不定方程的解法与应用

摘要不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明．关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题AbstractThe integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples.Key words: i ndeterminate equation; two element indefinite equation;Mathematics contest; civil service examination.目录1 引言 (1)2 不定方程的若干解法 (1)2.1 二元一次不定方程的若干解法 (1)2.2 n元一次不定方程 (4)2.3 二次不定方程 (5)3 不定方程的应用 (7)3.1 在初高中竞赛题中的应用 (7)3.2 在公务员考试题中的应用 (8)3.3 在其他学科中的应用 (9)4 结论 (11)致谢.......................................... 错误!未定义书签。

参考文献 (12)不定方程的解法与应用1 引 言不定方程（组）指的是未知数的个数比方程的个数多，而且未知数受到某些限制（如正整数解，整数解或有理数解）的方程（组）．不定方程（组）是数论中最古老的分支，也是一个具有探讨性的课题．我国古代就有对不定方程的研究，且研究的内容丰富且广泛，在世界数学史上具有举足轻重的作用．例如《周髀算经》的商高定理，《九章算术》中的“五家共井”问题，《张丘建算经》里提出的“百鸡问题”;《孙子算经》中的“物不知其数”问题等等[1]．由于早在1700多年前，古希腊数学家丢番图就曾系统研究了某些不定方程（组）的问题，因而英文著作中大部分都将不定方程（组）称为丢番图方程． 在他的一部著作《算术》中，除了第一卷之外，其他卷章几乎都是考虑不定方程（组）的问题．下面将介绍几类常见不定方程的解法，探讨不定方程在各领域中的应用。

2 不定方程的若干解法2.1 二元一次不定方程的若干解法定义 2.1 形如ax by c += (,,,0)a b c Z ab ∈≠的方程称为二元一次不定方程．其有整数解的充分必要条件是(,)|a b c ， 若(),1a b =，且11(,)x y 是其一个整数解(特解)，则其通解可表示成11x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩或11x x bt y y at=-⎧⎨=+⎩()t Z ∈． 例2.1 求不定方程2515100x y -=的整数解．解:(25,15)5|100,=∴原方程有整数解．25-15y=1005x-3y=20,(5,3)=1x ⇔利用观察法得到这个方程的特解是(1-5)，，则该方程的全部整数解是1-3-55x t y t=⎧⎨=-⎩()t Z ∈． 下面介绍几种对于二元一次不定方程，无法直接利用观察法看出特解，或者未知数的系数比较大时可以采用的解法．1、整数分离法整数分离法指的是系数较大的未知数用来表示系数较小的未知数，并将结果中的整数部分分离出来，其剩下的部分也是整数． 依此类推，直到能观察到特解时为止，再求出原方程的通解．例2.2 求不定方程51411x y -=-．解:(5,14)1|(11)=-∴原方程有整数解． 514<．11145yx -+∴=将上式右边未知数的系数和常数项的整数部分分离出来，即41225y x y -=-++． 因为,x y 都是整数，所以22y -+是整数，则415y -也是一个整数， 可观察出11y =-时，15x =-为原方程的一个特解．则原方程的通解是514-15x t y t=--⎧⎨=-⎩()t Z ∈． 2、系数逐渐减小法系数逐渐减小法指的是利用变量替换，使方程的未知数系数逐渐减小，直到有一个未知数的系数为1±为止，解此方程，再依次逆推，即可得到原方程的通解．例2.3 求不定方程1073725x y +=．解: (107,37)1|25=∴原方程有整数解．37107< ∴2510737x y -=． 将上式右边未知数的系数和常数项的整数部分分离出来． 即1241337x y x -+=-+，令124()37x k k Z -+=∈，即43712x k -=．又因为437<，则用k 来表示x ，得12373944k k x k +==++．令()4k t t Z =∈，则4k t =．将4k t =代入12374k x +=，则可得原方程的通解为337-8-107x t y t =+⎧⎨=⎩()t Z ∈．3、辗转相除法根据辗转相除法的相除式逆推求出方程的特解．例2.4 求不定方程127521x y -=-的解．解： (127,52)1|(1)=- ∴原方程有整数解由12752223,522326,23635,6511,=⨯+=⨯+=⨯+=⨯+又由6511=⨯+往回逆推，得到16516(2363)152423952221279=-⨯=--⨯⨯=⨯-⨯=⨯-⨯又(52221279)(1)1⨯-⨯⨯-=-12795222=⨯-⨯则该方程的特解是(9,22)，则该方程的通解95222127x t y t =-⎧⎨=-⎩()t Z ∈． 4、同余法主要是通过比较两未知系数的绝对值大小，以较小的值作为另一未知系数和常数项的模，并将其转换成较小的同余值，变成一个新的不定方程，依此类推，直到有不定方程的系数1±为止，再依次往回代入，即可得到原方程的通解．例2.5 求不定方程16935x y +=的解．解: 由169>，得1635(mod9)x =，改变其系数得， 735(mod9)x =又可得5(mod9)x =，则59x t =+()t Z ∈，代入16935x y +=可得165y t +=-，则原方程的通解是59516x t y t =+⎧⎨=--⎩()t Z ∈． 5、参数法用参数法解不定方程主要是通过比较两未知系数的绝对值大小，解出较小的未知数将其分成几部分和的形式，然后引进新的参数，便得到一个新的不定方程，则可用观察法得出该方程的特解，再将其解代入原方程，即可得到原方程的通解．例2.6 解不定方程85213x y +=．解： 因为(8,5)1|213= 所以原方程有整数解．58< 21383222255x x y x -+∴==-+， 令325x u +=()u Z ∈，则得到一个新的不定方程523u x -=， 由观察法便知该新方程的特解是1,1u x ==，将1x =代入85213x y +=得41y =，所以该方程的通是．15()418x t t Z y t =+⎧∈⎨=-⎩． 2.2 n 元一次不定方程定义 2.2 设3n ≥，n 元一次不定方程指的是1122n n a x a x a x m ++⋅⋅⋅+=，其中 (1,,),i a i n m =⋅⋅⋅都是给定的整数且10n a a ⋅⋅⋅≠．其有解的充分必要条件是1,2,(,)|n a a a m ⋅⋅⋅．定理2.1 设11(,,)1,(,)1,,,a b a b c a b a b d d====不定方程ax by cz n ++=的全部解可表示成11112x x b t u ct =+-，11122y y a t u ct =--，12z z dt =+，其中111,,x y z 是ax by cz n ++=的一组解， 12,u u 满足11121a u b u +=，12,t t Z ∈．例2.7 解出136983x y z ++=所有的整数解．解: (13,6,9)1,1|83= ∴原方程有整数解，又(13,6)1=，则可把原方程变成136839x y z +=- ()1．可知 ()1的一个特解是'1(839)'(2)(839)x z y z =⨯-⎧⎨=-⨯-⎩则可得方程136983x y z ++=的全部整数通解为11'6'13x x t y y t =-⎧⎨=+⎩1()t Z ∈． 令2z t =，则原方程的所有整数通解为 121212283691661318(,)x t t y t t t t Z z t =--⎧⎪=-++∈⎨⎪=⎩．可知(83,166,0)-是原方程的一个特解．下面介绍下用矩阵求解n 元一次不定方程的整数解[4]不定方程1122n n a x a x a x m ++⋅⋅⋅+=用矩阵可写成[]12,,,n x x x A m ⋅⋅⋅=其中12100010,001n a a A E a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可将(,)X A E =经过一系列行初等变化成(,)Y D B =，其中1112121222120,0n n n n nn b b b d b b b D B b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()12,,,n d a a a =⋅⋅⋅． 根据初等矩阵与初等变换的关系可知，存在n 阶可逆矩阵P ，使得PX Y =，即(,)(,)PA P D B =．因此，,PA D P B ==所以BA D =．又该方程有解的充要条件为|d D ，并且其所有整数解是[]122,,,,,,n n m x x x t t P d ⎡⎤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦，(2,3,,)i t Z i n ∈=⋅⋅⋅． 例2.8 求出121110x y z +-=整数解的通式．解: 3112100101011001r r +⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭12(1)1101101011001r r ⨯-+⎛⎫ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1101011111001⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭131111010111011012r r ⨯+⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭．又(12,1,11)1,10,|d m d m =-==，∴原方程有整数解，令10111111012P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则方程的全部整数解为 2323101(,,),,(10,,)11111012m x y z t t P t t d ⎛⎫⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭23(,)t t Z ∈， 即2322310111012x t t y t z t t =-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩23(,)t t Z ∈．2.3 二次不定方程本节将介绍下最基本的二元二次不定方程，即贝尔()Pell 方程．其形式为221x Ay -=且A 是非完全平方的正整数．它的整数解为00()n x x =±()n Z ∈，其中00(,)x y 是221x Ay -=的最小解，为了求解来求解二元二次不定方程的整数解[3]．将A 化成循环连分数的定义如下:111a K =+1,a =11K >; 1221K a K =+，[]21a K =，21K >;11s K K += s z +∈，且表示循环节的项数;[]11111,,1n n n n n n K a a K K K ++++=+=>(n 是自然数);12311111s s a a a a a +++⋅⋅⋅++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．: 11111p a q δ==，221221p a q a δ==+，123111n n n n p a q a a a δ+++⋅⋅⋅==+ 例2.93个渐近数．解:113K =+1211K K ===+，213121112K K K ===+-，324121125K K K +===+-，43511311K K K ===+-，5141365K K K ===- ， 开始循环，循环节的项数是514s =-=，111131216+++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，123113,4,3δδδ===．例2.10求22171x y-=的整数解解: 先用连分数求最小解148⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1s=，取2338δ=得最小值(33,8)，故22171x y-=整数解的通式为:(33nx+=±+()n Z∈．下面介绍下利用奇偶分析法求出二次不定方程的整数解．例2.11求方程214750x xy-+=的正整数解．解:原方程中y的指数为一次，得751414xyx=+，两边同时乘以14，得7514y xx=+，可知x为75的因数，否则75xx+就不是整数了，则有1,3,5,25,75x=，其分别对应的75xx+的值是76,28,20,20,28,76，又因为75x xx⎛⎫+⎪⎝⎭需为14的倍数，显然3x=或25时符合题意．此时y有整数解2与之对应，得正整数解二组为()()3,2,25,2．评注：奇偶分析法是以分析未知数的奇偶性为线索，从而用来判断未知数的取值情况．3 不定方程的应用3.1 在初高中竞赛题中的应用不定方程出现在各级各类的数学竞赛题中，且其类型和解法也多样化，所以不定方程所出现的题目的种类也是各式各样的．例如，有些实际应用题最后转化成不定方程的整数解等．例3.1(1996年湖北省黄冈市初中数学竞赛题) 求方程6xy x y++=的整数解[5]．解: 用y 来表示x ，可得 61y x y -=+， 将上式右边未知数的系数和常数项的整数部分分离出来，得711x y =-++，因为x 是整数，所以71y +也是整数． 故1y +是7的因数，则11,7y +=±± 即0,2,6,8y =--则其分别相对应的x 的值是6,8,0,2--∴方程有四组整数解，即(0,6),(6,0),(2,8),(8,2)----．例 3.2(2012年数学周报杯全国初中数学联赛试题) 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍．”小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍．”其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是( )．()1A ()2B ()3C ()4D解:设小倩的钱数是x 元，小玲的钱数是y 元，且均为非负整数，由已知题目可得2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩，消掉x 得(27)4y n y -=+，则(27)1515212727y n y y -+==+--．因为2n 是正整数，所以1527y -也是正整数，则27y -是15的因数，∴27y -的值分别是1,3,5,15，则4,5,6,11y =，从而n 的值分别是8,3,2,1则x 的值分别是14,7,6,7．3.2 在公务员考试题中的应用不定方程在公务员考试行测数学运算中占有很高的地位，近5年的行测中经常会考到不定方程的相关内容．例3.3（2012国考） 超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装 12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完．问这种包装盒相差多少个?（ ）．.3A .4B .7C .13D解: 设大盒的数量为x ，小盒的数量为y ．根据已知题意，可得表达式为12599x y +=，因为512<，所以1299(mod5)x =，改变其系数得24(mod5)x =，又可得2(mod5)x =，则25()x t t Z =+∈代入12599x y +=，可得1512()y t t Z =-∈，则原方程的通解是25()1512x t t Z y t =+⎧∈⎨=-⎩.又因为,0x y >,则t 的取值范围是0和1.当0t =时, 2,15x y ==,则17x y +=满足题意.当1t =时, 7,3x y ==,则10x y +=不满足题意(舍去).又15213-=.所以答案选()D .评注:此题采用的是同余法.例3.4（2012国考） 某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数．后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人? ( ).36A .37B .39C .41D解:设每位钢琴老师带x 人，每位拉丁舞老师带y 人． 根据已知题意，列方程得 5676x y +=， 56< 7661415255y y x y -+∴==-+．又因为为正整数，所以145y +也是正整数．则可知(14,1)为方程的一个特解，则方程的通解是146()15x t t Z y t =-⎧∈⎨=+⎩．又因为x 为质数且正整数，则2t =时，2x =符合题意，则11y =，所以最后剩下的学员有4231141⨯+⨯=人．所以答案选D ．评注:此题采用的是分离整数法,其优点容易判断未知数的取值并由已知条件得到满足题意的值．3.3 在其他学科中的应用不定方程的适用条件很广，它在化学领域的物质推断和化学反应中也表现出来,还有物理学科领域也有所表现．例3.5 3.25克某金属元素R 的单质与过量稀硝酸反应时未观察到有气体放出，但测知生成物中有硝酸铵，当向反应后的溶液中加入过量热烧碱溶液时，有气体放出，其体积为280ml(标准)，则：①若金属R 被氧化为n R +，写出反应的离子方程式；②通过计算推导出R 是何种金属？[6]解：设金属R 的原子质量是M ．①()3343281083R nHNO R NO nNH NO nH O +=++34281083n R nH nNO R nNH nH O +-++++=++②根据题意8R → 43nHH NO → 3nNH ↑8 n3.25M 0.2822.4则 0.28 3.25822.4n M⨯=⨯ 32.5M n =． n 的取值范围为：1,2,3n ∈，若1,32.5n R ==（舍去）2,65,n R R ==是锌 3,97.5,n R ==（舍去），所以R 是锌．例3.6 已知1molA 和n molB 按下式反应：()()()g g g A B mC +，一段时间后，测得A 的转化率50%，同温同压下，反应前的气体密度是反应后的34，则n 和m 的值可能是（ ）．[6]:3,3A n m == :2,3B n m == :1,1C n m == :3,2D n m ==解：建立平衡模式()()()g g g A B mC +起始量 1 n 0转化量()mol 0.5 0.5n 0.5m平衡量()mol 10.5- 0.5n n - 0.5m 因为气体反应前的密度是反应后的34，即气体反应前的体积是反应后的43，可得()()1:0.50.50.54:3n n m +++=，化简得12n m +=（,n m 为整数），解不定方程，则当1,1n m ==满足题意；2, 1.5n m ==不满足题意；3,2n m ==满足题意．所以答案选,C D ．例 3.7 由甲，乙两种物质组成的物质，质量之比是3:1，吸收热量之比是2:1，则它们升高的温度之比和比热容之比可能是（ ）．[7]()2:3,10:1A ()3:2,1:10B ()5:3,2:5C ()3:5,5:2D 解：设A 代表甲物质，B 代表乙物质．已知32,,11A A B B m Q m Q ==由吸热公式，Q cm t =，得Q c t m=．温度变化量与比热容的乘积的比值212133A A A A A B B B B B A B Q c t m Q m Q c t Q m m ==⨯=⨯=，以此得到A B c c 和A B t t 为变量的不定方程，即23A A B B c t c t ⨯=．将四个选项中所提供数据代入23A AB B c t c t ⨯=进行检验，可得正确选项是()C ．4 结 论不定方程的解法很多，我们需要根据已知题目自身所提供的特点寻找一种适合解题的方式．首先在求解题目之前，我们不能盲目求解,须先判断题目是否有解；其次求解题目时，我们要认真观察所要求解的方程的元的次数，再看它的元的个数，当其元的次数为一时，若是n 元的话我们则可采用矩阵求解法，若是二元的话，我们则可采用整数分离法，系数逐渐减小法，辗转相除法，同余法还有参数法，当然也可采用矩阵法求解，只是元的个数不多时，则可不必采用矩阵法．最后，所求解的答案需验证，筛选出符合题意的正确解．我们经常可以见到不定方程在数学竞赛中的应用．近年来不定方程的应用领域延伸到公务员考试的试题中，求解问题时，首先我们需认真阅读题目自身所提供的信息，然后根据题意设置未知量，列出符合题意的方程，采用合适的不定方程的解法进行求解，最后通过代入验证找出其正确解．参考文献[1] 李逢平．中国古算题选解[M]．北京：科学普及出版社，1985．[2] 郭小菊．例析二元一次不定方程的解法[J]．数学学习与研究，2011（15）：58-59．[3] 夏圣亭．不定方程浅说[M]．天津：天津人民出版社，1979．[4] 张清利，王培根．n元一次不定方程的矩阵解法[J]．北京广播电视大学学报，2002(4)：43-47．[5] 张宁．初中数学竞赛中不定方程的整数解问题[J]．中等数学，2012（5）：2-5．[6]杜红梅．不定方程在化学领域中的应用[J]．青海教育，2003（4）：41．[7]博怀生．用不定方程解物理题[J]．数理天地（初中版），2008（7）：45．作者：胡鸿敏。