人教课标版高中数学选修2-3《正态分布》参考学案

§2.4 正态分布

1．了解正态曲线的形状；

2．会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布．

一、课前准备

（预习教材P 80~ P 86，找出疑惑之处）

复习1：函数22

21

)(x e x f -=π的定义域是 ；它是 （奇或偶）函数；

当=x 时，函数有最 值，是 ．

复习2：已知抛物线322++-=x x y ，则其对称轴为 ；该曲线与直线1=x ，2=x ，x 轴所围的成的图形的面积是？

二、新课导学

※ 学习探究

探究：

1．一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；

2．某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少． 生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻划呢？

新知1：正态曲线： 函数22

2)(,21

)(σμσμσπϕ--=x e x ，),(+∞-∞∈x ，（其中实数μ和σ)0(>σ为参数）的图象为正态

分布密度曲线，简称正态曲线．

试试：下列函数是正态密度函数的是（ ）

A ．222)(21

)(σμπσ-=x e x f ，)0(,>σσμ是实数

B ．2222)(x e x f -=

ππ C ．4)1(2221

)(--=x e x f π

D ．2

2

21

)(x e x f π= 新知2：正态分布：

如果对于任何实数b a <，随机变量X 满足，)(b X a P ≤<= ， 则称X 的分布为正态分布．记作：X ～N （ ）．

新知3：正态曲线的特点：

（1）曲线位于x 轴 ，与x 轴 ；

（2）曲线是单峰的，它关于直线 对称；

（3）曲线在 处达到峰值 ；

（4）曲线与x 轴之间的面积为 ．

新知4：正态曲线随着μ和σ的变化情况：

①当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴 ；

②当μ一定时，曲线的 由σ确定．

σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ．

试试：把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法中不正确的是（ ）．

A ．曲线b 仍然是正态曲线

B ．曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等

C ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a 为概率密度曲线的总体的期望大2

D ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2

新知5：正态分布中的三个概率：

=+≤<-)(σμσμX P ；

=+≤<-)22(σμσμX P ；

=+≤<-)33(σμσμX P ．

新知6：小概率事件与σ3原则：

在一次试验中几乎不可能发生，则随机变量X 的取值范围是 ． ※ 典型例题

例1若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于

π241，求该正态分布的概率密度函数的解析式．

例2．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～)100,90(N ．

（1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110）上的概率是多少？

（2）若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？

※ 动手试试

练1．某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线图形最高点坐标（π281,

60），

成绩X 位于区间(]68,52的概率是多少？

三、总结提升

※ 学习小结

1．正态密度曲线及其特点；

2．服从正态分布的随机变量的概率．

※ 知识拓展

利用小概率事件的原理制定著名的质量控制图．

在质量检查中，（σμσμ3,3+-）之外的事情一旦发生，说明生产过程出现了异常，需停机检查．

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1.若2)1(2

21

)(--=x e x f π，则下列正确的是（ ）．

A ．有最大值、最小值

B ．有最大值，无最小值

C ．无最大值，有最小值

D ．无最大值、最小值

2．设随机变量ξ～)4,2(N ，则)2

1(ξD = ( ) ． A ．1 B ．2 C ． 2

1 D ． 4 3．若随机变量满足正态分布),(2σμN ，则关于正态曲线性质的叙述正确的是（ ）．

A ．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”

B ．σ越小，曲线越“矮胖”，σ越大，曲线越“高瘦”

C ．σ的大小，和曲线的“高瘦”、“矮胖”没有关系

D ．曲线的“高瘦”、“矮胖”受到μ的影响

4．期望是2，标准差为π2的正态分布密度函数的解析式是 ．

5．若随机变量X ～)2,5(2N ，则

=≤<)73(X P ．

1．标准正态总体的函数为

22

21

)(x e x f -=π，),(+∞-∞∈x

（1）证明)(x f 是偶函数；

（2）求)(x f 的最大值；

（3）利用指数函数的性质说明)(x f 的增减性．

2．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布)1.0,10(2N （单位：kg ）任选一袋这种大米，