浙江大学复变函数模拟试卷2份word资料6页

合集下载

复变函数模拟试题(一)含答案

复变函数模拟试题试题(一)一. 填空题（每空3分，共15分） 1. 设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=, 则.___________=z2. 导函数xv ixu z f ∂∂+∂∂=)('在区域D 内解析的充要条件为________________.3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段, 则⎰=cdz z .______________24. 幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径为._____________=R5. 函数zz f 1c o s1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21 ±±=+=k k z k ππ处的留数.______________]),([Re =k z z f s二. 选择题（每题3分，共15分）1. 设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有,12||||21=+z z 则动点),(y x 的轨迹是 ( ).(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线2下列函数中为解析函数的是( )(A) xyi y x 222-- (B) xyi x +2(C) )2()1(222x x y i y x +-+- (D) 33iy x +3. 设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为D 内解析函数的是( ).(A) ),(),(y x iu y x v + (B) ),(),(y x iu y x v -(C) ),(),(y x iv y x u - (D)xv i xu ∂∂-∂∂4. 设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的罗朗展开式有m个, 那么 )(=m .(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5. 分式线性变换zz w --=212把圆周1||=z 映射为( )(A)1||=w (B)2||=w (C) 1|1|=-w (D) 2|1|=-w三. (10分) 对于映射⎪⎭⎫⎝⎛+=z z 12ω，求出圆周4=z 的像. 四.(10分) 设),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数, 且已知0),(),(22=-+-yx y x yv y x xu , 求函数)(z f .五.(10分) 设)(z f 在)1(><R R z 内解析, 且2)0(',1)0(==f f , 试计算积分dzzz f z z 221)()1(⎰=+, 并由此得出⎰xd e f 202)(2cos θθθ之值.六.(10分) 将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<z 内展开成罗朗级数.七. (10分) 求一分式线性变换, 它把偏心圆环域93:{>-z z 且}168<-z 映射为同心圆环域1<<ωR , 并求非负数R 的值. 八. (10分) 用留数计算积分 ⎰+∞∞-++=32)106(x x dxI .九. (10分) 由下式定义的)(z p n 称为勒让德(Legendrc)多项式:])1([!21)(2nnn nn zdzdn z p -=,试证明)(z p n 能表示为 ⎰+--=cn nn n d z iz p ξξξπ12)(2)1(21)(其中c 是绕z 点的任一正向简单闭曲线. 特别地, 若取c 为圆周12-=-z z ξ,便可推得Laplace 公式: θθπd zz z p nzn )cos 1(1)(02⎰-+=复变函数模拟试题试题(一)答案一. 填空题 (1).2 (2).xv x u ∂∂∂∂,可微且满足.,222222xv yx u yx v xu ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂(3). 2 (4).22 (5).2)2()1(ππ+-k k二. 选择题: 1. (B) 2. (C) 3. (B) 4. (C) 5.(A) 三. 解: 记,,iv u iy x z +=+=ω 则映射)1(2z z +=ω相当于),(222yx iy x iy x iv u +-++=+ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=)(2)(22222y x yy v yx x x u (1) 对于圆周,4||=z 其参数方程为πθθθ20sin 4cos 4≤≤⎩⎨⎧==y x代入式(1)可得其像的参数方程为πθθθ20sin 215cos 217≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==v u这表示ω平面上的椭圆.12152172222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛vu四.解:由题设可知it s yu xv i yv xu iv u iy x z zf +≡++-=++=)())(()(是z 的解析函数,则有,,xt y s y t xs ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂再由022=-+-y x yv xu 得).(22y x s --=于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂x x s yt y ys x t 22 )2()1(由式(1)得⎰+-=+-=)(2)()2(y xy y dx y t ϕϕ代入式(2)得,2)(,0)('2)('2c xy t c y y x y x +-=⇒==⇒-=+-ϕϕϕ所以,2c xy t +-=函数).0()(2)()(222≠+-=⇒+-=+---=+=z zic z z f ic z ic yxi y x it s z zf 将2222))(Im(,))(Re(yx cx y z f v yx cy x z f u ++-==++-==代入所给的等式022=-+-y x yv xu 可验证所求的函数cz zic z z f ,0(,)(≠+-=为实常数).五. 解: 由高阶导数公式021||22)]'()1[(2.)()1(==+=+⎰z z z f z i dz zz f z π.8))0(')0(2(2i f f i ππ=+= 又由复积分公式θθθθπθd ie ee f edz zz f z i i i i z 22021||22)()1()()1(⎰⎰+=+=θθπθd e f i i ⎰+=20)()cos 22(θθπθd ef i i ⎰=202)(2cos4即.2)(2cos 202πθθπθ=⎰d ef i六. 解: 由∑∞=--=-+=)1()1()1(111n nnz z z )1|1(|<-z∑∞=+-+-=--=-01)1(11)]1(1ln[)2ln(n n z n z z (|z-1|<1)可知当1|1|0<-<z 时∑∞=---=--=--0)1()1(11)2ln(111)1()2ln(n nnz z z zz z z z ∑∞=+-+-01)1(11n n z n=∑∞=+--01)1()1(n nn z ∑∞=-+0)1(11n nz n=∑∑=+∞=-+--nk nk n z k n 01)1)(1)1((.七. 解设21,z z 是关于圆周9|3|=-z 和16|8|=-z 都对称的一对点,那么圆心3, 21,z z 在同一直线上, 圆心8, 21,z z 在同一直线上, 从而 1z 与2z 在圆心3与圆心8的连线上,即21,z z 为实数. 可分别设为,,21x x 由对称点定义得⎩⎨⎧=--=--256)8)(8(81)3)(3(2121x x x x 解之,得.24,021-==x x 这样圆周9|3|=-z 可以写成,3124=+z z 圆周168=-z 可以写成2124=+z z . 分式线性变换24+=z z ρω把,,021∞↔↔x x 且把偏心圆周9|3|=-z 与16|8|=-z 分别映射为以原点0=ω为中心的同心圆周ρω31=与ρω21=, 让16|8|=-z 的像ρω21=对应圆周1=ω(区域的外边界互相对应), 只需取,2,2θρρi e == 从而242+=z z ei θω(θ为实数)将偏心圆环域{}16893:<->-z z z 且映射为同心圆环域,132<<ω 非负数32=R 即可.解:.83313,)106(1Re 23''32πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-=i z i z i i z z s i I八. 解:.83313,)106(1Re 23''32πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-=i z i z i i z z s i I九. 证令nnf )1(21)(2-=ξξ, 它在ξ平面上解析. 由高阶导数公式⎰+-=cn n d z f i z fn ξξξπ1)()()(21)(!1 即得⎰+--==-=cn nn n nnn nn d z iz fn z dz dn z p ξξξπ12)(2)(2)1(21)(!1])1[(!21)(再若c 为圆周),20(12πθξθ≤≤-+=iez z 由复积分计算公式, 并记i e z z α1122-=-, 得.)cos 1(1)2()cos 1(21)]2cos(1[21)121121(21)1(2)1121(21)(02220222)(2202022222θθπθπθθπθπθπππππαθθαππθθθd z z a t dt t z z d a ez z d e z z e z d e z e z e z zz z p nnnini i ni nni i n ⎰⎰⎰⎰⎰-+=-=-+=--+=-++-=--+-+-=--这里用到θcos 是以π2为周期的偶函数.。

复变函数模拟试题答案

复变函数模拟试题试题(一)答案一. 填空题 (1). 2 (2).xv x u ∂∂∂∂,可微且满足.,222222xv yx u yx v xu ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂(3). 2 (4).22 (5).2)2()1(ππ+-k k二. 选择题: 1. (B) 2. (C) 3. (B) 4. (C) 5.(A) 三. 解: 记,,iv u iy x z +=+=ω 则映射)1(2zz +=ω相当于),(222yx iy x iy x iv u +-++=+ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=)(2)(22222y x yy v yx x x u (1) 对于圆周,4||=z 其参数方程为πθθθ20sin 4cos 4≤≤⎩⎨⎧==y x代入式(1)可得其像的参数方程为πθθθ20sin 215cos 217≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==v u这表示ω平面上的椭圆.12152172222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛vu四.解:由题设可知it s yu xv i yv xu iv u iy x z zf +≡++-=++=)())(()(是z 的解析函数,则有,,xt ysy t xs ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂再由022=-+-yx yv xu 得).(22y x s --=于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂x x s y t y y s x t 22)2()1(由式(1)得⎰+-=+-=)(2)()2(y xy y dxy t ϕϕ代入式(2)得,2)(,0)('2)('2c xy t c y y x y x +-=⇒==⇒-=+-ϕϕϕ所以,2c xy t +-=函数).0()(2)()(222≠+-=⇒+-=+---=+=z zic z z f ic z ic yxi y x it s z zf 将2222))(Im(,))(Re(yx cx y z f v yx cy x z f u ++-==++-==代入所给的等式022=-+-y x yv xu 可验证所求的函数cz zic z z f ,0(,)(≠+-=为实常数).五. 解: 由高阶导数公式21||22)]'()1[(2.)()1(==+=+⎰z z z f z i dz zz f z π.8))0(')0(2(2i f f i ππ=+= 又由复积分公式θθθθπθd ieee f edz zz f z i i i i z 22021||22)()1()()1(⎰⎰+=+=θθπθd e f i i ⎰+=20)()cos 22(θθπθd e f i i ⎰=202)(2cos4即.2)(2cos202πθθπθ=⎰d ef i六. 解: 由∑∞=--=-+=)1()1()1(111n nnz z z )1|1(|<-z∑∞=+-+-=--=-01)1(11)]1(1ln[)2ln(n n z n z z (|z-1|<1)可知当1|1|0<-<z 时∑∞=---=--=--0)1()1(11)2ln(111)1()2ln(n nn z z z zz z z z ∑∞=+-+-01)1(11n n z n=∑∞=+--01)1()1(n nn z ∑∞=-+0)1(11n nz n=∑∑=+∞=-+--nk nk n z k n 01)1)(1)1((.七. 解设21,z z 是关于圆周9|3|=-z 和16|8|=-z 都对称的一对点,那么圆心3, 21,z z 在同一直线上, 圆心8, 21,z z 在同一直线上, 从而 1z 与2z 在圆心3与圆心8的连线上,即21,z z 为实数. 可分别设为,,21x x 由对称点定义得⎩⎨⎧=--=--256)8)(8(81)3)(3(2121x x x x解之,得.24,021-==x x 这样圆周9|3|=-z 可以写成,3124=+z z 圆周168=-z 可以写成2124=+z z . 分式线性变换24+=z z ρω把,,021∞↔↔x x 且把偏心圆周9|3|=-z 与16|8|=-z 分别映射为以原点0=ω为中心的同心圆周ρω31=与ρω21=, 让16|8|=-z 的像ρω21=对应圆周1=ω(区域的外边界互相对应), 只需取,2,2θρρi e == 从而242+=z z ei θω(θ为实数)将偏心圆环域{}16893:<->-z z z 且映射为同心圆环域,132<<ω 非负数32=R 即可.解:.83313,)106(1Re 23''32πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-=i z i z i i z z s i I八. 解:.83313,)106(1Re 23''32πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-=i z i z i i z z s i I九. 证令nnf )1(21)(2-=ξξ, 它在ξ平面上解析. 由高阶导数公式⎰+-=cn n d z f i z fn ξξξπ1)()()(21)(!1 即得⎰+--==-=cn nn n nnn nn d z iz fn z dz dn z p ξξξπ12)(2)(2)1(21)(!1])1[(!21)(再若c 为圆周),20(12πθξθ≤≤-+=iez z 由复积分计算公式, 并记i e z z α1122-=-, 得.)cos 1(1)2()cos 1(21)]2cos(1[21)121121(21)1(2)1121(21)(02220222)(2202022222θθπθπθθπθπθπππππαθθαππθθθd z z a t dt t z z d a ez z d ez z e z d ez e z e z zz z p nnnini i ni nni i n ⎰⎰⎰⎰⎰-+=-=-+=--+=-++-=--+-+-=--这里用到θcos 是以π2为周期的偶函数.。

复变函数与积分变换测验题2参考答案

第二章解析函数一、选择题：1．B 可参照填空题第四小题的处理方法。

2．B 注：函数)(z f 在点z 可导，)(z f 在点z 不一定解析；反之，)(z f 在点z 不解析，则函数)(z f 在点z 可导；函数)(z f 在一区域内处处可导等价于处处解析3．D 注： A 三角函数的模可能大于1或无界；B 若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不一定不可导C 解析的条件; v u ,在区域D 内可微，v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，4． C 由柯西黎曼方程可得。

5．B 第二节例2.3的结论：解析函数若)(z f '在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。

6．C 注：选项A ，B ，D 中函数)(z f 只是有定义，并为要求解析。

反例：x i x z f sin cos )(+= 选项C 设解析函数),(),()(y x iv y x u z f += 则解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f -=两式相加得到解析函数),()(y x u z g 2= 满足柯西黎曼方程，因此0=∂∂xu 两式相减得到解析函数),()(y x v z h 2= 满足柯西黎曼方程，因此 0=∂∂xv 所以，函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导数0=∂∂+∂∂=x v i x u z f )(' 根据：第二节例2.3的结论：解析函数若)(z f '在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。

7．A 导数公式 xv i x u z f y x iv y x u z f ∂∂+∂∂=+=)('),(),()(，则导数若 8．A 注：本题函数是 z e ，不是 ze 。

))sin()(cos(y i y e e e x iy x z -+-==-判定时，按照判定复变函数可导解析的方法进行处理。

《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx

---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

(完整版)《复变函数》有答案(期末考试)试卷

浙江师范大学《复变函数》（期末考试）试卷（2004-2005学年第一学期）考试类别：考试使用学生：初阳学院数学专业02级考试时间：150分钟出卷时间2004年12月25日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理.一、（18%）填空题 1、在01z <<内，函数1(2)(1)z z z -+的罗朗展式是 ① .2、解析分支1z-在1z =处的留数是 ② . 3、问是否存在解析函数()f z 使111()()2122f f n n n==- ？ ③ （只需回答是或否）.4、若解析函数()f z 的实部是(cos sin )x e x y y y -，则f()z = ④ .5、已知分式线性函数()f z 把上半平面变为单位圆，则()f z = ⑤ .6、21|2|2d (1)(2)z z zz z -=--⎰的值是 ⑥ . 二、（24%）计算题1、若以上半虚轴为割线，确定Ln z 的一个解析分支ln z .并且分别求出ln w z =在上半虚轴的左沿和右沿，当z i =时的值.2、计算积分0d I (1)xx xα+∞=+⎰，（α为常数，且01α<<）. 三、（36%）解答题1、求2Ln 1z z -的解析分支和孤立奇点，并讨论这些奇点的类型.2、在z 平面的上半平面上，从原点起，沿虚轴作一条长为3的割线，试作一个单叶解析函数，把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成w 平面的上半平面（不包括实轴）.3、试作一个解析函数，它把上半平面Im 0z>保形双射成w 平面的半带域Re 22w ππ-<<，Im 0w > .四、（22%）证明题1、若1231z z z ===，1230z z z ++=，则122313z z z z z z -=-=- .2、若在1z <内，()f z 解析，并且1()1f z z≤-，则()(0)(1)!n f e n <+ .浙江师范大学《复变函数》试题答案与评分参考05.1.17一、填空题（每空格3分，共18分）① 101(1)112362n n n n z z ∞+=⎛⎫--+- ⎪⎝⎭∑ ②1± ③否④e i zz c + ⑤ i 000e ()(Im 0)z z z z z θ->- ⑥ 2πi -二、（24%）计算题1、若以上半虚轴为割线，确定Ln z 的一个解析分支ln z .并且分别求出ln w z =在上半虚轴的左沿和右沿，当z i =时的值.解 Ln ln ||iarg 2πi z z z k =++ 3ππarg ,22z k -⎛⎫<<∈⎪⎝⎭¢ （6分）令ln ln ||iarg 2πi z z z k =++ 3ππ<arg 22z ⎛⎫-< ⎪⎝⎭ （8分）则在上半虚轴的右沿，当i z =时，πln i i 2w ==在上半虚轴的左沿，当i z =时，3ln i πi 2w ==- （12分）2、计算积分0d I (1)xx xα+∞=+⎰，（α为常数，且01α<<）. 解因01α<<，故1()(1)F z z z α=+为多值函数，取正实轴为割线且单值解析分支()i arg 11()0arg 2π1||e zf z z z z αα=<<+（4分）（如图）设01r ε<<<<+∞，则2πd ()d (1e )()d ()d (1)rrrrc c c c c c xf z z f z z f z z x x εεεααε+-+--+Γ+Γ+ΓΓ=+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 由2π|()d |(1)c f z z εαεεε≤-⎰知0lim ()d 0c f z z εε→=⎰ （8分）由i 12πi i 0ie d 2π|()d |||(1e )e 1rc r r f z z r r r θαθααθθ-=≤+⋅-⎰⎰知lim ()d 0rr c f z z →+∞=⎰故πi 2πi 0d 2πie π(1)1e sin πx x x αααα-+∞-==+-⎰（12分）三、（36%）解答题1、求2Ln 1z z -的解析分支和孤立奇点，并讨论这些奇点的类型.解因0和+∞是支点，故0和+∞不是孤立奇点. 因此，孤立奇点为1-和1，故可取上半虚轴作割线，因此，解析分支()22ln 1ln ||i(2π+arg )11z z k z z z =+--k ∈¢，3πarg 22z π-<< （6分）（1）当0k =时，1z =是可去奇点（2）当0k ≠时，1z =是一阶极点（3） 1z =-是一阶极点（12分）2、在z 平面的上半平面上，从原点起，沿虚轴作一条长为3的割线，试作一个单叶解析函数，把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成w 平面的上半平面（不包括实轴）.解（1）若区域D 表示在z 平面的上半平面，从原点起沿虚轴去掉一条长为3的割线，则29z ω=+将区域D 变为()ω平面除去正实轴的开区域1D （6分）（2）w =1D 变为w 平面的上半平面Im 0w >因此w = （12分）3、试作一个解析函数，它把上半平面Im 0z>保形双射成w 平面的半带域Re 22w ππ-<<，Im 0w > .解由多角形映射公式知1zw c c -=+⎰由π(1)2w --=知1π2c =- 因111arcsin πt --==⎰，故由π(1)2w =知πππ22c -= 所以1c = （6分）因此πarcsin 2zw z -==⎰于是arcsin w z =即为所求. （12分）四、（22%）证明题1、若1231z z z ===，1230z z z ++=，则122313z z z z z z -=-=- . 证法1因1230z z z ++=，3||1z =，故22123()||1z z z +=-=即1212()()1z z z z ++=，即12121z z z z +=-（6分）因此121211121222()()3z z z z z z z z z z z z --=--+=即12||z z -=23||z z -=，12||z z -= （11分）证法2 由平行四边形公式 2222131313||||2(||||)z z z z z z ++-=+知，2222131313||2(||||)||z z z z z z -=+-+，而1230z z z ++=，（6分）因此222213132||2(||||)||413z z z z z -=+--=-=，13||z z -，同理23||z z -，12||z z -= （11分） 2、若在1z <内，()f z 解析，并且1()1f z z≤-，则()(0)(1)!n f e n <+ 证因()1||1!()(0)d 2πin n n z n n f z f z z+=+=⎰（3分）故11||1||1!|(0)||d |2π||z (n)n n z n n f z z -+=+≤⎰（6分）11111!n2π2π()n+1nn n n n n +-++≤（8分） 1(1)!1e(1)!nn n n ⎛⎫=++<+ ⎪⎝⎭ （11分）。

复变函数期末模拟题

复变函数期末模拟题复变函数测试题一一.选择题（每题4分，共计24分）1.z z f sin )(=的导数是（）A.coszB.z sinC.0D.12.i e 52+=（）A.0B.1C.2e (cos5+isin5)D. 2e3.若曲线C 为|z|=1的正向圆周，()2(3=-⎰Cz dz ） A.0 B.1 C.-1 D.24.0z =为函数3sin )(zz z f =的（） A.一级极点 B.二级极点 C.本性奇点 D.可去奇点5.()f z z z =，则()f z （）A. 在全平面解析B. 仅在原点解析C. 在原点可导但不解析D. 处处不可导二.填空题：（每题4分，共计20分）1.若函数为zz f 1)(=则()f z '=______________。

2.⎰=i i zdz 2________________。

3.若曲线C 为3z =的正向圆周，则=-⎰dz z C21______。

4.lim 12n n i -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭______。

三.计算题（共计56分）1.求幂函数∑∞=13n nn z 的收敛半径。

（6分）2.试求arg czdz ⎰，c 为()1z i t =+，t 从1到2. （7分）3.把函数)3)(2(1)(--=z z z f 在2<3<z 内展成洛朗展开式。

（7分）4.求dz z z C⎰-12曲线C 为正向圆周3z =。

（7分）5.求()211z z -在11z ->上的洛朗展开式。

（7分）6.比较()i i e 与i i e 两个数。

（8分）7．已知1f z i ⎛⎫⎪+⎝⎭z =，则求极限()lim z i f z → 。

（7分）复变函数测试题二一.选择题（每题4分，共计24分）1.z z f cos )(=的导数是（）A.coszB.-z sinC.0D.12.i e 53+=（）A.0B.1C.3e (cos5+isin5)D. 3e3.若曲线C 为|z|=1的正向圆周，(21=-⎰C z dz ） A.0 B.1 C.-1 D.2i π4.0z =为函数3cos )(zz z f =的（） A.一级极点 B.三级极点 C.本性奇点 D.可去奇点 5.若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，则该级数在2=z 处的敛散性为（）。

完整版)复变函数测试题及答案

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

复变函数考试卷试题及答案

应用数理统计应用数理统计试题试题第 1 页共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）分）1．设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î，则()f z 的连续点集合为（的连续点集合为（）。

（A ）单连通区域）单连通区域（B ）多连通区域）多连通区域（C ）开集非区域）开集非区域（D ）闭集非闭区域）闭集非闭区域 2．设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的（可微的（）。

()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3．下列命题中，不正确的是（下列命题中，不正确的是（）。

()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4．设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ò（）。

()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5．设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=，那么()()Res ,0f z =（）。

()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题（15分，每空3分）分） 1．()Ln 1i -的主值为的主值为。

2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。

复变函数积分变换模拟试卷及答案

复变函数积分变换模拟试卷及答案习题一一、填空题（每空3分，共30分） 1.1211,,2z i z i =+=+则12z z ?= ，12arg()z z ?= ． 2.3. ()exp(2/2z π'+=4. (2)Ln i = ，cos i =5．.沿圆周C 的正向积分:1211z C z ze dz z -=+=-?? ． 6. 级数(1)(1)nn n i z ∞=--∑的收敛半径R = ．7. ()sin(2)f z z =的泰勒展开式是８．函数()sin(3)f t t =的拉普拉斯变换为二、选择题（每题3分，共15分）1.方程52z -=所表示的曲线是（）（A ）椭圆（B ）直线3x =- （C ）直线2y = （D ）圆周2. 已知1()z e f z z-=，则]0),([Re z f s （）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3. 0=z 为4sin z zz-的( ) （A ）一级极点（B ）二级极点（C ）三级极点（D ）四级极点 4. 设s F()=L [()]f t ，则L 0[()]tf t dt ?的值是（）（A ）()F s js （B ）()(0)F s f s- （C ）()F s s （D ）()F s5. w 1F()=F 1[()]f t ，w 2F ()=F 2[()]f t ，下列关于Fourier 变换的卷积公式说法错误的是（）（A ）1221()()=()()f t f t f t f t ** （B ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w *=?（C ）F 12121[()()]()()2f t f t F w F w π=* （D ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w ?=* 三．1.（本题5分）24,12C dz z z i ??+ ?--?其中:3C z =为正向. 2．（本题5分）利用留数计算221,1Cz dz C z +-??为正向圆周：3z = 3. （本题5分）计算1sin z zdz ?.四．假设1. （本题8分）假设2222()()f z x axy by i cx dxy y =+++++为解析函数，试确定,,,a b c d 的值.2.（本题8分）将函数2z ze e shz --=展开成z 的幂级数,并指出它的收敛半径.3.（本题8分）将函数21()(1)(2)f z z z =--分别在0|1|1,0|2|1z z <-<<-<内展成洛朗级数.4. （本题8分）函数2(1)(2)()(sin )z z f z z π--=有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。

复变函数模拟试题(三)

复变函数模拟试题试题(三)一. 填空题（每空3分，共15分） 1. 设5=z , 43)arg(π=-i z , 则=z . 2.若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=, 那么)(z f = .3.设c 为负向圆周4=z , 则⎰-c zdz i z e 5)(π= . 4. 双边幂级数nn n n n n z z ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--∑∑∞=∞=21)1()2(1)1(11的收敛域为 . 5. 把上半平面0)Im(>z 映射成单位圆1)(<z ω且满足31)21(,0)1(=+=+i i ωω的分式线性变换)(z ω= .二. 选择题（每题3分，共15分）1. 方程232=-+i z 所代表的曲线是( )(A) 中心为i 32-, 半径为2的圆周(B) 中心为i 32+-, 半径为2的圆周(C) 中心为i 32+-, 半径为2的圆周(B) 中心为i 32-, 半径为2的圆周2．函数)Im()(2z z z f =在0=z 处的导数( )(A) 等于0 (B) 等于1 (C) 等于-1 (D) 不存在 3. 设1:1=z c 为负向, 3:2=z c 为正向, 则⎰+=212sin c c c dz zx= ( ) (A) i π2-(B) 0(C) i π2 (D)i π44. 若,sin 1)(zz z f = 则).(]),([Re =πk z f s(A)πk 1(B) 0(C) πk k1)1(- (D)k )1(-5. 将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=ω的分式线性变换为( ) (A) 11-+=z z ω (B) z z -+=11ω (C) z z e i -+=112πω (D) 112-+=z z e i πω三、(10分) 若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围.四. (10分)若函数)(z f 在上半平面内解析, 试证函数)(z f 在下半平面内解析.五、(10分) 计算积分⎰=-ρz az dz 4, 其中0,,0>≠≠ρρa a .六.(10分) 计算积分⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62, 其中21,0≠≠>R R R 且; 七.(10分) 求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数, 并计算∑∞=122n n n 之值.八.(10分) 设,0>>a b 试求区域 a a z D >-|:|且b b z <-||到上半平面0)Im(>ω 的一个映射).(z ω九. (10分) 如果)(z f 和)(z g 是以0z 为零点的两个不恒等于零的解析函数, 证明)(')('lim )()(lim00z g z f z g z f z z z z →→= (或两端均为∞). 复变函数模拟试题试题(三)答案一. 填空题(1). i 21+- (2).c ic z ,2+为实常数. (3).12i π (4). 2|2|1<-<z (5). i z i z +---11二. 选择题1. (C) 2．(A) 3. (B) 4. (C) 5. (C) 三、解方程03)21()21(=+++-+z i z i z z 表示圆周,2|21|=++i z 即z 在以)21(i +-为中心, 半径为2的圆周上. 于是由,25|21||21||2|,52|21||)21(||)21()21(||2|-=++--≥++=-+++≤-+++=+i z i z i i z i i z z可知|2|+z 的取值范围为]25,25[+-.四. 证明:设),,(),()(y x iv y x u z f +=则≡---=),(),())(y x iv y x u z f it s +.由),(),,(y x v y x u 在上半平面内可微可知, ),(),,(y x v y x u ---在下半平面内可微. 再由),(),(),,(),(y x v y x u y x v y x u x y y x -==在上半平面内成立, 可知xt y x v y x u y s yt y x v y x u x s x y y x ∂∂-=-=--=∂∂∂∂=-=-=∂∂),(),(),(),(在下半平面内成立. 故函数)(z f 在下半平面内解析. 五、解:⎰=-ρz az dz 4=⎰⎰==---=---ρρρρρ||||22222)()()()(z z dz z a a z zi z dz a z a z i 若,||ρ<a 则22)(z a z-ρ在ρ≤||z 上解析, 由高阶导数公式 ⎰=-ρz az dz 4=32222'22)||()||(2)(2a a az zi i az -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ρρπρρπρ 若,||ρ>a 则同上有⎰=-ρz az dz 4=32222'222||2222)|(|)||(2)(2)()()()(ρρπρπρρρρρ-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---==⎰a a a z zi a i dz az a z z a i az z故⎰=-ρz az dz 4=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+)|(|)|(|)||(2)|(|)||()||(23222232222ρρρπρρρρπρa a a a a a六. 解: 原积分=⎰⎰⎰===+-++-Rz R z R z z dzz dz z dz ||||||24131 然后由柯西积分公式知, 当10<<R 时, 积分值=0; 当21<<R 时, 积分值=i π8;当+∞<<R 2时, 积分值=0.七. 解: 易知幂级数的收敛半径,1=R 在收敛圆1||<z 内设其和函数为),(z f 逐项求导得=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞='1)(n nnz z z f ''1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=n n z z z=.)1()1()1(13'2''z z z z z z z z z z -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛- 此时 ∑∞===12.6)21(2n n f n八. 解: 映射z a z z 21-=将D 映射为带形域b a b z -<<)Re(01, 再作旋转122z e z iπ=得,)Im(02b a b z -<<作伸缩23z ab bz π--, 得.)Im(03π<<z 于是 3z e =ω便将<<)Im(03z 映射为上半平面.0)Im(>ω 复合这些映射即知所求的一个映射为 .2exp ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=z a z a b i b πω九. 证设0z 分别为)(z f 与)(z g 的m 级零点与n 级零点, 则在0z 的邻域内, )()()(),()()(2010z z z z g z z z z f n m ϕϕ-=-=其中)(1z ϕ与)(2z ϕ在0z 解析, ,0)(01≠z ϕ.0)(02≠z ϕ于是)1()()()()()(210z z z z z g z f n m ϕϕ--=)2()()()()()()()()()('202'1010''z z z z n z z z z m z z z g z f n m ϕϕϕϕ-+-+-=-由式(1)和式(2)可知当n m >时, ;)()(lim 0)()(lim ''00z g z f z g z f z z z z →→==当n m =时, ;)()(lim )()()()(lim ''020100z g z f z z z g z f z z z z →→==ϕϕ当n m <时, ,)()(lim )()(lim ''00z g z f z g z f z z z z →→=∞=结论得证.。

复变函数考试试题

复变函数考试试题复变函数考试试题一、选择题1. 下列哪个函数是复变函数？A. f(x) = 3x^2 + 2x + 1B. f(z) = z^2 + 1C. f(x) = e^xD. f(z) = |z|2. 设函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)为实函数，z = x + iy，那么下列哪个条件是复变函数的充分条件？A. u(x, y)和v(x, y)都满足柯西-黎曼方程B. u(x, y)和v(x, y)都是连续函数C. u(x, y)和v(x, y)都是可微分函数D. u(x, y)和v(x, y)都是可积函数3. 设f(z) = z^2 + 1，那么f(z)的共轭函数为：A. f(z) = z^2 - 1B. f(z) = z^2 + 1C. f(z) = z^2 - iD. f(z) = z^2 + i4. 设f(z) = e^z，那么f(z)的实部和虚部分别是：A. 实部：e^x，虚部：e^yB. 实部：cos(x)，虚部：sin(y)C. 实部：e^x，虚部：sin(y)D. 实部：cos(x)，虚部：e^y二、填空题1. 设f(z) = z^3，那么f(z)的导数为_________。

2. 设f(z) = e^z，那么f(z)的导数为_________。

3. 设f(z) = z^2 + 1，那么f(z)的积分为_________。

三、解答题1. 证明：若函数f(z)在某个区域D内解析，则f(z)在D内连续。

2. 设函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域D内解析，且满足柯西-黎曼方程，即u_x = v_y，u_y = -v_x。

证明：函数g(z) = u(x, y) - iv(x, y)也在区域D内解析。

3. 设函数f(z) = z^2 + z + 1，在区域D内解析。

求出D上的一个原函数F(z)，并计算∮_C f(z)dz，其中C为D内的任意简单闭合曲线。

《复变函数》考试试题与答案(二)(可编辑修改word版)

0 《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20 分）1.若函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 在D 内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D 内连续.( )2.cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )4.有界整函数必为常数. ( )5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则lim f (z) 一定不存在. ( )z →z06.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )7.若f(z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C ⎰C f (z)dz = 0 .( )8.若数列{zn } 收敛，则{Re zn} 与{Im zn} 都收敛. ( )9.若f(z)在区域D 内解析，则|f(z)|也在D 内解析. ( )10.存在一个在零点解析的函数f(z)使二. 填空题. (20 分) f (1n +1) = 0 且f (1) =2n1, n= 1,2,... .2n( )1. 设z =-i ，则| z |=, a rg z =, z =2.设f (z) = (x2+ 2xy) +i(1 - sin(x2+y2 ),∀z =x +iy ∈C，则limz →1+if (z) =.3. ⎰|z-z|=1dz(z -z) n=.（n 为自然数）4.幂级数∑n z n的收敛半径为.n=05.若z0是f(z)的m 阶零点且m>0，则z0是f '(z) 的零点.6.函数e z 的周期为.7.方程2z5-z3+ 3z + 8 = 0 在单位圆内的零点个数为.8.设f (z) =11 +z2，则f (z) 的孤立奇点有.9.函数f (z) =| z | 的不解析点之集为.∞z i)10.10.Res( z -1z 4,1) = .三. 计算题. (40 分)1. 求函数sin(2z 3) 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z = i 处的值.3. 计算积分： I的右半圆.=⎰-i| z | d z ，积分路径为（1）单位圆（| z |= 1）4. 求 sin z dzz =2(z - 2 2 . 四. 证明题. (20 分)1. 设函数 f (z )在区域 D 内解析，试证：f (z )在 D 内为常数的充要条件是 f (z ) 在 D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题⎧2i n = 11.1， - ， 2i ；2. 3 + (1- sin 2)i ；3. ⎨⎩ ； 4. 1；5. n ≠ 1m -1 .6. 2ki ， (k ∈ z ) .7. 0；8. ±i ； 9. R ；10. 0.三. 计算题3∞(-1)n(2z 3 )2n +1∞(-1)n 22n +1 z 6n +31. 解 sin(2z ) =∑n =0(2n +1)!= ∑n =0(2n +1)!.2. 解令 z = re i .则 f (z ) = =+2kire2,(k = 0,1) .z⎰ 0i )0 z =22又因为在正实轴去正实值，所以 k = 0 . i 所以 f (i ) = e4 .3. 单位圆的右半圆周为 z = e i,- ≤≤ . 22⎰-i⎰所以4. 解z dz =2de i = e i2 - - 22= 2i .⎰sin zdz = 2i (sin z )'(z - z =2= 2i c os z 2z = 2 =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令 f (z ) = c 1 + ic 2 ,则 f (z ) = c 1 - ic 2 . ( c 1 , c 2 为实常数). 令u (x , y ) = c 1 , v (x , y ) = -c 2 . 则u x = v y = u y = v x = 0 .即u , v 满足C . - R ., 且u x , v y , u y , v x 连续, 故 f (z ) 在 D 内解析.(充分性) 令 f (z ) = u + iv , 则 f (z ) = u - iv , 因为 f (z ) 与 f (z ) 在 D 内解析, 所以u x = v y , u y = -v x , 且u x = (-v ) y = -v y ,u y = -(-v x ) = -v x .比较等式两边得 u x = v y = u y = v x = 0 . 从而在 D 内u , v 均为常数,故 f (z ) 在 D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 a z n + a z n -1 + ⋅⋅⋅ + a z + a = 0 (a ≠ 0) 有且只有 n 个根”.1nn -1n -1n⎧⎪ a 1 + ⋅⋅⋅ + a n ⎫⎪证明令 f (z ) = a 0 z + a 1 z + ⋅⋅⋅ + a n -1 z + a n = 0 , 取 R > max ⎨⎪⎩ a 0 ,1⎬ , 当 z ⎪⎭在C : z = R 上时, 有 (z ) ≤ a 1 R n -1 + ⋅⋅⋅ + a R + a n < ( a 1 + ⋅⋅⋅ + a n )Rn -1< a R n .由儒歇定理知在圆z < R = f (z ) .内, 方程a z n + a z n -1 + ⋅⋅⋅ + a z + a = 0 与 a z n = 0 有相 01n -1n同个数的根. 而 a z n= 0 在z < R 内有一个 n 重根 z = 0 . 因此 n 次方程在 z < R内有 n 个根.n -1 0。

(完整版)复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像.七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>.九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数（D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数xvix u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dz w d dz dw .六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量，将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）.九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zzz 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰cdz z f z f五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a f nn .六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章级数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i（C ） ∑∞=1n nni （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i （D ）∑∞=-12)1(n nn n i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题 1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z z e e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

浙江大学大二数学专业《复变函数》考试A卷及答案

第 1 页共2页第 1 页共2页(A) 答案120分钟总分100分闭卷 2分，计10分）。

4π C. 3π- D.3π( B )。

z e C.f(z)=Lnz D.f(z)=Rez ( A )。

C.本性奇点 D.二阶极点 ( C )。

C.2 D.∞ B ）。

C.21D.020分)则z 的辐角主值为 π32 2cosz 圆 5、函数w=cosz 的解析范围为全平面 6、设z=3-4i ，则z ＝ 3+4i 7、积分⎰==+2102)1((z z dz z e z 08、函数z=)2)(1(--z z z的奇点为 1 和29、设f(z)=2)1(28--z z z ,则f(z)在z=0的留数Res[f(z),0]= -2 10、解析函数w=3z 在z=1处的伸缩率为 3 。

三、求下列积分(20分) 每题5分 1、dz i z zz ⎰=-22、dz i z zz ⎰=-23)(cos 1、原式＝2πii=-2π 2、原式＝2πi )(cos ''z iz ==-2πicosi 3、⎰=--32)1(25z dz z z z 4、⎰=--22))(9(z i z z z3、原式＝2πi{Res[f(z),0]+Res[f(z),1]} =2πi{-2+2}＝04、原式＝2πi i z z z =-29=-5π四、计算题(每题5分,计15分) 1、求i +1的值第 2 页共2页第 2 页共2页原式＝]224sin [cos2224ππππk i k +++ （k=0,1）k=0 原式=]8sin8[cos2ππi +k=1 原式=]89sin 89[cos 2ππi +2、求Ln(1-i)的值原式=ln2+i(-ππk 24+) k=1,2,…3、求10)1(i +的值原式=i i i 32)2(])1[(552==+ 五、(12分)将函数f(z)=)1)(2(1--z z (1)在0<|z-1|<1内展开为洛朗级数;(2) 在0<|z-2|<1内展开为洛朗级数.(1) f(z)=∑∞=----=--+--=-+--0)1(11111112111n n z z z z z z …6分(2) f(z)=∑∞=--+-=+---0)2()1(2112121n n n z z z z …6分六、(8分) 求f(z)=z321- 在z=0处的泰勒级数,并指出收敛范围。

浙江大学复变函数模拟试卷2份

第一部分（共40分）一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1、设z=1-√3i，则（）ππA、|z|=2，arg z=- ---B、|z|=1，arg z=---3 3ππC、|z|=4，argz=- ---D、|z|=2，argz=---3 32、下列复数表达式中正确的是（）πA、-1=eiπB、-1=-e-iπC、-1=-eiπD、-1=e-2i（1+i）（2-i）3、-------------=（）I2A、1+2iB、2+iC、1-3iD、-1-3i4、函数f（z）=|z|2在复面上（）A、处处不连续B、处处连续，处处不可导C、处处连续，仅在z=0点可导D、处处连续，在z=0点解析5、在复数域内，下列数中为实数的是（）A、（1-i）3B、iiC、1niD、√-86、解析函数的实部u（x，y），和虚部v(x,y)所满足的柯西-黎曼条件为（）u υ u υ u υ u υA、---=---,---=---B、---=---,---=- ---x y y x x y y xu υ u υ u υ u υC、---=---,---=---D、---=- ---,---=---x x y x x y y x7、2sini=（）A、（e-1-e）iB、（e+e-1）iC、（e-e-1）iD、e-e-18、设f（z）=u（x，y）+iυ（z，y）是一个解析函数。

若u=y，则f′（z）=（）A、iB、1C、1D、-i9、设C是从z=0到z=1+i的直线段，则积分∫zdz=（）cA、0B、2C、1D、1+i10、设C为正向圆周|z|=1，则积分∮ezdz=（）cA、1B、2πC、0D、2πii11、积分∫ zsinzdz=（）-iA、2πiB、0C、1D、-2e-1i12、设C1为正向圆周|z|=1，C2为正向圆周|z-2|1，则积分1 cosz 1 sinz----∮ ----dz+----∮ ---dz=（）2πi c1 z-2 2πi c2z-2A、sin2B、cos2C、0D、2πiz513、设C是围绕z0点的正向简单闭曲线，则积分∮ ---------dz=（）c （z-x0）3A、0B、2πiC、2πz50iD、20πz30i14、复数列an=e-in，n=0，1，2，…则liman（）n→∞A、等于0B、不存在，也不是∞C、等于1D、等于∞15、在z=0的领域内1n（1+z）=∞（-1）n-1 ∞ znA、∑ --------znB、∑---n=1 n n=1 n∞ 1+（-1）n ∞C、∑ --------znD、∑（-1）n-1znn=1 n n=1∞ 1+（-1）n16、幂级数∑ ----------zn 的收敛半径为（）n=0 3n1A、9B、3C、---D、+∞3∞（-1）n17、罗朗级数∑--------- 的收敛圆环域为（）n=0（z-2）n+2A、1<|z-2|<2B、1<|z-2|<+∞C、0<|z-2|<1D、2<|z-2|<+∞1 118、z=1是函数-------cos------的（）（z-1）5 （z-1）5A、本性奇点B、可去奇点C、5阶极点D、10阶极点19、设z0是函数f（z）的m阶极点，则Res[f（z），z0]=（）1 dmA、---lim ---[（z-z0）mf（z）]m！z→z0dzm1 dm-1B、------ lim -----[（z-z0）m-1f（z）]（m-1）！z→z0dzm-11 dm-1C、------ lim -----[（z-z0）mf（z）]（m-1）！z→z0dzm-1D、lim（z-z0）mf（z）z→z020、保角映射w=ez将Z-平面上的带形区域0<Imz<π映射成（）A、上半复平面B、单位圆外部C、整个复平面D、单位圆内部第二部分非选择题（共60分）二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

浙江大学2006–2007学年春学期重修考试《复变函数与积分变换》课程试卷

浙江大学2006–2007学年春学期重修考试《复变函数与积分变换》课程试卷开课学院：理学院，考试形式：闭卷，考试时间： 4月22日,所需时间：120分钟考生姓名： __ _学号：专业： ___任课教师：（1）求)Ln i 的实部与虚部;(2)求解方程 ch 2z =;(3)求所有具有形式22()u f x y =+的调和函数。

二、计算积分（每题7分，共28分） 1）31cos z zdz z =⎰，积分曲线正向（2）2(1)z rz dz z z =+-⎰，其中1r >, 曲线正向（3）2sin 22xdx x x ∞∞+⎰－－（4）221z z e dz z z =-⎰曲线正向三、（15分）1.把21sinz 在圆环0<| z |<+∞内展开为 z 的罗朗级数； 2.求函数tan z 的麦克劳林级数(计算到3z 的系数)，并指出其收敛范围。

四、(16分)(1) 求将区域}{|0arg /3z z π<<映为W 平面上的单位圆内部的保角映射()W W z =，且(1)W i +=0,(1)0W i '+>。

(2) 求将单位圆内映为单位圆内的保角映射w=w(z)，且(1/2)1/2w =-, (1/2)0w '>。

五、（14分）求下列函数的拉普拉斯变换: 1) 0()sin tt f t t e d τττ-=⎰,求 Laplace 变换[()]L f t ；2) 设2()(1)s e F s s s -=-，求 Laplace 逆变换)]([1s F L -。

六、（6分）证明：2lim 0z R cedz -→∞=⎰；其中 :Re 0/4i c z θθπ=≤≤。