高等数学B(二)2012-2013(B)解答
2012年考研数学二真题和答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -【答案】：（C ） 【解析】：''22()(2)()(1)(2)()xxnx x x nxf x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。
（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim nn s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
反之，{}n a 收敛，{}n s 却不一定有界，例如令1n a =，显然有{}n a 收敛，但n s n =是无界的。
高等数学B(2)普通教学班考试大纲
《高等数学B2》考试大纲（普通教学班）适用专业：经济与管理各专业教材：《经济数学-微积分新编》，侯吉成主编，清华大学出版社，2014年参考书目：《经济数学-微积分》（第二版），吴传生主编，高等教育出版社，2009年。
一、考试的方式与题型考试方式：闭卷，考试时间120分钟题型：选择（15%）、简答题（15%）、计算题（49%）、应用题（14%）、证明题（7%）单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案。
简答题只要求简单地写出解题过程和结果。
计算题、应用题和证明题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程。
难度：基础题（1个知识点）：提高题（2个知识点）：综合题（3个及以上知识点）=5:3:2内容: 常微分方程（20%）；差分方程（14%）；无穷级数（20%）；向量代数与空间解析几何（12%）；多元函数微分学（22%）；多元函数积分学（12%）二、考试的目的和要求依据课程教学大纲要求，通过本课程的学习，要求学生比较系统地理解经济数学的基本概念和基本理论，掌握经济数学的基本方法，要求学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试的内容和要求（一）常微分方程（一）一阶微分方程考试内容：（1）微分方程的定义阶解通解初始条件特解；（2）可分离变量的方程；（3）一阶线性方程。
考试要求：（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解；（2）掌握可分离变量方程的解法；（3）掌握一阶线性方程的解法。
（二）二阶线性微分方程考试内容：（1）二阶线性微分方程解的结构（2）二阶常系数齐次线性微分方程（3）二阶常系数非齐次线性微分方程考试要求：（1）了解二阶线性微分方程解的结构。
（2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
（3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（非齐次项限定为ax n e x P x f )()(=，其中)(x P n 为x 的n 次多项式。
考研_2013考研数学二真题及参考答案
2021考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 〔1〕设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，那么当0x →时，()x α是〔 〕〔A 〕比x 高阶的无穷小 〔B 〕比x 低阶的无穷小 〔C 〕与x 同阶但不等价的无穷小 〔D 〕与x 等价的无穷小〔2〕设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，那么2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦〔 〕〔A 〕2 〔B 〕1 〔C 〕1- 〔D 〕2- 〔3〕设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，那么〔 〕〔A 〕x π= 是函数()F x 的跳跃连续点 〔B 〕x π= 是函数()F x 的可去连续点〔C 〕()F x 在x π=处连续但不可导 〔D 〕()F x 在x π=处可导〔4〕设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，假设反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，那么〔 〕〔A 〕2α<- 〔B 〕2α> 〔C 〕20α-<< 〔D 〕02α<< 〔5〕设()yz f xy x=，其中函数f 可微，那么x z z y x y ∂∂+=∂∂〔 〕 〔A 〕2()yf xy ' 〔B 〕2()yf xy '- 〔C 〕2()f xy x 〔D 〕2()f xy x- 〔6〕设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的局部，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，那么〔 〕〔A 〕10I > 〔B 〕20I > 〔C 〕30I > 〔D 〕40I > 〔7〕设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，假设,B AB C =则可逆，则 〔A 〕矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价〔B 〕矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 〔C 〕矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 〔D 〕矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价〔8〕矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为〔A 〕a 0,b 2== 〔B 〕为任意常数b a ,0= 〔C 〕0,2==b a 〔D 〕为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10)设函数()xf x -=⎰，那么()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，那么L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩上对应于1t =的点处的法线方程为 ．(13)321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．〔14〕设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，假设ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔15〕〔此题总分值10分〕当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案
解：
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
北 方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分） ， 1．设 z = arctan 解：
y ，求 dz ． x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ ， ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解：
x2 y2 − ． 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程（不考虑摩擦） ．
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流．因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5．求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x ． 解： 先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 ．其特征方程为 r + 4 = 0 ，得其解为 r1 = 2i ， r2 = −2i ．因而对
2012年考研数学二真题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】：（C ） 【解析】：''22()(2)()(1)(2)()xxnx x x nxf x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。
（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim nn s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
反之，{}n a 收敛，{}n s 却不一定有界，例如令1n a =，显然有{}n a 收敛，但n s n =是无界的。
高数B2复习总结(附答案)
高数B(2)考试相关问题及复习总结一、 考试相关问题1、 考试范围：第五章第六节------第八章第四节（其中第七章第九节和第八章第五节均不在考试范围内） 2、 各章分值所占大致比例：第五章：10% 第六章：15% 第七章：50% 第八章：25% 3、 考试基本题型：填空，选择，计算二、 复习重点总结（红色部分为重点的重点）第五章 定积分的应用1. 平面图形的面积例1 求由抛物线21y x =-和直线0y =所围成的平面图形的面积。
(答案：43）例2 求由曲线y =直线1y =及0x =所围成的平面图形的面积。
(答案：16)例3 求由1y x =，y x =，x e =所围平面图形的面积。
(答案：21(3)2e -)2. 旋转体的体积基本公式： []2()bx a V f x dx π=⎰ []2()dy c V y dy πϕ=⎰例4 由曲线2,y x =直线2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积32.5x V π=由曲线2,y x =直线4y =及y 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积 8 .y V π=3. 边际及变化率问题基本公式： 成本 0()()(0)xC x C x dx C '=+⎰收入 0()()(0)x R x R x d xR '=+⎰（一般(0)0R =）利润 0()()(0)xL x L x d x C '=-⎰()()()L x R x C x =- 在时间[,]a b 内的总产量 ()()ba Q t Q t dt '=⎰例5 见课本P174 习题5-7 第3题 例6 见课本P172 例3第六章 微分方程与差分方程1. 变量可分离方程例1 见课本P181 例2 例2 见课本P185习题6-2 1（1） 2. 齐次方程例3 见课本P186习题6-2 4（2） 3. 一阶非齐次线性方程 ：()()y p x y q x '+=通解公式 ()()()p x dx p x dx y e q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 例4 求微分方程2xdy ydx xdx +=的通解。
2012-2013年度高等数学工科试题B答案
辽宁石油化工大学 2012 ---2013 学年第 二 学期 《高等数学2》课程标准答案适用专业班级： 化工12级、高材12级、生工12级、应化12级、装备12级 试题类型 ： B 制作人： 李印一、选择题1、B.2、C.3、B.4、C.5、D.6、D.7、A. 二、填空题8、)6,3,9(. 9、⎰⎰101),(xdydx y x f . 10、31211-=-=-z y x . 11、1-.12、22-. 13、1. 14、1-. 三、解答题15、解：y x z x 2sin 2=，y x z y 2cos 22=， （2分）y x z xy 2cos 4=，y z xx 2sin 2=，y x z yy 2sin 42-= （3分）16.解：⎰⎰Dxydxdy ⎰⎰⎰-+-+==212212222|2y y y y dy x y xydxdy （3）845)8())2((21214252=-=-+=⎰-dy y y dy y y y （2）17.解：ds z y x L⎰++)(222⎰++=π2022222)(dt k a t k a (3))43(3222222k a k a ππ++=(2)18、解： 因为∑的方程)321(4y x z --=所以361122=++y xz z ∑在xoy 面内的投影为}20,623|),{(<<≤+=x y x y x D xy (3)则⎰⎰∑=xyzds ⎰⎰∑4xyzds ⎰⎰--=xyD dxdy y x xy )1(3⎰⎰---=1010)1(3xdy y x y xdx⎰=-+-=104321203)33(63dx x x x x (5) 19、解：)1121(31)1)(2(1212+--=+-=--x x x x x x∑∞=--=---=-0)1()1(1121n n x x x ∑∞=+-=-+=+-=+012)1()211(2121111n n nx x x x （5分） )1121(31212+--=--x x x x ∑∞=+-=012)1((31n n n x ))1(0∑∞=--n n x （3分）20．设长、宽、高分别为x y z v xyz =且1111x y z a++= 令 ()1111,,L x y z xyz x y z a λ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭……3分2230001111xy z L yz x L xz y L xy z x y z a λλλ⎧=-=⎪⎪⎪=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎪⎪++=⎪⎩解得 3x y z a===， ……4分 由该题本身性质可知最大值一定存在且在唯一可能极值点333,,a a a ⎛⎫⎪⎝⎭所以当3x a =，3y a =，3z a= 时max327v a =时3max v =……1分21.解：⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(232⎰⎰⎰⎰-+-+++=1234))2())(((232L L L L dy xy y dx xy x (4)⎰=22dx x ⎰-+22)4(dy y y ⎰-+22)8(dx x x ⎰+22dy y 8= (4)22.解： 由高斯公式⎰⎰∑+-yzdxdy dxdz y xzdydz 24 ⎰⎰⎰Ω+-=dv y y z )24⎰⎰-=xyD dxdy yz z 102|)2( (4) ⎰⎰-=xyD dxdy y )2(dx y ⎰-=1102|21223= (4) 23． 解：(1)因为L 的方程：2x y =则⎰+Ldy xxydx 22⎰=134dx x 1=(2) 因为L 的方程：x y =2则⎰+L dy x xydx 22⎰=145dy y 1= （4） (3) 因为L 的方程：1=x ]2,1[,∈y 2=y ]4,1[,∈x 则⎰+L dy x xydx 22⎰===1101|y dy 14= （4）。
高等数学(B)答案
目
CONTENCT
录
• 引言 • 第一章答案 • 第二章答案 • 第三章答案 • 第四章答案
01
引言
课程简介
高等数学(b)是大学数学的重要基础课程之一，主要 面向理工科专业的学生。
该课程涵盖了微积分、线性代数、微分方程等方面 的内容，旨在培养学生的数学思维和解决实际问题 的能力。
题目三答案
总结词：答案解析
详细描述：首先，我们需要找到函数的极值点，这可以通过求导 数并令其为零实现。然后，我们需要计算这些极值点的函数值， 以及函数在区间端点的函数值。最后，比较这些值的大小，找到 最大值和最小值。
03
第二章答案
题目一答案
01
总结词：正确
02
详细描述：该题目要求求出函数在某点的导数。通过使用导数的定义 和性质，我们可以正确地求出该点的导数值。
题目三答案
总结词
理解了定积分的几何意义，能够正确地求解出定积分 的值。
详细描述
题目要求求解定积分$int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx$。首先， 根据定积分的几何意义，该定积分表示的是函数$y = x^2 + 1$与直线$x = 0$和$x = 2$所围成的区域的面积。 然后，将区间[0,2]等分成若干个小区间，每个小区间的 长度为$Delta x = frac{2 - 0}{n} = frac{2}{n}$，其中 $n$为小区间的个数。在每个小区间上取一个点$x_i$， 则小区间的长度$Delta x$上的面积近似为$Delta A_i = f(x_i) times Delta x = (x_i^2 + 1) times frac{2}{n}$。 最后，将所有小区间的面积加起来，得到定积分的值为 $int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx = sum_{i=1}^{n} Delta A_i = sum_{i=1}^{n} (x_i^2 + 1) times frac{2}{n} = frac{n}{n} times (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 + n) times frac{2}{n} = frac{2(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 + n)}{n}$。当$n to infty$时，定积分的值即为
高等数学b2第六章教材答案
高等数学b2第六章教材答案高等数学B2 第六章教材答案第一节：函数极值和最值1. 函数的极值和最值是函数在定义域内的特殊点，它们在数学和实际问题中具有重要的应用价值。
下面是第六章教材中相关习题的答案：习题1：a) 求函数$f(x) = 3x^2 - 6x + 2$在区间[-1, 2]上的极大值和极小值。
解：首先求函数$f'(x) = 6x - 6$的零点，即$6x - 6 = 0$，得$x = 1$。
将$x = -1, x = 1, x = 2$代入$f(x)$中，分别得到$f(-1) = 13, f(1) = -1, f(2)= 10$。
所以$f(x)$在$x = 1$处取得极小值-1，在$x = -1$处取得极大值13。
b) 求函数$g(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 3$在整个定义域上的最大值和最小值。
解：首先求函数$g'(x) = 3x^2 - 9x$的零点，即$3x^2 - 9x = 0$，得$x = 0, x = 3$。
将$x = 0, x = 3$代入$g(x)$中，分别得到$g(0) = 3, g(3) =\frac{27}{2}$。
所以$g(x)$在$x = 3$处取得最大值$\frac{27}{2}$，在$x = 0$处取得最小值3。
2. 函数的极值和最值在实际问题中有很多应用，比如优化问题、经济学中的最大效益等。
通过求解函数的极值和最值，可以找到使函数取得最优结果的变量取值。
习题2：一块长方形的地面上，以其一条边为底，作一个等腰直角梯形，使得梯形的上底与下底分别与已知两块木板的宽度相等。
问该等腰直角梯形的底边长度为多少，才能使梯形的面积最大。
解：设等腰直角梯形的底边长度为$x$，则梯形的上底和下底长度也都为$x$。
设梯形的高为$h$，根据勾股定理得到$h = \sqrt{2}x$。
梯形的面积$S(x) = \frac{1}{2}(x + x)(\sqrt{2}x)$。
高等数学B(二)B期末考卷及解答 海大
高等数学B（二）试卷B一、解答下列各题(本大题共13小题，总计59分)1、(本小题2分),。
=ln()2，求z zz xyx y2、(本小题2分)设z x y x,。
=+()arctan，求z zx y3、(本小题4分)设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。
4、(本小题5分)过z 轴及点M (,,)447-，作一平面，求它的方程。
5、(本小题5分)计算二重积分6、(本小题5分)求曲面e e e xz yz +=-22在点(,,)--112处的切平面和法线方程 。
7、(本小题5分)求函数z x y xy y=-+++2322的极值。
8、(本小题5分)计算二重积分其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。
9、(本小题6分)设a=2,b=3，求a b a b⨯+⋅22()。
10、(本小题6分)求微分方程满足初始条件的解：''-'-=='=⎧⎨⎩y y y y y 200105(),()二、解答下列各题(本大题共2小题，总计10分) 1、(本小题5分)曲线上任意一点的矢径长等于夹在曲线和ox 轴之间的法线长，求此曲线.2、(本小题5分)证明：l x y z y z 1010:++=++=⎧⎨⎩与l x z x y 21010:++=++=⎧⎨⎩垂直。
三、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、(本小题5分)判别∑∞=+132)1(3cosn n n n π的敛散性。
2、(本小题5分)横截面为半圆形的圆柱形的张口容器，其表面积等于S ，当容器的断面半径与长度各为多大时，容器具有最大容积？3、(本小题5分)判别∑∞=+-1)2ln(1)1(n nn 的敛散性，若收敛，说明是条件收敛，还是绝对收敛？四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计12分)1、(本小题6分)nn n nn x4)1(1⋅-∑∞=2、(本小题6分) 设()xe xf =，试求函数关于()1+x 的幂级数。
高等数学(二)答案B
A.（1,3）
B. 1,3
C. 1,3)
D. (1,3
二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 1、球心在点（1，2,3） ，半径为 4 的球面方程为 ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 16 。
2、方程 x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 z − 2 = 0 表示的图形是圆心在（-1,0， -1 ） ，半径为 2 的球面。 。
n=1
1 n2
D.
(−1)
n =1
n
n
3.若幂级数 an xn 在 x = 3 处收敛，则该级数在 x = 1 处必定（
n =1
C
）
A．发散 4.下列命题（
B. 条件收敛 A ）正确
C. 绝对收敛
D. 收敛性不能确定
A.
u
n =1
n
收敛， un 必定收敛。B． un 收敛， un 必定收敛
n =1 n =1
n =1
C.
un 发散， un 必定发散，
n =1
D.
n =1
un 发散， un 未必发散
n =1
n =1
1
（共 5 页）
2013 年 4 月
中国地质大学（北京）继续教育学院
2014 年
5. z = ln x 2 − y 2 的定义域是（
2 2
D
）
A． x 2 − y 1
3、二元函数 z = 16 − x 2 − y 2 的定义域是 ( x, y ) : x 2 + y 2 16 。
2012-2013-2高数B2 A卷答案
（答案要注明各个要点的评分标准）一、 填空题：（每小题3分，共15分）1. (5,1,3)-；2. 2ln xy x ；3.3202(cos ,sin )d f d ππθρθρθρρ-⎰⎰ ；4. 2π；5. [1,1]- . 二、选择题：（每小题3分，共15分）1) B. 2) A. 3) B. 4) C. 5) D. 三、计算题（共21分）1、解：122zf f x∂''=+∂ ---------------------------------------------3分 2z x y ∂=∂∂2111222232zf f f x y∂''''''=+-∂∂ ------------------------------------- 7分 2 、解：曲线2y x =与y x =的交点为（0,0）、（1,1） -------------------------------------1分 所以2()Dx y dxdy +⎰⎰2120()xxdx x y dy =+⎰⎰， -------------------------------------------4分 2134037().2260x x x dx =+-=⎰ -------------------------------------------------7分 3、解 22,,2P xy Q yx R ===,记∑所围成区域为Ω,则由Gauss 公式知 ：22222()()P Q Rxy dydz yx dzdx dxdy dv x y zx y dv∑ΩΩ∂∂∂++=++∂∂∂=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ------------------------------3分221120d d dz πρθρρρ=⋅⎰⎰⎰ ------------------------------------5分13502().6d ππρρρ=-=⎰ -------------------------------------7分四、计算题（共24分）1、解 取1:0,33L x y =-≤≤,方向从点(0,3)B 到点(0,3)A -222,62P xy y Q x x y =+=++ -------------------------------------2分记L 与1L 所围成区域为D ,则由Green 公式知:12()9(2622)(22)(62)44182L L DD Dx Q P d x yy y dx x x y dy x x d d σπσσπ+∂∂=-∂∂=+--=⋅++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ -------------------------5分1233(22)(62181821)8.L xy y dx x x y dyydy πππ-++=+=+--=⎰⎰原式 ----------------------------8分2、解：∑的方程为z =，xy D ：2240x x y -+≤或22(2)4x y -+≤于是该曲面的面积为：xyD A = ----------------4分其中x y z z === ----------------6分4.xyD A π∴===⎰⎰ ----------------8分3、解 ：由22(,,)2u x y z x xy y z =-++（1）(0,1,1) (0,1,1)(2,2,2)|(1,2,2)grad u x y x y =--+=- ---------3分 （2）令(1,2,2)l AB ==，则其方向余弦为122cos ,cos ,cos 333αβγ===， ------6分 从而有(0,1,1)7|c o s 2c o s 2c o s .3ul αβγ∂=-++=∂ -----------------------8分五、计算题（共16分）1、解：3lim12n n R n →∞+==+，即幂级数的收敛半径为1 ---------2分而级数1(2)n n ∞=+∑，11(2)(1)n n n ∞-=+-∑都发散，所以幂级数的收敛域为(1,1)---------------3分设幂级数在区间(1,1)-内的和函数为()s x ，则111111()2()21()21n n nnn n n n n n s x nxxx x x x∞∞∞∞--====∞='=+=+'=+-∑∑∑∑∑ ----------------6分2232().11(1)x x x x x -'=+=--- ----------------8分2．解: 设22(,,)24F x y z x y z =+- ---------------------1分则4,8,1F F Fx y x y z∂∂∂===-∂∂∂ --------------------4分 则曲面在点1,1,6)A （处切平面法向量为(4,8,1)n =- ------------------6分 故切平面方程为：4(1)8(1)(6)0x y z -+---=整理得 4860x y z +--= ------------------7分法线方程为116481x y z ---==- ------------------8分六、证明题（共9分）1、证明：记n u ==，则1lim2n →∞=， -----------2分因为1n ∞=1n ∞=∑也发散。
高等数学2二课后习题答案
高等数学2二课后习题答案高等数学2二课后习题答案高等数学是大学数学的重要组成部分，对于理工科学生来说尤为重要。
而高等数学2二作为高等数学的延伸和深化，对于学生来说难度也相应增加。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
本文将为大家提供高等数学2二课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、函数极限与连续1. 设函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求lim(x→2)f(x)的值。
解：将x代入函数f(x)，得到f(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 1 = 17。
所以lim(x→2)f(x) = 17。
2. 已知函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)，求lim(x→1)f(x)的值。
解：将x代入函数f(x)，得到f(1) = (1^2 + 1) / (1 - 1) = 2 / 0。
由于0不能作为分母，所以lim(x→1)f(x)不存在。
3. 设函数f(x) = √(x + 1)，求lim(x→∞)f(x)的值。
解：将x代入函数f(x)，得到f(∞) = √(∞ + 1) = ∞。
所以lim(x→∞)f(x) = ∞。
二、导数与微分1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的导数。
解：对函数f(x)求导，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
2. 求函数f(x) = √x的导数。
解：对函数f(x)求导，得到f'(x) = 1 / (2√x)。
3. 求函数f(x) = e^x的导数。
解：对函数f(x)求导，得到f'(x) = e^x。
三、定积分1. 求函数f(x) = 2x在区间[0, 1]上的定积分。
解：对函数f(x)在区间[0, 1]上进行定积分，得到∫[0, 1]2xdx = [x^2]0^1 = 1。
2. 求函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上的定积分。
解：对函数f(x)在区间[-1, 1]上进行定积分，得到∫[-1, 1]x^2dx = [x^3/3](-1)^1 = 2/3。
高数B2分题型练习(答案)
高等数学B2分题型练习(参考答案)一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B 10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B 19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B 28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、16 18、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、( 22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)n n n x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n nn x x n +∞=-∈-∞∞+∑28、110- 29、x e - 30、2xy e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++34、C y x = 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xx x exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdx ππ=-⎰0cos |2x π==-3、求定积分220124xdx x ++⎰ 4、求定积分 21ln x xdx ⎰解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰ 222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=- 5、求定积分02222dxx x -++⎰解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分dx 解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。
2012年考研数学二真题和答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ） 【解析】：221lim1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线22l i m 11x x x x →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】：（C ）【解析】：''22()(2)()(1)(2)()x x nx x x nx f x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。
（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件.（D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim n n s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
反之，{}n a 收敛，{}n s 却不一定有界，例如令1n a =，显然有{}n a 收敛，但n s n =是无界的。
13-14-2高等数学B2(B卷)答案
2013-2014-2学期高等数学B2期末B 卷答案一、填空题（共 5小题，每题 3分，共计 15分）1、(){}22222,,0x y z x y x y ≤++≠且2、222dz e dx e dy =+3、225y z x += 4、 5、(0,2)二、选择题（共 5小题，每题 3分，共计15分）1、C2、D3、B4、A5、D三、求过点A (2,1,3)且与通过直线11221x y z +-==-的平面方程.（本题8分） 解：由已知得点B (1,1,0)-也在所求平面上.(3,0,3)AB =-- ，……………..………2分取 303221i j k n AB s =⨯=--- (6,9,6)3(2,3,2)=--=--………………..…………………4分所求的平面方程为2(2)3(1)2(3)0x y z -----=即 23250x y z --+=……………….………..….……2分四、计算下列偏导数（共 2小题，每题6分，共计12分）1、设(,)z f x y x y =+，f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂. 解：将中间变量按顺序编为1,2号，可得12121z f f y f yf x∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 12121z f f x f xf y∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 2、设x z z e y +=+，求,z z x y∂∂∂∂. 解法一：令(,,)x z F x y z z e y +=--，则,1,1x z x z x y z F e F F e ++=-=-=-，……2分 利用隐函数求导公式，有11x z x zx z x zz e e x e e ++++∂-=-=∂--，…………..………..………2分1111x z x z z y e e++∂-=-=∂--…………..………..………2分 解法二：方程两边分别关于,x y 求偏导数.解法三：方程两边求全微分.五、计算下列积分：（共3小题，每题6分，共计18分）1、求二重积分22xy D e d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周222x y +=所围成的闭区域.解：222200xy r D e d d rdr πσθ+=⋅⎰⎰⎰ ……..……………………………………3分20122r e π⎡=⋅⎣⎦ ……..………………………………..………2分 ()21e π=- …..………..…………………………………..1分2、求二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由21,2,0,x x y y x ====所围成的平面区域.解：2210x D xydxdy dx xydy =⎰⎰⎰⎰ …………..………..………………………..……3分222251101122x xy dx x dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰ …………..………..……………..…2分 261121124x ⎡⎤==⎣⎦ …………..……………………..………1分 3、求二重积分sin D x dxdy x⎰⎰，其中D 是由0,,y x y x π===所围成的平面区域. 解：00sin sin x Dx x dxdy dx dy x x π=⎰⎰⎰⎰ …………..………..…………………..…3分 00sin sin x xdx dx xππ=⋅=⎰⎰ …………..………..……………..…2分 []0c o s2x π=-= …………..………..……………..…1分 六、求微分方程221y y y x '''+-=+的通解.（本题10分）解：对应的齐次方程为20y y y '''+-=，它的特征方程 220r r +-=有两个实根 122,1r r =-= …………..………..……………..…3分 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为212x x Y C e C e -=+. …………..……….…..…2分由于0λ=不是特征方程的单根，所以设方程的特解*y ax b =+，…….…..…2分 把它代入所给方程，得2221a ax b x --=+，即得，1,1a b =-=-， 因此所给方程的一个特解为*1y x =--. …….………………………..…2分 从而所求的通解为2121x x y C e C e x -=+-- …….…..…1分七、求由22224,0,100x y z x y z +==+-+=所围成的立体的体积.（本题8分） 解：所求立体在xoy 面上投影区域为{}22(,)4D x y x y =+≤， 所求立体的体积是以曲面2210z x y =++为顶，区域D 为底的曲顶柱体的体积，即 22(10)DV x y d σ=++⎰⎰ …….……………………….…3分22200(10)d r rdr πθ=+⎰⎰ …….……………………...…2分 22401254r r π⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦ …………………………….…..…2分 48π= ……………………………………..…1分 八、求函数z xy =在条件1x y +=下的极值. （本题6分） 解法一：由1x y +=得1y x =-，代入z xy =，有(1)z x x =- 12z x '=-=0，得12x =， …….………………………………………….…3分 从而12y =，20z ''=-<， 所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …….………….…3分解法二：设(,,)(1)F x y xy x y λλ=++-，解方程组0010x y F y F x F x y λλλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+-=⎩， …….………………………..…3分 得12x y ==， 所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …………….…..…3分 九、将函数21()32f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛区间.（本题8分） 解：21111()32(2)(1)12f x x x x x x x ===-++++++ …….…..………2分 因为 011()11n n x x x ∞===-++∑，(1,1)x ∈- …….……………………….…2分 011111()2222212n n x x x x ∞===⋅=-+++∑，(2,2)x ∈- …….………...…3分 所以21011()(1)1322n n n n f x x x x ∞+=⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭∑，(1,1)x ∈- …….……………….…1分。
1314高等数学B(二)试题答案 济南大学
Fy z xz z y Fz e xy
3. 求过点 (3, –1 , 2) ，且 垂直于直线
已知直线的方向向量可取为 解: 得
s n1 n2
x y z 1 0 的平面方程. 2 x y z 4 0
(0, 3, 3)
所以所求的切平面方程为
二．选择题(每小题2分,本大题满分10分) 1. 设平面 的方程为 4 x 2 y 2 z 3 , x3 y4 z 则（ 直线L的方程为 2 7 3
D)
(A) L与 垂直， (B)L与 相交但不垂直，
(C ) L在内， (D) L与 平行但不在内.
分析:Байду номын сангаас
4 (- 2) (2) (7) (2) 3 0, 所以平面与直线平行. 又直线上的点 (3 , 4 , 0)不在平面上
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
A Δ x B Δ y 称为函数 f ( x, y ) f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z d f Ax By
展开成x的幂级数，
1 1 x ( 解: f ( x ) ) 1 x 2 1 x 1 ( ) 1 x (1 x) 2 (1 x)(1 x) (1 x)(1 x) 2 2 (1 x) (1 x) (1 x) 2
(1 x) 2 (1 x) (1 x) 2 1 2 2 2 2 2 2x (1 x) 2(1 x ) 1 x
B
) B. g(y)在y0取得极大值
13大学城高数B2答案(备用卷)
广东工业大学参考答案及评分标准，共3页，第1页广东工业大学参考答案及评分标准，共3页，第2页 0),(=yz xz dF （2分）0)()('2'1=+yz d F xz d F （4分）0)()('2'1=+++ydz zdy F xdz zdx F （7分） '2'1'2'1yF xF dy zF dx zF dz +--= （9分） 4. 利用极坐标计算二重积分其中x y x D 2:22≤+。
解答：原式 = ⎰⎰⎰⎰-=⋅θππρρθθρρρcos 20222d d d d D （4分）⎰⎰==-203223cos 316cos 38πππθθθθd d （7分） 93232316=⋅= （9分） 5. 求解微分方程x xe y y =+''。
解答： 对应齐次方程的特征方程为： 012=+r （2分） 解得： i r ±=2,1 （3分） 对应齐次方程的通解为： x C x C Y sin cos 21+= （5分）设非齐次方程有一个特解：x e x b b y )(10*+=，代入非齐次方程中可以求得： 21,2110=-=b b （7分） 故非齐次方程的通解为：x e x x C x C y )1(21sin cos 21-++= （9分） 6. 在椭圆369222=+y x 的第一象限部分上求一点，使椭圆在该点的切线与坐标轴所围三角形的面积最小，并求最小三角形面积。
解答： 椭圆在点()00,y x 处的切线方程为()()0920000=-+-y y y x x x ，即369200=+y y x x广东工业大学参考答案及评分标准，共3页，第3页。
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上 海 海 事 大 学 试 卷
2012— 2013 学年第二学期期末B （B ）考试解答
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)
1、C
2、C 3 D 4、A
二、填空题（将正确答案填在横线上）
(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)
1、{}1,2,3
2、⎰⎰-1010),(x dy y x f dx
3、3
4、24x -e x - 三、 计算题（必须有解题过程） （本大题分11小题，共 76分） 1、(本小题7分)
求由e xyz e z =-确定的隐函数z z x y =(,)在点（0，1）处求d z 解：0,1))
1.0()1.0())1.0()1.0(=-==-=xy e xz y z e xy e yz x z
z z ∂∂∂∂ 5分 dx e
dz 1= 7分 2、(本小题7分) 设2
2)1()1(ln -+-=y x z ，试求：2222y z x z ∂∂∂∂+
2222222
2])1()1[()1(2-)1()1(1)1()1(1
-+---+-=-+--=y x x y x z y x x z xx x 解： 3分
--------------------------------------------------------------------------------------装
订
线
------------------------------------------------------------------------------------
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2222
222
2])1()1[()1(2-)1()1(1)1()1(1-+---+-=-+--=
y x y y x z y x y z yy y 6分
0=+yy xx z z 。
7分
3、 (本小题7分)
一直线在xoz 坐标面上，且过原点又垂直于直线x y z -=+-=-231251
，求它的对称式方程。
解：所求直线的方向向量为=-=-12103{,,}， 4分
故所求直线为
x y z 103
==-。
7分
4、(本小题6分) 计算： ⎰⎰=D xy
dxdy ye I ，D 为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤1121
y x x 解： ⎰⎰=1212
1•••y •
xy dx ye dy I 3分 =
e e -22
1 6分
5、(本小题8分) 试求曲面x 2+y 2=12－z 与22y x z +=
所围立体的体积。
解： ⎰⎰+---=Dxy dxdy y x y x
V )12(2222 3分 ⎰⎰--=30220)12(dr r r
r d π
θ 5分
π2
99=
8分
第 3 页 共 4 页
6、(本小题5分) 判别
∑∞
=+13
2)1(3sin n n n n π 的敛散性. 解：,13sin 22
）（+=n n n u n π
数收敛。
由比较判别法知：原级而∴≤+≤≤,1)1(02
3n n n u n 5分
7、(本小题7分)
级数()∑∞=--1ln 1n n
n n 是否收敛，是否绝对收敛？
解：()()n
n n n ln 11ln 11-<+-+， 2分 又()∞→→-n n n 0ln 1，故原级数收敛， 4分
又因 11n n n ->ln ，故11n n
n -=∞∑ln 发散，因此原级数条件收敛。
7分
8、(本小题7分)
设函数()2
x
x e e shx x f --==，试求()x f 的马克劳林级数 解：∑∞
==0!n n
x n x e , ()∞+∞-∈,x 2分 =-=-2x
x e e shx ()∑∞=++012!12n n n x
()∞+∞-∈,x 7分
9、(本小题7分)
求微分方程(cos )d d x x y x x y 2
0-+=的通解。
第 4 页 共 4 页 解：原方程化为d d cos y x x
y x x -=-1， 2分 y x x C x ()(sin )=-为所求通解。
7分
10、(本小题7分)
利用拉格朗日乘数法，试将已知正数9分成3个正数之和，使它们的积为最大。
解：求321x x x f =在条件()3,2,10
,9321=>=++i x x x x i 下的极大值
令()9321321-+++=x x x x x x L λ 由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=0
9000321213132321x x x L x x L x x L x x L x x x λλλλ得驻点()3,3,3
且()273,3,3=f 因此应把9分成3个相等的正数3，它们的积为最大27。
11、(本小题8分)
求微分方程x y y y sin 2=+'-''的通解。
解：特征方程0122=+-r r 的根为：121==r r
对应的齐次方程的通解为x C e x C C y )(21+= 3分
设特解为x B x A y p sin cos +=，代入方程得 5分
x y p cos 21=，故所求通解为 x e x C C y y y x p C cos 2
1)(21++=+= 8分。