均布荷载荷载是均匀分布的

F
F’ rBA A
力偶三要素
10
力偶的等效条件(定理）
rr rr {F1, F1'} {F2, F2'}
•两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等
M1
M2
B
rBA
F1来自百度文库
C
rCD
F2
F1’
A
F2’
D
rr r M1 rBA F1
rr r M2 rCD F2
rrBA
r F1

r M1

F1
F4
• 若汇交力系中，力的作用线在同一平面内， 则称为平面汇交力系(concurrent coplanar force system)。
• 若汇交力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为 空间汇交力系(concurrent noncoplanar force system) 。
3
汇交力系简化
1、几何法（矢量法）
•力偶系(couple system)： 作用于刚体上的 一组力偶。
@ 力偶合力为零，不能与单个力等效，是一种最简单力系。
@ 力偶对刚体只产生转动效应，用对任意点的力矩度量。
9
力偶矩 ( moment of a couple )
B
F’
F
r rBA
A
d
rB rA
r r r r r r rr r MO MO (F) MO (F ') rA F rB F '
的顶点O上，三力的大小分别为 F1 3N, F2 2N, F3 2 2N
求合力。
z
解：根据合力投影定理

FRx Fix
F1
F3
0 F2 cos 45 0 1 N
FRy Fiy
P1

P3 FR
F3 cos 45 F2 cos 45 3 N
B
问题：保持二力平行及作用点A、B不变，改变二力作用方向， 其合力作用点位置发生变化吗？
21
二、平面平行分布力的等效 求合力大小及作用线位置。
图中AB线段上作用垂直分布载荷
B
B
其合力大小
FR
A dFi
q( x)dx
A
即等于ABba载荷图形的面积。
设合力作用点x坐标为xC：
由合力矩定理： FR xC
合力偶在坐标轴上的投影分别为
M Rx M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1rN.m
合力偶:
rr
r
M Ry M 2 80 N.m
MR 193.1 i 80 j 193.1 k
M Rz M1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1 N.m
rr r
设 {F1,
r F3
F2 ,
r F2
F3}为Fr作R用Fr在R12AFr点3r的力系，F求rR其合力Fr3r
力 多 边
A
r F1
r F2 F1
r F2 形 F1
r rr FR12 F1 F2 rr r FR FR12 F3
r rr r FR F1 F2 F3
合力为力多边形的封闭边，
作用于汇交点。
4
rr
r
设{F1, F2 ,L Fn}为作用在A点的汇交力系
r
rr
r
则该力系的合力为 {FR} {F1, F2,L , Fn} (A为作用点)
r rr
r
r
FR F1 F2 L Fn Fi
z 2、 解析法
Fn
建立正交坐标系Oxyz，
A
每个力可用坐标轴上的分力表达：
，求其合成结果。
二力向一点C平行移动，附加力偶
r M1
r M2
欲使两附加力偶抵消，C点必在AB之间，其位置满足：
rr r r
r
r1 F1 r2 F2
M1
AC
BA C B
r F1
r
r F2
F1
r
r F2
M2
最终简化为作用在C点的合力
rrr FR F1 F2
A
r r1
r FR
C
r r2
力系的简化
力系
平面 空间
汇交力系 力偶系 平行力系 一般力系
简化----用最简单的力系等效替换复杂力系。
1
第五节 基本力系的简化
一、汇交力系及其简化
•汇交力系(concurrent force system) ： 所有力的作用线汇交于一点的力系。
2
r
r
F1
r
F1
r
Fn
F2 F3
Fn
A
r
F2
A
r F2

b) 3

1 6
q(2a2

3ab

b2 )
方向顺时针
F1

1 2
qa,
F2

1 2
qb
25
例 图示水埧取1m长，已知：砼埧重P1=594kN，土埧重P2=297kN，水深h=8m，求：荷 载向A点简化时主矢、主矩值；在埧底主矩等于零为何处。
3m 1m
解： 水比重 ：=9.8kN/m3
0
P2
P1
23
例 将图示分布载荷进行简化，并求对A点之矩。
解：将分布载荷图形分成两个三 角形，每个三角形载荷合力大小 分别为：
F1

1 2
qa,
F2

1 2
qb
作用线位置如图示。整个分布载荷的合力大小为
FR

F1

F2

1 q(a 2
b)
24
分布载荷对A点之矩：
M
A

1 2
qa
2 3
a

1 2
qb(a
A
• 均质等截面细杆（线）的重心公式
主矩等于零处: xR=M0/ FRy=3.28m
26
三、空间平行分布力
空间平行力系：{Fr1
,
r F2
,
L
r , Fn}
若力系最终简化为作用在C点的合力，
合力大小： FR Fi
求合力作用点
x
z
F2
F1 C
F
O
Fi
Fn y
建立如图坐标系，对x和y轴的矩：
Mx yCFR yiFi

r rA

r F

r rB

r (F
)
rr r (rA rB ) F
rr rBA F
力偶矩： r r r M rBA F
与取矩点无关 为自由矢量
O
rr F ' F M
大小： M d F 单位：N . m
方向： 垂至于力偶所在平面 指向： 符合右手螺旋法则
B
xC
xi Fi FR
M y xCFR xiFi
将力旋转90o，对x轴的矩：
yC
yi Fi FR
Mx zCFR ziFi
zC
zi Fi FR
平行力系 中心坐标
27
1、 重心的概念
重心：物体重力形成的空间平行 力系的中心。
重 心 坐 标 公 式
xC
M A(F ) M A(Fx ) M A(Fy )
Fx b Fy a
F cos b F sin a
8
二、力偶系及其简化
1、 概念与性质
F1 F2
r F
A
r F'
B
•力偶(couple)： Fr ,
r F

,
F F 不共线
B
A xdFi
B
B
A q(x)dx xC
xq( x)dx
A
B
即ABba载荷图形形心的x坐标。
xq(x)dx
xC
A B
q(x)dx
结论：沿直线垂直于该直线的同向线荷载，A
其合力的大小等于荷载图的面积，
合力方向与原荷载相同，合力作用线通过荷载图的形心。22
几种常见的线分布载荷：（见下表）
r rrr
x
Fi Fixi Fiy j Fizk
r
r
则合力：FR Fi
r Fixi
r Fiy j
r Fiz k
rrr
FRxi FRy j FRzk
F2
FR
y F1
5
则合力：FrR
r
Fi

r Fixi
r Fiy j
r Fiz k
r
r rr
在垂直 MB的平面上将力偶等效为两个力，且 F ' F '' F
作用于A点的力
r F
'

r F
简化为
r
定位矢量 rBA如何确定？
大小：rBA

MB F
r
方向（单位矢量）： n
rr
r
r
rr F MB F MB
则
r rBA

MB F
F MB F MB
F MB F2
r ir1 r r
r FR MO (FR )
即：
rr
nr r
MO (FR ) MO (Fi )
i 1
汇交力系合力矩定理：
z
r F1
rr
o
r
x
Fn
r F2
r FR
y
若作用在刚体上的汇交力系存在合力，则合力对任一点 A的矩，就等于该力系中各力对同一点之矩的矢量和。
例：求力F对A轴的力矩。
作用于构件单位长度上的荷载的大小，常用符号 q表示， 单位为N/m或kN/m。
19
均布荷载：荷载是均匀分布的（q为常数）； 非均布荷载：荷载不是均匀分布的（q不是常数）； 荷载图：表示荷载分布情况的图。
问题：如何简化分布荷载？ 平行力系简化
20
一、两同向平行力的合成
已知两平行力：
r F1
r F2
力偶为自由矢量
移至同一点O
rr
r
r
{M1, M2,L , Mn} {MR}
力偶简化后仍为力偶
r
n
rn
rn
r
MR Mixi Miy j Mizk
i1
i 1
i 1
M R ( Mix )2 ( Miy )2 ( Miz )2
r r
cos(M R , i )

Pi xi P
,
对 连 续
yC

Pi yi P
,
、 均 匀
zC

Pi zi P
物 体
xdv
xC
V
V

yC

V
ydv V


zdv
zC
V
V


28
• 均质等厚薄板或薄壳的重心公式
xdA
xC
A
A
ydA
yC
A
A
zdA
zC
A
16
四、力螺旋
力螺旋：力与某力偶矩矢构成的力系， 若两者平行，则称为力螺旋。
力螺旋也是一种最简单的力系。
如如力果果FrRFFrrRR的 与与作用MMrr O线O 称同反为向向力，，螺称称旋为为的右左中螺螺心旋旋轴；。。
17
第六节 平行分布力(荷载)
荷载：工程结构所承受的主动力。 例如：物体的重力、水压力、风力等。 荷载分为：集中荷载（集中力）、分布荷载（分布力） 集中荷载: 力的作用位置可抽象成一个几何点。 分布荷载: 力的作用位置具有一定大小范围。
r M2

rrCD
r F2
11
力偶的性质
性质一
力偶是自由矢量
力偶可在其作用面内任意移动,而不改变对刚体的作用效应
F
F
性质二 在保持力偶矩不变的情况下，同时改变组成力偶的 力大小及力偶臂的长短，则不会改变它对刚体的转动效应。
F1 F2
F1 h1
h2 F2
12
2、 力偶系的简化 力偶系：作用在刚体上的一群力偶
rrr
FRxi FRy j FRzk
z
其中
FRx FRy
Fix Fiy

Fn
FRz
Fiz

A
x 合力作用线经过汇交点
F2
FR
y F1
合力投影定理
合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一坐 标轴上投影的代数和。
6
vv v
例
汇交力系 {F1 F2 F3} 的作用点在边长为 2m 的正六面体相应
14
三、力的平移定理
F
F
A
B

A
B
r rr

F’
F '' F ' F
F’
MB
力的平 移定理
A
F
rBA
B
F”

r
rr
{F}A {F ', MB}B,
A
B
rr Fr ' Fr r r r
MB rBA F MB15(F)
F’
MB F
A
B
F’
F
B
A
B
rBA
问题：已知力
r F
和与其垂直的力偶FMr”B ，如何进一步简化该力系？
18
分布荷载的分类：体荷载、面荷载、线荷载 体荷载：荷载分布于某一体积内。（例如重力荷载） 面荷载：荷载分布于某一面积上。（例如楼板承受的荷载） 线荷载：荷载分布于某一狭长形状的体积或面积上时，则可简
化为沿其长度方向中心线分布的线荷载。 常见的平面结构的线荷载：
沿某一直线连续分布的同向平行线荷载（平面平行力系）。 线荷载集度：
M ix MR
r r
cos(MR , j)
M iy MR
r r
cos(M R , k )
M iz MR
13
例：工件如图所示，它 的四个面上同时钻五个 孔，每个孔所受的切削 力偶矩均为80 N·m。求 工件所受合力偶矩矢量 的大小和方向。
解：
将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢量表示，并平移到A点。
y
Q
q=y
dy yc
yQ
A FRx
FRy y
M0
x
水合力:
Q
h
qdy
1h2γ
314kN
0
2
水作用点:
yC
h

0
y2dy/Q 2h 3
1 yQ 3 h 2.67m
FRx=Fix =314kN,
FRy= Fiy=P1＋ P2= 891kN,
主矩：M0= Q·2.67 ＋P1·1.5 ＋P2·4= 2917.38kN·m
FRz Fiz

F3 cos 45 F1 5 N
O
rrrr 合力： FR i 3 j 5k
x

P2
y F2
7
求汇交力系各力对O点力矩之和。
n r r
nr r r n r
MO (Fi ) r Fi r Fi
i 1
i 1