积分的对称性
积分的对称性
f(x, y) 关于 y 为奇函数： f 为奇函数：
D1 = {( x, y ) ∈ D | y ≥ 0}
xuxzmail@
( x, − y ) ≡ − f ( x, y ) f(x, y) 关于 y 为偶函数：f ( x, − y ) ≡ f ( x, y ) 为偶函数：
四川大学数学学院 徐小湛
April 2011
积分的对称性 11
推论1 推论 若 D 关于 x 轴 和 y 轴都对称 且 f(x, y) 关于 x 和 y 均为偶函数
则
D
D1
∫∫ f ( x, y)dxdy = 4∫∫ f ( x, y)dxdy
D
D1
D1 = {( x, y ) ∈ D | x ≥ 0, y ≥ 0}
xuxzmail@
D2 D1 D1
所以
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y)dxdy + ∫∫ f ( x, y)dxdy
D D1 D2
= 2 ∫∫ f ( x, y )dxdy
D1
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积分的对称性 17
利用积分区域的对称性 和被积函数的奇偶性 计算三重积分 计算三重积分
Ω1 Ω2
xuxzmail@
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积分的对称性 22
若 f (x, y, −z) ≡ f (x, y, z)
则∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫∫ dσ ∫
Ω2 D
ψ ( x, y ) ϕ ( x, y )
f ( x, y , z )dz
a D 交换积分变量x ,y b
01-积分的奇偶对称性
积分的奇偶对称性----定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分.)(2)()()2(;0)()()1(],,[0⎰⎰⎰==-∈--aa a a a dx x f dx x f x f dx x f x f a a C f 为偶函数，则若为奇函数，则若设01 定积分的奇偶对称性.),(2),(),,(),(),()2(;0),(),,(),(),()1(,,,),(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰==-=-=-+=D D Ddxdy y x f dxdy y x f y x f y x f x y x f dxdy y x f y x f y x f x y x f y D D D D D D y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，关于上连续在有界闭区域设02 二重积分的奇偶对称性.),(2),(),,(),(),()4(;0),(),,(),(),()3(,,,),(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰==-=-=-+=D D Ddxdy y x f dxdy y x f y x f y x f y y x f dxdy y x f y x f y x f y y x f x D D D D D D y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，关于上连续在有界闭区域设02 二重积分的奇偶对称性03 三重积分的奇偶对称性;),,(2),,(),,,(),,(),,()2(;0),,(),,,(),,(),,()1(,,,),,(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==-=-=-ΩΩΩ+Ω=ΩΩdxdydz z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f z z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f z z y x f xoy z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在有界闭区域设;),,(2),,(),,,(),,(),,()4(;0),,(),,,(),,(),,()3(,,,),,(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==-=-=-ΩΩΩ+Ω=ΩΩdxdydz z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f x z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f x z y x f yoz z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在有界闭区域设03 三重积分的奇偶对称性;),,(2),,(),,,(),,(),,()6(;0),,(),,,(),,(),,()5(,,,),,(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==-=-=-ΩΩΩ+Ω=ΩΩdxdydz z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f y z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f y z y x f zox z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在有界闭区域设03 三重积分的奇偶对称性04 第一类曲线积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰==-=-=-+=1),(2),(),,(),(),()2(;0),(),,(),(),()1(,,,),(2121L L Lds y x f ds y x f y x f y x f x y x f ds y x f y x f y x f x y x f y L L L L L L y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，关于上连续在平面曲线设04 第一类曲线积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰==-=-=-+=1),(2),(),,(),(),()4(;0),(),,(),(),()3(,,,),(2121L L Lds y x f ds y x f y x f y x f y y x f ds y x f y x f y x f y y x f x L L L L L L y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，关于上连续在平面曲线设05 第一类曲面积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==-=-=-∑∑∑+∑=∑∑1),,(2),,(),,,(),,(),,()2(;0),,(),,,(),,(),,()1(,,,),,(2121dS z y x f dS z y x f z y x f z y x f z z y x f dS z y x f z y x f z y x f z z y x f xoy z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在曲面设05 第一类曲面积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==-=-=-∑∑∑+∑=∑∑1),,(2),,(),,,(),,(),,()4(;0),,(),,,(),,(),,()3(,,,),,(2121dS z y x f dS z y x f z y x f z y x f x z y x f dS z y x f z y x f z y x f x z y x f yoz z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在曲面设05 第一类曲面积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==-=-=-∑∑∑+∑=∑∑1),,(2),,(),,,(),,(),,()6(;0),,(),,,(),,(),,()5(,,,),,(2121dS z y x f dS z y x f z y x f z y x f y z y x f dS z y x f z y x f z y x f y z y x f zox z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在曲面设。
对称性在定积分的应用原理有哪些
对称性在定积分的应用原理有哪些1. 引言定积分是微积分的一个重要概念，用于计算曲线下方面积、体积等问题。
在定积分的计算过程中，对称性是一个非常有用的工具，可以简化计算，并提供更加直观的解释。
本文将介绍对称性在定积分中的应用原理。
2. 对称性的定义对称性是指某种规律或性质在变量改变时保持不变的特性。
在定积分中，常见的对称形式包括奇偶对称和周期性对称。
2.1 奇偶对称函数f(x)在区间[-a,a]上的奇偶对称性定义如下：•若f(-x)=-f(x)，则函数f(x)在区间[-a,a]上具有奇对称性；•若f(-x)=f(x)，则函数f(x)在区间[-a,a]上具有偶对称性。
2.2 周期性对称函数f(x)在区间[a,b]上的周期性对称性定义如下：•若存在正整数T，使得f(x+T)=f(x)，则函数f(x)在区间[a,b]上具有周期性对称性。
3. 对称性在定积分中的应用原理对称性在定积分中有许多应用原理，主要包括减少计算量、简化积分表达式和提供直观解释。
3.1 减少计算量利用对称性可以将积分区间减半，从而减少计算量。
例如，若函数f(x)在区间[-a,a]上具有奇对称性，则可以利用对称性将积分区间变为[0,a]，计算结果乘以2即可得到在[-a,a]上的定积分值。
3.2 简化积分表达式对称性还可以帮助我们简化积分表达式。
例如，若函数f(x)在区间[-a,a]上具有偶对称性，则可以将定积分转化为对区间[0,a]上的函数进行积分。
这样做的好处是，可以利用积分函数在对称轴上的值和性质简化计算步骤。
3.3 提供直观解释对称性在定积分中还可以提供直观的解释。
例如，考虑函数f(x)在区间[0,a]上具有周期性对称性，可以将函数的周期范围内的积分结果乘以周期次数，得到整个区间的定积分值。
这样做的好处是，可以将定积分问题转化为周期性函数的积分问题，从而更容易理解和解决。
4. 实例分析为了更好地理解对称性在定积分中的应用原理，我们以一个具体的实例进行分析。
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
二重积分积分的对称性
积分的对称性:二重积分二重积分主要是看积分函数的奇偶性，如果积分区域关于X 轴对称考察被积分函数Y 的奇偶，如果为奇函数，这为0，偶函数这是其积分限一半的2倍。
如果积分区域关于y 轴对称考察被积分函数x 的奇偶.
三重积分也有奇偶性，但是有差别，要看积分区域对平面的对称性，即 xoy xoz yoz
计算确定的区域是由其中1,≤+=⎰⎰+Y X D d I D y x σ
此题便不可根据区域面积是否对称来做！ 积分区域D 被积函数),(y x f
1.D 关于X 轴对称，f 关于y 的奇=0；若f 关于y 是偶=2f 。
相反，则反！
2.D 关于原点对称，f 关于x,y 为奇函数=0；为偶=2f 。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。
(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。
(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。
3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、 定积分：设)(x f 在[],a a -上连续，则()()()()-00,d 2d ,a aaf x x f x x f x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.2、 二重积分：若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分()()()()10,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。
（2） 如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分()()()()20,,,d d 2,d d ,,DD f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。
（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分()()()()20,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。
（4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分()()y x x y f y x y x f DDd d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.（二重积分的轮换对称性）(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。
积分对称性
定积分对称性
a
f
(
x
)dx
2
a
f ( x)dx
0
f (x) f (x)
a
0
f (x) f (x)
二重积分对称性
D关于ox轴对称
f
(x,
y)d
2
D1
f
( x,
y)d
D
0
D关于oy轴对称
f (x,y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)
f
(x,
Q( x,
L
y)dy
2
0 Q( x,
L1
y)dy
若Q( x, y)关于x为偶函数 若Q( x, y)关于x为奇函数
第一型曲面积分对称性 S关于xoy对称
0,
若f ( x, y, z)关于z为奇函数
S
f
(x,
y, z)dS
2
S1
f
( x,
y, z)dS,若f
(x,
y, z)关于z为偶函数
若P( x, y)关于y为偶函数 若P( x, y)关于y为奇函数
Q( x,
L
y)dy
2
0 Q( x,
L1
y)dy
若Q( x, y)关于y为奇函数 若Q( x, y)关于y为偶函数
第二型曲线积分对称性
L关于oy轴对称
P(x,
L
y)dx
2
L1
0 P( x,
y)dx
若P( x, y)关于x为奇函数 若P( x, y)关于x为偶函数
(
x,
y,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
)关于x为奇函数
S关于zox对称
积分中的对称性-最新范文
积分中的对称性【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。
【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称在积分的计算过程中,当积分区域具有某种对称性时,如果被积函数具有某种特性,这时可以利用对称性简化积分的计算。
这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。
设Dn为一积分区域,所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时,有Pi(xi,xi+1,…,xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn,i=1,2,…,n。
在一元函数积分学中,我们有下面所熟悉结论：若f(x)在闭区间［-a,a］上连续,则有∫a-af(x)dx=0,f(-x)=-f(x)2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x)利用这一性质,可以简化较复杂的定积分的计算。
对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。
下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。
1对称性在重积分计算中的应用对称性在计算二重积分?Df(x,y)dσ方面的应用。
结论1若f(x,y)在区域D内可积,且区域D关于y轴（或x轴）对称,则有①?Df(x,y)dσ=0,f(x)为关于x（或y）的奇函数②?Df(x,y)dσ=2?D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。
其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。
结论2若f(x,y)在区域D内可积,且区域D关于原点成中心对称,则有：①?Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y),即f(x,y)关于原点成奇对称；②?Df(x,y)dσ=2?D1f(x,y)dσ=2?D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y),即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称,且D1+D2=0。
结论3若f(x,y)在区域D内可积,且区域D关于直线L对称,则有：①?Df(x,y)dσ=0,f(x,y)关于直线L奇对称；②?Df(x,y)dσ=2?D1f(x,y)dσ,f(x,y)关于偶对称。
关于重积分对称性的结论
关于重积分对称性的结论重积分是数学中的重要分支之一，主要用于描述空间中的各种物理量和现象。
对于重积分来说，对称性是一个非常重要的概念，可以帮助我们更好地理解重积分的性质和应用。
下面我们将从不同角度探讨重积分对称性的结论。
一、平面对称性对于平面上的图形，如果它对某一条直线对称，那么它的任何一条平行线上的函数值相等，即函数在这一条平行线上的积分相等。
具体地说，如果图形关于直线x=a对称，那么就有如下性质：$$\int_{y=a}f(x,y)\text{d}y=\int_{y=a}f(x,-y)\text{d}y$$这个式子表明，对于平面上的函数f(x,y)，如果它关于直线x=a对称，那么它在直线y=a处的积分值相等。
同样地，如果f(x,y)关于直线y=b对称，那么它在直线x=b处的积分值也相等。
显然，这个结论对于重积分的计算具有一定的帮助，可以减少计算量，提高计算效率。
二、空间对称性这个结论表明，对于空间区域f(x,y,z)，如果它关于平面z=a对称，那么它在平面z=-a处对应的积分值相等。
这个结论对于许多物理问题具有重要的意义，例如电场、磁场、重力场等。
三、轮换对称性除了平面对称性和空间对称性之外，还存在轮换对称性。
轮换对称性是指对于n维空间中的一个图形或者物体，如果它可以通过n维空间中的某些旋转操作而得到自身，那么就具有轮换对称性。
常见的轮换对称性包括正方形的旋转对称性、圆球的球面对称性等等。
对于具有轮换对称性的图形，它们在不同位置的积分值具有相同的性质，因此可以大大简化积分的计算。
四、柯西定理柯西定理是重积分对称性的一个重要推论，它是高等数学中非常著名的一个公式，可以用于计算复变函数的积分。
基本思想是利用重积分的对称性，将一个区域沿一条或者多条封闭曲线分成若干部分，通过对各个部分的积分求和得到整个区域的积分值。
总之，重积分对称性是重要的数学概念，能够帮助我们更好地理解重积分的性质和应用。
在求解具体问题时，我们可以根据题目中给出的对称性来选择合适的求解方法，提高计算的效率和准确性。
积分的轮换对称性
(2)对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可，比如： 如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0， 那 么 在 这 个 曲 面 上 的 积 分 ∫ ∫ f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz, ∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。 (3) 将(1)中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足 的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的 x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分 ∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成 y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称 。 第二类和（2）总结相同。 (4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分 域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区 间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。
例 计算
L
x
2
ds，
其中L是球面x2+y2+z2=R2与平
面x+y+z=0的交线。 解 由对称性可知
L
2
x ds
2
L
2
y ds
2
L
z ds
2
L
x ds
2
1 3
L
(x
y
2
z
) ds
1 3
L
R ds
2
1 3
R
2
2
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用对称性是数学中重要的概念之一，它的应用涉及到各个数学领域中。
在积分计算中，对称性也是一个非常重要的工具和思想，能够帮助我们简化、优化和解决复杂的积分问题。
本文将介绍对称性在积分计算中的应用，以及如何利用对称性求解各类复杂积分。
一、对称性概述对称性是指物体或者数学对象的部分或整体运动具有某种规则性的现象。
常见的对称性包括轴对称、中心对称、对角线、对边对称、等等。
对称性是自然界现象和数学理论中广泛存在的一种现象，也是数学中强有力的工具和思想。
二、对称性在积分计算中的基本应用对称性在积分计算中的使用具有以下优点：1.减少计算量：使用对称性可以将积分的计算范围缩小为对称区间内的一半，从而大大减少了计算量，简化了计算过程。
2.避免重复计算：利用对称性可以避免重复计算某些部分，减少了计算量和出错的概率。
3.提高准确度和精度：对称性具有非常清晰的数学定义和可操作性，使用对称性可以提高准确度和精度，更好地描述数学对象的性质和特征。
下面分别对轴对称、中心对称、对角线对称、对边对称等对称性进行介绍，并说明其在积分计算中的具体应用。
1.轴对称轴对称是指数学对象在某个轴线旋转180度以后不改变其形状和大小。
在数学中，轴对称包括平面上的x轴、y轴和45度斜线轴等。
轴对称在积分计算中的应用非常广泛，常见的应用包括：（1）基本函数关于坐标轴对称的性质：例如正弦函数和余弦函数关于y轴对称，正切函数和余切函数关于x轴对称。
利用这些对称性质可以简化复杂函数的积分。
（2）轮换对称性：对于一类具有一定规则性的函数，可以通过对其进行轮换得到新的函数，这样可以将原函数分成几个对称的部分，从而提高计算效率。
例如，对于函数f(x,y) = x + y的积分计算，因为其具有xy的轮换对称性，可以将其分解成两部分f1(x,y) = x和f2(x,y) = y，从而使积分计算简化。
（3）利用轴对称性质求偶函数和奇函数的积分：如果f(x)是关于y轴对称的偶函数，则∫f(x)dx从-x到x之间的积分等于2∫f(x)dx从0到x之间的积分，即∫-xf(x)dx = 2∫0f(x)dx如果f(x)是关于y轴对称的奇函数，则∫f(x)dx从-x到x之间的积分等于0。
曲线积分曲面积分的对称性
一、曲线积分的对称性① 关于弧长的曲线积分。
有奇偶对称性和轮换对称性。
奇偎对称性:设积分曲线弧关于y 轴对称,则rhf /（对刀山，当2、小关于工为偶函数 J=］几1Lb, 当心、心关于为为奇函数. 英中在’轴右侧的部分.若L 关于R 轴对称，则有类似结论•轮换对称性:设积分曲线孤L 关于直线y -工对称，则了)d$ = J/(>,兀〉山.② 关于地标的乎面曲线积分•有奇偶对称性•奇偶对称性；若L 关于y 轴对称，则 f 2〔 P （x, j ）dx, F （s 》＞血=］仏J J L h,其中轴右侧的部分.若L 夬于文轴对称，则f ［2（ P （H,，）d4 j P （=,，）dz = y L 2L b,其中乙2为L 在文轴上侧的部分・关于\Q （x,y ）dy 亦有类似结论.③ 关二坐标的空间曲线积分•有奇偶对称性. 奇偶对称性:若F 关于心 面对称，则2 z ）dx, Jr i0,其中巧为I*在垃y 面上方的部分.若厂关于.：Qz 面对称，则2|z ）dLr ・ 符别有^/( X )ds 二 5 )ds.当PG Q 〉关于工为偶函数当关于力为奇函数 当关于夕为奇函数当PR”）关于y 为偶画数 £(巾 j, z)dx = 当P （孙八幻关于乂为奇函效 当Pg*关于2为偶函数当PQ,""）关于工为偶西数当FQ”, z ）关于，为奇函数Jr20,其中&为尸在妙面前方的部分•若厂关于25面射称，则fM P(z,g)dg 当P(z,y,2〉关于』为奇函数 J f P(x,y ^)d.r "3r b 当P(^.y^)关于•为偶函数其中C 为F 在以直面右方的部分.关于仁(2(巧屏,z)dy 及|^jR[x,y, z)dz 有类似结论•二、曲面积分的对称性®关于面积的曲面积分奇偶对称性:按工关于戈Qy 面对称，则|‘2『/(x,y^)d5,当/(…“)为农的偶函数, J /(JE ,y,z)dS = y 莒S 0»当V, X)为Z 的奇函数.②关于坐标的曲面积分奇偶对称性：设工关于乂氏面对称.则Q(rr, y Q)dzdLr 与『R(r, y. x)d^dy 有类似结论• 轮换对称性：若》关于工,％2对称，则 ^P(x,y y z)dydz =『P(z,朮，y)(h?dy - 特别有JJ'P C X )dydz 二 j[p(3i )d«dac = T P ( «)dxdj.2 15 0,x f y,z)dydz =当P(x, “黑)为 当 z)为 乂的奇函数， Z 的偶函数. THJS于 对,z, x)d^djr.。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分
【实用版】
目录
1.积分区域关于原点对称的二重积分的定义
2.积分区域关于原点对称的二重积分的性质
3.积分区域关于原点对称的二重积分的计算方法
4.积分区域关于原点对称的二重积分的应用实例
正文
一、积分区域关于原点对称的二重积分的定义
在数学中，二重积分是一种对空间内数值函数进行积分的方法。
当积分区域关于原点对称时，我们可以称之为积分区域关于原点对称的二重积分。
在这种情况下，我们可以利用对称性进行简化计算。
二、积分区域关于原点对称的二重积分的性质
积分区域关于原点对称的二重积分具有以下性质：
1.对称性：若 f(x,y) 关于原点对称，即 f(x,y)=f(-x,-y)，则其二重积分也关于原点对称。
2.线性性：若 f(x,y) 和 g(x,y) 分别关于原点对称，则
f(x,y)+g(x,y) 和 f(x,y)-g(x,y) 的二重积分也关于原点对称。
三、积分区域关于原点对称的二重积分的计算方法
对于积分区域关于原点对称的二重积分，我们可以采用以下方法进行计算：
1.变量代换：利用极坐标系或球坐标系进行变量代换，将二重积分转化为单重积分。
2.对称性利用：根据函数的对称性，将积分区间分为两部分，并对其
中一部分进行简化。
3.分部积分：利用分部积分公式，将二重积分转化为两个单重积分的和。
四、积分区域关于原点对称的二重积分的应用实例
积分区域关于原点对称的二重积分在物理、工程等领域具有广泛的应用，例如求解质心、转动惯量等问题。
通过运用对称性和合适的计算方法，可以简化计算过程，提高计算效率。
积分的对称性
积分的对称性在数学中，积分的对称性是一个重要的概念。
它指的是积分的值在某些变换下不变。
这些变换可以是几何变换，如旋转、平移、反射等，也可以是数学变换，如代数变换和微积分操作。
积分的对称性不仅有理论价值，而且在实际应用中也具有广泛的意义。
一、平移对称性平移对称性是指在平移变换下，积分的值不变。
具体地说，设$f(x)$是一个定义在实数轴上的函数，$a$是任意实数，则有：$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}f(x+a)dx$$这个结论表明，在积分中，我们可以通过平移变换来改变积分的区间，而不影响积分的值。
这在积分的计算中经常会用到。
二、旋转对称性旋转对称性是指在旋转变换下，积分的值不变。
具体地说，设$f(x,y)$是一个定义在平面上的函数，$a\in[0,2\pi]$是任意实数，则有：$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x'\cos a-y'\sin a,x'\sin a+y'\cos a)dxdy$$这个结论表明，在积分中，我们可以通过旋转变换来改变积分的求和顺序，而不改变积分的值。
这在二重积分和三重积分中经常会用到。
三、对称函数的积分为零对称函数的积分为零是指对于一个偶函数或奇函数，其积分在对称轴之间的区间上等于零。
例如，对于一个偶函数$f(x)$，其对称轴是$y$轴，则有：$$\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx=0$$同样地，对于一个奇函数$f(x)$，其对称轴是原点，则有：$$\int_{-a}^af(x)dx=0$$这个结论表明，在计算偶函数和奇函数的积分时，我们可以将积分区间缩小到对称轴的一侧，从而简化计算。
三重积分的对称性和奇偶性
三重积分的对称性和奇偶性三重积分是数学中重要的一种计算方法，其利用曲面积分来计算空间中所围成的体积、质心等物理量。
在计算三重积分时，我们经常需要利用对称性和奇偶性进行化简，从而简化计算难度。
一、对称性的应用对称性是指存在某种变换，将函数的值保持不变。
在三重积分中，我们通常考虑以下对称性。
1.轴对称性若被积函数 $f(x,y,z)$ 满足轴对称性，则满足以下条件：$$f(x,y,z)=f(-x,y,z)=-f(x,-y,z)=-f(x,y,-z)$$其中$x$ 轴、$y$ 轴和$z$ 轴分别是三维空间中的三个坐标轴。
此时，我们可以将三重积分化为两个重积分，从而简化计算。
例如，如果我们要计算一个坐标轴对称的球体的体积，我们可以使用如下公式：$$V=\frac{1}{2}\iiint\limits_D f(x,y,z)dxdydz$$其中 $D$ 表示球体体积。
利用轴对称性，我们可以将三重积分化为两个重积分，如下所示：$$V=2\iint\limits_R\int\limits_{-z}^z f(x,y,z)dxdydz$$其中 $R$ 表示一个 $yOz$ 平面上的圆盘区域。
2.面对称性若被积函数 $f(x,y,z)$ 满足面对称性，则满足以下条件：$$f(x,y,z)=f(x,-y,z)=f(-x,y,z)=f(x,y,-z)$$此时，我们可以将三重积分化为四个重积分，从而简化计算。
例如，如果我们要计算一个坐标面对称的长方体的体积，我们可以使用如下公式：$$V=\frac{1}{4}\iiint\limits_D f(x,y,z)dxdydz$$其中 $D$ 表示长方体体积。
利用面对称性，我们可以将三重积分化为四个重积分，如下所示：$$V=4\iint\limits_R\iint\limits_{S_1}f(x,y,z)dS_1dxdydz$$其中 $R$ 表示一个 $zOy$ 平面上的矩形区域，$S_1$ 表示一个$zOx$ 平面上的矩形区域。
积分对称性定理
曲面 1取前侧，在 yoz后半空间的部分曲面 2 取后侧，则
P x, y, z dxdy
0,
P x, y, z 关于x是偶函数,
2 P x, y, z dydz, P x, y, z 关于x是奇函数.
1
（3）设分片光滑的曲面 关于 xoz 坐标面对称，且 在 xoz 右半空间的部分 曲面 1取右侧，在 xoz 左半空间的部分曲面 2 取左侧，则
f x, y ds
L
0,
f x, y 为x的奇函数,
2 f x, y ds, f x, y 为x的偶函数. L1
（2）若分段光滑平面曲线 L 关于 x 轴对称，且 f x, y 在 L 上为连续函
数， L1 为 L 位于 x 轴上侧的弧段，则
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3
—
f x, y ds
L
0,
f x, y 为y的奇函数,
4
—
位于 xoy上侧 z 0的部分曲面，则
f x, y, z dS
0,
f x, y, z 为z的奇函数,
2 f x, y, z dS, f x, y, z 为z的偶函数.
1
曲面关于 yoz, xoz坐标平面对称也有类似的性质。
7、第二类曲面积分的对称性
设函数 P( x, y, z) , Q (x, y, z) , R( x, y, z) 在分片光滑的曲面 上连续，
—
f x, y dxdy
D
0,
f x, y 为x的奇函数 ,
2 f x, y dxdy, f x, y 为x的偶函数 .
D2
其中： D2 为 D 满足 x 0 的右半平面区域。 （3） 如果积分区域 D 关于原点对称， f ( x, y) 为 x, y 的奇（或偶）函
第一型曲线积分对称性
第一型曲线积分对称性
第一型曲线积分的对称性是数学中的一个重要概念，也是生活中的一个重要原则。
通过熟练掌握第一型曲线积分的对称性，可以在日常生活中更好地利用它来确保我们的生活会更加有序和富有意义。
首先，我们必须说到“对称”这个概念。
“对称”是指一个图形或物体左右完
全相等，或者左右两个部分完全一致。
所以，我们可以把第一型曲线积分的对称性理解为，在符合一定函数的条件下，把任意一个曲线分成两部分，这两部分数值相同。
在日常生活中，我们可以灵活运用第一型曲线积分的对称性来改善我们的生活。
例如：在设计室内空间的时候，我们可以发现，如果两边的家具或家电设置的比例是一致的，空间会显得更加舒适。
在拍摄照片的时候，也可以通过第一型曲线积分的对称性来调和照片中的画面，让照片更加美观大方。
综上所述，第一型曲线积分的对称性不仅在数学上，也在生活上占据了一席之地。
只要我们正确运用它，就可以让我们的生活显得更加美好而有序。
对称性在积分计算中的
对称性在积分计算中的
积分作为数学中的重要科学概念，在很多领域都有广泛的应用。
从数学的角度来看，积分计算的精确性取决于复杂的数学方法以及计算机技术的发展。
合理有效的积分计算，不仅要求搞清楚具体问题，更要熟悉其中的数学原理，针对性地求解问题。
在积分计算中，对称性作为一种重要的理论，具有重要的应用。
它可以帮助我们把一些复杂的积分变为更容易计算的形式。
其基本原理在于，若一函数具有对称性，即对自身的一次变换，它的函数值不变，则可以以不同的方式进行积分计算，有助于减少计算复杂度，提高计算效率。
首先，可以将含有一种对称性的函数进行变换，使其具有另一种表示形式。
比如，正弦函数是一种典型的对称函数，它可以通过指数变换来表示，这样可以大大降低复杂度，提高计算的效率。
其次，可以根据对称性，将积分函数划分为几个部分，进行分别求积。
比如，双曲线曲线的函数有对称性，可以将其划分为两个部分，分别求它们的积分，这样可以大大减少所需要计算的数量。
另外，对称性也可以用来优化其他类型的积分函数。
比如，可以使用对称性来求解二维积分，即将二维函数划分为若干边缘和角度，分别求它们的积分，从而有效地加速计算，提高效率。
此外，还可以利用对称性来解决非线性方程，比如可以将非线性方程组拆分成N维和1维空间，分别进行求解，从而减少计算量。
总的来说，对称性是积分计算的一种重要理论，它可以有效地帮
助我们把一些复杂的积分变为更容易计算的形式，达到减少计算量，提高效率的目的。
未来，随着计算机技术的不断发展，应用对称性能够有效提高积分计算的精度，为更复杂的科学研究提供更有效的支持。
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定积分的对称性
当 f ( x ) 在[ a , a ]上连续，则有
f ( x )dx f ( x ) f ( x )dxБайду номын сангаас a 0
a a
且有
① f ( x ) 为偶函数，则
a f ( x )dx 20
a
a
f ( x )dx ；
a
② f ( x ) 为奇函数，则 a f ( x )dx 0 .
L
L
( 2)当 f ( x , y ) f ( x , y )时 f ( x , y )ds 2 f ( x , y )ds
L1
其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段
L1 ( x , y ) | ( x , y ) L , x 0
②若L关于 x 轴对称
(1) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 f ( x , y )ds 0
1 ( x , y , z ) | ( x , y, z ) , z 0 ② 若 关于 xoz 面对称
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
对 I f ( x , y , z )dv
① 若 关于 xoy 面对称 (1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z , ) 时 I 0
( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时 I 2 f ( x , y , z )dv
1
I 2 f ( x , y , z )dv
2 ( x , y, z ) | ( x , y, z , y 0)
③ 若 关于 yoz 面对称
2
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
D3
①、②、③简单地说就是 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于 对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍， 完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质
三重积分的对称性
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性．
一般地，当积分区域 关于 xoy 平面对称，且 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数，则 三重积分为 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
L
( 2) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 f ( x , y )ds 2 f ( x , y )ds
L L2
其中L2 是L 的关于x 轴对称的部分弧段
L2 ( x , y ) | ( x , y ) L , y 0
③若 L 关于 原点 对称
(2)当f ( x, y ) f ( x, y )时 I 2 f ( x , y )dxdy
D2 ( x , y ) D, y 0
D2
②若D关于 y 轴对称
(1)当f ( x, y ) f ( x, y )时 I 0
( 2)当f ( x , y ) f ( x , y )时 I 2 f ( x , y )dxdy
二重积分的对称性
利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积 分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积 分函数和积分区域两个方面，不可误用
I f ( x , y )dxdy
D
①若D关于 x 轴对称
(1)当f ( x , y ) f ( x , y )时 I 0
f ( x , y , z )dS 2 f ( x , y , z )dS
1
其中 1 是 位于对称坐标面一侧的 部分
与重积分的对称性十分类似
对面积的曲面积分的对称性
对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性
设 对称于xoy （或yoz ，或 zox ）坐标面
若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是奇函数
则 f ( x , y , z )dS 0
若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是偶函数
I 2 f ( x , y , z )dv
3
3 ( x , y, z ) | ( x , y, z ) , x 0
对弧长的曲线积分的对称性
对 f ( x , y )ds
L
①若 L 关于 y 轴对称
(1) 当 f ( x , y ) f ( x , y )时 f ( x , y )ds 0
(1) 当 f ( x , y ) f ( x , y )时 f ( x , y )ds 0
L
( 2) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时
L f ( x, y)ds 2L
f ( x , y )ds
3
其中 L3 是 L 的对称的部分弧段
L3 ( x , y ) | ( x , y ) L , x 0 y 0
D1 ( x, y ) ( x, y ) D, x 0 D
1
③若D关于原点对称
(1) 当f( x, y) f( x, y) 时I 0 (2)当f ( x, y ) f ( x , y )时 I 2 f ( x , y )dxdy
D3 ( x, y ) D, x 0, y 0