命题、证明及平行线的判定定理+知识点+例题
命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解
【学习目标】
1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；
2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；
4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；
5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.
【要点梳理】
要点一、定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.
要点二、证明的必要性
要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.
要点三、公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：
证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
要点四、平行公理及平行线的判定定理
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
2．平行线的判定定理
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【典型例题】
类型一、定义与命题
1．请说出下列名词的定义：
（1）无理数 （2）直角三角形
【答案与解析】
解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.
（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.
举一反三：
【变式】指出下列句子哪些是定义.
(1)两直线平行,内错角相等；
(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；
(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；
(4)等腰三角形的两底角相等；
(5)平行四边形的对角线互相平分；
(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
【答案】（2），（3），（6）是定义.
2．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：
（1）如果,>>a b b c ，那么>a c ；
（2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角.
【答案与解析】
解：（1）条件：,>>a b b c ；结论：>a c .它是真命题.
（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.
【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.
举一反三：
【变式】（2013?贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（ ）.
A ．若2a m =，则a m =
B ．若a ＞b ，则am ＞bm
C ．两个等腰三角形必定相似
D ．位似图形一定是相似图形
【答案】D
类型二、公理、定理及证明
3．证明：等角的余角相等．
【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.
【答案与解析】
已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°.
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知）
∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质）
∵∠1=∠2（已知），
∴∠3=∠4（等量代换）.
【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.
举一反三：
【变式】“垂线段最短”是（ ）.
A ．定义
B ．定理
C ．公理
D ．不是命题
【答案】B
类型三、平行线的判定定理
4. 如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．
【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行证明OB ∥AC ，根据同旁内角互补，两直线平行
证明OA∥BC．
【答案与解析】
解：OA∥BC，OB∥AC．
∵∠1=50°，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∴OB∥AC，
∵∠2=50°，∠3=130°，
∴∠2+∠3=180°，
∴OA∥BC．
【总结升华】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．
（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；
（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；
（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；
（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．
∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个；
故选：C．
5.如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．
【答案与解析】
证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，∠CFE=∠E，
∴∠1=∠CFE=∠E，
∴∠2=∠E，
∴AD∥BC．
【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．
举一反三：
【变式】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB与CD平行吗？请说明理由．
【答案】
解：AB∥CD．理由如下：如图：
∵EF⊥EG，GM⊥EG (已知)，
∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，
即∠3＝∠4．
∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．