第3课时 力与曲线运动(一)——平抛运动模型

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命题角度二 多物体的平抛运动问题 【例2】 如图2是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个小
球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出。不计空气阻力，则( ) A.a和b的飞行时间相同 B.b的飞行时间比c的短 C.a的水平初速度比b的小 D.c的水平初速度比a的大
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图6 (1)求P、O两点间的电势差； (2)粒子进入电场E1时，在电场E1某位置静止释放另外一个完全相同的带电粒子， 使两粒子在离开电场前相遇，若相遇时所需时间最长，求在电场E1静止释放粒 子的位置坐标。
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解析 (1)带电粒子由 P 点运动到 O 点，根据动能定理有 qUPO＝12mv0 2 解得UPO＝500 V。 (2)粒子在进入电场E1后做类平抛运动，设离开电场E1时与O点的距离为L，如图 所示，则
向的夹角相同，则其与斜坡夹角也相同，选项 C 错误；根据动能定理得 mgy1＝Ek1
－
1 2
mv
20，
mgy2
＝Ek2
－12m
v202，
则运动
员前
、后两
次到
达斜
坡上时
的动
能
之比
为
Ek1∶Ek2＝gyg2y＋1＋1212v2v0202＝4∶1，选项 D 正确。
答案 BD
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解析 (1)设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a。根据牛顿第二定律、 运动学公式和题给条件，有 mg＋qE＝ma① 12a2t 2＝12gt2② 解得 E＝3mq g。③ (2)设B从O点发射时的速度为v1，到达P点时的动能为Ek，O、P两点的高度差为h， 根据动能定理有 mgh＋qEh＝Ek－12mv1 2④
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命题角度一 带电粒子在电场中的类平抛运动 【例 1】 (2019·全国卷Ⅲ，24)空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P 是电
场中的两点。从 O 点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为 m 的小球 A、 B。A 不带电，B 的电荷量为 q(q>0)。A 从 O 点发射时的速度大小为 v0，到达 P 点所用时间为 t；B 从 O 点到达 P 点所用时间为2t 。重力加速度为 g，求： (1)电场强度的大小； (2)B 运动到 P 点时的动能。
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3.必须辨明的“2个易错易混点” (1)两个直线运动的合运动不一定是直线运动； (2)做平抛运动的物体，速度方向与位移方向不相同。
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命题角度一 平抛运动的规律
【例1】 如图1所示，网球运动员发球时以某一速度将球水平击出，网球飞行一段
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1.(多选)如图 4 所示，将 a、b 两小球以大小均为 10 6 m/s 的初速度分别从 A、B 两点相差 1 s 先后水平相向抛出(A 点比 B 点高)，a 小球从 A 点抛出后，经过时间 t，a、b 两小球恰好在空中相遇，此时速度方向相互垂直，不计空气阻力，取 g＝ 10 m/s2。则从 a 小球抛出到两小球相遇，a 小球下落的时间 t 和高度 h 分别是( )
A.t＝2 s
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B.t＝3 s
图4 C.h＝45 m
D.h＝20 m
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解析 a经过t时间两球的速度方向相互垂直，此时b运动时间为(t－1) s， 如图所示，根据几何关系可得，对 a 球：tan θ＝vgt0；
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对 b 球：tan θ＝g（tv－0 1），代入数据得 t＝3 s。 下落的高度 h＝12gt2＝12×10×32 m＝45 m。 答案 BC
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第3课时 力与曲线运动(一)——平抛运动模型
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物体的平抛运动
1.必须夯实的“2个基础点和1个模型” (1)运动的合成与分解、平抛运动的特点及规律； (2)平抛运动模型。
2.必须领会的“3种物理思想和3种方法” (1)分解思想、临界值的思想、等效思想； (2)假设法、合成法、正交分解法。
A.使 U2 加倍 C.使 U2 变为原来的 2倍
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图7 B.使 U2 变为原来的 4 倍
D.使 U2 变为原来的12
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解析 设平行金属板的长度为 L，板间距离为 d，则偏转距离 y＝4Ud2UL21。U1 加倍后， 若使电子的运动轨迹不发生变化，即 y 不变，则必须使 U2 加倍。选项 A 正确。 答案 A
图8
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(1)电场E2的电场强度； (2)A点的位置坐标； (3)到达D点时小球的动能。 解析 (1)小球在第二象限内静止，则有 mg＝qE2sin 45° 解得 E2＝ 2qmg。 (2)设进入第一象限的初速度为v0，在第二象限内由动能定理可得
qE2cos 45°l＝12mv0 2
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解得 v0＝ 2gl
设A点的坐标为(x，y)，由于A点在第一象限角平分线上，则有y＝x
小球进入第一象限的电场，做类平抛运动，
x＝v0t，qE1＋mg＝ma 6l－y＝12at2 由以上各式可得x＝2l
时间后落地。若不计空气阻力，则( )
A.初速度越大，球在空中飞行的时间越长
B.下落过程中球处于超重状态
C.下落过程中重力对球做功的功率不变
图1
D.下落过程中相同时间内球的速度变化量相同
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解析 网球运动员发球时以某一速度将球水平击出，网球做平抛运动，根据平 抛运动规律可知，初速度与球在空中飞行的时间无关，选项A错误；网球在下落 过程中，加速度方向竖直向下，处于失重状态，选项B错误；下落过程中网球竖 直方向的分速度逐渐增大，根据功率公式可知，重力对球做功的功率逐渐增大， 选项C错误；网球下落过程中加速度不变，根据加速度的定义可知，相同时间内 球的速度变化量相同，选项D正确。 答案 D
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命题角度三 平抛运动与斜面结合问题 【例 3】 (多选)冬季滑雪是人们喜欢的一种运动。如图 3 所示，某运动员从斜坡顶
端 A 点沿水平方向以初速度 v0 滑出，恰好落在斜坡底端 B 点，已知斜坡倾角为 θ，不计空气阻力，若运动员水平初速度的大小改为v20，方向不变，再次从 A 点 滑出，下列说法正确的是( )
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故M点的横坐标为xM＝OM·cos 30°
M点的纵坐标为yM＝OM·sin 30°
解得静止释放另一带电粒子的位置坐标为34
m，
3 4

m。

答案
(1)500 V
3 (2)4
m，
3 4

m

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1.如图7所示，静止的电子在加速电压U1的作用下从O经P板的小孔射出，又垂直进 入平行金属板间的电场，在偏转电压U2的作用下偏转一段距离。现使U1加倍，要 想使电子的运动轨迹不发生变化，应该( )
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Lcos 30°＝v0t Lsin 30°＝q2Em1t2 解得L＝1 m 由于两粒子完全相同，所以只需在带电粒子进入电场E1时的速度方向所在的直线 上的OM段上任一点释放粒子，均可使两者在离开电场前相遇，若相遇所需时间 最长，则应在M点静止释放另一带电粒子。 OM＝Lcos 30°
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2.位于竖直平面内的直角坐标系 xOy，x 轴沿水平方向，第一象限的角平分线 OA 的上方存在有界匀强电场，电场强度 E1＝3mq g，方向竖直向下，第二象限内有另 一匀强电场 E2，电场方向与 x 轴正方向成 45°角斜向上，如图 8 所示。有一质量 为 m、电荷量为＋q 的带电小球在水平细线的拉力作用下恰好静止在坐标(－l， 6l)的 P 处。现剪断细线，小球从静止开始运动，先后经过两电场后，从 A 点进 入无电场区域，最终打在 x 轴上 D 点，已知重力加速度为 g，试求：
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2.在某次“飞车表演”特技活动中，表演汽车连同驾驶员的总质量为1.2×103 kg，先 通过一个斜面加速，斜面的末端平滑连接一个半径为R＝160 m 的曲面路面，汽车 在最高点A处恰好腾空飞离路面，而后沿水平方向飞出，如图5所示，空气阻力忽略 不计，最后汽车垂直撞在安全接收区搭建的斜面上，斜面的倾角为53°，重力加速 度g取10 m/s2，(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)则：
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带电粒子在电场中的偏转 1.必须领会的“4种方法和2种物理思想”
(1)对称法、合成法、分解法、临界法； (2)等效思想、分解思想。 2.必须辨明的“3个易错易混点” (1)带电粒子通过不同场区的交界处时的速度，既是前一个区域的末速度，也是后 一个区域的初速度； (2)带电体的重力是否忽略要根据具体问题确定； (3)要注意挖掘题目中的隐含条件，比如“恰好”“最大”“最高”“至少”等词 汇。
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且有 v1·2t ＝v0t⑤ h＝12gt2⑥ 联立③④⑤⑥式得 Ek＝2m(v0 2＋g2t2)。 答案 (1)3mq g (2)2m(v0 2＋g2t2)
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命题角度二 带电粒子在组合电场中的类平抛运动
【例 2】 如图 6 所示，在平面直角坐标系 xOy 的第一、三象限分别存在匀强电场 E1、E2，电场 E1 的场强大小 E＝43×103 V/m，方向与 x 轴负方向成 60°角斜向下。 电场 E2 的场强大小未知，方向与 x 轴负方向成 30°角斜向上。比荷为 1.0×105 C/kg 的带正电粒子从第三象限的 P 点由静止释放，粒子沿 PO 做匀加速直线运动，到 达 O 点的速度为 104 m/s。不计粒子的重力。
图5
(1)汽车腾空前瞬间的速度多大？
(2)汽车在空中飞行的时间？
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(3)汽车从腾空到落在斜面上，在水平方向上运动的距离多大？
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解析 (1)对汽车在路面最高点 A 有 mg＝mvR2 整理代入数据得 v＝ gR＝40 m/s。
(2)汽车腾空后可看成做平抛运动， 则由题得 v⊥＝gt＝tanv53°＝30 m/s，t＝3 s。 (3)对汽车，水平方向上有x＝vt＝120 m。 答案 (1)40 m/s (2)3 s (3)120 m
图2
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解析 由题图可知 b 下落的高度比 a 的大，根据 t＝ 2gh可知，b 飞行的时间较长， 根据 v0＝xt ，可知 a、b 的水平位移相同，则 a 的水平初速度比 b 的大，选项 A、C 错误；b 下落的高度比 c 的大，则 b 飞行的时间比 c 的长，选项 B 错误；a 下落的 高度比 c 的大，则 a 飞行的时间比 c 的长，根据 v0＝xt ，可知 a、c 的水平位移相同， 则 a 的水平初速度比 c 的小，选项 D 正确。 答案 D
图3
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A.运动员前、后两次到达斜坡上的位移之比为 2∶1 B.运动员前、后两次到达斜坡上的时间之比为 2∶1 C.运动员前、后两次到达斜坡上时速度方向与斜坡夹角之比为 2∶1 D.运动员前、后两次到达斜坡上时的动能之比为 4∶1 题眼点拨
建模 ①“沿水平方向以初速度 v0 滑出”――→运动员做平抛运动
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②“两次都落在该斜面上”信―息―转→化
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解析 由题意知，运动员从 A 点滑出后做平抛运动，设运动员前、后两次做平抛运
动的水平、竖直位移分别是 x1、x2 和 y1、y2，则 tan θ＝xy11＝xy22，又xy11＝2gvt10，可知运 动员前、后两次到达斜坡上的时间之比 t1∶t2＝2∶1，所以水平位移之比 x1∶x2＝ 4∶1，竖直位移之比 y1∶y2＝4∶1，则运动员前、后两次到达斜坡上的位移之比也 为 4∶1，选项 A 错误，B 正确；运动员前、后两次落到斜坡上时速度方向与水平方