中考专题-四边形选择综合题

如图，正方形 ABCD 中，以 AD 为底边作等腰△ADE，将△ADE 沿 DE 折叠，点 A 落到点 F 处，连接 EF 刚好经过点 C，再连接 AF，分别交 DE 于 G，交 CD 于 H．在 下列结论中：①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF 是等腰直角三角形；④ EC=CF；⑤S△HCF=S△ADH，其中正确的结论有（ ）确结论的Βιβλιοθήκη 数为（ C ）A．2 C．4
B．3 D．5
【分析】①②、证明△ABH≌△ADF，得AF=AH， 再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是高线， 得AC⊥FH，证明BH=HM=MF=FD，则FH=2BH； 所以①②都正确； ③可以直接求出FC的长，计算S△ACF≠1，错误； ④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长 得结论正确；还可以利用图2证明△ADF≌△CDN 得：CN=AF，由CE= CN= AF； ⑤利用相似先得出EG2=FG•CG，再根据同角的 三角函数列式计算CG的长为1，则DG=CG，所 以⑤也正确．故选：C．
△APB+S△BPD =2+ ，由此即可判定．
如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 是边 BC 上的动点，BF⊥AE 交 CD 于点 F， 垂足为 G，连结 CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点 G 运动的路径长为π； ④CG 的最小值为 ﹣1．其中正确的说法是
【分析】根据正方形对角线的性质可得出当 E 移动到与 C 重合时，F 点和 D 点重 合，此时 G 点为 AC 中点，故①错误；求得∠BAE=∠CBF，根据正方形的性质可 得 AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角边”证明△ABE 和△BCF 全等，根据全 等三角形对应角相等可得 AE=BF，判断出②正确；根据题意，G 点的轨迹是以 AB 中点 O 为圆心，AO 为半径的圆弧，然后求出弧的长度，判断出③错误；由于 OC 和 OG 的长度是一定的，因此当 O、G、C 在同一条直线上时，CG 取最小值，根 据勾股定理求出最小 CG 长度．
不正确．故选：D．
如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，动点 F，E 分别以相同的速度从 D，C 两点 同时出发向 C 和 B 运动（任何一个点到达即停止），过点 P 作 PM∥CD 交 BC 于 M 点，PN∥BC 交 CD 于 N 点，连接 MN，在运动过程中，则下列结论： ①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段 MN 的最小值为
其中正确命题的序号（ D）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）
【分析】（1）根据矩形的性质得到 AD=BC= AB= CD，由 DE 平分∠ADC，得 到△ADH 是等腰直角三角形，△DEC 是等腰直角三角形，得到 DE= CD，得到 等腰三角形求出∠AED=67.5°，∠AEB=67.5°，得到（1）正确； （2）设 DH=1，则 AH=DH=1，AD=DE= ，求出 HE= ﹣1，得到 2 HE≠1，所 以（2）不正确； （3）通过角的度数求出△AOH 和△OEH 是等腰三角形，从而得到（3）正确； （4）由△AFH≌△CHE，到 AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到 BE=EH，于是得到 BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，从而得到（4）
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而 得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正 方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由 勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面 积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大 小就可以得出结论．
综上所述，①正确；②正确；③错误；④错 误；⑤正确，正确的有3个， 故选：B．
四边形选择综合题2
1．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别 是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且 AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相 交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB； ②S四边形BCDG= CG2；
③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂 直；⑤∠BGE的大小为 定值．其中正确的结论
故①正确；②正确；③正确；④错误．故选： B．
5．如图，在矩形ABCD中，BC= AB，∠ADC的 平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH 并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出 下列命题： (1)∠AEB=∠AEH ,(2)DH= 2 2 EH,(3)OH = AE (4)BC﹣BF= EH
3．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分 ∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E， EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF， 连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论： ①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE= AF； ⑤EG2=FG•DG，其中正
4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、 CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF 对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，
下列结论正确的个数是（ B ）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=
ECFG=2S△BGE．
；④S四边形
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的 关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；② AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角 的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦 的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相 似，进一步得到相似比，再根据相似三角形 的性质即可求解．
【分析】首先证明∠HCF=∠FHC=67.5°，由此可 以判定③正确，②错误，再证明AC∥DF，推出 S△DFA=S△FDC，由此判断⑤正确，根据ASA可以判断 ①正确，在△EAF中，由∠CAE=∠CAF， ∠AEC=90°，作CK⊥AF于K，推出CE=CK＜CF，由 此判断④错误．
如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BE⊥AC 于点 F，连接 DF，分析下列 四个结论：①△AEF∽△CAB； ②CF=2AF； ③DF=DC； ④S 四边形 CDEF= S△AEF， 其中正确的结论有（ ）个
．其中正确的结论有（ ）
【分析】由正方形的性质及条件可判断出① △ABE≌△BCF，即可判断出②AE=BF， ∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°，可得 ∠CBF+∠BEA=90°，可得出∠APB=90°，即可判 断③，由△BPE∽△BCF，利用相似三角形的性质， 结合CF=BE可判断④；然后根据点P在运动中保 持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直 径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P， 此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾 股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即 可求出线段CP的最小值，可判断⑤．
【分析】①四边形 ABCD 是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB， 于是△AEF∽△CAB，故①正确； ②由 AE= AD= BC，又 AD∥BC，所以 = = ，故②正确； ③过 D 作 DM∥BE 交 AC于 N，得到四边形 BMDE 是平行四边形，求出 BM=DE= BC， 得到 CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确； ④根据△AEF∽△CBF 得到 = = ，求出 S△AEF= S△ABF，S△ABF= S S 矩形 ABCD 四边形
CDEF =S△ACD﹣S△AEF= S 矩形 ABCD﹣ S 矩形 ABCD= S 矩形 ABCD，即可得到 S 四边形 CDEF =5S△AEF=， 故④错误．
如图，正方形 ABCD 的边 CD 与正方形 CGFE 的边 CE 重合，O 是 EG 的中点，∠EGC 的平分线 GH 过点 D，交 BE 于 H，连接 OH、FH、EG 与 FH 交于 M，对于下面四 个结论：①GH⊥BE；②HO BG；③点 H 不在正方形 CGFE 的外接圆上；④△
综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，
故选：B．
2．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在 BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC 交EF于点G，下列结论：①CE=CF，② ∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤ S△CEF=2S△ABE，其中结论正确的个数为（ ）
B
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
如图，在正方形 ABCD 外取一点 E，连接 AE、BE、DE．过点 A 作 AE 的垂线交 DE 于点 P．若 AE=AP=1，PB= ．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点 B 到直线 AE 的距离为 ；④S△APD+S△APB=1+ ；⑤S 正方形 ABCD=4+ ．其中正确结论 的序号是
【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB； ②由①可得∠BEP=90°，故 BE 不垂直于 AE 过点 B 作 BM⊥AE 延长线于 M，由① 得∠AEB=135°所以∠EMB=45°，可以得出∠PEB=90°就可以得出②正确， ③所以△EMB 是等腰 Rt△，故 B 到直线 AE 距离为 BF= ，故③是错误的； ④由△APD≌△AEB，可知 S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB，然后利用已知条件计算即可 判定； ⑤连接 BD，根据三角形的面积公式得到 S△BPD= PD×BE= ，所以 S△ABD=S△APD+S
个数为（B）
A．4 B ．3 C．2 D．1
【分析】①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证 明△AED≌△DFB； ②证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点 共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M， CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S四边形BCDG=S四边 形CMGN，易求后者的面积； ③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF： DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF； ④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重 合），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时， CG⊥BD； ⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．
GBE∽△GMF．其中正确的结论有（ ）
【分析】（1）由四边形 ABCD 和四边形 CGFE 是正方形，得出△BCE≌△DCG，推 出∠BEC+∠HDE=90°，从而得 GH⊥BE； （2）由 GH 是∠EGC 的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由 O 是 EG 的中点，利 用中位线定理，得 HO BG；
（3）△EHG 是直角三角形，因为 O 为 EG 的中点，所以 OH=OG=OE，得出点 H 在正方形 CGFE 的外接圆上； （4）连接 CF，由点 H 在正方形 CGFE 的外接圆上，得到∠HFC=∠CGH，由∠HFC+ ∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，得出∠FMG=∠GBE，所以△GBE∽△GMF．