《离散数学》命题逻辑1解析

凡是可以判断真假的陈述句称为命题。
① 雪是白的。
✔ 两个要素： ✔ ✘ ✔
1、陈述句；
② 雪是黑的。
③ 好大的雪啊！ ④ 8大于12。
2、可以判断 真假。
⑤ 1+101=110。
✔
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例：下列句子都是命题吗？
① 21世纪末，人类将住在月球。
之和。
③ X<0 。
英国Alan M. Turing (1912-1954)在1936年提出一 种抽象计算模型（数学逻辑机），引入图灵机—— 一种理想的计算机
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数理逻辑的学习
“我现在年纪大了，搞了这么多年的 软件，错误不知犯了多少，现在觉悟 了。我想，假如我早年在数理逻辑上 好好下点工夫的话，我就不会犯这么 多的错误。不少东西逻辑学家早就说 过了，可是我不知道。要是我能年轻 二十岁的话，我就去学逻辑。” —— Edsger. W. Dijkstra 1972年Turing奖获得者 (1930-2002) 带权图的最
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解 （1）如果天不下雨并且不刮风，我就去书店。 设p：今天天下雨，q：今天天刮风，r：我去书 店。则原命题符号化为：
p q r
(2)小王边走边唱。 设p：小王走路，q：小王唱歌。 则原命题符号化为： p∧q (3)除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 设p：a能被2整除，q：a能被4整除。 则原命题符号化为：
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令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
例 (续)
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是句子的主语成分，因而(5) 中句子是简单命题.
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析取词 P∨Q
读作“P析取Q” ，是指命题： “P或者Q”。
否 定 并 且
• 今晚我不玩网络游戏。
• 今晚我不看书， 我玩网络游戏。
• 今晚我看书，或者我玩网络游戏。
或者
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(二) 命题的分类
原子命题——不可剖开或分解为更 简单命题的命题， 也称为简单命题。 约定 用 大写 字母 表示
复合命题——由原子命题利用联结 词构成的命题
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复合命题例子
（1）雪不是白的（并非雪是白的）
（2）今晚我看书或者去看电影。 （3）如果天气好，那么我去接你。 （4）偶数a是质数，当且仅当a=2（a是常数）。 （5） 2是偶数且3也是偶数。
（6）你去了学校，我去了工厂。
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(三) 命题变元
当P表示任意命题时，称P为命题变元。
字母P
命题——具体的、特定的命题， 有确定的真值 命题变元——任意命题， 没有确定的真值
短通路算法
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数理逻辑
第一章 命题演算基础 第二章 命题演算的推理理论 第三章 谓词演算基础 第四章* 谓词演算的推理理论 第五章* 递归函数论
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1.1.1 命题
(一) 命题定义
凡是可以判断真假的陈述句称为命题。
真, 用T(或1)表示 命题的值
假, 用F(或0)表示
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例：下列句子都是命题吗？
④ 如果x大于3，则x2大于9。
✔
✘
⑤ 我正在说谎 。
悖论
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命题的真假问题
在数理逻辑的学习中， 不能去纠缠各种具体命题的真假问题， 而是将命题当成数学概念来处理， 看成一个抽象的形式化的概念， 把命题定义成非真必假的陈述句．
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带联结词的命题
• 今晚我看书。 • 今晚我玩网络游戏。 • 今晚我不看书。
P∨Q T T T F (P∧﹁ Q)∨(﹁P∧Q) F T T F
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蕴含词 P→Q
读作“P蕴含Q” ，是指命题： “如果P，则Q”
P Q T T F F T F T F P Q T F T T
例 P：1+1＝3。
Q：雪是黑的。
P→Q: 只要1+1=3，雪就是黑的。
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注1. 前件为假时，蕴含式命题为真
p q
或
q p
(4)此时，小纲要么在学习，要么在玩游戏。 设p：小刚在学习，q：小刚在玩游戏。 则原命题符号化为：
( p q) (p q) 或 ( p q) ( p q)
(5)如果天不下雨，我们去打篮球，除非班上有会。 设p：今天天下雨，q：我们去打篮球，r：今 天班上有会。 则原命题符号化为：
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1.1.2 联结词
否定词
合取词 析取词 蕴含词 等价词
﹁
∧ ∨
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否定词 ﹁P
读作“非P” ， 是指命题： “P的否定”。
P 例 P：雪是黑色的。 ﹁P：并非雪是黑色的。 T F
P F T
真值表
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否定联结词使用的原则
将真命题变成假命题，将假命题变成真命题。 但这并不是简单的随意加个不字就能完成的。
例 P: 这些都是学生。 ﹃P：这些不都是学生 ≠ 这些都不是学生
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合取词 P∧Q
读作“ P合取Q”，是指命题： “P并且Q”。
例1 P: 今天刮风。 Q： 今天下雨。 P∧Q：今天刮风，下雨。 例2 P: 1+1=2。 Q： 雪是白色的。 P Q T T F F T F T F 真值表
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P Q T F F F
P∧Q： 1+1=2 且雪是白色的。
例 将下列命题符号化.
(1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
r (p q)
命题符号化
例2. 将下列命题符号化： （1）李明是计算机系的学生，他住在312室 或313室。 （2）张三和李四是朋友。 （3）虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达 了车站。 （4）只有一个角是直角的三角形才是直角三 角形。 （5）老王或小李中有一个去上海出差。
命题符号化
离散数学
——研究离散数量关系和离散结构数学模型的 数学分支的统称
Discrete
古代数学——整数、整数的比 近代数学——连续的数量概念（实数），处理 连续数量关系的数学（微积分）
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离散问题举例 世界地图问题
船夫问题
幻方问题 韩信点兵 邮差送信 一笔画问题
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主要内容
数理逻辑 (1-5) 图 论 (9-10) 代 数 (11-12)
4、复合命题PQ表示的逻辑关系是：Ｑ是Ｐ的必要条件 ,Ｐ是Ｑ的充分条件。在数学中，“如Ｐ，则Ｑ”往往要求前 件为真,后者为真的推理关系。但在数理逻辑中规定当前件 为假，不论后件为真为假，均有Ｐ→Ｑ为真。
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多： 若 p，就 q 只要 p，就 q 联结词与复合命题 (续) p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p， 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
例 P: 他会英语。 Q：他会法语。 P∨Q ：他会英语或者法语。
P Q
T T F F T F T F
P Q
T T T F
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可兼的“或”——不可兼的“或”
P T T F F Q T F T F P∨Q T T T F P Q T T F F T F T F
他会英语或法语。
今晚我去看电影， 或去看球赛。
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灵活叙述蕴含词的例子
设 R：天下雨， H：我回家， 试表示下列命题： 只要天下雨，我就回家。 R→H H→R H→R
只有天下雨，我才回家。
除非天下雨，否则我不回家。 仅当天下雨，我才回家。
H→R
或﹃R→﹃H
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pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多： 若 p，就 q 只要 p，就 q 联结词与复合命题 ( 续) p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p， 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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命题符号化
分析出简单命题，符号化 用联结词联结简单命题
例 将下列自然语言符号化: （1）如果天不下雨并且不刮风，我就去书店。 （2）小王边走边唱。 （3）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 （4）此时，小纲要么在学习，要么在玩游戏。 （5）如果天不下雨，我们去打篮球，除非班上有 会。
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n 元公式
——有n个不同的命题变元的公式。
例
一元公式
P(PP)
二元公式 三元公式
(PQ) (PQ) ((PQ)R)(PQ)
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优先级约定
联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则 按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算
（3）虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达 了车站。 P：交通堵塞。 Q：老王准时到达了车站。 该命题符号化为：PQ （4）只有一个角是直角的三角形才是直角三 角形。 P：三角形的一个角是直角。 Q：三角形是直角三角形。 该命题符号化为：P Q 或 Q P
命题符号化
（5）老王或小李中有一个去上海出差。 首先用字母表示简单命题。 P：老王去上海出差。 Q：小李去上海出差。 该命题符号化为：（PQ）（PQ）或 者（P Q） （PQ）
（1）李明是计算机系的学生，他住在312室 或313室。 解：（1）首先用字母表示简单命题。 P：李明是计算机系的学生。 Q：李明住在312室。 R：李明住在313室。 该命题符号化为：P（(¬Q ∧ R) ∨ (Q ∧¬R)） （2）张三和李四是朋友。是一个简单句 该命题符号化为：P