(完整版)立体几何中的折叠问题

立体几何中的折叠问题

1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题.

2.折叠问题分析求解原则：

(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；

(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。

（最值问题）1、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为_______.

（两点间距离，全品83页）2、把长宽分别为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60o 的二面角，求顶点B 和D 的距离。 3、（全品70页）给出一边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，并用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积。

4、（2005江西文）矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —

AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ） A ．

π12

125

B ．

π9

125

C ．

π6

125

D ．

π3

125

A B

C

E

M

N

解决折叠问题的关键是弄清折叠前后哪些量没有变化，折叠后位置关系怎样变化，通过空间想象折叠成的几何体的形状来分析已知和待求，是培养空间想象能力的很好的题型。

高考题中的折叠问题

1、在正方形SG 1G 2G 3中E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使G 1、G

2、G 3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S —EFG 中必有

(A)SG ⊥△EFG 所在平面 (B)SD ⊥△EFG 所在平面 (C)GF ⊥△SEF 所在平面 (D)GD ⊥△SEF 所在平面 2、如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ， EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0°

3、（2005浙江理科）12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如下图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_____．

4、（2006山东）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为

(A)

2734π (B)26π (C)86π (D)24

6π

5、（2009浙江）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．

6．（2010上海）在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O,剪去AOB V ,将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、（B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为 。 7、（2010浙江）如图，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，

2

43

AE EB AF FD ===

=.沿直线EF 将AEF V 翻折成'A EF V ，使平面'A EF BEF ⊥平面.

(I)求二面角'A FD C --的余弦值； (II)点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长.

8、(2009浙江备) 如图, 在平面内直线EF 与线段AB 相交于C 点, ∠BCF ＝ο

30, 且 AC = CB = 4, 将此平面沿直线EF 折成ο

60的二面角α－EF －β, BP ⊥平面α, 点P 为垂足. (Ⅰ) 求△ACP 的面积;(Ⅱ) 求异面直线AB 与EF 所成角的正切值.

B A

F C

α

C

B P

A

β

E E

F

9、（2007广东）如图所示，等腰ABC △

的底边AB =3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积． （1）求()V x 的表达式；

（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？

（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值．

图6

P

E

D F B

C

A

10、（2006辽宁）已知正方形ABCD ，E F ，分别是边AB CD ，的中点，将ADE △沿DE 折起，如图所示，记二面角A DE C --的大小为θ（0πθ<<）． （1）证明BF ∥平面ADE ；

（2）若ACD △为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．

B C

D A B C

D E F