不定方程的解法与应用

摘要

不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明．

关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题

Abstract

The integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples.

Key words: i ndeterminate equation; two element indefinite equation;

Mathematics contest; civil service examination.

目录

1 引言 (1)

2 不定方程的若干解法 (1)

2.1 二元一次不定方程的若干解法 (1)

2.2 n元一次不定方程 (4)

2.3 二次不定方程 (5)

3 不定方程的应用 (7)

3.1 在初高中竞赛题中的应用 (7)

3.2 在公务员考试题中的应用 (8)

3.3 在其他学科中的应用 (9)

4 结论 (11)

致谢.......................................... 错误!未定义书签。参考文献 (12)

不定方程的解法与应用

1 引 言

不定方程（组）指的是未知数的个数比方程的个数多，而且未知数受到某些限制（如正整数解，整数解或有理数解）的方程（组）．

不定方程（组）是数论中最古老的分支，也是一个具有探讨性的课题．我国古代就有对不定方程的研究，且研究的内容丰富且广泛，在世界数学史上具有举足轻重的作用．例如《周髀算经》的商高定理，《九章算术》中的“五家共井”问题，《张丘建算经》里提出的“百鸡问题”;《孙子算经》中的“物不知其数”问题等等[1]．由于早在1700多年前，古希腊数学家丢番图就曾系统研究了某些不定方程（组）的问题，因而英文著作中大部分都将不定方程（组）称为丢番图方程． 在他的一部著作《算术》中，除了第一卷之外，其他卷章几乎都是考虑不定方程（组）的问题．

下面将介绍几类常见不定方程的解法，探讨不定方程在各领域中的应用。

2 不定方程的若干解法

2.1 二元一次不定方程的若干解法

定义 2.1 形如ax by c += (,,,0)a b c Z ab ∈≠的方程称为二元一次不定方程．其有整数解的充分必要条件是(,)|a b c ， 若(),1a b =，且11(,)x y 是其一个整

数解(特解)，则其通解可表示成11x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩或11x x bt y y at

=-⎧⎨=+⎩()t Z ∈． 例2.1 求不定方程2515100x y -=的整数解．

解:(25,15)5|100,=∴原方程有整数解．

25-15y=1005x-3y=20,(5,3)=1x ⇔

利用观察法得到这个方程的特解是(1-5)，

，则该方程的全部整数解是

1-3-55x t y t

=⎧⎨=-⎩()t Z ∈． 下面介绍几种对于二元一次不定方程，无法直接利用观察法看出特解，或者未知数的系数比较大时可以采用的解法．

1、整数分离法

整数分离法指的是系数较大的未知数用来表示系数较小的未知数，并将结果中的整数部分分离出来，其剩下的部分也是整数． 依此类推，直到能观察到特解时为止，再求出原方程的通解．

例2.2 求不定方程51411x y -=-．

解:(5,14)1|(11)=-∴原方程有整数解． 514<．11145

y

x -+∴=将上式右边未知数的系数和常数项的整数部分分离出来，即

41225

y x y -=-++． 因为,x y 都是整数，所以22y -+是整数，则415

y -也是一个整数， 可观察出11y =-时，15x =-为原方程的一个特解．

则原方程的通解是514-15x t y t

=--⎧⎨=-⎩()t Z ∈． 2、系数逐渐减小法

系数逐渐减小法指的是利用变量替换，使方程的未知数系数逐渐减小，直到有一个未知数的系数为1±为止，解此方程，再依次逆推，即可得到原方程的通解．

例2.3 求不定方程1073725x y +=．

解: (107,37)1|25=∴原方程有整数解．37107< ∴2510737

x y -=． 将上式右边未知数的系数和常数项的整数部分分离出来． 即

1241337x y x -+=-+，令124()37

x k k Z -+=∈，即43712x k -=．又因为437<，则用k 来表示x ，得12373944

k k x k +==++．令()4k t t Z =∈，则4k t =．将4k t =代入12374k x +=，则可得原方程的通解为337-8-107x t y t =+⎧⎨=⎩

()t Z ∈．