斐波那契数列通项公式的推导方法.
用母函数法推导斐波那契数列的通项公式
李文捷：用母函数法推导斐波那契数列的通项公式用母函数法推导斐波那契数列的通项公式李文捷（安徽师范大学，安徽芜湖，241000）摘 要：递推数列的通项公式的求解近年来吸引了许多数学工作者的注意，目前已经出现了诸如数学归纳法、特征方程法、待定系数法等求解方法。
受齐次线性微分方程的母函数解法的启发，研究人员利用母函数，力图寻找出著名的斐波那契数列通项公式的一种新的求解方法.关键词：递推数列；母函数；通项公式。
中图分类号：O174； 文献标识码：A ； 文章编号：1009-1114（2012）01-0043-03Derivation of the Common Term Formula Fibonaci's Seguence by Generating FunctionLI Wen-jieAbstract: The solution of the common term formula of the recurrence sequence recently has attracted much attention from mathematics researchers, and some methods has been given successfully such as mathematical induction, speciality equation, undetermined coefficient method, and so on. Enlightened from the solution of the generating function for omogenous linear differential equations, researchers try to find a new solution for the general term formula of Fibonaci's seguence by application of the generating function., Keywords: recurrence sequence; generating function; common term formula.收稿日期：2011-12-27作者简介：李文捷，女，1979年9月出生，毕业于安徽芜湖安徽师范大学数学系。
斐波那契数列的性质
斐波那契数列的性质一、通项公式：a n = √5〔1+√52〕n - √5〔1−√52〕n二、设p,q,u,v 为自然数且p = min{ p ,q , u , v} . 若p + q = u + v , 则对于斐波那契数列{ an} ,以下公式恒成立: a p a q - a u a v = (-1)p +1a u-p a q-u三、a n+1a n−1 - a n 2 = (−1)n (n >= 1, n 属于 N)四、a 2n+1 = a n+12 + a n 2 （n 属于N ）五、a n+12 - a n−12 = a n 2 (n >= 1, n 属于N)六、a n+m = a n−1a m + a n a m+1 (n >= 1, n 和m 属于N)七、a 2n+2a 2n−1 - a 2n a 2n+1 = 1(n >= 1, n 属于N)八、a m+n 2 - a m−n 2 = a 2m * a 2n (m > n >= 1)九、a n−1∗a n+2 - a n ∗a n+1 = (−1)n (n >= 2)十、{f 2n f 2n+1} 有极限且等于黄金分割率√5 −12下面是一篇文章：第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-12.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-14.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+16. f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
斐波那契数列解题技巧
斐波那契数列解题技巧斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学领域中一道著名的难题。
它的定义如下：第一个数和第二个数均为1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。
例如：1, 1, 2, 3, 5, 8，以此类推。
本文将介绍斐波那契数列的解题技巧及其应用。
斐波那契数列的通项公式为：F(n) = (1 / sqrt(5)) * [((1 + sqrt(5)) / 2)^n - ((1 - sqrt(5)) / 2)^n]。
通过这个公式，我们可以快速计算出斐波那契数列的任意一项。
此外，斐波那契数列还具有以下性质：从第三项开始，每一项与前一项的比值趋近于黄金分割比例0.618。
在求解斐波那契数列时，有多种方法可供选择。
以下列举四种常见方法：1.迭代法：通过不断迭代计算，求出斐波那契数列的每一项。
这种方法简单易懂，但计算速度较慢，适用于小范围数值计算。
2.递归法：利用斐波那契数列的定义，编写递归函数来求解。
这种方法在计算过程中会产生大量重复计算，效率较低，但在某些场景下可以简化代码。
3.矩阵求幂法：将斐波那契数列表示为矩阵形式，通过矩阵求幂来计算。
这种方法具有较高的计算效率，适用于大规模数值计算。
4.循环迭代法：在迭代法的基础上，采用循环结构提高计算速度。
这种方法结合了迭代法和递归法的优点，适用于一般场景。
斐波那契数列在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在金融领域，斐波那契数列可以用于预测价格走势；在计算机科学领域，斐波那契数列可用于查找最优路径；在生物学领域，斐波那契数列可以用于研究生物种群的增长规律。
此外，斐波那契数列还有一些拓展问题，如：寻找斐波那契数列的规律，预测未来项；研究斐波那契数列的数列极限；探讨斐波那契数列与其他数列的关系等。
总之，斐波那契数列是一道具有丰富内涵的数学问题。
通过掌握解题技巧，我们能更好地应对与之相关的题目。
同时，了解斐波那契数列的应用场景，能使我们更好地将其运用到实际问题中。
关于斐波那契数列的性质的简单证法及其推广和应用
关于斐波那契数列的性质的简单证法及其推广和应用
斐波那契数列是一种十分有名的数列，它可以通过以下公式定义：
F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
斐波那契数列有三个主要的性质：（1）它是一个等比数列，称为斐波那契数列的比率；（2）它是一个自相似的数列，每一项都是它的前两项之和；（3）它的后n项的和等于
Fn+2减去1。
证明斐波那契数列的性质，首先要证明它是一个等比数列，即F(n)/F(n-1)是一个常数，
也就是斐波那契数列的比率，因为F(n)/F(n-1)=F(n-1)/F(n-2)=φ，所以得证。
其次要证明斐波那契数列是一个自相似的数列，因为F(n)=F(n-1)+F(n-2)，所以得证。
最后要证明斐
波那契数列的后n项的和等于Fn+2减去1，这可以从公式F(n)=F(n-1)+F(n-2)推出，F(n-1)是F(n)和F(n-2)的和，F(n-2)也是F(n)和F(n-3)的和，因此F(n-1)+F(n-2)=FN+FN-3，
把它继续推导出F(n)+F(n-1)+F(n-2)=FN+2-1，因此得证。
斐波那契数列的这些性质不仅仅对斐波那契数列有效，它也可以推广到其他数列。
例如，
求解斐波数列时，我们也可以把它看作是一种等差数列，用它的性质可以简化求解问题的过程。
斐波那契数列的性质还可以应用于许多实际的工程项目中。
在科学计算中，它常常被用来进行存储内容和检索操作，这大大降低了检索数据所需要的内存空间大小；在数学形式中，它可以用来表示某一定性关系。
综上所述，斐波那契数列的性质可以简单证明，并且可以推广应用到各种数列，在工程科学计算中也有广泛的应用。
爬楼梯斐波那契数列通项
爬楼梯斐波那契数列通项
斐波那契数列在爬楼梯问题中应用的通项公式可以通过递归关系或矩阵快速幂等方法得到。
具体如下：
1.递归关系：在最简单的形式下，斐波那契数列由以下递推
关系定义：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n
是台阶数。
这个递归关系意味着到达当前台阶的方法数等于到达前
两个台阶的方法数之和。
2.备忘录策略优化：由于递归算法会进行大量重复计算，我们可以使
用备忘录方法来存储已计算的值，避免重复计算，从而提高效率。
3.矩阵快速幂：对于较大的n值，还可以使用矩阵快速幂来计算斐波
那契数，这在时间复杂度上比直接递归要高效得多。
4.闭合公式：斐波那契数列也有所谓的“闭合”公式（也称为Binet公
式），即F(n) = (φ^n - (-φ)^-n) / √5，其中φ = (1 + √5) / 2
是黄金分割比。
不过这个公式在数值计算时可能会遇到浮点数精度
问题。
5.动态规划：动态规划是解决此类问题的另一种高效方式。
通过自底
向上的方式逐步构建出到达每个台阶的方法数。
6.数据范围考虑：在实际编程中，还需要考虑数据范围和整型溢出的
问题。
对于大数情况，可能需要使用更大范围的数据类型或者采用
其他避免溢出的策略。
综上所述，斐波那契数列在爬楼梯问题中的应用非常广泛，其核心思想是将复杂问题分解为简单的子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。
这种思想在计算机科学和数学中有着广泛的应用。
根据递推关系求数列通项公式的几种方法
根据递推关系求数列通项公式的几种方法要求根据递推关系求解数列的通项公式，其实是要求找到一个能将数列的每一项都表示为n（项数）的函数的公式。
在数学中，有几种方法可以求解这类问题。
一、代数方法：对于一些简单的递推关系，可以尝试使用代数方法来求解数列的通项公式。
这种方法通过观察数列中的模式，尝试将递推关系转化为代数方程，然后解方程得到通项公式。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设通项公式为Fn=k1a^n+k2b^n，其中k1、k2为常数，a、b为待定数。
k1a^n+k2b^n=k1a^(n-1)+k2b^(n-1)+k1a^(n-2)+k2b^(n-2)整理得：k1a^2-k1a-k2=0。
解这个方程，可以得到a和b的值，然后将a和b的值代入通项公式中，即可求解斐波那契数列的通项公式。
二、特征根法：特征根法是求解一阶线性递推关系（如Fn=aFn-1+b）的通项公式的常用方法。
该方法的基本思想是，将递推关系转化为一个一阶线性常微分方程，然后解方程得到通项公式。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列满足的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1将递推关系转化为一阶线性常微分方程得到：y''-y'-y=0其中y=Fn。
解这个方程得到的特征根为α1=(1+√5)/2，α2=(1-√5)/2通项公式可以表示为：Fn=k1(α1)^n+k2(α2)^n其中k1、k2为常数。
利用初始条件F1=1，F2=1，可以求解出k1和k2的值，进而求解出斐波那契数列的通项公式。
三、母函数法：母函数法是一种求解递推关系的高效方法，尤其适用于求解求和问题。
该方法的基本思想是，将数列视为一个幂级数的系数列，通过构造母函数来解决递推关系。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设母函数为F(x)=F0+F1x+F2x^2+F3x^3+...F(x)=x(F(x)-F0)+x^2F(x)整理得：F(x)=F0+xF(x)+x^2F(x)移项得：F(x)=F0/(1-x-x^2)。
斐波那契数列通项公式求解
斐波那契数列通项公式求解
解：设a n-αa n-1=β（a n-1-αa n-2）。
得α+β=1。
αβ=-1。
构造方程x2-x-1=0，解得α=1-√5/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
所以
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)
由式1，式2，可得。
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)。
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
由此可得
感想：询问老师后知道斐波那契数列的通项公式还有很多解法。
由于所学知识有限，所以使用较为简单的初等代数方法，可以称之为待定系数法，也是数学学习中常用的一种思想方法。
值得注意的是待定系数法解斐波那契数列是构造等比数列而不是等差数列，这也需要通过自己的尝试来得出。
这个公式有一个特别之处，就是公式中带有√5和分数，但无论第一项第二项都是整数，所以想通过观察找规律来得出通项公式基本是不可能的，从中也能看出数学的无尽魅力。
数学-以斐波那契数列为背景的高中数学问题
这就产生了斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34…其规律是从第三项起，每一项都是前两项的和.用递推公式表达表达就是：12211n n na aa a a++==⎧⎨=+⎩斐波那契数列通项公式为n nna⎡⎤⎥=−⎥⎝⎭⎝⎭1.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”,即1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 …实标生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足:12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈,则357920211a a a a a ++++++是斐波那契数列{}n a 中的第__________项.答案：2022解析：由题意得357920212357920214579202167920212020202120221.a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++=++++++=+++++=++++==+=2.“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列, 在斐波那契数列{}n a 中, 12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈ .用n S 表示他的前n 项和,若已知2020S m = ,那么2022________.a =答案：m +1解析：()12211,1n n n a a a a a n N *++===+∈123234345,,a a a a a a a a a ∴+=+=+=201920202021202020212022,a a a a a a +=+=以上累加得：1234202020212222a a a a a a ++++⋯⋯++3420212022a a a a =++⋯⋯++12320202022220221a a a a a a m a m ∴+++⋯⋯+=−=∴=+3.“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{}n a 满足: 12121,(3)n n n a a a a a n −−===+≥,记其前n 项和为n S ,则6543( )S S S S +−−=A.8 B.13 C.21 D.34答案：C解析：【分析】由数列的递推式和斐波那契数列{}n a 的定义，计算可得所求值.【详解】()12121,1,3,n n n a a a a a n n *−−===+≥∈N 1n a −+++1n a −+++)21n a a −++++1n a a −+++2=1n a +−21n a −++=2n a a ++=31242323a a a a a a =+==+=，5346455,8a a a a a a =+==+= 65436453S S S S S S S S ∴+−−=−+−6554855321a a a a =+++=+++=故选C.4.若数列{}n F 满足,则称{}n F 为斐波那契数列.记数列{}n F 的前n 项和为n S ,则( ) A.26571F F F =+ B.681S F =−C.135910F F F F F +++= D.2222123678F F F F F F +++=答案：BC解析：()1212,A.11,3,n n n F F F F F n n N *−−===+>∈3214325436547658769871098226576576868132, 3,5, 8,13, 2134, 55,64,166, 1 ,A B.1123520, 120, B ;C.F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S F S F F F F ∴=+==+==+==+==+==+==+==+=∴=+=≠+=++++=−=++故错误；=-1故正确591022221236222278123678125133455;D.114925641041321273,, .C F F F F F F F F F F F F F FD ++=++++==+++=+++++==⨯=∴++++≠.故确故错误正5.斐波那契数列，又称黄分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合,小到地球上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变,都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的数学之美,在数学上斐波那契数列{}n a 一般以递推的方式被定义:12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈,则( )A.1055a = B .2211n n n a a a ++−=C. 1n n a +⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等比数列 D.设1n n na b a +=,则112n n n n b b b b +++−<−答案：ABC解析：12213A.1,,n n n a a a a a a ++===+开始各项依次为：则从102, 3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,,55,;a ⋯⋯=因此正确()222211111B.n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++−+−=+−=−由222111n n n n n n a a a a a a ++−+−=−=⋯⋯可得：22132121 1.;a a a =−=⨯−=因此正确211111C.22n n n n n a a a a a ++++−+=++11111,222n n n n a a a a ++⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭21a +2111,,;22n n a a ++⎧⎫⎪⎪∴+⎨⎬⎪⎪⎩⎭数列是等比数列因此正确11211D.,n n n n n n n n n a a a b b b a a a +++++=−=−由则212111n n n n n n n a a a a a a a ++++−==12121,n n n n b b a a ++++−=同理可得：20,n n a a +>>由斐波那契数列的单调性可得：11211,.ABC.n n n n a a a a +++>因此因此不正确故选6.(多选)斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个 90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列现将斐波那契数列记为{}n a ,12121,(3)n n n a a a a a n −−===+≥, 边长为斐波那契数a n 的正方形所对应扇形面积记为b n , (n ∈N *),则( )A.223 (3)n n n a a a n −+=+≥B. 123201920211a a a a a ++++=+C.()20202019201820214b b a a π−=⋅ D. 123202*********4b b b b a a π++++=⋅答案：AD解析：123,n n n a a a n −−=+≥由（递推公式）可得211212 n n n n n n n n a a a a a a a a ++−−−=+=+=−()221123A 3n n n n n n n a a a a a a n a +−−−+=++−=≥正确所以.故选项12313421,,,a a a a a a a ==−=−类似的有:11122(2),,1,n n n n n n a a a n a a a a +−++=−≥+−=−迭加可得123201920211B ;a a a a a +++⋯+=+故错误，故选项错误2112,,44n n n n n n b a b b a a ππ−+−=−=由题意可知，扇形面积为故()2020201920182021C ;4b b a a π−⋅=则错，故选项错误误121212223221(3),,,n n n a a a n a a a a a a a a −−=+≥==−由可得222211121,,n n n n n n n n a a a a a a a a a a +−+=−+++=迭加可得2123202020202021n n b a b b b b a a ππ=+++⋯+=⋅所以又.D AD.错误，故选故选项7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列，并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列说法正确的是( ) A.20211g = B.12320212696g g g g ++++=C.22221232020201920212f f f f f f ++++= D. 222123222022210f f f f f f −+−=答案：ABD解析：123451,1,2,3,1,g g g g g =====由已知得67891011120,1,1,2,3,1,0,,g g g g g g g ======={}6.n g 所以数列是以为周期的周期函数2021A ,202163365,1,A g =⨯+=对；故于选项因为所以选项正确1232021B ,g g g g ++++对于选项336(112310)(11231)2696,B ;=⨯++++++++++=故选项正确1221C ,,n n n f f f f f ++==+，对于选项()2211222312321,,f f f f f f f f f f f ∴==−=−()233423432,,f f f f f f f f =−=−()2112121,n n n n n n n n f f f f f f f f ++++++=−=−22221232020f f f f ++++所以()()()()122312343220192020201920182020202120202019f f f f f f f f f f f f f f f f f f =+−+−++−+−20202021,C ;f f =故错误()22222232122232221D ,,f f f f f f f f =−=−对于选项因为()22121222021222120,f f f f f f f f =−=−22212322202221212322232221202221222120f f f f f f f f f f f f f f f f f f −+−=++−+所以()20212221232223202321232223f f f f f f f f f f f f f =+−+−=+222322230,D .ABD.f f f f =−=故正确故选8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 2na a ++=2211223n n n na a a +++=22223233n na a a a a a +++=+++224na a ++1n n a a +=称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论确的是() A.68a = B.954S =C.135********a a a a a ++++= D.22212201920202019a a a a a +++=答案:ACD解析：{}A ,61,1,2,3,5,8,A ;n a 对于选项数列的前项为故正确()81234256420192020201813520192020135201921221212231232B ,112358132154,B ;C ,,,,,:2020D ,,n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=+++++++===−=−⋯⋯=−++++=++++=+==−=−对于选项故错误对于选项由项；可得故是斐波那契数波列对于选项,斐的那契数列总有中第则()()21334234232220182018201920172018201920172018201920192020201920182222123201920192020,,,,D ;:A ,CD.,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =−=−⋯⋯=−=−=−++++=故正确故选312n a ++=是奇数时等于第n+12, 当 n1.半径为1的两个圆12,O O外切,l是它们的一条外公切线,作312O O O l和、、均相切，作234,O O O l和、、均相切……,作11n n nO O O l+−和、、均相切,求8O的半径.解析：111,,,n n n n nO R l O S l O l O R O S P Q−+−⊥⊥作作过的平行线、于、111,n n n n nO M O R M O M PQ O P O Q−++⊥==+作于，则1nO Q+==因为1,n nO P O M+==同理==可得1112(2),1,n n n na a a a n a a+−==+≥==令则且3124235346452,3,5,8a a a a a a a a a a a a =+==+==+==+=75686713,21a a a a a a =+==+=,8228111.21441r a ===所以2.(2012上海)已知1()1f x x=+,各项均为正数的数列{}n a 满足()121,n n a a f a +==.若20102012a a =, 则2011a a +=__________.解析：2010201020121,,,1a t a a t t t ===+设由得解得则：()201020082200811,,.12k a t a t a k N a *====∈+则同理123579111123581,,,,,,,1235813n n a a a a a a a a +=======+又则2011813a a +故。
几种推导斐波那契数列通项公式的方法
几种推导斐波那契数列通项公式的方法斐波那契数列是一个非常经典的数列，它的每个元素都是前两个元素之和，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
在这篇文章中，我将介绍几种推导斐波那契数列通项公式的方法。
方法一：递推法递推法是最直接的方法，通过不断迭代计算，得到斐波那契数列的通项公式。
具体步骤如下：1. 定义初始条件F(0) = 0，F(1) = 1；2. 通过迭代计算，求解F(n) = F(n-1) + F(n-2)，直到计算到所需的第n个数；3. 得到通项公式F(n)。
方法二：矩阵法矩阵法是一种基于矩阵运算的方法，通过求解矩阵的幂次方，可以得到斐波那契数列的通项公式。
具体步骤如下：1. 定义初始条件F(0) = 0，F(1) = 1；2. 构造矩阵A = [1 1; 1 0]；3. 求解A的幂次方A^n，其中n为所需的第n个数；4. 得到通项公式F(n) = (A^n)_(1,2)。
方法三：特征根法特征根法是一种利用矩阵的特征值和特征向量来求解斐波那契数列通项公式的方法。
具体步骤如下：1. 定义初始条件F(0) = 0，F(1) = 1；2. 构造矩阵A = [1 1; 1 0]；3. 求解矩阵A的特征值λ1和λ2，以及对应的特征向量v1和v2；4. 根据特征值和特征向量的性质，可以得到通项公式F(n) = λ1^n*v1 + λ2^n*v2。
方法四：通项公式法通项公式法是一种直接求解斐波那契数列通项公式的方法，通过对数列进行观察和推理，可以得到通项公式。
具体步骤如下：1. 观察斐波那契数列的前几个数，例如0、1、1、2、3、5、8...；2. 推理数列的规律，发现每个数都是前两个数之和；3. 假设斐波那契数列的通项公式为F(n) = a^n，其中a为常数；4. 代入初始条件F(0) = 0，F(1) = 1，解得a = (1 + √5) / 2；5. 得到通项公式F(n) = ((1 + √5) / 2)^n。
斐波那契数列通项证明过程
斐波那契数列通项证明过程嘿，朋友们，今天来聊聊斐波那契数列通项的证明，可有趣啦。
你看斐波那契数列，就像一列神奇的数字小火车，1、1、2、3、5、8……一个数字接着一个数字，后面的数字总是前面两个数字之和，就像兔子繁殖一样疯狂。
据说最开始是为了计算兔子的数量，那兔子就像被数字魔法控制了一样，不停地按照这个规律繁衍后代。
那这个数列的通项公式呢，看起来就像一个神秘的魔法咒语。
要证明它可不容易，就像要解开一个超级复杂的魔法锁。
我们先假设这个通项公式是存在的，就像我们在黑暗中假设宝藏的位置。
这个通项公式里面有很多奇怪的东西，就像魔法配方里的神秘草药。
然后我们就开始用各种数学工具来捣鼓它。
这就像厨师用各种厨具做菜一样，一会儿用这个定理，一会儿用那个方法。
我们把数列的递推关系拿出来，就像从兔子窝里面找出兔子繁殖的规律记录一样。
我们开始变形、计算，这过程就像一场数字的杂技表演。
有时候你觉得好像走进了迷宫，那些数字在你周围转来转去，让你晕头转向，就像一群调皮的小精灵在捉弄你。
但是呢，我们不能放弃啊。
就像爬山一样，虽然很累，但是山顶有美景。
我们继续化简、推导，这个过程中每一步都像是在搭建一座通往胜利的桥梁。
当我们最终得出通项公式的时候，就像找到了宝藏的钥匙。
那一瞬间，感觉所有的努力都值得了，就像你在沙漠里走了很久突然看到了绿洲。
这个通项公式就像一个闪闪发光的魔法水晶球，它把斐波那契数列的秘密都包裹在里面。
它是那么的精确，就像一把特制的钥匙刚好能打开特定的锁。
你再回头看这个证明过程，就像看一场精彩的魔术表演回放。
一开始觉得很神奇，但是当你知道其中的奥秘后，又会觉得很有趣。
斐波那契数列通项的证明就是这样一场充满惊喜和挑战的数学之旅。
递推公式和通项公式
递推公式和通项公式递推公式和通项公式是数学中常用的两种表示数列的方式。
数列是按照一定规律排列的一系列数值，比如斐波那契数列、等差数列等都是数学中常见的数列。
递推公式是通过前面的项得出后面的项，而通项公式则是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值。
下面将详细介绍递推公式和通项公式的概念、计算方法以及应用。
一、递推公式递推公式是通过前面的项推导出后面的项的公式，通常用于描述数列的规律。
递推公式的形式可以是直接递推公式和间接递推公式。
1.直接递推公式直接递推公式是根据数列中前面的若干项直接计算出后面其中一项的公式。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F表示数列中的项数，n表示项数的下标，n-1表示前一项的下标，n-2表示前两项的下标。
根据这个递推公式，可以依次计算出数列中后续的项。
2.间接递推公式间接递推公式是通过数列中前面的项与后面的项的关系间接推导出后面其中一项的公式。
以等差数列为例，等差数列的递推公式为：an = a1+ (n-1)d，其中a表示数列中的项数，n表示项数的下标，a1表示首项，d表示公差。
根据这个递推公式，可以通过首项和公差来计算出数列中后续的项。
二、通项公式通项公式又称为数列的通项公式、一般项公式或通项公式，是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值的公式。
通项公式可以直接计算出数列中任意一项的数值，而不需要通过前面的项来逐步推导。
通项公式的形式可以是显式通项公式和递推通项公式。
1.显式通项公式显式通项公式是通过数列中任意项的位置直接计算该项的数值的公式。
以等差数列为例，等差数列的显式通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中第n项的数值，a1表示首项，d表示公差。
根据这个公式，可以直接计算出数列中任意一项的数值。
2.递推通项公式递推通项公式是通过数列中前面的若干项推导出后面其中一项的数值的公式。
递推通项公式通常是基于递推公式得到的。
「学习笔记」特征根法求解数列问题
「学习笔记」特征根法求解数列问题听说特征法是数学中解常系数线性微分⽅程的⼀种通⽤⽅法。
⽽这⾥简单谈谈特征根法的运⽤：⽤数列的递推公式求通项公式，⽤通项公式求递推公式特征根⽅法的证明需要线性代数相关知识，留坑。
斐波那契数列的公式推导：定义Fibonacci数列：f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n−1)+f(n−2),n≥2考虑这个递推式：f(n)=f(n−1)+f(n−2)，找到⼀个⼀元⼆次⽅程与之对应（⼆次项对应f(n)，⼀次项对应f(n−1)，常数项对应f(n−2)）x2=x+1这个⽅程称为特征⽅程。
解出来特征根：x1=1+√52,x2=1−√52则f(n)=c1x n1+c2x n2。
把f(0)=0,f(1)=1代⼊，得到了：c1+c2=0,c1x1+c2x2=1解得：c1=1√5,c2=−1√5，整理后得到：f(n)=1+√52n−1−√52n√5⼀般递推式的解法形式化地，考虑形如f(n+2)=pf(n+1)+qf(n)的递推式⼦我们把上⾯的式⼦换成：f(n+2)−(x1+x2)f(n+1)+(x1x2)f(n)=0显然x1+x2=p,x1x2=−q。
所以x1,x2是x2−px−q=0的两个根f(n)就可以表⽰成C1x n1+C2x n2,C1,C2是常数没有实数解怎么办？⽤复数。
反求递推式某些时候通项公式可能不好计算，我们只能求出递推式然后矩阵快速幂求看⼀个例⼦：f(n)=(√a+b)n+(√a−b)n2令x1=√a+b,x2=√a−b特征根⽅程即x2−2bx+(b2−a)=0（韦达定理）所以f(n)=2bf(n−1)−(b2−a)f(n−2)()() Processing math: 100%。
斐波那契数列
斐波那契数列斐波那契数列“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibo nacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/√5)*{[(1 +√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）【√5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.61803398 87……如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
如果所有的数都要求是自然数，能找出被任意正整数整除的项的此类如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成数列，必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数，如4,6,10,16,26……（从2开始每个数的两倍）。
斐波拉契数列通项公式
斐波拉契数列通项公式斐波那契数列，这可是数学世界里一个相当有趣的存在！咱先来说说啥是斐波那契数列。
它就是从 0 和 1 开始，后面每一项都是前两项之和。
就像 0、1、1、2、3、5、8、13、21 等等，一直这么加下去。
那它的通项公式呢，是：$F(n) = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 +\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n]$ 。
这公式看起来有点复杂哈，但别急，咱慢慢捋一捋。
我还记得有一次，我给学生们讲斐波那契数列通项公式的时候，那场面可热闹了。
有个小男生，瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这公式到底咋来的呀？感觉像个魔法咒语！”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”我先在黑板上画了个简单的图表，把斐波那契数列的前几项都列了出来，然后引导他们观察数字之间的关系。
孩子们七嘴八舌地讨论着，有的说相邻两项的差好像有规律，有的说每隔几项的和好像也有特点。
看着他们积极思考的样子，我心里特别欣慰。
然后，我们从最基本的递推关系入手，通过一系列的代数运算和巧妙的变形，一点点地朝着通项公式靠近。
当我们最终推导出那个公式的时候，教室里响起了一阵欢呼声。
那个最先提问的小男生兴奋地跳了起来：“原来如此，这也没那么难嘛！”其实啊，斐波那契数列在生活中也有不少有趣的应用。
比如说，植物的生长就常常遵循着斐波那契数列的规律。
像向日葵的种子排列，菠萝表面的凸起，都能看到斐波那契数列的影子。
还有啊，在计算机编程里，斐波那契数列也是个常见的练习题。
通过编写代码来生成斐波那契数列，可以锻炼编程的逻辑思维和算法能力。
总之，斐波那契数列通项公式虽然看起来复杂，但只要我们深入研究，就能发现其中的奥秘和乐趣。
希望大家都能对这个神奇的数列感兴趣，去探索更多数学的奇妙之处！。
数列的递推关系与通项公式
数列的递推关系与通项公式在数学中，数列是由数字按照一定顺序排列而成的序列。
不同的数列可以有不同的递推关系和通项公式来描述它们。
本文将详细介绍数列的递推关系和通项公式的概念、应用和计算方法。
一、递推关系递推关系是指通过前面几项的数值来计算出数列后面一项的数值的关系式。
递推关系可以用于求解以后面的数值为目标的数列问题，通常采用迭代或递归的方式进行计算。
举个例子，斐波那契数列的递推关系为：$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$，其中$F_1=1,F_2=1$。
也就是说，斐波那契数列中每一项的值都等于前两项的值之和。
通过递推关系，可以计算出斐波那契数列的任意一项，例如$F_3=2,F_4=3$等。
二、通项公式通项公式是指数列的任意一项能通过公式直接计算出来。
通项公式是数列的一种显式表达式，它不需要通过前面的项数计算后面的项数。
通项公式的求解是数列学习的重点之一。
对于某些数列，其通项公式可能很容易求解，而对于某些数列，其通项公式可能非常难以求解。
一般来说，数列的通项公式可以通过数学归纳法、递推关系和差分方程等方式求解。
举个例子，对于等差数列$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$，其中$a_{1}$为首项，$d$为公差，$n$为项数。
通过推导，我们可以得到等差数列的通项公式为$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$。
通过这个通项公式，我们可以方便地计算出等差数列中任意一项的值。
三、数列的应用数列是数学中非常重要的一部分，具有广泛的应用价值。
在实际生活和工作中，数列有着很多重要的应用，比如在经济学、物理学、计算机科学等学科中，数列都有着不可或缺的作用。
1. 经济学中的应用经济学中常用的一些数列，如等比数列和收益率数列，可以用于计算商品价格、资产价值和财务报表等。
数列可以帮助经济学家计算和预测未来的经济情况，找出经济规律和趋势，从而为政策制定和决策提供依据。
2. 物理学中的应用在物理学中，数列可用于描述诸如声波、光波等周期性变化的现象。
斐波那切数列的公式
斐波那切数列的公式斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… 。
在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义：$F(0)=0$，$F(1)=1$, $F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)$（$n ≥ 2$，$n ∈ N*$)要说斐波那契数列的公式，咱们得先好好理解一下这个神奇的数列。
就拿我之前教学生的经历来说吧，有一次上课我给孩子们讲斐波那契数列，好多孩子一开始都觉得挺难理解的。
有个小男孩瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这一堆数字到底有啥规律呀？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一起来探索。
”我在黑板上从 0 和 1 开始，一个一个地往后推算，边写边给他们解释：“你看，第三个数 1 ，就是前面两个数 0 和 1 相加得到的；再往后，第四个数 2 ，就是 1 和 1 相加。
”孩子们跟着我的节奏，一点点地理解。
那斐波那契数列的通项公式是：$F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$ 。
这个公式看起来有点复杂，不过咱们慢慢拆解一下。
这里面的$\sqrt{5}$（根号 5）可能会让大家觉得有点头疼，但其实它就是一个数学常数。
还有那两个分式，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$和$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，虽然样子有点奇怪，可它们在这个公式里起着关键的作用。
咱们来实际算一算。
比如说，咱们想求第 6 个数。
把 n = 6 代入公式里，经过一番计算，就能得出是 8 ，和咱们之前按照递推规律算出来的结果是一样的。
在生活中，斐波那契数列也有不少有趣的应用呢。
比如说植物的生长，有些花朵的花瓣数量就符合斐波那契数列；还有一些贝壳的螺旋形状，也能看到斐波那契数列的影子。
还记得有一次我去公园散步，看到一片向日葵，我就突然想到了斐波那契数列。
斐波那契数列
如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
halt;
end;
if n=2 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
cc:=getcc(n-2);
end;
procedure work;
begin
writeln(cc[1,1]+cc[1,2]);
end;
begin
init;
work;
end.
【数列值的另一种求法】
F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
设1为B，1 1为C
1 1 0
可以用迭代得到:
斐波那契数列的某一项F(n)=(BC^(n-2))1
这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义.
另矩阵乘法的一个运算法则A¬^n(n为偶数)=A^(n/2)* A^(n/2).
数列通项公式方法大全
数列通项公式方法大全数列是由一连串数字按照一定规律排列而成的序列。
数列通项公式则是用来表示数列中每一项与项数之间关系的公式。
在数学中，我们通过寻找数列的通项公式来推导和计算数列的各种性质，如数列的前n项和、数列的极限等。
本文将介绍数列通项公式的多种方法，包括等差数列、等比数列、二次数列等常见数列的通项公式推导方法。
1.等差数列通项公式：等差数列的通项公式可以通过观察数列的特点得到。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则有以下通项公式：an = a1 + (n-1)d例如，数列1，3，5，7，9...是一个等差数列，其中首项a1=1，公差d=2，第n项an可以用通项公式an = 1 + 2(n-1)表示。
2.等比数列通项公式：等比数列的通项公式可以根据数列中每一项与前一项的比值相等推导得到。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则有以下通项公式：an = a1 * r^(n-1)例如，数列2，4，8，16，32...是一个等比数列，其中首项a1=2，公比r=2，第n项an可以用通项公式an = 2 * 2^(n-1)表示。
3.二次数列通项公式：二次数列的通项公式可以通过观察数列的特点和二次方程的性质得到。
设二次数列的通项公式为an = an^2 + bn + c，则有以下通项公式：an = an^2 + bn + c例如，数列1，4，9，16，25...是一个二次数列，可以通过观察发现每一项等于其对应项的平方，即a1 = 1^2 = 1，a2 = 2^2 = 4，a3 =3^2 = 9、因此，该数列的通项公式为an = n^24.斐波那契数列通项公式：斐波那契数列是一个特殊的数列，在数列中，每一项都等于前两项的和。
设斐波那契数列的通项公式为f(n)，则有以下通项公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)例如，斐波那契数列的前几项为1，1，2，3，5，8...，其中每一项都等于前两项的和。
斐波那契数列通项公式
斐波那契数列通项公式⽬录简介斐波那契数列是指的这样的⼀个数列，从第3项开始，以后每⼀项都等于前两项之和。
写成递推公式即：a n=a n−1+a n−2(n≥3)假设令a1=1,a2=1，则斐波那契数列指的是这样的⼀串数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...。
接下来，⽂章提到斐波那契数列特指a1=1,a2=1的这串数。
斐波那契数列的通项公式及证明通项公式斐波那契数列的通项公式⾮常对称：a n=1√5[(√5+12)n−(√5−12)n]可以发现，斐波那契数列都是整数，但斐波那契数列的通项公式确是由⽆理数拼凑⽽来的。
那么接下来，我们就来看看如何证明（求解）证明引⼊⾸先，我们来看看这样的⼀个题⽬：已知a n=k×a n−1+b(n≤2)，求该数列的通项公式（⽤含有k,b,a1的式⼦表⽰）这不是⼀道原题，是我将题⽬中的数字⽤字母代替得到的。
闲话少说，我们来看看这要怎么做。
⾸先，我们要回到两种最基本的数列：等差数列和等⽐数列。
这两个数列的通项公式分别是：a n=a1+(n−1)×d(d为公差)a n=r n−1×a1(r为公⽐)知道了这两个公式，我们便要懂得转化。
可以看到当k=0时，该数列是⼀个常数列，通项公式为a n=a1当k=1时，该数列是⼀个等差数列，通项公式为a n=a1+b×(n−1)当k>1时，就是我们要讨论的重点。
⾸先，我们考虑能不能把他化为等差数列，然⽽，很显然不⾏。
那么，就考虑等⽐数列，我们把常数项b裂解，使之构成这样的⼀个式⼦：a n+t=k(a n−1+b−t)可以通过解⽅程算出t的值，于是原式便变成了⼀个等⽐数列，运⽤等⽐数列的通项公式，然后移项，数列{a n}的通项公式也就求出来了。
Ps.这种⽅法在⾼中必修五会重点讲到，这种计算数列通项公式的算法就叫裂项构造法，后⾯的篇幅讲重点讲⾼中不会涉及的⼆阶递推式的通项公式的求法。
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3、概括斐波那契数列的
特征，写出递推关系
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
其规律是从第三项起，每一项都是前 两项的和．用递推公式表达就是：
a1 a2 1 an 2 an 1 an
4、斐波那契数列
通项公式的发现与证明
1680年意大利──法国学者卡西尼发现该数列的某个 重要关系式。
思路一：用计算、猜想、证明的方法(略)
思路二：对递推式变形得：
a n a n1 a n1 a n2
这是等差数列的性质， 故{ an }是等差数列， 其中公差 d=3-1=2，
an = a1 +(n-1)d=2n-1
三、斐波那契数列通项 公式的推导方法
设 a n 2
Байду номын сангаас
pa n1 q(a n1 pa n) ………(1)，
a1 1 练习 ：数列{ an }满足 ，求数列{ an }的通项公式。 n a n 1 3a n 2
n1 n a x 3( x 解：设 n1 2 2 ) ，易得 x=1， an
n n 1 再设 bn = a n 2 ，则 bn 1 = a n1 2 ，
二、设计问题，发现公式 的推导方法
a1 1 问题一 已知数列{ a n}满足 a n 3a n1 2(n 2)
求数列{ a n }的通项公式。
a1 1 问题二 已知数列{ a n }满足 a n 2a n1 1(n 2)
数列{ b n }满足： bn = （2）求数列{
n 1
上式当 n=1 时也成立， a n = 2 3
n 1
1 n N
(证略)
问题二的解答 思路： b n = a n +1=（2 a n 1 +1）+1=2（ a n 1 +1）=2 b ， 构造法 n 1 即 b n =2 b n 1 数列{ b n }为等比数列， 其中 b1 = a1 +1=2,q=2
利用转化思想
求斐波那契数列的通项公式
象山县第三中学
谢刚伟
一、与斐波那契有关的事实
1、斐波那契和“兔子问题”
意大利数学家(约1170约1250年)，12、13世 纪欧洲数学界的代表人 物，生于比萨。他的书 保存下来的共有5种。 最重要的是《算盘书》 （1202年完成，1228年 修订），其中最耐人寻味 的是，这本书出现了中国 《孙子算经》中的不定方 程解法。另一个「兔子问 题」也引起了后人的极大 兴趣 。这数列与后来的 「优选法」有密切关系。
an
+ 1；
（1）求证：数列{ b n }为等比数列；
a n }的通项公式。
问题一的解答 思路一：
a 2 =3×1+2=5， a 3 =3×5+2=17，
a 4 =3×17+2=53，
…无法继续下去。
思路二： a 2 =3×1+2=3+2，
a 3 =3×（3+2）+2= 32 3 2 2 ，
概括出这类数列的一般特征和解法： 概括出这类数列的一般特征和解法
a1 a 数列{ an }特征： a n ca n1 d (c 0且c 1, d 0)
d 解法：设 an + x = c ( an1 + x)，则 c x－x = d， x = ； c 1 d d 令 bn = an + ，则 bn 1 = an1 + ，代入得 bn =c an ， c 1 c 1 d { bn }为等比数列，最后求得 bn =（a+ ） c n1 ， c 1 d d n 1 an =（a+ ） c － c 1 c 1
bn 1 =3 bn { bn }为等比数列，其中 b1 =a1 +2=3,q=3， bn = 3 an = 3
n n
-2
n
a1 1 问题三 ：已知数列{ an }满足 a 2 3 , 求a n 。 a 2a a (n 3) n 1 n2 n
bn =2 2
n 1
=2
n
an 2 n 1
问题一思路三：设 b n = a n +1，则 bn 1 = an1 +1， bn =3 bn 1
{ bn }为等比数列，其中 b1 = a1 +1=2,q=3，
bn =2 3 n 1 = 2 3n1 an = 2 3n1 －1
a 4 =3×（ 32 3 2 2 ）+2= 33 32 2 3 2 2 ，
………… 猜想：
a n = 3n13n2 2 3n3 2 ... 3 2 2
=3
n 1
n 1 2 1 3
1 3
1 n 2
=2 3
「兔子问题」： 假定一对大兔子每 一个月可以生一对小兔子，而小兔 子出生后两个月就有生殖能力．问 从一对大兔子开始，一年后能繁殖 成多少对兔子？
这就产生了斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34…
2、介绍斐波那契数列的应用
和植物生长的有趣现象
它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许 多分支中有广泛应用。 数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出 树木生长的问题：如果一棵树苗在一年以后 长出一条新技，然后休息一年．再在下一年 又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这 个规律长出新枝．那么第1年它只有主干1枝， 第2年有2枝，第3年有3枝，第4年有5枝，第5 年有8枝等等. 每年的分枝数顺次组成的数列 符合斐波那契数列（除第一项外） 植物生长的螺旋现象等
a a
n 1
n 1
a n (1)
2
n
1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式
n n 1 1 5 1 5 an 5 2 2
19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表 达式，现在称为之为比内公式。1963年美国还创 刊《斐波那契季刊》来专门研究斐波那契数列。