最新高考数学创新题小题汇编答案

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高考数学创新题小题汇编

1.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为

1212(,)d P Q x x y y =-+-．若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知点()1,0B ，点M 是直线30(0)kx y k k -++=>上的动点，(,)d B M 的最小值为 ． 【解析】 4；32 (1)

2 3 (01)

k k

k k ⎧

+⎪⎨⎪+<<⎩≥． 先把直线方程改写成：3(1)y k x -=+，则直线是过定点(1, 3)C -且斜率为正的直线．设直线与x 轴交于点P ，与1x =交于点Q ，则PBQ 构成直角三角形．如右图所示．

先考虑1k >的情形：此时若M 介于PQ 间例如点3M ，我们有：

333333(,)d B M BN N M BN N P BP =+>+=，也就是M 处在PQ 间时(,)d B M 在P 点取最小值；若M 在QP 延长线上例如点1M ：1111(,)d B M BN N M BP =+>，所以此时(,)d B M 在P 点

取最小值；若M 在PQ 延长线上例如点2M ：2222(,)d B M BN N M BQ =+>，所以此时(,)d B M 在Q 点取最小值；又由于1k >时BQ BP >，所以综合知3

min (,)2d B M BP k

==+

； 类似地可以知道：若1k <，则M 分别在QP 延长线上、PQ 间、PQ 延长线上时，(,)d B M 分

别在P 点，Q 点，Q 点取最小值，又此时BP BQ >，故min (,)23d B M BQ k ==+； 若1k =则BP BQ =，(,)d B M 在PQ 间任意一点都取到最小值．

2.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O 与直

线

20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是 ；圆

221x y +=

上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是 ． 【解析】

． 第一问，可直接利用折线距离的几何定义：

设直线20x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点M 、N

：则)M

，(N ；当点Q 在MN 的延长线上时，

(,)(,)d O Q d O N ≥；当点Q 在NM 的延长线上时，(,)(,)d O Q d O M ≥；当点Q 在MN 之间时，(,)(,)d O Q d O M ≥

，min (,)(,)d O Q d O M ==Q 点与M 点重合时取到等号．

第二问，类似第一问可知，当1P 在单位圆上固定一点时，对于直线MN 上任一点1Q ，当且仅当11PQ x ∥轴时1111(,)d P

Q PQ =取最小； 为了求水平距离11PQ 的最小值，如图所示，过1P

作x 轴的平行线交直线MN 于1Q ，过1P 作直线MN 的垂线垂足为1H ；则1111

PH

PQ 为定值，为直线MN 的倾角的正弦：

2

∴1111PQ ；求水平距离11PQ 的最小值即为求11PH 的最小值； 过O 点作直线MN 的垂线，交单位圆于P ，垂足为H ，则当且仅当1P 与P 重合时，11P H 取到

最小值PH ；此时过P 作x 轴的平行线交直线MN 于Q ，则11PQ 也取到最小值PQ ；

∵2OH =

=，1OP =，∴1PH =

，PQ =

=

，

∴11min (,)d P Q PQ ==

，当11,P Q 分别与,P Q 重合时取到等号． 3在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距

离”．在这个定义下，给出下列命题：

①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；

③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 【解析】 ①③④．

①设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1x y +=，这是4条线段围成的正方形，如上图所示．②自然错误．更一般地，易见到点P 的“折线距离”等于a 的点的集合同样也是以P 为中心半对角线长为a 的斜45︒正方形，这是欧氏距离下圆的近似；

③设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1124x x y ++-+=，整理得11

22

x x y ++-=-

，画

出其图像是上图所示的六边形，面积为6．更一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”和为2()a a c >的点的集合也是类似的对称六边形，以MN 为对称轴，以MN 中点为对称中心，长为2a ，高为2()a c -，水平边长为2c ，面积222()S a c =-，这是欧氏距离下椭圆的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．

④设点的坐标为(,)x y ，根据定义有111x x +--=，解得1

2

x =±，这是两条竖直直线，如

上图所示．更一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”差的绝对值为2()a a c <的点的集合也是两条竖直直线，与MN 中点距离为a ，这是欧氏距离下双曲线的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．

4.已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数．给出下列函数：①()0f x =；②2()f x x =；③()sin cos f x x x =+；④2

()1

x

f x x x =++；⑤()

f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均有

1212()()2f x f x x x --≤．其中是F 函数的序号为（ ）

A ．①②④

B ．②③④

C ．①④⑤

D ．①②⑤