相似形和比例线段(一)

相似形与比例线段

【放缩与相似形】

如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 【比例线段】

线段的比：在同一单位长度下，两条线段的倍数关系叫做这两条线段的比。即两条线段的长度的比。

如：线段a 与b 的比，记作b

a （或a ：

b ），若b

a ＝3

1，则说明a 是b 的3

1，b 是a 的3倍。

比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段的长度的比相等，即d

c b

a =（或a ：b=c ：d ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也

称这四条线段成比例。在ab=cd 中，a 叫做第一比例项，b 叫做第二比例项，c 叫做第三比例项，d 叫做第四比例项。

如果a ∶b =c ∶d ，那么ad=cb 。特别地，若a ∶b=b ∶d ，即c=b ，则b 叫a ，d 的比例中项，b 2=ad 。常用这种变形方式转化字母间的关系：

①d

c b

a =，②d

b

c a =，③a c b

d =，④a b c d =，⑤b a d c =，⑥c a d b =，⑦b d a c =，⑧c

d a b =。

合比定理：d

d c b b a d c b a ±=±⇒=

等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b b

a n

d b m c a n

m d

c b

a

比例尺：比例尺＝实际距离

图上距离，即图上距离＝实际距离×比例尺。

黄金分割如果点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC 2=BC ·AB ，那

么称线段AB 被点C 黄金分割。其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，其准确值为2

15-，近似值为0.618。

【三角形一边的平行线】

三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。

三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

如果D ,E分别在AB,AC的延长线上时，或在反向延长线上时，以上结论同样成立.

三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

符号语言：∵

EC

AE

DB

AD

=)

(

AC

EC

AB

DB

AC

AE

AB

AD

=

=或

∴DE∥BC

熟悉定理的几种变形

井字型 A字型 X字型倒 A字型畸形(O无用)

三角形的重心：三角形三条中线的交点（交于一点）。

三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。

平行线分线段成比例定理

（1）、定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。

（2）、推论：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。

B C

【课堂练习】

一、填空

1．已知a ∶b ＝3∶1且a ＋b ＝8，则a －b ＝ 。

2．已知n m =q p =32

(n+q≠0)，则q n p m ++＝ 。

3．一个三角形三边的比为2∶3∶4则这个三角边上的高的比为 。

4．线段a ＝3，b ＝4，c ＝5则b ，a ，c 的第四比例项是 ，b 、c 的比例中项是 ．

5．直角三角形的三边为a ，a+ b ，a+2b 且a ＞0,b ＞0则a ∶b ＝ 。 6．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，若AP ＞BP ，AP=5-1，则AB ＝ 。

7．△ABC 的周长为100cm ，如图若AB AE =AC AF =BC EF =53

，△AEF 的周长为 。

8．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若AF ∶FD ＝1∶3则AE ∶EB ＝ ；若AF ∶FD ＝1∶n （n ＞0），则AE ∶EB= 。

二、选择

9. 已知a 2=b 1，则b a b

a -+2的值（ ）

A ．-5

B ．5

C ．-4

D ．4

10．已知3a ＝5b ，下列各式的值在2与3之间的是（ ）

A ．a b a +

B ．b b a +

C ．b b a -

D ．b a b a -+

11．如图BD ，CE 是△ABC 的中线，P ，Q 分别是BD ，CE 的中点，则PQ ∶BC 等于（ ） A.1∶3 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶6

12.已知，如图l 1∥l 2∥l 3下面等式①AC AB =CF AD ②CA BC =FD EF ③DE AB =AC DF ④DE AB =BE AB

⑤

AB ∶BC ∶AC=DE ∶EF ∶DF 能成立的等式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

13．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，平行于梯形两底的直线交梯形两腰AB ，CD 及两条对角线BD 、AC 分别于点E 、F 、G 、H ，若AE ∶EB=HG ∶GE=2∶1，则用AD ∶BC 等于（ ） A ．1∶2

B ．1∶2

C ．2∶3

D ．3∶4

14．如图，l 1∥l 2，AF ∶FB ＝2∶5，BC ∶CD=4∶1，则AE ∶EC ＝（ ） A ．5∶2 B ．4∶1 C ．2∶1 D ．3∶2

三、解答下列各题

15．在边长为8的正方形ABCD 中，P 为AD 上一点，且AP ＝5，BP 的垂直平分线交AB 、DC 分别于E ，F ，Q 为垂足，试求EQ ：QF 的值．

16．如图，AC ∥BD ，AD 和BC 相交于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，且AE ＝p ，BD ＝q ，

BF ＝r ，（1）试证P 1+q 1=r 1

,（2）图中AC ＝20,BD ＝80，试求EF 的值。