高等数学B(二)2012-2013(B)解答

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上 海 海 事 大 学 试 卷

2012— 2013 学年第二学期期末B （B ）考试解答

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、C

2、C 3 D 4、A

二、填空题（将正确答案填在横线上）

(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、{}1,2,3

2、⎰⎰-1010),(x dy y x f dx

3、3

4、24x -e x - 三、 计算题（必须有解题过程） （本大题分11小题，共 76分） 1、(本小题7分)

求由e xyz e z =-确定的隐函数z z x y =(,)在点（0，1）处求d z 解：0,1))

1.0()1.0())1.0()1.0(=-==-=xy e xz y z e xy e yz x z

z z ∂∂∂∂ 5分 dx e

dz 1= 7分 2、(本小题7分) 设2

2)1()1(ln -+-=y x z ，试求：2222y z x z ∂∂∂∂+

2222222

2])1()1[()1(2-)1()1(1)1()1(1

-+---+-=-+--=y x x y x z y x x z xx x 解： 3分

--------------------------------------------------------------------------------------装

订

线

------------------------------------------------------------------------------------

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2222

222

2])1()1[()1(2-)1()1(1)1()1(1-+---+-=-+--=

y x y y x z y x y z yy y 6分

0=+yy xx z z 。 7分

3、 (本小题7分)

一直线在xoz 坐标面上，且过原点又垂直于直线x y z -=+-=-231251

，求它的对称式方程。

解：所求直线的方向向量为=-=-12103{,,}， 4分

故所求直线为

x y z 103

==-。 7分

4、(本小题6分) 计算： ⎰⎰=D xy

dxdy ye I ，D 为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤1121

y x x 解： ⎰⎰=1212

1•••y •

xy dx ye dy I 3分 =

e e -22

1 6分

5、(本小题8分) 试求曲面x 2+y 2=12－z 与22y x z +=

所围立体的体积。

解： ⎰⎰+---=Dxy dxdy y x y x

V )12(2222 3分 ⎰⎰--=30220)12(dr r r

r d π

θ 5分

π2

99=

8分

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6、(本小题5分) 判别

∑∞

=+13

2)1(3sin n n n n π 的敛散性. 解：,13sin 22

）（+=n n n u n π

数收敛。由比较判别法知：原级而∴≤+≤≤,1)1(02

3n n n u n 5分

7、(本小题7分)

级数()∑∞=--1ln 1n n

n n 是否收敛，是否绝对收敛？

解：()()n

n n n ln 11ln 11-<+-+， 2分 又()∞→→-n n n 0ln 1，故原级数收敛， 4分

又因 11n n n ->ln ，故11n n

n -=∞∑ln 发散，因此原级数条件收敛。。 7分

8、(本小题7分)

设函数()2

x

x e e shx x f --==，试求()x f 的马克劳林级数 解：∑∞

==0!n n

x n x e , ()∞+∞-∈,x 2分 =-=-2x

x e e shx ()∑∞=++012!12n n n x

()∞+∞-∈,x 7分

9、(本小题7分)

求微分方程(cos )d d x x y x x y 2

0-+=的通解。。

第 4 页 共 4 页 解：原方程化为d d cos y x x

y x x -=-1， 2分 y x x C x ()(sin )=-为所求通解。 7分

10、(本小题7分)

利用拉格朗日乘数法，试将已知正数9分成3个正数之和，使它们的积为最大。 解：求321x x x f =在条件()3,2,10

,9321=>=++i x x x x i 下的极大值

令()9321321-+++=x x x x x x L λ 由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=0

9000321213132321x x x L x x L x x L x x L x x x λλλλ得驻点()3,3,3

且()273,3,3=f 因此应把9分成3个相等的正数3，它们的积为最大27。

11、(本小题8分)

求微分方程x y y y sin 2=+'-''的通解。

解：特征方程0122=+-r r 的根为：121==r r

对应的齐次方程的通解为x C e x C C y )(21+= 3分

设特解为x B x A y p sin cos +=，代入方程得 5分

x y p cos 21=，故所求通解为 x e x C C y y y x p C cos 2

1)(21++=+= 8分