高等代数 第4章多项式 4.5 多项式的因式分解
根据高中数学代数定理总结：多项式的因式分解
根据高中数学代数定理总结：多项式的因式分解多项式的因式分解是高中数学中一个重要的概念和技巧，在解决各种数学问题和方程时经常会用到。
通过因式分解，我们可以将一个多项式表示为几个较简单的因子的乘积形式。
1. 一次因式分解一次因式分解是指将形如`ax + b` 的一次多项式进行因式分解。
其中，`a` 和 `b` 是实数，且`a ≠ 0`。
1.1 公因式法公因式法是最常见的一次因式分解方法。
它的思路是找到多项式中所有项的公因式，然后提取出来。
例如，对于多项式 `2x + 4`，我们可以提取出 `2` 作为公因式，得到 `2(x+2)`。
1.2 公式法公式法是指根据一次多项式的特定形式，直接利用公式进行因式分解。
例如，一次多项式 `x^2 - 4` 可以使用差平方公式进行因式分解，得到 `(x+2)(x-2)`。
2. 二次因式分解二次因式分解是将二次多项式进行因式分解的方法。
一般情况下，二次多项式的因式分解需要用到平方差公式、完全平方公式或因式分解公式。
2.1 平方差公式平方差公式适用于形如 `x^2 - a^2` 的二次多项式，其中 `a` 是实数。
例如，二次多项式 `x^2 - 9` 可以利用平方差公式进行因式分解，得到 `(x+3)(x-3)`。
2.2 完全平方公式完全平方公式适用于形如 `x^2 + 2ab + b^2` 的二次多项式。
例如，二次多项式 `x^2 + 6x + 9` 可以利用完全平方公式进行因式分解，得到 `(x+3)^2`。
2.3 因式分解公式因式分解公式适用于一般的二次多项式。
例如，二次多项式 `x^2 + 5x + 6` 可以使用因式分解公式进行因式分解，得到 `(x+2)(x+3)`。
总结多项式的因式分解是一个重要的数学概念，通过因式分解可以将复杂的多项式简化为较简单的因子形式。
一次因式分解可以使用公因式法或公式法，而二次因式分解则需要根据不同的情况选择平方差公式、完全平方公式或因式分解公式。
多项式的因式分解方法
多项式的因式分解方法在代数学中，多项式因式分解是将一个多项式拆分成一些乘积的形式，以便更好地理解和求解问题。
多项式因式分解是代数中重要的解题方法之一，它可以帮助我们简化计算，寻找方程的解，以及进行数学模型的建立等。
本文将介绍几种常见的多项式因式分解方法。
一、公式法公式法是多项式因式分解中最常见的方法之一。
它基于一些常见的应用公式和恒等式，通过将多项式转化为已知的因式形式进行分解。
1. 平方差公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$平方差公式可以用来因式分解具有平方项的多项式。
例如，对于多项式 $x^2+6x+9$，我们可以将其看作是 $(x+3)^2$，因此可以分解为$(x+3)(x+3)$。
2. 差平方公式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$差平方公式和平方差公式相似，只是符号相反。
例如，对于多项式$x^2-10x+25$，可以将其看作是 $(x-5)^2$，因此可以分解为 $(x-5)(x-5)$。
3. 因式分解公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$因式分解公式适用于具有差平方形式的多项式。
例如，对于多项式$x^2-4$，我们可以将其分解成 $(x+2)(x-2)$。
二、提公因式法提公因式法是另一种常用的多项式因式分解方法，它利用多项式中的公因式进行分解。
1. 提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，并将剩余部分分解为简单的因式形式。
例如，对于多项式 $3x^2+6x$，我们可以提取公因式 $3x$，然后将剩余部分 $x+2$ 进行分解，最终得到 $3x(x+2)$。
2. 分组分解：对于某些特殊的多项式，可以将其通过分组分解的方法进行因式分解。
例如，对于多项式 $3x^3+3x^2+4x+4$，我们可以将其分成两组，然后提取公因式，得到 $3x^2(x+1)+4(x+1)$，进而将$(x+1)$ 提取出来，得到最终的因式分解形式 $(x+1)(3x^2+4)$。
高等代数
说明
的标准分解式, ① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
( f ( x ), g( x ) ) .
f ( x ), g ( x ) 的标准
( f ( x ), g( x ) ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积, 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个. 中较小的一个.
(
)(
x2 + 2
)
(在有理数域上) 在有理数域上)
= x 2 = x 2
(
)(
x+ 2
)(
x2 + 2
)
(在实数域上) 在实数域上)
(
) ( x + 2 ) ( x 2i ) ( x +
在复数域上) 2i (在复数域上)
)
§1.5 因式分解定理
一,不可约多项式
定义: 定义: 设 p( x ) ∈ P[ x ] ,且 ( p ( x ) ) ≥ 1 ,若 p( x )
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x ) ps ( x )
= q1 ( x )q2 ( x ) qt ( x )
⑴
pi ( x ), q j ( x ) ( i = 1,2, , s ; j = 1,2, , t . ) 都是不可约
多项式. 多项式 作归纳法. 对 s 作归纳法. 若 s = 1, 则必有 s = t = 1, f ( x ) = p1 ( x ) = q1 ( x )
§1.5 因式分解定理
例如, 例如,若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
多项式的因式分解
多项式的因式分解多项式的因式分解是高等代数，初等数学中非常重要的一个概念，它是对于一元或多元多项式，即一组有限个集合中的有序项它们乘积相加得到的函数的分解式。
该概念常常应用在初等数学、高等数学和应用数学中，但它也是一个强大的工具，可以用来解决许多科学，工程和技术问题。
因式分解可以定义为把一个多项式拆分成几个单项式的乘积，从而帮助我们理解多项式的特征。
如果一个多项式有n项，那么它可以被分解成n个因子乘积，每个因子也被称为一个项。
因式分解可以使多项式变得更容易理解，例如，如果一个多项式被分解成几个单项式的乘积，就可以把它用简单的方法表示出来。
因式分解的技术是由倍数原理引出的。
倍数原理的观点是，一个多项式可以把各个项的系数都看作一个因子，它们的乘积就得到了这个多项式的值。
这意味着，可以把一个多项式的每一项都分解成一个常数和一个变量的乘积，然后把所有的项相乘获得这个多项式。
因式分解也可以用来解决多元多项式的方程。
多元多项式的方程包括一组有关某些变量的多项式方程，它们之间可能有不同种类的关系，比如等式、不等式和线性等式等。
如果一个多元多项式的方程是可解的，那么可以通过因式分解法来解决它。
在解决这类方程时，首先要把多元多项式的各个项都分解为几个单项式的乘积，然后把它们两两化成简单式，从而解出变量的值。
多项式的因式分解也可以用来解决求根问题，即把一个多项式分解为一个常数和一组变量的乘积，从而找出多项式的根。
为了找出多项式的根，首先要把多项式的各个项都分解成几个单项式的乘积，然后把它们两两化简，从而找出多项式的根。
多项式的因式分解是一种非常重要的知识，它可以帮助我们解决许多复杂的数学问题，例如求根、多元多项式的方程求解等。
同时，它也可以帮助我们理解一个多项式的特征，从而更加有效地掌握它。
因此，多项式的因式分解是一种非常有用的知识，它可以在解决复杂数学问题和掌握多项式之间发挥重要作用。
关于多项式的因式分解
关于多项式的因式分解多项式因式分解是一项重要的基本技能训练，是代数运算中一种重要的恒等变形，在分式运算、解方程及各种恒等变换中，都要用到因式分解。
本文通过对因式分解的基本方法的介绍，通过一些数学例题的分析，感受因式分解与整式的乘法恰好相反，体会数学的应用价值，激发学习兴趣，逐步形成良好的数学情操，从而培养探索问题和解决问题的能力。
1.多项式因式分解的定义及特点把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做多项式的因式分解。
多项式的因式分解，是一种与多项式乘法相反的恒等变形过程，和多项式乘法有固定的运算程序截然不同，因式分解往往使人感到难度较大，但也正因为没有刻板程序可以依循。
因式分解的解题训练成为培养联想能力和发散思维能力的有效途径。
多项式的因式分解具有以下几个特点：1.1结果的相对性由于一个多项式的可约与不可约都是相对于某个数域而言的，因此一道因式分解题究竟分解到何时才算结束，应视给定数域而异，例如初中阶段的因式分解一般在有理数集范围内讨论，而到了高中阶段，就可以在实数集和复数集内讨论。
1.2解法的多样性对于给定数域上的多项式的因式分解，在高等代数里已经证明了这种分解的结果除常数因式外是唯一的。
但是，很多因式分解题的解法是不唯一的，特别是在用分组分解法时，由于拆项组合的方式不同，就产生了多种不同的解法。
1.3高度的技巧性面对某些陌生的因式分解题，往往使人感到束手无策，但一经点拨，会顿觉豁然开朗。
2.多项式因式分解的方法及应用因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，本文就对这几种基本的方法进行介绍。
2.1提公因式法一般的，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
它是因式分解中最普遍，也是最基本的方法。
具体做法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
高等代数 第4章多项式 4.6 重因式与重根
k 1 k p p x f x , x 而 k N , 如果
f x。
p x 就称 f x 的单因式， 当k=1时， 当k>1时，p x 称为 f x 的重因式。
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2 去除 f x x5 x3 2x2 8x 5 的商式和余式。 解：由综合除法
1 0
2 2
1
2
10
8
16
5
48
2
1
4 5
8
24
53
4 3 2 q x x 2 x 5 x 8x 24 因此
一阶导数 f x 的导数称为 f x 的二阶导数， 记为
f x
2018/10/5 高等代数
f x 的导数称为 f x 的三阶导数，记为 f
x
…………
f x 的k阶导数记为f
1、
(k )
x
多项式的求导法则：
f x g x f x g x ;
c f c F
映射f确定了数域F上的一个函数 f x , f x 被称 为F上的多项式函数。
2018/10/5 高等代数
当F=R时，f x 就是数学分析中所讨论的多项
式函数。
若 u x f x g x , v x f x g x , 则 u c f c g c , v c f c g c . 二、余式定理和综合除法 用一次多项式x-c去 定理1.7.1（余式定理）： 除多项式 f x , 所得的余式是 f c 。 则 r f c 。
《高等代数课后答案》(邱著)
《高等代数课后答案》(邱著)高等代数之后的答案(秋微写的)《高等代数》的内容由浅入深，循序渐进，符合当前两位学生的教学实践。
可作为高校数学与应用数学、信息与计算科学专业的教材，也可作为相关专业的教师、学生和自学者的参考。
以下是阳光网编著的《高等代数》答案(邱著)阅读地址。
希望你喜欢！点击进入：高等代数课后答案地址(邱执笔)高等代数(秋微著)目录前言(一)第一章决定因素(1)1.1一些预备知识(1)1.2二阶和三阶行列式(3)1.3n n阶行列式(7)1.4行列式的计算(18)1.5克莱姆法则(28)1.6行列式的一些应用(31)练习1(A)(35)练习1(B)(38)第二章矩阵(41)2.1矩阵的概念(41)2.2矩阵运算(44)2.3初等变换和初等矩阵(54)2.4可逆矩阵(67)2.5矩阵的秩(76)2.6分块矩阵及其应用(79)练习2(A)(90)练习2(B)(93)第三章线性空间(95)3.1矢量(96)3.2向量的线性相关性(98)3.3向量组的秩(103)3.4矩阵的行秩和列秩(106)3.5线性空间(111)3.6基础、尺寸和坐标(114)3.7基变换和转移矩阵(118)3.8子空间(122)3.9同构(131)3.10线性方程(135)练习3(A)(147)练习3(B)(150)第四章线性变换(152)4.1线性变换及其运算(152)4.2线性变换矩阵(156)4.3线性变换的范围和核心(165)4.4不变子空间(169)练习4(A)(173)练习4(B)(175)第五章多项式(176)5.1一元多项式(176)5.2多项式可整除(178)5.3倍大公因数(181)5.4因式分解定理(186)5.5重因子(189)5.6多项式函数(191)5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198)5.9多元多项式(202)5.10对称多项式(206)练习5(A)(211)练习5(B)(213)第六章特征值(216)6.1特征值和特征向量(216)6.2特征多项式(221)6.3对角化(225)练习6(A)(231)练习6(B)(232)第七章-矩阵(234)7.1-矩阵及其初等变换(234)7.2-矩阵的标准型(238)7.3不变因子(242)7.4矩阵相似性的确定(245)7.5基本因素(247)7.6乔丹范式(251)7.7x小多项式(256)练习7(A)(259)第八章二次型(261)8.1二次型及其矩阵表示(261)8.2将二次型转化为标准型(264)8.3惯性定理(271)8.4正定二次型(274)练习8(A)(279)练习8(B)(280)第九章欧几里得空间(282)9.1欧氏空间的定义和基本性质(282) 9.2标准正交基(285)9.3正交子空间(291)9.4正交变换和对称变换(293)9.5实对称方阵的正交相似性(297)练习9(A)(303)练习9(B)(306)练习答案(308)参考文献312。
多项式的定义及因式分解的步骤
多项式的定义及因式分解的步骤
在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式。
多项式因式分解的步骤是先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。
1
在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式。
多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。
其中多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式的加法，是指多项式中同类项的系数相加，字母保持不变(即合并同类项)。
多项式的乘法,是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项。
2
1、如果多项式的首项为负，应先提取负号。
这里的“负”，指“负号”。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式;
要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1;提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。
高等代数中的多项式 基本概念与计算方法
高等代数中的多项式基本概念与计算方法高等代数中的多项式：基本概念与计算方法在高等代数中，多项式是一种重要的数学对象。
它是由各个数乘以一个（或多个）不同幂次的未知数，并加以相应系数得到的代数表达式。
本文将介绍多项式的基本概念以及常用的计算方法。
1. 多项式的定义多项式由一系列的单项式相加或相减而得。
单项式由一个数与若干个未知数的乘积构成，其系数和指数可以是实数或复数。
一个常数也可以看作是只有零个未知数的单项式。
2. 多项式的表示一般来说，多项式的表示形式为：P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0其中，P(x)代表多项式，x是未知数，a_n,...,a_0是系数，n是多项式的次数。
系数可以为实数或复数，次数n是一个非负整数。
3. 多项式的运算（1）多项式的加法和减法：两个多项式相加或相减的规则是将对应的项合并。
例如，给定多项式P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x^2 - x + 4则P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 - x + 4) = 5x^2 + x + 5（2）多项式的乘法：多项式的乘法是将每一项相乘，并将同类项合并。
例如，给定多项式P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 2x - 1则P(x) × Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) × (2x - 1) = 6x^3 -1x^2 + 4x - 14. 多项式的因式分解多项式的因式分解在很多应用中都有重要作用。
它是将一个多项式表示为几个较简单的因子相乘的形式。
例如，给定多项式P(x) = x^2 + 4x + 4可以进行因式分解为P(x) = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)^2这里的(x + 2)称为多项式P(x)的因子。
5. 多项式的求值给定一个多项式P(x)，我们可以通过给定的值x来求出P(x)的具体数值。
高等代数
a , b, c , d ∈ Q ,
则有
x ± y = (a ± c ) + ( b ± d ) 2 ∈ Q( 2), x y = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) 2 ∈ Q( 2)
设 a + b 2 ≠ 0,
§1.1 数域
也不为0 于是 a b 2 也不为0.
(否则,若 a b 2 = 0, 则 a = b 2, 否则, a = 2 ∈ Q, 于是有 b 矛盾) 或 a = 0, b = 0 a + b 2 = 0. 矛盾)
P1 = {2n + 1 | n ∈ Z },
P2 = { n 2 | n ∈ Z } = Z ( 2).
§1.1 数域
作业
1.若 P1 , P2为数域,证明:P1 ∩ P2也为数域. . 为数域,证明: 也为数域. 2.证明:集合 S = m m , n ∈ Z 是一个数环. 证明: n 是一个数环. 2 S是数域吗? 是数域吗? 是数域吗
0 ∈ P, 1 ∈ P .
于是有
m ∈ Z + , m = 1 + 1 + + 1 ∈ P
§1.1 数域
进而 有
m m , n ∈ Z , ∈ n
+
m m = 0 ∈ P. n n
而任意一个有理数可表成两个整数的商, 而任意一个有理数可表成两个整数的商,
∴ Q P.
§1.1 数域
附:
§1.1 数域
说明: 说明: 中任意两个数作某一运算的结果仍在P 1)若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在 若数集 中任意两个数作某一运算的结果仍在 对这个运算是封闭 中,则说数集P对这个运算是封闭的. 则说数集 对这个运算是封闭的 2)数域的等价定义:如果一个包含0,1在内的数 数域的等价定义:如果一个包含 , 在内的数 对于加法, 集P对于加法,减法,乘法与除法(除数不为0) 对于加法 减法,乘法与除法(除数不为0 是封闭的,则称集 为一个数域 为一个数域. 是封闭的,则称集P为一个数域.
《高等代数》数分高代定理大全
数分高代定理大全《高等代数》第一章带余除法 对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式(),()q x r x 存在，使()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的(),()q x r x 是唯一决定的.定理 1 对于数域P 上的任意两个多项式(),()f x g x ，其中()0,()|()g x g x f x ≠的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零.定理 2 对于[]P x 中任意两个多项式()f x ，()g x ，在[]P x 中存在一个最大公因式()d x ，且()d x 可以表示成()f x ，()g x 的一个组合，即有[]P x 中多项式(),()u x v x 使()()()()()d x u x f x v x g x =+.定理 3 []P x 中两个多项式()f x ，()g x 互素的充分必要条件是有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=.定理 4 如果((),())1f x g x =，且()|()()f x g x h x ，那么()|()f x h x .定理 5 如果()p x 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式(),()f x g x ，由()|()()p x f x g x 一定推出()|()p x f x 或者()|()p x g x .&因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式1212()()()()()()(),s t f x p x p x p x q x q x q x ==那么必有s t =，并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,,,i i i p x c q x i s ==其中(1,2,,)i c i s =是一些非零常数.定理 6 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，那么它是微商()f x '的1k -重因式.定理 7（余数定理） 用一次多项式x α-去除多项式()f x ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()f α.定理 8 []P x 中n 次多项式(0)n ≥在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算.定理 9 如果多项式()f x ，()g x 的次数都不超过n ，而它们对1n +个不同的数121,,n ααα+有相同的值，即()(),1,2,1,i i f g i n αα==+那么()()f x g x =.代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理 10（高斯（Gauss ）引理） 两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 定理 12 设110()n n n n f x a x a x a --=+++是一个整系数多项式，而rs是它的有理根，其中,r s 互素，那么必有0|,|n s a r a .特别地，如果()f x 的首项系数1n a =，那么()f x 的有理根是整根，而且是0a 的因子.)定理 13 （艾森斯坦（Eisenstein ）判别法） 设110()n n n n f x a x a x a --=+++是一个整系数多项式，如果有一个素数p ，使得1.|n p a /； 2.120|,,,n n p a a a --；3.20|p a /那么()f x 在有理数域上是不可约的.第二章 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 定理 2 任意一个n 级排列与排列12n 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.定理 3 设111212122212n n n n nna a a a a a d a a a =，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则下列公式成立：—1122,,0,.k i k i kn in d k i a A a A a A k i =⎧+++=⎨≠⎩当当 1122,,0,.l j l j nl nj d j a A a A a A j =⎧+++=⎨≠⎩当l 当l定理 4 （克拉默法则） 如果线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式0d A =≠，那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为1212,,,,nn d d d x x x d dd===其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项12,,,n b b b 所成的行列式，即1,11,111112,12,12122,1,11,1,2,,.j j n j j n j n j n j n n nna a ab a a a a b a d j n a a a b a -+-+-+==定理 5 如果齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵的行列式0A ≠，那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有0A =.@定理 6 （拉普拉斯定理） 设在行列式D 中任意取定了(11)k k n ≤≤-个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .定理 7 两个n 级行列式1112121222112n n n n nna a a a a a D a a a =和1112121222212n n n n nnb b b b b b D b b b =的乘积等于一个n 级行列式111212122212n n n n nnc c c c c c C c c c =，其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++.第三章定理 1 在齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 中，如果sn ，那么它必有非零解.定理 2 设12,,r 与1,,,r 2是两个向量组，如果1）向量组12,,r 可以经1,,,r 2线性表出，2）rs ，那么向量组12,,r 必线性相关..定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 定理 4 矩阵的行秩与列秩相等. 定理 5 n n 矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .定理 6 一矩阵的秩是r 的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有1r级子式全为零.定理 7 （线性方程组有解判别定理） 线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解的充分必要条件为它的系数矩阵111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与增广矩阵11121121222212n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有相同的秩。
1-5多项式的因式分解定理
§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式。
（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的。
如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数。
反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约。
由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的。
不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约。
2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除。
多项式的因式分解知识点总结
多项式的因式分解知识点总结多项式的因式分解是数学中的重要内容之一。
通过将多项式分解为较简单的因子，我们可以更好地理解和运用多项式在代数运算中的性质。
本文将对多项式的因式分解进行知识点总结。
一、因式分解的基本概念多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个较简单的因式相乘的形式的过程。
常见的多项式的因式分解包括线性因式、二次因式和高次多项式的因式分解。
二、线性因式分解线性因式是指次数为1的因式，其表达形式为$(x-a)$，其中a为常数。
对于形如$f(x)=ax+b$的一次多项式，若存在一个实数a使得$f(a)=0$，则多项式$f(x)$可被$(x-a)$整除，即$f(x)$可以写成$(x-a)$与一个次数较低的多项式的乘积形式。
三、二次因式分解二次因式是指次数为2的因式，其表达形式为$(x-a)(x-b)$，其中a 和b为常数。
对于形如$f(x)=ax^2+bx+c$的二次多项式，若其可以被二次因式$(x-a)(x-b)$整除，则多项式$f(x)$可以进行二次因式分解。
四、高次多项式的因式分解高次多项式的因式分解相对较为复杂，在一般情况下需要通过观察多项式的类型和使用适当的方法进行分解。
常见的高次多项式的因式分解方法包括公因式提取法、配方法、短除法和因式定理等。
1. 公因式提取法：当多项式中存在公因式时，可以通过提取公因式的方式进行因式分解。
例如，对于多项式$f(x)=3x^3+9x^2+6x$，可以提取公因式得到$f(x)=3x(x^2+3x+2)$，然后再对$(x^2+3x+2)$进行二次因式分解。
2. 配方法：对于特定形式的多项式，可以通过选取合适的配方方式将其因式分解。
例如，对于多项式$f(x)=x^2+5x+6$，可以使用常见的配方法$(x+2)(x+3)$进行因式分解。
3. 短除法：短除法是一种用于高次多项式的因式分解的方法。
通过逐步将多项式除以已知的因式，从而逐步缩小多项式的次数，最终得到完整的因式分解。
化繁为简的代数力高中数学多项式的因式分解方法总结
化繁为简的代数力高中数学多项式的因式分解方法总结数学中，多项式的因式分解是一项非常重要的技能。
通过将一个复杂的多项式分解为简单的因式，我们可以更轻松地理解和求解它。
在高中数学中，我们已经学习了很多种因式分解的方法，但是其中一些方法可能会比其他方法更常用或更适合特定类型的多项式。
本文将总结一些简单易行的代数力高中数学多项式的因式分解方法。
首先，我们需要知道一个多项式的因式分解是将它表示为一个或多个较简单的多项式相乘的过程。
对于一些基本的多项式，例如 $x^2-y^2$ 或$x^2+2xy+y^2$，它们可以通过一些公式或规律进行因式分解。
常用的方法包括“平方差公式”和“完全平方公式”。
其次，当多项式不能完全套用公式或规律进行因式分解时，我们需要采用“因式分解的方法”。
我们可以通过将多项式分解为几个较小的多项式，然后再对这些小多项式进行进一步分解来完成因式分解。
例如，对于多项式 $3x^3+9x^2+6x$，我们可以先把 $3x$ 提取出来得到 $3x(x^2+3x+2)$。
接着，对 $x^2+3x+2$ 进行分解，我们可以得到$(x+1)(x+2)$。
因此，原始多项式可以因式分解为 $3x(x+1)(x+2)$。
这个例子说明了采用“因式分解的方法”对复杂多项式进行因式分解的过程。
第三，在因式分解之前，化简多项式也是一个非常重要的过程。
我们可以尝试将多项式进行展开并合并同类项，以便更清晰地看到其中的模式。
特别地，当多项式中含有常数项时，我们可以尝试对其进行约分并简化，这将有助于简化因式分解的过程。
最后，我们需要不断练习，以掌握因式分解的技巧和方法。
我们可以通过解答数学作业、尝试各种类型的练习题和参加数学竞赛，来提高自己的因式分解能力。
综上所述，通过采用基本公式、因式分解的方法、化简多项式和不断练习，我们可以更轻松地进行高中数学多项式的因式分解。
化繁为简，找到使用因式分解方法的适当技巧，将有助于我们解决各种数学问题。
多项式的因式分解(教育知识)
∴ 也是为 f ( x)复根．
教书育人
5
定理5.14（实系数多项式因式分解定理）
f ( x) R[x]，若 ( f ( x)) 1， 则 f ( x)可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
教书育人
6
推论1
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)k1
教书育人
14
2. 整系数多项式的因式分解
定理5.16 若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
教书育人
15
推论 设 f ( x), g( x) 是整系数多项式，且 g( x)是本原
的，若 f ( x) g( x)h( x), h( x) Q[ x], 则 h( x) 必为整系数多项式．
但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个 一般的方法.
教书育人
10
② 我们知道，在C 上只有一次多项式才是不可约 多项式；
在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式；
但在 Q 上有任意次数的不可约多项式．如 xn 2, n Z .
如何判断 Q上多项式的不可约性呢?
教书育人
11
③ 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题． 这是因为任一有理数可表成两个整数的商．
( x2 pr x qr )kr
其中 c1,c2, ,cs , p1, , pr ,q1, ,qr R, k1, ,ks ,l1, ,ls Z ,
且 p2 4q 0, i 1,2 r ，即 x2 pi x qi 为
高中数学中的多项式与因式分解技巧
高中数学中的多项式与因式分解技巧多项式和因式分解是高中数学中的重要概念和技巧之一。
通过学习和掌握多项式和因式分解的相关知识，我们可以更好地理解和应用代数表达式，解决实际问题。
本文将介绍高中数学中的多项式和因式分解的基本概念、技巧和应用。
一、多项式的定义和基本操作多项式是由常数和变量的乘积相加减而成的代数式。
通常用字母表示变量，并用乘积的和来表示多项式。
例如，$2x^2 - 3xy + 4y^2$ 是一个二元多项式，$3x^3 - 2$ 是一个三次多项式。
多项式有两个重要的运算：加法和乘法。
在多项式的加法中，我们只需将同类项相加。
所谓同类项，是指具有相同幂次和相同系数的项。
例如，$3x^2$ 和 $-2x^2$ 是同类项，它们可以相加合并为 $x^2$。
在多项式的乘法中，我们需要将每个项相乘并根据指数的性质进行合并。
例如，$(2x - 1)(3x + 4)$ 可以展开为 $6x^2 + 5x - 4$。
二、多项式的因式分解因式分解是将一个多项式表示为若干个较简单的乘积的形式。
因式分解的目的是简化多项式的表达形式，便于进一步的运算和分析。
常见的因式分解技巧包括提取公因子、配方法和分组分解等。
接下来，我们将逐一介绍这些技巧。
1. 提取公因子：当多项式的每一项都能够被一个公因子整除时，我们可以将这个公因子提取出来并写在括号外面。
例如，$2x^2 + 4x =2x(x + 2)$。
2. 配方法：当多项式是两个二次项的和或差时，我们可以使用配方法进行因式分解。
例如，$x^2 + 5x + 6$ 可以写成 $(x + 2)(x + 3)$。
3. 分组分解：当多项式含有四个或更多项时，我们可以根据适当的分组，使用分组分解进行因式分解。
例如，$2x^3 + 3x^2 + 2x + 3$ 可以进行分组分解为 $(2x^3 + 3x^2) + (2x + 3)$，然后可以继续因式分解为 $x^2(2x + 3) + 1(2x + 3)$，最终得到 $(x^2 + 1)(2x + 3)$。
大一高代知识点因式分解
大一高代知识点因式分解大一高级代数知识点：因式分解在大一高级代数中，因式分解是一个重要而基础的知识点。
它是将多项式分解为较低次数的乘积的过程。
因式分解的应用非常广泛，可以帮助我们简化表达式、求解方程、计算散度等。
本文将介绍因式分解的基本概念、方法和应用。
一、基本概念1.1 多项式多项式是由常数和变量的幂次方以及它们的乘积和之和组成的代数表达式。
多项式的形式可以是：\[P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\]其中，n为多项式的次数，\(a_0,a_1, ..., a_n\)为系数，\(x\)为变量。
1.2 因式在多项式中，如果一个代数式可以整除该多项式且导致商代数式为整数，则称该代数式为多项式的因式。
例如，在多项式\(2x^2 + 4x\)中，\(2x\)是一个因式。
1.3 因式分解因式分解指的是将一个多项式拆分为较低次数的乘积形式。
通过因式分解，可以发现多项式中的共同因子，进而简化计算。
二、方法2.1 提取公因式提取公因式是一种常见的因式分解方法。
其基本思想是将多项式中的公共因子提取出来，从而实现分解。
例如，对于多项式\(6x^2 + 9x\)，可以提取公因式\(3x\)，得到分解式为：\(3x(2x + 3)\)。
2.2 二次因式分解对于二次多项式，可以使用二次因式分解法进行分解。
这种方法的关键在于找到两个与一次项系数的乘积等于常数项系数、与一次项系数之和等于一次项系数的因子。
例如，对于多项式\(x^2 + 5x + 6\)，可以进行如下的二次因式分解：\(x^2 + 2x + 3x + 6\)，然后将括号内的两部分进行分组，得到：\(x(x + 2) + 3(x + 2)\)，最终可以写为因式分解形式：\((x + 3)(x + 2)\)。
2.3 差平方公式差平方公式是一种特殊的因式分解方法，用于分解形式为\(a^2 - b^2\)的二次多项式。
高等代数多项式
PART 2
多项式的运算
2
多项式的运算
多项式的运算包括加 法、减法、乘法和除
法。具体来说
2
多项式的运算
加法
减法
乘法
除法
将两个多项式相加， 即将它们的对应项 系数相加，例如
$(3+4x)+(+6x)=8
+10x$
将两个多项式相减， 即将它们的对应项 系数相减，例如
$(3+4x)-(5+6x)=-
极值点是指函数 值从正值变为负 值或从负值变为
正值的地方
对于一个给定的多项 式函数$f(x)$，我 们可以找到其极值点
和最值点
这些点的求解通 常需要使用微积
分的方法
最值点是指函数 在其定义域内取 得最大值或最小
值的点
PART 6
多项式的泰勒展 开式
6
多项式的泰勒展开式
1
泰勒展开式是一种将一个 函数表示为无穷级数的方
数的等式。如果两个多项式函数满
足贝祖等式，则它们具有相同的根
-
-
感谢大家观看
THANK YOU FOR WATCHING !
汇报人：XXXXX
日期：XXXX
2023
PART 3
多项式的零点和 根
3
多项式的零点和根
零点：多项式的零点是指使得多项式等于0 的$x$的值。对于一个给定的多项式$f(x)$， 如果存在一个数$a$使得$f(a)=0$，那么我
们说$a$是多项式的根或零点
根：多项式的根是指使得多 项式等于0的数。在高等代数 中，我们通常使用根或零点
来表示同一个概念
1
2
PART 4
多项式的因式分 解
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
虽然根据多项式的标准分解式写出
f x, g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法 还是采用辗转相除法。
2020/3/2
高等代数
问：如何求 f x 的标准分解式？
由定义可得：
① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
② 多项式的可约性与数域有关（例 x2 2 在C上
可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质
性质1 若 p x不可约，则 cp x 也不可约，
c 0, c F.
问题： f xF x, f 0, f x 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理1.5.1： F x 中任一个nn 0 次多项式 f x
都可以分解成 F x 中不可约多项式的乘积。
2020/3/2
高等代数
证（归纳法）：
n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
其他因式，则称 f x 在数域F上可约。
等价定义：如果 F x 中一个 nn 0 次多项式 f x 可分解成 F x 中两个次数都小于 n 的多项式
g x,hx 的积，即 f x g xhx, 则称
f x 在数域F上可约。
2020/3/2
高等代数
高等代数
若 f x p1 x p2 xL pr x, 取 c1c2 L cr 1.
则 f x c1 p1 xc2 p2 xL cr pr x, 可见 f x 分解式不唯一。
定理1.5.2：F x 中任一个次数大于零的多项式
f x 分解成不可约多项式的乘积：
f x p1 x p2 xL pr x,
若不计零次多项式的差异和因式的顺序，f x 分解
成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两 个分解式：
2020/3/2
高等代数
f x p1 x p2 xL pr x q1 xq2 xL qs x.
若d x 1, 则 px, f x 1.
若d x cpx, 则 p x f x 性质3：若 p x 不可约且 p x f x g x
则 px f x 或 px gx.
证： 若 p x f x, 则结论成立；
若 p x f x ，又 p x 不可约。
在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个 多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在 分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不 能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再 分下去？
这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。
对于F x 中任一个多项式 f x, c F及cf x
总是 f x 的因式。这样的因式称为平凡因式。
首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，
并把相同的因式合并，于是，f x 的分解式就变成：
f
x
an
p k1 1
x
p k2 2
xL
p kl l
x.
p1 首x项,L系, p数l x 为 F x 的首一不可约多项式，
k1,L , kl 为自然数，这种分解式称为 f x 的标准分解
解：f (x) x2 2 2x 1 x2 2 2x 1
x 2 1x 2 1x 2 1x 2 1
2020/3/2
高等代数
我们感兴趣的是，除了平凡因式外，f x
还有没有其他的因式？
2020/3/2
高等代数
一、不可约多项式 1、定义
定义1.5.1 设 f x是 F x中次数大于零的多项式，
如果在 F x 中，f x 只有平凡因式，则称 f x 在数域
F上不可约。若 f x 除平凡因式外，在 F x中还有
上的标准分解式。
解： 在Q上：f x x2 2 x2 2;
在R上：f x x 2 x 2 x2 2;
在C上： f x x 2x 2x 2ix 2i.
例1.5.3：在R上分解 f x x4 6x2 1
则有① r=s；
② 适当调整 qj x 的位置后，有
qi x ci pi x , i 1, 2,L , r
）
证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）：
当r=1时，结论显然成立。
假设当 f x 分解成r-1个不可约因式时结论成立，
则当 f x 分解成r个因式时，有
在Rx上 f x x2 1 x2 2 (x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
如何知道 x a 是不是 f x 的一个因式？
x a 是 f x 的一个因式的充要条件是 f a 0.
2020/3/2
高等代数
例1.5.2：求 f x x4 4 在 Qx, Rx,Cx
f x n 时，
1、若 f x 不可约成立；
2、若 f x 可约，f x g xhx g n,h n.
由假设知 g x,hx 均可分解为不可约多项式的乘积。
问题：多项式 f x 分解成不可约多项式的乘积
是否唯一？
2020/3/2
由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且
q2 c11c1p2 c2 p2, qi ci pi , i 3, 4,L , r
故
qi ci pi , i 1, 2,L , r
三、标准（典型）分解式
在 f x 的分解中，可以把每个不可约因式的
2020/3/2
高等代数
式。
1. 每个多项式的标准分解式是唯一的。 2. 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项 式是否整除另一个多项式。
2020/3/2
高等代数
3. 利用多项式的标准分解式可以直接写出
f x,gx.
例如： f x 5 x 35 x 23 x 1, g x 7 x 33 x 14 x 1,
2020/3/2
高等代数
由性质2， px, f x 1. pu fv 1, pgu fgv g
px gx.
推论： 若 p x 不可约且 p x f1 xL fs x.
则 p x 必整除某个 fi x,1 i s.
二、因式分解
例1.5.1： 求 f x x4 3x2 2,
在 Qx, Rx 中的标准分解式。
解：利用带余除法，知 x 1, x 1 都是 f x 的因式，
即有 x2 1 f x。
在Qx上 f x x2 1 x2 2 x 1x 1x2 2
性质2 若 p x 是不可约多项式，f x F x,
2020/3/2
高等代数
则 p x f x px, f x 1. 证：设 px, f x d x,
由d x f x d x 1或 d x cpx.
f x p1 x p2 xL pr x q1 xq2 xL qs x.
2020/3/2
高等代数
由于 p1 x q1(x)q2(x)L qs (，x) 故存在某个qi 使 p1(x) qi (x)
为方便起见不防设 qi (x) 就是 q1(x) 。
q1 c1 p1 p2(x)L pr (x) c1q2 xL qs x