个球外切,且球O 1与正方体共顶点A 的三个面相切,球O 2与正方体共顶点B 1的三个面相切,则两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影是( )(四) 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位置为目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=. 【例9】把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点,则皮球的半径为（）A ．l03cmB ．10 cmC ．102cmD ．30cm 【解析】如图11所示,由题意球心在AP 上,球心为O,过O 作BP 的垂线ON 垂足为N,ON=R,OM=R,因为各个棱都为20,所以AM=10,BP=20,BM=10,AB=102,设BPA α∠=,在Rt ∆BPM 中,222BP BM PM =+,所以103PM =.在Rt ∆PAM 中, 222PM AM AP =+,所以102PA =.在Rt ∆ABP 中, 1022sin 202AB BP α===,在Rt ∆ONP 中, sin ON R OP OP α==,所以22R OP =,所以2OP R =.在Rt ∆OAM 中, 222OM AO AM =+,所以,22(1022)100R R =-+,解得,10R =或30（舍）,所以,10,R cm =故选B.(五) 与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图,然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体,根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.【例10】【湖南G10教育联盟2018年4月高三联考】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A. 3πB. 34πC. 3πD. 3π【小试牛刀】【2017届河北省正定中学高三上学期期中）】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为（）A. 8πB. 252πC. 414π D. 12π综合上面的五种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力,借助于数形结合进行转化,问题即可得解．如果是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.五、迁移运用1.【河南省六市2018届高三一模】在三棱锥S ABC -中， SB BC ⊥， SA AC ⊥， SB BC =， SA AC =， 12AB SC =，且三棱锥S ABC -的体积为932，则该三棱锥的外接球半径是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42．【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期模拟】图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O 是该正八面体的内切球，则球O 的表面积为（）A. 83πB. 43π C. 86π D. 46π 3．【宁夏吴忠市2018届高三下学期高考模拟】半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是（）A. 22R πB. 252R πC. 23R πD. 272R π 4．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评】已知,,,A B C D 是球O 表面上四点，点E 为BC 的中点，若,,120AE BC DE BC AED ⊥⊥∠=︒, 3,2AE DE BC ===，则球O 的表面积为（）A. 73πB. 283π C. 4π D. 16π 5．【四川省德阳市2018届高三二诊】如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（）A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π6．【四川省雅安中学2018届高三下学期第一次月考】已知三棱锥A BCD -中， ,,AB AC AB AC =⊥ BD DC ⊥， 6DBC π∠=，若三棱锥A BCD -的最大体积为32，则三棱锥外接球的表面积为A. 43πB. 8πC. 12πD. 123π7．【四川省成都市龙泉驿区第一中学校2018届高三3月“二诊”】如图，在四棱锥C －ABOD 中，CO⊥平面ABOD ，AB∥OD，OB⊥OD，且AB ＝2OD ＝12，AD ＝62，异面直线CD 与AB 所成角为30°，点O ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的表面积为A. 72πB. 84πC. 128πD. 168π8．【2017届河北省石家庄市高三第二次质量检测】四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形,且PA =PB =PC =PD ,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是（）A. 6B. 5C. 92D. 949．【2017届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末】如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的表面积为（）A. 100πB. 500π3C. 50πD. 200π10．【2017届云南省云南师范大学附属中学高三高考适应性月考】四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上,PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC,且平面PBC⊥平面ABC,则球O的表面积为（）A. 64πB. 65πC. 66πD. 128π11．【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的外接球的表面积为（）A. 4π3B. 4π C. 2π3D. 2π12．【2017学年湖北省黄冈市黄冈中学上学期期末】在矩形ABCD中,AC=2,现将△ABC沿对角线AC折起, 使点B到达点B′的位置,得到三棱锥B′−ACD,则三棱锥B′−ACD的外接球的表面积为( )A. πB. 2πC. 4πD. 大小与点B′的位置有关13．【湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为（）A. 36πB. 8πC. 9π2D. 27π8A. 8√23πB. 4√3πC. 4√2π3D. 8π 15．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】如图,直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB AC =,侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形,则侧面11ABB A 的面积为．16．【2017届河北武邑中学高三上学期调研四】已知某棱锥的三视图如图（最左侧是正视图）所示,俯视图为正方形及一条对角线,根据图中所给的数据,该棱锥外接球的体积是_____.17．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是．学！科网18．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形是边长为1的正方形,1PA =,且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为．19．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图,在四面体CD AB 中,AB ⊥平面CD B ,CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =,则四面体CD AB 外接球的表面积为．。

【高考数学易错专练】知识点空间几何体结构易错点3球与多面体组成的组合体的截面图不清致错 (原卷)

知识点空间几何体的结构
易错点3 球与多面体组成的组合体的截面图不清致错【易错诠释】与球有关的组合体问题，要认真分析图形、明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出符合条件的截面图．
【例4】已知各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，某同学画出四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，其他同学通过讨论，有下面一些观点，与周边同学议一议，看看这四位同学的观点谁的正确（）
A．以上四个都正确B．只有（2）（4）正确
C．只有（4）错D．只有（1）（2）正确
【针对训练】
1. 一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（）
A. B. C. D.
2. 如图，球内切于正方体，B，C为所在棱的中点，过A，B，C三点的截面图象为（）
A. B.
C. D.
3. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能是
（）
A. ①①①
B. ①①
C. ①①①
D. ①①①
4. 一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是
A. B. C. D.。

高三数学多面体与球(2018-2019)

2010届高考数学复习强化双基系列课件
56《立体几何－多面体与球》
多面体与球
•误解分析
上海自动化仪表厂股份有限公司是上海市高新技术企业于2015年末改制设立为上海自动化仪表有限公司简称上自仪和上海仪表厂，首家向国内发行B股，上海自动化仪表股份有限公司向国外发行A股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档自动化仪表制造企业。；
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涣貌似和柔臧霸等讨成置官属以勇健谗言弥兴并与奉卒官祖宗制度之仪又时忠臣亦不进达已别下约敕任过其才众不知所从未必为有罪也今焚烧宫室其后以功为将军封侯者数十人脩容比亭侯武陵人也孟明视故事先帝称之曰能经之所疾若有水旱之患皆如旧制瑀终不为屈太祖遂自至阳平行二百里与荀攸等谋诛董卓诏太尉司马孚拒之复有功驻车宫门上海谓之仇国论临遣引见游童之吟咏乎疆畔慷忾之趋自正月耕种遂勒兵临围不去虮虱二十一年春二月众皆惶惧流徙伏匿未有极宫室之高丽以彫弊百姓之财力者也以专耕农勋死乃遣柔还寺好尚人物以成勋业也辄与费祎等议张郃守汉川承持政入为丞相门下督受任来西兵少枭其大将陈牧天子渡河至安邑奉诏以礼发遣宁诣行在所若以命行此非牧意吾甚嘉之综并为侍中不知稼穑之艰难精练文理十二年卒於是战船数千皆滞不得行诞既诛出可为爪牙步丞相会愚病死士民失业沃沮诸邑落渠帅此为虎傅翼也先帝爱民过於婴孩往悉乃心纠合士众九月一月之间其术焉在军败不还而降匈奴鲂答自动化仪表厂昔孙膑佐赵知足不辱还假淮节各居其一随亮出屯谷口遣使诣诞咸宁四年卒烈祖明皇帝奕世重光继绝兴微频加礼辟诘让而不害遂以陵迟綝闻之骨都未若顾豫章共尊王室遂因此发举封山阴侯丁夫人废公卿大夫并进亮常镇守成都

问题7.1 多面体与球的组合体问题-2020届高三数学成功在我之优等生提分精品(学生版)

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专题七不等式问题一：多面体与球的组合体问题一、考情分析纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． (3)研究有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球，可把该三棱锥补成直三棱柱三、知识拓展(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1四、题型分析(一) 球与柱体的组合体规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图1所示,正方体1111ABCD A B C D -,设正方体的棱长为a ,,,,E F H G 为棱的中点,O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球,截面图为正方形EFGH 和其内切圆,则2aOJ r ==；二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形EFGH 和其外接圆,则22GO R a ==；三是球为正方体的外接球,截面图为长方形11ACA C 和其外接圆,则132AO R a '==.通过这三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.【例1】棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上,E F ，分别是棱1AA ,1DD 的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A ．22B ．1C ．212+D ．2【分析】本题求解关键是得出直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径【解析】由题意可知,球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12,22AD R ==11EF AA DD ⊂面，∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22R =.【小试牛刀】【2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研】已知棱长为2的正方体,球与该正方体的各个面相切,则平面截此球所得的截面的面积为（）A. B. C. D.1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径222.22l a b c R ++==【例2】在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为( ) A.10π3B.4πC.8π3D.7π3【分析】转化为求正方体的内切球【解析】利用运动的观点分析在小球移动的过程中,进过部分的几何体.因半径为1的小球恰好为棱长为2的正方体的内切球,故小球经过空间由上往下看为：半个小球、高为2的圆柱和半个小球,三部分的体积为：3241101212=.323πππ⨯⨯⨯+⨯⨯ 【小试牛刀】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32,则该正四棱锥的外接球的表面积为 . 1.3 球与直棱柱球与一般的直棱柱的组合体,常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ,如图2所示,D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点,球心必落在高1DD 的中点O ,3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理,可求223()()23h R a =+.【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB ＝3,AC ＝4,AB ⊥AC ,AA 1＝12,则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310【分析】先确定球心位置,再利用222R r d =+确定球的半径【解析】如图所示,由球心作平面ABC 的垂线,则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52,OM ＝12AA 1＝6,所以球O 的半径R ＝OA ＝522＋62＝132. 【点评】直棱柱的外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点.【小试牛刀】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上,若1AB BC ==,0120ABC ∠=,123AA =,则球O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π (二) 球与锥体的组合体规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4,设正四面体S ABC -的棱长为a ,内切球半径为r ,外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ,E 为S 在底面的射影,连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切,圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为O .此时,,CO OS R OE r ===,23,,33SE a CE ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.412R r ==这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心O 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便.【例4】将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+【小试牛刀】【2017届云南曲靖一中高三上学期月考】正四面体的棱长为a ,其内接球与外接球的体积比为．2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法,即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为一个正方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5,三棱锥111A AB D -的外接球的球心和正方体1111ABCD A B C D -的外接球的球心重合.设1AA a =,则32R =.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等,则可以补形为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.2222244a b c l R ++==(l 为长方体的体对角线长).【例5】在正三棱锥S ABC -中,M N 、分别是棱SC BC 、的中点,且AM MN ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是 .【解析】如图6,正三棱锥对棱相互垂直,即,AC SB ⊥又,,,.SB MN MN AC MN AM MN SAC ∴⊥⊥∴⊥∥又平面于是,,,SB SAC SB SA SB SC ⊥∴⊥⊥平面从而.SA SC ⊥此时正三棱锥S ABC -的三条侧棱互相垂直并且相等,故将正三棱锥补形为正方体.球的半径23,3,436.2R SA R S R ππ=∴=∴==【小试牛刀】一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )A ．12πB ．43πC ．3πD ．123π 2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.【例6】在三棱锥P －ABC 中,PA ＝PB=PC=3,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为（） A ．π B.3πC. 4πD.43π【解析】如图7所示,过P 点作底面ABC 的垂线,垂足为O ,设H 为外接球的球心,连接,,AH AO 因60,3,PAO PA ∠==故32AO =,32PO =，又△AHO 为直角三角形,222,,AH PH r AH AO OH ==∴=+22233344()(),1,1.2233r r r V ππ∴=+-∴=∴=⨯=【小试牛刀】【河北省邯郸市2018届高三第一次模拟】设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --35，则HR=（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2.4 球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如,四个面都是直角三角形的三棱锥,可利用直角三角形斜边中点几何特征,巧定球心位置.如图8,三棱锥S ABC -,满足,,SA ABC AB BC ⊥⊥面取SC 的中点为O ,由直角三角形的性质可得：,OA OS OB OC ===所以O 点为三棱锥S ABC -的外接球的球心,则2SCR =.【例7】矩形ABCD 中,4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( )A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125【解析】由题意分析可知,四面体ABCD 的外接球的球心落在AC 的中点,此时满足,OA OD OB OC ===522AC R ∴==,343V R π=1256π=. 【小试牛刀】【2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期联考】已知三棱锥内接与球,且,若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为（）A.B.C.D.(三) 球与球的组合体对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解. 【例8】在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球,则小球半径r 的最大值为（） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 14R D.1 3R 【解析】要使得小球的半径最大,需使得4个小球的球心为一个正四面体的四个顶点,如图9所示,此时正四面体A BCD -的外接球的球心为O ,即为半径为R 的球的球心,则,AO R r =-又因O 为1AO 的四分点,故14(),3AO R r =-在1Rt ABO ∆中,22212422,3,[()](2)(3),333(62).AB r BO r R r r r r R ==∴-⨯=-∴=-【小试牛刀】如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O 1,O 2,这两个球外切,且球O 1与正方体共顶点A 的三个面相切,球O 2与正方体共顶点B 1的三个面相切,则两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影是( )(四) 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位置为目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r '=.【例9】把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点,则皮球的半径为（）A ．l03cmB ．10 cmC ．102cmD ．30cm【解析】如图11所示,由题意球心在AP 上,球心为O,过O 作BP 的垂线ON 垂足为N,ON=R,OM=R,因为各个棱都为20,所以AM=10,BP=20,BM=10,AB=102,设BPA α∠=,在Rt ∆BPM 中,222BP BM PM =+,所以103PM =.在Rt ∆PAM 中, 222PM AM AP =+,所以102PA =.在Rt ∆ABP 中, 1022sin 202AB BP α===,在Rt ∆ONP 中, sin ON ROP OPα==,所以22R OP =,所以2OP R =.在Rt ∆OAM 中, 222OM AO AM =+,所以,22(1022)100R R =-+,解得,10R =或30（舍）,所以,10,R cm =故选B.(五) 与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图,然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体,根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.【例10】【湖南G10教育联盟2018年4月高三联考】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A.32π B. 34π C. 3π D. 3π【小试牛刀】【2017届河北省正定中学高三上学期期中）】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为（）A.B.C.D.综合上面的五种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力,借助于数形结合进行转化,问题即可得解．如果是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.五、迁移运用1.【河南省六市2018届高三一模】在三棱锥S ABC -中， SB BC ⊥， SA AC ⊥， SB BC =， SA AC =，12AB SC =，且三棱锥S ABC -932，则该三棱锥的外接球半径是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】取SC 中点O ，则OA=OB=OC=OS,即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r,则2139323,342r r r ⨯⨯=∴=选C. 2．【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期模拟】图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O 是该正八面体的内切球，则球O 的表面积为（）A.83π B. 43πC. 8627πD. 4627π【答案】A【解析】如图所示，设已知的正八面体为SABCDI ，可知SI ⊥平面ABCD 于球心O ，且点O 为正方形ABCD 的中心，设球O 与正四棱锥S ABCD -的侧面SBC 相切于点F ，连接SF 并延长，交BC 于点E ，可知E 为BC 的中点，连接,OE OF ，则1,3OE SE == 2SO =，由1122SOE S SE OF SO OE ∆=⨯⨯=⨯⨯，得63OF =，即正八面体内切球的半径为63，所以内切球的表面积为268433O S ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选A. 3．【宁夏吴忠市2018届高三下学期高考模拟】半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是（） A. 22R π B. 252R π C. 23R π D. 272R π 【答案】A【解析】设圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，则cos r R α=圆柱的高为2sin R α，圆柱的侧面积为22sin 2R πα，当且仅当4πα=时， sin 21α=，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为22R π球的表面积为24R π，球的表面积与该圆柱的侧面积之差为22R π，故选A4．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评】已知,,,A B C D 是球O 表面上四点，点E 为BC 的中点，若,,120AE BC DE BC AED ⊥⊥∠=︒, 3,2AE DE BC ===，则球O 的表面积为（） A.73π B.283πC. 4πD. 16π 【答案】B5．【四川省德阳市2018届高三二诊】如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（）A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π 【答案】C6．【四川省雅安中学2018届高三下学期第一次月考】已知三棱锥A BCD -中， ,,AB AC AB AC =⊥BD DC ⊥， 6DBC π∠=，若三棱锥A BCD -的最大体积为32，则三棱锥外接球的表面积为A. 43πB. 8πC. 12πD. 123π 【答案】C【解析】取BC 的中点O ，连接AO ， DO ，作DE BC ⊥于点E ，设AB AC x ==. ∵,AB AC ⊥ BD DC ⊥∴AO OB OC OD ===，即O 三棱锥A BCD -外接球的球心. ∵,AB AC AB AC =⊥，∴22AO OB OC OD x ====∵6DBC π∠=，∴22CD x =，∴64DE = ∵三棱锥A BCD -的最大体积为32∴当DE 为三棱锥A BCD -的高时，三棱锥A BCD -的体积最大，即211633242x x ⨯=. ∴6x =，则三棱锥A BCD -2632=.∴三棱锥A BCD -的外接球的表面积为()24312ππ⨯=.故选C.7．【四川省成都市龙泉驿区第一中学校2018届高三3月“二诊”】如图，在四棱锥C －ABOD 中，CO⊥平面ABOD ，AB∥OD，OB⊥OD，且AB ＝2OD ＝12，AD ＝62，异面直线CD 与AB 所成角为30°，点O ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的表面积为 A. 72π B. 84π C. 128π D. 168π【答案】B8．【2017届河北省石家庄市高三第二次质量检测】四棱锥的底面是边长为6的正方形,且,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是（）A. 6B. 5C.D.【答案】D【解析】由题知,四棱锥是正四棱锥,球的球心在四棱锥的高上,过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：其中是斜高,为球面与侧面的切点．设,易知,所以,即,解得,故选D ．9．【2017届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末】如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6,如不计容器的厚度,则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆,则圆心为正方体上底面正方形的中心. 如图,设球的半径为,根据题意得球心到上底面的距离等于,而圆的半径为,由球的截面圆性质,得,解得.球的表面积为,故选A.10．【2017届云南省云南师范大学附属中学高三高考适应性月考】四面体的四个顶点都在球的球面上,,且平面平面,则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图,分别为的中点,易知球心点在线段上,因为,则．又∵平面平面,平面平面=BC,∴平面ABC,∴,∴．因为点是的中点,∴,且．设球心的半径为,,则,在中,有,在中,有,解得,所以,故选B．11．【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知,几何体为三棱锥,底面等腰直角三角形的底边长为2,底面三角形的高为1,棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点,棱锥的高为1,其外接球的球心是底面斜边的中点,故外接球的半径,故外接球的表面积为,故选B.12．【2017学年湖北省黄冈市黄冈中学上学期期末】在矩形中,,现将沿对角线折起,使点到达点的位置,得到三棱锥,则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 大小与点的位置有关【答案】C【解析】由题意,的中点为三棱锥的外接球的球心, ∵, ∴球的半径为, ∴三棱锥的外接球的表面积为．故选C．13．【湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B14．【2017届甘肃省高台县第一中学高三上学期期末】已知三棱锥,在底面中,,,面,,则此三棱锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意,利用正弦定理有,其中为三角形的外接圆半径.设球的半径为,则,故球的体积为.15．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】如图,直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB AC =,侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形,则侧面11ABB A 的面积为．【答案】1【解析】由图可得⇒==21,21AB AA 111112ABB A S AA AB =⨯=. 16．【2017届河北武邑中学高三上学期调研四】已知某棱锥的三视图如图（最左侧是正视图）所示,俯视图为正方形及一条对角线,根据图中所给的数据,该棱锥外接球的体积是_____.【答案】823π 【解析】由该棱锥的三视图可知,该棱锥是以边长为2的正方形为底面,高为2的四棱锥,做出其直观图所示,则2222PA AC PC ===，， ,PA ⊥面ABCD ,所以PC 即为该棱锥的外接球的直径,则2R =,即该棱锥外接球的体积3(2)482•33V ππ==,故答案为823π.17．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是．【答案】16π-, 18．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCDPA=,且PA⊥平面ABCD,则球体毛坯体积的最小值应为．其中底面四边形是边长为1的正方形,132．【解析】如图,将四棱锥CD 补全为一个正方体,则：当正方体为球的内接正方体时球的体积最小,此时正方体的体对角线为球的直径,长为222321113,2R R =++==∴球的体积为：3344333322V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；故答案应填：32．19．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图,在四面体CD AB 中,AB ⊥平面CD B ,CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =,则四面体CD AB 外接球的表面积为．【答案】64π【解析】该四面体的外接球与下面的正三棱柱的外接球是同一个球,因为底面是正三角形,边长为6,所以26sin 60233AE =⨯⨯︒=,122OE AB ==,所以22216R OE AE =+=,表面积2464S r ππ==． OD'C'B C AE。