元素与集合的关系
集合的基本概念元素集合之间的关系
集合的基本概念元素集合之间的关系第⼀章集合第⼀节集合的概念⼀、要点透析（⼀）集合的有关概念：由⼀些数、⼀些点、⼀些图形、⼀些整式、⼀些物体、⼀些⼈组成的。
我们说，每⼀组对象的全体形成⼀个集合，或者说，某些指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：⼀些元素集在⼀起就形成⼀个集合（简称集）2、元素对于集合的⾪属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定⼀个元素或者在这个集合⾥，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）⽆序性：集合中的元素没有⼀定的顺序（通常⽤正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定⼀个集合吗？（1）所有很⼤的实数（）（2）好⼼的⼈（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常⽤⼤写的拉丁字母表⽰，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常⽤⼩写的拉丁字母表⽰，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开⼝⽅向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常⽤数集及记法（1）⾮负整数集（⾃然数集）：全体⾮负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：⾮负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作?注：（1）⾃然数集与⾮负整数集是相同的，也就是说，⾃然数集包括数0（2）⾮负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表⽰，例如，整数集内排除0的集，表⽰成*Z例2.⽤适当的符号（∈?，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（⼆）集合的表⽰⽅法1、列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合例如，由⽅程210x -=的所有解组成的集合，可以表⽰为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表⽰：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表⽰⼀个元素，{}a 表⽰⼀个集合，该集合只有⼀个元素例3、设a,b 是⾮零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：⽤确定的条件表⽰某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在⼤括号内表⽰集合的⽅法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满⾜条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表⽰为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直⾓三⾓形的集合可以表⽰为：{|}x x 是直⾓三⾓形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有⼀个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中⾄多有⼀个元素，求a 的取值范围3、⽂⽒图：⽤⼀条封闭的曲线的内部来表⽰⼀个集合的⽅法4、何时⽤列举法？何时⽤描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便⽤描述法表⽰，只能⽤列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能⽆遗漏地⼀⼀列举出来，或者不便于、不需要⼀⼀列举出来，常⽤描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同⼀个集合吗？（三）有限集与⽆限集有限集：含有有限个元素的集合⽆限集：含有⽆限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作?，如：2{|10}x R x ∈+=⼆、题型解析（⼀）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四⼤发明B．地球上的⼩河流C．⽅程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三⾓形2⽅程组23211x y x y -=??+=?的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表⽰同⼀集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6⽤适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满⾜的条件为（⼆）集合的表⽰⽅法1⽤列举法表⽰下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ??+=-=?????④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2⽤描述法表⽰下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017?±±±±（三）集合的分类1关于x 的⽅程0ax b +=，当a ，b 满⾜条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满⾜条件_____时，解集是⽆限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表⽰同⼀个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表⽰为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）⽅程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表⽰为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的⽅法表⽰下列集合：（1）⼆次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的⾃变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试⽤列举法表⽰集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ??≠≠≠≠-??????且③12(,)13x x x y y y ??≠≠≠≠-??????或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-?-++≠其中不能表⽰“在直⾓坐标系xOy 平⾯内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯⼀实施解}，试⽤列举法表⽰集合A。
集合的基本概念元素集合之间的关系
第一章集合第一节集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（）（2）好心的人（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2.用适当的符号（∈∉，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三角形2方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。
集合的基本概念元素集合之间的关系
第一章 集合第一节 集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1. 下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （ ）（2）好心的人（ ）（3）1，2，2，3，4，5．（ ）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±±，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2. 用适当的符号（∈∉， ）填空：(1)3_____N; (2)0_____{Φ}; (3)32____Z, 0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100}；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈ 含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、 已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1 以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）A ．中国古代四大发明B ．地球上的小河流C ．方程210x -=的实数解D ．周长为10cm 的三角形 2 方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A ．{5,1} B ．{1,5} C ．{(5,1)} D ．{(1,5)}3 给出下列关系：①12R ∈； Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44 下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（ ）A ．{}M π=，{3.14159}N =B ．{2,3}M =，{(2,3)}N =C ．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D ．{}M π=，{,1,|N π= 5 已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6 用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17 A ； 5- A ； 17 B7 已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1 用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数 ②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈ ③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}n x x n N =-∈ ⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈ ⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数 2 用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13} ②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625} ④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1 关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2 下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（ ）A ．只有（1）和（4）B ．只有（2）和（3）C ．只有（2）D ．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合： ①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且 ③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或 ； ④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠ 其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。
数学人教版高中一年级必修1 元素与集合、集合与集合的关系
第一周 元素与集合、集合与集合的关系重点知识梳理1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性． ①确定性：集合中的元素必须是明确的，不能含糊不清；②互异性：一个集合中的元素是唯一的，不能有相同元素，相同元素只能出现一次； ③无序性：即一个集合中的元素出现没有顺序，只要两个集合的元素完全相同，这两个集合就是相同的．2．元素与集合的关系：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，元素与集合是从属关系，如a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ，a 不属于集合A ，记作a ∉A . 3．集合间的基本关系(1)子集：如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B . (2)真子集：如果A ⊆B 且A ≠B ，那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B .(3)相等：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，即A ＝B . (4)常用结论①任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A ；②空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集； ③如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C ； ④如果A ⊆B ，同时B ⊆A ，那么A ＝B .典型例题剖析例1 已知集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0，x ∈R }，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．【方法指导】集合A 中至多有一元素，即为对应方程至多只有一根，这样通过讨论方程根的情况来求a 的取值范围即可．【解析】(1)当a ＝0时，方程只有一个根－12，则a ＝0符合题意；(2)当a ≠0时，关于x 的方程ax 2－2x －1＝0是一元二次方程，则该方程有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}． 综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－1}． 【提示】以下解法是错误的：由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}．错误原因 方程ax 2－2x －1＝0不一定是一元二次方程，若方程不是一元二次方程，则不能利用判别式Δ判断其实根的个数．淘出优秀的你2【小结】本题体现了转会与化归的思想，解答时将问题转化为关于x 的方程ax 2－2x －1＝0的实数根的个数问题，这样就容易解决了．同时，要注意若方程的二次项系数含有字母，则需对其是否为零进行讨论．变式训练 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A 是单元素集(只含有一个元素的集合)，求a 的值及集合A ； (2)求集合P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}． 【解析】(1)当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98，此时A ＝{43}．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)知，当a ＝0时，A ＝{23}含有一个元素，符合题意．由a ≠0时，要使方程有实根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上所述，P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}＝{a |a ≤98}．例2 已知－3∈A ，A 中含有的元素有a －3,2a －1，a 2＋1，求a 的值． 【解析】由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3， 当a －3＝－3时，a ＝0； 当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或a ＝－1.变式训练 已知互异的两数a ，b 满足ab ≠0，集合{a ，b }＝{a 2，b 2}，则a ＋b 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 【答案】D【解析】由{a ，b }＝{a 2，b 2}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a 2b ＝b 2① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝a 2，② 由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝1b ＝0或b ＝1，∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，即a ＝1，b ＝1，此时集合{1,1}不满足条件． 由②两式相减得a 2－b 2＝b －a ，∵两数a ，b 互异，∴b －a ≠0，即a ＋b ＝－1，故选D.例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 【解析】A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}， 且B ⊆A .①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2， 此时有B ⊆A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2， 由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ＋1≥－22m －1≤5，解得2≤m ≤3. 由①②得m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．【小结】对于这类含有字母参数的集合的包含关系，应注意空集是任何集合的子集，如本题中，应讨论集合B 为空集的情形．变式训练 已知集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，集合Q ＝{x |ax ＋1＝0}，且Q ⊆P ，求实数a 的取值构成的集合A .【解析】∵x 2＋x －6＝0， ∴(x ＋3)(x －2)＝0， 即x ＝－3或x ＝2. ∴P ＝{－3,2}． 又∵Q ＝{x |ax ＋1＝0}， 当a ＝0时，Q ＝∅，满足Q ⊆P ； 当a ≠0时，有－1a ＝－3或－1a ＝2，∴a ＝13或a ＝－12，故a ＝0或a ＝13或a ＝－12.∴A ＝{－12，0，13}．跟踪训练1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}其中只有一个元素，则a 等于( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或42．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x ∈Z 中含有的元素个数为( )淘出优秀的你4A ．4B ．6C ．8D ．123．若集合A ＝{x |ax 2＋(a －6)x ＋2＝0}是单元素集合，则实数a 等于( ) A ．2或18 B ．0或2 C ．0或18D ．0或2或184．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．05．集合A 满足关系式(a ，b )⊆A ⊆{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．若非空数集A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( ) A ．{a |1≤a ≤9} B ．{a |6≤a ≤9} C ．{a |a ≤9}D ．∅7．若集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，集合B ＝{x |ax －2＝0，a ∈Z }，且B ⊆A ，则实数a ＝________.8．若集合M ＝{}1，m 2，集合N ＝{2,4}，M ∪N ＝{1,2,4}，则实数m 的值的个数是________．9．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________________． 10．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，则有序实数对(a ，b )的值为________． 11．设集合A ＝{3,3m 2}，B ＝{3m,3}，且A ＝B ，则实数m 的值是________．12．已知集合A ＝{x |2a －2<x ≤a ＋2}，B ＝{x |－2≤x <3}且A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 13．已知由实数构成的集合A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a1－a∈A (a ≠0且a ≠±1)，则集合A 中至少有几个元素？证明你的结论．参考答案1．A 当a ＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件；当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4. 故选A.2．B 由题意，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x ∈Z 中的元素满足x 是正整数，且12x 是整数，由此列出下表根据表格，可得符合条件的x 共有6个，即集合⎩⎨⎭⎬x ∈N *|12x ∈Z 中有6个元素，故选B.3．D a ＝0时，－6x ＋2＝0，x ＝13，只有一个解，集合A ＝{13}，满足题意．a ≠0时，方程ax 2＋(a －6)x ＋2＝0有两个相等实根． 判别式Δ＝0， Δ＝(a －6)2－8a ＝0， a 2－20a ＋36＝0， 解得a ＝2或a ＝18， ∴实数a 为0或2或18. 故选D.4．B 集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ， a ＝2∈A,6－a ＝4∈A ，∴a ＝2， 或者a ＝4∈A,6－a ＝2∈A ，∴a ＝4， 综上所述，a ＝2,4. 故选B.5．D 由题意知集合A 中的元素a ，b 必取，另外可从c ，d ，e 中取，满足题意的集合A 的个数等于集合{c ，d ，e }的子集个数，因为{c ，d ，e }的子集个数为23＝8，则集合A 的个数是8. 故选D. 6．B 7．0或1 8．49．x ≠0,1,2，1±52解析 由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.淘出优秀的你610．(0,1)或(14，12)解析 ∵M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝2a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12，当a ＝0，b ＝0时，集合M ＝{2,0,0}不成立， ∴有序实数对(a ，b )的值为(0,1)或(14，12)故答案为(0,1)或(14，12)．11．0解析 依题意，3m ＝3m 2，所以m ＝0或m ＝1.当m ＝1时，违反元素互异性(舍去)． 12．解析 由已知A ⊆B 可得， (1)当A ＝∅时，有2a －2≥a ＋2⇒a ≥4. (2)当A ≠∅时，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ＋2，2a －2≥－2，a ＋2<3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <4，a ≥0，⇒0≤a <1a <1. 综合(1)(2)，实数a 的取值范围是{a |a ≥4或0≤a <1}． 13．解析 ∵a ∈A ，则1＋a1－a ∈A ，∴1＋1＋a 1－a 1－1＋a1－a ＝－1a ∈A ，进而有1＋⎝⎛⎭⎫－1a 1－⎝⎛⎭⎫－1a ＝a －1a ＋1∈A ，∴又有1＋a －1a ＋11－a －1a ＋1＝a ∈A .∵a ∈R ，∴a ≠－1a.假设a ＝1＋a1－a ，则a 2＝－1，矛盾，∴a ≠1＋a 1－a.类似方法可得a 、1＋a 1－a 、－1a 和a －1a ＋1四个数互不相等，故集合A 中至少有四个元素．。
集合知识点汇总与练习
1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示一集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。
2.集合中元素的属性（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。
（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。
（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”。
4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。
二集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三集合的表示方法1.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。
（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。
注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。
（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝.注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。
第07讲 集合的概念与关系
第07讲：集合的概念【基础知识】一、元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．二、元素与集合的关系三、常用数集及表示符号四、集合的表示 （1）列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号{}括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法一般地，设A 是一个集合，把集合A 中所有具有共同特征()p x 的元素x 所组成的集合表示为{|()}x p x R ，这种表示集合的方法称为描述法． （3）Venn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图．【考点剖析】考点一：集合的三要素确定性：如果元素的界限部明确，即不能构成集合，其中包括：著名的科学家；比较高的人；成绩比较好的学生，跑得比较快的同学，接近于1的数等互异性：集合中的元素互相不相同无序性：集合种的元素可以交换顺序例1．下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数π相差很小的全体实数例2．已知集合A是由a−2, 2a2+5a, 12三个元素组成的，且−3∈A，求a=________.变式训练1：已知集合A是由a+1,a−1,a2−3三个元素组成，若1∈A，则实数a的值为__________.变式训练2：已知集合A中的元素为−2,2a,a2−a，若2∈A，则a=__________.变式训练3：已知集合A中的元素为k+1,k−1,k2−3，若1∈A，则实数k的值为_____________.变式训练4：下列各组对象能构成集合的是（）A．新冠肺炎死亡率低的国家B．19世纪中国平均气温较高的年份C．一组对边平行的四边形D．π的近似值用列举法表示集合：列举出每一个元素 用描述法表示集合：文字描述；式子描述例3．用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A ； (2)小于8的质数组成的集合B ；(3)方程2230x x --=的实数根组成的集合C ； (4)方程组42x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集D .例4．用描述法表示下列集合： (1)不等式231x -<的解组成的集合A ； (2)被3除余2的正整数的集合B ； (3){2,4,6,8,10}C =；(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D .例5．下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}； ③方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}； ④集合{|45}x x <<可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对元素与集合之间只能用属于（∈）和不属于（∉）.例6．下列元素与集合的关系表示正确的是（）∈Q；④π∈Q．①0∈N∗；②√2∉Z；③32A．①②B．②③C．①③D．③④变式训练1：下列关系中，正确的个数为（）①0∈N；②π∈Q；③√2∈Q；④−1∈Z；⑤√2∉R.A．1 B．2 C．3 D．4变式训练2：给出下列关系：①12∈R；②2∈Q；③|−3|∈N；④|−3|∈Z；⑤0∉N，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4变式训练3：若集合A中的元素满足x−1<√3，且x R，则下列各式正确的是（）A．3∈A，且−3∉A B．3∈A，且−3∈AC．3∉A且−3∉A D．3∉A，且−3∈A例7．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1，且a≠0)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．变式训练1：集合A中的元素为1, 2, 3, 5，当x∈A时，若x−1∉A,x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4变式训练2：非空集合A具有下列性质：①若x、y∈A，则xy∈A；②若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（）（1）−1∉A；（2）20202021∈A；（3）若x、y∈A，则xy∈A；（4）若x、y∈A，则x−y∉A.A．（1）（3）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（3）（4）相同元素根据互异性，只能计算一次（主要考查互异性）例8．设集合{123}{45}}{|A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6变式训练1：已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式训练2：设集合(){},1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6变式训练3：集合{}2*70,A xx x x =-<∈N ∣，则*8{,}B yy A y=∈∈N ∣中元素的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例9．已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1}变式训练1：已知集合{}2310A x ax x =-+=中有且只有一个元素，则实数a 的取值集合是（ ）A ．9{0,}4B ．1{0,}3C ．{0}D ．9{}4变式训练2：式子22a b a a b a++________.变式训练3：已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈. （1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ； （3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围考点六：集合新定义例10．给定集合A ，若对于任意a 、b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合{}4,2,0,2,4A =--为闭集合； ②集合{}3,A n n k k Z ==∈为闭集合； ③若集合1A 、2A 为闭集合，则12A A 为闭集合．其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3变式训练1：已知集合A 中的元素均为整数，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S =，由S 中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．变式训练2：已知集合{|31,},{|32,},{|63,}A x x n n B x x n n M x x n n ==+∈==+∈==+∈Z Z Z ． (1)若m M ∈，则是否存在,a A b B ∈∈，使m a b =+成立？(2)对于任意,a A b B ∈∈，是否一定存在m M ∈，使a b m +=？证明你的结论．1、能够组成集合的是（）A．与2非常数接近的全体实数 B．很著名的科学家的全体C．某教室内的全体桌子 D．与无理数π相差很小的数2、下列各组对象不能构成集合的是（）A．上课迟到的学生B．2020年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数3、下列各组对象不能构成集合的是（）A．所有的正方形B．方程2x−1=0的整数解C．我国较长的河流D．出席十九届四中全会的全体中央委员4、下列判断正确的个数为（）（1）所有的等腰三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．A．1 B．2 C．3 D．45、已知集合A中的元素为a+2,a2+2，若3∈A，则实数a的值为（）A．1或−1B．1 C．−1D．−1或06、下列关系中，正确的个数为（）∈Q；③0=∅；④0∉N；⑤π∈Q；⑥−3∈Z.①√5∈R；②13A．6 B．5 C．4 D．3∈N, x∈N，则集合A中的元素为______________．7、集合A中的元素x满足63−x∈A．8、设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则11−x（1）若2∈A，则A中至少还有几个元素？（2）集合A是否为双元素集合？请说明理由．，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中（3）若A中元素个数不超过8，所有元素的和为143的元素．1、若用列举法表示集合27{(,)|}2y x A x y x y -=⎧=⎨+=⎩，则下列表示正确的是（ ）A ．{1,3}x y =-=B ．{(-1,3)}C ．{3,-1}D ．{-1,3}2、已知集合{}1,2,3,4,5A =，(){},|,,B x y x A y A x y A =∈∈+∈，则集合B 中所含元素的个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．103、已知集合{}2,2A =-，{}|,,B m m x y x A y A ==+∈∈，则集合B 等于（ ）A ．{}4,4-B ．{}4,0,4-C ．{}4,0-D ．{}04、已知{}232,2a a ∈++，则实数a 的值为（ ）A ．1或1-B ．1C ．1-D ．1-或05、下列四个命题：①{0}是空集；②若a ∈N ，则a -∉N ；③集合2{|210}x x x ∈-+=R 含有两个元素；④集合6{|}x Q N x∈∈是有限集．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．06、若集合{}210x ax x -+=中只有一个元素，则实数a 的值为（ ）A ．14B ．0C ．4D ．0或147、设P 是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的,a b P ∈，都有,,,aa b a b ab P b+-∈(除数0b ≠)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是一个数域，有下列说法正确的是（ ） A ．数域必含有0,1两个数； B ．整数集是数域；C ．若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；D ．数域必为无限集．8、设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a b P ∈、，都有+a b 、-a b 、ab 、aP b∈（除数0b ≠）则称数集P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集{,}F a a b Q =+∈也是数域．下列命题是真命题的是（ ）A ．整数集是数域B ．若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域C ．数域必为无限集D ．存在无穷多个数域9、用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合． （2）24的正因数组成的集合． （3）自然数的平方组成的集合．（4）由0,1,2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．10、已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈． （1）若A 中只有一个元素，求a 的值； （2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围； （3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.11、已知集合{}2|210A x R ax x =∈++=，其中a R ∈. （1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ； （2）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.【过关检测一参考答案】1、C2、B3、C4、C5、C6、D7、0,1,28、【解析】（1）2A ∈，1112A ∴=-∈-． 1A -∈，()11112A ∴=∈--． 12A ∈，12112A ∴=∈-． A ∴中至少还有两个元素为1-，12； （2）不是双元素集合．理由如下：x A ∈，11A x ∴∈-，11111x A x x-=∈--， 由于1x ≠且0x ≠，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，则210x x -+≠， 则()11x x -≠，可得11x x ≠-，由221x x x -+≠-，即()21x x -≠-，可得111x x x -≠-， 故集合A 中至少有3个元素，所以，集合A 不是双元素集合．（3）由（2）知A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-（1x ≠且0x ≠）， 且1111x x x x-⋅⋅=--， 设A 中有一个元素为m ，则11A m ∈-，1m A m -∈，且1111m m m m -⋅⋅=--， 所以，A 中的元素为1111,,,,,11x m x m x x m m----，且集合A 中所有元素之积为1. 由于A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，设2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =（舍去）或2x =或12x =． 此时，2A ∈，1A -∈，12A ∈，由题意得1111421213m m m m -+-+++=-，整理得3261960m m m -++=， 即()()()621320m m m -+-=，解得12m =-或3或23， 所以，集合A 中的元素为112,2,1,,3,223--．【过关检测二参考答案】1、B2、D3、B4、C5、D6、D7、AD8、CD9、【解析】（1）用描述法表示为{x|2<x<5且x ∈Q}．（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．（3）用描述法表示为{x|x=n2，n ∈N}．（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．10、【解析】解：（1）若A 中只有一个元素，则当0a =时，原方程变为210x +=，此时12x =-符合题意， 当0a ≠时，方程2210ax x ++=为二元一次方程，440a ∆=-=，即1a =， 故当0a =或1a =时，原方程只有一个解；（2）A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素，由0∆>得1a <综合（1）当1a ≤时A 中至少有一个元素；（3）A 中至多有一个元素，即A 中有一个或没有元素当44a 0∆=-<，即1a >时原方程无实数解，结合（1）知当0a =或1a ≥时A 中至多有一个元素.11、【解析】（1）因为1A ∈，所以210a ++=，得3a =-，所以2{|3210}A x R x x =∈-++=1{,1}3=-.（2）当A 中只有一个元素时，2210ax x ++=只有一个解，所以0a =或0440a a ≠⎧⎨∆=-=⎩， 所以0a =或1a =， 当A 中没有元素时，2210ax x ++=无解，所以0440a a ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >， 综上所述：0a =或1a ≥.。
高一数学上册集合的概念
高一数学上册集合的概念高一数学上册集合的概念概念1.集合的定义：集合是由确定的对象所组成的一个整体，这些对象称为集合的元素。
2.元素与集合的关系：一个元素可以属于一个集合，也可以不属于一个集合。
3.集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。
4.集合的基本运算：包括并集、交集、补集和差集等运算。
5.集合的关系：集合之间可以有包含关系、相等关系和不相交关系等。
6.子集和真子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，则称该集合为另一个集合的子集；如果一个集合是另一个集合的子集，并且两个集合不相等，则称该集合为另一个集合的真子集。
相关内容1.集合的运算法则：并集运算满足交换律和结合律；交集运算满足交换律和结合律；补集运算满足对偶律和恒等律；差集运算满足补集定律和恒等律。
2.集合的属性：空集是任意集合的子集；任意集合是自身的子集；全集是包含所有元素的集合；两个集合相等当且仅当它们的元素完全相同。
3.集合的应用：集合的概念在数学中具有广泛的应用，例如概率论、离散数学、集合论等领域。
总结集合是数学中的基本概念之一，它描述了确定的对象所组成的一个整体。
通过集合的定义和基本运算，我们可以进行集合的操作和研究集合之间的关系。
集合的概念在数学的各个领域都有应用，是数学学习的重要基础。
继续介绍集合相关的内容：集合的定义集合是由确定的对象所组成的一个整体，这些对象称为集合的元素。
集合可以用大写字母A、B、C等表示，元素可以用小写字母a、b、c等表示。
元素与集合的关系一个元素可以属于一个集合，也可以不属于一个集合。
如果元素a属于集合A，我们可以用符号a ∈ A表示；如果元素a不属于集合A，我们可以用符号a ∉ A表示。
集合的表示方法常用的表示方法有列举法和描述法： - 列举法：将集合的元素一一列举出来，用花括号{}括起来。
例如，集合A = {1, 2, 3}。
- 描述法：通过描述元素的性质或特点来表示集合。
例如，集合B是所有大于0且小于10的整数的集合，可以表示为B = {x | 0 < x < 10, x ∈ Z}。
第一讲 元素与集合
第一讲 元素与集合一．集合的概念集合是一个原始的概念，是数学中一个不定义的概念．尽管如此，对一个具体的集合而言，很多情况下我们还是可以采用列举法或描述法给出它的一个准确而清晰的表示． 用描述法表示一个集合基于下面的概括原则：概括原则 对任给的一个性质P ，存在一个集合S ，它的元素恰好是具有性质P 的所有对象，即 S ＝｛)(x P x ｝，其中)(x P 表示“x 具有性质P ”．由此，我们知道集合的元素是完全确定的，同时它的元素之间具有互异性和无序性． 集合的元素个数为有限数的集合称为有限集，元素个数为无限数的集合称为无限集．如果有限集A 的元素个数为n ，则称A 为n 元集，记作n A =．空集不含任何元素．例1 设集合M ＝｛052<--ax ax x ｝ （1）当4=a 时，化简集合M ；（2）若M ∈3，且M ∉5，求实数a 的取值范围．例2 设A 是两个整数平方差的集合，即{}Z n m n m x x A ∈-==,,22．证明：（1）若A t s ∈,，则A st ∈．（2）若A t s ∈,，0≠t ，则22q p ts -=，其中q p ,是有理数．二、集合与集合的关系在两个集合的关系中，子集是一个重要的概念，它的两个特例是真子集和集合相等．从下面“充分必要条件”的角度来理解子集、真子集和集合相等的概念无疑是十分有益的：子 集：B A ⊆⇔对任意A x ∈，恒有B x ∈；真子集：A B ⇔⎩⎨⎧∉∈⊆Bx B x B A ''，但且存在；集合相等：A ＝B ⇔B A ⊆，且A B ⊆．容易证明两个集合关系的如下性质：1．∅⊆A ，∅A （A ≠∅）；2．A ⊆B ，B ⊆C ⇔A ⊆C ；3．“元集A 总共有n 2个不同的子集，有12-n 个不同的真子集．例1 设集合{}01<<-=m m P ，{}恒成立对任意实数x mx mx R m Q 0442<-+∈=，则下列关系中成立的是（ ）（A ）P Q （B ）Q P （C ）P ＝Q （D ）P ⋃Q ＝∅ 解题切入： 正确理解集合Q ，并解出Q ．导析： 对于Q ，可设44)(2-+=mx mx x f ，由442-+mx mx <0恒成立，知函数)(x f 图象全位于x 轴下方，①当0=m 时，4)(-=x f 显然成立；②当0≠m 时，有0100<<-⇒⎩⎨⎧<∆<m m ． 由①、②知{}01≤<-=m m Q ，故PQ ．即A 正确． 评注： 利用函数思想解决方程与不等式等问题是最常用的数学思想之一，在平常的学习中要有意识强化这种重要数学思想的应用．本题易错点：容易忽略m ＝0的情况，习惯地将)(x f相关链接：（1）设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A 不包含于B ⇔ 对任意A x ∈有B x ∉；②A 不包含于B ⇔ A ∩B ＝∅；③A 不包含于B ⇔ A 不包含B ；④A 不包含于B ⇔ 存在A x ∈且B x ∉其中正确命题的序号是 ．导析： （举特例）取A ＝｛1，2｝，B ＝｛1，3｝，排除①②；取A ＝｛1｝，B ＝∅，排除③评注： 本题综合考查集合的包含关系．例2 设集合{}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1),(22，{}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0),(2，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解题切入： 关键是分清数集与点集．（数形结合）：M 是由单位圆122=+y x 上的点组成，而N 是由抛物线2x y =上的点组成．画图可知M ∩N 中的公共元素（即交点）有两个，故选B ．评注： 利用数形结合思想，可避开复杂的运算过程，从而提高同学们的解题速度与准确性．相关链接：设A ，B ，I 为3个非空集合，且满足I B A ⊆⊆，则以下各式中错误的是（ ）（A ）（I A ）∪B ＝I （B ）（I A ）∪（I B ）＝I（C ）（I B ）∩A ＝∅ （D ）（I A ）∩（I B ）＝I B导析：由B A ⊆知（I A ）⊇I B ， ∴（I A ）∪（I B ）＝I A∵A ≠∅，例3 设函数b ax x x f ++=2)(（R b a ∈,），集合A ＝｛R x x f x x ∈=),(｝， B ＝｛()R x x f f x x ∈=,)(｝．（1）证明：B A ⊆；（2）当A ＝｛－l ，3｝时，求集合B ．分析 欲证B A ⊆，只需证明方程)(x f x =的根必是方程())(x f f x =的根．例 4 设关于x 的不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x 和0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈的解集依次为A 、B ，求使B A ⊆的实数a 的取值范围．分析 要由B A ⊆求出a 的范围，必须先求出A 和B ．习 题1．已知三元实数集A ＝{}y x xy x +,,，B ＝{}y xy ,,0，且A ＝B ，则20052005y x +等于（ ）．（A ）0 （B ）2 （C ）1 （D ）－l2．集合{}Z l n m l n m u u M ∈++==,,,4812与{}Z r q p r q p u u N ∈++==,,,121620的关系为（ ）．（A ）M ＝N （B ）M ⊄N ，N ⊄M （C ）M N （D ）N M3．设(){}20,20,≤≤≤≤=y x y x A ，(){}4,2,10,-≤≥≤=x y y x y x B 是直角坐标平面xOy 上的点集．则⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++=B y x A y x y y x x C ),(,),(2,222112121所成图形的面积是（ ）． （A ）6 （B ）6.5 （C ）2π （D ）74．已知非空数集M ⊆｛1，2，3，4，5｝，则满足条件“若M x ∈，则M x ∈-6”的集合M 的个数是（ ）．（A ）3个 （B ）7个 （C ）15个 （D ）31个5．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈>-<≤-N x x x x 且1,2110log 11的真子集的个数是 ． 6．已知{}R x x x x A ∈<+-=,0342，{}R x x a x a x B x ∈≤++-≤+=-,05)7(2,0221．若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．7．已知{}+∈+==Na a x x M ,12，{}+∈+-==N b b b x x N ,542，则M 与N 的关系是 ．8．非空集合S 满足：（1）S ⊆｛1，2，…，2n ＋1｝，+∈N n ；（2）若S a ∈，则有S a n ∈-+22． 那么，同时满足（1）、（2）的非空集合S 的个数是 ．9．集合{}54321,,,,x x x x x A =，计算A 中的二元子集两元素之和组成集合B ＝｛3，4，5，6，7，8，9，10，11，13｝．则A ＝．10．设集合M ＝｛1，2，3，…，1000｝，现对M 的任一非空子集X ，令X a 表示X 中最大数与最小数之和．求所有这样的X a 的算术平均值．11．用)(x σ表示非空的整数集合S 的所有元素的和．设A ＝｛1121,,,a a a ｝是正整数的集合，且1121a a a <<< ；又设对每个正整数n ≤1500，都存在A 的子集S ，使得)(x σ＝n ．求10a 的最小可能值．分析 要求10a 的最小值，显然应使)(x σ＝1500．又由题设，应使11a 尽可能大，且前10个数之和不小于750，故取11a ＝750．考虑整数的二进制表示，由1＋2＋…＋27＝255知，前8个数应依次为1，2，4，8，16，32，64，128．这时109a a +＝495，从而有10a ＝248．1．设E ＝{1，2，3，…，200}，G ＝{10021,,,a a a }⊆E ，且G 具有下列两条性质：（1）对任何1≤i<j ≤100，恒有201≠+j i a a ；（2）100801001=∑=i i a．试证明：G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数字的平方和为一个定数．跟着的是死算, 我xa1^2+a2^2+……+a100^2+(201-a1)^2+(201-a2)^2+……+(201-a100)^2=200x(200+1)x(2x200+1)/6=2686700平方和公式------↑2(a1^2+a2^2+……+a100^2)-402(a1+a2+……+a100) + 100x(201^2) = 2686700 ==> a1^2+a2^2+……+a100^2=1349380因为奇数的平方除以4余1 , 偶数的平方被4整除, 而1349380除以4余0,也就是说1349380被4整除那么G 中奇数必定是4的倍数,才满足平方和被4整除构造函数F(x)=(x-1/2)*(x-1/3)*...*(x-1/100),由定义可知X,X^3,X^5...X^97的系数和即为数集M 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和；设F(X)=a0+a1*x+a2*x^2+....a98*x^98+x^99;则F(1)=a0+a1+....+a98+1=1/2*2/3*...*99/100=1/100;F(-1)=a0-a1+.....+a98-1=-3/2*4/3*...100/99*101/100=-101/2;所以a1+a3+...+a97=[F(1)-F(-1)-2]/2=4851/200选A 。
集合论知识点及例题整理一、集合和集合的关系,元素和集合的关系是
集合论知识点及例题整理一、集合和集合的关系，元素和集合的关系是集合论知识点及例题整理一、集合和集合的关系，元素和集合的关系,是元素和集合之间的关系，而,是集合和集合之间的关系。
难点在于有些集合有时作为某些集合的一个元素的情况，如下面的例题。
例1(若集合A,{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( C )(A({a，{a}},A B({2},AC({a},A D(,,A例2(若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则( A )(A(A,B，且A,B B(A,B，但A,BC(A,B，但A,B D(A,B，且A,B例3(若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( A )( A(A,B，且A,B B(B,A，且A,BC(A,B，且A,B D(A,B，且A,B二、幂集1. 定义:若集合A为{a,b}，它的子集有,、{a}、{b}、{a,b}，则它的幂集为{,,{a},{b},{a,b}}，是所有子集为元素的集合。
如例1n2. A是n元集，则幂集P(A )有2 个元素。
如在上述集合中元素个数为2，其幂集的元素2个数,2,4，再如例2例1(设集合A,{a，b}，那么集合A的幂集是 {,,{a,b},{a},{b }} (例2(若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为 1024 (解析:是2的10次方三、集合的运算有?、?、,、~和,等，这个知识点的理解比较简单，一般都和后面的二元关系结合起来考。
例1(若集合A={1，3，5，7}，B={2，4，6，8}，则A?B= 空集(或,) (例2(设集合A,{a, b, c}，B={b, d, e}，求(1)B,A; (2)A,B; (3)A,B; (4)B,A例3(设A={{a, b}, 1, 2}，B={ a, b, {1}, 1}，试计算(1)(A,B) (2)(A?B) (3)(A?B),(A?B)(解:(1)(A,B)={{a, b}, 2}(2)(A?B)={{a, b}, 1, 2, a, b, {1}}(3)(A?B),(A?B)={{a, b}, 2, a, b, {1}}四、集合运算律如书P9，这些运算律要写在半开卷纸上，用的最多的是分配律和吸收律。
集合的知识点重点总结归纳
集合的知识点重点总结归纳集合的知识点重点总结归纳一、引言集合是数学中最基本的概念之一，它广泛应用于数学、逻辑、计算机科学等领域。
本文将对集合的相关知识点进行总结归纳，旨在帮助读者更深入地理解集合的概念、性质和运算法则。
二、集合的概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的、不重复的元素组成的整体。
用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
2. 元素与集合的关系：若一个元素属于某个集合，我们称它为该集合的元素。
反之，若一个元素不属于某个集合，我们称它为该集合的非元素。
3. 空集与全集：没有元素的集合称为空集，用符号∅表示。
包含所有可能元素的集合称为全集，用符号U表示。
三、集合的表示方法1. 列举法：通过列举集合中的元素来表示集合。
例如，集合A={1, 2, 3}表示A是由元素1、2、3组成的集合。
2. 描述法：通过描述元素的特征来表示集合。
例如，集合B={x | x是正整数}表示B是由所有正整数组成的集合。
四、集合的运算法则1. 并集：对于两个集合A和B，它们的并集是包含A和B中所有元素的集合，用符号∪表示。
即A∪B={x | x∈A或x∈B}。
2. 交集：对于两个集合A和B，它们的交集是包含A和B中共同元素的集合，用符号∩表示。
即A∩B={x | x∈A且x∈B}。
3. 差集：对于两个集合A和B，A中属于而B中不属于的元素构成的集合称为A相对于B的差集，用符号A-B表示。
即A-B={x | x∈A且x∉B}。
4. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称A和B为互斥集。
5. 包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B 的子集，用符号A⊆B表示。
若集合A是集合B的子集且A≠B，则称A为B的真子集，用符号A⊂B表示。
6. 补集：对于集合A而言，全集U中不属于A的元素构成的集合称为A的补集，用符号A'表示。
即A'={x | x∈U且x∉A}。
五、集合的性质1. 唯一性：在同一个集合中，每个元素都是独一无二的，不允许重复。
集合与元素的含义
集合与元素的含义集合：把某些指定对象（研究对象）集在一起就形成一个集合元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素集合与元素的关系集合通常用大写拉丁字母A,B,C......表示，元素用小写拉丁字母a,b,c......表示。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作a属于集合A。
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A,记作a∉A，读作a不属于集合A。
注意：符号“∈”，“∉”是用来表示元素与集合之间关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系数学中一些常用的数集极其记法非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合, 记作N正整数集：非负整数集内排除0的集, 记作N*或N+整数集：全体整数的集合, 记作Z有理数集：全体有理数的集合, 记作Q实数集：全体实数的集合, 记作R练习一：判断数0，¾ ，π，-5，3分别属于N、Z、Q、R、N+中的哪个集合？集合的表示方法：图示法：用一条封闭的曲线所围成的图形的内部表示一个集合例如：用图示法表示大于5且小于10的整数用图示法表示大于1且小于10的偶数列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用大括号{ }括起来表示集合的方法。
例如：用列举法表示大于5且小于10的整数用列举法表示大于1且小于10的偶数用列举法表示由方程的所有解组成的集合用列举法表示从51到100的所有整数组成的集合练习二用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合（2）方程X2=X的所有实数根组成的集合（3）由1-20以内的所有素数组成的集合（4）所有正奇数组成的集合列举法适用于集合中元素较少的，可以列举出来的，而有些集合中的元素是列举不完的，但是我们可以用这个集合中的元素所具有的共同特征来描述，也就是集合的另一种表示方法---描述法描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
具体方法是：在大括号内先写上这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合元素所具有的共同特征。
1.1.2集合间的基本关系
Q
R
Q
?
R
A={x|x是高一（5）班的女生}， B={x|x是高一（5）班的学生} A
? B
探究
观察下面几组集合， 集合 A 与集合 B 具有什么关系？ (1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}． (2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|3x－6＞0}． (3)A＝{x|x 是正方形}，B＝{x|x 是平行四边形}．
练2. 用符号“∈”或“ ”
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
填空： ∈ 3.14_______Q π_______Q ∈ 0_______N 0_______N+ ∈ (-0.5)0_______Z ∈ 2_______R
练3.试写出下列集合中的所有元素
2
请用正确的符号填空
2 a 0
[答案]
(1)a≤3
(2)a≥3
(3)a>3
(4)3
已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}
(1)若B⊆A，则a的取值范围是________； (2)若A⊆B，则a的取值范围是________；
(3)若A B，则a的取值范围是________；
(4)若A＝B，则a的值是________．
记作AB，或BA.
例2
(1)写出集合{3}和集合{3，5}的所有子集， 并分别指出哪些是真子集;
(2)写出集合{a,b,c}的所有子集;
你发现了什么规律吗？
结论：当一个集合有N个元素的时候， 其子集有 2 个。真子集有几个呢？ n 2 1
n
例3 写出满足 {1, 2} A {1, 2,3, 4} 的所有集 合A. {1，2}，{1，2，3}，{1，2，3，4}
元素与集合集合与集合之间的关系
元素与集合集合与集合之间的关系元素是指集合中的个体或对象，而集合是由一系列元素组成的整体。
元素与集合之间的关系是指元素是集合的一部分或成员。
一个元素要么属于一些集合，要么不属于该集合。
集合与集合的关系：1.包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，或集合B包含集合A。
用数学符号表示为A⊆B。
例如，集合A={1,2,3}是集合B={1,2,3,4,5}的子集。
2.相等关系：若两个集合A和B的元素相同，则称集合A等于集合B。
用数学符号表示为A=B。
例如，集合A={1,2,3}等于集合B={3,2,1}。
3.交集：两个集合A和B的交集，表示为A∩B，是由同时属于A和B的所有元素组成的集合。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}的交集为{2,3}。
4.并集：两个集合A和B的并集，表示为A∪B，是由A和B中的所有元素组成的集合。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}的并集为{1,2,3,4}。
5.差集：对于集合A和集合B，A与B的差集，表示为A-B，是由属于A但不属于B的元素所组成的集合。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}的差集为{1}。
6.互斥关系：如果两个集合A和B没有共同的元素，即它们的交集为空集，称它们互斥。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={4,5,6}互斥。
7.子集关系：若集合A是集合B的子集，并且集合B不等于集合A，则称集合A是集合B的真子集。
用数学符号表示为A⊂B。
例如，集合A={1,2}是集合B={1,2,3}的真子集。
8.幂集：对于集合A，集合A的幂集是由A的所有子集组成的集合。
例如，集合A={1,2}的幂集为{{},{1},{2},{1,2}}。
以上是元素与集合之间、集合与集合之间常见的关系类型。
在数学、逻辑学、计算机科学等领域中，对元素与集合之间的关系有着广泛而深入的研究。
这些关系对于理解和描述事物的属性、关联以及集合之间的逻辑关系十分重要。
判断元素与集合的关系问题
判断元素与集合的关系问题
在数学中，元素与集合的关系问题主要是指判断一个元素是否属于某一个集合的问题。
这是集合论中最基本的问题之一，也是其他集合运算的基础。
对于给定的集合A和元素a，我们可以使用符号“∈”或“∉”表示a属于A或不属于A。
比如，如果A={1,2,3}，那么1∈A，而4∉A。
同时，我们也可以把元素看作是集合的子集，即把元素看作是只有它自身的一个集合。
因此，我们可以说1是一个单元素集合，也可以把它表示为{1}。
同理，如果我们有一个二元集合B={(1,2),(3,4)}，那么(1,2)∈B，而(5,6)∉B。
此外，我们还可以使用Venn图来表示元素和集合的属于或者不属于关系。
Venn图由一组相互交叉的圆环组成，每个圆环代表一个集合，而圆环之间的重叠部分则代表两个集合的交集。
通过观察Venn图，我们可以轻松地判断出各个元素所属的集合以及它们之间的关系。
除了基本的元素与集合的关系问题，还有一些复杂的问题需要考虑。
比如，当我们需要判断多个元素是否都属于同一个集合时，就需要使用逻辑运算符“AND”。
比如，如果A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，那么(1,2) AND (3,4) ∈A∩B∩C就是一个复杂的问题了。
同样的道理，当我们需要判断多个元素是否都不在同一个集合中时，就需要使用逻辑运算符“OR”和“NOT”，
比如A∪B∩C=Ø。
总之，元素与集合的关系问题是数学中一个基础而又重要的问题。
通过对这个问题的研究和掌握，我们可以更好地理解和应用集合论和其他相关的数学知识。
高中数学-元素与集合
元素与集合一． 集合的概念对任给的一个性质P ，存在一个集合S ，它的元素恰好是具有性质P 的所有对象。
即{|()}S x P x =，其中()P x 表示“x 具有性质P ”。
由此，我们知道集合的元素是完全确定的，同时它的元素之间具有互异性和无序性。
集合的元素个数为有限数的集合称为有限集，元素个数为无限数的集合称为无限集。
如果有限集A 的元素个数为n ，则称A 为n 元集，记作||A n =。
空集不含任何元素。
例1 设集合25{|0,}ax M x x R x a -=<∈-，若3,5M M ∈∉，求实数a 的取值范围。
例2 设集合22{|,,}M a a x y x y Z ==-∈，n 为整数，分别判断数4,41,42,43n n n n +++与集合M 的关系。
例3 设集合22,,0}S m n N m n =∈+>。
证明：对一切,x y S ∈，且x y <，总存在z S ∈，使得x z y <<。
二． 集合与集合的关系在两个集合的关系中，子集是一个重要的概念，它的两个特例是真子集和集合相等。
从下面“充分必要条件”的角度来理解子集、真子集和集合相等的概念是十分有益的：子集：,A B x A x B ⊆⇔∈∈对任意恒有；真子集：A B A B x B x A⊆⎧⊂⇔⎨∈∉⎩存在，但； 集合相等：,A B A B B A =⇔⊆⊆。
容易证明两个集合之间关系的如下性质：1. ,()A A A ∅⊆∅⊂≠∅;2. ,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆；3. n 元集A 总共有2n 个不同的子集。
如果,A B 是两个相等的数集，那么可以得到A B =的两个非常有用的必要条件：两个集合的元素之和相等；两个集合的元素之积相等。
例4 若集合{1,2,,50}的子集不包含形如{,3}x x 的子集，则称该子集为“特殊子集”，含元素个数最多的特殊子集称为“超特殊子集”。
求超特殊子集含有多少个元素，且存在多少个不同的超特殊子集？例 5 设,,a b c 是互不相同的正整数，n 为正整数。
集合关系的表示形式
集合关系的表示形式
集合关系通常有以下几种表示形式：
1. 包含关系：表示一个集合是另一个集合的子集，或者两个集合相等。
符号表示为“⊆”或“=”。
例如，A ⊆ B 表示A是B的子集，A = B表示两个集合相等。
2. 互斥关系：表示两个集合没有共同元素，即它们互不包含任何相同的元素。
符号表示为“Φ”，表示空集。
例如，A ∩B = Φ表示A和B没有共同元素。
3. 子集关系：表示一个集合是另一个集合的真子集，或者两个集合相等。
符号表示为“⊂”或“=”。
例如，A ⊆ B 表示A是B的真子集，A = B表示两个集合相等。
4. 元素与集合的关系：表示一个元素属于一个集合，或者不属于一个集合。
符号表示为“∈”或“∉”。
例如，a ∈A 表示a是A中的元素，a ∉A 表示a 不属于A。
这些符号和表示方法可以用来表示各种集合关系，包括子集、相等、互斥、真子集、元素与集合的关系等。
集合的概念及表示方法-
(6)若 a∈Q，则一定有 a∈R.( √ )
(2)由大于1的数构成的集合记作集合A。1和2与集合A是怎样的
关系?
提示:因为2>1成立，所以2是集合A中的元素，即2属于集合 A；因为1>1不成立，所以1不是集合A中的元素，即1不属于 集合A。
{所有的安理会常任理事国}={中国，俄罗斯，英国，法国，美国}
中国 属∈于 {所有的安理会常任理事国} 日本 不∉属于 {所有的安理会常任理事国}
提示:有5个元素,分别是中性笔、矿泉水、面包、火腿肠、
方便面. 重复的元素只能算一个.也就是说,集合中的元素 是不重复出现的.
说明集合中元素具有互异性.
(3)我们全班同学构成了一个集合,如果在班内调整一次 座位,班级这个集合改变了吗?说明什么?
提示:集合没有改变,因为元素是一样的.
说明集合中元素具有无序性.
例：小于6的正整数组成一个集合
{1,2,3,4,5}.
2．描述法
一般地，设 A 是一个集合，把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元 素 x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值 （或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有 的共同特征。
做一做
用符号“∈”或“∉”填空:
(1)1
N* ; (2)-3
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元素与集合的关系
【常用数集及其表示】
非负整数集(或自然数集)，记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R；
元素与集合的关系
【典型例题】
用符号“ ”或“
”填空.
（1）2 3 _ _ _ _ _ { x |x 1 1 } ， 3 2 _ _ _ _ { x |x 4 } ；
知识点——
元素与集合的关系
元素与集合的关系
【定义】
（1）如果a是集合A的元素，就说a属
于(belong to)A，记作a A.
（2）如果a不是集合A的元素，就说a
不属于(not belong to)A，记作 a A.
元素与集合的关系
【解题之核心】
给定一个对象a，它与一个给定
的集合A之间的关系为 a A , 或者 a A , 二者必居其一.解答这
元素与集合的关系
【典型例题】
（1） 231211， 23 {x|x11}； 3218164， 32 {x|x4}；
（2）令 3 n2 1 ，则 n 2N， 3{x| xn21，nN}；
令5 n2 1，则 n2，其中2N， （3） ∵(-1，1)是 一5 个{有x|序x实n 数2对1，，且n 符N合}关；系 y x 2 ， ∴ (1， 1){y| yx2}， Fra bibliotek素与集合的关系
【变式训练】
下面有四个命题： （1）集合N中最小的数是1； （2）若 -a不属于N ，则a 属于N ； （3）若 aN,bN,则 a ＋b 的最小值为2； （4） x212x 的解可表示为 {1,1}； 其中正确命题的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案：A 解析：(1)最小的数应该是0； (2)反例：0.5N，但 0.5N； (3)当 a0,b1,ab1 ； (4)元素的互异性.
(1， 1){(x，y)| yx2}.
元素与集合的关系
【典型例题】
点评：第（1）题充分体现了“化异为同”的数学思想。 另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方 法，应注意把握. 第（2）题关键是明确集合 {x|xn21 ， n N }这个 “口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意 描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的 ，符号“｜”右边的部分表示x具有的性质. 第（3）题要分清两个集合的区别。集合{y | y x2}这个 “口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的 实数组成的；而集合{(x，y)| yx2}是由抛物线 y x 2 上的所有点构成的，是一个点集.
（2）3___{x| xn21，nN}，
5___{x| xn21，nN}；
（3）(1， 1)___{y| yx2}， (1， 1)___{(x，y)| yx2}.
解析：对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大 小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小； 对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题 ，要明确各个集合的本质属性.