相似形和比例线段(一)
三角形的相似比与比例线段
三角形的相似比与比例线段在几何学中，三角形的相似比和比例线段是重要的概念，它们在解决三角形的相似性问题和计算边长比例时起到关键作用。
本文将介绍三角形的相似比和比例线段的概念、性质以及应用。
一、相似三角形的定义和相似比相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们被称为相似三角形。
三角形的相似性可以用相似比来描述，相似比是指两个相似三角形对应边长的比值。
设有两个相似三角形ABC和DEF，对应边长的比值可以表示为：AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中AB、BC、AC分别表示三角形ABC的三条边长，DE、EF、DF分别表示三角形DEF的三条边长。
相似比可以简记为k（常为正数），即k=AB/DE=BC/EF=AC/DF。
二、相似比的性质1. 相似比的传递性：如果两个三角形ABC和DEF相似，且三角形DEF与另一个三角形XYZ相似，则三角形ABC与三角形XYZ也相似，且它们的相似比相等。
2. 相似比与边长比例关系：若两个三角形相似，对应边的相似比等于对应边长的比例。
3. 相似比与角度比例关系：若两个三角形相似，对应角的角平分线所分割的角度比等于对应边的相似比。
三、比例线段的定义和性质比例线段是指在相似三角形中，各边所对应的线段按相应的比例划分出来的线段。
比例线段在三角形的边上起到了关键作用，它们的比例关系可以帮助我们计算相似三角形的边长。
设有两个相似三角形ABC和DEF，相似比为k，若线段AD和EF 相交于点G，则线段AG和EG、线段GD和FG也满足比例关系：AG/EG = GD/FG = k。
四、应用举例1. 已知两个三角形相似，已知其中一个三角形的两个边长分别为3cm和5cm，求另一个三角形相应边的长度。
解析：如果两个三角形相似，且已知一个三角形的两个边长为3cm 和5cm，设相似比为k，则另一个三角形相应边的长度为3cm*k和5cm*k。
2. 在相似三角形ABC和DEF中，已知AD=6cm，DE=9cm，且AG:GE = 2:3，求GD的长度。
沪科9年级数学上册第22章 相似形1 比例线段
感悟新知
知1－讲
判定多边形相似的条件：
1. 边数相同；
2. 所有的角分别对应相等；
3. 所有对应边长度的比相等 .
感悟新知
知1－讲
3. 相似比的定义 相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相
似系数 .
特别解读：
(1)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关 .
(2)相似多边形的定义可用来判断两个多边形是否相似 .
A′ D′ =6， AB=6，B′ C′ =12，∠ C=60°.
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣“相似多边形的定义”进行计算 .
感悟新知
知1－练
(1)求四边形 ABCD 与四边形 A′ B′ C′ D′的相似比 k；
解：∵四边形 ABCD ∽四边形 A′ B′ C′ D′，
AD
4 2
∴相似比 k=
得到矩形 A′ B′ C′ D′，使矩形 A′ B′ C′ D′∽矩形
ABCD，则这根铁丝需增加( D
A.3.5 cm
B.5 cm
C.7 cm
D.10 cm
)
知识点 2 成比例线段
1. 两条线段的比
知2－讲
用同一个长度单位去度量两条线段a，
b，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫
a
做这两条线段的比，记作 或a∶b.
基本
b d
性质 即如果 ad= bc，那么 a＝c ( b， d ≠ 0).
b d
a c
a＋b
如
果
＝
，
等
式
两
边
同
时
加
上
1，
得
＝
合比
中考数学复习基本过关训练 18,比例线段,相似形(一)
卷18：比例线段、相似形（一）班级： 姓名： 分数：一、选择题(每小题3分，共24分)1. 在比例尺为1∶10000的地图上,相距5厘米的两地A 、B 的实际距离( ) (A) 500厘米 (B) 500分米 (C) 500米 (D) 500千米2.如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列式子中成立的是……………（ ） （A ） ECBF DB AD = （B ）AC DE BC AB = （C ） CEAC ABEF = （D ）FCBF DBAD =3.下列各组图形有可能不相似的是……………………( （A ）各有一个角是︒45的两个等腰三角形 （B ）各有一个角︒60是的两个等腰三角形 （C ）各有一个角是︒105的两个等腰三角形 （D ）两个等腰直角三角形4.在△ABC 中,直线DE 分别与AB 、AC 相交于D 、E,下列条件不能推出△ABC 与△ADE 相似的是…………………………………………………………………( )（A ）ECAE BDAD = （B ）∠ADE=∠ABC（C ）AE•A B=AC •AD (D) BCDE ABAD =5.△ABC 中,直线DE 交AB 于D,交AC 于点E,那么能推出DE ∥BC 的条件是………………………………………………………( )(A) ；，2123==AE EC AD AB(B)3232==BC DE AB AD，;(C) ；，3232==AE CE DB AD (D) ；，3434==EC AE AB AD 6.如图,在△ABC 中,D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，且AD ∶DB=2∶3，则ADE S ∆∶DECBS 四边形为………………………………………（ ）（A ）2∶5 （B ）2∶5 （C ）4∶25 （D ）4∶217．已知线段AB ，在线段BA 的延长线上取一点C ，使CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为…………………………………………………………………………（ ） （A ）3：4 （ B ）2：3 （C ）3：5 （D ）1：28．下列多边形一定相似的为……………………………………………………（ ） （A ）两个矩形 （B ）两个菱形 （C ）两个正方形 （D ）两个平行四边形 二、填空题（每小题4分，共64分)9.已知,a ∶b =3∶2,且b =4cm ,则a = cm .10.若ABC ∆和111C B A ∆是相似图形,且A 与A 1 ,B 与B 1 ,C 与C 1是对应点,已知∠A=︒55,∠B=︒60,则∠C 1= . 11.如图，已知AE ∥BC ，AC 、BE 交于点D ，若32=DCAD ，则BDDE = .12.在△ABC 中,D 、E 分别在AB 、AC 上,DE ∥BC ，则=BCDE =13.D 在△ABC 的边AB 上,且AC 2=AD•AB ，则△ABC ∽△ACD,理由是 .14.AD 是△ABC 的中线,G 是重心,且AG=6,则AD= .15.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,且相似比为2∶3 , AD 、A 1D 1,分别是BC 、B 1C 1上的高,则AD ∶A 1D 1 = .16. 已知AB =4 , P 是AB 黄金分割点, PA >PB , 则P A 的长为 .17.△ABC 的三边之比为3∶4∶6, △A 1B 1C 1∽△ABC, 若△A 1B 1C 1中最长的边为18厘米,则最短的边长为 厘米.18. ABC ∆中, DE ∥BC, DE 分别交AB 、AC 于点D 、E,已知则AC= . 19.如图,O是△ABC 的重心,29cm S ABC =∆,则BCO S ∆=cm 2.20. 如果D 、E 分别是⊿ABC 的边AB 、AC 的延长线上的点,且DE ∥BC ，AE =30，EC =20，AB =16则AD = .21.在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上,DE ∥BC ，若AD ∶AB=3∶4，EC=14厘米,则AC= 厘米.22.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为的BC 中点,F 是BE 的中点,AE 与DF 交于H ，则AH ∶HE=. 23.如图,四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于O, 若BODO COAO =，AO=8，CO=12，BC=15，则AD= .24.△ABC 中,D 、F 为AB 上的点，E 、G 为AC 上的点，DE ∥FG ∥BC,AD ∶DF ∶FB =1∶1∶1,则ADE S ∆∶DEGF S 四边形∶FGCBS 四边形= .三、解答题(25～28每题8分,29～31每题10分,共62分) 25.如图ABC ∆中,DE ∥BC,31=BDAD ,求:(1)；ABAD (2)ACEC26.△ABC 中,DE ∥BC ，DBAD DFAF =,求证:EF ∥CD.27.如图，在△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别是AC 及AC 延长线上的点,连接BD 、BE,已知AC 2=AD•AE ，求证:BC 平分∠DBE.28.如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且满足AEAC DEBC ADAB ==,求证:①△ABD ∽△ACE ；②∠ABD=∠ACE.29.如图，AB ⊥BD,CD ⊥BD,AB=6,CD=16,BD=20,一动点P 从B 向D 运动,问当P 离B 多远时,△PAB 与△PCD 是相似三角形?试求出所有符合条件的P 点的位置.30. 已知矩形ABCD 中,CD=2,AD=3,P 是AD 上的一个动点,且和A 、D 不重合，过P 作PE ⊥CP ，交边AB 于E ，设PD=x ，AE=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围.31.在△ABC 中,BC=10,ABC S ∆=30,矩形DEFG 内接于△ABC,设DE=x ，矩形DEFG 的面积为y.求: ①y 与x 的函数关系式及定义域；②当x 为何值时,四边形DEFG 为正方形,并求正方形DEFG 的面积.卷18：比例线段、相似形（一）参考答案一、选择题(6×4’=24’)1、C2、D3、A4、D5、A 6. D 7. A 8. C二填空题16×4’=64’) 9、6cm 10、︒65 11、32 12、ACAE ABAD = 13、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 14、9 15、2∶3 16、252- 17、9 18、10 19、23cm 20、48 21、8 22、4：1 23、10 24.1：3：5三、解答题(25～28每题8分,29～31每题10分,共62分) 25、（1）；41=AB AD ………..(4’)（2）43=AC EC ………..(4’)26、DE ∥BC………..(1’) ∴DB AD EC AE =………..(4’) ∵DB AD DF AF =………..(5’) ∴ECAE DFAF =………..(7’)∴EF ∥CD………..(9’) 27、∵AC 2=AD•AE ∴AE AC AC AD =∵AB=AC ∴AEAB ABAD =又∠A=∠A ∴⊿DAB~⊿BAE ∴∠ABD=∠E ∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB ∴∠DBC=∠EBC即BC 平分∠DBE 28. （1）∵AEAC DEBC ADAB ==………..(1’)∴△ABC ∽△AD E………..(2’) ∴∠BAC=∠DAE ………..(3’) ∴∠BAD=∠EAC ………..(4’) ∵AE AC AD AB =………..(5’) ∴AEAD ACAB =………..(7’)∴△ABD ∽△ACE………..(8’)（2）∵△ABD ∽△ACE………..(9’) ∴∠ABD=∠ACE………..(10’) 29、设BP 为x ，………..(1’)AB ⊥BD,CD ⊥BD 可知∠B=∠D ………..(2’)（ⅰ）若△ABP~△PDC 得AB ：PD=BP ：DC 得………..(3’) 6：（20-x ）=x ：16………..(4’) 解得x=8，12即BP 为8或12………..(5’)（ⅱ）若△ABP~△CDP………..(6’) AB ：CD=BP ：DP ………..(7’) 得6：16=x ：（20-x ）………..(8’) 解得x=1160即 BP 为1160………..(9’)综合（ⅰ）（ⅱ）得BP 为1160,8,12 时△PAB 与△PCD 相似.. (10)30、可证△CDP~△PAE ………..(5’) 得CD ：PA=DP ：AE ………..(6’) 得2：x=（3-x ）：y ∴y=x x 23212+-………..(8’)定义域为0<x<3 31、(1)x x y 10352+-= (O<x<6) ………..(7’)(2) 415,16225………..(10’)。
相似形与比例线段
第1讲 比例线段知识框架本讲主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习．1.1 比例线段的概念一、线段的比与比例线段一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比．记作:a b （或表示为ab），其中0b ≠．a 除以b 所得的商叫做比值．如果:a b 的比值等于k (即ak b=)，那么a kb =． 如果::a b c d =（或a cb d=），那么就说a 、b 、c 、d 成比例． 两条线段长度的比叫做两条线段的比．求两条线段长度的比时，对这两条一定要用同一长度单位来度量．因为线段的长度是正数，所以这两条线段的比值总是正数．在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a cb d=），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段．那么线段d a 、是比例外项，线段c b 、是比例内项，线段d 是c b a 、、的第四比例项．表述比例线段时，要注意顺序．二、比例中项如果比例的两个内项（或两个外项相同），那么这个相同的项叫做比例中项．如::a b b c=（或::b a c b =）时，b 叫做a 和c 的比例中项．这时2b ac =．知识精讲三、判断四条线段成比例的方法①将四条线段的单位化为一致；①取四条线段中最长与最短线段相乘，乘积如果与其它两项乘积相等就是比例线段，否则它们不是比例线段．例1. 在比例尺为1:40000的地图上，量得A 与B 两地的距离是24厘米，则A 与B 两地的实际距离是____________．例2. 东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，则这张地图的比例尺是（ ） （A ）1:5； （B ）1:500000；（C ）1:5000000；（D ）500000:1．例3. （1）若0.1AB =，0.75CD =，则:AB CD =___________；（2）若1m AB =，25cm CD =，则:AB CD =___________； （3）若AB m =，CD n =，则():AB AB CD +=___________． 例4. （1）已知4=a ，9=b ，c 是b a 、的比例中项，则=c ________．（2）已知线段4cm a =，9cm b =，线段c 是b a 、的比例中项，则=c _______． 例5. 下列各组线段中，成比例的一组是（ ）（A ）23a =，5b =，32c =，15d =； （B ）8a =，0.05b =，0.6c =，10d =； （C ）3a =，4b =，5c =，6d =； （D ）9a =，6b =，3c =，4d =．例6. 下列四条线段成比例的是（ ）（A ）2=a cm ，3=b cm ，3=c cm ，4=d cm ；（B ）1=a cm ，2=b cm ，3=c dm ，6=d cm ；（C ）5=a cm ，53=b cm ，3=c cm ，5=d cm ； （D ）5=a cm ，1=b cm ，6=c cm ，3=d cm ． 例7. （1）6是a 和b 的比例中项，则1ab ab-=___________；（2）线段6a =厘米，16b =厘米，则线段a 和b 的比例中项是__________． 例8. （1）求2，3，10的第四比例项；（2）若1x +，x ，4x +的第四比例项是4，求x ．例题分析1.2 比例的性质一、比例的基本性质—比例的内项之积等于外项之积如果d c b a =，那么bc ad =；反之，如果bc ad =，那么d c b a =或db c a =．二、合比性质如果a cb d=，那么a b c d b d ±±=． 证明：令k dcb a ==，则kb a =，kdc =，那么 等式左边：1±=±=±k b bkb b b a等式右边：1±=±=±k ddkd d d c等式左边=等式右边①a b c d b d±±=． 三、等比性质如果(0)a c k b d b d ==±≠，可得a kb =，c kd =，则a c kb kd k b d b d ++==++．于是，我们有了比例的等比性质：如果a c k b d ==，那么(0)a c a c k b d b d b d+===±≠+．进一步推广可以得到：如果...a c mk b d n====，其中...0b d n +++≠，那么...a c m a c mk b d n b d n++⋅⋅⋅+=====++⋅⋅⋅+．例1. （1）若23x y =，则x yy -=____________； （2）若45a b =，则2a b a b+=-____________； （3）若250x y -=，则()()3:43x y x y +-=____________． 例2. 已知：23a b a -=，求243a ba b-+的值；知识精讲例题分析例3. （1）已知：357x y z==，求332y z y z +-的值； （3）已知：32x y z ==，求22x y zx y z-++-的值．例4. 如图，已知在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，AB DCAE DF=．求证：（1）AB DC EB FC =；（2）AB DC AB DCEB FC EB FC+-=+-．例5. 如果ABC △和'''A B C △面积相等，且:''9:25AB A B =，那么边AB 与边''A B 上的高的比为（ ） （A ）9:25；（B ）25:9；（C ）3:5；（D ）5:3．例6. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）图中有哪几对三角形的面积相等？为什么？ （2）求证：AO DOCO BO=．例7. 设线段x 、y 、z 满足23418x y z x y zx y z +++⎧==⎪⎨⎪++=⎩，求x 、y 、z 的值．例8. 已知a b ck b c a c a b===+++，则一次函数3y kx =-的图像一定经过第几象限？1.3 黄金分割如图，在线段AB 上存在一点P 将线段AB 分割成大小两条线段AP 、BP ，满足BP AP >且ABAP AP BP =，则它们的比值是多少？知识精讲像上述点P把线段AB分割成AP和PB（AP PB>）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，我们称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点．其中，510.6182APAB-=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．例1.小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20厘米，则它的宽约为___________．（精确到百分位）例2.（1）点P是线段AB的黄金分割点，AP BP>，6AB=厘米，求BP的长；（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，51AB=+，求AP的值．例3.如图，乐器上的一根弦80AB=厘米，两个端点A、B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求CD的长．例4.如图，在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，35CM=-，求AD的长．例题分析例5. 如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ．在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =．以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求线段AM 、DM 的长； （2）求证：2AM AD DM =⋅； （3）请指出图中的黄金分割点．1.3 课堂检测1. 已知：a 、b 、c 、d 是四条线段，它们的长度分别是1mm a =，0.8cm b =，0.02cm c =， 0.4dm d =，它们_________成比例线段．（填“是”或“不是”） 2. 已知甲、乙两地之间的距离为10千米，画在一张地图上的距离为5厘米，那么在这张地图上量得的距离为2厘米的A 、B 两地的实际距离为________千米． 3.(2):(2)3:5a b a b --=，则:a b = .4. 直线l 上顺次有四点A 、B 、C 、D ，且3AB AD BC DC ==，则BC AD =_____；ABCD=_____． 5. 点P 是线段AB 的黄金分割点，则APAB的值为_____________． 6. 若点M 在线段AB 上，点N 在线段AB 的反向延长线上，20AB =cm ，且23AM AN MB NB ==，求线段MN 的长．7. 已知：234cb a ==，162=-+c b a ，求c b a +-34的值．8. 已知a b c 、、是ABC △的三边，且60a b c ++=cm ，::3:4:5a b c =，求ABC △的面积和最长边上的．1.5 课后作业1. 的已知ab cd =（a b c d 、、、不为零），下列各式中正确的是（ ）（A ）a cb d=； （B ）a b c d a c ++=； （C ）a c b d a d ++=； （D ）ac abd c=．2. 若()()2:321:2x y x y -+=，则:2x y =________．3. 若354x y z ==，则2x y zx z++=+________． 4. 线段4AB =cm ，点C 在直线AB 上，且3AC BC =，则BC =________． 5. 若43b d f ac e ===，若240a c e -+≠，则2424b d f a c e -+=-+________． 6. 已知7cm a =，0.08m b =， 1.5dm c =，则线段a 、b 、c 的第四比例项为_________．7. 舞台的形状是一个矩形，宽AB 为12米，如果主持人站立的位置是宽AB 的黄金分割点，那么主持人从台侧点A 沿AB 走到主持的位置至少需走_________米．8. 若222222b c a c a bk a b c+++===，求直线y kx k =+经过的象限．9. 已知a b c 、、是非零实数，满足a b c a b c a b cc b a+--+-++==，求()()()a b b c c a abc +++的值．10. 如图，在ABC △中，BD AC ⊥，垂足为D ，E 是BC 边上的一点，EF AC ⊥，垂足为F ，:2:3ABD ABED S S ∆=四边形，求:AD AF 的值．。
第一讲 相似形和比例线段有关概念及性质
发生同样和差变化比例仍成立．如：
a bc db aaa b
a b
d c
c cd cd
．
5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）
a
如果
b
c d
e f
m (b d n
f
n
0)
，那么
a b
c d
e f
m n
a
．
b
注意：
(1)此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对 应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1. 比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线
区的实际面积是
平方米.
例题 3、(1)已知 x∶y∶z＝3∶4∶5，①求 x y 的值；②若 x＋y＋z＝6，求 x、y、z. z
(2)已知
a、b、c、d
是非零实数，且
b
a c
d
a
b c
d
b
c a
d
a
d b
c
k
，
求 k 的值.
(3) 若 a 、 b 、 c 是 非 零 实 数 ， 并 满 足 a b c a b c a b c ， 且
c
b
a
x (a b)(b c)(c a) ，求 x 的值.
abc
例题 4、(1)已知线段 AB＝a，在线段 AB 上有一点 C，若 AC＝ 3 5 a ，则点 C 是线段 2
相似图形知识点
相似图形知识点知识点一:比例线段1．相似形：在数学上，具有相同形状的图形称为相似形2．比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段3. 比例的项：已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a ∶b ＝c ∶d ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d叫做比例的外项，线段b 、c 叫做比例的内项，线段d 叫做a 、b 、c 的比例第四比例项；比例中项：如果比例内项是两条相同的线段a ∶b ＝b ∶c ，即，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。
4. 比例的性质（1）基本性质:bc ad dc b a =⇔=， a ∶b ＝b ∶c ⇔b 2=ac （2）合、分比性质:dd c b b a d c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或 （3）比例中项:若c a b c a b c b b a ,,2是则即⋅==的比例中项. 知识点二：比例尺 = 实际长度图上长度 （做题之前注意先统一单位） 拓展：两个物体的图上长度之比等于实际长度之比（同一时刻的物高之比等于影长之比） 知识点二：黄金分割：如果点C 在线段AB 上，分AB 为两部分AC 与BC ，AC ＞BC ，且AB AC =AC BC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.小：大 = 大：全=≈-2150.618 另外一个黄金分割点382.0253≈- 注意： 一条线段都有两个黄金分割点，且关于中点对称。
长与宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。
底边和腰的比等于黄金比的三角形叫做黄金三角形，黄金三角形可以一直“黄金”下去7. 平行线分线段成比例定理（1）已知l 1∥l 2∥l 3,可得EFBC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.（2）由DE ∥BC 可得：ACAE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. A A D l 1 D EB E l 2B CC F l 38．相似三角形的判定：(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似,记作: △ABC ∽△A /B /C /。
相似形及比例线段(基础) 知识讲解
相似形及比例线段（基础）知识讲解【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；要点二、相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．要点三、比例线段1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；（2）合比性质：如果++ ==.a c abc db d b d，那么如果--==.a c abc db d b d，那么（3）等比性质：如果+c c=====k.+da c a ab d b d bk，那么（4）比例中项：若a:b=b:c，则2b =ac，b称为a、c的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。
要点四、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.12AP AB=≈).要点诠释：线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似图形1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们的相似性.类型二、相似多边形2. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【答案与解析】∵四边形相似于四边形∴，即∴∴四边形的周长.【总结升华】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF 为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案与解析】解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似，当时，S有最大值，为.【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一. 类型三、比例线段4. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．5.主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；AC米；③1)④=10(31)BC-米或米．A.①②③④B.①②③C.①③D.④【答案】D.【解析】解：AB的黄金分割点为点C处，若AC＞BC，则AB：AC=AC：BC，所以①不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20﹣12.36=7.64，所以②错误；若AC为较长线段时，AC=AB=10（﹣1），BC=10（3﹣）；若BC为较长线段时，BC=AB=10（﹣1），AC=10（3﹣），所以③不一定正确，④正确．故选D．【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.。
相似形与比例线段
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 ．
【解析】比例的性质、设k法
（1）根据比例的合比性， ；
（2）设 ，原式=
（3）设 ，原式=
【例】（1）已知： ，求 的值；
（2）已知： ，求 的值；
（3）已知： ，求 的值．
【解析】设k法
（1）令 ，得 ，原式= ；
（2）令 ，得 ，原式= ；
二、比例线段
1、比例的概念
一般来说，两个数或两个同类的量 与 相除，叫做 与 的比，记作 （或表示为 ）；如果 （或 ），那么就说 成比例．
在比例式 中， 叫做 和 的比例中项，
2、比例的性质
（1）基本性质：
如果 ，那么 ；
如果 ，那么 ， ， ．
（2）合比性质：
如果 ，那么 ；
2与6对应时，另外两边为： 和 ；
（3）2与8对应时，另外两边为：1和 .
【例】如图，矩形 中， ，线段 ，在 上取一点 ，分别以 、 为一边作矩形 、矩形 ，使矩形 与矩形 相似，且点 与点 、点 与点 ，点 与点 ，点 与点 分别是对应顶点，令 ．求出矩形 的面积 与 的函数关系式．
【解析】相似形性质的应用
【解析】相似的是（3）（4）（7）（9），选B
【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角的大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．
【例】已知四边形 和四边形 是相似的图形，并且点 与点 、点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应顶点，已知 ， ， ， ， ， ， ，求 ， 的长和 的度数．
（1） 时，根据比例的等比性 ；
（2） 时，可得 ，则 ．
【例】已知 ，则一次函数 的图像一定经过第几象限？
1相似形和比例线段(1)
个性化辅导教案
与
能熟练掌握比例的基本性质，合比性质，等比性质及黄金分割
能应用上述性质解决实际问题，以及黄金分割的应用
此外，通过结合图形，运用比例的性质来证明有关问题，培养学生数形结合的思想和逻辑推理的能力
教学内容
（1）
AC BC 的值. (2)BC AB 得值. (3)AB
AC
龙文教育课后作业
情况
10.设四边形ABCD 与四边形1111D C B A 是相似的图形，且A 与1A ，B 与1B ，C 与1C ，D 与1D 是对应点，已知8,6,8,8,1011=====B A AD CD BC AB ，求四边形1111D C B A 的周长
11.把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形和原矩形相似，求原矩形的长边与短边之比。
龙文教育课后测试卷。
九年级秋季班-第1讲相似性与比例线段-教师版
相似形与比例线段内容分析放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础．比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要讲解比例线段的有关概念和性质，以及三角形一边的平行线的相关性质和判定．比例线段的知识点，重点在于理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．对比例线段的学习之后，我们进一步学习三角形一边的平行线分线段成比例的相关性质和判定．三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论和三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理．重点是掌握这两个定理及其推论，分清两个定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A ”字型和“X ”字形这两个基本图形，最后灵活运用本节的三个定理及两个推论，理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．知识结构模块一：放缩与相似形知识精讲1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为 1．例题解析【例1】下列说法中错误的是（）A．同一底片先后两次冲印出的照片是相似形B．同一颗树在太阳光下先后两次形成的影子是相似形C．放在投影仪上的图片及其在屏幕上显示的图片是相似形D．放在复印件上的图片及其复印后得到的图片是相似形【难度】★【答案】B【解析】不同的时刻下，阳光与树射入的夹角不同，形成的影子大小不同，即不是相似形．【总结】考查相似形的定义，抓住相似形的基本定义即形状完全相同才是相似形．【例2】有以下命题：1 邻边之比为2 : 3 的两个平行四边形相似；2 有一个角是40°的两个菱形相似；3 两个矩形相似；4 两个正方形相似，其中正确的是（）A．1和2 B．2和4 C．3 和4 D．1 和3【难度】★★【答案】B【解析】邻边之比固定，但邻边的夹角不确定，形状不一定相同，①错误；矩形每个角都是90 度，但长宽之比不确定，即对应边不一定成比例，③错误；故选B．【总结】考查相似形的定义，根据相似形的性质可知对应角相等，对应边成比例才是相似形．b 甲乙ba 甲b 乙【例3】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 cm 和4 cm，另一边矩形的边长为6 cm，则另一边长为．【难度】★★【答案】4.8cm 或7.5cm ．【解析】设矩形另一边长为xcm ，根据相似形的定义，对应边成比例，可知5=4或5=4，6 x x 6解得：x = 4.8 或x = 7.5 ．【总结】考查相似图形的性质，对应边成比例，但要注意好对应关系，题目未指明的要进行分类讨论．【例4】在平面内，两个形状相同、大小不一定相同的图形称作相似形．我们可以把这一概念推广到空间：如果两个几何体的形状完全相同，大小不一定相同，我们称它们为相似体．如图，甲乙两个不同的正方体，它们是相似体．若两个正方体的棱长分别为a 和b，则称这两个相似体的相似比为a : b．我们不难发现它们的一些基本性质：设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则S甲=S乙6a26b2⎛a ⎫2= ⎪；⎝⎭设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则V=a3=V b3⎛a ⎫3⎪．⎝⎭（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）A．两个圆柱体B．两个圆锥体C．两个球体D．两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①两个相似体的对应线段或对应弧长的比等于；②两个相似体表面积的比等于；③两个相似体体积的比等于．（3）某海岛周围海域出产一种鱼，在体长10 厘米之后的生长过程中，体型可以近似地看作相似体．若体长20 厘米的鱼质量为0.2 千克，则体长为60 厘米的鱼质量为多少？当地市场上出售这种鱼价格与体长成正比，购买哪种鱼更划算？60【难度】★★★【答案】（1）C ；（2）相似比，相似比的平方，相似比的立方；（3） 5.4kg ， 60cm 划算 【解析】（1）和圆一样，球只有一个基本量，即半径，所有球体都是相似体，类似所有圆都是相似形，其它的几何体都是至少两个基本量，不能确定相似；（2）表面积是进行平方运算，体积是进行立方运算，由正方体相似进行归纳总结，由此可得相似体对应线段比是相似比，表面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方； （3）鱼的体型可看作相似体，可知其体积比即为相应相似比的立方，即鱼体长比的立方，设60cm 长鱼体重mkg ，则有0.2 m ⎛ 20 ⎫3= ⎪ ，解得m = 5.4 ，这种鱼的价格与体长成正比，⎝ ⎭可知体型越大，这种鱼的单价越低，由此可知60cm 体长的鱼划算．【总结】阅读题，主要考查归纳总结的能力，要用题目中的条件分析清楚，进行类比，即可解决问题．知识精讲1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作a : b （或表示为a）；b如果a : b = c : d （或 a = c），那么就说a 、b 、c 、 d 成比例．b d 2、比例的性质（1）基本性质：如果 a = c，那么ad = bc ；b d 如果 a =c ，那么 b =d ， a = b ， c = d．b d （2）合比性质： ac cd a b 如果 a = c ，那么 a + b = c + d；b d b d 如果 a =c ，那么 a - b = c - d．b d b d（3）等比性质： 如果 a = c = k ，那么 a + c = a = c= k （如果是实数运算，要注意强调b + d ≠ 0 ）．b d 3、比例线段的概念b + d b d对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果 a : b = c : d （或表示为 a = c ），那么a 、b 、c 、db d叫做成比例线段，简称比例线段． 4、黄金分割如果点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB （ AP > PB ）两段（如下图），其中 AP 是 AB 和 PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点 P 称为线段 AB 的黄金分割点．其中， AP = AB5 - 1 ≈ 0.618 ，称为黄金分割数，简称黄金数． 2 模块二：比例线段APB2 ⎩ ⎩【例 5】把ab = 1cd 写成比例式，不正确的写法是（）2A ． a = dB ． a = dC ． 2a = dD ． c =2ac 2b 2c b c b b d【难度】★ 【答案】B【解析】应用比例的基本性质，可知 B 选项即为ab = 2cd ，与原条件不符，故选 B ． 【总结】考查比例式的变形，应用比例的基本性质转化为等积式，看能不能得到原本题目条件乘积式即可．【例 6】已知线段 x 、y 满足(x + y ): (x - y ) = 3 :1 ，那么 x : y 等于（）A ．3 : 1B ．2 : 3C ．2 : 1D ．3 : 2【难度】★ 【答案】C⎧x + y = 3k 【解析】令⎨x - y = k ⎧x = 2k ，可解得⎨ y = k ，即得 x : y = 2k : k = 2 :1 ．【总结】比例运算中，可应用设“ k ”法计算相应字母比例关系．【例 7】等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 ．【难度】★【答案】 2 : 2 ．【解析】设三角形直角边长为 a ，根据勾股定理可知斜边长为 2a ，直角边与斜边比为a : 2a = 1: = 2 : 2 ．【总结】考查应用勾股定理解决等腰直角三角形三边比，注意结果要进行化简．例题解析5【例 8】已知 a = c，则下列式子中正确的是（）b d A ． a : b =c 2 :d 2C ．a :b = (a +c ): (b +d ) B ． a : d = c : bD ．a :b = (a - d ): (b - d )【难度】★★ 【答案】C【解析】根据比例的合比性，可知 C 正确．【总结】考查比例的性质的变形应用，本题根据合比性即可很快得出答案．【例 9】若 a = 8 cm ，b = 6 cm ，c = 4cm ，则 a 、b 、c 的第四比例项 d =cm ；a 、c 的比例中项 x = cm ．【难度】★★【答案】3， 4 2 ．【解析】根据第四比例项和比例中项的基本定义，可得 a = c ， a = x，代入即可分别求得d = 3cm ， x = 4 2cm ．【总结】考查比例定义中的相关基本概念．【例10】已知点C 是线段AB 的黄金分割点，AC = 5 b d x c - 5 ，且AC > BC ，则线段AB = ，BC = ．【难度】★★【答案】10，15 - 5 5 ．【解析】根据黄金分割点的概念，且 AC > BC ，可知 AC=AB5 - 1， AC = 5 2- 5 代入可得AB = 10 ，则 BC = AB - AC = 15 - 5 ．【总结】考查黄金分割点的概念，以及相关的黄金比．5 53【例 11】已知三个数 2、 3 、5，填一个数，使这四个数能组成比例，这个数可能是．【难度】★★★【答案】 5 3 或10 3 或 2 3 ．2 3 5【解析】设这个数是 x ，根据比例的基本性质，转化后，可以得到三种情况，即2x = 5 ，3x = 5 ⨯ 2 ， 5x = 2 ，分别解得 x =5 3， x = 10 3 ， x = 2 3． 2 3 5【总结】考查对比例基本性质的应用，一定要注意题目条件的说明是否需要进行分类讨论的情况，通过转换为乘积的形式，可以做到不重不漏．【例 12】已知实数 a 、b 、c 满足 b + c = c + a = a + b ，求 b + c的值．a b c a 【难度】★★★ 【答案】2 或-1【解析】当 a + b + c ≠ 0 时，根据比例的等比性质，可得b +c = b + c + c + a + a + b= 2 ； a a + b + c当 a + b + c = 0 时，则有b + c = -a ，由此 b + c = -a= -1 ．a a故 b + c 的值为 2 或-1 ．a【总结】考查比例的等比性质，注意等比性质在实数运算中运用的条件，要根据分母是否为 0 进行分类讨论．3AlDEBCAD E BC1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知∆ABC ，直线 l // BC ，且与 AB 、AC 所在直线交于点 D 和点 E ，那么 AD = AE．DB EC2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点 D 、 E 分别在∆ABC 的边 AB 、 AC 上，DE // BC ，那么 DE = AD = AE．BC AB AC3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在∆ABC 中，直线l 与 AB 、 AC 所在直线交于点 D 和点 E ，如果 AD = AE ，那DB EC 么l // BC ．模块三：三角形一边的平行线知识精讲AlEDBCAl DEB C6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线l // l // l ，直线m 与直线 n 被直线l 、l 、l 所截，那么 DF= EG．1 2 3 1 2 3FB GC7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【例 13】如图，DE // BC ，AD = 5，BD = 2，AE = 3，BC = 8，求线段 AC 、DE 的长． 【难度】★ 【答案】 AC =21 ， DE = 40 ． 5 7【解析】AD = 5，BD = 2，可得 AB = AD + BD = 7 ，由 DE // BC ，根据三角形一边平行线性质定理的推论，可得 AE = DE = AD，AC BC AB即 3 = DE = 5 ，可求得： AC = 21 ， DE = 40 ． AC 8 7 5 7【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的应用，注意解题中适当应用边的关系和相关比例的性质．D EFGBC例题解析AEDBC ADEB CADEB CC EADB3 【例 14】如图， ∆ABC 中，DE // BC ，AD = EC ，BD =4 cm ，AE = 3 cm ，则 AB = ．【难度】★★【答案】(4 + 2 3)cm ．【解析】设 AD = xcm ，由 DE // BC ，可得 AD = AE ，又 A D E C = ，AB ACADE 则该式即为 x = 3，整理得 x 2 = 12 ，由此得 x = 2 ，x + 4 3 + x BCAB = AD + BD = (4 + 2 3)cm ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意好题目中对相关条件的应用，改写成比例式解决问题．【例 15】∆ABC 中，∠A = 90︒ ，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，若 DE = BD，那么 DEAC BA平行于 AC ．（填“一定”、“不一定”或者“一定不”） 【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】根据三角形一边平行线的判定定理，可知一条直线截三角形两边所得的线段对应成比例，可判定平行，本题中对应成比例的并不是截三角形两边所得线段对应成比例，即 不可判定平行，在 AB 上固定一点 D ，作 E D ⊥A B 交 BC 于点 E ，以点 D 为圆心，ED 长 为半径画圆，与边 AB 还会有另外一个交点，即不一定能判定平行．【总结】考查三角形一边平行线判定定理的条件，只能根据所截得的两边线段对应成比例判定平行，而不能根据这条直线对应成比例关系判定平行．【例 16】如图，两条相交于点 O 的直线被另外三条直线所截，交点分别为 A 、B 、C 和 D 、 E 、F ，则下列说法中正确的有（ ）（1）若 AD // BE // FC ，则 AB = BC；DE EF OF AC（2）若 AD // BE // FC ，则 =； OC DF（3）若 AB = DE，则 AD // FC ；BC EF （4）若 BC = BO，则 BE // FC ；EF EO （5）若 BE = BO，则 BE // FC ．FC OCA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【难度】★★ 【答案】B【解析】根据平行线分线段成比例定理，知（1）正确；同时 OF = OD = OF + OD = DF，OC OA OC + OA AC知（2）错误；根据平行线分线段成比例定理，由于题目中没有给出有直线与 BE 平行的条件，则不能证明平行，（3）错误；根据三角形一边平行线的判定定理，BC = BO，EF EO根据比例的基本性质变形可得 BO = OE，即可证平行，可知（4）正确，（5）错误．OC OF 【总结】考查平行线分线段成比例相关的性质定理和判定，注意前提条件再进行判断．【例 17】如图， ∆ABC ，DE // BC ，若 AD = 2，则 S : S =（）DB 3∆CDE ∆BDCA ．2 : 3B ．2 : 5C ．4 : 15D ．6:15【难度】★★ 【答案】B【解析】根据 DE // BC ，可得 AE = AD = 2，三角形为同EC DB 3高三角形，则有 S ∆ADE = AE = 2，可设 S = 2a ，则S ∆CDE EC 3∆ADE有 S = 3a ， S= 5a ，同理 S ∆ACD = AD = 2 ， ∆CDE ∆ACDS ∆BCD BD 3可得 S ∆BCD = 15 a ，则有 S 2∆CDE : S ∆BDC = 3a : 15 a = 2 : 5 ． 2【总结】结合三角形一边平行线性质定理，考查三角形中的同高三角形，面积比即为其底边长度之比．ADB E O FCA DEB C【例 18】如图，DF // AC ，DE // BC ，下列各式正确的是（ ）A ． AD = BE BC CF 【难度】★★ 【答案】DB ． AE = CE DE BC C ． AE = BD CE AD D ． AD =AB DE BC 【解析】由 DE // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得 AD =DE ，变形即为 AB BC AD = AB，D 正确． DE BC 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，利用比例变形可以将对应边成比例转化为一个三角形中对应边的比例关系，利用相关性质等积转化即可进行判断．【例 19】如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下 2.7 米宽的亮区 DE ，如果亮区一边到窗下墙脚的距离 CE = 8.7，窗口高 AB = 1.8 米，那么窗口底边离地面的高度 BC = ．【难度】★★ 【答案】4m ．【解析】射入的光线平行，则有 AB = DE ，代入可求得AC CEA C = 5 . 8m ， BC = AC - AB = 4m ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到．【例 20】如图，AD // EG // BC ，AF = 12，FC =3，BC = 10，AD = 5，那么 EG 的长是 ．【难度】★★ 【答案】9【解析】由 AD // EG // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得 AF = EF ，AC BC CF = FG ，代入即为AC ADEF = 12 ， FG = 3 ，求得 EF = 8 ， FG = 1， 10 15 5 15 即得： EG = EF + FG = 9 ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．AD EBFCA BE DCC G FD B EAD C EOFA B【例 21】如图，已知 ABCD 是梯形，其中 AB // CD ，对角线 AC 与 BD 交于 O ，过 O 作 AB的平行线交 AD 于点 E ，交 BC 于点 F ，若 AO : OC = 2 : 1，且 CD = 1.8，CF = 0.8，那么 AB = ，BC = ．【难度】★★ 【答案】3.6 ， 2.4 ．【解析】由 AB / /CD / /EF ，根据三角形一边平行线的性质定理及推论，可得 AB = AO = OB = BF= 2 ，由此可CD OC OD CF求得：AB = 3.6 ，BF = 1.6 ，故 BC =BF +C F = 2.4 ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例 22】如图，已知梯形 ABCD 中，AD // BC ，MN // BC ，且交对角线 BD 于 O ，AD = DO =p ，BC = BO = q ，则 MN 为（ ）A ． pq p + q C ．p + q pqB ．2 pq p + q D ．p + q 2 pq【难度】★★ 【答案】B【解析】由 AD // MN // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得 MO = BO，AD BDON = DO ，由 AD = DO = p ，BC = BO = q ，代入即为 MO = q ， ON = p ， BC BDp p + q q p + q 求得： MO =pq p + q ， ON = pqp + q，即得： MN = MO + ON =2 pq ． p + q 【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．A D MONB CAC 2 + BC 2 【例 23】如图，直角∆ABC 中两条直角边 CA = 4，CB = 3，点 E 为斜边 AB 上的一个动点，ED ⊥ BC 于 D ，设 AE = x ，BD = y ，则 y 关于 x 的函数解析式为 ．【难度】★★ 【答案】 y = 3 - 3x ．5【解析】由勾股定理，可得 AB = = 5 ，AE = x ，则 BE = 5 - x ，由 ED ⊥ BC ， ∠C = 90︒ ，可得 DE / / AC ，根据三角形一边平行线性质定理，则有 BD = BE，BC AB即 y = 5 - x ，即可得 y = 3 - 3 x ． 3 5 5【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例 24】如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，求证：（1） AE = AB ；（2） GD 2 = GF GE ．AD CF 【难度】★★ 【答案】略【解析】证明：（1） 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB / /CD ， AD / /BC ， AB = CD∴ DC = GC =CF AE AG AD ∴AB = CF AE AD即 得 AE =AB AD CF（2）同样地，由 AD / /CF ， DC / / AE ，可得： GD = AG = GE ．GF GC GD∴ GD 2 = GF GE ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的基本应用，考查在有平行线的图形中的基本图形， “A ”字型和“8”字型，“A ”字型和“8”字型有叠合的时候可进行等比例转化．D CGFAB EA EB DC【例 25】如图，在∆ABC 中，AB > AC ，AD ⊥ BC 于 D ，点 F 是 BC 中点，过点 F 作 BC 垂线交 AB 于点 E ，BD : DC = 3 : 2，则 BE : EA = ．【难度】★★★ 【答案】5 :1．【解析】由 BD : DC = 3 : 2，F 为 BC 中点，即可得B F + B F - F D = 3 ，则 B F F D 2= 5F D ，由 EF ⊥BC ，AD ⊥ BC ，可得： EF / / AD ，根据三角形一边平行线性质定理， 即可得： BE : EA = BF : FD = 5 :1 ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用，过程中注意比例转化．【例 26】如图，在∆ABC 中，E 、F 分别是 BC 、AC 的中点，AE 、BF 交于点 G ，过 G 作GD // AC 交 BC 于点 D ，若 ED = 5，则 BC 的长为 ．【难度】★★★ 【答案】30．【解析】∵E 、F 分别是 BC 、AC 的中点，∴G 是∆ABC 的重心．GE 1 ∴ = ． AE 3 ∵GD // AC ，∴可得 ED = GE = 1，EC AE 3由此 EC = 3ED = 15 ， BC = 2EC = 30 ．【总结】考查重心性质的证明，构造平行线，结合三角形一边平行线性质定理即可解决问题．A EB F D CAFG BE DC1 【例 27】如图，AD // OM // BC ，AC 、BD 相交于点 O ．求 证 ： 1 + 1 = 1．AD BC OM 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明： AD / /OM / /BC ，O M B M OM AM ∴ = ， A D A B = ． BC AB ∴ O M + O M = B M + A M =． A D B C A B A B即 得 ： 1 + 1 = 1．AD BC OM【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，尤其图形中“A ”字型等基本图形有部分叠加图形的情况下可进行等比例转化．【例 28】如图，已知：在∆ABC 中， BD = 1 ， AF = 2 ，求 AE的值．CD 3 DF AC 【难度】★★★1【答案】 ．3【解析】过点 D 作 DG / / BE 交 AC 于点G ，根据三角形一边平行线的性质定理， 可 得 EG = BD = 1 ， AE = AF = 2 ，GC CD 3 EG DF 则有 AE = 2 ，则有 AE= 2 = 1 ，GC 3 EC 1 + 3 2根据比例的合比性，则有 AE = 1．AC 3【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，构造平行线，构造出“A ”字型等相关基本图形进行等比例转化解决问题．CDOAM BAEFG BDC【例 29】如图，已知 AM 是 ∆ABC 的中线，P 是 BC 边上的一个动点，过点 P 作 AM 的平行线分别交 AB 、AC 所在直线与点 Q 、R ，求证：PQ + PR 为定值． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明： PR / / AM ，∴ PQ = BP ， PR = PC ． AM BM BM = CM ，AM MC∴ PQ + PR = BP + PC = BC AM BM BM= 2 ．即得： PQ + PR = 2AM ，即证 PQ + PR 为定值．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的应用，注意观察图形中的基本图形，本题中即用到两个“A ”字型．【例 30】如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O ，直线 l 平行于 BD ，且与 AB 、DC 、BC 、AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M 、N 、R 、S 和 P ． 求证： PM 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明： ．BD / /MS∴ BO = AO ， DO = AO MP AP ∴ BO = DO PM PS PS AP∴ PS = DO PM BO同时由OB / /PR ， OD / /PN ， ∴ OB = OC ， OD = OC PR CP ∴ OB = OD PR PN ∴PN = DO =PN CP PSPR BO PM即证 PM 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，找准图形中的“A ”字型和“8”字型等基本图形进行等比例转化即可．AB O DMC N PR SPN = PR PS PN = PR PSR AQBP MCDEM N PFQ【例 31】（1）如图 1，在∆ABC 中，点 D 、E 分别在 AB 、AC 上满足 DE // BC ，点 P 为 BC上的任意一点，AP 交 DE 于点 Q ，求证： DQ = BP．QE PC （2）试参考（1）的方法解决下列问题：如图 2，M 、N 为边 BC 上的两点，且满足 BM = MN= NC ，一条平行于 AC 的直线分别交 AB 、AM 和 AN 的延长线于点 D 、E 和 F ． 求 EF : DE 的值．ABC【难度】★★★【答案】（1）略；（2） 3 :1 ． 【解析】（1）证明： DE / /BC ，∴ DQ = AQ ， QE = AQ ． BP AP ∴ DQ = QE ．BP PC ∴ DQ = BP ． QE PCPC AP（2）过点 B 作 BQ / /DF 交 AF 延长线于点Q ，交 AM 延长线于点 P ，则有 BQ / /DF / / AC ，BM = MN = NC ，∴ BP = BM = 1 ， BQ = BN = 2 ． AC MC 2 AC NC ∴ BP = 1 ，即得： BP = 1 ． BQ 4 PQ 3由（1）的结论即可得 EF : DE = PQ : BP = 3:1．【总结】考查三角形一边平行线的应用，“8”字型的叠合，可以进行相应等量转化确定相关线段之间的比例关系解决问题．图 1图 2AD QE BP C⎩⎩【习题 1】如果图形 A 与图形 B 相似，图形 B 与图形 C 相似，那么图形 A 与图形 C相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 【难度】★ 【答案】一定．【解析】根据相似形定义，可知图形 A 与图形 B 形状相同，图形 B 与图形 C 形状相同，则必有图形 A 与图形 C 形状相同，即两图形相似． 【总结】考查相似形具有传递性．【习题 2】若(x + y ): y = 8 : 3 ，则 x : y =．【难度】★ 【答案】5 : 3 ．⎧x + y = 8k【解析】令⎨ y = 3k⎧x = 5k ，可解得： ⎨ y = 3k ，即得 x : y = 5k : 3k = 5 : 3 ．【总结】比例运算中，可应用设“ k ”法计算相应字母比例关系，也可直接利用比例的合比性质进行求解．【习题 3】如图，DE // BC ，下列比例式成立的是（ ）A ． AD = AC AB AE 【难度】★ 【答案】CB ． DE = DA BC AB C ． EA =DA AB AC D ． DA =AE AB AC【解析】根据三角形一边平行线性质定理的推论，由 DE // BC ，可得： DA = EA，可知 C 正确．AC AB 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．随堂检测DEAB C5 5 【习题 4】有以下命题，其中正确的判断有（ ）个（1）如果线段 d 是线段 a 、b 、c 的第四比例项，则有 a = c ；b d （2）如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB 、BC 的比例中项；（3）如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC > BC ，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项；（4）如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC > BC ，且 AB = 2，则 AC = -1 ．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★ 【答案】C【解析】根据比例相关定义，可知（1）正确； C 是 AB 中点时，则有 AC = BC = 1AB ，此2时 AB ≠ AC ，（2）错误；根据黄金分割点的基本定义，可知（3）正确，同时黄金比 AC BC 为 5 - 1 ，即 AC = 5 - 1 ，可得 AC = -1，（4）正确；（1）（3）（4）正确． 2 AB 2综上所述，故选 C ．【总结】考查比例中的相关概念，以及黄金分割等基本知识．【习题 5】如图，已知菱形 BEDF 内接于∆ABC ，点 E 、D 、F 分别在 AB 、AC 和 BC 上，若AB = 15 cm ，BC = 12 cm ，则菱形边长为 ．【难度】★★【答案】 20cm ．3【解析】根据三角形一边平行线的性质定理，则有 DE = AE，BC AB则有 BE + AE = BE + DE= 1 ，由 AB = 15 cm ，BC = 12 cm ，AB AB AB BCDE = BE ，即为 DE + DE = 1 ，解得： DE = 20，即菱形边长．15 12 3 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用．AEDB FC【习题 6】如图，在∆ABC 中，DE // BC ，EF // CD ，AF = 3，FD = 2，求 AB 的长． 【难度】★★【答案】 25．3【解析】AF = 3，FD = 2，可得 AD = AF + FD = 5 ，由 DE // BC ，EF // CD ，可得 AF = AE = AD ，即得 3 = 5 ，求得 AB = 25．AD AC AB 5 AB 3 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意利用基本“A ”字型，尤其有叠合的图形进行等比例转化．【习题 7】如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = 24，X 、Y 是对角线 AC 上的三等分点，联结 DX 并延长，交 AB 于 P ，再联结 PY 并延长，交 DC 于 Q ，则 CQ 的长为【难度】★★ 【答案】6．【解析】由四边形 A B C D 是平行四边形， 可知AB / /CD ，根据三角形一边平行线的性质定理，可得 DC = XC = 2 ， CQ = CY = 1 ，由此可得 AP AX AP AY 2 CQ = 1 ，即得CQ = 1 CD = 1AB = 6 ． CD 4 4 4【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意找到图形中的“X ”字型．AF DE BCDQC YXAP B矩形DEFC 【习题 8】如图，在矩形 ABCD 中，截去一个矩形 ABFE （图中阴影部分），余下的矩形 DEFC与原矩形 ABCD 相似．（1）设 AB = 6 cm ，BC = 8 cm ，求矩形 DEFC 的面积；（2）若截去的矩形 ABFE 是正方形，求 AB的值．BC 【难度】★★【答案】（1） 27cm 2 ；（2）5 - 1 ．2【解析】（1）余下矩形与原矩形相似，根据相似形的性质，则有 DE = EF ，代入即为 DE = 6 ，求得 DE = 4.5cm ， AB BC 6 8则有 S = DE ⋅ EF = 27cm 2；（2）同（1）有 D E =E F ，设原矩形宽为 a ，则有 AE = EF = BF = a ，代入即为 BC - a = a，A B B C⎛ a ⎫2a a BC整理得： a 2 + aBC - BC 2 = 0 ，两边同除以 BC 2，即得 ⎪ ⎝ BC ⎭ +- 1 = 0 ，解方程得 BCa = 5 - 1 ，即 AB = 5 - 1 ，此时为黄金比． BC 2 BC 2 【总结】考查相似形的基本性质的应用．【习题 9】如图，平行四边形 ABCD 中，对角线交点为 O ，E 为 AD 延长线上一点，OE 交CD 于 F ，交 AB 于 G ，交 CB 的延长线与 H ，试求 AB - AD的值．DF DE【难度】★★★ 【答案】2．【解析】由平行四边形的性质，则有 DO = OB ，由此可得DF = GB ，又 DC / / AB ，则有 AG = AE，则有DF DEEDF COA B A D A +G G B -A E ⎛D E⎫A G ⎛ ⎫ A E AGBD F - = - = + 1⎪ - - 1⎪ = ． DE DF D E ⎝ D ⎭F ⎝ D ⎭ EH【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意找准图形中的“A ”字型和“8”字 型等基本图形进行比例转化，同时应用好平行四边形的相关性质．AE DF C33 5 - 2 3【习题 10】如图，已知在∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，以 BC 为边向外作正方形 BCDE ，联结 AE 交 BC 于 F ，作 FG // AC ，交 AB 于 G ． （1）试判断∆FCG 的形状，并加以证明；（2）若正方形 BCDE 边长为 1， ∠AEB = 30︒ ，求 AB 的长． 【难度】★★★【答案】（1）等腰直角三角形；（2） 5 - 2 3 ．【解析】（1） ∆FCG 是等腰直角三角形． 证明 四边形 BCDE 是正方形，∴ BC / /DE ， BE / /CD / /FG ．∴ CF = AF ， DE AE ∴ CF = FG ． DE BE ∴CF = FG ． FG / / AC ，FG = AF ． BE AE ∴∠CFG = ∠ACB = 90︒ ． 即证∆FCG 是等腰直角三角形． （2） BE = BC = 1 ， ∠AEB = 30︒ ，∴ BF =BE =3 ．3∴ FG = CF = 1 - 3．3由 FG / / AC ，可得 FG = BF = AC BC根据勾股定理，即可得 AB = 3，则 AC = 3=3FG = -1，= ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，结合归纳猜想进行解题．AC 2+ BC 2( 3 - 1)2+ 12 DECFAGB【作业 1】下列说法正确的是（）A ．边数相同的多边形相似B ．对应边成比例的多边形相似C ．对应角相等的多边形相似D ．全等的多边形相似 【难度】★ 【答案】D【解析】根据相似形的概念和性质，形状大小完全相同，即对应角相等，对应边对应成比例同时满足，可知 ABC 错误，全等的图形是特殊的相似形，可知 D 正确． 【总结】考查相似形的基本概念和性质．【作业 2】已知 x - y = y，则 x + y 的值为．13 7y【难度】★【答案】 27．7【解析】由 x - y = y ，则有 x - y = 13 ，根据比例的合比性， x + y = 13 + 7 + 7 = 27．13 7 y 7 x 7 7【总结】考查相关比例的转化，可利用比例的性质进行求解．【作业 3】如图，已知 AD // BE // CF ，下列比例式成立的有（ ）（1） AB = AC ；（2） AB = DE ；（3） AC = DF ；（4） BC = EF ．DE DF EF BC EF BC AC DFA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【难度】★ 【答案】B【解析】根据平行线分线段成比例定理，可得 AB = DE，BC EF结合比例的合比性，即得 AB = DE ， BC = EF，AC DF AC DF（1）正确，（2）错误，（3）错误，（4）正确，综上所述，故选 B ． 【总结】考查平行线分线段成比例定理，结合比例基本性质进行等比例转化．课后作业ADB EO FC。
沪科版九年级上册第二十四章相似三角形 相似形和比例线段
主 题 第一讲 相似形和比例线段教学内容学习目标：1．知道相似形的概念，理解相似多边形的意义；2．理解两条线段的比和比例线段的概念；3．掌握比例的性质，了解黄金分割的概念．互动：（此环节设计时间在40－50分钟）知识导入：给你一粒白米尺寸为长0.5公分，宽0.3公分，你能在上面雕刻出5只“熊猫”及“二〇〇八北京奥运”字样吗？也许你会瞠目结舌：那得多小呀！太难啦！如果借助放大镜有人能办到，你信吗？——右图是：台湾毫芒雕刻第一人陈逢显在高倍放大镜下拍摄的针孔里雕刻出来的成果。
其实在放大镜下的米粒和实际的米粒只是大小不同，而形状却完全相同，它们是相似的图形。
思考：①你还能举几个生活中常见的相似形吗？如： ；②在你所举的例子中，发现相似形是 相同， 不一定相同的图形．（形状，大小） 案例：如图，将ABC ∆放大后得111A B C ∆，将111A B C ∆缩小后得ABC ∆；图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形。
如图：ABC ∆与111A B C ∆相似,测量∠A= ，∠B= ，∠C= ,∠A 1= ，∠B 1= ，∠C 1= ,测量AB= ， BC= ，CA= ，A 1B 1= ，B 1C 1 = ，C 1A 1=从以上测量结果可以得到怎样的结论？1．如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角____ __，对应边___ ______．2．当两个相似多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值___ _____．知识点归纳：1．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。
3．如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1。
试一试：1．如图，已知五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 相似，且点A 与'A 、点B 与'B 、点C 与'C 、点D 与'D 、点E 与'E ，分别是对应顶点，则x = ，y = ，z = ，'A ∠= ，'C ∠= ． 2．已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，与它相似的三角形的最小边长15，那么它的另两边长分别为 。
相似形与比例线段(一)
相似形与比例线段【放缩与相似形】如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
【比例线段】线段的比：在同一单位长度下，两条线段的倍数关系叫做这两条线段的比。
即两条线段的长度的比。
如：线段a 与b 的比，记作ba （或a ：b ），若ba ＝31，则说明a 是b 的31，b 是a 的3倍。
比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段的长度的比相等，即dc ba =（或a ：b=c ：d ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
此时也称这四条线段成比例。
在ab=cd 中，a 叫做第一比例项，b 叫做第二比例项，c 叫做第三比例项，d 叫做第四比例项。
如果a ∶b =c ∶d ，那么ad=cb 。
特别地，若a ∶b=b ∶d ，即c=b ，则b 叫a ，d 的比例中项，b 2=ad 。
常用这种变形方式转化字母间的关系：①dc ba =，②dbc a =，③a c bd =，④a b c d =，⑤b a d c =，⑥c a d b =，⑦b d a c =，⑧cd a b =。
合比定理：dd c b b a d c b a ±=±⇒=等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ba nd b m c a nm dc ba比例尺：比例尺＝实际距离图上距离，即图上距离＝实际距离×比例尺。
黄金分割如果点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC 2=BC ·AB ，那么称线段AB 被点C 黄金分割。
其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，其准确值为215-，近似值为0.618。
【三角形一边的平行线】三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。
三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
线段比例与相似形
线段比例与相似形在几何学中，线段比例和相似形是两个重要的概念。
线段比例指的是两条线段之间的长度比，而相似形是指形状和结构相似但尺寸不同的图形。
这两个概念在建筑设计、地图制作以及数学问题解答中都起着重要的作用。
线段比例的计算可以通过比较两条线段的长度来得出。
假设有一条线段AB，长度为a，另一条线段CD，长度为b。
若a和b之间存在一个整数比例k（k≠0），那么我们可以得到以下等式：a/b = k。
换句话说，a是b的k倍。
这种线段比例的关系可以在图形的缩放、相似形的构建以及尺寸的调整中得到应用。
线段比例的应用可以帮助我们解决很多实际问题。
举个例子，假设我们需要在一个地图上标记两个城市的位置，但是由于地图比例的原因，无法准确地表示两个城市之间的距离。
利用线段比例的概念，我们可以通过测量地图上两个城市之间的距离，并与实际距离之间建立比例关系，从而估算出实际距离。
这对于导航系统和旅行规划非常有用。
另外，线段比例还可以应用于建筑设计中。
当建筑师设计一座建筑物时，他们需要在平面图上绘制比例图，并确定各个构件之间的大小关系。
通过合理的线段比例设计，建筑师可以确保建筑物在结构上保持稳定，并在功能和美观上达到最佳平衡。
与线段比例密切相关的概念是相似形。
相似形是指形状和结构相似但尺寸不同的图形。
两个图形相似的关键在于它们对应角度相等，并且对应边的比例相等。
在相似形中，如果两个线段之间的比例等于一个数k（k≠0），那么整个图形的比例也是k。
这种相似形的特性使得我们能够根据已知图形的尺寸比例来计算未知图形的尺寸。
相似形的应用广泛存在于生活和工作中。
举个例子，地图制作经常使用相似形的原理。
地图是将地球的表面缩小到纸上，因此无法完全还原实际情况。
地图制作者通常会在地图上选择某个区域进行放大和绘制，其他地区则按照相似形的规律进行缩小。
通过相似形的比例关系，我们可以从地图上准确读取位置信息，并进行导航和定位。
除此之外，相似形还可以应用于数学问题的解答中。
九年级相似三角形知识点总结
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或n mb a =）（2）比例性质1.基本性质:bc ad dcb a =⇔=（两外项的积等于两内项积）2.反比性质：cd a b d c b a =⇒=(把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项同时交换内外项4.合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变FE D CB A 知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
其中AB AC 215-=≈0.618AB 。
知识点四：平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：AD∥BE∥CF,,,AB DE BC EF AB DEBC EF AC DF AC DF∴===.2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：AD BE CF AB BC DE DF ⎫⇒=⎬=⎭.重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识点五：相似三角形1、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
北师大版九年级数学上册同步学案：第4章图形的相似1成比例线段 1
4.1.1成比例线段（1）【教学目标】知识与技能：知道线段比的概念.会计算两条线段的比.过程与方法通过计算作图掌握概念：线段的比、成比例线段。
情感、态度与价值观在获得知识的过程中培养学习的自信心．【教学重难点】教学重点：成比例线段、比例的性质教学难点：会求两条线段的比,注意线段长度的单位要统一.【导学过程】【创设情景,引入新课】、小学里已经学过了比例的有关知识,下面请同学们口答下列问题：（1）若a 与b 的比值和c 与d 的比值相等,应记为： 。
（2）已知2：3＝4：x,则：x= 。
【自主探究】(1) 自主学习完成课本60--62页试一试与概括：填写下列空格：（1）、“比例线段”的概念： 。
已知四条线段a 、b 、c 、d,如果dc b a =（或a:b=c:d ）,那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的 , （2）“比例线段”和“线段的比”的区别“比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？结论：（3）注意：概念的有序性线段的比有顺序性,a:b 和b:a 通常是不相等的。
比例线段也有顺序性,如dc b a =叫做线段a 、b 、c 、d 成比例,而不能说成是b 、a 、c 、d 成比例。
【课堂探究】 例1如图一块矩形的绸布长AB=am,宽AD=1m,按照图中所示的方式将它剪裁成相同的三面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同。
即 那么a 的值应当是多少？判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：（1）a ＝4,b ＝6,c ＝5,d ＝10；（2）a ＝2,b ＝5,c ＝152,d ＝35．AB AD AD AE =解：把（1）题中a、b、c、d调换位置可以得到几种情况？哪些情形是成比例线段。
成比例线段在大小排序上有何规律？给你四个数据怎样最快的获取成比例线段排序的最大可能性？总结：如何判断成比例线段,说出你的方法并交流。
【当堂训练】1、已知m、n、p、q是成比例线段,其中m=2cm,n=6cm,q=27cm,则p=_______cm.2、（★★）已知三个数1,2、3,请你再添一个数,使它们构成的四个数成比例关系。
比例线段(一)
练习2: 练习 求下列各题中 a:b 的值 (1)a=2m , b=0.4m ; (2)a=6cm , b=6m ; (3)a=50mm , b=6cm ; (4)a=3m , b=10mm . 答: (1) a:b=5 (3) a:b=5:6 (2) a:b=1:100 (4) a:b=300
例1
证证: ∵D为AB中中 为 中
D 1 ∴AD= AB 2 B AD 1 ∴ = AB 2 ∵DE为 ABC中中中 为 中 1 DE 1 ∴DE= BC ∴ = 2 BC 2 AD DE ∴ = AB BC
E C
AD,AB,DE,BC成比例线段 成比例线段
例6 A
A' B C B' C'
现在有一棵很高的古树, 现在有一棵很高的古树,欲测出 它的高度, 它的高度,但又不能爬到树尖上去直 接测量,你有什么好的方法吗? 接测量,你有什么好的方法吗?
如果作为比例内项的是相同的 线段, 线段,即
a b = b c
或a:b=b:c,那么 ,
线段b叫线段 , 的比例中项. 线段 叫线段a,c的比例中项 叫线段
说明:
a c 1.比式 = 或 a:b=c:d叫比比比 比 叫 b d
2.比例式中,项的次序不可任意改变. 比例式中,项的次序不可任意改变. 比例式中 的第四比例项与d是 , , 如d是a,b,c的第四比例项与 是b,c, 是 , , 的第四比例项与 a的第四比例项的意义是不同的. 的第四比例项的意义是不同的. 的第四比例项的意义是不同的
b a
练习1: 练习 判断. 线段a=2cm , b=30mm那 判断 已知 线段 那 么a,b两条线段的比是 两条线段的比是
a 2 1 = = b 30 15
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相似形与比例线段【放缩与相似形】如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
【比例线段】线段的比：在同一单位长度下，两条线段的倍数关系叫做这两条线段的比。
即两条线段的长度的比。
如：线段a 与b 的比，记作ba （或a ：b ），若ba ＝31，则说明a 是b 的31，b 是a 的3倍。
比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段的长度的比相等，即dc ba =（或a ：b=c ：d ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
此时也称这四条线段成比例。
在ab=cd 中，a 叫做第一比例项，b 叫做第二比例项，c 叫做第三比例项，d 叫做第四比例项。
如果a ∶b =c ∶d ，那么ad=cb 。
特别地，若a ∶b=b ∶d ，即c=b ，则b 叫a ，d 的比例中项，b 2=ad 。
常用这种变形方式转化字母间的关系：①dc ba =，②dbc a =，③a c bd =，④a b c d =，⑤b a d c =，⑥c a d b =，⑦b d a c =，⑧cd a b =。
合比定理：dd c b b a d c b a ±=±⇒=等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ba nd b m c a nm dc ba比例尺：比例尺＝实际距离图上距离，即图上距离＝实际距离×比例尺。
黄金分割如果点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC 2=BC ·AB ，那么称线段AB 被点C 黄金分割。
其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，其准确值为215-，近似值为0.618。
【三角形一边的平行线】三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。
三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.如果D ,E分别在AB,AC的延长线上时，或在反向延长线上时，以上结论同样成立.三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.符号语言：∵ECAEDBAD=)(ACECABDBACAEABAD==或∴DE∥BC熟悉定理的几种变形井字型 A字型 X字型倒 A字型畸形(O无用)三角形的重心：三角形三条中线的交点（交于一点）。
三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。
平行线分线段成比例定理（1）、定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。
（2）、推论：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
B C【课堂练习】一、填空1．已知a ∶b ＝3∶1且a ＋b ＝8，则a －b ＝ 。
2．已知n m =q p =32(n+q≠0)，则q n p m ++＝ 。
3．一个三角形三边的比为2∶3∶4则这个三角边上的高的比为 。
4．线段a ＝3，b ＝4，c ＝5则b ，a ，c 的第四比例项是 ，b 、c 的比例中项是 ．5．直角三角形的三边为a ，a+ b ，a+2b 且a ＞0,b ＞0则a ∶b ＝ 。
6．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，若AP ＞BP ，AP=5-1，则AB ＝ 。
7．△ABC 的周长为100cm ，如图若AB AE =AC AF =BC EF =53，△AEF 的周长为 。
8．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若AF ∶FD ＝1∶3则AE ∶EB ＝ ；若AF ∶FD ＝1∶n （n ＞0），则AE ∶EB= 。
二、选择9. 已知a 2=b 1，则b a ba -+2的值（ ）A ．-5B ．5C ．-4D ．410．已知3a ＝5b ，下列各式的值在2与3之间的是（ ）A ．a b a +B ．b b a +C ．b b a -D ．b a b a -+11．如图BD ，CE 是△ABC 的中线，P ，Q 分别是BD ，CE 的中点，则PQ ∶BC 等于（ ） A.1∶3 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶612.已知，如图l 1∥l 2∥l 3下面等式①AC AB =CF AD ②CA BC =FD EF ③DE AB =AC DF ④DE AB =BE AB⑤AB ∶BC ∶AC=DE ∶EF ∶DF 能成立的等式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个13．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，平行于梯形两底的直线交梯形两腰AB ，CD 及两条对角线BD 、AC 分别于点E 、F 、G 、H ，若AE ∶EB=HG ∶GE=2∶1，则用AD ∶BC 等于（ ） A ．1∶2B ．1∶2C ．2∶3D ．3∶414．如图，l 1∥l 2，AF ∶FB ＝2∶5，BC ∶CD=4∶1，则AE ∶EC ＝（ ） A ．5∶2 B ．4∶1 C ．2∶1 D ．3∶2三、解答下列各题15．在边长为8的正方形ABCD 中，P 为AD 上一点，且AP ＝5，BP 的垂直平分线交AB 、DC 分别于E ，F ，Q 为垂足，试求EQ ：QF 的值．16．如图，AC ∥BD ，AD 和BC 相交于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，且AE ＝p ，BD ＝q ，BF ＝r ，（1）试证P 1+q 1=r 1,（2）图中AC ＝20,BD ＝80，试求EF 的值。
17．已知：如图△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，AO 与DE 、BC 分别交于点N 、M ，求证：（1）AM AN =OM ON（2）BM=MC ，且DN=NE18．如图AB ， DC 都在 BC 的同侧且AB ⊥BC 于B ，DC ⊥BC 于C ，AC 、BD 交于点P ，PQ ⊥BC 于Q ，试证PQ 平分∠AQD 。
19．已知如图，点D 是△ABC 边BC 上一点，且BD ∶DC ＝2∶3，过点C 任作一条直线与AB 、AD 分别交于点F 和E ，求证ED AE =BF AF35.20.已知：如图，△ABC 中，AC=BC ，F 为底边AB 上一点，AF BF =n m（m ，n ＞0）取CF 的中点D ，连结AD 并延长交BC 于E(1)求EC BE的值（2）如果BE ＝2EC ，那么CF 所在的直线与边AB 有怎样的位置关系？证明你的结论。
（3）E 点能否为BC 中点？如果能，求出相应n m的值；如果不能，证明你的结论.21．如图梯形ABCD 中AB ∥DC ，∠B ＝90°，MN ∥AB ，AB ＝6，BC ＝4，CD ＝3，设DM ＝x ，（1）设MN ＝y ，用x 的代数式表示y ．（2）设梯形MNCD 的面积为S ，用x 的代数式表示S ．（3）若梯形MNCD 的面积S 等于梯形ABCD 的面积的31，求DM ．22．）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时发现了如下的事实．（1）当AC AE =21=111+时，有AD AO =32=122+（如图甲） （2）当AC AE =31=211+时，有AD AO =42=222+（如图乙） AC AE =31=211+时，有AD AO =42=312+（如图丙）在图丁中，当AC AE =n 11时参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AD AO的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）。
23．如图，在△ABC 的边 AB 上有一异于中点的动点P ，沿平行于 BC 的方向运动到AC 边于点D ，再沿平行于AB 方向运动到BC 边于点E ，再沿平行于CA 方向运动到AB 边于点F……如果每次平行于某一边方向运动到另一边于一点算作运动一次，那么这样运动2008次点P 在那里？24. 如图已知BE AB =ME AM =CE AC 。
求证：BC CA BC AB ++=ME AE证明：∵BE AB =ME AM =CE AC ，∴ CE BE AC AB ++=EM AM， 即BC AC AB +=ME AM ，∴BC CA BC AB ++=ME ME AM + 即BC CA BC AB ++=ME AE25. 如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG ∥BE 交AE 于G ，求证GF ＝FB ．证明：∵GF ∥AD ∴AD GF ＝ED EF（1） 又FB ∥DC ∴DC FB ＝ED EF（2）又AD ＝DC （3）由（1）（2）（3）得：AD GF ＝AD FB，∴GF=FB【巩固训练】1. 如图，AD 、AE 分别是△ABC 的∠A 的内角平分线和外角平分线，分别交BC 和BC 的延长线于点D 、E ，且2AB=3AC. 求BD: DC: CE 的值。
（角平分线定理）2.如图△ABC 为等腰三角形，且顶角A 为36°. 求BCAB的值3.已知线段AB 的长为4cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，则线段BP 的长为多少cm ？ 解：①当BP>AP 时，由黄金分割含义得.BPABAP BP = 由于 AB=4cm ，所以 AP=4-BP)4(42BP BP -=01642=-+BP BP 5222544264164±-=±-=+±-=BP因为 0522<--（不合题意，舍去） ②当BP<AP 时，由于cm AP )252(-= 所以 cm BP )526()252(4-=--= 所以 BP 长为cm cm )526()252(--或。
ED C B ACBA【黄金分割点定义】线段上一点把线段分成两段，若较长的线段与较短线段之比等于原线段长度与较长线段之比，（即较长的线段长度是较短线段长度和原线段长度的比例中项），则这样的分割叫做黄金分割，这一点称为线段的黄金分割点，此时较长线段为原线段的0.618。
本题不知BP 是较长部分，还是较短部分，所以解本题时要分两种情况讨论。
4.如图，△ABC 中，DE//BC, P 为BC 上一点，F 是AP 延长线上一点，FD 、FE 分别交BC 于点G 、H. 求证:PG PH=PB PC5.如图，AC=BC, F 为底边AB 上一点，BF =AF mn（m 、n >0）.取CF 中点D, 连AD 并延长交BC 于E. (1)求BEEC的值； （2）若BE=2EC, 则直线CF 与边AB 有怎样的位置关系？并证明之。