巧用方程做列式计算
运用方程思想解决几何问题“六法”_
１
６
所以２
S△ABC ＝３．
x２ －１
２
x＋１
５＝０,解 得 x１ ＝３－ ,
２
２
x２ ＝３＋
３＋
６
６
(舍去),此时Байду номын сангаас 求 出 AF ＝６－ ３－
＝
２
２
(
)
６
所 以 存 在 直 线 EF 将 Rt△ABC 的 周 长 与
＜５．
２
解法探究
２０２４ 年 １ 月下半月
面积同时平分,且 AE 的长为３－
解 x１ ＝ ３,
又 ３＋x１ ＝３＋ ３＞４,所
x２ ＝－ ３(舍去)．
６
．
２
１
(ⅱ )若点 F 与 B 重合,如图 ９,由 S△AEB ＝ S△ABC
２
可知 E 为 AC 的 中 点,由 于 BC ＜AB ,故 BC ＋CE ＜
AE ＋AB ,所以不存在满足题设要求的直线 EF ．
分线,
已知 BD ＝２
０,
EF＝１
５,求
EF 平 分 Rt△ABC 的 周 长,设
解:设矩 形 的 长 AB ＝x,
图５
宽 BC ＝y．在 Rt△BAD 中,
BD２ ＝ AD２ ＋ AB２ ,即
２
因为 EF 是 BD 的垂直平分线,则有 BO＝
x２ ＋y２ ＝２
０．
所以 △OFD≌△OEB．
所以 OE＝OF＝７．
°,所 以 可 得
７１
解法探究
２０２４ 年 １ 月下半月
△BED ∽△BCA ．
DE BD
k
９＋k
数学复习巧用公式迅速解题
数学复习巧用公式迅速解题数学作为一门理科学科，对于学生来说常常是一个难以逾越的难关。
然而，通过巧妙地运用公式，我们可以在解题过程中事半功倍。
本文将介绍一些数学复习中常用的公式，并探讨如何迅速解题。
一、线性方程线性方程是数学中最基本的方程之一，它的形式如下：ax + by = c其中a、b、c为常数，x、y为变量。
解线性方程的最重要的方法之一是应用两个未知数线性方程组的消元法，通过变换方程将其中一个未知数的系数变为0，从而求得另一个未知数的值。
二、二次方程二次方程可写为：ax² + bx + c = 0其中a、b、c为常数，x为变量。
解二次方程的一种常用方法是利用因式分解法，将方程化为两个一次方程相乘的形式。
三、平面几何公式平面几何公式在解决与图形相关的数学问题时非常有用。
以下是一些常用的平面几何公式：1. 面积公式：根据图形的形状，我们可以使用不同的公式计算面积。
例如，三角形的面积可以通过底边乘以高除以2来计算，矩形的面积可以通过长乘以宽来计算。
2. 周长公式：周长是指图形边界的长度。
对于不同的图形，我们可以使用不同的公式来计算周长。
例如，矩形的周长可以通过将长和宽乘以2并相加来计算。
3. 相似三角形公式：相似的三角形具有相同的形状，但尺寸不同。
对于相似三角形，它们的边长之比与高度之比是相等的。
四、概率与统计公式概率与统计是数学的一个重要分支，它与概率、随机变量和数据分析相关。
以下是一些常用的概率与统计公式：1. 组合公式：组合是从一组对象中选择若干个对象，而不考虑它们的顺序。
组合数可以通过以下公式计算：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)2. 期望值公式：在概率论中，期望值是指一个随机变量的平均值。
对于离散随机变量，期望可以通过将每个取值乘以其概率并相加来计算。
3. 方差公式：方差是描述随机变量扩散程度的一种测量。
方差可以通过计算每个取值与随机变量的期望值之差的平方，并乘以概率后相加来计算。
整体思想巧解方程
整体思想就是从整体上考虑题目中的数量关系及性质，突出对问题的整体结构的分析和改造，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
在学习《简易方程》这个单元时，如果能灵活运用整体思想，往往给我们带来意想不到的效果。
■苏有焱（适合五年级）例1：已知a +b +b =18，a +b =14，a 和b 各是多少？【分析】部分同学一看到题中有两个未知数便觉得无从下手。
其实通过仔细观察、分析，可以看出把第二个条件“a +b =14”整体代入到第一个条件“a +b +b =18”中，则可消除一个未知数a ，式子变为“14+b =18”，从而轻松求出b =4，a =10。
在这个问题中，我们选择整体代换的方法，根据问题的条件，选择“a +b =14”，将它们看成一个整体，进行等量代换，达到减少计算量的目的。
例3：小刚和小明两人一起去商店购买同样的光盘，小刚买了8张，小明买了12张，两人一共花了160元。
每张光盘几元？【分析】不少同学习惯利用“小刚买光盘花的钱+小刚买光盘花的钱=160元”的等量关系来列方程。
其实，考虑到每张光盘价钱是一样的，可以先求购买数量，再利用“单价×数量=总价”的等量关系来列方程。
即，设每张光盘元，则有（8+12）x =160，即20x =160，解得x =8。
解决问题时，我们往往习惯于“化整为零”，但有时候若能仔细观察问题的特点和具体要求，从全局出发把握整体则会事半功倍。
例2：3个连续自然数的和是66，那么这3个数分别是多少？【分析】相邻的自然数之间相差“1”，学生习惯上会设第一个数为x ，第二个数是x +1，第三个数是x +2，然后列出的方程为x +x +1+x +2。
其实如果从整体考虑，以中间的数为基础设未知数，即设这三个数分别是x -1，x ，x +1，则有x -1+x +x +1=66，整理得3x =66，进而解得x =22，可知这三个数分别为：21，22，23。
巧用行列式分解因式
巧用行列式分解因式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：行列式分解因式，作为高中数学中的重要知识点之一，对于解决矩阵方程和方程组具有重要意义。
在实际的应用中，我们常常会遇到需要对行列式进行分解因式的问题。
巧妙地利用行列式分解因式的方法，不仅可以简化计算过程，还可以帮助我们更清晰地理解矩阵的结构和性质。
本文将详细介绍行列式分解因式的基本原理、方法和应用。
一、行列式的定义在介绍行列式分解因式的方法之前，首先我们需要了解行列式的定义。
行列式是矩阵的一个特殊性质，它是一个数学工具，用于描述矩阵的性质和特征。
一个n阶方阵A的行列式定义为：a_{ij}表示矩阵A的第i行第j列元素，Δ表示行列式的值。
行列式的计算是按照一定的规则进行的，通常采用拉普拉斯展开法或者按行列式性质进行化简。
在实际计算过程中，采用行列式分解因式的方法能够有效简化计算过程。
二、行列式分解因式的基本原理行列式的值可以用若干项的乘积相加表示，这些项通常被称为行列式的因子。
行列式分解因式的基本思想是通过分解行列式的因子，将行列式的计算化简为因子的计算。
分解因式的过程涉及到矩阵的加减乘除运算和行列式的性质，需要灵活应用这些知识点。
1、将行列式分解为若干个子行列式的乘积；2、利用行列式的性质和基本运算规则对子行列式进行化简；3、将化简后的子行列式组合起来计算得到原行列式。
1、公因子法公因子法是行列式分解因式的最基本方法，其思想是将行列式的一个因子提取出来，然后对剩余的部分进行化简。
对于一个3阶行列式|A| = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |a31 a32 a33|，如果能够通过提取某一行或者某一列的公因子，将其化简为一个2阶行列式，则计算过程就会大大简化。
2、线性组合法线性组合法是利用矩阵的性质，将行列式通过线性组合的形式表示为子行列式的乘积。
如果能够将一个4阶行列式表示为两个3阶行列式之和，计算起来会更加方便快捷。
通过巧妙的线性组合方式，我们可以将复杂的行列式拆分为多个简单的子行列式，进而实现分解因式的目的。
试论初中数学列方程解应用题之技巧
试论初中数学列方程解应用题之技巧作者：陆向前来源：《理科考试研究·初中》2014年第04期一、找准等量关系是列方程解应用题的钥匙列方程解应用题的窍门枚不胜举，其中找准等量关系处于核心地位，类似解决价格问题、银行利率问题、溶液浓度问题和工程问题等必须通过找准等量关系才能解决问题.它包括列表分析法、译式分析法、线示分析法、逆推法和图示分析法等.在初中数学中涉及的列方程求解应用题的题型中，前四种方法的使用比较普遍.其一，列表分析法.所谓列表分析法就是将题目中的已知量和未知量表示到表格中，综合利用表格分析出各种量之间的关系，最后列出相应方程的方法.此法操作比较简单，大部分学生容易理解和掌握.其二，译式分析法.顾名思义，译式分析法就是将题目中关键性的词语“翻译”成代数式，把相应的文字“翻译”成代数语言，从而顺利分析出它们之间的内在关系.一般按照三大步骤进行：首先，教师要有的放矢地引导学生设出未知量，也就是“翻译”未知量.其次，让学生明白题目中的主要属性，即：“翻译”属性量，用已知与和未知两个要素组合成的代数式，从而为列式作好准备.第三，我们要积极鼓励学生成功“翻译”等量，即：同时表示一个属性量的两个代数值一定相等.学生只有在分析的基础上正确理解题意，逐项进行“翻译，”才能在完成“翻译”时初步列出方程.例1某县有42万人口，计划一年后农村人口增加1.1%，城镇人口增加0.8%，这样全县人口将增加1%，求这个县现在的农村人口与城镇人口各多少.分析该题有两个未知数，农村人口与城市人口.属性量和关系：①农村人口=总人口-城镇人口，②农村人口×1.1%=总人口×1%-城镇人口×0.8%.变换过程：①设目前该县城镇人口是x万，农村人口则为(42-x)万；②一年后该县的城镇人口增加(0.8%x)万，农村人口增加1.1%(42-x)万，总人口增加42×1%万. ③由上述题意得方程：1.1%(42-x)=1%×42-0.8%x，解方程得x=14，则42-x=28.所以，农村人口是28万，城镇人口是14万.其三，线示分析法.这个方法比较适合相遇问题和追击问题，一般用线示分析法通俗易懂，能促使学生快捷地找到题目中相应的等量关系.其四，逆推法.所谓逆推法，俗称还原法，也就是把问题发生的顺序倒过来，采用逆向思维推算的方法逐步还原来解答一些问题.在平时，不少学生在解应用题时习惯用直接解法，但有些较难的比较适宜使用逆推法，从而达柳暗花明又一村的美妙境界.二、采用总分法是列方程解应用题航灯采用总分法列方程解应用题能使学生方向明确，从而帮助学生按照总量等于各分量之和正确列出方程，但在操作过程中学生千万不能遗漏各分量.例2这里曾经埋葬着丢番图，请你计算一下他一生经过了多少岁月历程，他一生的六分之一是快乐的童年，十二分之一是童趣的少年，再度过七分之一的时光，他建立了美满幸福的小家庭.五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半.晚年丧子的老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年.试测算一下，丢番图的寿命(总年龄)到底多少？分析这是著名的丢番图的“墓志铭”，题目巧妙地把他活的总寿命分割成若干时段，而他各时段的分年龄之和就是他的寿命.解：设丢番图的一生活了x年，据题意得：x=x6+x12+x7+5+x2+4，解之得x＝84，所以，丢番图的寿命是84岁.同时，我们在由此题的解答中，还可知道古希腊的这位大数学家丢番图33岁结婚，38岁得子，80岁死了儿子，儿子只活42岁.三、驾驭多媒体技术是列方程解应用题的添加剂初中数学知识是比较抽象的，不少学生学习数学时感到力不从心.假如合理驾驭多媒体技术可以扭转枯燥乏味的被动局面，不仅弥补学生的生活经验不足，而且激发学生的学习积极性.例3已知5台A型机器一天生产的合格成品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天生产的合格成品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个成品，试求每箱有多少个成品.由于学生不仅不熟悉车间的生产劳动的情况，而且对这个车间A、B两种型号的机器模糊不清，因此，难于找到问题中蕴含的等量关系，给解答问题造成了障碍.针对类似情况，我们不妨利用现代多媒体技术，播放一些社会、生产片断，让学生在视觉上直观机器生产成品的情况，从而有利于把抽象的应用题形象化，有利于激发学生兴趣，教学效果显著.四、巧用相似思维是列方程解应用题的后盾所谓相似思维就是从一个事物的性质变化规律作为突破口来探究另一有相似性事物的性质和变化规律，从而找到解决问题的正确方法.而相似思维离不开学生的联想，否则，相似思维无法实现.譬如：教师在讲授完行程问题后再讲授工作量问题，可以如此引导学生展开联想性思考：请仔细分析、比较速度与工作效率、时间与工作日、距离与工作总量之作用，并各自写出三个量之间的辩证关系，最终得出列方程解应用题时找出等量关系是否也有相似之处？学生通过讨论、分析后得出：既可以把工作量问题按行程问题进行相同的处理，又可以使工程问题、水流问题都与行程问题达到基本一致.只有如此，才能引导学生掌握行程问题的等量关系，才能通过类比解决工程问题.初中数学改革路途遥远，虽小试牛刀出现了缕缕曙光，但离新课程标准的要求相差甚远.我们必须继续发扬勇于拼搏的创业精神，为构筑启东教育大厦添砖加瓦.。
方程的计算及应用
解方程（一）（1）x＋2.8=5.81 （2）x+0.25=7.5（3）x＋3.6=10.5 （4）x+2.7＋3.6=10.5(5)x＋2.4+8=20 数学乐园！三、解方程。
1.8x＋32=98.6 x＋4=10 x－5×6=90 x＋7×6=132解方程（二）例2、解方程2.8x=11.2x÷1.25=0.80.7x=560.4x=0.64 x÷2.5=15例3、解方程：（1）2x＋2.5x=18（2）0.8x－0.3x=36.5 （3）8.1x＋x=18.2(4) 11x－x＋2x=2.4(5) 1.8x＋x=5.6(6)20.7x＋x－1.7x=0.4例1、（1）6（x－7）=4.2 （2）2（x＋5）=13.55（3）（x＋7）÷0.6=40（5）（15－x）÷1.3=5 （6）12－（x＋3）=4例2：（1）5x＋9=49 （2）6x－7.3=19.7（3）x÷8－6=14 (4)x÷1.2＋0.8=2.3 （6）20－1.5÷x=10（7）0.9÷x－0.1=0.9 （8）7.5÷x＋10=11.5（9）7x＋9×3.6=38 （10）6x－7.5÷15=5.5（11）8.5÷x－0.75×2=0.21.8x＋x=5.620.7x＋x－1.7x=0.4数学乐园！（x＋7）÷0.6=407x＋9×3.6=386x－7.5÷15=5.5（x＋6）÷0.3=105 0.7（x＋2.6）=4.22x＋2.5x=18 0.8x－0.3x=36.58.1x＋x=18.2 11x－x＋2x=2.4解方程（三）例：5.9－x=2.7517－x=7.911.5－7x=6.617.5－2.5x=5 （15－x）÷1.3=512－（x＋3）=4例：9.8÷x=14 128.6÷x=4（3）20－1.5÷x=10（4） 0.9÷x－0.1=0.9（5）7.5÷x＋10=11.5（6）8.5÷x－0.75×2=0.2我会做！2.26－5x=0.1 15－0.15÷x=1011.5÷x－1.5=0.8 （14－x）×0.5=7③8除640的商比28与15的积少多少？④30.25减去1.8与5.72的和，差是多少？⑤13.5减去9.25与0.98的和，差是多少？⑥134与77的和乘86与24的差，积是多少？⑦100除以25的商乘15与32的差，积是多少？⑧9除810的商比28与12的积少多少？⑨223减去143除以11的商，所得的差的5倍是多少？⑩9除1620的商减去15与12的积，差是多少？⑾4600减去160的差，除以40，商是多少？⑿比37的16倍多180的数是多少？列式计算⒂5减去 1.2与 2.06的和，得多少？⒃甲数是6，乙数是8，它们的和的25倍是多少？⒄303个201减去303，差是多少？⒅48与75的积加上32与75的积是多少？⒆480与160的差乘272与138的和，积是多少？⒇342除以27与30的和，再乘6得多少？（21）一个数的2倍加上3，等于这个数加上12，这个数是多少？思考题！1、如果3x＋4=25,那么4x＋3= 。
行列式地计算技巧与方法总结材料
行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1•行列式的性质2.行列式计算的几种常见技巧和方法定义法2.12.2利用行列式的性质2.3降阶法2.4升阶法（加边法）2.5数学归纳法2.6递推法3•行列式计算的几种特殊技巧和方法3.1拆行（列）法3.2构造法3.3特征值法4.几类特殊行列式的计算技巧和方法4.1三角形行列式4.2“爪”字型行列式4.3“么”字型行列式4.4“两线”型行列式4.5“三对角”型行列式4.6范德蒙德行列式5.行列式的计算方法的综合运用5.1降阶法和递推法5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式5.3构造法和套用范德蒙德行列式标准实用=0.1.2行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变•即an a 12 a 1nana 21a n1a 21a 22 a 2na 12a 22a n2a n1a n2a nna 1na 2na nn性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式•即a 11 a 12 a 1 na11a12a1nka i1ka i2 ka ink a i1ai2aina n1a n2a nnan1an2ann性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的 和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列） 一样•即a 12 Ka ina iiMa n1b 2 C 2K b n C n M M a n2Ka nna 11 a 12K a1n M MM M b 1 b 2K b n M MM Ma n1 a n2Ka nna 11 a 12K a1n M M M Mq C2 K C n M MM M a n1 a n2Ka nn性质4 如果行列式中有两行 那么行列式为零•即a 11 a 12 a 1 na 11 a 12 a 1 na i1a i2a ina i 1 a i2a inkka i1 ka i2 ka ina i1 a i2 a ina n1 a n2a nna n1a n2a nn（或列）对应元素相同或成比例，标准实用性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即a11 a12 a1n a11 a12 a1 na ii ca ki a i2 ca k2 a in Ca kn a i1 a i2 a ina ki a k2 a kn a k1 a k2 a kna n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号•即a11 a12 a1n a11 a12 a1 na i1 a i2 a in a k1 a k2 a kna k1 a k2 a kn =-a i1 a i2 a ina n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零•即a1 ,n-1 a1 na11 a120 0 0 0 0a n1 a n2 a n,n-1 a nn2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性.标准实用主对角线下方的元素与第一行元素对应相同， 故用第一行的 1例1计算行列式解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4! 24项,但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少•具体的说，展开式中的项的一般形式是a 1j 1 a 2 j 2 a 3j 3 a 4 j 4•显然，女口果j 14，那么31j 10，从而这个项就等于零.因此只须考虑 j 1 4的项，同理只须考虑j 2 3, j 3 2, j 41的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有a 14a 23a 32a 41，而43216，所以此项取正号•故2.2利用行列式的性质43211 &14&23&32&41 24.即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 •该方法适用于低阶行列式.2.2.1化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:a 11 a 12a 13 a 1na 110 0 0 a 22a 23a 2na 21a 220 00 a 33 a 3na 11 a 22a nn,a 31 a 32a 33a nna n1 a n2 a n3a nn例2计算行列式D na 1 a 1b 1 a 2 a n a 1a 2a nb n解析：观察行列式的特点,a 2 a n a 11a 22a nn•倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零•即：化为上三角形.解：将该行列式第一行的倍分别加到第2,3 •••（n 1）行上去，可得2.2.2连加法D n 1这类行列式的特征是行列式某行（或列）a ib iMa2加上其余各行a nb n（或列）后，使该行（或列）均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算•这类计算行列式的方法称为连加法.例3计算行列式D n 解: x1mX1 x2mX2X nX nX n mni 1 nX i m X2 i 1X i m X2 m ni 1 X i m X2X1D nX nX n1 X2 X n 1 X2 X n n 1 X2 m X n n 0 m 0 X i m X i m1 i 11 X2 X n m 0 0 mX nnn 1m X i mi 12.2.3滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，解：从最后一行开始每行减去上一行，有1 2 3 n 1 n1 2 3 n 1 n11 1 1 12 0 0 0 2 D n1 1 1 1 12 2 00 21 11111 1 1111 2 3 1 0 0 2n 21 1 01 1 1 1 02.2.4逐行相加减n 行的和全相同，但却为零•用连加法明显不行，这是我们可以解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得:这种方法叫滚动消去法. 122 1例4计算行列式D n 3 23 n 1 n2 n 2 n 11 n 3 n2 n 2n 2 21n n 12n对于有些行列式，虽然前a 1a 1 0a 2 a 2 例5计算行列式D0 0 a s0 0 01110 0 0 0 0a n a n1 1尝试用逐行相加减的方法.2.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展开例6 解行列式D n解：按最后一行展开，得2.3.2按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了k 1 k n -1个行.由这k行兀素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D.即D M 1A1 M2A2 M n A n，其中A i是子式M i对应的代数余子式.a ia2a3a n2n n 1 a1a2a n 1n 1 a1a2an .a n a n 2 a2 a1n 1 n 2D n a1x a2x a n 1XB nnC nn2.4升阶法算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子 升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为 其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一 般行列的位置.例7解行列式D nA nn 0C nn B nnA nn ?B nn .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得D nn 1 ab就是把n阶行列式增加一行一列变成 n+1 阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计,那么0,这样就达到简化计算的效果.（n 1） 110 1 00 0 1 D0 0 0 0 0n 11 n 1 .2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法0 1 11 0 1例8 解行列式D=1 1 01 1 11 1 11 1 1 1 1 1 0 1 1 01阶行列式，即1 1 1 0 0 1 0 1 0D1 1 1 1 1 1 0 1 1 0再将第一行的1倍加到其他各行，得:1 1 1 1 1 0 1 0 1D=1 1 0 0 0 0 1 0 0 1从第二列开始，每列乘以1加到第一列，得:1 1 0 0 0 01 0 0 1解：使行列式D 变成n去证明•对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法.cos 1 0 0 01 2 cos 1 0 0例9计算行列式D n 0 1 2 cos0 00 0 0 2 cos 10 0 0 1 2 cos解:用数学归纳法证明当n 1 时，D i coscos 1 2当n2 时，D2i 2cos 2C0S 1 C0S2猜想，D n cosn由上可知，当n 1，n 2时,结论成立•假设当n k时,结论成立•即：D k cosk .现证当n k 1时，结论也成立cos 1 0 0 01 2 cos 1 0 0当n k 1时，D k 1 0 1 2cos0 00 0 0 2 cos 10 0 0 1 2 cos 将D k i按最后一行展开，得cos 1 0 01 2cos 1 0D k 1k 1 k 11 ?2cos 0 1 2cos 00 0 0 2coscos k1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立.即：D n cosn2.6递推法 技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式aD n bD n 1 cD n 2 0.则作特征方程ax 2 bx c 0.① 若0，则特征方程有两个不等根，则 D n Ax ； 1 Bx ； 1 ② 若0,则特征方程有重根 X 1 X 2，则D n A nB x ； 1在①②中，A ,B 均为待定系数，可令 n 1, n 2求出.因为D k所以cos2cos2cos2 cos D kcoskcos k cos cosk cos sin k sin ,2 cos D k D k 12 cos cosk cosk cos sin k sincosk cossin k sin这就证明了当9 5 °°°°°4 95 °°°°° 4 9 5 °°°例1° 计算行列式D n°°°° 4 9 5°°°°° 49解：按第一列展开，得D n 9D n 1 2°D n 2 •即D n9 D n i 2° D n2 °.作特征方程2x 9x 2°°.解得X i 4, X2 5.则D n A?4n1 B?5n1.当n 1 时，9 A B ;当n 2 时，61 4A 5B .解得A 16,B 25 ,所以D n 5n 14n1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,然后再求行列式的值•拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和.3.1.2例题解析1 a1a2 0 0 01 1 a2a3 0 0例11 计算行列式D n 0 1 1 a30 00 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 1 1 a解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得1 a1 a2 0 0 01 0 1 82 a3 0 0D n 0 0 1 1 a30 00 0 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 0 1 1 a n3232 1 33333n 113n3n31 0 3232133333n 3n3n上面第一个行列式的值为所以D n 1 31 1 321a3a33n11 31 D n 1 .这个式子在对于任何n n都成立, 因此有D n 1 aQ na11 32D n 2 a1 a〔a2ii1 3j.j 13.2构造法3.2.1概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦, 3n3nn 13132 3n这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值.322例题解析1 1 1X1 X2 X n2 2 2 例12 求行列式D nX1 X2 X nn 2 n 2 n 2治X2 X nn n nX1 X2 X n 值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1 1 1 1X1 X2 X n X2 2 2 2X1 X2 X n Xf Xn 2 n 2 n 2 n 2X1 X2 X n Xn 1 n 1 n 1 n 1X1 X2 X n Xn n n nX1 X2 X n X将f x按第n 1列展开，得f x A,n 1 A；n 1其中，x 的系数为A n,n 1 又根据范德蒙德行列式的结果知f x x X-! 由上式可求得x n 1的系数为n 1X A n,n 1X n1A n 1,n 1xn n 1 ——1 D n D n解：虽然D n不是范德蒙德行列式, 但可以考虑构造n 1阶的范德蒙德行列式来间接求出D n的X x2X X n X i X j .1 j i nx1x2x n x i x j.1 j i n故有D n X i X2 X n X i X j .1 j i n3.3特征值法3.3.1概念及计算方法设1，2，n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式A 1 2 n .故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列式.3.3.2例题解析例13 若1, 2, n是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全不为零.证明：因为A 1 2 n,贝UA 可逆A 0 1 2 n 0 i 0 i 1,2 n .即A可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念a 11a 2i a 22 a 3i a 32a 33a n1a n2 a n3 a nn故称为"三角形”行列式.4.1.2计算方法由行列式的定义可知,4.2.2计算方法方法可归纳为：“爪”字对角消竖横.a i1a i2 a i3 a i na 22a 23 a 2n 形如a 33a 3na nna iia i2a i3a i na ii0 0 a 22a 23 a 2na 2ia 220 0 0 a 33 a 3na ii a 22 a nn，a 3i a 32a 33a nna ni a n2 a n3a nna ii a 22a nn .这样的行列式，形状像个三角形,4.2 “爪”字型行列式 4.2.1 概念形如a 。
巧用方程解难题
步 。接 下来的计算便是 “ 小儿科” 了。
经过努 力，我 终于成功地 解决 了题 目中遇到 的一 系列 困难 ，我好
开心呀念一想 ， 不行 ， 作业也 没完成 ，
还是 先把 作业做 完吧 。经过一番 “ 斗争”， 最终我还是 决定先 解完这道 题 。（ ２ Ｘ ）×４ ６ ＋ １＋ ＝ ０ Ｘ，根据 乘 法分 配律得 到 １ ＋ Ｘ ６ ＋ ２ ４ ４ ＝ ０ Ｘ，再 ｘ 根 据等式的性质得 到 ４ ８＋ ４ — Ｘ＝ ０＋Ｘ — ｘ和 ４ ｘ ６ ８＋ ３ ＝ ０ 两 Ｘ ６这
学生习作
巧 研贯程 解难题
江苏海 门市德胜 中心小学六 （ ） １ 王珏 笑
指 导老 师 吴 国和
有 一天 ，我做 作业的时候碰到 了这样一道题 ： 小红今年 １ ２岁，爷
爷 的年 龄 是 她 的 ５ ，几 年 后 爷爷 的 年 龄 是 小 红 的 ４ ？ 倍 倍 ’
开始的时候 ，我 只会 用 １ ×５求 出爷爷今 年的年龄 是 ６ ２ Ｏ岁，后 面 的 问题似乎 不知所措 。思考 了一会 儿，我 渐渐 开 了窍 ，想到 了老师 曾 经说 过有 的难题 可以用方程解 。于是 设 ｘ年后 爷爷的年龄是 小红的 ４ 倍 。接 下来就是 列方程 了，ｘ年后 小红 的年龄是 １ ＋ ２ Ｘ岁 ，那 么爷 爷 的年龄就 是 ６ ＋ 岁 了。这 个时候 小红的年龄 乘 ４就正好和 爷爷的年 ０Ｘ 龄相等 。可以把 方程 列为 （ ２ Ｘ）ｘ４ ６ ＋ １＋ ＝ ０ Ｘ。 解 方程是 最难的 ，我 正想算下去 ，可是耳 边却传来 了一 阵阵笑声。 原来是 坐在 电视 机旁 的妈 妈发 出的，我 想那一定是好 看的电视 剧开始 了，我 的脑海 中浮现 出一 幅幅精彩 的电视 画面 、一个 个充满悬念的故
高考化学：常用的8种计算题解题方法!
高考化学：常用的8种计算题解题方法！一、关系式法关系式法是根据化学方程式计算的巧用，其解题的核心思想是化学反应中质量守恒，各反应物与生成物之间存在着最基本的比例（数量）关系。
例题：某种H2和CO的混合气体，其密度为相同条件下再通入过量O2，最后容器中固体质量增加了（）A. 3.2gB. 4.4gC. 5.6gD. 6.4g【解析】固体增加的质量即为H2的质量。
固体增加的质量即为CO的质量。
所以，最后容器中固体质量增加了3.2g，应选A。
二、方程或方程组法根据质量守恒和比例关系，依据题设条件设立未知数，列方程或方程组求解，是化学计算中最常用的方法，其解题技能也是最重要的计算技能。
例题：有某碱金属M及其相应氧化物的混合物共10 g，跟足量水充分反应后，小心地将溶液蒸干，得到14g无水晶体。
该碱金属M可能是（）（锂、钠、钾、铷的原子量分别为：6.94、23、39、85.47）A. 锂B. 钠C. 钾D. 铷【解析】设M的原子量为x，解得 42.5＞x＞14.5，分析所给锂、钠、钾、铷的原子量，推断符合题意的正确答案是B、C。
三、守恒法化学方程式既然能够表示出反应物与生成物之间物质的量、质量、气体体积之间的数量关系，那么就必然能反映出化学反应前后原子个数、电荷数、得失电子数、总质量等都是守恒的。
巧用守恒规律，常能简化解题步骤、准确快速将题解出，收到事半功倍的效果。
例题：将5.21 g纯铁粉溶于适量稀H2SO4中，加热条件下，用2.53 g KNO3氧化Fe2+，充分反应后还需0.009 mol Cl2才能完全氧化Fe2+，则KNO3的还原产物氮元素的化合价为___。
【解析】0.093＝0.025x＋0.018，x＝3，5－3＝2。
应填：+2。
（得失电子守恒）四、差量法找出化学反应前后某种差量和造成这种差量的实质及其关系，列出比例式求解的方法，即为差量法。
其差量可以是质量差、气体体积差、压强差等。
差量法的实质是根据化学方程式计算的巧用。
小学数学列式计算题型分析及解题技巧
小学数学列式计算题型分析及解题技巧（收藏）对于小学生来说，数学中的文字题即是学习中的重点，也是学习中的难点。
不管是平时的学习与练习，还是每次的考试，文字题都占了很大的比例，需要我们去理解作答。
文字题（列式计算）是小学数学中把数学语言转化为符号语言的一种基本题型，也是检测小学生（尤其是中高年级）数学思维和计算能力的一种重要题型，但是，如果对这种题型不够重视，疏忽了解题方法的正确引导，学生没有掌握好解题方法，出错（尤其是列式错误）的情况也不少。
举个简单的例子：（1）3乘15加上22的和减去20，差是多少？（2）3乘15加上22减去20，差是多少？（3）3乘15加上22的和减去20的差，和是多少？（4）3乘15加上22的和减去20的差，积是多少？这四题从表面上看基本相同，但计算的结果却有很大的差别。
第一题的结果是91，第二、三题的结果是47，第四题的结果是51。
第1、2两题只差中间一个“和”字，可结果却差了44；第2、3两题相差好几个字，可是结果却一样；而第3、4题只差一个“和”字结果却也不一样。
从这个简单的例子我们可以发现做列式计算题的关键还是要读清楚题中的每一个字词，字词的顺序不同可能就会导致结果不同。
小学数学语言严密而精炼，叙述灵活而巧妙。
那么，我们要怎样才能做好这类题呢？在做题之前，不要急于列式，而是要求学生先认真审题，看清题中的基本数量关系，然后再确定应该用那一种列式方法或列方程的方法。
下面介绍三种题型及其解法，相信对孩子的正确解题有一定的帮助。
题型一求和、差、积、商的文字题求和、差、积、商的文字题是学生最初接触也是最常见的文字题，这类题的特点是问句一般有“和是多少？”、“差是多少”、“积是多少？”、“商是多少”或“结果是多少？”等字眼。
解题时，要在草稿纸上先用括号表示出整个式子的总体结构，然后再把括号里的式子（或数字）补充完整，比如，求“和是多少？”的文字题，首先可以确定出这道题的总体结构是“（）+（）”，然后，根据题意就可以把括号补充完整，如果括号里只有一个数字，必须把括号去掉，或者去掉括号后不影响计算结果，也可把括号去掉。
佳一数学暑期实验版教案 五升六-5 找准等量,巧设方程
<佳一数学思维训练教程>教案教材版本：实验版 . 学校： .第|一课时第二课时本讲教材及练习册答案：教材：例1：小明的速度是62米/分 .例2：刘师傅加工了102个零件 .例3：运来的梨443千克 ,运来苹果407千克 .例4：乙接着做了8小时 .例5：不及格学生的平均分是30分 .大胆闯关：1.较小锐角为30°,那么较大锐角写60° .2.甲做了170个零件 ,乙做了50个零件 ,丙做了30个零件 .3.钢笔的单价是元 .4.甲列车每小时行104千米 .5.甲数是116 ,乙数是38 ,丙数是12 .练习册：1.解析：因为长是宽的4倍还多100米 ,即 "长＝宽×4＋100〞解：设宽为x米 ,那么长为 (4x +100 )米 .(4x +100 ) + x＝3600÷2解得x＝340长：340×4 +100 =1460 (米 )答：长是1460米 ,宽是340米 .2.解：设鲁西西做了x道题 ,那么皮皮鲁做了x＋54道题 .因为皮皮鲁做的数学题是鲁西西的4倍多9道 .那么根据题意有：4x +9＝x＋54解得x＝15皮皮鲁做题：15 +54 =69 (道 )答：鲁西西做了15道题 ,那么皮皮鲁做了69道题 .3.解析：为方便计算 ,用间接设元法 .设方案x天完成任务 .那么如果每天做500个 ,这批零件需要 (x＋8 )天能够完成；如果每天做600个 ,那么这批零件需要 (x－5 )天能够完成 .但无论每天做多少个 ,每天做的零件个数×天数＝零件总数 (一定 ) .解：设方案x天完成任务 .根据题意有：500× (x＋8 )＝600 (x－5 )x＝70这批零件一共有： (70＋8 )×500 =39000 (个 )答：这批零件一共有39000个 .4.解析：根据 "上午行驶的路程＋下午行驶的路程＝一天行驶的路程〞列出方程 .解：设这辆汽车下午行驶了x小时 .4×50＋37x＝42 (x＋4 )x答：这辆汽车下午行驶了6.4小时 .5.解析：我们可以找一个量 ,用这个量把四人的宝石都表示出来 .根据题干 "唐僧的宝石减少2颗 ,悟空的宝石增加2颗 ,八戒的宝石增加一倍 ,沙僧的宝石减少一半 ,那么四个人的宝石的颗数就一样多了 .〞可以用经过变动后一样多的这个量作为中间量 ,根据题意有：唐僧的宝石颗数－2＝悟空的宝石颗数＋2＝八戒的宝石颗数×2＝沙僧的宝石颗数÷2＝x颗 . 那么原来唐僧有宝石唐僧有 (x＋2 )颗 ,悟空有 (x－2 )颗 ,猪八戒有x÷2颗 ,沙僧有2x颗 .解：设变动一下四个人的宝石都有x颗 ,那么原来唐僧有宝石 (x＋2 )颗 ,悟空有 (x－2 )颗 ,猪八戒有x÷2颗 ,沙僧有2x颗 .(x +2 ) + (x -2 ) + (x÷2 ) +2x＝45解得x＝10唐僧：10 +2 =12 (颗 )悟空：10 -2 =8 (颗 )八戒：10÷2 =5 (颗 )沙僧：10×2 =20 (颗 )。
巧用公式计算钟表角
巧用公式计算钟表角在平日的学习过程和近几年中考试题中，我们常会遇到与钟表上的角度计算有关的问题，多数师生在解决这类问题时感到困难大，通常都会采用画简易的表盘示意图的形式，去数两针之间的所夹的格数,既费时又易错.若能仅从时针、分针转动所成的角度入手解决则较容易。
我们知道，时针、分针转动一周经过12大格或60小格．因此,每小时时针转动30°，每分钟分针转动6°，每分钟时针转动0。
5°。
假设时间是m时n分，在教学中笔者得到了钟表角的计算公式是:∣m×30°+0。
5°n-6°n ∣。
下面就常见的几种典型例题对此公式的应用加以举例说明:一、求某一时刻时针、分针的夹角．例1。
9点22分时,时针与分针的夹角是多少度?解：9点22分时，时针转过了（9+)×30°=281°，分针转过了22×6°=132°，其度差为∣281°—132°∣=149°，∴时针与分针的夹角是149°．例2.7点40分时，时针与分针的夹角是多少度?解:7点40分时，时针转过了(7+）×30°=230°，分针转过了40×6°=240°，其度差为∣230°—240°∣=10°，∴时针与分针的夹角是10°．例3。
2点54分时，时针与分针的夹角是多少度?分析：求法与上两例大致相同,不过一般情况我们求出的夹角是小于180°的角.解:2点54分时，时针转过了(2+）×30°=87°，分针转过了54×6°=324°，其度差为∣87°—324°∣=237°，（大于180°，而习惯上所说的夹角都是小于180）∴时针与分针的夹角是360°—237°=123°．二、求时针与分针的重合时间．例4.12点后，时针与分针何时首次重合？分析:时针与分针重合时,其角度差为0°，则可通过：时针转过的角度—分针转过的角度=0°这个关系式列方程求出具体的重合时间。
2020年初一数学一元一次方程的13种应用题型全解析
一、工程问题列方程解应用题是初中数学的重要内容之一，其核心思想就是将等量关系从情景中剥离出来，把实际问题转化成方程或方程组，从而解决问题。
列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答——检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）【典例探究】例1 将一批数据输入电脑，甲独做需要50分钟完成，乙独做需要30分钟完成，现在甲独做30分钟，剩下的部分由甲、乙合做，问甲、乙两人合做的时间是多少？解析：首先设甲乙合作的时间是x分钟，根据题意可得等量关系：甲工作（30+x）分钟的工作量+乙工作x分钟的工作量=1，根据等量关系，列出方程，再解方程即可．设甲乙合作的时间是x分钟，由题意得：【方法突破】工程问题是典型的a=bc型数量关系，可以知二求一，三个基本量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间需要注意的是：工作总量往往在题目条件中并不会直接给出，我们可以设工作总量为单位1。
二、比赛计分问题【典例探究】例1某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。
已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了道题。
解：设这个人选对了x道题目，则选错了(45-x)道题，于是3x-（45-x）=1034x=148解得 x=37则 45-x=8答：这个人选错了8道题.例2某校高一年级有12个班．在学校组织的高一年级篮球比赛中，规定每两个班之间只进行一场比赛，每场比赛都要分出胜负，每班胜一场得2分，负一场得1分．某班要想在全部比赛中得18分，那么这个班的胜负场数应分别是多少？因为共有12个班，且规定每两个班之间只进行一场比赛，所以这个班应该比赛11场，设胜了x场，那么负了（11-x）场，根据得分为18分可列方程求解．【解析】设胜了x场，那么负了（11-x）场．2x+1•（11-x）=18x=711-7=4那么这个班的胜负场数应分别是7和4．【方法突破】比赛积分问题的关键是要了解比赛的积分规则，规则不同，积分方式不同，常见的数量关系有：每队的胜场数＋负场数+平场数＝这个队比赛场次;得分总数+失分总数＝总积分;失分常用负数表示，有些时候平场不计分，另外如果设场数或者题数为x，那么x最后的取值必须为正整数。
行测数量关系技巧：利用方程巧解浓度问题
⾏测数量关系技巧：利⽤⽅程巧解浓度问题 公务员⾏测考试主要是考量⼤家的数学推理能⼒和逻辑分析能⼒，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测数量关系技巧：利⽤⽅程巧解浓度问题”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测数量关系技巧：利⽤⽅程巧解浓度问题 在我们各类公职类的考试当中，⾏测⼀直有着举⾜轻重的地位，⽽⾏测当中的数量关系更是很多学⽣会选择放弃的部分，那么久导致整体的平均分相对较低，此时就需要我们格外的关注这些题，在其他⼈⽆法做出来题⽬的时候，如果你可以快速解题，那么你就可以超越其他⼈处在靠前的位置，⽽这⼀类题⽬其实我们⼀直会有⼀个误区，就是很多⼈认为做题的时候不要过多的使⽤⽅程法，这样会放慢我们的解题速度，其实不然，在考场上那么紧张的环境下，往往我们想到的第⼀个⽅法也是唯⼀的⽅法就是⽅程法，那么这个题⽬我们就不要做了么?肯定不是的。
所以这就告诉⼤家，在考场上，如果你运⽤⽅程法能够快速的解题其实也是⼀种不错的选择。
那么在众多题⽬中，浓度问题运⽤⽅程法也是⾮常多的，那么这类问题到底应该怎么运⽤⽅程去解决呢?这就是带⼤家研究的内容。
⼀、基本公式 ⼆、例题精讲 【例1】甲容器中有8%的⾷盐⽔300克，⼄容器中有12.5%的⾷盐⽔120克，往甲、⼄两个容器分别倒⼊等量的⽔，使得两个容器的⾷盐⽔浓度⼀样，问倒⼊多少克的⽔?A.300B.210C.180D.150 【答案】C。
解析：根据题意，两个容器的⾷盐⽔的浓度是⼀样的，那可以根据浓度⼀样找到等量关系列等式，题中倒⼊多少⽔是未知的，所以直接设其为x，则可以直接列出⽅程为 ，解得x=180，所以此题选择C选项。
【例2】现有浓度为12%和24%的盐⽔各若⼲克，将其混合后加⼊50克⽔，配置成了浓度为18%的盐⽔600克，则原浓度为12%和24%的盐⽔质量之⽐为：A.6:5B.1:1C.5:6D.4:7 【答案】D。
解析：根据题意，若设原浓度为12%的盐⽔质量为x，浓度为24%的盐⽔质量为y，那么根据题中条件可知，加⽔前后的溶质的质量是不变的，可以列出来第⼀个式⼦为12%x+24%y=18%×600，同时根据混合前后溶液相差50克，所以可以列出第⼆个式⼦为x+y=600-50，联⽴这两个等式，可以求出来x=200,y=350,所以200:350=4:7，故答案选择D选项。
小学数学《运用连除解决问题》教案二：巧用连除法解决实际问题
小学数学《运用连除解决问题》教案二：巧用连除法解决实际问题引言连除法是小学数学中经常用到的一种解决问题的方法，它可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
在生活中，我们经常会遇到一些需要用到连除法来解决的实际问题，比如购物打折、邮费计算等。
本文将结合实际问题，详细介绍如何巧用连除法来解决这些问题。
一、购物打折小明去商场购物，看中了一件衣服，原价为200元，但商家正在进行促销活动，只要购买超过300元的商品就可以打8折。
如果小明再买一件150元的衣服，这两件衣服加起来需要支付多少钱呢？解题思路：根据题目中的信息，我们可以列出方程：（200 + 150）× 0.8 = x其中，200和150分别代表两件衣服的原价，0.8表示打8折后的折扣，x表示实际需要支付的金额。
我们可以通过连除法来解决这个方程。
具体步骤如下：1.将等式两边都除以0.8。
（200 + 150）÷ 0.8 = x ÷ 0.82.将等式两边都进行计算。
（350 ÷ 0.8）= 437.5x = 437.5小明需要支付437.5元。
二、邮费计算小张买了一些物品，需要通过快递寄出。
快递公司规定，每个包裹的重量不超过1kg，超过1kg的部分从第2kg开始，每半公斤计算一次邮费，每次邮费为10元。
如果小张买了3个物品，分别为500g、800g和1200g，他需要支付多少邮费呢？解题思路：根据题目中的信息，我们需要先求出这三个物品的总重量，根据重量来计算邮费。
具体步骤如下：1.将三个物品的重量相加。
500g + 800g + 1200g = 2500g2.将总重量转换为kg，并求出超过1kg的部分的重量。
2500g ÷ 1000g/kg = 2.5kg3.5kg - 1kg = 1.5kg4.根据超重部分的重量，计算需要支付的邮费。
每半公斤10元，共有三个半公斤，即1.5kg。
小张需要支付3×10元=30元的邮费。
五年级上册数学列方程式讲解
五年级上册数学列方程式讲解
好的，我会为你提供五年级上册数学列方程式的讲解。
首先，我们要理解什么是方程式。
方程式是一种数学表达方式，它表示两个数学表达式相等。
在方程式中，我们通常会看到一些未知数，这些未知数是我们需要找到的。
让我们来看一个简单的例子：
假设我们有一个方程式 3x + 5 = 14，这里 x 是一个未知数。
我们的任务是找到 x 的值，使得方程式成立。
要解这个方程式，我们可以使用以下步骤：
1. 先将方程式 3x + 5 = 14 中的常数移到等号的右边，得到 3x = 9。
2. 然后，我们将方程式两边都除以3，得到 x = 3。
这样我们就找到了 x 的值，使得方程式成立。
所以，列方程式的基本步骤是：
1. 确定未知数。
2. 根据题目描述，写出方程式。
3. 解方程式，找到未知数的值。
希望这个讲解能帮助你理解列方程式的方法。
如果你还有其他问题，欢迎继续提问。
把握数列概念本质__巧用数列通项特征——2023年高考数列试题赏析
球 的 球 心,由 V 三 棱 锥O-PBC =
。
解 析:由 ∠HDC = ∠FAB =9
0
°,且 点
过
PAD ⊥ 平面 ABCD 。取 AD 的中点为 M ,
过 O 作 底 面 ABCD 的 垂 线
为四 棱 锥 PABCD 的 外 接
平面 PBC 的距离为
可知 AB ⊥ 平面 PAD ,
平面
H、
F、
E、
G 重合,
正方形 ABCD 的中心为 O ,
则 l1 与 l2 的 交 点 O ,即
l2 ,
则四 棱 锥 P9
0
°,
ABCD 的 外 接 球 的 球 心 到
图1
可得球心 O 到平面 PBC 的 距 离 为
V 三 棱 锥P-OBC ,
5
。
5
M 作平 面 PAD 的 垂 线l1 ,取 正 方 形 ABCD
以约分成一次函数的特征。因此,
设 an =t
n,
求 d。
T99 =9
9,
(
解析:
1)由 3
a2 =3
a1 +a3,
S3 +T3 =2
1,
可 得
3(
a1+d)
=3
a1+a1+2
d,
3
a1+3
d+
a1=d,
,
2
6
1
2
=2
1
+
+
a1 a1+d a1+2
d
2
所以 2
解得
d -7
d+3=0,
9
6
d+ =2
巧用勾股定理列方程求解几何计算题
巧用勾股定理列方程求解几何计算题勾股定理被被誉为千古第一定理，是“几何学的基石和明珠”，也是相关考试中的重点考查内容之一，勾股定理除了可以解决“已知直角三角形的两条边长，求第三边”外，在求解折叠、切线、特殊四边形计算等问题时，也常会出现直角三角形及其边长的一些数量关系，此时可结合题意，借助相关概念及图形性质，找到或者构造出各边之间存在着某些数量关系的直角三角形，从而利用勾股定理列出方程求解.下面对这类问题进行归类整理.一、已知三角形的一条边长，及另两边的数量关系这类问题关键是首先要找到或构造出这样的一个直角三角形，利用全等、等腰三角形、切线等性质确定其中两边的数量关系.那么，这两条边都可以用含同一个字母的代数式表示，然后利用勾股定理列出方程，求解即可.1、利用全等的性质建立数量关系例1 (2015年泰州中考题)如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，P 为AD 上一点，将ABP ∆沿BP 翻折至EBP ∆，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD =，则AP 的长为.分析 根据OE OD =，可以证明ODP OEG ∆≅∆，从而得到EG DP =，EP DG =.若设AP x =，则CG 、BG 可以用含x 的代数式表示.在Rt BCG ∆中，BC 的长已知，利用勾股定理列出方程求解即可.解 在ODP ∆和OEG 中，D E OD OEDOP EOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ODP OEG ∆≅∆，∴OP OG =，PD GE =，∴EP DG =.设AP EP DG x ===，则6GE PD x ==-，8CG x =-，8(6)2BG x x =--=+. 在Rt BCG ∆中，222BC CG BG +=，即 2226(8)(2)x x +-=+，解得 4.8x =.∴AP 的长为4. 8.2、利用等腰三角形性质建立数量关系例2 (2017年哈尔滨中考题)如图2，在矩形ABCD 中，M 为BC 边上一点，连结AM ，过点D 作DE AM ⊥，垂足为E .若1DE DC ==，2AE EM =，则BM 的长为 . 分析 已知点D 到AMC ∠两边的距离相等，连结DM ，可证明EM CM =，DM 平分AMC ∠，结合//AD BC ，由“两平”可得到ADM ∆是等腰三角形.若设EM x =，则AM 、BM 可以用含x 的代数式表示.在ABM ∆中，AB 的长已知，利用勾股定理列出方程求解即可.解 连结DM ，在Rt DEM ∆和Rt DCM ∆中，DE DC DM DM =⎧⎨=⎩， ∴Rt DEM Rt DCM ∆≅∆，∴AMD EMD ∠=∠.∵//AD BC ，∴DMC ADM ∠=∠，∴AMD ADM ∠=∠，∴AD AM =.设EM CM x ==，则3AD AM BC x ===,∴2BM x =.在Rt ADM ∆中，222AB BM AM +=，即2221(2)(3)x x +=，解得x =∴BM . 3、利用切线的性质建立数量关系例3 (2015年宁波中考题)如图3，在矩形ABCD 中，8AB =，12AD =，过点A ，D 两点的⊙O 与BC 边相切于点E ，则⊙O 的半径为 .分析 根据切线的性质，连结OE ，则OE BC ⊥，结合//AD BC ，反向延长OE 交AD 于点F ，则OF AD ⊥.若连结OA ，在Rt OAF ∆中，AF 的长已知，OF 、OA 的长可以用含r 的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.解 设⊙O 的半径为r ，连结OE 、OA ，并反向延长交AD 于点F .∵⊙O 与BC 边相切于点E ，∴ OE r =，OE BC ⊥.又//AD BC ，OF AD ⊥，6AF =.则8OF EF OE r =-=-.在Rt OAF ∆中，222OF AF OA +=，即222(8)6r r -+=， 解得 6.25r =.∴⊙O 的半径为6.25.二、一个直角三角形的三条边可以用含同一个未知数的代数式表示这类问题与第一类类似，关键是要结合题目的条件，利用折叠、相似等性质，找到或者构造这样的一个直角三角形，将三边用含同一个字母的代数式表示，然后利用勾股定理列出方程，求解即可.1、利用折叠建立数量关系例4 (2018年杭州中考题)如图4，折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作:①把ADE ∆翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上;②把纸片展开并铺平，得到正方形AEFD ;③把CDG ∆翻折，点C 落在直线AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上.若2AB AD =+，1EH =，则AD = .分析若设AD x =，由折叠可知2DH DC x ==+，1AH AE HE x =-=-.在Rt ADH ∆中，三条边长可以用含x 的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.解 设AE AD x ==，则1AH AE HE x =-=-.由③，可知2DH DC AB x ===+.在Rt ADH ∆中222AD AH DH +=，即222(1)(2)x x x +-=+，解得13x =+，23x =-(舍).∴3AD =+ 2、利用相似建立数量关系例5 (2017年潍坊中考题)如图5，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 边上，记为'B ，折痕为CE ;再将CD 边斜向下对折，使点D 落在'B C 边上，记为'D ，折痕为CG ，''2B D =，13BE BC =，矩形纸片ABCD 的面积为 . 分析 由折叠，可知'90EB C B ∠=∠=︒.根据“一线三垂足”模型，易证''AEB DB C ∆∆，且相似比为13.在'Rt AEB ∆中，若设BE x =，则三边都可以用含x 的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.解 设BE x =，则3BC x =.折叠可得'90EB C B ∠=∠=︒，'32CD CD x ==-，3222AE x x x =--=-.∵A D ∠=∠，''EB A B CD ∠=∠，∴''AEB DB C ∆∆， ∴''1'3AB B E BE CD B C BC ===， 12'33A B CD x ==- ∴在'Rt AEB ∆中，222''AE AB B E +=， 即2222(22)()3x x x -+-=， 解得123x =(舍)，253x = ∴5BC =，3AB =，∴矩形纸片ABCD 的面积为15. 三、两个直角三角形有一条边相等(公共边)在有些问题中，可以找到这样的两个直角三角形，它们有一条边相等，有些情况下这条相等的边是一条公共边;其它的边长或者已知，或者可以用含同一个字母的代数式表示.根据勾股定理，利用这条公共边列方程求解即可例6 (2017年威海中考题)如图6，四边形ABCD 为一个矩形纸片，3AB =，2BC =，动点P 自D 点出发沿DC 方向运动至C 点后停止. ADP ∆以直线AP 为轴翻折，点D 落到点1D 的位置.设DP x =.(1)略.(2)当x 为何值时，直线1AD 过BC 的中点E ?分析 根据条件，1D P 、1D E 、PC 可以用含x 的代数式表示.若连结PE ，注意到在1Rt PD E ∆和Rt PCE ∆中，有一条公共边PE ，根据222211PD D E PC CE +=+，列方程求解即可.解 连结PE ，由折叠，可知1D P DP x ==，3PC x =-.∵12AD AD ==，∴12D E =.在1Rt PD E ∆和Rt PCE ∆中，222211PD D E PC CE +=+，即22222)(3)1x x +=-+，解得x =. 例7 (2018年宁波中考题)如图7，在菱形ABCD 中，2AB =，B ∠是锐角，AE BC ⊥于点E ，M 为AB 的中点，连结MD 、ME .若90EMD ∠=︒，则cos B 的值为 .分析 要求cos B 的值，只需要求BE 的长.利用条件“M 为AB 的中点”，结合菱形的对边分别平行的性质，可延长DM 、CB 交于点F ，证明ADM BFM ∆≅∆，从而得到DE EF =.若设BE x =，则2DE EF x ==+，注意到在Rt ABE ∆和Rt ADE ∆中，有一条公共边AE ，根据2222AB BE DE AD -=-，列方程求解即可.解 延长DM 、CB 交于点F ，连结DE ，则有ADM BFM ∆≅∆，∴DM MF =.又∵90EMD ∠=︒，∴ME 是DF 的垂直平分线，∴DE EF =.设BE x =，则2DE EF x ==+.在Rt ABE ∆和Rt ADE ∆中2222AB BE DE AD -=-，即2222(2)22x x +-=-，解得1x =-±∴1EB =-+∴1cos 2BE B AB ==.。