最新高考数学创新题小题汇编答案

1高考数学创新题小题汇编1.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知点()1,0B ，点M 是直线30(0)kx y k k -++=>上的动点，(,)d B M 的最小值为 ． 【解析】 4；32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+⎪⎨⎪+<<⎩≥． 先把直线方程改写成：3(1)y k x -=+，则直线是过定点(1, 3)C -且斜率为正的直线．设直线与x 轴交于点P ，与1x =交于点Q ，则PBQ 构成直角三角形．如右图所示．先考虑1k >的情形：此时若M 介于PQ 间例如点3M ，我们有：333333(,)d B M BN N M BN N P BP =+>+=，也就是M 处在PQ 间时(,)d B M 在P 点取最小值；若M 在QP 延长线上例如点1M ：1111(,)d B M BN N M BP =+>，所以此时(,)d B M 在P 点取最小值；若M 在PQ 延长线上例如点2M ：2222(,)d B M BN N M BQ =+>，所以此时(,)d B M 在Q 点取最小值；又由于1k >时BQ BP >，所以综合知3min (,)2d B M BP k==+； 类似地可以知道：若1k <，则M 分别在QP 延长线上、PQ 间、PQ 延长线上时，(,)d B M 分别在P 点，Q 点，Q 点取最小值，又此时BP BQ >，故min (,)23d B M BQ k ==+； 若1k =则BP BQ =，(,)d B M 在PQ 间任意一点都取到最小值．2.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O 与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是 ；圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是 ． 【解析】． 第一问，可直接利用折线距离的几何定义：设直线20x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点M 、N：则)M，(N ；当点Q 在MN 的延长线上时，(,)(,)d O Q d O N ≥；当点Q 在NM 的延长线上时，(,)(,)d O Q d O M ≥；当点Q 在MN 之间时，(,)(,)d O Q d O M ≥，min (,)(,)d O Q d O M ==Q 点与M 点重合时取到等号．第二问，类似第一问可知，当1P 在单位圆上固定一点时，对于直线MN 上任一点1Q ，当且仅当11PQ x ∥轴时1111(,)d PQ PQ =取最小； 为了求水平距离11PQ 的最小值，如图所示，过1P作x 轴的平行线交直线MN 于1Q ，过1P 作直线MN 的垂线垂足为1H ；则1111PHPQ 为定值，为直线MN 的倾角的正弦：2∴1111PQ ；求水平距离11PQ 的最小值即为求11PH 的最小值； 过O 点作直线MN 的垂线，交单位圆于P ，垂足为H ，则当且仅当1P 与P 重合时，11P H 取到最小值PH ；此时过P 作x 轴的平行线交直线MN 于Q ，则11PQ 也取到最小值PQ ；∵2OH ==，1OP =，∴1PH =，PQ ==，∴11min (,)d P Q PQ ==，当11,P Q 分别与,P Q 重合时取到等号． 3在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 【解析】 ①③④．①设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1x y +=，这是4条线段围成的正方形，如上图所示．②自然错误．更一般地，易见到点P 的“折线距离”等于a 的点的集合同样也是以P 为中心半对角线长为a 的斜45︒正方形，这是欧氏距离下圆的近似；③设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1124x x y ++-+=，整理得1122x x y ++-=-，画出其图像是上图所示的六边形，面积为6．更一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”和为2()a a c >的点的集合也是类似的对称六边形，以MN 为对称轴，以MN 中点为对称中心，长为2a ，高为2()a c -，水平边长为2c ，面积222()S a c =-，这是欧氏距离下椭圆的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．④设点的坐标为(,)x y ，根据定义有111x x +--=，解得12x =±，这是两条竖直直线，如上图所示．更一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”差的绝对值为2()a a c <的点的集合也是两条竖直直线，与MN 中点距离为a ，这是欧氏距离下双曲线的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．4.已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数．给出下列函数：①()0f x =；②2()f x x =；③()sin cos f x x x =+；④2()1xf x x x =++；⑤()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均有1212()()2f x f x x x --≤．其中是F 函数的序号为（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①④⑤D ．①②⑤3【解析】 C ．()f x m x ≤⇔0x =时(0)0f =，0x ≠时()f x m x≤，即过原点的弦斜率有界． ①()0f x =显然满足上面性质； ②2()f x x =，(0)0f =但0x ≠时()f x x x=无界；③()sin cos f x x x =+，(0)0f ≠； ④2()1xf x x x =++，(0)0f =且0x ≠时2()1413f x x x x =++≤；⑤如右图所示，()f x 是奇函数则(0)0f =；又1212()()2f x f x x x --≤恒成立，所以所有的弦斜率绝对值有界2，自然2也是过原点的弦的界，所以()2f x x≤（也可以直接取20x =得到）．．5.定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的 “新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（x π⎛⎫∈π ⎪2⎝⎭，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．（γαβ>>）()g x x =，()1g x '=，∴1α=；()ln(1)h x x =+，1()1h x x '=+，∴1ln(1)1ββ+=+；()cos x x ϕ=，()sin x x ϕ'=-，∴cos sin γγ=-，∵γπ⎛⎫∈π ⎪2⎝⎭，，∴3π4γ=因为11y x =+在[)0,+∞内单调递减且从1趋向于0，ln(1)x +在区间[)0,+∞内单调递增从0趋向于+∞，∴两者有唯一交点，即β有唯一解；∵1ln(01)01>++，1ln(11)0.69311<+=+，∴01β<< ∴γαβ>>6.若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下面给出的四个集合τ： ①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，；②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，；③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，；④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，． 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ． 【解析】 ②④．①不是拓扑，因为{}a τ∈，{}c τ∈，但{}{}a c τ∉； ②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足； ③不是拓扑，因为全集{,,}X a b c τ=∉； ④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足．7.平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过()k k *∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数．下列函数：4①()sin πf x x =；②2()π(1)3f x x =-+；③21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭； ④0.6()log (1)f x x =+；⑤1()1f x x =-，其中是一阶格点函数的有 ．（填上所有满足题意的函数的序号）答案：②④．①()sin πf x x =：∵sin π0,m m =∈Z ，∴(,0)m 在()f x 上，()f x 经过无穷个格点(,0)m ； ②2()π(1)3f x x =-+：(1)3f =，当1,m m ≠∈Z 时易见()f m 为无理数，∴()f x 只经过(1,3)这个格点； ③21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭： 当2,m m ∈Z ≤时221()33m m f m --⎛⎫== ⎪⎝⎭都为整数，∴()f x 经过无穷个格点2(,3)m m -；④0.6()log (1)f x x =+：(0)0f =；若(), ,f m n m n =∈Z ，则315nm ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于3,5互素，左边当且仅当0n =时才为整数，∴()f x 只经过原点这个格点；⑤1()1f x x =-：若(), ,f m n m n =∈Z ，则(1)1m n -=，解得(,)(2,1)m n =或01-（，），∴()f x 经过两个格点．8.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，B 两点，且PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（ ） A ．直线l 上的所有点都是“A 点” B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点” C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“A 点”【解析】 A本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型． 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设()A m n ，，(1)P x x -， 则(221)B m x n x --+，， ∵A ，B 在2y x =上，∴2221(2)n m n x m x ⎧=⎪⎨-+=-⎪⎩消去n ，整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-= ① ∵222(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立，∴方程①恒有实数解，∴应选A ．9.某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点(, )k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，1112155512 55k k k k k k x x T T k k y y TT --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩； ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此y=x-1y=x 2yxPOB AyxM N O P QRS TU45-1。