浙江省舟山市2020学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)
浙江省舟山市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析
浙江省舟山市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如102(mod 4)≡.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i 等于( )A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】C 【解析】初如值n=11,i=1,i=2,n=13,不满足模3余2.i=4,n=17, 满足模3余2, 不满足模5余1. i=8,n=25, 不满足模3余2,i=16,n=41, 满足模3余2, 满足模5余1. 输出i=16.选C ．2．已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，且()A B =RR ，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．{}2a a ≤ B ．{}1a a < C ．{}2a a ≥ D ．{}2a a >【答案】C 【解析】 【分析】 由已知求得{}12RB x x x =≤≥或，再由()RAB R =，即可求得a 的范围，得到答案．【详解】由题意，集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，可得{}12RB x x x =≤≥或，又由()RAB R =，所以2a ≥．故选C ． 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及利用集合的运算求解参数的范围，其中解答中熟记集合基本运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．己知A(2,5,1),B(2,2,4),CB (1,2,3)--=，则向量AB 与AC 的夹角为. A ．30 B ．60C ．120D ．150.【答案】B 【解析】 【分析】将数量积公式进行转化，可计算cos ,AB AC <>，从而可求,AB AC <>. 【详解】因为()2,2,4B -、()1,2,3CB =，所以()1,4,1C -，则()0,3,3AB =、()1,1,0AC =-，所以1cos ,23AB AC AB AC AB AC⋅<>===，所以,60AB AC <>=︒，故选：B. 【点睛】本题考查空间向量的夹角计算，难度较易.无论是平面还是空间向量的夹角计算，都可以借助数量积公式，对其进行变形，先求夹角余弦值，再求夹角. 4．下列关于残差图的描述错误的是（ ） A ．残差图的横坐标可以是编号B ．残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量C ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 【答案】C【解析】分析：根据残差图的定义和图象即可得到结论．详解：A 残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量，故AB 正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 则对应相关指数越大，故选项D 正确，C 错误. 故选：C ．点睛：本题主要考查残差图的理解，比较基础．5．已知函数x y me =的图象与直线2y x m =+有两个交点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．(),0-∞ C ．()0,1D ．1(0,)e【答案】A 【解析】 【分析】两个函数图象的交点个数问题，转化为方程有两个不同的根，再转化为函数零点问题，设出函数，求单调区间，分类讨论，求出符合题意的范围即可． 【详解】解：函数xy me =的图象与直线2y x m =+有两个交点可转化为函数()e 2xf x m x m =--有两个零点，导函数为()e 1xf x m '=-，当0m ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 在R 上单调递减，不可能有两个零点； 当0m >时，令()0f x '=，可得ln x m =-，函数在(),ln m -∞-上单调递减，在,)ln (m -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为()ln 1ln 2f m m m -=+-. 令()()1ln 20g m m m m =+->， 则1()2mg m =-'，所以()g m 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减.所以max 1()()ln 202g m g ==-<. 所以()f x 的最小值()ln 0f m -≤，则m 的取值范围是(0,)+∞. 故选：A 【点睛】本题考查函数零点问题，利用方程思想转化与导数求解是解决本题的关键，属于中档偏难题． 6．4名同学分别从6所大学中选择一所参观，则不同选法有（ ） A ．64种 B ．46种C ．46A 种D ．46C 种【答案】B 【解析】 【分析】每名同学从6个大学点中选择一个参观，每个同学都有6种选择，根据乘法原理，计算即可得答案． 【详解】因为每名同学都有6种选择，相互不影响，所以有466666⨯⨯⨯=种选法．故选：B.【点睛】本题考查分步计数原理的运用，注意学生选择的景区可以重复．属于基础题.7．从图示中的长方形区域内任取一点M，则点M取自图中阴影部分的概率为( )A．34B．33C．13D．25【答案】C【解析】【分析】先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积，然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案．【详解】图中阴影部分的面积为12313|1x dx x==⎰，长方形区域的面积为1×3＝3，因此，点M取自图中阴影部分的概率为13．故选C．【点睛】本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题．8．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】此题考查的是排列组合思路：先从五双鞋中选出一双，有种。
浙江省舟山市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题
浙江省舟山市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}R ln 1P x x =∈<，{}R 12Q x x =∈-≤<，则P Q =I （ ） A ．(),2∞-B ．[)1,2-C ．()0,2D ．()e,∞+2．复数z 满足()1i 2024i z +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2025i 2-B ．20252-C ．20232D ．2023i 23．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若m n ∥，n ⊂α，则m α∥B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥C ．若m α∥，m β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥4．已知()53sin π2cos π224πsin sin π2αααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．1213-B ．1213 C ．45D ．45-5．在()82121x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．182B ．42C ．182-D ．42-6．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()12P A =，()712P B =，()14P AB AB +=，则()P A B +=（ ） A ．712B ．23C ．1112 D ．347．嫦娥六号是中国计划进行的一次月球采样返回任务.假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度()v t （单位：米/秒）随时间t （单位：秒）的变化关系可以表示为：()0tv t v eλ-=⋅，其中0v 是初始速度，λ是一个减速过程相关的常数.已知嫦娥六号在0=t 时的初始速度为01000m /s v =，经过10s t =后，速度变为()10500m /s v =.若嫦娥六号需要在s t T =时将速度减至月球表面的安全着陆速度()1m /s v T =，则T =（ ） （精确到小数点后一位，参考数值：lg 20.301≈） A ．99.7B ．99.8C ．99.3D ．96.38．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2222f f x y x y y f f x +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于直线12x =对称，()11f =，()f x 在[]1,0-上单调递增，则下列说法中错误的是（ ）A ．()()240f f +=B ．()f x 的一条对称轴是直线32x = C ．()202342f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()202411k f k ==∑二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．某校高二年级共有学生600人，现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为60的样本，若样本中男生有40人，则该校高二女生人数是200B ．数据2，4，5，6，8，10，17的第75百分位数为9C ．已知y 关于x 的回归直线方程为$0.70.3y x =-，若2x =，则0.1y =D ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 3.7136χ=，根据小概率值0.05α=的独立性检验（0.05 3.841x =），可判断X 与Y 有关，此推断犯错的概率不大于0.0510．在△ABC 中，已知角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且)222ABC S b c a =+-V ，则下列说法正确的是（ ）A ．π3A =B ．若23cos 3cos b A c a B ⋅=-⋅，92a =，则满足条件的△ABC 有两个C ．若D 是边BC 上一点，满足2BD DC =，且1AD =，则△ABC D ．若△ABC 为锐角三角形，D 是边BC 上一点（不含端点），满足B BAD ∠=∠，则CD AD的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知正四棱台1111ABCD A B C D -的球的球面上，1AA =111A B =，G 为1BDC ∆内部（含边界）的动点，则（ ）A ．正四棱台1111ABCD ABCD -存在内切球 B．1111ABCD A B C D V -=正四棱台C ．直线AG 与平面1BDC 所成角的取值范围为ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1GA GA +的取值范围为⎡⎤⎣⎦三、填空题12．已知实数0x >，0y >，且1x y +=，则15x y+的最小值为.13．某高中为了调查学生对手机的使用情况，从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，他们一周内使用手机的时间（小时）频率分布直方图如下图所示，则参与调查的学生每周平均使用手机的时间约为小时.（同一组数据用该组数据的中点值作代表）14．已知函数()11sin cos 22f m x m x x x =++[]0,2πx ∈上恰有两个零点，则实数m 的取值范围为.四、解答题15．已知向量(a =r，b m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，R m ∈.(1)若3m =，求a b +r r；(2)若32a a b ⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭r r r ，求b r 在a r 上的投影向量（用坐标表示）16．已知函数()2cos sin 12cos 2f x x x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫=⋅⋅+- ⎪⎝⎭（0ω>，0πϕ<<）且()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π4，()01f =.(1)求()f x 的解析式与单调递减区间； (2)将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当[]0,2πx ∈时，求方程()()260g x x -=的所有根之和.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB 的中点为D ．(1)证明：1AC ∥面1CDB ；(2)若底面ABC ⊥侧面11ACC A ，1A AC ∠是锐角，BC =13AC AA ==，π2ACB ∠=，且1AA 和平面11AB C 1ABB 与平面ABC 所成角的余弦值.18．某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12次，其中球队获胜6次；中锋位置出场24次，其中球队获胜16次；后卫位置出场24次，其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率，则：(1)甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率；(2)为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10场热身赛，比赛没有平局，获胜得1分，失败得0分.已知Ⅰ队在每场比赛中获胜的概率是p （0.51p <<），若比赛最有可能的比分是7∶3，求p 的取值范围；(3)现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3场的条件下，记其获胜的场数为X ，求X 的分布列和数学期望.19．已知函数()()y f x g x =+的定义域为D .若a ∃∈R ，对于1x D ∀∈，都2x D ∃∈，使得()()12f x g x a +=，则称函数()f x 与()g x 具有“和缘”，a 叫做函数()f x 与()g x 的“和缘”值.(1)已知()1f x =()232f x x -=，()1e x g x =，()2ln g x x =，()()(){}12,x x x f f f ∈，()()(){}12,x x x g g g ∈，若0是函数()f x 与()g x 的“和缘”值，请写出所有符合题意的函数()f x 与()g x 的组合（不用说明理由）；(2)已知m ∈R 且0m ≠，()21f x x x =+-，()()()223344182182x x x x g m m m m x +-+-=⋅+⋅+-+-9616m +-，[]0,1D =.（ⅰ）求()f x 的值域；（ⅱ）若存在唯一实数a ，使函数()f x 与()g x 具有“和缘”，求m 的值.。
2020学年浙江省舟山市新高考高二数学下学期期末质量跟踪监视试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意实数x 均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且(1)y f x e =+-是奇函数，不等式()0xxf x e ->的解集是（ ）A ．()1,+∞B ．(),e +∞C ．(),1-∞D ．(),e -∞2．直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2212x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是 A ．[]26，B ．[]39，C ．242⎡⎤⎣⎦，D ．232⎡⎤⎣⎦，3．函数21()log f x x x=-的一个零点落在下列哪个区间（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）4．已知集合{1,1}A =-，{1,0,1}B =-，则集合{|,}C a b a A b B =+∈∈中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．55．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()g x x =，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ）A ．γαβ>>B ．βγα>>C ．βαγ>>D ．αβγ>>6．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出A 、C 的距离是50m ，45ACB ∠=，105CAB ∠=，则A 、B 两点间的距离为（ ）A ．502mB ．3mC ．252mD ．2522m 7．复数131iZ i-=-，则Z 的共轭复数Z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动。
2020年浙江省舟山市数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析
2020年浙江省舟山市数学高二第二学期期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞2．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是 ( ) A ．出现7点的次数 B ．出现偶数点的次数C ．出现2点的次数D ．出现的点数大于2小于6的次数3．已知复数(是虚数单位)，则的虚部为A ．B ．C ．D ．4． “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 5．正数a b c 、、满足235log log log 0a b c ==->，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6．一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（ ）A ．169πB ．16239π+C ．839π+D ．16233π+ 7．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值 D ．既无最大值也无最小值8．点的直角坐标为，则点的极坐标可以为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知,若.则实数的值为( )A ．-2B ．2C ．0D ．1 10．如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是区间上的“双中值函数”.已知函数是区间上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，3）C ．（，1）D ．（，1）11．设集合{}123A =，，， {}2,34B =，， {|}M x x ab a A b B ==∈∈，，，则M 中的元素个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．812．若，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若复数z 满足i 13i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为______．14．设向量a,b,c 满足0++=a b c ,()-⊥a b c ,⊥a b ,若1=a ,则222||||++a b c 的值是________15．向量,a b v v 的夹角为60︒，且2,1a b ==v v 则(2)a a b ⋅+=vv v __________.16．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）求关于x 的不等式125x x ++-<的解集；（2）若关于x 的不等式221x x m --≥在x ∈R 时恒成立，求实数m 的取值范围． 18．已知函数1()ln ,()=-=-+f x x g x ax b x. （1）若函数()f x 与()g x 相切于点(1,1)-，求,a b 的值； （2）若()g x 是函数()f x 图象的切线，求2b a -的最小值.19．（6分）已知函数32()3f x x ax x =--在1x =处取到极值.（1）求实数a 的值，并求出函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[1,2]-上的最大值与最小值及相应的x 的值.20．（6分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足302x x -<+ （1）若1a =且p∧q 为真，求实数x 的取值范围； （2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 21．（6分）已知曲线()πsin 0,0,2y A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭上的最高点为(2，该最高点到相邻的最低点间曲线与x 轴交于一点()6,0,求函数解析式,并求函数在[]6,0x ∈-上的值域. 22．（8分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cos2sinx a ty t=⎧⎨=⎩（t为参数，0a>），已知直线l的方程为40x y-+=.（1）设P是曲线C上的一个动点，当2a=时，求点P到直线l的距离的最小值；（2）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．B【解析】由题()()()()1-ti1-i1-ti1-t1+tz===-i1+i1+i1-i22．又对应复平面的点在第四象限，可知110022t t且-+>-<，解得11t-<<．故本题答案选B．2．A【解析】【分析】根据随机变量的定义可得到结果.【详解】Q抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件∴出现7点的次数不能作为随机变量本题正确选项：A【点睛】本题考查随机变量的定义，属于基础题.3．D【解析】【分析】先利用复数的除法将复数表示为一般形式，于是可得出复数的虚部。
2019-2020学年浙江省舟山市数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析
2019-2020学年浙江省舟山市数学高二(下)期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数()1sin 2=-f x x x 在[0,]2π上的最小值和最大值分别是A ．62π- B ．1,04π- C ．,1624ππ-- D ．1122,-2．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，且P 满足122PF PF b -=，则C 的离心率e 满足（ ）A ．2310e e -+=B ．42310e e -+=C ．210e e --=D ．4210e e --=3．已知复数2017i 12iz =-，则复数z 的虚部为 （ ）A ．25-B ．1i 5C ．15D ．15-4．设函数()f x 在1x =处存在导数，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆（ ） A ．1(1)3f ' B ．'(1)f C ．3(1)f ' D ．(3)f '5．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的所有项系数和是（ ） A ．0B ．1C ．256D ．5127．函数3()2ln =---f x x x x的单调递增区间是（） A ．(0,)+∞B ．(3,1)-C ．(0,1)D ．(1,)+∞8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．32000 cmD ．34000 cm9．已如集合{}20A x x =->，{}3B x =≤，则A B =I （ ）A ．(]2,3B ．[)2,3C ．()2,3D ．[]2,310．命题1220:,2e 0∀∈-+>⎰x p x x x dx R ，则（ ）A ．p 是真命题，:R p x ⌝∀∈，12202e 0-+≤⎰x x x dxB ．p 是假命题，:R p x ⌝∀∈，12202e0-+≤⎰xx x dxC ．p 是真命题，:p x ⌝∃∈R ，12202e0-+≤⎰xx x dxD ．p 是假命题，:p x ⌝∃∈R ，12202e 0-+≤⎰x x x dx11．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个12．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜.根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为23，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ） A ．727B ．49C ．1627 D ．2027二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则()2P ξ=为_____.14．已知全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,2A＝ ，{}2,3B ＝，则()U A B =U ð_______． 15．已知正数x y ，满足23x y +=，则212y x y+的最小值____________． 16．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为_________________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知F 是椭圆22184x y +=的右焦点，过F 的直线l 与椭圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，两点.（1）若1285x x =，求弦AB 的长； （2）O 为坐标原点，AOB θ∠=，满足tan OA OB θ→→⋅=l 的方程.18．已知α.β为锐角，3tan 4α=，()sin αβ-=（1）求cos2α的值； （2）求()tan αβ+的值.19．（6分）已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程； （2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．20．（6分）某大学综合评价面试测试中，共设置两类考题：A 类题有4个不同的小题，B 类题有3个不同的小题.某考生从中任抽取3个不同的小题解答. （1）求该考生至少抽取到2个A 类题的概率；（2）设所抽取的3个小题中B 类题的个数为X ，求随机变量X 的分布列与均值.21．（6分）已知函数2()x x f x e =（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数2()()()1g x f x kf x =-+恰有四个零点，求实数k 的取值范围。
浙江省舟山市2020年高二第二学期数学期末统考试题含解析
浙江省舟山市2020年高二第二学期数学期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次，若抽到各球的机会均等，事件A =“三次抽到的号码之和为6”，事件B =“三次抽到的号码都是2”，则()|P B A =（ ） A ．17B ．27C ．16D ．727【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意得，事件A =“三次抽到的号码之和为6”的概率为33317()327A P A +==，事件,AB 同时发生的概率为311()327P AB ==，所以根据条件概率的计算公式()1()127|7()727P AB P B A P A ===. 考点：条件概率的计算.2．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 AB．C ．3D ．5【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】因为抛物线的焦点是3,0F （），所以双曲线的半焦距3c =，224+3b ∴=，4b a ∴==，所以一条渐近线方程为y x =，20y -=，d ∴== A.【点考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系，考查推理论证能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想3．已知82x ⎛+ ⎝的二项展开式中含52x -项的系数为m ，则11mx dx x +=⎰( ) A ．154ln2－ B ．164ln 2- C ．15? 4ln2+ D ．16?41n2+【答案】C 【解析】分析：先根据二项式定展开式通项公式求m,再求定积分.详解：因为82x ⎛ ⎝的二项展开式中38882188(2)(2)r r r r r r r T C x C x ---+==，所以7878358721622r r m C --=-∴=∴==, 因此161161(ln )16ln161154ln 2.1x dx x x x+=+=+-=+⎰选C.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.4．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，x =确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（ ）A1 B1 C+D【答案】B 【解析】 【分析】设()1012122...t t =>+++，可得12t t=+，求解即可. 【详解】设()1012122...t t =>+++，则12t t=+，即2210t t +-=，解得1t =，取1t =. 故选B. 【点睛】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.5．已知函数()f x 在0x >上可导且满足()()0xf x f x '->，则下列一定成立的为A ．()()f f e e ππ>B ．()()f f e π<C ．()()f f e eππ< D ．()()f f e π>【答案】A 【解析】 易知()()2()()()(),'0f x xf x f x xf x f x x x '=-'-<Q 在(0,)+∞上恒成立， ()f x y x ∴=在(0,)+∞上单调递减，又()(),f f e e eπππ<∴<Q . 本题选择C 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 6．对任意的实数x 都有f(x ＋2)－f(x)＝2f(1)，若y ＝f(x －1)的图象关于x ＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断函数f （x ）是偶函数，结合条件关系求出函数的周期，进行转化计算即可． 【详解】y=f （x ﹣1）的图象关于x=1对称，则函数y=f （x ）的图象关于x=0对称，即函数f （x ）是偶函数，令x=﹣1，则f （﹣1+2）﹣f （﹣1）=2f （1）， 即f （1）﹣f （1）=2f （1）=0， 即f （1）=0，则f （x +2）﹣f （x ）=2f （1）=0， 即f （x +2）=f （x ），则函数的周期是2，又f （0）=2，则f （2015）+f （2016）=f （1）+f （0）=0+2=2， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数关系判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键． 7．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）由上表可得回归方程为ˆˆ10.2yx a =+，据此模型， 预测广告费为10万元时销售额约为（ ） A ．118.2万元 B ．111.2万元C ．108.8万元D ．101.2万元【答案】B 【解析】分析：平均数公式可求出x 与y 的值,从而可得样本中心点的坐标，代入回归方程求出$a，再将10x =代入回归方程得出结论.详解：由表格中数据可得，4,50x y ==，50410.2ˆa∴=⨯+，解得$9.2a =， ∴回归方程为10.2.2ˆ9yx =+， ∴当10x =时，10.2109.21ˆ11.2y=⨯+=， 即预测广告费为10万元时销售额约为111.2，故选B.点睛：本题考查了线性回归方程的性质与数值估计，属于基础题. 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.8．已知向量()1,1a x =-r ，(),2b y =r ，其中0x >，0y >．若a b ⊥r r ，则xy 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．14D ．12【答案】D【解析】 【分析】已知向量()1,1a x =-r ，(),2b y =r ， 根据a b ⊥r r ，得到()210+-=y x ，即22x y +=，再利用基本不等式21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy 求解.【详解】已知向量()1,1a x =-r，(),2b y =r ， 因为a b ⊥r r ，所以()210+-=y x ， 即22x y +=， 又因为0x >，0y >，所以2112122222+⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭x y xy xy ，当且仅当22x y +=，2x y =，即1,12x y ==时，取等号， 所以xy 的最大值为12. 故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．下面四个命题：1p ：命题“2,2n n N n ∀∈>”的否定是“0200,2n n N n ∃∉≤”；2p :向量()(),1,1,a m b n ==-v v，则m n =是a b ⊥v v 的充分且必要条件；3p ：“在ABC ∆中，若A B >，则“sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC ∆中，若sin sin A B ≤，则“A B ≤”；4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 是假命题.其中为真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断1p ；根据向量垂直的坐标表示判断2p ；根据逆否命题的定义判断3p ；由且命题的性质判断4p . 【详解】1p ：命题“2,2n n N n ∀∈>”的否定是“0200,2n n N n ∃∈≤”，1p 不正确； 2p : a b⊥v v 的充分且必要条件是()(),1.1,0m n -=等价于m 0n -=,即为m n =，2p 正确； 3p ：由逆否命题的定义可知，“在ABC ∆中，若A B >，则“sin sin A B >” 的逆否命题是“在ABC ∆中，若sin sin A B ≤，则“A B ≤”，3p 正确； 4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 是假命题或q 是假命题，4p 不正确.所以，真命题的个数是2，故选B. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，主要综合考查全称命题的否定、向量垂直的充要条件、逆否命题的定义、“且”命题的性质，属于中档题. 这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.10．如果根据是否爱吃零食与性别的列联表得到2 5.852K ≈，所以判断是否爱吃零食与性别有关，那么这种判断犯错的可能性不超过（ ） 注：A ．2.5%B ．0.5%C ．1%D ．0.1%【答案】A 【解析】 【分析】根据2 5.852K ≈得到()25.0240.025P K ≥≈，得到答案. 【详解】2 5.852K ≈，故()25.0240.025P K ≥≈，故判断“是否爱吃零食与性别有关”出错的可能性不超过2.5%. 故选：A . 【点睛】本题考查了独立性检验问题，意在考查学生的理解能力和应用能力. 11．在某次试验中，实数,x y 的取值如下表：若y 与x 之间具有较好的线性相关关系，且求得线性回归方程为1y x ∧=+，则实数m 的值为（ ） A ．1.5 B ．1.6C ．1.7D ．1.9【答案】D 【解析】 【分析】根据表中数据求得,x y ，代入回归直线方程即可求得结果. 【详解】由表中数据可知：0135635x ++++==，314.35m y +=又ˆ1yx =+ 314.3315m +∴=+，解得： 1.9m = 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用回归直线求解数据的问题，关键是明确回归直线恒过点(),x y ，属于基础题.12．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，以O 为圆心，12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P ，且直线OPA ．2B C D 1【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出． 【详解】在Rt △PF 1F 2中，∠F 1PF 2=90°，直线OP 故得到∠POF 2=60°，∴|PF 2|=c ，由三角形三边关系得到|PF 1，又|PF 1|+|PF 2，∴1c a . 故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．给出定义 ：对于三次函数32()(0),f x ax bx cx d a =+++≠设'()f x 是函数()y f x =的导数，()f x ''是'()f x 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点0,0((())x f x 为函数()y f x =的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数3232115()32,()33212h x x x x g x x x x =-++=-+-.设1234037()()()......(),2019201920192019h h h h n ++++=1232018()()()......()2019201920192019g g g g m +++=.若2()(1),t x mx nxt '=+则(0)t '=__________． 【答案】-4037 【解析】 【分析】由题意对已知函数求两次导数,令二阶导数为零,即可求得函数的中心对称,即有()(1)2g x g x +-=,()(2)2h x h x +-=,借助倒序相加的方法,可得,m n 进而可求2()(1)t x mx nxt '=+的解析式,求导,当1x =代入导函数解得(1)t ',计算求解即可得出结果. 【详解】 函数32115()33212g x x x x =-+-函数的导数2()3,()21g x x x g x x '''=-+=-由()0g x ''=得0210x -=解得012x =,而112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭故函数()g x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称, ()(1)2g x g x ∴+-=故1232018()()()...+()2019201920192019g g g g m +++=，201820171201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L两式相加得220182m ⨯=，则2018m =.同理32()32h x x x x =-++,2()361h x x x '=-+,()66h x x ''=-,令()0h x ''=,则1x =,(1)1h =,故函数()h x 关于点()1,1对称,()(2)2h x h x ∴+-=,1234037()()()...(),2019201920192019h h h h n ++++=4037403640351()()()...(),2019201920192019h h h h n ++++=两式相加得240372n ⨯=,则4037n =. 所以2()20184037(1),t x x xt '=+()40364037(1),t x x t ''=+当1x =时, (1)40364037(1),t t ''=+解得:(1)=1t '-,所以()40364037,t x x '=-则(0)4037t =-'.故答案为: -4037. 【点睛】本题考查对新定义的理解,考查二阶导数的求法,仔细审题是解题的关键,考查倒序法求和,难度较难. 14．已知3sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=________ 【答案】247【解析】 【分析】先用同角三角函数平方和关系求出cos α，再利用商关系求出tan α，最后利用二倍角的正切公式求出tan2α的值.【详解】因为3sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 3cos tan 5cos 4αααα=⇒==， 22tan 24tan 21tan 7ααα⇒==-.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系，考查了二倍角的正切公式.15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为__________．【答案】1) 【解析】 【分析】利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率，利用渐近线的夹角求双曲线的离心率，从而得出答案。
2020年浙江省舟山市数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析
2020年浙江省舟山市数学高二第二学期期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．如果()12fx x x +=+，则()f x 的解析式为（ ）A ．()()21f x x x =≥ B ．()()210f x x x =-≥C ．()()211f x x x =-≥D ．()()20f x xx =≥【答案】C 【解析】 【分析】根据配凑法，即可求得()f x 的解析式，注意定义域的范围即可． 【详解】 因为()12f x x x +=+，即()()2111f x x +=+-令1t x =+ ，1t ≥则()21f t t =-，1t ≥ 即()()211f x x x =-≥所以选C 【点睛】本题考查了配凑法在求函数解析式中的应用，注意定义域的范围，属于基础题．2．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将Rt ABF ∆、Rt CDE ∆分别沿BF 、DE 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误是（ ）A ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．A 、C 两点都不可能重合D ．存在某个位置，使得直线AB 垂直于直线CD 【答案】D 【解析】 【分析】在A 中，可找到当AF AC ⊥时，直线AF 与直线CE 垂直；在B 中，由选项A 可得线AF 与直线CE 所成的角可以从0o 到90o ，自然可取到60︒； 在C 中，若A 与C 重合，则AF CD =，推出矛盾；在D 中，若AB ⊥CD ，可推出则90CAD ACD ∠>∠=o ，矛盾. 【详解】解：将DE 平移与BF 重合，如图：在A 中，若AF CE ⊥，又AF AB ⊥，则AF ⊥面ABC ，则AF AC ⊥，即当AF AC ⊥时，直线AF 与直线CE 垂直，故A 正确；在B 中，由选项A 可得线AF 与直线CE 所成的角可以从0o 到90o ，必然会存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，故B 正确；在C 中，若A 与C 重合，则AF CD =，不符合题意，则A 与C 恒不重合，故C 正确； 在D 中，，又CB ⊥CD ，则CD ⊥面ACB ，所以AC ⊥CD ，即90ACD ∠=o ，又CD AD >，则90CAD ACD ∠>∠=o ，矛盾，故D 不成立；故选：D .【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题. 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为12232πππ⨯+⨯⨯=，故选A. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.4．如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（ ）A ．122434++B ．82434++C ．82438++D ．821238++【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积. 【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥P ABC -，其中P A B 、、是棱长为4的正方体的顶点，C 为正方体的底面中心，注意到,PC BC AB PB ⊥⊥所以1=42PCA S ∆⨯=11422PCB ABP S S ∆∆=⨯==⨯⨯=142ABC S ∆=⨯=，因此该三棱锥的表面积等于4.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系． 5．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤< B ．{}2x x ≥- C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<【答案】B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<Q {}2M N x x ∴⋃=≥-本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题. 6．由曲线1y x=，直线1x =，2x =和x 轴所围成平面图形的面积为（ ） A ．12B ．ln 2C ．1D ．2ln 2【答案】B 【解析】 【分析】利用定积分表示面积，然后根据牛顿莱布尼茨公式计算，可得结果. 【详解】12121ln ln 2S dx x x=⎰==，故选：B 【点睛】本题主要考查微积分基本定理，熟练掌握基础函数的导函数以及牛顿莱布尼茨公式，属基础题.7．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C 【解析】分析：写出103152r r rr T C x -+=n n ，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭n n 令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C n =⨯=故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
2020年浙江省舟山市数学高二下期末教学质量检测试题含解析
2020年浙江省舟山市数学高二下期末教学质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，当0x >时，()1f x x x=+，则()f x 的值域为（ ） A ．(][),22,-∞-+∞B ．[]22-,C ．(][),11,-∞-+∞D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】先用基本不等式求0x >时函数的值域，然后利用函数奇偶性的性质即可得到整个函数的值域. 【详解】当0x >时()12f x x x=+≥，（当且仅当1x =时取等号）， 又()f x 为奇函数，当x<0时，()2f x ≤-, 则()f x 的值域为(][),22,-∞-⋃+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用基本不等式求函数最值问题，属于基础题.2．设()f x 在定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]2,3单调递减，则（） A ．()f x 在区间[]3,2--单调递减 B ．()f x 在区间[]2,1--单调递增 C ．()f x 在区间[]3,4单调递减 D ．()f x 在区间[]1,2单调递增【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，同时关于1x =对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解． 【详解】由函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以()f x 是周期为2的周期函数，由函数()f x 在区间[]2,3单调递减，可得[]0,1,[2,1]--单调递减，所以B 不正确；由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，在区间[]2,3单调递减，可得在区间[]3,2--单调递增，所以A 不正确；又由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，则()()f x f x -=-，即()()2f x f x -=+，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 在区间[]3,4单调递增，在在区间[]1,2单调递增，所以C 不正确，D 正确， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．已知m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ，n 没有公共点，则//m n B ．若,m n ⊂α⊂β，//αβ，则//m n C ．若,//m m n ⊂α，则//n α D ．若//m n ⊥αα，，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中点、线、面位置关系的判定与性质依次对选项进行判断，由此得到答案。
2022-2023学年浙江省舟山市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省舟山市高二（下）期末数学试卷一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A ＝{2，0，23}，B ＝{20，2，3}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{2，0}B ．{0，23}C ．{2，0，23}D ．R2．已知平面α，β，直线l ，a ，b ，若α∩β＝1，a ⊂α，b ⊂β且b ⊥l ，则“a →⊥b →”是“a ⊥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点A （4，2），B （1，m ），C （sin1，n ），则m 与n 的大小关系为（ ） A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不能确定4．2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度v （单位：km /s ）与燃料质量M （单位：kg ）、火箭质量m （单位：kg ）的函数关系为v =2ln(1+Mm )．若已知火箭的质量为3100kg ，火箭的最大速度为11km /s ，则火箭需要加注的燃料质量为（ ） （参考数值为ln 2≈0.69，ln 244.69≈5.50，结果精确到0.01t ，1t ＝1000kg ） A ．243.69tB ．244.69tC ．755.44tD ．890.23t5．现随机将1，2，3，…，9这9个整数填入给定的三角形网格内，每个数字只能使用一次，则中间一行均为奇数的填法的概率为（ ）A ．542B ．59C ．18D ．136．已知函数f （x ）＝2cos （ωx +φ）的部分图象如图所示，ω＞0，|φ|＜π，则满足(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))＜0的整数x 取值可能为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07．定义在R 上的函数f （x ）满足f(0)=0，f(x)+f(1−x)=1，f(x5)=12f(x)，且当0≤x 1＜x 2≤1时，f （x 1）≤f （x 2），则f(12023)=（ ） A ．1256B ．1128C ．164D ．1328．如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 中，正三角形P AB 的边长为2，AD ⊥平面PCD ，BC ∥AD ，且BC ＝2AD ，则四棱锥P ﹣ABCD 的体积的最大值为（ ）A ．√22B ．√32C ．√2D ．√3二、选择题Ⅱ（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．舟山某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）A ．x ＝0.01B ．该样本数据的中位数和众数均为85C ．若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改D ．为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在[50，60）的学生4人10．在复平面内，复数z 1=0，z 2=1+√2i ，z 3=√2+i （i 为虚数单位）对应的点分别为O ，A ，B ，下列描述正确的是（ ） A ．z 2z 3=iB ．cos ∠AOB =2√23C ．若z 2是关于x 的实系数方程x 2+px +q ＝0的一个根，则p ＝2，q ＝2D ．若复数z 满足|z ﹣z 2|＝|z 3|，则|z |的最大值为2√311．设函数f （x ）＝min {（x ﹣2）2，|x |，（x +2）2}，其中min {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小者，则下列说法正确的是（ ） A ．f （﹣x ）＝f （x ）B ．当x ∈[﹣3，3]时，则f （x ）≤1C ．当x ∈[1，+∞）时，则f （x ﹣2）≤f （x ）D ．f （f （x ））≤f （x ）12．已知P ，Q 是边长为1的正方形ABCD 边上的两个动点，则下列结论正确的是（ ） A ．AP →⋅DQ →的最小值为﹣1B ．CQ →⋅BP →的最大值为2C ．AP →⋅CQ →−BP →⋅DQ →的最小值为﹣2D ．AP →⋅CQ →−BP →⋅DQ →的最大值为1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．二项式(x +2x )n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含x 6的项是 ． 14．已知2tanα−tan(α+π4)=7，则cos 2α+sin2α＝ ．15．欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有 种上楼梯的方法．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥BC ，BC =2PA =2AB =2，PC =√6，点M ，N 分别是PB ，BC 的中点，且AM ⊥PC ，则平面AMN 截三棱锥P ﹣ABC 的外接球所得截面的面积是 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在直角坐标系中，O 是坐标原点，向量OA →=(3，1)，OB →=(2，−1)，OC →=(a ，b)，其中a＞0，b ＞0．（1）若OB →与OC →的夹角为45°，求ba的值；（2）若AB →⊥AC →，求1a+1b的最小值．18．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx ，角C 满足f （C ）＝0． （1）求C 的值；（2）若c ＝2b cos B ，且在下列两个条件中选择一个作为已知，求BC 边上的中线长度． ①△ABC 的周长为2+√3； ②△ABC 的面积为√34． 19．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，被调查的男女生人数相同，其中“了解”的学生中男生人数是女生的65倍．若统计发现在女生中“了解”和“不了解”的人数恰好一样多，应用卡方独立性检验提出零假设为H 0：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关联，经计算得到χ2≈4.040．（1）根据频率稳定于概率的原理，分析性别是否会影响学生对杭州亚运会项目的了解情况； （2）求被抽样调查的总人数，并依据小概率值α＝0.05的卡方独立性检验，分析该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别是否有关联；（3）用样本的频率估计概率，从该校全体学生中随机抽取10人，其中对亚运会项目“了解”的人数记为X ，求随机变量X 的方差．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝45°，平行于AA 1和BC 1的平面分别与AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1交于D ，E ，F ，G 四点． （1）试判断四边形DEFG 的形状，并说明理由；（2）若AA 1＝3，D 是AB 的中点，求直线DF 与平面ABC 所成角的正弦值．21．（12分）在某项测验中，共有20道多项选择题（15道双选题和5道三选题随机排列），每道题都给出了4个选项，其中正确的选项有两个（双选题）或者三个（三选题），全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．现有甲乙两位同学均已答完前19题，两人对于每一题的答对与否均不确定．（1）若甲同学在解答第20题时，随机选择一个选项作答，求他第20题得2分的概率；（2）若乙同学在解答第20题时，已正确判断出A选项是错误的，而对BCD三个选项的正确与否无法确定，现在有三个方案：①从BCD三个选项中随机选一个作为答案；②从BCD选项中随机选两个作为答案；③直接选择BCD作为答案；为使第20题得分的期望最大，乙同学应选择哪个方案作答，并说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+2x+a（x＞0）满足f（log2a）＝f（2﹣log2b），函数g(x)=log2(2x−4)⋅log b(x2−1)，其中a，b∈R．（1）求f（x）的值域（用a表示）；（2）求a+b的取值范围；（3）若存在实数b，使得g（f（x））﹣3log b a≥3有解，求a的取值范围．2022-2023学年浙江省舟山市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A ＝{2，0，23}，B ＝{20，2，3}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{2，0}B ．{0，23}C ．{2，0，23}D ．R解：因为集合A ＝{2，0，23}，B ＝{20，2，3}，则∁R B ＝{x ∈R |x ≠20，x ≠2，x ≠3}， 则A ∩（∁R B ）＝{0，23}． 故选：B ．2．已知平面α，β，直线l ，a ，b ，若α∩β＝1，a ⊂α，b ⊂β且b ⊥l ，则“a →⊥b →”是“a ⊥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：如下图α∩β＝1，a ⊂α，b ⊂β且b ⊥l ，a →⊥b →，则l ∥a ，此时a ⊄β，l ⊂β，所以a ∥β，充分性不成立；若a ⊥β，因为b ⊂β，所以a →⊥b →，必要性成立，故“a →⊥b →”是“a ⊥β”的必要不充分条件． 故选：B ．3．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点A （4，2），B （1，m ），C （sin1，n ），则m 与n 的大小关系为（ ） A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不能确定解：依题意，设f （x ）＝x α（α为实常数），于是4α＝2，解得α=12，则f(x)=x 12=√x ， 因此m ＝f （1）＝1，n ＝f （sin1）=√sin1，∵0＜sin1＜1，∴n =√sin1，＜1，所以m ＞n ． 故选：A ．4．2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度v （单位：km /s ）与燃料质量M （单位：kg ）、火箭质量m （单位：kg ）的函数关系为v =2ln(1+Mm)．若已知火箭的质量为3100kg ，火箭的最大速度为11km /s ，则火箭需要加注的燃料质量为（ ） （参考数值为ln 2≈0.69，ln 244.69≈5.50，结果精确到0.01t ，1t ＝1000kg ） A ．243.69tB ．244.69tC ．755.44tD ．890.23t解：由题意知，m ＝3100kg ，v ＝11km /s ， 所以11＝2ln （1+M 3100），即ln （1+M3100）＝5.5≈ln 244.69， 所以1+M3100≈244.69，即M ≈755439kg ≈755.44t ． 故选：C ．5．现随机将1，2，3，…，9这9个整数填入给定的三角形网格内，每个数字只能使用一次，则中间一行均为奇数的填法的概率为（ ）A ．542B ．59C ．18D ．13解：随机将1，2，3，…，9这9个整数填入给定的三角形网格内，每个数字只能使用一次共有A 99种排法，中间一行均为奇数的填法A 53A 66，则中间一行均为奇数的填法的概率P=A 53A 66A 99=5×4×37×8×9=542．故选：A ．6．已知函数f （x ）＝2cos （ωx +φ）的部分图象如图所示，ω＞0，|φ|＜π，则满足(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))＜0的整数x 取值可能为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0解：设函数的最小正周期为T ，则34T =13π12−π3，∴T ＝π，故ω=2ππ=2， 由f(13π12)=2cos(13π6+φ)=2cos(π6+φ)=2， 得π6+φ=2kπ，k ∈Z ，∴φ=−π6+2kπ，k ∈Z ， 因为|φ|＜π，故φ=−π6，即f(x)=2cos(2x −π6)， f(−7π4)=2cos(−11π3)=1，f(4π3)=2cos(5π2)=0， 故由(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))＜0可得0＜f （x ）＜1， 即0＜cos(2x −π6)＜12，则−π2+2kπ＜2x −π6＜−π3+2kπ，k ∈Z 或π3+2kπ＜2x −π6＜π2+2kπ，k ∈Z ，即−π6+kπ＜x ＜−π12+kπ，k ∈Z 或π4+kπ＜x ＜π3+kπ，k ∈Z ，当k ＝0时，存在π4＜x ＜π3，此时整数x 取值为1； 当k ＝1时，5π6＜x ＜11π12或5π4＜x ＜4π3，此时整数x 取值为4；当k 取比2大的整数时，整数x 的取值都大于4， 结合选项可得整数x 取值可为1， 故选：C ．7．定义在R 上的函数f （x ）满足f(0)=0，f(x)+f(1−x)=1，f(x5)=12f(x)，且当0≤x 1＜x 2≤1时，f （x 1）≤f （x 2），则f(12023)=（ ） A ．1256B ．1128C ．164D ．132解：∵f （0）＝0，f （x ）+f （1﹣x ）＝1，令x ＝1得：f （1）＝1，又f(x 5)=12f(x)⇒f(15)=12，反复利用f(x 5)=12f(x)可得：f(13125)=12f(1625)=14f(1125)=18f(125)=116f(15)=132①， 再令x =12，由 f （x ）+f （1﹣x ）＝1，可求得 f(12)=12， 同理反复利用 f(x5)=12f(x) 可得：f(11250)=12f(1250)=14f(150)=18f(110)=116f(12)=132②， 由①②可得：有f(11250)=f(13125)=132， ∵0≤x 1＜x 2≤1，f （x 1）≤f （x 2），而0＜13125＜12023＜11250＜1， 所以 f(12023)≥f(13125)=132， f(12023)≤f(11250)=132， 故 f(12023)=132． 故选：D ．8．如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 中，正三角形P AB 的边长为2，AD ⊥平面PCD ，BC ∥AD ，且BC ＝2AD ，则四棱锥P ﹣ABCD 的体积的最大值为（ ）A ．√22B ．√32C ．√2D ．√3解：连接AC ，∵AD ⊥平面PCD ，BC ∥AD ，且BC ＝2AD ， ∴2V P ﹣ACD ＝V P ﹣ABC ，且V P ﹣ABCD ＝3V P ﹣ACD ， 设AD ＝a ，则BC ＝2a ，在Rt △PBC 中，2a ＜2，则0＜a ＜1，∴PD =√4−AD 2=√4−a 2，CD =√AB 2−(12BC)2=√4−a 2，PC =√PB 2−BC 2=√4−4a 2， 取PC 的中点E ，连接DE ，如图所示：则DE ⊥PC ，∴DE =√CD 2−CE 2=√4−a 2−(1−a 2)=√3， ∴V P−ACD =V A−PCD=13S △PCD AD =13×12PC ×DE ×AD =√33a√1−a 2≤√33√(1−a 2+a 22)2=√36，当且仅当1﹣a 2＝a 2，即a =√22时等号成立，此时四棱锥P ﹣ABCD 的体积的最大值为√32． 故选：B ．二、选择题Ⅱ（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．舟山某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）A ．x ＝0.01B ．该样本数据的中位数和众数均为85C ．若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改D ．为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在[50，60）的学生4人解：对于A ，由直方图可知：（x +0.015+0.020+0.030+0.025）×10＝1， 解得x ＝0.01，故A 正确；对于B ，设中位数为80+y ，则(0.01+0.015+0.020)×10+0.030y =0.5，y =53，所以中位数为8123分，故B 错误；对于C ，平均分为（55×0.01+65×0.015+75×0.020+85×0.030+95×0.025）×10＝79.5＜85，故C 正确； 对于D ，[50，60）组有0.01×10×100＝10（人），同理[60，70）组有15（人），[70，80）组有20（人）， 根据分层抽样的原理，从[50，60）组抽取的人数为1010+15+20×18=4（人），故D 正确．故选：ACD ．10．在复平面内，复数z 1=0，z 2=1+√2i ，z 3=√2+i （i 为虚数单位）对应的点分别为O ，A ，B ，下列描述正确的是（ ） A ．z 2z 3=iB ．cos ∠AOB =2√23C ．若z 2是关于x 的实系数方程x 2+px +q ＝0的一个根，则p ＝2，q ＝2D ．若复数z 满足|z ﹣z 2|＝|z 3|，则|z |的最大值为2√3 解：对于A ，z 2=1−√2i ，z 2z 3=√2i √2+i=√2i)(√2−i)(√2+i)(√2−i)=−3i3=−i ，故A 错误； 对于B ，由题意可知：O(0，0)，A(1，√2)，B(√2，1)，OA →=(1，√2)，OB →=(√2，1)， |OA →|=√1+2=√3，|OB →|=√2+1=√3，cos ∠AOB =OA →⋅OB →|OA →|⋅|OB →|=√2+√2√3×√3=2√23，故B 正确；对于C ，由题意可知：方程x 2+px +q ＝0的两个根为z 2=1+√2i ，z 2=1−√2i ， 则{z 2+z 2=−p z 2⋅z 2=q，{p =−2q =3，故C 错误；对于D ，|z 3|=√2+1=√3，设z ＝x +yi ，则其对应的点为（x ，y ），x ，y ∈R由|z ﹣z 2|＝|z 3|，则√(x −1)2+(y −√2)2=√3，动点（x ，y ）的轨迹为以(1，√2)为圆心，以√3为半径的圆，由（0，0）也在该圆上，故|z|max =√x 2+y 2=2√3，故D 正确． 故选：BD ．11．设函数f （x ）＝min {（x ﹣2）2，|x |，（x +2）2}，其中min {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小者，则下列说法正确的是（ ） A ．f （﹣x ）＝f （x ）B ．当x ∈[﹣3，3]时，则f （x ）≤1C ．当x ∈[1，+∞）时，则f （x ﹣2）≤f （x ）D ．f （f （x ））≤f （x ）解：根据f （x ）＝min {（x ﹣2）2，|x |，（x +2）2}，作出以下图形：对A 选项，由|x |＝（x ﹣2）2，|x |＝（x +2）2， 可得x ＝4和1，和x ＝﹣4和﹣1，则f （x ）={|x|，x ≤−4或x ≥4或−1≤x ＜1(x +2)2，−4＜x ＜−1(x −2)2，1≤x ＜4，结合图象可知f （x ）为偶函数，所以f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，故选项A 正确； 对B 选项，当x ∈[﹣3，3]时，f （3）＝f （﹣3）＝1，f （1）＝f （﹣1）＝1， 显然根据图象得f （x ）≤1，故B 正确；对C 选项，当x ≥1时，f(x)={(x −2)2，1≤x ＜4x ，x ≥4，当x =32时，f(x −2)=f(32−2)=f(−12)=f(12)=12， 而f(32)=(32−2)2=14，此时f （x ﹣2）＞f （x ），故C 错误； 对D 选项，由图知，当x ∈R 时，f （x ）≥0，可令t ＝f （x ），由y ＝f （t ）和y ＝t （t ≥0）的图象知，当t ≥0时，y ＝t 在y ＝f （t ）的上方， 所以当t ≥0时，t ≥f （t ），即f （f （x ））≤f （x ）成立，故选项D 正确． 故选：ABD ．12．已知P ，Q 是边长为1的正方形ABCD 边上的两个动点，则下列结论正确的是（ ） A ．AP →⋅DQ →的最小值为﹣1B ．CQ →⋅BP →的最大值为2C ．AP →⋅CQ →−BP →⋅DQ →的最小值为﹣2 D ．AP →⋅CQ →−BP →⋅DQ →的最大值为1解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A （0，0），B （1，0），C （1，1），D （0，1），设P （x ，y ），Q （m ，n ）， 其中x ＝0或x ＝1时，y ∈[0，1]， y ＝0或y ＝1时，x ∈[0，1]，m ＝0或m ＝1时，n ∈[0，1]，n ＝0或n ＝1时，m ∈[0，1]，又AP →=(x ，y)，DQ →=(m ，n −1)，CQ →=(m −1，n −1)，BP →=(x −1，y)， 对于A ，AP →⋅DQ →=mx +y(n −1)≥0×0+y ×(0−1)≥−y ≥−1， 当且仅当m ＝x ＝n ＝0，y ＝1时等号成立， 故AP →⋅DQ →的最小值为﹣1，故A 正确； 对于B ，CQ →⋅BP →=(m −1)(x −1)+(n −1)y ， 因为﹣1≤m ﹣1≤0，﹣1≤x ﹣1≤0， 故0≤（m ﹣1）（x ﹣1）≤1， 而（n ﹣1）y ≤0， 故CQ →⋅BP →≤1，所以CQ →⋅BP →的最大值不可能为2，故B 错误；对于C ，AP →⋅CQ →−BP →⋅DQ →=x(m −1)+y(n −1)−(x −1)m −y(n −1)=m −x ， 因为0≤m ≤1，0≤x ≤1， 故﹣1≤m ﹣x ≤1，当且仅当m ＝1，x ＝0时，m ﹣x ＝1， 当且仅当m ＝0，x ＝1时，m ﹣x ＝﹣1，所以AP →⋅CQ →−BP →⋅DQ →的最小值为﹣1，AP →⋅CQ →−BP →⋅DQ →的最大值为1， 故C 错误，D 正确． 故选：AD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．二项式(x +2x )n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含x 6的项是 180x 6 ． 解：因为二项式(x +2x )n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式中共有11项，∴n ＝10，故(x +2x )10展开式的通项为T r+1=C 10r ⋅x 10−r ⋅2r ⋅x −r =2r ⋅C 10r ⋅x 10−2r ，令10﹣2r＝6，解得r＝2，故展开式中含x6的项是22⋅C102x6=180x6．故答案为：180x6．14．已知2tanα−tan(α+π4)=7，则cos2α+sin2α＝1．解：因为tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=tanα+11−tanα，所以2tanα−tan(α+π4)=2tanα−tanα+11−tanα=7，化简得tan2α﹣4tanα+4＝0，解得tanα＝2，cos2α+sin2α=cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=1+2tanαtan2α+1=1+2×222+1=1．故答案为：1．15．欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有21种上楼梯的方法．解：本题可采用分类加法计数原理，第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法；第二类：1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有C61=6种方法；第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有C52=10种方法；第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有C43=4种方法；共有1+6+10+4＝21种方法．故答案为：21．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥BC，BC=2PA=2AB=2，PC=√6，点M，N分别是PB，BC的中点，且AM⊥PC，则平面AMN截三棱锥P﹣ABC的外接球所得截面的面积是7π6．解：因为P A＝AB，M是PB的中点，所以AM⊥PB，又AM⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以AM⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AM⊥BC，又P A⊥BC，P A∩AM＝A，P A，AM⊂平面P AB，所以BC ⊥平面P AB ，又P A ，AB ，PB ⊂平面P AB ， 所以BC ⊥AB ，BC ⊥PB ，BC ⊥P A ， 在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，BC ⊥AB ， 所以AC =√AB 2+BC 2=√5，在△P AC 中，AC =√5，PA =1，PC =√6，所以AC 2+P A 2＝PC 2，所以AC ⊥P A ， 取PC 的中点O ，又BC ⊥PB ，AC ⊥P A ，所以OA ＝OB ＝OC ＝OP ，即点O 是三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心， 且AC ∩BC ＝C ，AC 、BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥平面ABC ， AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥P A ， 因为PC =√6，故外接球半径为R =√62，设O 到平面AMN 的距离为h ，平面AMN 截球O 所得的截面圆的半径为r ，因为MN 是△PBC 的中位线，所以O 到平面AMN 的距离等于B 到平面AMN 的距离， 故V O ﹣AMN ＝V B ﹣AMN ＝V N ﹣AMB ，即13×12×√22×√62×ℎ=13×1×12×√22×√22，得ℎ=√33， 所以r 2=R 2−ℎ2=76，所以截面圆的面积为S =πr 2=76π． 故答案为：76π．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在直角坐标系中，O 是坐标原点，向量OA →=(3，1)，OB →=(2，−1)，OC →=(a ，b)，其中a ＞0，b ＞0．（1）若OB →与OC →的夹角为45°，求ba的值；（2）若AB →⊥AC →，求1a+1b的最小值．解：（1）由题意知向量OB →=(2，−1)，OC →=(a ，b)， 因为OB →与OC →的夹角为45°， 所以cos〈OB →，OC →〉=√22， 即cos〈OB →，OC →〉=OB →⋅OC→|OB →|⋅|OC →|=√5⋅√a 2+b=√22，解得ba=13（负值舍去）；（2）因为AB →=OB →−OA →=(−1，−2)，AC →=OC →−OA →=(a −3，b −1)， 又AB →⊥AC →，则AB →⋅AC →=0，即AB →⋅AC →=(−1)⋅(a −3)+(−2)⋅(b −1)=0， 即得a +2b ＝5， 又a ＞0，b ＞0， 故1a +1b=15(a +2b)⋅(1a+1b)=15(3+2b a+a b)≥3+2√25，当且仅当2b a =a b且a +2b ＝5，即a =5√22+√2b =52+√2时取得等号， 所以(1a+1b)min =3+2√25． 18．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx ，角C 满足f （C ）＝0． （1）求C 的值；（2）若c ＝2b cos B ，且在下列两个条件中选择一个作为已知，求BC 边上的中线长度． ①△ABC 的周长为2+√3；②△ABC 的面积为√34．解：（1）f(x)=sin 2x +√3sinxcosx =1−cos2x 2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12， 由f （C ）＝0得sin(2C −π6)=−12，∵C ∈(0，π)，2C −π6∈(−π6，11π6)， ∴2C −π6=76π，解得C =23π； （2）c ＝2b cos B ，由正弦定理得sin C ＝2sin B cos B ＝sin2B ， ∴C ＝2B 或C +2B ＝π，即B =π3（不合题意，舍去）或B =π6， ∴A =π6，选①：∵a ：b ：c =sinA ：sinB ：sinC =12：12：√32=1：1：√3，∴周长a +b +c =2a +√3a =2+√3，解得a ＝b ＝1，c =√3， 设BC 边上的中线为m ，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，∵D 为BC 中点，即2AD →=AB →+AC →，(2AD →)2=(AB →+AC →)2，4m 2=b 2+c 2+2bccosA ， ∴2（b 2+c 2）＝（2m ）2+a 2，即2（1+3）＝4m 2+1，解得m =√72；选②：a ：b ：c =sinA ：sinB ：sinC =12：12：√32=1：1：√3，∴三角形面积S =12absinC =12a 2×√32=√34，解得a ＝b ＝1，c =√3，设BC 边上的中线为m ，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，∵D 为BC 中点，∴2AD →=AB →+AC →，(2AD →)2=(AB →+AC →)2，4m 2=b 2+c 2+2bccosA ， ∴2（b 2+c 2）＝（2m ）2+a 2， 即2（1+3）＝4m 2+1，解得m =√72．19．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，被调查的男女生人数相同，其中“了解”的学生中男生人数是女生的65倍．若统计发现在女生中“了解”和“不了解”的人数恰好一样多，应用卡方独立性检验提出零假设为H 0：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关联，经计算得到χ2≈4.040．（1）根据频率稳定于概率的原理，分析性别是否会影响学生对杭州亚运会项目的了解情况； （2）求被抽样调查的总人数，并依据小概率值α＝0.05的卡方独立性检验，分析该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别是否有关联；（3）用样本的频率估计概率，从该校全体学生中随机抽取10人，其中对亚运会项目“了解”的人数记为X ，求随机变量X 的方差．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．解：（1）不妨设被调查的总人数为20n （n ∈N *）人， 若被调查的男女生人数相同， 此时男、女生人数均为10n ，其中女生中“了解”和“不了解”的人数均为5n ，“了解”的学生中男生人数是65×5n =6n ，则2×2列联表如下：因为男生中对杭州亚运会项目了解和不了解的频率分别为6n10n =0.6和4n10n=0.4，女生中对杭州亚运会项目了解和不了解的频率分别为5n10n =0.5和5n10n=0.5，则0.60.5=1.2，所以在被调查者中，男生了解亚运会项目是女生了解亚运会项目的频率的1.2倍，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为男生了解亚运会项目的概率大于女生了解亚运会项目的概率，即男生更了解亚运会项目；（2）易知χ2=20n×(6n×5n−4n×5n)210n×10n×11n×9n=20n99≈4.040，所以n＝20，被调查的总人数为400人．因为χ2≈4.040＞3.841，所以我们推断H0不成立，即认为该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；（3）易知抽取的学生中对亚运会项目“了解”的概率P=11 20，所以X∼B(10，1120 )，则D(X)=np(1−p)=10×1120×920=9940．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝∠A1AC＝45°，平行于AA1和BC1的平面分别与AB，AC，A1C1，A1B1交于D，E，F，G四点．（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）若AA1＝3，D是AB的中点，求直线DF与平面ABC所成角的正弦值．解：（1）四边形DEFG是矩形，下面给出证明：因为AA1∥CC1，由题意CC1∥平面DEFG，BC1∥平面DEFG，CC1∩BC1＝C1，CC1，BC1⊂面BCC1B1，所以平面BCC1B1∥平面DEFG，又平面ABB1A1∩平面DEFG＝DG，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，所以DG∥BB1，同理EF∥CC1，又CC1∥BB1，所以DG∥EF，同理DE∥BC∥B1C1∥GF，所以四边形DEFG是平行四边形．取BC中点P，连接AP、A1P，则AP⊥BC．又因为△ABA1≅△ACA1，所以A1B＝A1C，故有A1P⊥BC．AP、A1P交于P且都在面AA1P内，所以BC⊥平面AA1P，又AA1⊂面AA1P，所以BC⊥AA1，综上知：DE⊥DG，即四边形DEFG是矩形．（2）设F到平面ABC的距离为h，即为A1到平面ABC的距离．作A1H⊥AP交AP于点H，由（1）及BC在面ABC内知：平面AA1P⊥平面ABC，而AP为两垂直平面的交线，A1H在面AA1P内，所以A1H⊥平面ABC，h＝A1H．设直线DF与平面ABC所成角为θ，则sinθ=ℎDF．设AA1＝3，在△ABA1中由余弦定理知：A1B=√9+4−6√2=√13−6√2=A1C，在△A1BC中，A1P=√A1B2−1=√12−6√2，在△A 1AP 中，AP =√3，cos∠A 1AP =AA 12+AP 2−A 1P 22AA 1⋅AP=√63， 所以sin ∠A 1AP =√33，ℎ=A 1H =AA 1⋅sin∠A 1AP =√3． DF =√FG 2+DG 2=√1+9=√10， 所以sinθ=ℎDF =√310=√3010，所以直线DF 与平面ABC 所成角的正弦值为√3010．21．（12分）在某项测验中，共有20道多项选择题（15道双选题和5道三选题随机排列），每道题都给出了4个选项，其中正确的选项有两个（双选题）或者三个（三选题），全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．现有甲乙两位同学均已答完前19题，两人对于每一题的答对与否均不确定． （1）若甲同学在解答第20题时，随机选择一个选项作答，求他第20题得2分的概率；（2）若乙同学在解答第20题时，已正确判断出A 选项是错误的，而对BCD 三个选项的正确与否无法确定，现在有三个方案：①从BCD 三个选项中随机选一个作为答案； ②从BCD 选项中随机选两个作为答案； ③直接选择BCD 作为答案；为使第20题得分的期望最大，乙同学应选择哪个方案作答，并说明理由． 解：（1）设事件A ＝“第20题为双选题”，事件B ＝“第20题得2分”，则P(A)=34，P(A)=14，P(B|A)=C 21C 41=12，P(B|A)=C 31C41=34， 根据全概率公式有P(B)=P(A)⋅P(B|A)+P(A)⋅P(B|A)=34×12+14×34=916． （2）在20道多项选择题中，双选题出现的概率为1520=34，三选题出现的概率为520=14．①当乙从BCD 三个选项中随机选一个作答时，设乙同学在解答第20题的得分为X ， 若正确答案为两个选项，则得分X 的分布列为：此时X 的期望为E(X)=0×13+2×23=43；若正确答案为三个选项，则任意选一个均正确，得分X ＝2，此时X 的期望为2； 故E(X)=34×43+14×2=32；②当乙从BCD三个选项中随机选两个作答时，设乙同学在解答第20题的得分为Y．若正确答案为两个选项，则得分Y的分布列为：Y的期望为E(Y)=0×23+5×13=53；若正确答案为三个选项，则得分Y的期望为2；故E(Y)=34×53+14×2=74．③当乙同时选择BCD三个选项作答时，设乙同学在解答第20题的得分为Z，若正确答案为两个选项，则得分Z的期望为0：若正确答案为三个选项，则得分Z的期望为5；故E(Z)=34×0+14×5=54．因此E（Y）＞E（X）＞E（Z），建议乙同学选择方案②作答．22．（12分）已知函数f（x）＝x2+2x+a（x＞0）满足f（log2a）＝f（2﹣log2b），函数g(x)=log2(2x−4)⋅log b(x2−1)，其中a，b∈R．（1）求f（x）的值域（用a表示）；（2）求a+b的取值范围；（3）若存在实数b，使得g（f（x））﹣3log b a≥3有解，求a的取值范围．解：（1）因为f（x）＝x2+2x+a在（0，+∞）上单调递增，当x→0+时，f（x）→1+a；当x→+∞时，f（x）→+∞．所以f（x）的值域为（1+a，+∞）．（2）因为{2−log2b＞0b＞0且b≠1，所以0＜b＜1或1＜b＜4．由（1）知，f(log2a)=f(2−log2b)⇒log2a=2−log2b⇒ab=4⇒a=4 b ，所以a+b=b+4b∈[4，5)∪(5，+∞)，即a+b的取值范围是[4，5）∪（5，+∞）．（3）g（f（x））﹣3log b a≥3⇒g（f（x））≥3（log b a+1）＝3log b（ab）＝log b64＝g（3），因为a=4b∈(1，4)∪(4，+∞)，所以f（x）＞1+a＞2，此时2f（x）﹣4＞0和f2（x）﹣1＞0均成立，所以g（f（x））的定义域为（0，+∞）．①当1＜b＜4时，令x→+∞，则g（f（x））→+∞．所以g（f（x））≥g（3）恒有解，满足条件，此时a=4b∈(1，4)．②当0＜b＜1时，log b2＜0，因为f（x）＞1+a＞5，所以log2(2f(x)−4)＞0，log2(f2(x)−1)＞0，此时g(x)=log b2⋅log2(2x−4)⋅log2(x2−1)在（5，+∞）上单调递减，所以g（f（x））≥g（3）⇒f（x）≤3，与f（x）＞1+a＞5矛盾，此时a不存在．综上所述，a的取值范围是（1，4）．②解法二：当0＜b＜1时，f（x）＞1+a＞5，所以log2(2f(x)−4)＞log228＞4，log b(f2(x)−1)＜log b24＜0，此时g(f(x))=log2(2f(x)−4)⋅log b(f2(x)−1)＜4log b24＜log b64，即g（f（x））≥log b64无解，不符合题意，此时a不存在．综上所述，a的取值范围是（1，4）．。
2020年浙江省舟山市数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析
2020年浙江省舟山市数学高二第二学期期末教学质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人，每人1本，共有不同分法（ ） A ．39C B ．39AC ．69A D ．3393A A【答案】A 【解析】先分语文书有39C 种，再分数学书有66C ，故共有39C 66C =39C ，故选A.2．已知在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(5)f x +为偶函数，(10)1f =，则不等式()xf x e <的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞C ．(5,)+∞D ．(10,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：构造新函数()()x f x g x e=，利用已知不等式确定()g x 的单调性， 详解：设()()x f x g x e=，则'()()'()xf x f xg x e -=，由已知'()()f x f x <得)'(0g x <， ∴()g x 是减函数．∵(5)f x +是偶函数，∴()f x 的图象关于直线5x =对称， ∴(0)(10)1f f ==，0(0)(0)1f g e ==，()()1x f x g x e=<的解集为(0,)+∞，即()x f x e <的解集为(0,)+∞．故选A ．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，解题关键是是构造新函数()()xf xg x e =，对于含有'(),()f x f x 的已知不等式，一般要构造新函数如()()g x xf x =，()()f x g x x =，()()xg x e f x =，()()x f x g x e=等等，从而能利用已知条件确定()g x 的单调性，再解出题中不等式的解集．3．体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体自运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断: ①小红没有踢足球，也没有打篮球； ②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球；④小强没有踢足球,也没有打篮球.已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( )A．踢足球B．打篮球C．打羽毛球D．打乒乓球【答案】A【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可.详解：由题意可知：小红、小方、小强都没有打篮球，故小军打篮球；则小军没有踢足球，且已知小红、小强都没有踢足球，故小方踢足球.本题选择A选项.点睛：本题主要考查学生的推理能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（）A．50种B．51种C．140种D．141种【答案】D【解析】试题分析：小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多一个”和“少一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数．当6次选择均为“持平”时，共有661C=种方案；当6次选择中有4次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各一次，共有246430A C=种方案；当6次选择中有2次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各2次，共有22264290C C C=种方案；当6次选择中有0次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各3次，共有336320C C=种方案.综上可得小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有1309020141+++=种方案,故D正确.考点：排列组合，考查分类讨论思想.5．2021年起，新高考科目设置采用“312++”模式，普通高中学生从高一升高二时将面临着选择物理还是历史的问题，某校抽取了部分男、女学生调查选科意向，制作出如右图等高条形图，现给出下列结论：①样本中的女生更倾向于选历史；②样本中的男生更倾向于选物理；③样本中的男生和女生数量一样多；④样本中意向物理的学生数量多于意向历史的学生数量.根据两幅条形图的信息，可以判断上述结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】分析条形图，第一幅图从性别方面看选物理历史的人数的多少，第二幅图从选物理历史的人数上观察男女人数的多少， 【详解】由图2知样本中的男生数量多于女生数量，由图1有物理意愿的学生数量多于有历史意愿的学生数量，样本中的男生更倾向物理，女生也更倾向物理，所以②④正确， 故选：B. 【点睛】本题考查条形图的认识，只要分清楚条形图中不同的颜色代表的意义即可判别．6．若存在实数a ，b ，使不等式24ln 22e x ax b x ≤+≤+对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最小值是（ ）. A ．2e B ．4C ．eD ．2【答案】B 【解析】 【分析】分别画出()4f x elnx =和2()22g x x =+的图象，依题意存在实数a ，b ，使不等式24ln 22e x ax b x ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求参数a 的最小值，临界条件即为直线l ：y ax b =+恰为函数()4f x elnx =和2()22g x x =+的公切线，设函数2()22g x x =+上的切点()00,A x y ，则04a x =，即转化为求0x ，设函数()4f x elnx =的切点为()11,B x y ，表示出切线方程，即可得到方程组，整理得到2002ln 10x e x --=，令()20002ln 1g x x e x =--，求出令0x 即可得解；【详解】解：分别画出()4f x elnx =和2()22g x x =+的图象，依题意存在实数a ，b ，使不等式24ln 22e x ax b x ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求参数a 的最小值，临界条件即为直线l ：y ax b =+恰为函数()4f x elnx =和2()22g x x =+的公切线，设函数2()22g x x =+上的切点()00,A x y ，()00x >，()4g x x '=，所以04a x =，所以切线方程为()()2000224y x x x x -+=-，整理得200422y x x x =-+，同时直线l 也是函数()4f x elnx =的切线，设切点为()11,B x y ，所以切线方程为()11144ln eye x x x x -=-，整理得11444ln ey x e e x x =-+， 所以01201442244ln e x x x e e x⎧=⎪⎨⎪-+=-+⎩，整理得200122ln e x e e x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，即2002ln 10x e x --=，令()20002ln 1g x x e x =--，则()()()00000222x exee g x x x x +-'=-=，所以()0g x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，故()()0min 10g x ge ==-<，显然()10g =，故当01x =时044a x ==取得最小值，即实数a 的最小值为4， 故选：B ．【点睛】本题考查利用导数分析恒成立问题，两曲线的公切线问题，属于中档题． 7．下列函数一定是指数函数的是（） A ．12x y += B ．3y x = C ．32x y =⋅ D ．3x y -=【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数定义，逐项分析即可. 【详解】A ：12x y +=中指数是1x +，所以不是指数函数，故错误；B ：3y x =是幂函数，故错误；C ：32x y =⋅中底数前系数是3，所以不是指数函数，故错误；D ：13()3xx y -==属于指数函数，故正确. 故选D. 【点睛】指数函数和指数型函数：形如x y a =（01a <<且1a ≠）的是指数函数，形如x cy b a +=⋅（01a <<且1a ≠且0b ≠且0c ≠）的是指数型函数.8．已知1232727272727S C C C C =++++，则S 除以9所得的余数是A ．2B ．3C ．5D ．7【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质，将1232727272727S C C C C =++++化简为()9911--，再展开即可得出结果.【详解】()9123272799081827272727999C C C C 21819119C 9C 9C 2S =++++=-=-=--=-++-，所以除以9的余数为1．选D. 【点睛】本题考查组合数的性质，考查二项式定理的应用，属于基础题. 9．()131x -的展开式中，系数最小的项为（ ） A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【解析】由题设可知展开式中的通项公式为11313()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-，其系数为13(1)r rC -，当r 为奇数时展开式中项的系数13(1)r rC -最小，则7r =，即第8项的系数最小，应选答案C 。
浙江省舟山市数学高二下学期理数期末考试试卷
浙江省舟山市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在复平面内，复数对应点的坐标为（）A .B .C .D .2. （2分）使得（3x2+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n=（）A . 3B . 5C . 6D . 103. （2分）用反证法证明结论：“曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（）A . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有两个不同的交点B . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有一个交点C . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）恰有两个不同的交点D . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有一个交点4. （2分）从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如表所示：身高x（cm）160165170175180体重y（kx）6366707274根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为（）A . 70.09 kgB . 70.12 kgC . 70.55 kgD . 71.05 kg5. （2分） (2018高二上·嘉兴期中) 直线的倾斜角是（）A .B .C .D .6. （2分）(2020·南昌模拟) 已知某公司生产的一种产品的质量 (单位：千克)服从正态分布 .现从该产品的生产线上随机抽取件产品，其中质量在区间内的产品估计有（）附:若，则， .A . 8185件B . 6826件C . 4772件D . 2718件7. （2分）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极值点（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2分） (2020高二下·莲湖期末) 一个不透明的袋中装有6个白球，4个红球球除颜色外，无任何差异．从袋中往外取球，每次任取1个，取出后记下颜色不放回，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（）．A .B .C .D .9. （2分）(2020·淄博模拟) 2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（）A . 18种B . 20种C . 22种D . 24种10. （2分）设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高三上·鹤岗月考) 已知定义在上的函数，为其导函数，满足，且，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·扶风月考) 定积分 =________．14. （1分）(2019·黄冈模拟) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则________．15. （1分）（ + ）9的展开式中常数项是________．16. （1分）(2020·湖南模拟) 圆锥的底面半径为，其侧面展开图是圆心角大小为的扇形.正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2015高二下·登封期中) 已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，且z是方程x2﹣4x+5=0的根．（1）求复数z；（2）复数w=a﹣（a∈R）满足|w﹣z|＜2 ，求a的取值范围．18. （10分）(2018·河北模拟) 已知函数 .（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若是函数的导函数的两个零点，当时，求证： .19. （10分） (2019高二下·梅县期末) 在数列中，．（1）求的值；（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．20. （10分） (2015高二上·承德期末) 某汽车配件厂生产A、B两种型号的产品，A型产品的一等品率为，二等品率为；B型产品的一等品率为，二等品率为．生产1件A型产品，若是一等品则获得4万元利润，若是二等品则亏损1万元；生产1件B型产品，若是一等品则获得6万元利润，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．（1）求生产4件A型产品所获得的利润不少于10万元的概率；（2）记X（单位：万元）为生产1件A型产品和1件B型产品可获得的利润，求X的分布列及期望值．21. （10分）(2018·全国Ⅱ卷文) 已知函数（1）若a=3，求的单调区间（2）证明：只有一个零点22. （10分） (2019高三上·广东月考) 已知向量 , 设函数.（1）求的最小正周期.（2）求在上的最大值和最小值.23. （10分） (2019高一上·包头月考) 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、第11 页共11 页。
2019-2020学年浙江省舟山市数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析
2019-2020学年浙江省舟山市数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥【答案】C 【解析】试题分析：因为{}2|1log A x N x k =∈<<中到少有3个元素，即集合A 中一定有2,3,4三个元素，所以4216k >=，故选C.考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质.2．已知函数3()242()x x f x x x e e -=-+-，若2(52)(3)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1[,2]3- B ．2[1,]3--C ．2[,1]3D ．1[2,]3-【答案】D 【解析】由函数3()242()x x f x x x e e -=-+-， 可得()33()2()4()2()[242()]xx x x f x x x e e x x e e f x ---=---+-=--+-=-，所以函数()f x 为奇函数，又21()642()xx f x x e e =++'-，因为12x x e e +≥=，所以()0f x '>， 所以函数()f x 为单调递增函数，因为2(52)(3)0f a f a -+≤，即2(3)(52)(25)f a f a f a ≤--=-， 所以223253520a a a a ≤-⇒+-≤，解得113a -≤≤，故选D ． 点睛：本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式23520a a +-≤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点．3．由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是（ ） A ．144 B ．192C ．216D ．240【答案】C【解析】 【分析】由题意可得，满足条件的五位数，个位数字只能是0或5，分别求出个位数字是0或5时，所包含的情况，即可得到结果. 【详解】因为由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0；当个位数字是0时，共有45120A =种可能；当个位数字是5时，共有134496A A =种情况； 因此，由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是12096216+=个. 故选C 【点睛】本题主要考查排列的问题，根据特殊问题优先考虑的原则，即可求解，属于常考题型. 4．已知23log 4a =，342b =，343c =，则( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数及对数函数的性质比较大小,即可得出结论. 【详解】33044223log log 10,,12234a b c<==<<∴<< 故选:A. 【点睛】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数和对数函数的性质的合理运用. 5．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：C ）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A ．最低气温低于0C 的月份有4个B ．10月份的最高气温不低于5月份的最高气温C ．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月份D ．每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关 【答案】A 【解析】 【分析】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个． 【详解】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A 中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A 错误．在B 中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B 正确；在C 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C 正确； 在D 中，最低气温与最高气温为正相关，故D 正确； 故选：A ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 6．若集合{}{}201,20A x x B x x x =<<=-<， 则下列结论中正确的是（ ） A ．A B ⋂=∅ B ．A B R ⋃=C ．A B ⊆D ．B A ⊆【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先求得集合B ，然后逐一考查所给选项是否正确即可． 【详解】求解二次不等式220x x -<可得：02x <<，则{}|02B x x =<<． 据此可知：{}|01A B x x ⋂=<<≠∅，选项A 错误；{}|02A B x x ⋃=<<，选项B 错误；且集合A 是集合B 的子集，选项C 正确，选项D 错误． 本题选择C 选项，故选C ． 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，熟记集合的基本运算方法是解答的关键，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2【答案】A 【解析】 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案． 【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+， 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =， 所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，点E 在AB 边上，112AD AE AB ===，将ADE 沿直线DE 折起成A DE '，F 为A C '的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．直线A E '与直线BF 共面 B ．12BF =C ．A EC '可以是直角三角形D ．A C DE '⊥【答案】C 【解析】 【分析】（1）通过证明,,,A E B F '是否共面，来判断直线A E '与直线BF 是否共面； （2）取特殊位置，证明12BF =是否成立；（3）寻找A EC '可以是直角三角形的条件是否能够满足；（4）用反证法思想，说明'A C DE ⊥能否成立． 【详解】，如图，因为,,,B C E A '四点不共面，所以E ⊄面A BC '，故直线'A E 与直线BF 不共面；ADE 沿直线DE 折起成A DE '，位置不定，当面A DE '⊥面BCDE ，此时12BF ≠； 取DE 中点，连接,A G CG '，则A G DE '⊥，若有A C DE '⊥，则DE ⊥面A CG ' 即有DE CG ⊥，在Rt DGC ∆中，12,,602CD DG CDE ο==∠=明显不可能，故不符合； 在A EC '中，1A E '=,3CE =72AC =>，所以当2A C '=时，A EC '可以是直角三角形； 【点睛】本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力．9．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为2y x =-，则此双曲线的离心率为（ ）A ．5B 5C ．54D 5 【答案】B 【解析】 【分析】 由渐近线方程得出b a 的值，结合222+=a b c 可求得c a【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为2y x =-，∴2ba=， ∴222224b c a a a -==，解得5c a =5e = 故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题时要注意222+=a b c ，要与椭圆中的关系区别开来． 10．已如集合{}20A x x =->，{}3B x =≤，则AB =（ ）A ．(]2,3B ．[)2,3C ．()2,3D ．[]2,3【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】由题意，集合{}{}{}20,333A x x B x B x =->=≤==-≤≤，∴集合(2,3]AB =．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了描述法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 11．函数()32ln1y x x x =++-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性以及特殊值即可排除。
浙江省舟山市2020年高二第二学期数学期末统考试题含解析
先根据 求得 ，进而求得 ，根据余弦定理求得 以及 ，由此求得 .
【详解】
由于 ，所以 且 为锐角，所以 .由余弦定理得 .故 .所以 .故选B.
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查余弦定理解三角形，考查向量数量积的运算，属于中档题.
9．若集合 ,则实数 的取值范围是()
A． B．
5．已知下表所示数据的回归直线方程为 ，则实数 的值为（ ）
2
3
4
5
6
4
8
11
14
18
A．2.6B．-2.6C．-2.8D．-3.4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据最小二乘法： ，求得平均数后代入回归直线即可求得结果.
【详解】
由题意得： ；
本题正确选项：【点Fra bibliotek】本题考查利用最小二乘法求解回归直线问题，关键在于明确回归直线必过 ，因此代入点 即可求解出 .
【点睛】
本小题主要考查指数不等式的解法，考查对数运算，考查实际生活中的函数运用，考查阅读与理解能力，属于中档题.
4．下列选项错误的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件.
B．命题 “若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”
C．若命题“ ”，则“ ”.
D．若“ ”为真命题，则 均为真命题.
【答案】D
（参考数据： ， , ， ）
A． 年B． 年C． 年D． 年
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“每年消费支出总额增加 ，食品消费支出总额增加 ”以及 列不等式，解不等式求得至少经过的年份.
【详解】
设经过的年份为 年，依题意有 ，即 ，两边取以 为底的对数得 ，即 ，故至少经过 年，可使家庭恩格尔系数 满足 达到富裕水平.故选B.
浙江省舟山市2020-2021学年高二下学期期末检测 数学 Word版含答案
舟山市2020学年第二学期期末检测高二数学试题卷注意事项：1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答。
答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分第I卷选择题和第II卷非选择题两部分第I卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝A.{2，3，5，6，8}B.{2，5，6}C.{3，6}D.{2，5}2.“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若x，y满足约束条件x2y2x y11y l-≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤≤⎩，则z＝3x－y的最大值为A.11B.8C.13D.64.已知a＝(1，2)，b＝(1，－7)，c＝2a＋b，则c·b为A.3B.24C.21D.45.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于A.40cm3B.30cm3C.20cm3D.10cm36.函数f(x)＝412xx-·sinx的部分图像可能是7.设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是A.若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B.若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C.若0<a 1<a 2，则a 213a aD.若a 1<0，则(a 2＋a 1)(a 2－a 3)>08.已知函数f(x)＝sinnx sinx(n ∈N *)，则下列结论错误的是 A.对于任意的n ∈N *，f(x)总为偶函数B.对于任意的n ∈N *，f(x)总为周期函数C.当n ＝4时，f(x)图像关于点(2π，0)中心对称 D.当n ＝3时，将y ＝f(x)－1图像向左平移4π个单位，得到y ＝2sin2x 的图像 9.在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x ，其中x ∈(0，1)，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，若对任意x ∈(0，1)，不等式t<e 1＋e 2恒成立，则t 的最大值为 3 5 C.2 210.已知正方体ABCD －A'B'C'D'的棱长为3。
浙江省舟山市2020年高二(下)数学期末统考试题含解析
浙江省舟山市2020年高二(下)数学期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E(Y)的值为 A ． 73 B ．4 C ．－1 D ．1【答案】A【解析】由条件中所给的随机变量的分布列可知EX=﹣1×12+0×13+1×16=﹣13， ∵E （2X+3）=2E （X ）+3，∴E （2X+3）=2×（﹣13）+3=73．故答案为：A ． 2．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x +≥”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的； （3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确； （4）中，当1x ≥时，可得1122x x x x +≥⋅=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．已知复数满足(13)z i i =-，则z 共轭复数z =( )A ．3i +B ．13i +C ．13i -D ．3i -【答案】D【解析】【分析】先利用复数的乘法将复数z 表示为一般形式，然后利用共轭复数的定义得出z .【详解】 ()21333z i i i i i =-=-=+Q ，因此，3z i =-，故选D.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，解复数相关的问题，首先利用复数四则运算性质将复数表示为一般形式，然后针对实部和虚部求解，考查计算能力，属于基础题．4．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据选项中的等高条形图看出共享与不共享时对企业经济活跃度差异大小，从而得出结论．【详解】根据四个等高条形图可知：图形A 中共享与不共享时对企业经济活跃度的差异最大它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果．故选：A ．【点睛】本题主要考查条形统计图的应用，考查学生理解分析能力和提取信息的能力，属于基础题.5．函数()11sin x x f x e e a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．()0,2D ．(]0,2 【答案】B【解析】【分析】由函数()f x 存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ=与函数()11x x g x e e --=-只有唯一一个交点，画出()x ϕ与()g x 的大致图象，根据使得函数()x ϕ与函数()g x 只有唯一一个交点，得到()()11g ϕ''≥，即可求解.【详解】由题意，函数()11sin x x f x e e a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ=与函数()11x x g x ee --=-只有唯一一个交点， 因为()()10,10g ϕ==，所以函数()sin x a x ϕπ=与函数()11x x g x ee --=-唯一交点为(1,0)， 又因为()11x x g x e e --'=--，且110,0x x e e -->>，所以()0g x '<，即函数()11x x g x e e --=-在R 上单调递减函数，又因为()sin x a x ϕπ=是最小正周期为2，最大值为a 的正弦函数，所以可得()sin x a x ϕπ=与函数()11x x g x e e --=-的大致图象，如图所示，所以要使得函数()sin x a x ϕπ=与函数()11x x g x ee --=-只有唯一一个焦点，则()()11g ϕ''≥， 因为()cos x a x ϕππ'=，则()1a ϕπ'=-，()111112g ee --'=--=-， 所以2a π-≥-，解得2a π≤，又因为0a >，所以实数a 的范围为2(0,]π，故选B.【点睛】 本题主要考查了函数的零点问题，函数的单调性的应用，以及导数的应用，其中解答中把唯一零点转化为两个函数的交点问题，结合图象进行分析研究是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6．若复数z 满足(12)2i z i -=--，则1z i +-=（ ）．A ．1B 2C 3D 5 【答案】D【解析】【分析】先解出复数z ，求得1z i +-，然后计算其模长即可.【详解】解：因为()122i z i -=--，所以()()()()2122121212i i i z i i i i --+--===---+ 所以112z i i +-=-所以()221125z i +-=+-=故选D.【点睛】本题考查了复数的综合运算，复数的模长，属于基础题.7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>和直线:60l x y --=，过点(2,0)且与直线l 垂直的直线交抛物线C 于,P Q 两点，若点,P Q 关于直线l 对称，则p =( )A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】【分析】由于直线l 与直线PQ 垂直，且直线l 的斜率为1，所以直线PQ 的斜率为1-，而直线PQ 过点(2,0)，所以可求出直线PQ 的方程，将直线PQ 的方程与抛物线方程联立成方程组，求出PQ 的中点坐标，然后将其坐标代入:60l x y --=中可求出p 的值.【详解】解：由题意可得直线PQ 的方程为2y x =-+，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 由222y x y px=-+⎧⎨=⎩，得2(42)40x p x -++=， 所以12121242,()42x x p y y x x p +=++=-++=-，所以PQ 的中点坐标为(2,)p p +-，因为点,P Q 关于直线l 对称，所以260p p ++-=，解得2p =故选：B【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于基础题.8．若一圆柱的侧面积等于其表面积的23，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（ ） A ．1：1B ．2：1C ．3：1D ．4：1【答案】B【解析】【分析】设这个圆柱的母线长为l ，底面半径为r ，根据已知条件列等式，化简可得答案.【详解】设这个圆柱的母线长为l ，底面半径为r ， 则222(22)3r l r l r πππ⋅=⋅+， 化简得2l r =，即21l r =， 故选：B【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式，考查了圆柱的表面积公式，属于基础题.9．已知复数z 满足1iz i =-，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】分析：先求出z ，然后根据共轭复数定义结合复数坐标写法即可. 详解：由题可知：11,1i z i z i i-==--=-+，所以所对应的坐标为（-1,1），故在第二象限，选B. 点睛：考查复数的除法运算，复数的坐标表示，属于基础题.10．对于函数x y e =，曲线x y e =在与坐标轴交点处的切线方程为1y x =+，由于曲线x y e =在切线1y x =+的上方，故有不等式1x e x ≥+．类比上述推理：对于函数()ln 0y x x =>，有不等式（ ） A ．ln 1(0)x x x ≤->B ．ln 1(0)x x x ≥+>C ．ln 1(0)x x x ≥->D ．ln 1(0)x x x ≤->【答案】A【解析】【分析】 求导，求出函数与x 轴的交点坐标，再求出在交点处的切线斜率，代入点斜式方程求出切线，在与函数图像的位置比较，即可得出答案．【详解】由题意得()1ln y x x''==，且ln y x =的图像与x 轴的交点为()1,0，则在()1,0处的切线斜率为1，在()1,0处的切线方程为1y x =-，因为切线1y x =-在()ln 0y x x =>图像的上方，所以ln 1(0)x x x ≤->故选A【点睛】本题考查由导函数求切线方程以及函数图像的位置，属于一般题．11．在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；④过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③【答案】B【解析】【分析】说法①：可以根据线面平行的判定理判断出本说法是否正确；说法②：根据线面垂直的性质和面面平行的判定定理可以判断出本说法是否正确；说法③：当α与β相交时，是否在平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，进行判断；说法④：可以通过反证法进行判断.【详解】①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；③若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.【点睛】本题考查了线线位置关系、面面位置关系的判断，分类讨论是解题的关键，反证法是经常用到的方程. 12．已知数据1210,,,x x x ⋯，2的平均值为2，方差为1，则数据1210,,,x x x ⋯相对于原数据( ) A ．一样稳定B ．变得比较稳定C ．变得比较不稳定D ．稳定性不可以判断 【答案】C【解析】【分析】根据均值定义列式计算可得1210,,,x x x ⋯的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得()()()2221210222x x x -+-⋯⋯+-，从而得方差．然后判断． 【详解】 由题可得：12101210222011x x x x x x +++=⇒++=⇒L L 平均值为2， 由()()()22221210222(22)111x x x -+-⋯⋯+-+-=，()()()2221210222 1.1110x x x -+-⋯⋯+-=>，所以变得不稳定.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设向量(,1),(4,2)a x b ==r r ，且//a b rr ，则实数x 的值是_______；【答案】2【解析】【分析】由条件利用两个向量共线的性质求得x 的值．【详解】 解：∵(),1a x =v ，()4,2b =v ，且//a b v v ，∴2x ＝4，即x ＝2故答案为2【点睛】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．14．把6个学生分配到3个班去，每班2人，其中甲必须分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有__________种.【答案】1【解析】【分析】根据题意，分3步分析：①、让甲分到一班，②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分3步分析：①、让甲分到一班，只有1种方法；②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，有C 32＝3种安排方法； ③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，有C 32＝3种安排方法； 则不同的分法有1×3×3＝1种；故答案为：1．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．15．22111dx x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰_________. 【答案】1ln 22-【解析】【分析】 设1()ln f x x x =+,则211()f x x x '=-,然后根据定积分公式计算可得. 【详解】 设1()ln f x x x =+,则211()f x x x'=-, 所以22111dx x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰21()|f x =(2)(1)f f -=11ln 2ln121+--=1ln 22-. 故答案为: 1ln 22-. 【点睛】本题考查了定积分的计算,属基础题.16．已知函数2log ,02()14,262x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩,若存在实数a b c d ,,,，满足a b c d <<<，且()()()()f a f b f c f d ===，则(2)(2)c d ab--的取值范围是______________. 【答案】(0,4)【解析】【分析】 根据函数的性质得出a b c d ,,,之间的关系，从而可求得取值范围． 【详解】设()f a m =，则y m =与()f x 的图象的交点的横坐标依次为a b c d ,,,（如图）， ∵2log ,02()14,262x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩，且()()()()f a f b f c f d ===，a b c d <<<，∴22log log ,8a b c d -=+=，24c <<，∴1ab =，8d c =-， ∴2(2)(2)(2)(82)812c d c c c c ab--=---=-+-2(4)4c =--+，∵24c <<，∴20(4)44c <--+<，故答案为(0,4)．【点睛】本题考查函数零点与方程根的分布，解题关键是确定a b c d ,,,之间的关系及范围．如本题中可结合图象及函数解析式得出1,8ab c d =+=．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知()*1()m k k m m k f x C x n ==∈∑N .（Ⅰ）计算20191(1)k k f=-∑的值；（Ⅱ）若4567()()2()3()4()g x f x f x f x f x =+++，求()g x 中含4x 项的系数； （Ⅲ）证明：01211232123(2)13n m m m m n m m n C C C nC m n C m -+++++++++++++=+L . 【答案】（Ⅰ）-2019；（Ⅱ）196；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由于111()(1)1n k k n n n n n n n k f x Cx C x C x x ===++=+-∑L ，代入-1即可求得答案;（Ⅱ）由于45674567()()2()3()4()(1)2(1)3(1)4(1)10g x f x f x f x f x x x x x =+++=+++++++-，利用二项式定理即可得到4x 项的系数；（Ⅲ）可设12()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x +++=++++++L L ，找出含1m x +项的系数，利用错位相减法数学思想两边同时乘以(1)x +，再找出含1m x +项的系数，于是整理化简即可得证.【详解】解：（Ⅰ）∵111()(1)1n k k n n n n n n n k f x C x C x C x x ===++=+-∑L ，∴(1)1n f -=-；∴20191(1)2019k k f=-=-∑；（Ⅱ）4567()()2()3()4()g x f x f x f x f x =+++4567(1)2(1)3(1)4(1)10x x x x =+++++++-，()g x 中4x 项的系数为44444567234C C C C +++125315435196=+⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）设12()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x +++=++++++L L （0x ≠且1x ≠-）①则函数()h x 中含1m x +项的系数为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++L L ，另一方面：由①(1)x ⨯+得：(1)()x h x +231(1)2(1)(1)m m m n x x n x ++++=++++++L ②①-②得：1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+L11(1)1(1)(1)1(1)m n m n x x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦=-+-+， 所以2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x nx x +++++=+-+++， 所以1112(1)(1)(1)()m m n m n x x n x h x x x++++++-++=+， 则()h x 中含1m x +项的系数为3211m m m n m n C nC ++++++-+，又因为3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-++-221113m m m n m n n C nC m ++++++-=-++， 21(3)(1)3m m n m n n C m ++++--=+21(2)13m m n m n C m +++++=+， 所以111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++L L 21(2)13m m n m n C m +++++=+， 即012112323n m m m m n C C C nC -++++++++L L 21(2)13m m n m n C m +++++=+， 所以01211232123n m m m m n m m n C C C nC C -+++++++++++L L (2)13m n m ++=+. 【点睛】本题主要考查二项式定理的相关应用，意在考查学生对于赋值法的理解，计算能力，分析能力及逻辑推理能力，难度较大.18．已知复数z a bi =+（a ，b 为正实数，i 是虚数单位）是方程2450x x -+=的一个根.（1）求此方程的另一个根1z 及1z 的值；（2）复数3w u i =+()u R ∈满足w z -<u 的取值范围.【答案】 (1) 12z i =-,1z =26u -<< 【解析】【分析】(1)先求得2450x x -+=的根,再根据题意求另一根1z 即可.(2)根据复数模长的计算表达w z -<.【详解】(1)22450(2)12x x x x i -+=⇒-=-⇒=±,故2z i =+,12z i =-,1z =.(2)由w z -<(3)(2)u i i +-+<,<所以26u -<<.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及模长的用法等,属于基础题型.19．若7270127(2)x a a a x a x a x -=++++L ，且4560a =-.（Ⅰ）求实数a 的值; （Ⅱ）求372126222a a a a ++++L 的值. 【答案】 (Ⅰ)1a =；(Ⅱ)2【解析】【分析】（Ⅰ）解法1：将()72x a -展开，找出4x 项的系数表达式，结合条件列方程4280a =-求出a 的值； 解法2：利用二项式定理写出()72x a -的通项，令x 的指数为4，列方程求出参数的值，再将参数代入通项得出4x 的系数的表达式，结合条件4280a =-列方程求出实数a 的值；（Ⅱ）解法1：令0x =代入题干等式求出0a 的值，再令12x =可得出712027222a a a a ++++L 的值，减去0a 可得出71227222a a a +++L ，再乘以2可得出答案； 解法2：利用二项式定理求出1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a 的值，代入代数式可得出答案。
浙江省舟山市2019-2020学年数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析
浙江省舟山市2019-2020学年数学高二下期末质量跟踪监视试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线22(>0)y px p =，弦AB 过焦点，ABQ △为阿基米德三角形，则ABQ △的面积的最小值为（ ）A ．22pB ．2pC ．22pD ．24p【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的知识，可得1AQ BQ k k ⋅=-，即三角形ABQ △为直角三角形，利用基本不等式，可得当直线AB 垂直x 轴时，面积取得最小值2p . 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，过A ，B 的切线交于Q ， 直线AB 的方程为：2px my =+， 把直线AB 的方程代入22(>0)y px p =得：2220y pmy p --=，所以22121212,,24p y y pm y y p x x +==-=，则2||2(1)AB p m ==+，由导数的知识得：AQ BQ k k ==所以1AQ BQ k k ⋅=-，所以AQ BQ ⊥，所以222||||||AQ BQ AB +=，因为222221111||||(||||)||[2(1)]2444S AQ BQ AQ BQ AB p m =⋅≤+==+， 当0m =时，可得S 的最大值为2p ，故选B. 【点睛】本题是一道与数学文化有关的试题，如果能灵活运用阿基米德三角形的结论，即当直线AB 过抛物线的焦点，则切线AQ 与切线BQ 互相垂直，能使运算量变得更小. 2．将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图形向左平移ϕ个单位后得到的图像关于y 轴对称，则正数ϕ的最小正值是（）A ．3π B ．12πC ．56π D ．512π 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用函数Asin()y x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】解：将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图形向左平移ϕ个单位后， 可得函数2sin 223y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象， 再根据得到的图象关于y 轴对称，可得22,32k k Z ππϕπ+=+∈，即212k ππϕ=-， 令1k =，可得正数ϕ的最小值是512π， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数Asin()y x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题． 3．若随机变量X 满足(),X B n p ，且3EX =，94DX =，则p =（） A ．14B ．34C ．12 D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的数学期望和方差求解. 【详解】由题意得：39(1)4np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得：1214n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选A. 【点睛】本题考查二项分布的数学期望和方差求解，属于基础题.4．设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1,f(2)=231a a -+,则 ( ) A ．a<23B ．a<23且a≠1 C ．a>23且a<-1 D ．-1<a<23【答案】D【解析】【分析】先利用函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数得f（2）=f（-1）=-f（1），再利用f（1）＞1代入即可求a的取值范围．【详解】因为函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数，所以f（2）=f（-1）=-f（1）．又因为f（1）＞1，故f（2）＜-1，即231aa-+＜-1⇒321aa-+＜0解可得-1＜a＜23．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数的周期性，以及函数奇偶性的性质和分式不等式的解法，属于基础题．5．在复平面上，复数2ii+对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】【分析】直接把给出的复数写出代数形式，得到对应的点的坐标，则答案可求．【详解】由题意，复数21122ii +=+，所以复数22i+对应的点的坐标为1(1,)2位于第一象限，故选A．【点睛】本题主要考查了复数的代数表示，以及复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的代数形式和复数的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．等差数列{a n}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴⇒d＝27．已知不等式对任意恒成立，则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用导数求出函数的最小值，由得出，得出，并构造，利用导数求出的最大值，即可得出答案。
2020年浙江省舟山市市开元私立中学高二数学文下学期期末试卷含解析
2020年浙江省舟山市市开元私立中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．2﹣i D．﹣2+i参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：原式==i．∴其共轭复数为﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2. 已知直线l过点A（3，4）且与圆相切，则直线l的方程为（）A．4x＋3y＝0 B．4x－3y＝0 C．4x－3y＝0或x＝3 D．4x＋3y＝0或x＝3参考答案：C3. 向量，则向量方向上的投影为（）A．1 B．C. D．参考答案：A4. 已知P是q的充分条件，则实数m的取值范围是A B C D参考答案：D5. 如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤参考答案：B6. 设函数，则函数的所有极大值之和为（）A．B．C．D．参考答案：D7. 设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如，，若直线与函数的图像有三个不同的交点，则k的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先由题意作出函数的图像，再由过点，结合图像，即可求出结果.【详解】因为，其中表示不超过的最大整数，当时，；当时，；当时，，则；当时，，则；作出函数在上的图像如下：由图像可得，当直线过点时，恰好不满足题意；当直线过点时，恰好满足题意；所以，为使直线与函数的图像有三个不同的交点，只需，即.故选B【点睛】本题主要考查由直线与分段函数的交点求参数的问题，通常需要作出图像，用数形结合的思想求解，属于常考题型.8. 已知是直线，是平面，且，则是的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件参考答案：B9. 函数y＝x cos x－sin x在下面哪个区间内是增函数（）A.(，)B.(，2)C. (，) D.(2，3)参考答案：B略10. 若为平面内任一点且，则是A．直角三角形或等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形但不一定是直角三角形D．直角三角形但不一定是等腰三角形参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数，则满足的的取值范围是___________. 参考答案：略12. 已知函数f（x）=xlnx，且0＜x1＜x2，给出下列命题：①＜1②x2f（x1）＜x1f（x2）③当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）④x1+f（x1）＜x2+f（x2）其中正确的命题序号是．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．【解答】解：f′（x）=lnx+1，x∈（0，）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）单调递减，x∈（，+∞），f′（x）＞0，．∴f（x）在（，+∞）上单调递增．①令g（x）=f（x）﹣x=xlnx﹣x，则g′（x）=lnx，设x1，x2∈（1，+∞），则g′（x）＞0，∴函数g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴由x2＞x1得g（x2）＞g（x1）；∴f（x2）﹣x2＞f（x1）﹣x1，∴＞1；故①错误；②令g（x）==lnx，则g′（x）=，（0，+∞）上函数单调递增，∵x2＞x1＞0，∴g（x2）＞g（x1），∴x2?f（x1）＜x1?f（x2），即②正确，③当lnx1＞﹣1时，f（x）单调递增，∴x1?f（x1）+x2?f（x2）﹣2x2f（x1）=x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]=（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0∴x1?f（x1）+x2?f（x2）＞x1?f（x2）+x2f（x1），∵x2?f（x1）＜x1?f（x2），利用不等式的传递性可以得到x1?f（x1）+x2?f（x2）＞2x2f（x1），故③正确．④令h（x）=f（x）+x=xlnx+x，则h′（x）=lnx+2，∴x∈（0，）时，h′（x）＜0，∴函数h（x）在（0，）上单调递减，设x1，x2∈（0，），所以由x1＜x2得h（x1）＞h（x2），∴f（x1）+x1＞f（x2）+x2，故④错误；故答案为：②③13. 双曲线的渐近线方程是▲ .参考答案：【分析】直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于0求出渐近线的方程．【详解】已知双曲线令：=0即得到渐近线方程为：y=±2x故答案为：y=±2x【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.14. 已知正三角形内切圆的半径与它的高的关系是：,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径与正四面体高的关系是▲ .参考答案：略15. 已知直线的极坐标方程，则极点到直线的距离为_____．参考答案：【分析】先将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】由得，所以直线的直角坐标方程为，又极点的直角坐标为，所以极点到直线的距离为.故答案为【点睛】本题主要考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.16. 若数列和它的前n项和满足，则________.参考答案：15略17. = ．参考答案：﹣4【考点】三角函数的化简求值．【分析】切化弦后通分，利用二倍角的正弦与两角差的正弦即可化简求值．【解答】解：原式====﹣4．故答案为：﹣4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
浙江省舟山市2019-2020学年第二学期期末检测高二数学(解析版)
2019学年舟山市高二下期末试卷试题解析1．若集合{}1,2,3,4,5A =，{}3B x x =<，则()R A B ⋂=（ ）A ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{1,2,3}D ．{1,2}2．双曲线2212x y -=的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±3．已知直线1:230l ax y ++=，()2:330l x a y +--=，则“6a =”是“12l l ⊥”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．为得到函数3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数3sin2y x =的图象（ ）A ．向左平行移动3π个单位 B ．向右平行移动3π个单位C ．向左平行移动6π个单位D ．向右平行移动6π个单位5．已知向量a ，b 不共线，AB a kb =+，AC ma b =+(),k m ∈R ，若AB 与AC 共线，则（）A ．0k m +=B ．0k m -=C ．10km +=D ．10km -=6．若关于x 的不等式()2,x m n m n -<∈R 的解集为(),αβ，则βα-的值（ ）A ．与m 有关，且与n 有关B ．与m 无关，但与n 有关C ．与m 有关，但与n 无关D ．与m 无关，且与n 无关7．设函数()1ln 1x f x x x+=-，则函数()f x 的图像可能为（ ） A B C D8．设x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1x ≥B ．1y ≤C ．20x y -+≥D ．360x y --≤9．如图，平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为AD 中点，F 为BC 上一点，且EF BC ⊥，将四边形ABFE 沿直线EF 折起为四边形A B FE ''，则（ ）A ．2DBC π'∠≥ B ．2D B C π'∠≤C ．A DC B CD π''∠+∠≥ D ．A DC B CD π∠'+∠'≤10．在数列{}n a 中，()*1N a a a =∈，11, 22019,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为若奇数若()*N n ∈，则下列结论成立的是（ ）A ．存在正整数a ，使得{}n a 为常数列B ．存在正整数a ，使得{}n a 为单调数列C ．对任意的正整数a ，集合{}*N n a n ∈为有限集D ．存在正整数a ，使得任意的m ，*N n ∈，当m n ≠时m n a a ≠11．已知函数()22,01,0x x f x x x ⎧>=⎨-≤⎩，则()1f =______，则若()1f a =-，则a =______． 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长的棱长为______，体积为______．13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则n a =______；122020111S S S ++⋅⋅⋅+=______． 14．如图，在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =5c =，2B C =，则cos C =______，点D 为BC 上一点，且6BD =，则ACD △的面积为______．15．已知实数0x >，0y >，且412x y+=，则xy 的最小值为______． 16．在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12x E y +=，直线10x y +-=与椭圆E 交于A ，B 两点，则AOB △的外接圆圆心的坐标为______．17．已知平面向量a ，b 夹角为30︒，若2a =，则12b a b +-的最小值为______．18．已知函数()2cos cos x x x f x =+（1）若α是第二象限角，且sin 3α=，求()f α的值； （2）当2,0x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，侧面PAB 为等腰直角三角形，90APB ∠=︒，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==．（1）求直线PC 与平面ABP 所成角的正弦值；（2）若F 为线段PA 上一点，且满足//PC 平面FBD ，求PF PA的值． 20．已知数列{}n a 为公比不为1的等比数列，且11a =，2a ，32a ，43a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；115n n n nb b a a ++-=． （2）设数列{}n b 满足11b a =，对任意的*N n ∈，（ⅰ）求数列{}n b 的最大项；（ⅱ）是否存在等差数列{}n c ，使得对任意*N n ∈，都有25n n n S c b ≤≤-？若存在，求出所有符合题意的等差数列{}n c ；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线2:2D x y =的焦点为F ，直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与抛物线D 在点A 处的切线垂直．（1）若直线l 与y 轴的交点为Q ，证明：FA FQ =；（2）若直线AF 与抛物线交于一点C （不同于A ），求ABC △面积的取值范围．22．已知函数()()11x f x x e λλ=-+，[]()2,0x ∈-，()λ∈R ．（1）求函数()()()1x F x f x ae a =-∈∈区间[]2,0-上的最小值()m a ；（2）过点()3,0作斜率为k 的直线l ，若存在两个不同的实数1λ，2λ，使直线l 与函数()1f x λ的图象和函数()2f x λ的图象都相切，求实数k 的取值范围．2019学年舟山市高二下期末试卷试题解析1．解析：[)R 3,B =+∞，(){}R 3,4,5A B ⋂=，故选B ．2．解析：由题a =，1b =，渐近线方程为2b y x x a =±=±，故选A ． 3．解析：当12l l ⊥时，()230a a +-=，故6a =，从集合看“6a =”与“12l l ⊥”的满足集合是相同的，即互为充分必要条件，故选C ．4．解析：由3sin 23sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故向右平行移动6π个单位，故选D ． 5．解析1：取特殊值不妨取a ，b 为x ，y 轴的单位向量，则()1,AB k =，(),1AC m =，由//AB AC 可得10km -=，故选D ． 解析2：平面向量共线定理由题，AB 与AC 为非零共线向量，只需存在实数λ，使a kb AB AC b ma λλλ+===+，由平面向量基本定理可知1km λλ=⎧⎨=⎩．故10km -=，故选D ．6．解析1：绝对值不等式的解法由题意0n >，否则()2,x m n m n -<∈R 的解集为空集，故2n x m n -<-<，即22m n m n x -+<<，故2m n α-=，2m n β+=，n βα-=，故βα-的值与m 无关，但与n 有关，故选B ． 解析2：利用绝对值函数图象 由题，函数12y x m =-的图象可视为22y x =的图象平移得到，而不等式2x m n -<的解集为直线y n =与12y x m =-的图象交点直接，显然开口大小固定，平移与否不影响交点距离，但n 变化时交点距离会改变，故βα-的值与m 无关，但与n 有关，故选B ．7．解析：()()1111ln ln ln 111x x x f x x x x f x x x x --++⎛⎫-=-=-== ⎪+--⎝⎭， 所以()f x 为偶函数，排除A ，C ； 111112ln ln 30122212f +⎛⎫=⋅=⋅> ⎪⎝⎭-，排除D ，故选B ． 8．解析1：特殊值检验 取12x =，32y =，显然符合约束条件，排除A ，B ；取1x =，2y =-，显然符合约束条件，排除D ；故选C ．解析2：作出可行域，如图，可以看出03x ≤≤，32y -≤≤，所以A ，B 不正确；20x y -+≥表示直线20x y -+=右侧的区域，所以C 正确；360x y --≤表示直线360x y --=左侧的区域，如图，阴影部分有一部分在直线360x y --=的右侧，所以D 不正确；故选C ．9．解析：极端处理当二面角B EF B '--的平面角为0︒，此时120B CD BCD '∠=∠=︒，60A DC '∠=︒，排除B ； 当二面角B EF B --'的平面角180→︒，如图，此时D 与A '趋于重合，此时60B CD →'∠︒，90A DC →'∠︒，排除A ；150A DC B CD ∠'+∠'→︒，排除C ，故选D ．10．解析：对于A ，若a 为偶数时，2112a a a ==，0a =不符题意，若a 为奇数时，22019a a a =+=无解故A 错； 对于B ，若a 为偶数，2112a a =，12a a >，若{}n a 为单调数列即为递减数列，而112n n a a +=，n a 可以为奇，此时12019n n a a +=+，1n n a a +>，{}n a 不满足递减数列，若a 为奇数，212019a a =+，21a a >，若{}n a 为单调数列即为递增数列，而3212a a =，23a a >，{}n a 不满足递增数列，故B 错； 对于C ，11, 2,nn n n n a a a a a λ+⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数若若，不妨令a λ≤，1a a =为奇数，当1,2n =时，1a λ≤成立，2a a λ=+为偶数，22a λ≤成立，假设当n k =时，若k a 是奇数，则k a λ≤，若k a 是偶数，则2k a λ≤，那么1n k =+时，若k a 是奇数，则1k k a a λ+=+是偶数，12k a λ+≤；若k a 是偶数，则12k k a a λ+=≤，若此时1k a +是奇数，则满足1k a λ+≤，若1k a +是偶数，则满足12k a λλ+≤≤，即1n k =+时结论成立，综上，若n a 为奇数，则n a λ≤，若n a 为偶数，则2n a λ≤，对任意的正整数a ，集合{}*N n a n ∈为有限集，故C 对，对于D 选项，m n ≠时m n a a ≠，即n →∞，各项数各不相同，由C 可知有上届故不符合，故D 错，故选C ．11．解析：()1122f ==，当0a >时，20a >，故0a ≤，211a -=-，即0a =．12=()11121322V =⨯⨯+⨯=．13．解析：由题可得：3123a a d =+=，414610S a d =+=得：()12n n n n a nS +==，则()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭即122020111140402120212021S S S ⎛⎫++⋅⋅⋅+=-= ⎪⎝⎭． 故填：n ，40402021．14．解析： 由正弦定理可得：sin sin b c B C=得：cos 5C =，设BC x =，由余弦定理可得：2cos C ==11x =，则1512ACD S ∆=⨯=，10． 15．解析：由412x y +=可得：42y x xy +=≥4xy ≥（当且仅当4x =，1y =时取等号），故填：4．16．解析： 联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设圆心坐标(),x y ， 则()22222241133x y x y x y ⎛⎫-++=+=+- ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭得：56x =，12y =故填：51,62⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．解析1：（对称）设a OA =，b OB =，则a b BA -=，过B 作BH OA ⊥于点H ． 由于向量a ，b 夹角为30︒，则12BH OB =，故12b a b BH AB BH A B '+-=+=+， 所以最小值为A '到OA12b a b +-的最小值为解法2：（建系）设()2,0a =，则3,3b m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不妨设0m >，则1323m b a b+-=+=+()3f x =+则()42x f x -'=+令()0f x '=，解得1x =，即当1x =时，()min f x =所以12b a b +-的最小值为 18．解析：（1）α是第二象限角，且sin α=，所以cos α=，所以()13f α=-= （2）()21cos21cos 2sin 22c 2s 6o x x x f x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭， 由2,0x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可知72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()302,f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 19．解析：（1）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且AB BC⊥，所以BC ⊥平面ABP ，则CPB ∠即为直线PC 与平面ABP 所成角，设BC a =，则2AB a =，BE =，所以CP =﹐则直角三角形CBP 中，有sin 3CPB CB CP ==∠，所以所求角的正弦值为3． （2）13PF PA =时，有//PC 平面FBD ，连接AC 交BD 于点M ，则12CM CD PP AM AB FA===，所以//PC MF ，又MF ⊂面FBD ，PC ⊂面FBD ，所以//PC 平面FBD ．20．（1）解析：设公比为q ，由于2a ，32a ，43a 成等差数列，则321343q q q q ⇒+==，所以113n n a -=，11313112313n n n S -⎛⎫==- ⎪⎝⎭-； （2）解析：（ⅰ）11b =，111a b =，115n n n n b b a a ++-=，所以数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，()()1115154543n n n n b n n b n a -=+⨯-=-⇒=⋅-，显然0n b >，令()()111511511331354101543nn n n n b n n b n n +-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⋅≥⇒≤-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以1234b b b b ≤≥≥≥⋅⋅⋅，故()2max 2n b b ==．（ⅱ）[)12312,33n n S ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()[)1155543,53n n b n -⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭⋅，所以25n c ≤<，设n c 的公差为d ，则()11n c c n d =+⋅-，若0d >，则151c n d ->+时，5n c >，不满足；若0d <，则121c n d->+时，2n c <，不满足． 所以0d =，又因为3n c ≥，2253c b ≤-=，故3n c =． 21．（1）解析：距离运算设2,2t A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过A 切线的斜率为t ，则直线AB 的斜率为1AB k t =-，直线AB 的方程为()212t y x t t -=--，所以21,12t Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，221112222t t QF AF =+-=+=．（2）解析1：面积公式应用联立()2222122022t y x t x x t t t x y ⎧-=--⇒+--=⎪⎨⎪=⎩，AB =AC 过点F ，则211,2C t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 到直线AB的距离d ==所以32222211111242222ABC t S AB d t t t ∆⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ABC △的面积的取值范围为[)4,+∞． （2）解析2：抛物线的光学性质其实为抛物线的光学性质，设C 关于直线AB 的对称点为C '，由（1）可知AC x ⊥轴，由122B ABB t x k x t t t+==-⇒=--，由2211242C C t y y t ⋅=⇒=，所以22111212122422222ABCA B A B t S x x AC x x AC t t t ∆'=-⋅=-⋅=+⋅++≥⨯=． 22．（1）解析：由题：()()11x x F x x e ae =-+-，则()()x F x x a e '=-，[]20x ∈-,． ①当2a ≤-时，()0F x '≥，()F x 单调递增，则()()2321am a F e +=-=-； ②当20a -<≤时，当[]20x ∈-,时，()0F x '<，()F x 单调递减；当[]0x a ∈,时，()0F x '>，()F x 单调递增，则()()1a m a F a e ==-；③当0a >时，()0F x '≤，()F x 单调递减，则()()0m a F a ==-． （2）解析1：设()f x λ图象上以点()(),11tt t e λ-+，[]2,0t ∈-为切点的切线过点()3,0．则()113e e t k t t λλ-'+='=-，有()2141114tt t e t kt λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩．设()()241tt t t e λ=-+，()14k t t t =+-．当113,62k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，即12,1613k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，存在两个不同的实数1t ，()212210t t t -≤<-<<使得()()12k t k t =．设()111t λλ=，()221t λλ=，下证：12λλ≠．显然：211t t =，所以 ()()1222112212114141t t t t e t t e λλ-=-+--+()()111111211211221111122114141411t t t t t t t et t t t e e t e t t -⎛⎫-+⎛⎫-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()121x x g x x e -=-，()[2,1]x ∈--，则()()1210x xg x x e-'=+≥，即()g x 单调递增，故()()10g x g <-=．即1211λλ<，所以12,613k ⎛⎤∈--⎥⎝⎦． （2）解析2：设()f x λ图象上以点()(),11tt t e λ-+，[]20t ∈-,为切点的切线过点()3,0． 则()113t t t e k te t λλ-+==-，有()2141114tt t e t kt λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩．设()()241tt t t e λ=-+，()14k t t t =+-．当113,62k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，即12,1613k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时， 存在两个不同的实数1t ，()212210t t t -≤<-<<使得()()12k t k t =．设()111t λλ=，()221t λλ=，下证：12λλ≠．构造函数()()()()2221414x x x k x x x e x e e x ϕλ⎛⎫=-=-+-⋅+- ⎪⎝⎭， 则：()()()()()22221132122311xxx x x x e x x x e e x x x e ϕ⎡⎤-+-⎛⎫'=---⋅-=-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦．令()()2321x x x e g x x e-=--， 则()()()()(()43222223611xxx x x x x x x x e g x e x x -+---'==--．则2,x ⎡∈-⎣，()0g x '≥，则()g x单调递增，当2,x ⎡∈-⎣，()0g x '≤，则()g x 单调递减．又()222022062033e g e e e --=-=>，()200g e=-<，()10g -=． 所以当()21x ∈--,时，()0g x >，当()10x ∈-,时，()0g x <，故()0x ϕ'≥，即()x ϕ在区间[]20-,上单调递增，故()()12t t ϕϕ≠．。
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舟山市2020学年第二学期期末检测高二数学试题卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过并集运算即可得到答案.【详解】根据题意，可知，故，故选D.【点睛】本题主要考查集合的并集运算，难度很小.2.若，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过充分必要条件的定义判定即可.【详解】若，显然；若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查充分必要条件的相关判定，难度很小.3.已知是虚数单位，若，则的共轭复数等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过分子分母乘以分母共轭复数即可化简，从而得到答案.【详解】根据题意，所以，故选C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度较小.4.已知等差数列的前项和为，若，则（）A. 36B. 72C. 91D. 182【答案】C【解析】【分析】通过等差数列的性质可得，从而利用求和公式即可得到答案.【详解】由得，，即，所以，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，难度不大.5.已知函数的导函数的图像如图所示，则（）A. 有极小值，但无极大值B. 既有极小值，也有极大值C. 有极大值，但无极小值D. 既无极小值，也无极大值【答案】A【解析】【分析】通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值.【详解】由导函数图像可知：导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减，在上大于等于0，于是原函数在上单调递增，所以原函数在处取得极小值，无极大值，故选A.【点睛】本题主要考查导函数与原函数的联系，极值的相关概念，难度不大.6.若直线不平行于平面，且，则（）A.内所有直线与异面B.内只存在有限条直线与共面C.内存在唯一的直线与平行D.内存在无数条直线与相交【答案】D【解析】【分析】通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD正误.【详解】根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC错误，故选D.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.7.在中，，且，则的面积为（）A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】【分析】通过，可求出A,B角度，从而利用面积公式即得结果.【详解】由于，，可知，而，或（舍），故，又，所以，故选B.【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，难度不大.8.已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为，则（）A. B.C. D. 前三个答案都不对【答案】C【解析】【分析】通过作出图形，分别找出正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角，通过计算余弦值比较大小即可知道角度大小关系.【详解】如图，正三棱锥，正四棱锥，正五棱锥，设各棱长都为2，在正三棱锥中，取AC中点D，连接PD,BD，可知即为侧面与底面所成角，可知，，由余弦定理得；同理，，于，而由于为锐角，所以，故选C.【点睛】本题主要考查面面角的相关计算，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力，难度中等.9.把圆和椭圆的公共点用线段连接起来，所得到的图形为（）A. 线段B. 等边三角形C. 直角三角形D. 四边形【答案】B【解析】【分析】通过联立方程直接求得交点坐标，从而判断图形形状.【详解】联立与可求得交点坐标为：，共三点，连接起来为正三角形，故选B.【点睛】本题主要考查圆与椭圆的交点问题，难度不大.10.已知函数，满足且，，则当时，有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设，求出直线AB的方程，根据的开口方向可得到与直线AB的大小关系，从而得到答案. 【详解】设，则直线AB的方程为，即A,B为直线与的图像的两个交点，由于图像开口向上，所以当时，，即，故选A.【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的关系，求出AB直线是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力及计算能力，难度中等.二、填空题（本大题共7小题。
）11.若，，则______， _______.【答案】 (1). (2).【解析】通过平方和与商的关系即可得到答案.【详解】由于，所以，，因此.【点睛】本题主要考查平方和与商的关系，难度很小.12.某几何体的三视图如图所示，其中侧视图为半圆，则正视图中的正切值为________，该几何体的体积为________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】通过三视图可判断原几何体为圆锥截去一半，于是可得正视图中的正切值，该几何体的体积也可求得.【详解】由三视图可知，原几何体为倒放着的截去一半的圆锥，于是母线长为3，底面圆的半径为1，则高为，故，体积.【点睛】本题主要考查三视图的还原，圆锥的体积的计算，难度不大.13.设数列的前项和，若，则_______， __________．【答案】 (1). 4 (2). 85【解析】【分析】通过赋值即可得到的值，可先通过构造数列计算出，从而得到的值.【详解】由于，即，而则，解得；即，所以，故为等比数列，所以，所以，所以.【点睛】本题主要考查数列前n项和与的关系，等比数列的通项公式，意在考查学生的分析能力，计算能力.14.在坐标平面上有两个区域，由所确定，由所确定，其中实数，若点在区域内，则的最小值为__________；和的公共面积的最大值为__________．【答案】 (1). -1 (2).【解析】先画出可行域M，再画出可行域N，转化为截距式即可得到最小值；由于区域N为动区域，故讨论t的范围，以确定两区域的公共部分，最后可得到最大值.【详解】作出可行域如图：交点处,，可知的最小值在处取得，带入可得；当时，为，和的公共部分的面积是，同理，也为，当时，，和的公共部分的面积，所以当时，面积最大为，故答案为，.【点睛】本题主要考查线性规划的综合应用，作图分类讨论是解决本题的关键，意在考查学生的作图能力，转化能力，分类讨论的能力，难度较大.15.设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．【答案】12【解析】【分析】通过双曲线的定义可先求出的长度，从而利用余弦定理求得，于是可利用面积公式求得答案. 【详解】由于，因此，，故，由于即，而，所以，，，所以，因此.【点睛】本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等.16.已知函数，其中，若只有一个零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】把表示成分段函数，将一个零点问题转化成一个交点问题，作出图形，从而得到答案.【详解】由题意，当时，，当时，；而的只有一个零点可转化为与直线只有一个交点，作出图形，，此时，斜率越来越小时，无交点，斜率越来越大时，有一个交点，故的取值范围是.【点睛】本题主要考查分段函数的图像，零点问题，将零点问题转化成交点问题是解决本题的关键，意在考查学生的作图能力，分析能力，难度中等.17.已知是两个非零向量，且，，则的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】构造，从而可知，于是的最大值可以利用基本不等式得到答案.【详解】由题意，令，所以，，所以，所以，所以，当且仅当，且时取等号.故答案为.【点睛】本题主要考查平面向量的几何意义，模，基本不等式等知识，考查学生的运算求解能力，难度较大.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数满足，其中.（1）求的值及的最小正周期；（2）当时，求的最值.【答案】（1）；（2）最大值为3，最小值为．【解析】【分析】(1)代入即可得到的值，化简整理，利用周期公式即可得到答案；（2）当，利用第一问求得的解析式分析可得到最值.【详解】解：（1）由，得，解得所以函数的最小正周期（2）当时，，所以的最大值为3，最小值为．【点睛】本题主要考查三角函数中周期的计算，最值的计算，意在考查学生的基础知识，难度不大.19.已知正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，高为，为线段的中点，为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）要证明平面，利用中位线可先证明即可；（2）找出直线与平面所成角为，利用正弦定理即可得到所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：四棱锥中，连结交于点，连结，因为在中，为中点，为的中点，所以为的中位线，得，又因为平面，平面，所以平面．（2）设，由题意得，因为为的中点，所以，，故平面．所以直线在平面内的射影为直线，为直线与平面所成的角，又因为，所以．由条件可得，，，，所以．在中，，，所以所以，故直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题主要考查线面平行的判定，线面所成角的相关计算，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度中等.20.已知等比数列的前项和，满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，记数列的前项和，求的最大值.【答案】（1）（2）166【解析】【分析】（1）将题目中的条件转化为首项和公比的式子，于是可得到通项公式；（2）通过条件先求出数列的通项，要想的值最大，只需找出即可.【详解】解：（1）所以（2）当时，当时，将代入成立，所以，当时，，当时，所以【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，数列的最值问题，意在考查学生的基础知识，计算能力和分析能力，难度不大.21.已知圆，点在抛物线上，为坐标原点，直线与圆有公共点.（1）求点横坐标的取值范围；（2）如图，当直线过圆心时，过点作抛物线的切线交轴于点，过点引直线交抛物线于两点，过点作轴的垂线分别与直线交于，求证：为中点.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）设，联立抛物线，再利用圆与直线相交建立不等式，从而确定点横坐标的取值范围；（2）可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设，利用韦达定理即可证明为中点. 【详解】解：（1）由题意直线斜率存在且不为零，设到的距离为，所以（2）当直线过圆心时，，所以，即，所以，设，由得，所以，即为中点．【点睛】本题主要考查了直线与圆，抛物线位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.22.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）是否存在实数，使得与的单调区间相同，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若，求证：在上恒成立.【答案】（1）极小值为，无极大值（2）不存在满足题意的实数．（3）见证明【解析】【分析】（1）当时,可求导判断单调性，从而确定极值;（2）先求出的单调区间，假设存在，发现推出矛盾，于是不存在；（3）若，令，求的单调性即可证明不等式成立.【详解】解：（1）当时，，在上单调递减，在上单调递增当时，极小值为，无极大值（2），令则,在上单调递减，在上单调递增若存在实数，使得与的单调区间相同，则，此时，与在上单调递减矛盾，所以不存在满足题意的实数．（3），记.，又在上单调递增，且知在上单调递增，故.因此，得证．【点睛】本题主要考查利用导函数工具解决极值问题，单调性问题，不等式恒成立问题等，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力及计算能力，综合性强.。