第十一讲 数学谜中的最值

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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 一道标准的乘法竖式谜： 【拓展】如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数的和是多少？
【答案】160 【分析】首先填一定确定的位置（高位与末位） ，很容易填出：
× 1 1 0 1 3 2 1
接下来是对第二个部分积“1□3”的范围分析：三位数乘以一位数得到 1□3，那只能是 1□3×1=1□3，故有：
6 3 3 8 5 5 0
→
2 6 2 3 3 8 5 5 0
→
7 1 5
2 6 2 3 3 8 1 5 1 5 0 2 2 0 4 1 5 6 4 8 4Biblioteka Baidu6 1 1 6 2 3 6 3 8 5 6 5 6 0
→
7 8
2 6 2 3 1 5 6 3 8 1 5 6 1 5 6 0
7 8
→
2 6 2 3 1 5 6 3 4 6 8 1 5 6 1 5 6 0
×
【答案】 19 ´ 5 = 95 ， 10 ´ 5 = 50
5
【分析】整除分析可知积的末位是 5 或 0；范围分析可知：积是两位数，故乘数小于 20，故最大为
19 ´ 5 = 95 ；第一个乘数是两位数，最小是 10，此时乘积最小： 10 ´ 5 = 50 .
【点评】非常简单的题目，但已经道出到了乘、除法竖式最常用的分析方法：整除分析（尾数最常见） 和范围分析（位数是决定范围的第一要素，其次是高位数字）. 一道经典的范围分析题： 【拓展】完成下面的乘法竖式：
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结
第十一讲
数字谜中的最值
本讲是数字谜中可能值的最大值或最小值的求法， 并不要求全部的填法. 本讲的一个重要思想是学 会从极端情况考虑. 【重要知识点】 加减法竖式注意： （1）减法竖式可变为加法竖式； （2）加数多于 2 个时注意进位点不光可以进 1. 加法竖式一般过程： （1） 先填上必然确定的东西（容易分析的有： 高位数字、 末位数字、 高位进位点、 和的数字和等） ； （2）分析数字和，确定进位点； （3）整个过程结合最值思想，给出符合要求的一种填法. 【点评】一般的加法竖式，这三个方面要综合考虑. （1）是前提， （3）是整个过程都要注意的思想， 下面的乘除法竖式亦是如此. 而（2）作为加法竖式的特有分析方法，一般是题目的主体过程. 乘除法竖式注意： （1）乘法竖式的本质是多位数和一位数的乘法和多位数加法； （2）除法竖式的本质是多位数和一位数的乘法和多位数减法； （3）分析的主体在于竖式中的每一个部分积. 要看好每一个部分积是由哪些部分相乘而来. 乘除法竖式一般过程： （1）先填上必然确定的东西（容易分析的有：高位数字、末位数字、直接拉下来的数字等） ； （2）分析每一个部分积； （3）整个过程结合最值思想，给出符合要求的一种填法. 最常用的部分积分析方法： （1）整除分析（末位、整除特征、分解质因数等） ； （2）范围分析（位数决定范围、试除法等） ； 【点评】一般的乘除法竖式，部分积的范围分析是最重要的分析. 横式数字谜注意：简单的横式可以转变为竖式. 最常用的横式数字谜分析方法： （1）整除分析（末位、整除特征、分解质因数等） ； （2）范围分析（首位、试除法） ； （3）位值原理. 【点评】本讲给出的横式数字谜都是比较简单的横式数字谜，没有涉及到复杂的位值原理计算或复杂 的数论知识. 总体而言，本讲是简单的，因为本讲是数字谜中的最值（只用求出“最大”或“最小”的答 案） ，而不是数字谜计数（求出所有符合要求的答案）. 所以在做题时，紧紧抓住“最大”或“最 小” 这两个词会降低题目的分析难度， 甚至直接确定某些位置. 数字谜中的计数将会在六年级学习. 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 1
2 0 1 3
【答案】3135 【分析】 （1）先填最容易填的：四位数加数的千位是 2 或 3； （3）结合最值思想：希望和最小，故先暂定加数千位为 2，这样和可以达到 3100 多，比较小； （2）分析数字和：整体数字和为 1 2 9 2 0 1 3 51 ，除以 9 余 6，故上、下数字和除 以 9 都余 3，故知下方三个方框的数字和为 9 的倍数； （3）结合最值思想：希望和最小，故考虑下方三个方框的数字和为 9；3126 最小，但 2 已经用过， 不能重复；次小为 3135； （2）分析数字和：下方数字和为 12，上方数字和为 39，差为 27，所以进了 3 次位. 分析题目发 现题目中已给的数字都太小，本题不可能出现一次进 2 的情况，故每个数位都进了 1； 填出一种：第二个加数的百位为 9，十位两个方框之和为 12，只能是 4 加 8，个位还剩 6 和 7， 个 位之和确实为 15，正确（由于是按照正确的数字和与进位点来填的，故只剩下个位时，个位一定 正确） ，故有例子： 42 + 906 + 2187 = 3135 （例子不唯一）. 结合前面的分析可知 3135 是最小值. 【点评】本题是 2013 年迎春杯四年级初赛题，难度并不高，这里我特意将过程详细地写出来，为的是 让同学们体会一下（1）先填确定的； （2）数字和、进位点； （3）最值思想，这三部分是如何相互 配合的. 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 2
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【答案】 12 ´ 98 = 96 + 1080 = 1176 【分析】第一个部分积是 2 位数，是乘以 8 得来的；第二个部分积是 3 位数，只能是乘以 9 来的；一 个两位乘数，乘以 8 的积小于 100（卡住了上限） ，乘以 9 的积大于 100（卡住了下限） ，满足要求 的只有 12，故这个乘法是 12 ´ 98 ，依此填出其他位置即可. 【点评】这道题是学而思三年级的讲义上的一道例题，很简单，但却是一道非常典型的用位数卡范围 的题. 这是乘、除法竖式中最常用的分析方法. 分析部分积的范围，进而分析对应的乘数的范围， 应该是一道乘、 除法竖式谜的分析主体. 同时可以发现： 乘、 除法中不再有数字和或进位点的分析， 所以相较于加法竖式谜， 乘、 除法竖式谜的考点更为单一 （基本上都是范围分析） ， 思路更好找. 第 二单元例 3 与本题的思路如出一辙，再加上“最小”的思想即可.
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 【具体题目和方法】 例子的重要性： 【第一单元 3】右边的加法算式中，每个“ □ ”内有一个数字，所有“ □ ”内的数字之和最大可达到 多少？
【答案】60 【分析】首先注意百位一定向千位进了 2. 分析数字和可知下方的数字和为 6，若要上方数字和最大， 则需进位点尽量多. 最多有 6 个进位点（个位向十位、十位向百位、百位向千位都进了 2） ，故上 方数字和最大为 6 + 9 ´ 6 = 60 . 这个值是可以达到的，例子： 668 + 668 + 668 = 2004 . 【点评】不要小看第一步的“百位向千位进 2” ，如果本题改问最小值，则最小值为 6 + 9 ´ 2 = 24 ，例 子： 901 + 901 + 202 = 2004 ，就是因为这 2 个进位是一定确定的. 最后一步的例子也是不能少的， 无论题目中或竖式里有何种要求，无论你对题目分析得多么透彻，都不如一个实实在在的例子有 说服力. 无论你的答案是什么，都要举出对应的例子，或者说都要将所有的位置全填出来. 一道标准的加法竖式谜： 【第一单元 4】将数字 1～9 填入下图竖式的 9 个方格中，每个数字只能用一次，那么和的最小值 为多少？
1 3 3 1 3 1 1 3 1 1 2 3 1 3 1 7 1 4 7 1 3 1 9 1 9 1 2 5 2 1 2 3 1 2 3 1 3
1 2 3
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我们并不需要考虑千位或更高位，M 只需要最小值，则只需要满足末三位，前面得几无所谓，减 少无用的计算量. 涉及位值原理与整除分析的横式数字谜： 【第三单元 5】满足式子 abcba 45 deed 的五位数 abcba 最大是多少？最小是多少？ 【答案】59895，54945 【分析】根据题意， abcba 45deed ，则 abcba 为 45 的倍数，所以 a 应为 0 或 5，又 a 还在首位，所 以 a=5 ，现在要让 5bcb5 尽可能的大，首先需要位数高的尽可能的大，所以令 b 9 , 为了满足
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1 4 1 × 1 0 0 1 4 3 2 4 3
是正确的，故答案是 143 + 17 = 160 .
3 7 1 1
【点评】标准的乘法题目，标准的乘法思路：先填一定确定的→整除分析→范围分析→用最值思想填 出一种. 主体是范围分析.
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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 一道标准的除法竖式谜： 【第二单元 4】在“□”内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小，那么商最小是 多少？
7 8
→
【点评】由此可看出除法竖式的填写过程与乘法并无多少区别，因为两者的关键都是多位数乘以一位 数得到部分积. 可转化为竖式的横式： 【第三单元 4】我们用 abc 表示 a、b、c 三个数相乘的积，而 abc 则表示一个百位是 a、十位是 b、 个位是 c 的三位数. 那么，满足 fabcde 3 abcdef 的最小的六位数 abcdef 是多少？ 【答案】142857 【分析】向竖式转化，要 abcdef 最小也就是要 fabcde 最小，则 f=1，再从后向前逐个推：
3 1 7 × 1 1 0 1 3 2 1
上图中整除分析可知第二个乘数的个位为 7（因为 3 只有乘以 7 才能使积的个位为 1）. 最后是这道题的主体部分：对第一个部分积的范围进行分析，即分析： 1□3×7=10□1 由于积是 1000 多，故乘数不能太小，否则达不到 1000 以上；同时积的百位是 0，又说明乘数不能 太大；用 1000 除以 7，估算出乘数应为 140 多，故有两种填法： 143´ 7 = 1001 ， 153´ 7 = 1071 ， 其中填 143 乘积较小. 此时注意一定要填出所有位置来验证正确与否：
6 3
5 0
【答案】262 【分析】先填一定确定的，同时由第二个部分积可知除数个位为 3 或 8（整除） ；要求商最小，部分积 是三位数而除数是两位数，故商最小可能是 262（最值） ；2 乘以两位数得到□5□，只能是 2 乘以 70 多得 15□ （范围） ； 同时说明一定进位了， 只能是 2 ´ 78 = 156 ， 即乘数为 78； 故式子应为 78 ´ 262 ， 填出其他位置，发现无误，故答案是 262. 整个过程如下图：
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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 1 a b c d e 1 a b c d 7 1 4 2 8 5 7
a b c d
3 e 1 a b c d
3 3 7 1 4 2 8 5 7 1
【第三单元 3】自然数 M 乘以 13 的积的末三位是 123，求 M 的最小值. 【答案】471 【分析】转化为竖式谜，不断利用尾数分析逐步推出 M 的每一位：
a b c b a 是 9 的倍数， c 8 ， 59895 45 1331 符合条件.
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 同学们容易犯的错误： “最小？那答案最小就是 3123 咯！ ”这种想法确实是最值思想，大方向 也是正确的， 但没有考虑到题中有隐含的数字和关系的限制： 下方三个位置之和是 9 的倍数. 如果 只从最值的角度去枚举，将耗时耗力. 从解题过程可以看出： 加法竖式的分析过程往往是三种分析方法相互交叉使用， 缺一不可. 以 及最后要举出例子. 这就是一道标准的加法竖式谜的思考、解答过程. 乘法竖式基本方法： 【第二单元 1】下面是一个乘法算式：问：当乘积最大和最小时，所填的四个数字的和分别是多 少？