2022年高考数学总复习：等差数列及其前n项和

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1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .

3．等差中项

由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .

(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．

(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．

5．等差数列的前n 项和公式

设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2

d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系

S n ＝d 2

n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．

7．等差数列的前n 项和的最值

在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 知识拓展

等差数列的四种判断方法

(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．

(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．

(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．

(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．