第四章被控过程数学模型2

dQ2 Q1 Q2 C1 R2 dt Q ( s) 1 2 Q1 ( s) R2C1s 1
h dh2 Q2 2 C2 R3 dt H (s) R3 2 Q2 ( s ) R3C2 s 1
R3 H 2 ( s ) H 2 ( s ) Q2 ( s ) 1 G ( s) Q1 ( s ) Q2 ( s ) Q1 ( s ) R3C2 s 1 R2C1s 1 R3 R3 1 1 R2C1s 1 R3C2 s 1 T1s 1 T2 s 1
dh2 R3h1 R2 R3C2 R2 h2 R3h2 dt
2 dh2 h2 h2 h2 h2 R dh2 dh2 Q1 C2 C1 (d R2C2 2 ) 2 dt R3 R2 R2 dt R3 dt dt
d 2 h2 dh2 dh2 dh2 R3 R2C1C2 R2C1 R3C1 R3C2 h2 R3Q1 2 dt dt dt dt
2)如果过程为n个容器依次相接、不难推出多容过程(n个)的 传递函数为:
K0 G(s) (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
式中，K0为过程的总放大系数；T1…Tn为各个单容过程的时间 常数。
若各个容器的容量系数相同，各阀门的液阻也相同，则有 T1=T2=…Tn=T0，于是
相应传函为：
d 2 h2 dh2 T1T2 (T1 T2 T12 ) h2 k0 Q1 2 dt dt
G( s) K0 H 2 ( s) Q1 ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 T12 ) s 1
T1=R2C1,T2=R3C2, T12=R3C1
y(t ) K 0 x0 (1 e

t T0
(4-53)
)
式中，K0为过程的放大系数，T0为时间常数。 需要说明的是，由于实验一般是在过程正常工作下进行的，只 是在原来输入的基础上叠加了x0的阶跃变化量，所以式(4－53)所表 示的输出表达式是对应原来输出值基础上的增量表达式。 因此，用输出测量数据作阶跃响应曲线，应减去原来的正常输 出值。也就是说，图4－11所示阶跃响应曲线，是以原来的稳态工作 点为坐标原点的增量变化曲线。以后不加特别说明，均是指这种情况。
【例4－6】图4－6为一并联式双容液位槽。与图4－5相比，Q2 的大小不仅与液位h1有关，而且与后接液位槽的h2也有关， 设图中各个变量及参数与例4－4相同，试求h2与Q1之间的数 学描述。
图4-6 并联式双容液位过程
解：根据动态物料平衡关系，可得如下增量化方程
dh1 dt dh2 Q2 Q3 C2 dt Q1 Q2 C1
3.模型参数的确定
（1）由阶跃响应确定一阶环节参数 若过程的阶跃响应曲线 如图4-11所示，t=0时的曲线 斜率最大，之后斜率减小，逐渐上 升到稳态值y()时斜率为零、则该 响应曲线可用无时延一阶环节来近似。
K0 G (s) T0 s 1
图4-11 一阶无时延阶跃响应
对上式所示的一阶无时延环节，需要确定的参数只有K0和T0，其 确定方法通常有直角坐标图解法和半对数坐标图解法。 1)直角坐标图解法 设阶跃输入变化量为x0，可求得一阶无时延环节的阶跃响应为
缺点:
实验时往往会对正常生产造成影响。
2.模型结构的确定 对于大多数过程来说，数学模型常常可近似看作一 阶、二阶及其时延结构，即 k0 k0 G (s) G (s) e s T0 s 1 T0 s 1
G ( s) k0 (T1s 1)(T2 s 1)
k0 G( s) e s (T1s 1)(T2 s 1)
K0=R3
图4-7
双容液位过程框图
由图可见，对前者而言，前一过程会影响后一过程，后一过 程不会影响前一过程。 对后者而言，前一过程影响后一过程，后一过程也影响前一 过程。两过程互为关联。
讨论：过程特性参数 K、T、τ

数学模型的过程特性参数K，T，τ ？ 三个参数有什么样的物理意义？ 在系统中所起的作用如何？
K0 G(s) n (T0 s 1)
多容过程的近似也可按上述双容近似单容的办法进行。
多容过程对象数学模型

n容对象的是n阶系统； 对象的容量越大、阶数越多，容量时延τc也越大。
（2）有时延
图4－5中，若设槽1与槽2之间管道长度形成的时间延迟为 τ1，则传递函数为：
R3 1s G( s) (T1s 1)(T2 s 1) e
2.无自衡
【例4－5】 若将阀3改为定量泵，使得过程的输出流量与液位高低 无关，则
dh1 Q1 Q2 C1 dt Q C dh2 2 2 dt
h1 Q2 R2
Q2 (s) C2 sH 2 (s)
Q2 ( s ) 1 Q1 ( s ) R2C1s 1
T1:槽1的过程时间常数，T1=R2C1;
T2:槽2的过程时间常数,T2=R3C2
分析： 在图4-5b示出了该过程的 阶跃响应曲线。由图可见，与自 衡单容过程的阶跃响应(曲线①) 相比，双容过程的阶跃响应(曲 线②)从一开始就变化较慢。这 是因为在两个槽之间存在液体流 通阻力，延缓了被控量的变化。 显然，如果依次相接的容 器越多，过程容量越大，这种时 间延缓就会越长。
K0求法：
y (t ) t y () k0 x0
y () y (0) k0 x0 k0 x0 t ， ,以此斜率作切线，切线方程为
T0
k0 x0 dy 另外, dt t 0 T0
当t=T0时，有
k 0 x0 t k 0 x0 y ( ) T0 t T
4.2.3 多容过程的解析法建模
在过程控制中，由多个容积组成的被控过程称为多容 过程。
1.有自衡
（1）无时延
【例4－4】 图4-5所示为一分离式双容液位槽，设Q1为过程输入 量，第二个液位槽的液位h2为过程输出量，若不计第一个 与第二个液位槽之间液体输送管道（长度为L）所造成的 时间延迟，试求h2与Q1之间的数学关系。
1 s G (s) e T0 s 1 G( s) e s T1s(T2 s 1)
对于某些无自衡过程，常可近似看作
1 G (s) T0 s
G( s) 1 T1s(T2 s 1)
此外，还可用更高阶或其他较复杂的形式近似。但是，复杂的数学 模型意味着复杂的控制，同时也使估计模型参数数目增多，增加辨 识的难度。因此，在保证辨识精度的前提下，数学模型结构应力求 简单。
0
T0求法： Ⅰ作图法：先由图4－11定出y(∞),确定k0数值，再在曲线的起点 t=0处作切线，该切线与y(∞)的交点所对应的时间(图上OB段)即 为T0。
Ⅱ计算法：
根据测试数据直接计算求得。
因为
y(t ) y()(1 e )
则

t T0
取 t T0 , T ,2T 0 0
2
T0 y ( ) 39 % y () 2 y (T0 ) 63% y () y (2T0 ) 86 .5% y ()
设阀2、阀3的液阻分别为R2、h2成正比，Q2则与R2成反比，与h1-h2成正比。故有
Q2 h1 h2 R2
h2 Q3 R3
h1 h2 dh1 Q1 C1 R2 dt
h1 h2 h2 dh2 C2 R2 R3 dt

图4-5 分离式双容液位过程 ① 自衡单容过程阶跃响应曲线 ② 双容过程阶跃响应
解：根据动态物料或能量平衡关系，可列出下列增量化方程： h dh1 Q2 1 Q1 Q2 C1 dt R2 dh2 h2 Q2 Q3 C2 Q3 dt R3 式中：Q1、Q2、Q3为流过阀1、阀2、阀3的流量； h1、h2为槽1、槽2的液位； C1、C2为槽1、槽2的液容系数； R2、R3为阀2、阀3的液阻。
图4-11 一阶无时延阶跃响应
则在曲线上找得上述几个数据所对应的时间t1、t2、t3则不难 计算出T0。若求取的 T0 值有差异，可用求平均值的方法对 T0 加以修正
1）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态 2）在相同条件下应重复多做几次试验 ，减少随机干扰的影响 3）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，将两次实验结 果进行比较，以衡量过程的非线性程度
4）完成一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一 段时间，再做第二次试验
5）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利影 响。 但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影响试验 结果。一般取正常输入信号最大幅值的10％。 在进行阶跃响应试验后,根据试验结果先假定数学模型的结构, 再确定具体参数。
H 2 ( s) 1 Q2 ( s ) C2 s
H 2 ( s) H 2 ( s) Q2 ( s) 1 1 G( s) Q1 ( s) Q2 ( s) Q1 ( s) C2 s R2C1s 1
1 1 即G ( s) , T1 R2C1 , Tc C2 T1s 1 Tc s


H (S ) K h(t ) / qi (t ) K (1 e T ) Q1 ( S ) TS 1
t

Ｋ 的物理意义是稳定后系统输出的变化量为输 入变化量的Ｋ 倍。


在实际系统中，要注意放大倍数的量纲。
Ｋ 越大，表明该输入信号通过对应通道对输出 的作用越强。 若有2个输入变量作用于被控变量，则有两个通 道，对应2个放大倍数。

当 t 5T 时，(5T ) 1 e5 0.993 h
迟延时间τ
滞后分为容量迟延和传输迟延。

传输迟延τ0
由于物料的传输需要一定时间而产生的滞后。