人教课标版高中数学选修2-3《正态分布》参考学案

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高中数学 2.4正态分布学案新人教a版选修2-3

【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.4正态分布学案新人教A版选修2-3基础梳理 1．正态曲线函数φμ，σ(x )2x ∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布(1)如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝b aφμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布．(2)记作：X ～N (μ，σ2)． 3．正态曲线的性质(1)曲线在x 轴上方，与x 轴不相交． (2)曲线是单峰的，关于直线x ＝μ对称．(3)曲线在x ＝μ(4)曲线与x 轴之间的面积为1.(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(6)如图所示：当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“辞矮”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4．3σ原则：正态总体几乎取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002_6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．自测自评1．设有一正态总体，它的正态分布密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18πe－（x－10）28，则这个正态总体的均值与标准差分别是(B) A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与10解析：把函数f(x)＝18πe－（x－10）28化简成正态密度函数为f(x)＝12π×2e－（x－10）22×22，易知这个正态总体的均值与标准差分别是10与2.2．如图，曲线C1：f(x)＝12πσ1e－（x－μ1）22σ21(x∈R)，曲线C2：φ(x)＝12πσ2e－（x －μ2）22σ22(x ∈R )，则(D )A ．μ1＜μ2B ．曲线C 1与x 轴相交 C ．σ1＞σ2D ．曲线C 1、C 2分别与x 轴所夹的面积相等3．(2013·惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N (3，4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为 (A )A.73B.53C ．5D ．3 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (3，4)，因为P (ξ<2a －3)＝p (ξ>a ＋2)，所以2a －3与a ＋2关于x ＝3对称，所以2a －3＋a ＋2＝6，所以3a ＝7，所以a ＝73.故选A.不能正确应用正态分布的对称性致误【典例】随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，如果P (ξ≤1)＝0.841 3，求P (－1<ξ≤0)．解析：如图所示，因为P (ξ≤1)＝0.413，所以P (ξ>1)＝1－0.413＝0.158 7.所以P (ξ≤－1)＝0.158 7，所以P (－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.【易错剖析】本题易有如下错解： P (－1<ξ≤0)＝12[1－P (ξ≤1)]＝12(1－0.841 3)＝0.0793 5.这是用错正态分布的对称性造成的．由于ξ～N (0，1)，所以对称轴为x ＝0，所以与(－1，0)对称的区间应为(0，1)，与(1，＋∞)对称的区间为(－∞，－1)．基础巩固1．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X ≤c )＝P (X >c )，则c 的值是(C)A ．－μB ．0C ．μD ．σ22．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ<3)等于(D) A.15 B.14 C.13 D.12解析：∵ξ～N (3，σ2)，∴ξ＝3为正态分布的对称轴，∴P (ξ<3)＝12.3．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤ 2)＝(C)A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977解析：∵ξ～N(0，σ2)，∴μ＝0，即图象关于y轴对称，∴P(－2≤ ξ≤ 2)＝1－P(ξ<－2)－P(ξ>2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2× 0.023＝0.954.4．正态变量的概率密度函数f(x)＝12πe－（x－3）22，x∈R的图象关于直线x＝3对称，f(x)能力提升5.工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为(C) A．7 B．10 C．3 D．6解析：∵P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴不属于区间(μ－3σ，μ－3σ)内的零点个数约为1000×(1－0.9974)＝2.6≈3个．6．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，则P(－3<ξ<5)＝(参考数据：P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)(B)A．0.6826 B．0.9544C．0.0026 D．0.9974解析：由ξ～N(1，4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P(－3<ξ<5)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，故选B.7. 一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是________．解析：μ＝10 000，σ＝400，所以P(9 200<X≤10 800)＝P(10 000－2×400<X≤10 000＋2×400)＝0.954 4.答案：0.954 48．设X～N(0，1)：①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；②P(X＜0)＝0.5；③若P(－1＜X＜1)＝0.683，则P(X＜－1)＝0.158 5；④若P(－2＜X＜2)＝0.954，则P(X＜2)＝0.977；⑤若P(－3＜X＜3)＝0.997，则P(X＜3)＝0.998 5.其中正确的有①②③④⑤(填序号)．9．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500，202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少．解析：设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(500，202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在区间(500－3×20，500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440，560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．10．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝182π.(1)求正态分布的概率密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72～88 mm(不包括72 mm，包括88 mm)间的零件大约占总数的百分比．解析：(1)因为正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数．所以正态分布关于直线x＝80对称，且在x＝80处达到峰值，所以μ＝80.又12πσ＝182π，所以σ＝8，故正态分布的概率密度函数的解析式为f(x)＝182πe－（x－80）2128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.所以零件的尺寸X位于区间(72，88]内的概率为0.682 6.故尺寸在72～88 mm(不包括72 mm，包括88 mm)间的零件大约占总数的68.26%.。

人教版高中选修2-3《正态分布》教案

人教版高中选修2-3《正态分布》教案一、教学目标1.知识与技能：–能够通过计算、观察与分析进行正态分布的基本参数估计与计算；–能够根据数据特征确定正态分布的使用条件，并运用正态分布解决实际问题。

2.过程与方法：–提高学生数理思维能力及运用计算机软件进行数据统计和分析的能力；–提高学生观察、归纳、分析问题及解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：–培养学生科学态度，认识正态分布的重要性和应用价值，拓宽学生科学视野。

二、教学重、难点1.教学重点：–正态分布的基本概念与相关参数的计算；–正态分布的性质及模型的应用；–正态分布与假设检验。

2.教学难点：–正态分布在实际中的广泛应用。

三、教学内容1. 正态分布的基本概念与参数1.正态分布的定义–介绍正态分布的基本特征和概念。

2.正态分布的概率密度函数和分布函数–掌握正态分布的概率密度函数和分布函数的定义；–画出正态分布的概率密度函数和分布函数的图像。

3.正态分布的标准化–掌握正态分布的标准化转化法，以及标准正态分布表的使用方法。

2. 正态分布的参数估计与计算1.正态分布的基本形式–介绍正态分布的基本形式，以及参数的含义；–学习如何通过样本来估计总体的参数。

2.样本均值和样本标准差–掌握样本均值和样本标准差的定义和计算方法；–从样本中估计总体的均值和标准差。

3.抽样分布–掌握样本均值和样本标准差的概率分布，以及如何计算抽样分布。

3. 正态分布的应用1.正态分布的性质及模型的应用–描述正态分布的各种统计特征；–掌握利用正态分布进行概率估计的方法；–了解正态分布在实际问题中的应用，如质量控制、投资、风险评估等。

2.正态分布与假设检验–了解假设检验的基本内容及步骤；–学习如何从正态分布的角度来诠释假设检验。

四、教学方法1.授课讲解：对正态分布相关概念和公式进行讲解，以期解决学生对于正态分布不熟悉的情况。

2.讲解示范法：用实例向学生呈现正态分布的应用场景及应用方法，以期加深学生对于正态分布在实践中的应用认识。

高中数学 2.4 正态分布学案新人教A版选修2-3-新人教A版高中选修2-3数学学案

2.4 正态分布1．了解正态分布的意义．2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质．(重点) 3．了解正态曲线的意义和性质．4．会利用φ(x )，F (x )的意义求正态总体小于X 的概率．(难点)[基础·初探]教材整理1 正态曲线及正态分布阅读教材P 70～P 72，完成下列问题． 1．正态曲线若φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．图241随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率为P (a <X ≤b )≈⎠⎛ab φμ，σ(x)，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，b]的概率的近似值，如图241.2．正态分布如果对于任何实数a ，b(a<b)，随机变量X 满足P(a<X≤b)＝⎠⎛ab φμ，σ(x)，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N(μ，σ2)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( ) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．( ) (3)正态曲线是一条钟形曲线．( )(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．( )【解析】 (1)× 因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．(2)√ 因为离散型随机变量最多取可列个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确．(4)× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 教材整理2 正态曲线的特点及3σ原则阅读教材P 72～P 74，完成下列问题． 1．正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．3σ原则(1)若X ～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝⎠⎛μ－aμ＋a φμ，σ(x)d x.(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4， P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.(3)通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．1．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是________．(填序号)①曲线b仍然是正态曲线；②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.【解析】正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．【答案】③2．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是________．(填序号)①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件；②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件；③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件；④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4，∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6，∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【答案】④3．(2016·山东滨州月考)在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．【解析】∵X服从正态分布(1，σ2)，∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为0.4.∴X在(0,2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.【答案】0.8[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]正态分布的概念及正态曲线的性质图242如图242所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．【精彩点拨】给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．【自主解答】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.由12π·σ＝12π，得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝12π·e－x－2024，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：1正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.2正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象可求σ.[再练一题]1.图243(1)设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图243所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2【解析】根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.【答案】A(2)图244如图244是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A．σ1>σ2>σ3B．σ3>σ2>σ1C．σ1>σ3>σ2D．σ2>σ1>σ3【解析】由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.【答案】 A服从正态分布变量的概率问题(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．【精彩点拨】(1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．【自主解答】 (1)∵随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)， ∴μ＝2，对称轴是x ＝2.∵P(ξ<4)＝0.8， ∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C . 【答案】 C(2)由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于x ＝1对称，所以P(－1＜X ＜1)＝P(1＜X ＜3)＝12P(－1＜X ＜3)＝0.341 3.利用正态分布求概率的两个方法1．对称法：由于正态曲线是关于直线x ＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x ＝μ对称的区间上概率相等．如：(1)P(X<a)＝1－P(X≥a)； (2)P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．2．“3σ”法：利用X 落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4，0.997 4求解．[再练一题]2．设随机变量X ～N(2,9)，若P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)． (1)求c 的值；(2)求P(－4<x<8)．【解】 (1)由X ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)，又P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)，故有2－(c －1)＝(c ＋1)－2，所以c ＝2.(2)P(－4<x<8)＝P(2－2×3<x<2＋2×3)＝ 0．954 4.[探究共研型]正态分布的实际应用探究1 若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？【提示】零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.探究 2 某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？【提示】P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.682 6，所以1 000件产品中大约有1 000×0.682 6≈683(件)一等品．探究3 某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为 5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？【提示】由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∈(2.5,5.5)．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．【精彩点拨】将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．【自主解答】μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，∴P(X－μ≤－σ)＝0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7，即P(X≥130)＝0.158 7.∴54×0.158 7＝9(人)，即130分以上的人数约为9人．1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．[再练一题]3．(2016·杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．【解】∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.∴P(30<X≤60)＝P(30<X≤50)＋P(50<X≤60)＝12P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＋12P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝12×0.954 4＋12×0.682 6＝0.818 5.即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.[构建·体系]1．正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝18πe－x28，x∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别是( )A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和 2【解析】由条件可知μ＝0，σ＝2. 【答案】 C 2.图245如图245是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A ．σ1>1>σ2>σ3>0B ．0<σ1<σ2<1<σ3C ．σ1>σ2>1>σ3>0D ．0<σ1<σ2＝1<σ3【解析】当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝12πe －x 22.在x ＝0时，取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.【答案】 D3．若随机变量X ～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.【解析】由于随机变量X ～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线X ＝μ对称，故P(X≤μ)＝12.【答案】 124．已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝________. 【导学号：97270053】【解析】由X ～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x ＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.【答案】 0.165．随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ≤1)＝0.841 3，求P(－1<ξ≤0)．【解】如图所示，因为P(ξ≤1)＝0.841 3，所以P(ξ>1)＝1－0.841 3＝0.158 7，所以P(ξ≤－1)＝0.158 7，所以P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设随机变量ξ～N(2,2)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ξ＝( ) A ．1 B ．2 C .12D ．4【解析】 ∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2. ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ξ＝122D(ξ)＝14×2＝12.【答案】 C2．下列函数是正态密度函数的是( )A ．f(x)＝12σπex －μ22σ2，μ，σ(σ>0)都是实数B ．f(x)＝2π2πe －x22C ．f(x)＝122πe －x －124D ．f(x)＝12πe x22【解析】对于A ，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A 错误；对于B ，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B 正确；对于C ，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，故C 不正确；对于D ，指数部分缺少一个负号，故D 不正确．【答案】 B3．(2015·湖北高考)设X ～N(μ1，σ21)，Y ～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图246所示，下列结论中正确的是( )图246A ．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B ．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C ．对任意正数t ，P(X≥t)≥P(Y≥t)D ．对任意正数t ，P(X≤t)≥P(Y≤t)【解析】由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2)＝12，P(Y≥μ1)＞12，故P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A 错；因为σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B 错；对任意正数t ，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C 错；对任意正数t ，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，故选 D. 【答案】 D4．某厂生产的零件外直径X ～N(8.0,0.022 5)，单位：mm ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm 和7.5 mm ，则可认为( )A ．上、下午生产情况均为正常B ．上、下午生产情况均为异常C ．上午生产情况正常，下午生产情况异常D ．上午生产情况异常，下午生产情况正常【解析】根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．【答案】 C5．(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【解析】由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝P －6＜ξ＜6－P －3＜ξ＜32＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.【答案】 B 二、填空题6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x ＝________时达到最高点. 【导学号：97270054】【解析】由正态曲线关于直线x ＝μ对称且在x ＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.【答案】 0.27．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．【解析】正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x ＝μ对称，μ的概率意义是期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x ＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1.【答案】 18．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是 f(x)＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈R .给出以下四个命题：①对任意x ∈R ，f (μ＋x )＝f (μ－x )成立；②如果随机变量X 服从N (μ，σ2)，且F (x )＝P (X <x )，那么F (x )是R 上的增函数； ③如果随机变量X 服从N (108,100)，那么X 的期望是108，标准差是100； ④随机变量X 服从N (μ，σ2)，P (X <1)＝12，P (X >2)＝p ，则P (0<X <2)＝1－2p .其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)【解析】画出正态分布N (μ，σ2)的密度曲线如下图：由图可得：①图象关于x ＝μ对称，故①正确；②随着x 的增加，F (x )＝P (ξ<x )也随着增加，故②正确；③如果随机变量ξ服从N (108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10； ④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④. 【答案】 ①②④ 三、解答题9．在一次测试中，测量结果X 服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若X 在(0,2]内取值的概率为0.2，求：(1)X 在(0,4]内取值的概率； (2)P (X >4)．【解】(1)由于X ～N (2，σ2)，对称轴x ＝2，画出示意图如图．因为P (0<X ≤2)＝P (2<X ≤4)，所以P (0<X ≤4)＝2P (0<X ≤2)＝2×0.2＝0.4. (2)P (X >4)＝12[1－P (0<X ≤4)]＝12(1－0.4)＝0.3.10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X ～N (8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？【解】由于X ～N (8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．[能力提升]1．(2015·湖南高考)图247在如图247所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．2 386B ．2 718C ．3 413D ．4 772 附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.【解析】由P (－1<X ≤1)＝0.682 6，得P (0<X ≤1)＝0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31×1＝3 413，故选C. 【答案】 C2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]【解析】由5760＝0.95，符合P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，所以在(100,120]内．故选C. 【答案】 C3．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，则下列结论正确的是________．(填序号) ①P (|ξ|<a )＝P (ξ<a )＋P (ξ>－a )(a >0)； ②P (|ξ|<a )＝2P (ξ<a )－1(a >0)； ③P (|ξ|<a )＝1－2P (ξ<a )(a >0)； ④P (|ξ|<a )＝1－P (|ξ|>a )(a >0)．【解析】因为P (|ξ|<a )＝P (－a <ξ<a )，所以①不正确；因为P (|ξ|<a )＝P (－a <ξ<a )＝P (ξ<a )－P (ξ<－a )＝P (ξ<a )－P (ξ>a )＝P (ξ<a )－(1－P (ξ<a ))＝2P (ξ<a )－1，所以②正确，③不正确；因为P (|ξ|<a )＋P (|ξ|>a )＝1，所以P (|ξ|<a )＝1－P (|ξ|>a )(a >0)，所以④正确．【答案】 ②④4．(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图248(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.【解】 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为 x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100，0.682 6)，所以E (X )＝100×0.682 6＝68.26.。

【精品】2019-2020年度最新人教B版高中数学-选修2-3教学案-正态分布(Word)

期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)，μ＝0，σ＝1的正态分布叫标准正态分布．
2．正态曲线的性质
(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．
[思路点拨] 因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布的性质可以求解．
[精解详析] 因为身高X～N(174,9)，
所以μ＝174，σ＝3，
所以μ－2σ＝174－2×3＝168，
μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4.
又因为μ＝174.
所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为0.477 2，
7．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位：小时)，已知X～N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为99.7%，则灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？
∴＝2，解得c＝2.
答案：2
5．若X～N(5,1)，求P(5<X<7)．
解：∵X～N(5,1)，∴μ＝5，σ＝1.
因为该正态曲线关于x＝5对称，
所以P(5<X<7)＝P(3<X<7)＝×0.954 4＝0.477 2.
正态分布在实际生活中的应用
[例3] (10分)据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．
[精解详析] 由题意得μ＝1，σ＝2，

人教课标版高中数学选修2-3典型例题：正态分布

正态分布1．正态曲线及其性质对于正态分布函数：222)(21)(σμπσ--=x e x f ，x ∈（-∞，+∞）由于中学知识范围的限制，不必去深究它的来龙去脉，但对其函数图像即正态曲线可通过描点（或计算机中的绘图工具）画出课本图1-4中的图（1）、（2）、（3），由此，我们不难自己总结出正态曲线的性质。

2．标准正态曲线标准正态曲线N （0，1）是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。

由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”。

对于抽像函数)()(00x x p x <=-Φ，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N （0，1）、x 轴、直线0x x =所围成的图形的面积。

再由N （0，1）的曲线关于y 轴对称，可以得出等式)(1)(00x x Φ-=-Φ，以及标准正态总体在任一区间(a ，b)内取值概率)()(a b P Φ-Φ=。

3．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体),(2σμN 其图像不一定关于y 轴对称，所以，研究其在某个区间),(21x x 的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。

这时我们自然会思考：能否将一般的正态总体),(2σμN 转化成标准的正态总体N （0，1）进行研究。

人们经过探究发现：对于任一正态总体),(2σμN ，其取值小于x 的概率)()(σμ-Φ=x x F 。

对于这个公式，课本中不加证明地给出，只用了“事实上，可以证明”这几个字说明。

这表明，对等式)()(σμ-Φ=x x F 的来由不作要求，只要会用它求正态总体),(2σμN 在某个特定区间的概率即可。

4．“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，因为对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验20次，才能发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。

这种认识便是进行推断的出发点。

关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。

高二数学(选修-人教A版)-正态分布-教案

教案体会小球掉入高尔顿板下方的球槽内的随机性.槽编号X的分布列；方案2 以球槽的编号为横坐标，可以画出小球分布的频率分布直方图.哪种方案更好？对于离散型随机变量而言，其分布列完全刻画了它的概率分布规律，但此时只能通过频率来近似，现在无法知道所构造的随机变量的分布列.而频率分布直方图更加准确、直观、形象，所以经过学生讨论用频率分布直方图进一步探究小球的分布规律.活动2 画频率分布直方图由于课堂时间所限，这里展示在课前进行的试验，并记录落入各个球槽内小球的频数，利用图形计算器画频率分布画直方图.问题2 观察频率分布直方图有何共同特点？预设学生活动：学生可发现频率分布直方图具有中间高两边低（左右两边对称）的特点，并且频率分布直方图的外形与试验中小球的堆积形状是一样的.活动3 画频率分布折线图问题3 是不是只有小球的分布具有中间高两边低的特点？预设学生活动：教师展示在必修3统计的学习中，收集过的身高、体重、成绩等数据，借助图形计算器，可以画出这些数据的频率分布直方图，发现这些数据都具有中间高两边低的特点.既然这么多数据都具有中间高两边低的特点，我们有必要进一步研究它们的分布规律，教师引导学生画数据的频率分布折线图，并思考下面问题.问题4 画出身高、体重、成绩等数据的频率分布折线图，随着试验次数增加，组距不断缩小，观察频率分布折线图有何特点？预设学生活动：随着试验次数增加，组距不断缩小，频率分布折线图的形状也越来越光滑.活动4 教师用计算机演示教师借助几何画板演示，引导学生思考当试验次数增加，组距不断缩小时，频率分布折线图有什么变化特点？预设学生活动：频率分布折线图越来越光滑，越来越像一条曲线.问题5 生活中我们是否见过类似形状的东西？预设学生活动：象我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东西，我们称之为钟形曲线.（二）正态曲线对于这条钟形曲线，早在十八世纪30年代，棣莫弗、斯特莱等数学家经过十几年的努力，用求导、对数、无穷级数、积分、变量代换等数学方法就推导出这条钟形曲线就是函数22()2,1()e 2πx x μσμσϕσ--=的图象，其中μ和σ（0>σ）为参数，我们称)(,x σμϕ的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.在对正态曲线认识的基础上进入理性分析，得到正态分布的概念.（三）正态分布知道了小球的分布规律是正态曲线，为了引导学生由正态曲线认识正态分布，设计了下面的问题.问题6 一个小球从高尔顿板口落下，会落在哪？为什么？预设学生活动：一个小球从高尔顿板口落下，落在哪都有可能，但是，落在中间的可能性大，概率大.问题7 如何计算小球落在某个区间],(b a 内的概率？当试验用的小球很小时候如何刻画小球的具体位置？可以用坐标.如何建立适当的坐标系?以及如何计算小球落在某个区间],(b a 的概率?如果去掉高尔顿板最下边的球槽，沿高尔顿板底部建立一个水平坐标轴，刻度单位为球槽的宽度，若用X 表示落下的小球第1次与高尔顿板底部曲边梯形面积,()()aaP a X a x μμσμμμϕ+--<≤+=⎰为图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大.说明σ越小，落在区间(],a a μμ-+的概率越大，即X 集中在μ周围概率越大.特别有()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈-<≤+≈可以看到，正态总体几乎总取值于区间(3,3)μσμσ-+之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称之为3σ原则.例某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度曲线如图所示，成绩X 位于区间(]52,68的概率是多少？解：第一步，利用待定系数法，求出正态分布密度曲线函数的解析式；可知，参数60μ=，max 1(60)82ϕϕπ==，故22(60)2,1()2πx x e σμσϕσ--=，且max 11(60)822πϕϕπσ===，所以8σ=.得2(60)128,1()82πx x e μσϕ--=；第二步，求概率；故(5268)(608608)0.6826P x P x <≤=-<≤+≈. 例若(5,1)X N ，求(67)P X <<.解：由(5,1)XN 知，正态密度曲线函数的两个参数为5,1μσ==，故该正态密度曲线关于直线5x =对称.故1(57)(37)2P X P X <<=<< 11(5252)0.95440.477222P X =-<<+≈⨯=，而1(56)(46)2P X P X <<=<< 56 7O y4 3示的意义，事实上，从历史上看，正态分布从1733年问世到作为分析统计数据的概率模型经历了100多年，经过棣莫弗、高斯、凯特莱和高尔顿等很多科学家的辛苦努力.课后请同学们查阅相关的资料，了解正态分布的发展史.棣莫弗凯特莱高斯例设若(,1)X N μ，求(32)P X μμ-<≤-.解：由(,1)XN μ知，正态分布密度函数的参数1σ=.因为该正态密度曲线关于直线x μ=对称，所以(32)(3)(2)P X P X P X μμμμμμ-<≤-=-<≤--<≤11(33)(22)22P X P X μμμμ=-<≤+--<≤+ 110.99740.95440.021522≈⨯-⨯=.。

高中人教A数学选修2-3学案：2.4 正态分布含答案

2.4正态分布自主预习·探新知情景引入高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？新知导学1．正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴__上方__，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称；③曲线在x＝μ处达到峰值__12πσ__；④曲线与x轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小；曲线越“瘦高”，总体分布越集中，如图乙所示．甲乙2．正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝__0.6826__； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝__0.9544__； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝__0.9974__． 4．3σ原则通常服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．预习自测1．(2020·遂宁模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，则P (2≤ξ＜4)等于( B )A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7[解析] 由题意可得P (2≤ξ<4)＝1－0.15×22＝0.35，故选B ．2．(2020·孝义市一模)一次考试中，某班学生的数学成绩X 近似服从正态分布N (100,100)，则该班数学成绩的及格率可估计为(成绩达到90分为及格)(参考数据：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.68)( D )A ．60%B ．68%C ．76%D ．84%[解析] ∵X 服从正态分布N (100,100)，∴P (90≤X ＜100)＝12P (90≤X ≤110)＝12×0.68＝0.34， P (X ≥100)＝0.5，∴P (X ≥90)＝0.34＋0.5＝0.84．故选D ．3．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，且P (ξ<2)＝0.6，则P (0<ξ<1)＝__0.1__． [解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)， ∴曲线关于直线x ＝1对称， ∵P (ξ<2)＝0.6，∴P (0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1，故答案为0.1．4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为__10__．[解析] 由ξ～N (100,102)知，μ＝100，σ＝10，又P (90≤ξ≤100)＝0.3，∴P (ξ>110)＝P (ξ<90)＝1－P (90≤ξ≤110)2＝1－2P (90≤ξ≤100)2＝1－2×0.32＝0.2．∴该班学生成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10人．5．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N (10，0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg 的概率是多少？[解析] 因为大米的质量服从正态分布N (10,0.12)，要求质量在9.8～10.2的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．由正态分布N (10,0.12)知，μ＝10，σ＝0.1，所以质量在9.8～10.2kg 的概率为P (10－2×0.1<X ≤10＋2×0.1)＝0.954 4．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶正态曲线及其性质典例1如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的数学期望和方差．[解析]从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以1 2π·σ＝12π，解得σ＝ 2.所以正态分布密度函数的解析式是f(x)＝12πe－(x－20)24，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望μ＝20，方差σ2＝(2)2＝2．『规律总结』求正态曲线的两个方法(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为12πσ．(2)待定系数法：求出μ，σ即可．┃┃跟踪练习1__■(1)(2020·青岛高二检测)青岛市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝1102π·e－(x－80)2200(x∈R)，则下列命题不正确的是(B)A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10(2)设随机变量X～N(1,32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝(B)A．0B．1C．2D．3[解析](1)由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．(2)因为P(X≤c)＝P(X>c)，所以c＝1，故选B．命题方向❷利用正态分布求概率典例2已知ξ～N(4，σ2)，且P(2<ξ<6)＝0.682 6，则σ＝__2__，P(|ξ－2|<4)＝__0.84__．[解析]∵ξ～N(4，σ2)且P(2<ξ<6)＝0.682 6，∴μ＝4，结合“3σ”原则可知⎩⎪⎨⎪⎧μ＋σ＝6，μ－σ＝2，∴σ＝2．∴P (|ξ－2|<4)＝P (－2<ξ<6) ＝P (－2<ξ<2)＋P (2<ξ<6)＝12[P (－2<ξ<10)－P (2<ξ<6)]＋P (2<ξ<6) ＝12P (－2<ξ<10)＋12P (2<ξ<6) ＝12[P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＋P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)] ＝12(0.997 4＋0.682 6)＝0.84．『规律总结』求在某个区间内取值的概率的方法(1)利用X 落在区间(μ－σ，μ＋σ]、(μ－2σ，μ＋2σ]、(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4，0.997 4求解．(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．①熟记正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X ≥a )； P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )． ┃┃跟踪练习2__■(1)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2<ξ<2)＝( C ) A ．0.477 B ．0.625 C ．0.954D ．0.977(2)设随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，若P (ξ>c )＝a ，则P (ξ>4－c )等于( B ) A ．a B ．1－a C ．2aD ．1－2a[解析] (1)P (－2<ξ<2)＝1－2P (ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954． (2)对称轴x ＝2，∴P (ξ>4－c )＝1－P (ξ>c )＝1－a ．命题方向❸正态分布的应用典例3 某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X ～N (4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm ，试问该厂生产的这批零件是否合格？[思路分析] 判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)之内还是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．[解析]由于圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，X在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)(即(2.5,5.5))之外取值的概率约为0.002 7.而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的．『规律总结』在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化．(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．┃┃跟踪练习3__■某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90内的学生占多少？[解析](1)设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10．分数在60～80之间的学生的比为：P(70－10<X≤70＋10)＝0.682 6，所以不及格的学生的比为12(1－0.682 6)＝0.158 7，即成绩不及格的学生占15.87%．(2)成绩在80～90内的学生的比为12[P(70－2×10<x≤70＋2×10)－0.682 6]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9．即成绩在80～90间的学生占13.59%．学科核心素养假设检验的思想(1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．(2)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则ξ落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.997 4，亦即落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.002 6，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明ξ不服从正态分布．(3)对于小概率事件要有一个正确的理解：小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性．典例4某厂生产的产品，质量要求服从正态分布N(100,4)，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，则该生产线是否要停产检修？[思路分析]由题意可知产品质量服从正态分布，又由于质量在区间(100－2,100＋2]，即(98,102]内的概率为0.682 6，在区间(96,104]内的概率为0.954 4，在区间(94,106]内的概率为0.997 4，所以据此可以判断结论．[解析]由题意知产品质量X服从正态分布N(100,22)，产品质量在区间(100－3×2,100＋3×2]，即(94,106]内的概率为0.997 4，而在这个区间外的概率仅为0.002 6，在抽测的10件产品中有2件(分别是92,108)不在这个区间内，小概率事件竟然发生了，说明生产线有问题，故应停产检修．『规律总结』假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(μ，σ2)．②确定一次试验中的取值a是否落入区间(μ－3σ，μ＋3σ]内．③作出判断：如果a∈(μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设．如果a∉(μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设．┃┃跟踪练习4__■假设某省今年高考考生成绩服从正态分布N(500,1002)，某校有考生2 400人，试估计成绩在下列范围内的考生人数．(1)(400,600]；(2)(300,700]．[解析](1)因为该正态分布中，μ＝500，σ＝100.所以区间(400,600]即为(μ－σ，μ＋σ]，其概率为0.6826，所以成绩在(400,600]范围内的考生人数约为2 400×0.682 6≈1 638(人)．(2)同理可求成绩在(300,700]内的考生人数约为2 400×0.954 4≈2 291(人)．易混易错警示因对正态曲线的对称性认识不够而致错典例5已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝__－2__．[辨析]对正态分布的正态曲线的对称性理解不到位而致误，充分认识P(X<a)＋P(X≥a)＝1这一结论．[正解]因为P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1．所以P(X>0)＝P(X<－4)．因此正态曲线的对称轴为x＝－2.所以μ＝－2．[误区警示]错解的原因在于对正态曲线的对称性没有充分的认识，无法将所给条件进一步转化，找不清解题的思路．本题的关键在于P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1的运用，由此得到解题的突破口．课堂达标·固基础1．设随机变量X服从正态分布，且相应的函数φ(x)＝16πe－x2＋4x－46，则(C)A．μ＝2，σ＝3B．μ＝3，σ＝2 C．μ＝2，σ＝3D．μ＝3，σ＝ 3[解析]由φ(x)＝12π×3e－(x－2)22(3)2，得μ＝2，σ＝ 3.故选C．2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(C)A．(90,110]B．(95,125]C．(100,120]D．(105,115][解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5．因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4．由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6≈41人，60×0.954 4≈57人，60×0.997 4≈60人．故选C．3．如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的__①__、__②__、__③__．[解析] 在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．4．在某市组织的一次数学考试中，全体参加考试学生的成绩近似服从正态分布N (60,100)，已知数学成绩在90分以上的学生有13人．试求参加数学考试的学生共有多少人？[解析] 设学生的数学成绩为X ，共有n 人参加数学考试， ∵X ～N (60,100)，∴μ＝60，σ＝10．∴P (X >90)＝12[1－P (30<X ≤90)]＝12×(1－0.997 4)＝0.001 3．又P (X >90)＝13n ，∴13n ＝0.001 3，∴n ＝10 000，即此次参加数学考试的学生共有10 000人．。

人教A版选修2-3《正态分布》教学设计

人教Ａ版选修２－３《正态分布》教学设计浙江省黄岩中学金克勤一、内容与内容解析正态分布（normal distribution ）是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布．一般地，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布．正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，从形式看，它属于概率论的范畴，但同时又是统计学的基石．正态分布的理论基础是中心极限定理.即从一个具有有限均值μ和方差2σ的任意分布总体中抽取样本容量为n 的样本，当n 充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值μ，方差为n2σ的正态分布．本节课的重点是从数据分析的角度了解正态分布的概念；从数学建模的角度理解正态分布密度函数。

正态分布的教学内容要把握以下几点：（1）一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用的结果之和，它的分布就呈钟形曲线，许多随机变量的分布都可以近似地用正态分布来描述。

（2）正态分布的特点决定了正态分布密度函数222)(,21σμσμσπϕ--=x e ，正态曲线及面积分布规律表达了随机变量的整体性质，用整体来看随机变量的规律，才能得出其根本特征．（3）正态分布曲线与面积分布规律非常清晰地展示了重点，)(σμσμ+≤<-X P =0.6826，随机变量X 落在区间（],σμσμ+-内的概率是0.6826是主体，)33(σμσμ+≤<-X P =0.9974展示了正态分布的全面性，即3σ原则．二、目标与目标解析1．从实例理解分析数据的基本思想．建立数据分布的概念，分析一组数据所蕴含的规律，首先是要了解这组数据的分布．从数据的数字特征：平均数、方差（标准差）、最大值、最小值和频数（频率）等了解数据的分布规律；从数据的直观表示，即直方图形象地表示数据的分布规律．2．探究正态曲线的来源．理解正态曲线的来源，建立钟形曲线的直观印象，从钟形曲线的形态角度理解数据分布．通过密度曲线形状特征分析．利用信息技术，以探究的方式理解正态分布密度函数的解析式222)(,21σμσμσπϕ--=x e ．3．了解正态分布密度曲线的特点．借助直观图形，对比不同参数的正态密度函数的图像，理解两个参数μ,σ的含义．通过借助Geogebra 动态几何工具的代数运算和图形关联的功能，学习和探究的正态分布的性质．4．了解正态曲线的性质，并能简单地应用．三、教学问题诊断正态分布是研究连续型随机变量分布，学生第一次接触连续型随机变量，在接受上有困难．正态分布密度曲线的推导十分困难，教材中是直接给出函数解析式，学生对此理解是相当困难．由于教材的编写是基于学生没有计算技术辅助，因此对例题的选择和问题的解决造成障碍．虽然正态分布在实际生活中有着广泛的应用，但学习过程中缺少典型的案例和解决问题的方法．本节课的难点是正确理解正态分布的意义，了解正态分布密度函数及性质，还原正态分布曲线和正态密度函数的形成过程.四、教学支持条件分析由于Geogebra 动态几何工具具有很强的概率计算与图形分析功能，是帮助学习和掌握概率统计的优秀工具．通过教师有效的设计，借助Geogebra 动态几何工具，经过学生观察和思考以及教师的有效引导和示范，可以加深对概念的理解和拓展教学内容．五、教学过程设计1．引入问题1：同学们，我们现在正处于大数据时代，每个人都要和数据打交道．分析数据，用数据说话成为现代人必备的基本能力．你会分析数据吗？怎样分析一组数据呢？现在有一组100位同学的数学考试成绩，你想从哪些方面着手分析这组数据，从而了解本次数学考试的情况呢？设计意图：由于100位同学的考试成绩是随机的，并且这组数据是近似地成正态分布的．从实例引入数据分析的概念，目的是让学生理解分析数据的基本方法是了解数据的分布．引导学生提出数据分析的方法，计算平均数、方差、最大值、最小值、优秀人数等数据分布的情况，并引导学生用直方图直观地表示这组数据的分布情况，培养学生的数据分析素养．2．新课问题2：对于这100位同学数学考试的成绩，根据我们以前所掌握的知识，借助信息技术进行整理和分析．其结果如下，你能发现这组数据的规律吗？设计意图：对于一组数据可以利用Geogebra动态几何工具中的电子表格计算其数字特征，绘制直方图．通过绘制其频率直方图可了解数据的分布规律．通过对统计数据和直方图的分析，100位同学数学成绩分布是有规律的，分布近似呈钟形曲线分布．如果将直方图的轮廓线用一条近似的曲线表示的话，中间相对集中，集中在平均值附近，而两端数据逐渐减少的趋势，即中间高，两头低，左右大致对称，方差表示数据离散的程度，方差小，曲线“高瘦”，方差大，曲线“矮胖”．像具有这种性质随机数据的分布规律，称为正态分布．问题3：高尔顿板试验带来的思考：由于我们收集的数据还不够多，不能很典型的呈现这类数据的特征．英国生物统计学家高尔顿（Galton）做了让小球从钉板随机自由下落的试验，统计小球最后落入钉板下方条状格子内小球的个数．我们可以通过信息技术模拟高尔顿所做的实验，收集数据数据来研究问题．通过高尔顿板产生的随机数作出频率分布直方图．若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的钟形曲线，我们称此曲线为正态分布密度曲线，简称为正态曲线．如果我们知道了描述正态曲线的函数，那么我们就知道了数据分布的规律．问题4：寻找描述钟形曲线的函数为了简单起见，我们把钟形曲线的中间放置在y轴处（如图）：我们能否找到一个函数，使它的图像与钟形曲线相似？设计意图：从培养学生数学素养的角度，设置这样一个探究环节，目的是培养学生数学建模的素养，让学生认识到正态分布密度函数产生的合理性．在这个教学环节中可以组织学生分组讨论，提出并比较相应的函数．教师可借助动态几何工具进行画图．首先要求学生观察钟形曲线，确定所寻找的函数应该是偶函数，而且都大于零；曲线与x 轴所围成的区域的面积为1.这个过程可以分成四个步骤：（1）寻找形似的函数；（2）加标准差σ这个参数到函数之中，使σ大时曲线“矮胖”，σ小时曲线“高瘦”；（3）加均值μ这个参数到函数中，使在x μ=处，函数取到最大；（4）通过系数的调整，使函数图像与x 轴围成的面积为1.从而得到结论：正态分布密度曲线可以用下面的函数来刻画：222)(,21σμσμσπϕ--=x e ，∈x （－∞，+∞），其中μ和σ是参数，且0σ>．均值为μ，标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．问题5.通过正态密度函数222)(,21σμσμσπϕ--=x e ，∈x （－∞，+∞）讨论正态曲线的特点．设计意图：通过Geogebra 动态几何工具，给出以μ和σ是参数的正态密度曲线，通过观察曲线变化的情况，引导学生归纳以下性质：（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线μ=x 对称；（3）曲线在μ=x 处达到峰值σπ21；（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散．问题6：以学生考试成绩的分布为例．如果本次考试成绩的分布服从平均分85μ=，标准差5σ=的正态分布，其分布曲线如下图所示．那么曲线下8090X ≤≤之间的区域面积表示什么？设计意图：让学生了解这个随机变量X 有别于以往所学的离散型变量，它在某一个具体值上的概率都为零．我们关心的是随机变量在某一个区间上取值的概率．在进行大量重复试验时，随机变量落在一个区间上的频率可以近似地等于概率，而频率等于这个区间所对应的曲边梯形的面积．所以可以用记号表示概率：⎰=≤<ba dx xb X a P )()(,σμϕ．给出正态分布的定义：一般地，如果对于任何实数a ，b （a ＜b ），随机变量X 满足⎰=≤<ba dx xb X a P )()(,σμϕ，则称随机变量X 满足正态分布（normal distribution ），记作X ～N （μ，2σ）3．小结（1）一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从可近似服从正态分布；现实在生活中很多随机变量都服从或近似服从正态分布．如测量的误差，身高和体重等．（2）正态曲线有三个重要特征：①正态曲线表示均值、中位数和众数相等的数值分布（不偏）；②正态曲线以均值为中心完全对称；③正态曲线双尾是渐近的．（3）历史上的正态分布．法国数学家棣莫弗（1667—1754）在1718年出版的《机遇论》（The Doctrine of Chances）首次描绘了钟形曲线．弗朗西斯﹒高尔顿爵士最早提出用“正态分布”给钟形曲线命名．德国数学家高斯（C﹒F．Gauss,1777—1855）在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，正态分布也称为高斯分布．六、目标检测设计1．若随机变量服从正态分布N（μ，2σ），则关于正态曲线性质的叙述正确的是（）A．σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”B．σ越大，曲线越“高瘦”；σ越小，曲线越“矮胖”C．σ的大小和曲线的“矮胖”、“高瘦”没有关系D．曲线的“矮胖”、“高瘦”受μ的影响2.说出正态分布的三个重要特征．3.正态曲线下的总面积是多少？4.你认为人的哪些行为、特征呈正态分布？请举例说明．。

高中数学选修2-3精品教案2：2.4 正态分布教学设计

2.4正态分布教学目标1．知识与技能①通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的来源②通过借助几何画板，理解正态分布的概念及其曲线特点，掌握利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题2．过程与方法①通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无限的思想方法②通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力3、情感态度与价值观①通过经历直观动态的高尔顿试验，提高学习数学的兴趣②通过σ3原则的学习，充分感受数学的对称美教学重点、难点重点：正态分布密度曲线的特点，利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题难点：正态分布密度曲线的特点教法与学法学情分析在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础.但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象，学生理解比较困难. 根据以上学情，我采取了如下的教学方法：1、教法本节课是概念课教学，应该有一个让学生参与讨论、发现规律、总结特点的探索过程，所以在教学中我采取了直观教学法、探究教学法和多媒体辅助教学法.通过“观察—探究—再观察—再探究”等思维途径完成整个教学过程.而多媒体的辅助教学，不仅激发学生的学习兴趣，还有利于培养学生动向观察、抽象概括、分析归纳的逻辑思维能力，提高了课堂教学的有效性.2、学法纵观整堂课的设计，我注重培养学生以下学习方法：⑴观察探究：观察探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力.（如利用高尔顿板探究正态曲线的来源）⑵归纳分析：引导学生观察归纳，能缩短解决问题的时间，锻炼数学思维.（如通过几何画板的观察，归纳分析参数μ、σ对图像的影响）⑶理解应用在应用中体会到数学来源于生活又服务于生活，让学生感受到数学的价值，提高学习数学的兴趣.（如例题2及作业B组题的设置）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图以境激情通过对高尔顿板试验进行演示. 教师创设情境，为导入新知做准备.学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考.学生经过观察发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的.教师利用多媒体进行动态演示，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣.研探论证1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律⑴将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，做出频率分布表.⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图.连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图.⑶将高尔顿板下面的球槽去掉，试验次数增多，频率分布直方图无限分割，于是折线图就越来越接近于一条光滑的曲线.引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程.在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距.教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，容易得到：长方形的面积代表的是相应区间内数据的频率教师引导学生得到：此时小球与底部接触时的横坐标X是一个连续型随机变量.通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移.通过这里的思考回忆，加深了对频率分布直方图的理解.这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡.教师通过课件动态演示频率分布直方图无限分割的过程. 通过几何画板让学生直观感受正态曲线的形成过程.教学环节教学内容师生互动设计意图研探论证2．正态曲线：曲线中任意的一个x均对应着唯一的一个y值，经过拟合，这条曲线是（或近似地是）下列函数的图像：()()()+∞∞-∈⋅=--,,21222,xexxσμσμσπϕ,其中π是圆周率，e是自然对数的底，实数μ和σ（σ＞0）为参数.我们称()xσμϕ,的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线.μ与σ分别反映的是均值与标准差.教师提出课题并板书：正态分布教师分析正态分布密度曲线表达式的特点，并指出两个参数的实际意义.与旧教材不同的是，该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观演示正态曲线来源.3．正态曲线对应的解析式中含有两个参数μ和σ.下面结合函数解析式研究曲线特点，并分析参数μ和σ对曲线的影响：⑴固定σ的值，观察μ对图像的影响学生研探新知，并进行推理论证.其中教师对学生进行学法指导，优化学生思维.教师利用几何画板，先后固定参数σ和μ，通过变化参数μ和σ的值得到一系列正态曲线，学生观察图像，分组讨论并派代表发言.学生通过观察得到：当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；结合解析式分析知=μ时它是个偶函数，于是参数μ决定了正态曲线的对称轴，0≠μ时的图像可由0=μ时的图像平移得到.（教师板书：曲线是单峰的，它针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析，教师通过固定一个参数，讨论另一个参数对图像的影响，这样的处理大大降低了难度.该环节教师利用多媒体引导学生归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能力.关于直线μ=x 对称）同时得到：曲线在μ=x 时达到峰值πσ21（教师板书）.教学环节教学内容师生互动设计意图研探论证⑵固定μ的值，观察σ对图像的影响⑶综合以上图像，你还能得到正态曲线的哪些特点？学生通过观察并结合参数μ与σ的意义可以分析得到：当μ一定时，σ影响了曲线的形状.即：σ越小，偏离均值的程度越小，则曲线越瘦高；σ越大，偏离均值的程度越大，则曲线越矮胖（教师板书）.综合以上的图像并结合解析式分析得到：曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交.（教师板书）. 最后引导学生由概率知识知：曲线与x 轴之间的面积为1（教师板书）.该环节通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想. 这样的处理很好地突出了重点，突破了难点这为接下来提出问题，引入正态分布的定义做铺垫.4．曲线与x 轴之间的面积为1.根据对称性知，随机变量X 落在对称轴μ=x 两侧的概率都是21.请思考：对于任意一个随机变量X ，如何求出落在给定区间(]b a ,内的概率？引导学生回忆得到：X 落在区间(]b a ,的概率的近似值其实就是在(]b a ,上的阴影部分即曲边梯形的面积，曲边梯形面积等于函数()x ϕ在区间(]b a ,上的定积分.即：通过设疑，引起学生对问题的深入思考，通过复习、巩固原有知识，以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分几何意义的理解.()()dxx b X a P b a σμϕ,⎰≈≤＜教学环节教学内容师生互动设计意图研探论证5．正态分布概念：一般地，如果对于任何实数a ＜b ，随机变量X 满足()()dx x b X a P b a σμϕ,⎰=≤＜，则称X的分布为正态分布，常记作()2,σμN .如果随机变量X 服从正态分布，则记作()2,~σμN X .教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法.引导学生分析得到，X 所落区间的端点是否能够取值，均不影响变量落在该区间内的概率.以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀，易于接受新知识.同时培养了学生把前后知识联系起来进行思维的习惯.6．3σ原则几何画板演示3σ原则：()6826.0=+≤-σμσμX P ＜()9544.022=+≤-σμσμX P ＜引导学生分析，求定积分，通常需要求出原函数.根据现有知识，无法求()x σμϕ,原函数.得寻求别的方法求概率.教师通过利用几何画板演示随机变量X 落在区间(]σμσμ+-,, (]2,2σμσμ+-与(,3σμ-]3σμ+这三个区间内的概率，引入3σ原则的内容，并指出：在()σμσμ3,3+-区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 所以，在实际应用中，我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取 ()σμσμ3,3+-之间的值，简称σ3原则.我们可以利用3σ原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题.(教师板书3σ原则的内容)学生发现了所学知识无法解决的问题，从而引起了他们的疑问，激发了他们要解决问题的欲望，变“要我学”为“我要学”.新知识的直接给出，学生接受或多或少会有点困难.教师利用几何画板，从数与形上体现了3σ原则的内容，能很好加深学生的印象便于理解.这为后面3σ原则的应用作了铺垫. Oyx ab()9974.033=+≤-σμσμX P ＜教学环节教学内容师生互动设计意图反馈矫正例题1 把一条正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法不正确的是（） A ．曲线b 仍然是正态曲线 B ．曲线a 和b 的最高点的纵坐标相等 C ．以曲线b 为正态分布的总体的方差比以曲线a 为正态分布的总体的方差大2 D ．以曲线b 为正态分布的总体的期望比以曲线a 为正态分布的总体的期望大2学生独立分析，并学生间互问互检，质疑答辩.教师排难解惑，帮助学生巩固深化所学知识.学生易分析知：正态曲线a 经过平移仍是正态曲线，峰值不变.而曲线的左右平移与μ即均值（期望）有关.故C 选项的说法不正确.通过该例的设置，深化了学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数μ与σ的理解.例题 2 某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如下图： ① 写出X 的分布密度函数； ②求成绩X 位于区间(]68,52的概率是多少？ ③求成绩X 位于区间(]68,60的概率是多少？ ④若该地区有10000名学生参加考试，从理论上讲成绩在76分以上的考生有多少人？学生相互讨论，根据对称轴可知60=μ，根据峰值可知8=σ，代入正态曲线表达式可得：()()12860,2281--⋅=x e x πϕσμ由8,60==σμ知： ()6852≤X P ＜ ()σμσμ+≤-=X P ＜ 6826.0=()6860≤X P ＜()685221≤=X P ＜ 3413.0=()()4476＜＞X P X P =()[]7644121≤≤-=X P ()9544.0121-=0228.0=通过一个贴近生活的实例，学生体会到了数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情.本例是由课本74页练习2进行变式处理，做到了一题多用. 该环节设置的②③④这三个小问，分别要求学生根据σ3原则直接求出对称区间概率，利用对称性及结合概率为1，求不对称区间的概率.体现了数形结合的思想，同时问题的设置由易到难，形成坡度.20 40 60 80100 y π281x O例3 设正态总体落在区间()1,-∞-和区间()+∞,3内的概率相等，落在区间()4,2-内的概率为%74.99，求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标.学生分析易知：落在()1,-∞-和()+∞,3内概率相等知1=μ,由区间()4,2-概率为99.74%，知431=+σ,231-=-σ, 即1=σ，代入正态分布密度函数解析式知最高点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛π21,1.要求学生能根据题意画出草图，分析已有条件得到两个参数的解，利用解析式求出结果.再一次强化了数形结合的解题思想.教学环节教学内容师生互动设计意图应用评价1．正态曲线有哪些具体的特点？2．σ3原则是什么？它对μ、σ取任何数，数据落到相对区间内的概率是不变的吗？ 3．思想方法：数形结合等.4．生活中的正态分布教师引导学生进行课堂小结，自我评价. 学生可以展示自己的所悟所得，与同伴分享成功的喜悦；还可以提出自己的困惑，师生共同探讨.将课堂小结作为自我评价的主阵地.教师结合例子对正态分布进行介绍.通过学生提出学习本节内容中的困惑和与同伴分享学习成果，引导学生进行反思与自我评价.教师不仅引导学生反思学习知识，还反思思想方法.通过教师的介绍，学生能够体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用.思维创新 A 组课本75页 A 组第1题B 组第2题B 组在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布()100,70N ，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.试问此次参赛的学生总数约有多少人？课外思考：请尝试从解析式角度分析正态曲线的对称性与最值.学生通过作业进行课外反思，通过思考发散思维，发现创新.教师通过布置作业，进行自我评价，更新教法.学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率，同时能在作业中发现教学的不足.板书设计正态分布1．解析式2．曲线性质⑴⑵⑶⑷⑸3．3 原则例1．例2①②③④例3多媒体投影。

人教版选修2-3《正态分布》教案

通过对生活中大量的实际例子进行分析，借助先进的计算机技术，从学生原有的知识结构出发，让学生更顺畅、直观地感受到正态曲线，这一特殊总体密度曲线的魅力。并引出研究的主题，逐步揭开了正态分布的神秘面纱。
“博古通今”
师：幻灯展示正态分布定义。
生：朗读定义。
师：结合实例对定义做出解释。
生：展示课前搜集并整理的有关正态分布的历史资料，并进行讲解。
生：小组讨论，而后由学生代表展示研讨成果，并由其他小组补充完善。
师：总结学生发言并板书，给出标准正态分布。
通过小组的合作探究，让学生的思维得以碰撞，在养成分析总结的习惯的同时，也体会到解决问题的快乐，感受到与他人合作交流的重要性。
“天生我学必有用”
师：回顾引例中身高的正态分布曲线，引导学生分析其实际意义及应用。另举一例：“两次标准化考试的数学成绩的概率密度曲线图，且两次成绩都服从正态分布”，引导学生对比分析。
生答
师：回顾“钢管尺寸”的实际例子，给出正态分布的原则，并作出解释。
回归到实际生活之中，通过对几个实际问题的分析与解决，让学生充分体会“数学源于生活，而又服务于生活”。
“喜庆丰收”
师：以上就是我们今天的内容，哪位同学愿意与大家分享自己在本节课的收获？
生：（小结）
课堂小结由学生来完成，让学生自己归纳、总结本节课内容，不仅利于学生对知识的系统理解，也让学生学会反思，更为他们提供了更多的展示自我的机会。
教材分析
正态分布是人教A版选修2—3第二章第四节的内容，在这之前学生已经学习了离散型随机变量，正态分布的随机变量是连续型随机变量，因此正态分布既是对前面内容的一种补充，也是必修三第二章概率知识的后续。
教学目标
1.知识目标：理解并掌握正态分布和正态曲线的概念及性质，能简单应用。

高中数学 2.4 3正态分布教案新人教A版选修选修2-3

2013年高中数学 2.4 3正态分布教案新人教A 版选修选修2-3〖教学目标〗(1)进一步加深理解并掌握正态分布和正态曲线对应函数式的意义和性质.(2)理解和掌握标准正态总体的意义及性质.(3) 掌握正态总体中，取值小于x 的概率及在任一区间内取值的规律.(4)介绍统计中常用的假设检验方法的基本思想和小概率事件，生产过程的质量控制图.〖教学重点〗正态分布、正态曲线、标准正态总体是教学的重点内容，在此基础上引出“小概率事件”和假设检验的基本思想.〖教学难点〗小概率事件几乎不可能发生的原理和假设检验的基本思想是这节课的教学难点.〖教学方法〗探究式教学法〖课时安排〗1课时〖多媒体工具〗多媒体、实物投影仪〖教学过程〗一、复习引入1. 正态密度函数的解析式.其中字母的意义.2. 正态曲线的性质.二、讲解新课1.标准正态分布与一般正态分布的关系(1) 若ξ～()2,Nμσ,则ξμησ-=～N(0，1). (2) 若ξ～()2,N μσ,则()P a b ξ<≤= ()()ba μμσσ--Φ-Φ, 即通过查标准正态分布表中,ab x x μμσσ--==的()x Φ的值,可计算服从2(,)μσ的正态分布的随机变量ξ取值在a 与b 之间的概率.2. 假设检验的基本思想与生产过程中质量控制图假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:(1) 提出统计假设. 统计假设里的变量服从正态分布()2,N μσ. (2) 确定一次试验中的取值是否落入范围(3,3)μσμσ-+.(3) 作出推断:如果∈,接受统计假设.如果∉,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.3．例题评价例 1.公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的.如果某地成年男子的身高η～(175,36)N (单位: cm ),则车门高度应设计为多少?例 2.一建桥工地所需要的钢筋的长度服从正态分布, μ=8, σ=2.质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度少于2m .这时,他是让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋呢?还是让钢筋工停止生产检修钢筋切割机?例3.利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布（1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-= ∵()()()2()10.95200200200a a a P a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥， ()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200a a ≥⇒≥ 三．练习 35面练习2. 习题1.5的2.3四.小结五.课后作业〖教学反思〗本节我们学习了一类重要的总体分部：正态分布.决定一个正态分布的两个重要的参数:平均数(期望、数学期望) μ 和标准差σ 。

高中数学选修2-32.4正态分布教学设计

《正态分布》教学案【教学目标】一、知识与技能1、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；2、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质．二、过程与方法讲授法与引导发现法．通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法，体会数学知识的形成．三、情感态度与价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．【教学重难点】重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义；难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义．【教学方法】讲授法与引导发现法【教学过程设计】（一）复习准备1、总体密度曲线：在频率分布直方图中，随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线为总体密度曲线,a b2、图中阴影部分的面积，就是总体在区间内取值的百分比，即概率（二）创设情境计算机模拟演示高尔顿板试验学生经过观察小球在槽中的堆积形状发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的．设计意图：提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣．让学生体验“正态分布曲线“的生成和发现历程．（二）构建概念1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律．师生互动：引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程．（1）将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表．师生互动：在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距．设计意图：通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移．（2）以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。

连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图．师生互动：教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，易得：长方形面积代表相应区间内数据的频率设计意图：通过这里的思考回忆，加深对频率分布直方图的理解．师生互动：分析表达式特点：解析式中前有一个系数，后面是一个以为底数的指数形式，幂指数为，解析式中含两个常数和，还含有两个参数和，分别指总体随机变量的平均数和标准差，可用样本平均数和标准差去估计．师生互动：学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考．（3）随着试验次数增多，折线图就越来越接近于一条光滑的曲线．师生互动：增大试验次数，让学生观察并总结折线图的变化规律（4）从描述曲线形状的角度自然引入了正态密度函数的表达式：设计意图：与旧教材不同的是，该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观，学生更易理解正态曲线的来源．（5）例1、下列函数是正态密度函数的是（ B ）都是实数师生互动：学生通过观察解析式的结构特征可知只有B选项符合正态密度函数解析式的特点.设计意图：设计这一题主要为了加强学生对正态密度函数的理解.2.（1）继续探究：当我们去掉高尔顿板试验最下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标．师生互动：引导学生得到：此时小球与底部接触时的坐标是一个连续型随机变量．设计意图：这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡．（2）提出问题：图中阴影部分面积有什么意义？师生互动:启发学生回忆：频率分布直方图中面积对应频率，不难理解，图中阴影部分的面积，就可以看成多个矩形面积的和，也就是落在区间的频率；再结合定积分的意义,阴影部分面积就是正态密度函数在该区间上的积分值，这样，概率与积分间就建立了一个等量关系．设计意图：通过设疑，引起学生对问题的深入思考，加深对定积分几何意义的理解．直接问落在区间上的概率，学生不容易反应过来，改为问面积的意义后，便于学生理解该问题．（3）在前面分析的基础上，引出正态分布概念:一般地，如果对于任何实数＜，随机变量满足：，则称的分布为正态分布，常记作．如果随机变量服从正态分布，则记作．（三）列举实例请学生结合高尔顿板试验讨论提出的问题，并尝试归纳服从或近似服从正态分布的随机变量所具有的特征：1．小球落下的位置是随机的吗？2．若没有上部的小木块，小球会落在哪里？是什么影响了小球落下的位置？3．前一个小球对下一个小球落下的位置有影响吗？哪个小球对结果的影响大？4．你能事先确定某个小球下落时会与哪些小木块发生碰撞吗？师生互动：学生通过讨论，教师引导学生得出问题的结果：1．它是随机的．2．竖直落下．受众多次碰撞的影响3．互不相干、不分主次．4．不能，具有偶然性．然后归纳出特征：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布．教师列举实例分析，帮助学生更加透彻的理解．设计意图：“什么样的随机变量服从（或近似服从）正态分布？”是本节课的难点，采用设置问题串的方式，将复杂的问题分解成几个容易解决的问题，能有效突破难点．通过举例，让学生体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用．（四）深入探究1.引导学生结合三幅图像及高尔顿板试验，根据问题归纳正态曲线的性质：(1)曲线在轴的上方，与轴不相交；(2)曲线是单峰的，图像关于直线对称；(3)曲线在处达峰值；(4)曲线与轴之间的面积为1；师生互动：引导学生联系三幅图像，结合高尔顿板试验思考以下问题：(1)曲线在坐标平面的什么位置？曲线为什么与x轴不相交？(2)曲线有没有对称轴？(3) 曲线有没有最高点？坐标是？(4)曲线与轴围成的面积是多少？结合解析式及概率的性质，分析正态曲线的特点。

【B版】人教课标版高中数学选修2-3《正态分布》教案1

2.4 正态分布【教学目标】①了解什么叫正态曲线和正态分布认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义； ②会根据正态曲线的性质求随机变量在某一范围内的概率。

【教学重点】正态曲线的性质。

【教学难点】对正态分布的理解及应用。

一、课前预习1.正态变量：服从_______的_________叫做正态随机变量，简称________。

2.正态曲线：（1）概念：正态变量的概率密度函数的图象叫做____________，它与x 轴一起围成的面积是______。

其函数表达式为R x e x f x ∈⋅=--,21)(222)(σμσπ其中σμ,是参数，且0,σμ>-∞<<+∞。

μ和σ分别为正态变量的________和______。

正态分布通常记作：______。

其中1,0==σμ的正态分布叫做______。

（2）性质：①曲线在x 轴的______，并且关于直线_____对称；②曲线在______时处于最高点，并且由此出向左右两边延伸时，曲线逐渐_______，呈现_________________的形状；③曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越______，σ越小，曲线越_______。

3.正态变量在三个特殊区间)3,3(),2,2(),,(σμσμσμσμσμσμ+-+-+-内取值的概率值分别为：__________________________。

二、课上学习例1、已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且6826.0)42(=≤≤X P ，则(4)_____P X >=。

例2、在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，及)100,90(~N X 。

（1）试求考试成绩X 位于区间（70，110）上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？三、课后练习1.已知正态总体的数据落在区间（-3，-1）里的概率和落在区间（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为__________。

人教课标版高中数学选修2-3：《正态分布》教案-新版

2.4 正态分布一、教学目标1．核心素养:学习正态分布的过程中，更进一步的体会数形结合思想的作用.培养了学生们直观想象和数学建模的能力.2．学习目标（1）通过道尔顿板重复实验，画出正态分布密度曲线.（2）随机变量取值的概率与面积的关系．（3）3σ原则的探索3．学习重点正态分布曲线的定义及其曲线特点，利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率.4．学习难点正态分布的概念及其实际应用.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P70－P75，思考：正态分布密度曲线的概念？正态分布的概念？任务2思考正态分布密度曲线与x轴之间的面积为多少？2．预习自测1．若随机变量满足正态分布N(μ，σ2)，则关于正态曲线性质的叙述正确的是() A．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”B．σ越大，曲线越“瘦高”，σ越小，曲线越“矮胖”C．σ的大小，和曲线的“瘦高”、“矮胖”没有关系D．曲线的“瘦高”、“矮胖”受到μ的影响答案 A2．已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，则P(ξ>4)＝()A.15 B.14 C.13 D.12答案 D解析由正态分布图像可知，μ＝4是该图像的对称轴，∴P(ξ<4)＝P(ξ>4)＝1 2.3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝()A.12＋p B.12－p C．1－2p D．1－p答案 B解析P(－1<ξ<0)＝12P(－1<ξ<1)＝12[1－2P(ξ>1)]＝12－P(ξ>1)＝12－p.（二）课堂设计1．知识回顾（1）几何分布.（2）频率分布直方图、折线图.2．问题探究问题探究一重复操作高尔顿板实验，探索正态分布密度曲线●活动一通过道尔顿板重复实验，并画出小球在球槽内的分布曲线.问题探究二随机变量取值的概率与面积的关系．★▲●活动一探讨随机变量取值与面积的关系如果随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，那么对于任意实数a、b(a<b)，当随机变量ξ在区间(a，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形的面积相等．如图(1)中的阴影部分的面积就是随机变量ξ在区间(a，b]上取值的概率．一般地，当随机变量在区间(－∞，a )上取值时，其取值的概率是正态曲线在x ＝a 左侧以及x 轴围成图形的面积，如图(2)．随机变量在(a ，＋∞)上取值的概率是正态曲线在x ＝a 右侧以及x 轴围成图形的面积，如图(3)．根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解．●活动二在实际例子中的应用例题1 若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________. 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】详解：若X ～N (μ，σ2)，则其密度曲线关于X ＝μ对称，则P (X ≤μ)＝12. 点拨：随机变量取值的概率与面积的关系问题探究三 3σ原则★▲ ●活动一 3σ原则含义的理解由于正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率是1，由上所述，容易推出，它在区间(μ－2σ，μ＋2σ)之外取值的概率是 4.56%，在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率是0.26%.于是，正态变量的取值几乎都在距x ＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．●活动二 3σ原则的实际应用设X ～N (1,32)，试求(1)P (－2<X ≤4)；(2)P (4<X ≤7)．【知识点：正态分布的3σ原则；数学思想：数形结合】详解：因为X ～N (1,32)，所以μ＝1，σ＝3. (1)P (－2<X ≤4)＝P (1－3<X ≤1＋3)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6.(2)因为P (4<X ≤7)＝12[P (－5<X ≤7)－P (－2<X ≤4)]＝12[P (1－6<X ≤1＋6)－P (1－3<X ≤1＋3)] ＝12[P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 点拨：正态分布的3σ原则的反复使用. 3．课堂总结【知识梳理】（1）正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：.（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.（2）正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . （3）标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=- x ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .（4）正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.（5）“3σ”原则. 【重难点突破】（1）正态分布求概率有时候转化为标准正态分布来解决. （2）用“3σ”原则解题时，有时需要数形结合来解决. 4．随堂检测1．正态总体N (0，49)，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为( ) A ．0.46 B ．0.997 4 C ．0.03 D ．0.002 6 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 D解：P (－2<ξ≤2)＝P (0－3×23<ξ≤0＋3×23)＝P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4， ∴数值落在(－∞，2)∪(2，＋∞)的概率为1－0.997 4＝0.002 6.2．若随机变量η服从标准正态分布N (0,1)，则η在区间(－3,3]上取值的概率等于( ) A ．0.682 6 B ．0.954 4 C ．0.997 4 D ．0.317 4 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 C解：μ＝0，σ＝1，∴(－3,3]内概率就是(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率0.997 4.4．若随机变量ξ～N (2,100)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于( )A ．2B ．10 C. 2 D ．可以是任意实数【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A5．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案0.2解：由于正态曲线关于直线x＝μ对称和其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.6．已知X～N(2.5,0.12)，求X落在区间(2.4,2.6]中的概率．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解：∵X～N(2.5,0.12)，∴μ＝2.5，σ＝0.1.∴X落在区间(2.4,2.6]中的概率为P(2.5－0.1<X≤2.5＋0.1)＝0.682 6.（三）课后作业基础型自主突破1．ξ的概率密度函数f(x)＝12πe－x－22，下列错误的是()A．P(ξ<1)＝P(ξ>1) B．P(－1≤ξ≤1)＝P(－1<ξ<1) C．f(x)的渐近线是x＝0 D．η＝ξ－1～N(0,1)答案 C2．正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈R，其中μ<0的图像是()【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A解析因为μ<0，所以对称轴x＝μ位于y轴左侧．3．下列说法不正确的是()A ．若X ～N (0,9)，则其正态曲线的对称轴为y 轴B ．正态分布N (μ，σ2)的图像位于x 轴上方C ．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布D ．函数f (x )＝12πe －x 22 (x ∈R )的图像是一条两头低、中间高、关于y 轴对称的曲线答案 C解析并不是所有的随机现象都服从或近似服从正态分布，还有些其他分布．4．如下图是正态分布N 1(μ，σ21)，N 2(μ，σ22)，N 3(μ，σ23)相应的曲线，则有( )A ．σ1>σ2>σ3B ．σ3>σ2>σ1C ．σ1>σ3>σ2D ．σ2>σ1>σ3 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A解析 σ反映了随机变量取值的离散程度，σ越小，波动越小，取值越集中，图像越“瘦高”．5．正态曲线关于y 轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．与标准差有关答案 C6．设随机变量ξ～N (2,4)，则D (12ξ)的值等于( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 【知识点：正态分布】答案 A解析 ∵ξ～N (2,4)，∴D (ξ)＝4. ∴D (12ξ)＝14D (ξ)＝14×4＝1. 能力型师生共研7．在正态分布总体服从N (μ，σ2)中，其参数μ，σ分别是这个总体的( ) A ．方差与标准差B ．期望与方差C ．平均数与标准差D ．标准差与期望答案 C解析由正态分布概念可知C 正确．8．若随机变量ξ的密度函数为f (x )＝12πe －x 22，ξ在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为P 1，P 2，则P 1，P 2的关系为( )A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．不确定【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 C解析由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，根据正态曲线的对称性，可知P 1＝P 2.9．设随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ≤C )＝P (ξ>C )＝P ，则P 的值为( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．不确定与σ无关答案 C解析 ∵P (ξ≤C )＝P (ξ>C )＝P ，∴C ＝μ，且P ＝12.10．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977 答案 C解析因为随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝0对称，又P (ξ>2)＝0.023，所以P (ξ<－2)＝0.023，所以P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C. 探究型多维突破13．随机变量X ～N (μ，σ2)，则Y ＝aX ＋b 服从( ) A ．N (aμ，σ2) B ．N (0,1) C ．N (μa ，σ2a ) D ．N (aμ＋b ，a 2σ2) 【知识点：正态分布】答案 D14．某中学共有210名学生，从中取60名学生成绩如下：【知识点：正态分布】解析因为x ＝160(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，s 2＝160[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5，以x ＝6，s ≈1.22作为总体预计平均成绩和标准差的估计值，即μ＝6，σ＝1.22，则总体服从正态分布N (6,1.222)，所以，正态分布的概率密度函数式：μμ，σ(x )＝11.222πe －x －22×1.222 .自助餐1．若ξ～N (1，14)，η＝6ξ，则E (η)等于( )A ．1 B.32 C ．6 D ．36 答案 C解析 ∵ξ～N (1，14)，∴E (ξ)＝1，∴E (η)＝6E (ξ)＝6.2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A解析利用正态分布图像的对称性，P (ξ≤0)＝1－P (ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.3．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6 D ．0.158 5 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 B解析由正态密度函数的对称性知P (X >4)＝1－PX2＝1－0.682 62＝0.158 7，故选B.4．若随机变量ξ～N (0,1)，则P (|ξ|>3)等于( )A ．0.997 4B ．0.498 7C ．0.974 4D ．0.002 6 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 D5．已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于()A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A6．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？()A．(90,110] B．(95,125] C．(100,120] D．(105,115]【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 C解析由于X～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6＝41人，60×0.954 4＝57人，60×0.997 4＝60人．7．设离散型随机变量ξ～N(0,1)，则P(ξ≤0)＝________；P(－2<ξ<2)＝________.【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案12，0.954 4解析因为标准正态曲线的对称轴为x＝0，所以P(ξ≤0)＝P(ξ>0)＝12.而P(－2<ξ<2)＝P(－2σ<ξ<2σ)＝0.954 4.8．某种零件的尺寸X(cm)服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件约占总数的________．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 4.56%解析属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)即区间(1,5)的取值概率约为95.44%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.44%＝4.56%.9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案0.810．设随机变量ξ～N(3,4)，若P(ξ>c＋2)＝P(ξ<c－2)，求c的值．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解析由ξ～N(3,4)可知，密度函数关于直线x＝3对称(如下图所示)，又P(ξ>c＋2)＝P(ξ<c－2)，故有3－(c－2)＝(c＋2)－3，∴c＝3.11．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X，且X～N(110,202)，满分为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解析∵X～N(110,202)，∴μ＝110，σ＝20.∴P(110－20<X≤110＋20)＝0.682 6.∴X>130的概率为12×(1－0.682 6)＝0.158 7.∴X≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.∴及格的人数为54×0.841 3≈45(人)，130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人)．12．设随机变量X服从正态分布X～N(8,1)，求P(5<X≤6)．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解析由已知得μ＝8，σ＝1，∵P(6<X≤10)＝0.954 4，P(5<X≤11)＝0.997 4，∴P(5<X≤6)＋P(10<X≤11)＝0.997 4－0.954 4＝0.043.如图，由正态曲线分布的对称性，得P(5<X≤6)＝P(10<X≤11)＝0.0432＝0.021 5.。

高中数学选修2-3人教A教案导学案2.4.1正态分布

2. 4.1正态分布【教学目标】1. 了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。

2. 了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。

【教学重难点】教学重点：1.正态分布曲线的特点； 2.正态分布曲线所表示的意义.教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布； 2．正态分布曲线所表示的意义. 【教学过程】一、设置情境，引入新课这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。

问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？二、合作探究，得出概念随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.这条曲线可以近似下列函数的图像：22()2,(),(,),2x x x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,()x μσϕ的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,(<X (),baP a b x dx μσϕ≤=⎰）则称X 的分布为正态分布，记作2N μσ（，），如果随机变量X 服从正态分布，则记为2XN μσ（，）。

问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？()x μσϕ，的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？可以发现，正态曲线有以下特点：（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；（3）曲线在x μ=2σπ（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。

正态分布教案

正态散布教课方案一、教材剖析正态散布是高中新教材人教 A 版选修 2-3 的第二章“随机变量及其散布” 的最后一节内容，在学习了失散型随机变量以后，正态散布作为连续型随机变量，在这里既是对前面内容的一种增补，也是对前面知识的一种拓展，是必修三第三章概率知识的后续。

该节内容经过研究频次散布直方图、频次散布折线图、整体密度曲线，引出拟合的函数式，从而获得正态散布的观点、剖析正态曲线的特色，最后研究了它的应用。

旧教材采纳直接给出正态散布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间里不理解正态散布的根源。

新教材利用高尔顿板引入正态散布的密度曲线更直观，易于解说曲线的根源。

正态散布是描绘随机现象的一种最常有的散布，在现实生活中有特别宽泛的应用。

在这里学习正态散布，也有益于学生在大学阶段的进一步学习。

二、教课目的1．知识与技术① 经过高尔顿板试验，认识正态散布密度曲线的根源②经过借助几何画板，理解正态散布的观点及其曲线特色，掌握利用 3 原则解决一些简单的与正态散布相关的概率计算问题2．过程与方法① 经过试验、频次散布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无穷的思想方法② 经过察看正态曲线研究正态曲线的性质，领会数形联合的方法，增强察看、剖析和归纳的能力3、感情态度与价值观① 经过经历直观动向的高尔顿试验，提升学习数学的兴趣②经过 3原则的学习，充足感觉数学的对称美三、要点、难点要点：正态散布密度曲线的特色，利用 3 原则解决一些简单的与正态散布相关的概率计算问题难点：正态散布密度曲线的特色四、教法与学法学情剖析在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频次散布直方图来研究小球的散布规律确立了基础。

但正态散布的密度函数表达式较为复杂抽象，学生理解比较困难。

依据以上学情，我采纳了以下的教课方法：1、教法本节课是观点课教课，应当有一个让学生参加议论、发现规律、总结特色的研究过程，因此在教课中我采纳了直观教课法、研究教课法和多媒体协助教课法。

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§2.4 正态分布
1．了解正态曲线的形状；
2．会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布．
一、课前准备
（预习教材P 80~ P 86，找出疑惑之处）
复习1：函数22
21
)(x e x f -=π的定义域是；它是（奇或偶）函数；
当=x 时，函数有最值，是．
复习2：已知抛物线322++-=x x y ，则其对称轴为；该曲线与直线1=x ，2=x ，x 轴所围的成的图形的面积是？
二、新课导学
※ 学习探究
探究：
1．一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；
2．某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少．生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻划呢？
新知1：正态曲线：函数22
2)(,21
)(σμσμσπϕ--=x e x ，),(+∞-∞∈x ，（其中实数μ和σ)0(>σ为参数）的图象为正态
分布密度曲线，简称正态曲线．
试试：下列函数是正态密度函数的是（）
A ．222)(21
)(σμπσ-=x e x f ，)0(,>σσμ是实数
B ．2222)(x e x f -=
ππ C ．4)1(2221
)(--=x e x f π
D ．2
2
21
)(x e x f π= 新知2：正态分布：
如果对于任何实数b a <，随机变量X 满足，)(b X a P ≤<= ，则称X 的分布为正态分布．记作：X ～N （）．
新知3：正态曲线的特点：
（1）曲线位于x 轴，与x 轴；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值；
（4）曲线与x 轴之间的面积为．
新知4：正态曲线随着μ和σ的变化情况：
①当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴；
②当μ一定时，曲线的由σ确定．
σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越．
试试：把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法中不正确的是（）．
A ．曲线b 仍然是正态曲线
B ．曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等
C ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a 为概率密度曲线的总体的期望大2
D ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2
新知5：正态分布中的三个概率：
=+≤<-)(σμσμX P ；
=+≤<-)22(σμσμX P ；
=+≤<-)33(σμσμX P ．
新知6：小概率事件与σ3原则：
在一次试验中几乎不可能发生，则随机变量X 的取值范围是． ※ 典型例题
例1若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于
π241，求该正态分布的概率密度函数的解析式．
例2．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～)100,90(N ．
（1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110）上的概率是多少？
（2）若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？
※ 动手试试
练1．某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线图形最高点坐标（π281,
60），
成绩X 位于区间(]68,52的概率是多少？
三、总结提升
※ 学习小结
1．正态密度曲线及其特点；
2．服从正态分布的随机变量的概率．
※ 知识拓展
利用小概率事件的原理制定著名的质量控制图．
在质量检查中，（σμσμ3,3+-）之外的事情一旦发生，说明生产过程出现了异常，需停机检查．
※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.若2)1(2
21
)(--=x e x f π，则下列正确的是（）．
A ．有最大值、最小值
B ．有最大值，无最小值
C ．无最大值，有最小值
D ．无最大值、最小值
2．设随机变量ξ～)4,2(N ，则)2
1(ξD = ( ) ． A ．1 B ．2 C ． 2
1 D ． 4 3．若随机变量满足正态分布),(2σμN ，则关于正态曲线性质的叙述正确的是（）．
A ．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”
B ．σ越小，曲线越“矮胖”，σ越大，曲线越“高瘦”
C ．σ的大小，和曲线的“高瘦”、“矮胖”没有关系
D ．曲线的“高瘦”、“矮胖”受到μ的影响
4．期望是2，标准差为π2的正态分布密度函数的解析式是．
5．若随机变量X ～)2,5(2N ，则
=≤<)73(X P ．
1．标准正态总体的函数为
22
21
)(x e x f -=π，),(+∞-∞∈x
（1）证明)(x f 是偶函数；
（2）求)(x f 的最大值；
（3）利用指数函数的性质说明)(x f 的增减性．
2．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布)1.0,10(2N （单位：kg ）任选一袋这种大米，
质量在9.8～10.2kg的概率是多少？。