线性代数(经管类)串讲 试卷式

《线性代数》（经管类）第四部分 考点串讲（按标准试卷题序串讲） 一、单项选择题： 1、行列式的计算本题型为历年必考题型，其有两种形式一种直接解答，考查其运算能力，其次是考查如何利用性质求行列式解，应掌握这两种方法：1）利用传统的计算方法直接计算； 2）利用性质巧计算，主要性质有： ①行列式和它的转置行列式相等； ②行列式可以按行列提出公因数；③互换行列式中的任意两行（列），行列式的值改变符号；④如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零 ⑤行列式或以按行（列）拆开⑥把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上去，所得行列式值不变。

2、字母型行列式计算本题型主要考查考生利用矩阵行列式公式能力，主要涉及公式有： 1）|KA|=K n |A|2）||||||B A AB3）||||A A T=45）1|||*|-=n A A3、考查方阵的性质及公式，主要是会灵活运用公式，主要有以下公式： 1）A A =--11)(23）111)(---=A B AB 4）TT A A )()(11--= 5）kk A A )()(11--= 4、考查伴随矩阵的求法1）求件随机矩阵先求出各元素的代数佘子式，再把每行对应的代数佘子代换成对应的例。

25、求方阵的逆距阵：求方阵的逆矩阵也有两种方法，根据实际情况选定：1A* 2）利用初等行变换求逆矩阵6、向量组线性相关与线性无关的考查 这种题型有两种考法1）利用线性相关这一已知条件可实数：如若向量组)1,0,0()0,2,1()0,1,1(2321+==+=t a a t a 线性相关，则实数t 为多少？解：因为已知向量组线性相关所以有1=∴t2）根据线性相关与线性无关性质关断某些推断的正确与否如：已知量组4324321,,,,,,:ααααααα中A 线性相关，那么 4321,,,:ααααA 线性无关，B 、4321,,,αααα线性相关 C 、4321,,αααα可由线性表示 D 、43αα，线性无关 根据线性相关组的扩充向量组必为相关组，所以造B 7）考查A 与B 相似性质：设立A 和B 是两个n 阶方阵，如果存在某个n 阶可逆矩阵P 使得 APP B 1-=则称A 和B 是相似的，记为B A ~ A 与B 相似有：① trA=trB ②|A|=|B|8、考查线性方程组的解法： 1）齐次线性方程组的解：①若21.εε是齐次线性方程组0=Ax 的解，则21εε+也是0=Ax 的解②若ε是齐次线性方程组0=Ax 的解，k 是任意实数，则k ε也是0=Ax 的解。

2）非齐次线性方程组的解：①如果21.y y 是非齐次线性方程组b Ax =的解，则21y y -=ε是它的导出组0=Ax 的解。

②如果y 是非齐次线方程组b Ax =的解，ε是它导出组0=Ax 的解，则y +ε必是b Ax =的解。

9、考查正交向量性质：设nnnRb b b ∈==),,(),,(2121 βαααα如果0).(=βα则称α与β正交，记为βα⊥例：下列向量中与α=（1、1、-1）正交的向量是（ ） A 、1α=（1、1、1）B 、2α=（-1、1、1）C 、3α=（1、-1、1）D 、4α=（0、1、1）跟据性质不难得出D 为正确答案10、本题一般考察由所给的二次型转化为对称矩阵或由对称矩阵转化为对应的二次型，P164本题型简单应该必得 二、填空题11、本题仍然考查行列式的计算性质如||||A k kAn=等相关公式的运用 例，设A 为三阵方阵且|A|=3，则|2A|=23|A|=8×3=24 12、本题主要考查矩阵的性质及相关运算 1）矩阵的乘法利用基本的矩法运算法则进行运算 2）求伴随矩阵利用最基本的概念求伴随矩阵 3）求可逆矩阵① ②利用矩阵的初等变换求伴随矩阵 4）转置运算律 ①A A TT =)( ②（A+B ）=A T +B T③为实k KA kA TT =)(④Tk T k T T T T K A Ak AA A B AB 12)()(-== 5）方阵行列式的性质 ①|||A A T=②||||A k kAn= ③||||||B A AB=（行列式乘法规则） 6）可逆矩阵的基本性质：设B A ,为同阶的可逆方阵，常数：k 则0≠①1-A 为可逆矩阵、且11()AA --=②AB 为可逆矩阵、且111)(---=A B AB③kA ④A T 为可逆矩阵、且TT A A )()(11--= ⑤可逆矩阵可以从矩阵等式的周侧消去，即当P 为可逆矩阵地有：BA BP AP BA PB PA =⇔==⇔=⑥设A 是n 阶可逆矩阵我们记E A =0并定义1()kA A k --=其中k 是任意正整数则有：ααααk k k k A A A A A ==+)(,这里，k 和a 为任意整数（包括负整数、零和正整数） 13、考查齐次方程0=Ax 的基础解系所含向量的个数：设A 为n m ⨯矩阵，0,)(==Ax r A 则r 的基础解系中解向量个数为n-r14、考查齐次线性方程组0=Ax 有非零解的条件：者齐次线性方程组有非零解，则必有|A|=015、考查矩阵秩的求法： 1）给出了已知矩阵求法矩阵的秩利用矩阵的初等行变化求秩，秩即为矩阵非零行个数，2）给出了几个向量最后间向量组成向量组的秩，其解法是相同的已知向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11121211321t ααα的秩为2 则数t=-2解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--t t t t t t t 2103100121133100111121211 因秩为22-=t ，则 16、考查解方程解的性质 17、考查方阵特征值的求法1）根据特征值的和等于方阵的迹，求方阵的特征值例：已知0=λ为矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=222222220A 的2重特征值，则A 的另一个特征值为 。

解：根据特征值的和等于方阵的迹，得：42203321=⇒++=++λλλλ2）根据特征值之积等于|A|的值。

例：设三阶方阵A 的三个特征值为1、2、3则|A+E|=解：三阶方阵的特征值为1、2、3则A+E 的特征值为2、3、424432||=⨯⨯=+∴E A18、由二次型转化为标准型，或由标准型转化为二次型 19、利用二次型正定的性质，求R 的取值范围例：二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定则数k 的取值范围为解：第一次先将二次型转化为标准型⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+200010001k k k 第二次列式20)1)(1)(2(0)1)(1(01>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-+->-+>+k k k k k k k 20、一般考查向量内积的性质：向量内积有以下基本性质：对于TE 取的nR r R k ∈∈,,,2,βα有：1）对称性),(),(αββα= 2）线性性),(),(),(βαβαβαk k k == )(),(),(r r r ++=+βαβα它们可以合并为),(),(),(r r k r k βαααβα+=+例：设α与β的内积（8),2(2||||,2),(-=-+==ββββαa 则内积）解：),(),2(),2(βββββ-+-=-+a a8422),(),(2),(),(2-=-⨯-=--=-+-=ββββββa a三、计算题：21、本题主要考查行列式值的求法； [知识点一]常规解法[知识点二]利用行列式的性质求解 22、求方阵的可逆矩阵[知识点一] [知识点二]利用矩阵的初等变化求1-A23、考查知阵的运算其中包括可逆矩阵，转置矩阵性质及运算律的考查 24、求向量组的极大线性无关组[知识点]利用矩阵的初等行变化求极大线性无关组， 25、解方程组的解：[知识点一]解齐次线性方程组的解 [知识点二]解非齐次线性方程组的解 26、求对角矩阵四、证明题：本大题主要考查线性相关与线性无关及其相关知识， 例：设向量组21,αα线性无关，证明向量组212211,a a a a -=+=ββ也线性无关。

其次考查矩阵的性质：如例：设n 阶矩阵A 满足A 2=A 证明E-2A 可逆；且（E-2A ）-1=E-2A第五部分 必考题型分析一、求行列式的值近年来此题型为计算题第一题，历年必考，一般多以技巧性解题为主，充分利用性质解答。

解：通过观察，行列式的每列之和皆为3得：本题即充分利用性质解题，而非常规硬算，那样计算量太大很难正确，利用性质计算量大大下降，且正确率也必然上升二、求方阵的可逆矩阵可逆适阵的求法是楞年必考题，多以计算大题形式出现，解此种类型题，主要是通过矩阵的初等交换求方阵的可逆矩阵例：设矩阵=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1111110100A ，A 则 。

解：→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100111011001100010001111110100 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→001011110100010001001011100110010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--∴-0010111101A[解析]把原矩阵化为单位矩阵，同时单位矩阵按照其同样的初等变化转化为A -1 三、由矩阵性质及运算法则求矩阵X本题型也为历年必考题型，多以大题出现，难度不大，但容易出错，在解管过程中关键是要对运算细节的把握。

例：已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211232413512C B A X 满足X C B AX 求=+解：C B AX=+)(11B C A AX A BC AX -=-=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-11113241215225131B C A )(1B C A X -=∴-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=381211112513在本题中要特别留意)(11B C A Ax A B C Ax -=⇒-=--其中A -1是左乘、位置一定要定位准确，这是关键之处，也集中表现出矩阵，行列式这块内容的位置特性，且矩阵是矩阵行列式是行列式，行列式实质上是一个数，而矩阵则不然四、求向量组的极大线性无关组：求向量组的极大线性无关组其实与求向量组或矩阵的秩是同一个过程，都是首先通过矩阵的初等行变化，将其矩阵转化为阶梯形矩阵再求解：例：求向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1222,1132,1123,13214321αααα 的极大无关组并将其余向量由极大无关组线性表示 解：以1α、2α、3α、4α为列向量的矩作初等行变换有：所以1α、2α、3α为极大无关组并且五、解非齐次线性方程组：设y 是b Ax =的任意一个解，r n -εεε ,,21是导出组0=Ax 的一个基础解系，则，rn r n k k k y y --++++=εεε 2211*就是b Ax =的通解。