高中数学必修5数列知识点总结

数列

1. 等差数列

通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2

a b A +=

，那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ✧ 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。 ✧ 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。

例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362

a a d S a d a d ⨯=+==+

=+=，解得10,2a d ==，916a =

例2. {}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？ 解析：由311S S =得1213

d a =-

，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+⨯-=--+，又10a >所以1013

a -< 故 7n =

2. 等比数列

通项公式：11(0)n n a a q q -=≠

等比中项：2G ab =

前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩

若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅ 例. {}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________

解析：由0n a >，242411a a a q ==，231117S a a q a q =++=，解得

1114,,22a q ==-（舍去）。所以5314

S =

3. 求数列的通项

✧ 利用1n n n a S S -=-，注意n=1时的情况。

✧ 形如1()(2)n n a a f n n -=+≥时，用累加法求解。

✧ 形如1

()(2)n n a f n n a -=≥时，用累乘法求解。 ✧ 形如1(2)n n a a m n -=+≥时，构造等差数列求解

✧ 形如1(2)n n a xa y n -=+≥时，构造等比数列求解。

例.根据下列条件，求{}n a 的通项公式。

（1）数列{}n a 满足：132n n a a n +=++，且12a =。（转化后利用累加法）

（2）11a =，11(2)n n n a a n n

--=≥。（利用累乘法） （3）11a =，132n n a a +=+。（构造等比数列）

解析：（1）因为1323(1)1n n a a n n +-=+=+-，所以131n n a a n --=-所以 112211(31)()()()2n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+= 当1n =时，12a =符合n a 通项公式。

（2）因为11(2)n n n a a n n --=≥，所以122121,1

2

n n n a a a a n ---==-。 11121123n a n a a n n n -=⋅⋅⋅⋅==，1a 符合通项公式。 （3）因为132n n a a +=+，所以113(1)n n a a ++=+，由11a =可知10n a +≠ 所以1131

n n a a ++=+，{}1n a +为等比数列，公比3q =， 11112,123231n n n n a a a --+=+=⋅∴=⋅-

4. 求前n 项和n S

✧ 公式法

✧ 分组求和

✧ 拆项相消

常见的拆项公式

（1）111(1)1

n n n n =-++ （2）1111()()n n k k n n k

=-++ （3）1111()(21)(21)22121

n n n n =--+-+ （4

=例.正项数列{}n a ，222(1)()0n n S n n S n n -+--+=求；

（1）通项n a

（2）令22

1(2)n n n b n a +=+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明对于任意的 n *∈N ，都有564

n T < 解析：（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2[()](1)0n n S n n S -++=

由于{}n a 正项数列，0n S >，2()n S n n =+，12n n n a S S n -=-=

（2）2n a n =，2222

1111[]4(2)16(2)n n b n n n n +=

=-++ 222222221111111111[1][1]16324

(2)162(1)(2)n T n n n n =-+-++-=+--+++< 2115(1)16264

+=

✧ 错位相减：适用于一个等差和一个等比数列对应项相乘构成的数列

例.数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -+++

+= 求：（1）{}n a 的通项

（2）设n n

n b a =，求数列n b 的前n 项和n S 解析：由条件知211233333n n n a a a a -+++

+=，所以 22123113333n n n a a a a ---++++=，两式相减得，1133

n n a -=(2)n ≥ 所以1(2)3n n a n =≥，n=1，得113a =符合。13n n a = （2）3n n b n =⋅，所以

23323333n n S n =+⨯+⨯++⋅，234

13323333n n S n +=+⨯+⨯+⋅， 相减得，12323(3333)n n n S n +=⋅-+++，即13(13)2313

n n n S n +-=⋅-- 所以1(21)3344

n n n S +-=+ ✧ 倒序相加