第十一讲 数学谜中的最值
奥数 一年级 教案 第11讲[1].提高班.教师版
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第十一讲 灯谜会在这节课中，我们把以前所学习的一些知识，编成儿歌谜语的形式，让学生在生动的故事情节中，对所学知识进行复习．由于一年级的孩子理解能力还不是很强，老师要引导学生在读题的过程中找出已知条件，然后进行分析解答．进一步让学生感受到数学和我们的生活密不可分．第十一讲 灯谜会小朋友们都喜欢玩猜谜语的游戏吧！今天这节课我们一起走进谜语王国，猜一猜跟数学有关的谜语吧！比一比，看看谁是我们的小智慧星. 猜 谜 语1．一个数字真奇怪，横看竖看都不变．正看反看还是它，它是谁啊？小朋友们猜猜看．（ 0和1 ）2．像蛋不是蛋，说圆比圆长．说它没有它也有，成千上万排成行．（ 0 ）3．两扇门儿本领大，运算顺序全靠它．哪里安上两扇门，要算就得先算它． （ 括号 ）趣味谜语一：包汤圆来煮汤圆，全家一起吃汤圆．爸爸碗里盛5个，妈妈4个装进碗．我吃3个小汤圆，锅里正好剩一半．小朋友们算一算，共有多少小汤圆？（）【教学思路】通过读题我们知道，爸爸碗里盛5个小汤圆，妈妈碗里盛4个，我碗里盛3个．盛在碗里的小汤圆一共是54312++=个．而锅里还剩一半没有盛，也就是说锅里还有12个，这样一共就有24（个）汤圆．列式：54312++=（个）⨯=（个）121224+=（个）或12224趣味谜语二：太阳刚刚露出头，白兔唱歌山坡走．坡上长满大萝卜，个个长得大又粗．白兔用力拔萝卜，整整拔了四十九．四十九个大萝卜，平均分装七个篓．每篓装了多少个？回答正确得优秀．（）【教学思路】四十九个萝卜，平均装在七个篓里，每个篓里装了多少个？列式是：4977÷=（个）正确答案应该是7个．趣味谜语三：东方太阳刚升起，小玲上学心欢喜．刚刚离家一百米，发现学具没带齐．返身回家拿学具，直奔学校走得急．来到学校细细想，先后共走九百米．小朋友们帮她算，家到学校多少米？（）【教学思路】读完题我们可以画出图来进行分析，小玲从家到学校走到100米处，又返回到家，这样一去一回就走了200米，然后又马上从家走到学校，一共走了九百米．那么小玲从家到学校就是900200700-=（米）趣味谜语四：影院门前人如海，进院对号坐下来，正数我坐第10排，倒数还是第10排，出个题目你猜猜，影院座位有几排？（）【教学思路】一个人在电影院里坐的座位从前排往后排数是第10排，从后排往前数，也在第10排，根据这两个条件可求出这个电影院里一共有多少排座位．我们可以想，正数我坐第10排，就是说他的前面有9排，倒数也是第10排，就是说他的后面也有9排，再加上他坐的这一排，就可以求出共有多少排了．还可以这样想，正数第10排，他坐的这一排算进去了，倒数10排，他坐的这一排也算进去了，这样他坐的这一排就重复算了一次，减1就可以算出电影院里共有多少排座位了．解法一：10110 1-+=（） (排) 解法二：1010119+-= (排) 答：电影院里座位有19排．趣味谜语五：天蓝蓝，草青青，同学军训真高兴． 队列训练最精彩，队伍排成十字形． 正中站的是小玲．前面同学有四名．(一) 打一文具小鬼小鬼，一张圆嘴．老啃木头，从不喝水． ( 削笔器 ) (二) 打一文具四四方方一小匣，匣上按钮顶呱呱．加减乘除别发愁，轻轻一按算好啦． ( 计算器 ) (三) 打一生活用品上不怕水，下不怕火；家家厨房，都有一个． （ 锅 ） (四) 打一物一样东西亮晶晶，又光又硬又透明，工人叔叔造出来，它的用处数不清． （ 玻璃 ）仔细想，算分明，军训学生共几名？（）【教学思路】通过读儿歌，我们可以画出示意图，解法一：小玲前后左右都有四个同学，那么她四周一共有4416+=（名）同学．解⨯=（名）同学，加上小玲自己参加军训的一共就是16117法二：队伍排成十字形，一排是4419⨯-=++=（名），一列也是9名，一共就有92117（名）．中间小玲被重复数了一次，应该减去．趣味谜语六：一座山，三面坡，每面坡上树三棵．棵棵树上三根枝．每根枝上三个果．坡上共有多少树？一共结了多少果？（）【教学思路】一座山，有三面坡，每面坡上有三棵果树．那么这座山上一共有339⨯=（棵）果树．每棵树上有三根枝，每根枝上结了三个果，我们就知道一棵树上可以结：339⨯=（个）果子，9棵树就可以结：9981⨯=（个）果子．这道题可以边读边画图来引导学生分析题意，也是对前面所学乘法的一个应用．趣味谜语七：劳动模范王小艺．家中养了一群鸡．每只每天一把米．三天吃米二十七．母鸡下蛋叫声急，红皮鸡蛋令人喜．每只每天下一个．三天下蛋二十一．公鸡母鸡各几只？请你动脑算仔细．（）【教学思路】王小艺家的鸡，三天一共吃了二十七把米，那么我们就知道这些鸡每天一共吃2739÷=（把）米，又知道每只鸡每天只吃一把米，一天共吃了9把米，那就有9只鸡．其中母鸡三天下了21个蛋，那么一天就下了2137÷=（个）蛋，每只母鸡每天只下一个蛋，所以就有7只母鸡，公鸡就有972-=（只）．（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用．）趣味谜语八：河水清清天蓝蓝，小猫钓鱼忙得欢．白猫本领真是大，要钓十条还差三．黑猫本领不简单，钓了鱼儿一整篮．两人比比谁的多，分出上下还真难．它俩共钓多少鱼？小朋友们算一算．（）【教学思路】白猫钓的鱼十条还差三，就是说白猫钓了1037-=条鱼；黑猫钓的鱼和白猫比不分上下，说明黑猫钓的鱼和白猫一样多，也是7条．这样就可以计算出它俩一共钓了多少鱼，+=（条）7714趣味谜语九：一根竹竿两个头，两根竹竿四个头．四根半竿几个头？小刚回答九个头．爸爸听了直摇头，妹做鬼脸伸舌头．小朋友们想一想，请问共有几个头？（）【教学思路】一根竹竿有两个头，两个竹竿就四个头，三根竹竿就六个头，四根竹竿就是八个头，半根竹竿还是有两个头，所以四根半竹竿有十个头．趣味谜语十：花鼓敲，喇叭叫，田鼠娶亲好热闹．八只田鼠抬花轿，六只田鼠吹鼓号．两只田鼠放鞭炮．新郎新娘哈哈笑．客人六桌都坐好．每桌八鼠齐来到．黑猫警长得情报，田鼠全被包围了．战斗进行五分钟，田鼠一个没跑掉．打扫战场庆胜利．消灭田鼠有多少？（）【教学思路】迎亲的队伍中，有八只田鼠抬花轿，六只田鼠吹鼓号，两只田鼠放鞭炮，还要加上新郎和新娘，这一共是862218+++=（只）田鼠．客人六桌都坐好．每桌八鼠齐来到，客人一共是8648+=（只）田鼠，这66只田鼠全部被消灭．⨯=（只）田鼠．现在一共有1848661．大公鸡，真美丽，跑来一只又一只，接着又来三四五六七八只．小朋友们算一算，共有几只大公鸡？【答案】第一次跑来一只，又来了一只，接着来了3只、4只、5只、6只、7只、8只．现在一共有+++++++=（只）11345678352．四队同学做早操，每队人数一样多，小燕前面有4人，后面还有5个人，认真仔细数一数，共有几人做早操？【答案】一队有：45110⨯=（人），一共有40人做早操．++=（人），四队有：104403．十字队列练体操，小红站在正中央，从前往后她第4，从后往前也第4，从左往右她第4，从右往左还第4，细心的同学算一算，共有几人练体操？【答案】方法一：34113⨯+=（人），方法二：4417⨯-=（人），共有13人练+-=（人），72113体操．4．一头猪，呼呼睡．两只耳朵四条腿．两头猪，大又肥，四只耳朵八条腿．三头猪，排成队，几只耳朵几条腿？【答案】三头猪，6只耳朵，12条腿．5．大刚小明俩棋迷，摆上棋盘争战急．小明两盘没有输，面带笑容真得意．大刚一赢加一平，眼瞪小明不服气．小朋友们算仔细，他俩共下几盘棋？【答案】他俩共下了3盘棋．我们可以这样分析：什么池里没有水？三个人合撑一把伞在路上走，可没有一个人被淋湿，为什么？什么饭不能在晚上吃？什么桥下没有水？什么光完全没有亮？一个人在沙滩上行走，回头一看，为什么看不见自己的脚印？【答案】（1）电池；（2）没有雨；（3）早饭和午饭；（4）立交桥；（5）时光；（6）倒着走．。
小五数学第11讲：神奇的数字
第十一讲神奇的数字91、最大的一位数字是9，9是完全平方数2、9是帝王之数，帝王的尊严为九五之尊，代表公权的礼器为九鼎，“普天之下，莫非王土”的土地称为九州。
3、9是阳之极，9是三的倍数，三为阳数，因而9就成了阳数的极限，谓之“重阳”，这就是九九重阳的由来。
4、将任意一个三位自然数的各位数字打乱重排得到一个新的自然数，新数与旧数的差全是9的倍数5、将一个数字中的各个位数相加，所得的和若能被9整除，则该数也能被9整除。
6、将一个数字中的各个位数相加（和若为多位数，再将和的各个位数相加，直至得到一个一位数），所得数即为该数除以9后的剩余数。
7、将一个数中的各位数相加所得的和，与原数相减，其差为9的倍数（即被9 整除）。
8、将一个数字反向后与原数相减（一般为大减小），所得差为9的倍数。
9、将两数的9余数相加，若与答案的9余数相等，则计算正确。
10、将两数的9余数相减，若与答案的9余数相等，则计算正确。
（够减直减，不够加9减）11、将两数的9余数相乘，若与答案的9余数相等，则计算正确。
12、一个数a 与它的各个数位数字和b 除以9 的余数相同13、加法数字谜的一个规律：竖式中加数总共进了几位，和的数字和就比加数的数字和减少几个9一、数字9的整除性二、数字9的余数求法三、数字9的灵活使用例1：下列数字能被9整除的是（）A．19解析：各位数的和能被9整除，一个数就能被9整除答案：c例2：下列自然数除以9的余数最大的是（）A．186解析：将一个数字中的各个位数相加所得数即为该数除以9后的剩余数答案：A例3把…化成分数解析：…×100=………×100－… = …－…(100－1)×…= 47即 99×… = 47那么… = 47/99答案：47/99例4某三位数是9的倍数,且在300到400之间,它的百位数字与个位数字之和是解析：某三位数是9的倍数,且在300到400之间,它百位数字与个位数字之和等于十那么这个三位数是387答案387例5等式386A5961=（3*（2066+A））（3*（2066+A）），其中字母“A”代表1到9中的一个数字，求A代表的是哪个数字解析：等号的右边是一个能够被9整除的数，也就是说左边的这个数字是能被9整除的，这个时候我们只需要来找左边这个数字的数字根就可以了，把9或者相加能得到9的数字全部去掉，可以去掉3和6，8和1,9，最后剩下的是5、6和A，5+6=11,11只能加7最终的结果才能是9的倍数，所以字母A只能代表数字7答案：7例6：观察9=（101-1） 99=（102-1） 999=（103-1）请写出===解析：=9999÷10000=（104-1）÷10000=2222÷10000=（104-1）÷10000÷9×2=1111÷10000=（104-1）÷10000÷9答案：（104-1）÷10000（104-1）÷10000÷9×2（104-1）÷10000÷9A1、求7123021 除以9 的余数为（）A、1B、3C、5D、7解析：7+1+2+3+2+1=16，16÷9=1…7；答案：D2、求1234567除以9的余数为（）A、1B、3C、5D、7解析：1+2+3+4+5+6+7=28 28÷9=3 (1)答案：A3、下列各式余数为3的是（）A、1234÷9B、2345÷9C、4567÷9D、6789÷9解析：一个数初一9的余数与这个数各位数和除以9的余数相等答案：D4、计算9×11解析：数字的简便运算尽量化成10的倍数9×11=（10-1）×（10+1）==100-1=99答案：995、请直接写出下列各式的余数（1）（2）1238765÷9（3）8763451÷9 （4÷9（5）7826012÷9 （6÷9解析：一个数a 与它的各个数位数字和b 除以9 的余数相同答案：5 5 7 4 8 2B1、把…化成分数为解析：…×10＝……×10－… = …－…(10-1) ×… =3即 9×… = 3那么… = 3/9 =1/3答案：1/32、下列各式的余数分别为（1）23478÷9 （2）82378÷9（3）829876÷9 （4）938167÷9解析：一个数除以9的余数等于这个数各位数和除以9的余数答案：6 1 4 73、验证下列各式的差除以9的余数与0的关系（1）54321-12345 （2）62351-15326（3）92751-15729 （4）74924-42947（5）32-23 （6）83279-97238解析：将一个数字反向后与原数相减（一般为大减小），所得差为9的倍数。
部编版数学五年级上册第11讲.数字谜中的最值.超常体系
第１１讲四年级春季破译横式五年级暑假数阵图综合五年级秋季数字谜中的最值六年级暑假逻辑推理综合六年级暑假数字谜中的计数极端思想；数字谜中的最值问题.漫画释义知识站牌有的题目故意被出题人拿掉一个或几个条件，使题目变得残缺不全，成为一道错题，可是在问题中加上“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字样，又“起死回生”成为一道最值问题。
数字谜中的最值问题和其它最值问题一样，采用论证与构造相结合的方法进行解决。
1.掌握最值问题的基本思想：极端分析2.灵活运用极端分析解决数字谜中的最值.1.数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；2.竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、位数的差别等．3.数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位借位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．4.数字谜中的最值问题除了数字谜问题常用的分析方法外，还会利用到最值问题的方法，最常用的是枚举比较法与极端分析法．1.请在下面的方框中填出能确定的数字。
【分析】可确定出1，0，9这三个数字。
此题为数字谜中的“黄金三角”2.由数字1，2，3，4各一次构成两个两位数，则这两个数的和最小为____，最大为____.【分析】最小为13+24=37；最大为41+32=73知识点回顾经典精讲课堂引入教学目标第１１讲3.由数字1，2，3，4各一次构成两个两位数，则这两个数的积最小为____，最大为____.【分析】最小为13×24=312；最大为41×32=1312模块1：例1-3，加减法竖式谜中的最值模块2：例4-5，乘除法竖式谜中的最值模块3：例6-8，模式数字谜中的最值将数字0～9不重复的填入下面竖式中加数的位置，则结果的最大值和最小值分别为多少？+（学案对应：超常1）【分析】极端分析，最小值为1036+247+58+9=1350.最大值时要注意，结果为4位数，因此理论最大值为9999.经实验可知：9701+236+54+8=9999.【铺垫】用数字0～9各一次构成2个五位数，则这2个五位数和的最大值和最小值分别为多少？【分析】极端分析：最大值为97531+86420=183951.最小值为：10468+23579=34047【铺垫】用数字0～9各一次构成5个两位数，则这5个两位数和的最大值和最小值分别为多少？【分析】极端分析：最大值为：94+83+72+61+50=360，最小值为10+26+37+48+59=180将数字1～9填入下图竖式的9个方格中，每个数字只能用一次，那么和的最小值为多少？213+（学案对应：超常2，带号1）【分析】四个数的所有数字之和为129201351+++++++=，除以9余6，所以和除以9余3，最小为3126，然而此时加数的四位数无法构造，逐步调整为3135构造4290621873135++=，所以最小值3135例题思路【铺垫】右式中不同的汉字代表1～9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?＋国京运8中北奥0新新02【分析】“新”必为9，千位才能得2，所以“中”应为8.“国”、“京”、“运”之和应为8或18，但当和为18时，（“国”、“京”、“运”分别为7，6，5），“中”、“北”、“奥”之和最大为15（“中”、“北”、“奥”分别为8，4，3），不能进位2，所以“国”、“京”、“运”之和只能是8，此时，“北”、“奥”只能分别为7和5，则“国”、“京”、“运”分别为4、3、1，为使“中国”代表的两位数最大，“国”取4.即“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是84.【铺垫】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．“美妙数学花园”代表的6位数最小为____．2007+美妙数学花园好好好好【分析】“好”为2，要使算式满足则必有(美+数+花)≥20．要使“美妙数学花园”代表的6位数最小，则美+数+花＝3+8+9，妙+学+园＝15＝4+5+6．即“美妙数学花园”代表的6位数最小为348596【铺垫】右式中的a ，b ，c ，d 分别代表0～9中的一个数码，并且满足()2a b c d +=+，被加数最大是多少？5a b cd+【分析】若5b <，则由竖式知a =c ，b d <，不满足()2a b c d +=+；若5b ≥，则由竖式知1a c =-，5b d =+，代入()2a b c d +=+，得4c d +=．由此推知cd 最大为40，ab 最大为40535-=．【拓展】有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是11469，那么其中最小的四位数是多少？【分析】设这四个数字是a b c d >>>，如果0d ≠，用它们组成的最大数与最小数的和式是11469a b c d d c b a +，由个位知9a d +=，由于百位最多向千位进1，所以此时千位的和最第１１讲多为10，与题意不符．所以0d =，最大数与最小数的和式为0011469a b c c b a +，由此可得9a =，百位没有向千位进位，所以11a c +=，2c =；64b c =-=．所以最小的四位数cdba 是2049．【拓展】在下面的算式中，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 分别代表1～9中的数字，不同的字母代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则三位数EFG 的最大可能值是．26A B C DE F G +【分析】可以看出，1A =，6D G +=或16．若6D G +=，则D 、G 分别为2和4，此时10C F +=，只能是C 、F 分别为3或7，此时9B E +=，B 、E 只能分别取()1,8、()2,7、()3,6、()4,5，但此时1、2、3、4均已取过，不能再取，所以D G +不能为6，16D G +=．这时D 、G 分别为9和7；且9C F +=，9B E +=，所以它们可以取()3,6、()4,5两组．要使EFG 最大，百位、十位、个位都要尽可能大，因此EFG 的最大可能值为659．事实上134********+=，所以EFG 最大为659．将数字0～9不重复的填入下面竖式中减数与被减数的位置，则结果的最大值和最小值分别是多少？数学谜语——乾隆皇帝的数字谜乾隆曾出过一个以数字为谜底的词谜．乾隆皇帝很欣赏纪晓岚的渊博学识，有时候故意出难题考他．有一次，乾隆出了这样一个颇为有趣的词谜：下珠帘焚香去卜卦，问苍天，侬的人儿落在谁家？恨王郎全无一点真心话．欲罢不能罢，吾把口来压！论文字交情不差，染成皂难讲一句清白话．分明一对好鸳鸯却被刀割下，抛得奴力尽手又乏．细思量口与心俱是假．乾隆得意洋洋地问纪晓岚：“老爱卿，你可知道这个词谜的谜底是什么？”纪晓岚沉思了片刻答道：“圣上才高千古，令人敬佩！这表面上是一首女子绝情词，实际上各句都隐藏着一个数字．”原来谜底是“一二三四五六七八九十”．解法是：“下”去“卜”是一；“天”不见“人”是二；“王”无“一”是三；古时候“一”(也可竖写成“1”)繁体中“罢”为四字下面加一能字，“吾”去了“口”是五；“交”不要差(叉谐时，意指×)是六；“皂”去了“白”是七；“分”去了“刀”是八；“抛”去了“力”和“手”是九；“思”去了“口”和“心”是十．【分析】极端分析：最大值为98765-10234=88531.最小值为46012-35987=10025【铺垫】下式中的a ，b ，c ，d 分别代表0～9中的一个数码，并且满足()2a b c d +=+，被减数最小是多少？3a bc d-【分析】若3b ≥，则由竖式知a =c ，b d >，不满足()2a b c d +=+；若2b ≤，则由竖式知1a c =+，103b d +-=，即7b d +=，代入()2a b c d +=+，得6a b +=．由2b ≤知4a ≥，所以ab最小为42．【铺垫】用数字0～9各一次构成2个五位数，则这2个五位数的差的最大值和最小值分别为多少？【分析】极端分析：最大值为98765-10234=88531.最小值为50123-49876=247.【铺垫】下面竖式中，“学理科到学而思”的每一个汉字表示0到9这10个数字中的一个，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，三位数“学而思”的最小值是_____.211-学理科到学而思【分析】学=2，所以理=3，十位要从百位借位，那么科=0或1，尝试得最小为2305-2011=294【铺垫】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大7902，那么所有符合这样条件的四位数中原数最大的是．7902D C B AAB C D -【分析】用A 、B 、C 、D 分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式．从首位来看A 只能是1或2，D 是8或9；从末位来看，102A D +-=，得8D A =+，所以只能是1A =，9D =．被减数的十位数B ，要被个位借去1，就有1B C -=．B 最大能取9，此时C 为8，因此，符合条件的原数中，最大的是1989．在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是．第１１讲64⨯（学案对应：带号2）【分析】由于被乘数乘以6得到的数的个位数字为4，所以被乘数的个位数字为4或9，如果为9，那么被乘数乘以乘数的十位数字得到的数的个位数字不可能为0，与题意不符，所以被乘数的个位数字为4，且乘数的十位数字为5，所以乘数为56．由于被乘数乘以6得到的五位数至少为10004，而10004616672÷= ，所以被乘数大于1667，而被乘数的个位数字为4，所以被乘数至少为1674，乘积最小为16745693744⨯=【铺垫】把1～9这九个数字填入下面算式的九个方框中（每个数字只用一次），使三个三位数相乘的积最大。
第十一讲 数学谜中的最值
a b c b a 是 9 的倍数， c 8 ， 59895 45 1331 符合条件.
7 8
→
【点评】由此可看出除法竖式的填写过程与乘法并无多少区别，因为两者的关键都是多位数乘以一位 数得到部分积. 可转化为竖式的横式： 【第三单元 4】我们用 abc 表示 a、b、c 三个数相乘的积，而 abc 则表示一个百位是 a、十位是 b、 个位是 c 的三位数. 那么，满足 fabcde 3 abcdef 的最小的六位数 abcdef 是多少？ 【答案】142857 【分析】向竖式转化，要 abcdef 最小也就是要 fabcde 最小，则 f=1，再从后向前逐个推：
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 【具体题目和方法】 例子的重要性： 【第一单元 3】右边的加法算式中，每个“ □ ”内有一个数字，所有“ □ ”内的数字之和最大可达到 多少？
【答案】60 【分析】首先注意百位一定向千位进了 2. 分析数字和可知下方的数字和为 6，若要上方数字和最大， 则需进位点尽量多. 最多有 6 个进位点（个位向十位、十位向百位、百位向千位都进了 2） ，故上 方数字和最大为 6 + 9 ´ 6 = 60 . 这个值是可以达到的，例子： 668 + 668 + 668 = 2004 . 【点评】不要小看第一步的“百位向千位进 2” ，如果本题改问最小值，则最小值为 6 + 9 ´ 2 = 24 ，例 子： 901 + 901 + 202 = 2004 ，就是因为这 2 个进位是一定确定的. 最后一步的例子也是不能少的， 无论题目中或竖式里有何种要求，无论你对题目分析得多么透彻，都不如一个实实在在的例子有 说服力. 无论你的答案是什么，都要举出对应的例子，或者说都要将所有的位置全填出来. 一道标准的加法竖式谜： 【第一单元 4】将数字 1～9 填入下图竖式的 9 个方格中，每个数字只能用一次，那么和的最小值 为多少？
第十一讲(最值问题)
第十一讲 简单的最值问题最值问题简单地说，就是求最大、最小、最长、最短等“最”的问题，它出现的范围很广，数字操作、数字谜、抽屉原理、智巧趣题……我们都见过这类题的身影。
一、解题思路针对不同的题有不同的策略和方法，但总体来说，可以从以下三个方面思考——1、枚举法即把满足题意的可能性一一列举出来，再找出最值。
显然，这个方法适合于答案的个数不太多或规律不明显的题。
例3 3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少？解析：直接找规律，似乎没有什么入手点。
而题目所问的是乘积的个位数字，只与因数的个位相关，3个连续奇数的个位数字可以一一列举出来：1,3,5——乘积个位是53,5,7——乘积个位是55,7,9——乘积个位是57,9,1——乘积个位是39,1,3——乘积个位是7可见，乘积的个位数字最小是3。
2、推理构造通过挖掘题目中的各项信息，找寻规律，分析推理最值怎样产生，再经过合理的构造确定最值。
这个方法是用得比较多的：）课前连环画 一个村庄有1000个小矮人，他们每个人不是戴红帽子，就是戴蓝帽子，只要戴红帽子就说真话，戴蓝帽子就说假话。
有一天，他们恰好每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子，问这天他们总共最少变换了多少次帽子颜色？解析：根据题意分析，1、见面的两人戴的帽子一定是一红一蓝。
2、每两人都要见一次面，属于握手问题。
为了分析清楚，我们按规律让他们“见面”构造：1到1000号小矮人按顺序站成一排，1号戴红帽子，其余都戴蓝帽子，先让1号与其他的小矮人都见面，见完后他就回家了。
接下来2号小矮人将自己的蓝帽子变成红帽子，与其他小矮人都见一次面，见完后他也回家了……以此类推，最后999号小矮人把蓝帽子变成红帽子，与1000号小矮人见面。
到此所有的小矮人都两两见了一次面，而且保证每次见面时都说对方戴蓝帽子。
一共变了998次帽子颜色（1号和1000号没有变）。
只是这个构造方法还不足以说明这998次是最少的。
全国通用六年级下册数学试题-小升初：第十一讲 数字谜与数阵图(解析版)
【例 10】★★★如图为一个三阶幻方，其中两个数已填好，求标有*的空格中所填的数。
*
19
95
【解】如图，设第一行第三个数为 x,则通过比较过中心方格的一行及一条对角线知第二行 第一个数为 x+76，再比较第一行与第一列得标有*的方格内数为：95+（x+76）-x=171.
x
x+76
19
95
【点评】本题本来是填幻方的题目中较难的一道，题目中已知每个条件这么少，还能得到 这样的结论，可见幻方是多么的有趣。这里有一种重要的思想，就是在相交于一格的两条 线（行与列，行或列与对角线），则必有除相交格的剩余格之和相等。
÷ = ÷ =2；
2 43 6
1 11 13
÷= ÷= ；
2 34 62
1 11 12 1 11 11
÷=÷=； ÷=÷=.
6 43 23 6 34 22
同理，由 3×8=4×6 得到
1 11 14 1 11 1
÷ = ÷ = ； ÷ = ÷ =2；
3 46 83 3 64 8
1 11 11 1 11 13
4
在
7
1
中的“口”内，可以填写的整数只有_________.
5口 2
①10、11、12、13； ②9、10、11、12、13；
③8、9、10、11、12、13； ④无数个．
【解】： 由 7 1 7 ，得口 14 口 2 14
又 4 7 ，而，7 所4以口，，，，9 1，0应11选12 1有人把数字谜问题叫做思维锻炼的体操，这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、 判断及推理能力。数字谜是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现.解这类 问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步简化题目直至问题完全解决.
数学：第11讲《数字谜中的最值》讲义
□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 3 2 □ □ 1
【答案】 2941，2431 【分析】 最大值：首先可得到： 1 □ 3
1 7 1 □ □ 1 1 □ 3 2 □ □ 1 注意到乘积不能超过 3000， 3000 17 1768，所以最大
只能是 173 和 17 相乘，积是 2941. 最小值：第一个部分积最小是 143 7 1001，故乘积最小是 143 17 2431 例5 如下面除法竖式的每个方框中 填入适当的数字，使竖式成立， 并使商尽量的小．那么，商的最 小值是 ．
【分析】 两数都要尽量大，d 是偶数，最 大是 8，此时 a 必须是 4（如果 是 5 则式子结果在 35000 以上， ， 35000 4 8750， dabc 做不到） 把这个横式当两个结果相同的 竖式来看：
4 b c 8 7 6 8 4 b c 4 6
所以从右边竖式得出 c 是 4 或 9， 而由于结果肯定是 4 的倍数，说 明 abcd 是 4 的倍数，则 c 是 4， 然后可由两式结果相等得出 b 是 8：
b 10 3 d ，即 d b 7 ， c d (a b) 6 又有 c d 2(a b) ，得 c d 12 ．差 最小为 39， 所以被减数最小 42．
练一练 b， c， d 分别代表 0～ 下式中的 a， 9 中的一个数码，并且满足 a b 2(c d ) ， 被加数最大是多 少？ a b 5 c d 【答案】 35 【分析】 如果不发生进位，则 c a ，
4 8 4 8 7 3 3 9 3 6
8 4 8 4 4 3 3 9 3 6
两数都要尽量小，d 是偶数，最 小是 2，此时 a 必须是 1，把这 个横式当两个结果相同的竖式 来看： 1 b c 2 2 1 b c 7 4
(小学奥数)最值的数字谜(一)
5-1-2-4.最值中的數字謎（一）教學目標1.掌握最值中的數字謎的技巧2.能夠綜合運用數論相關知識解決數字謎問題知識點撥數字謎中的最值問題常用分析方法1.數字謎一般分為橫式數字謎和豎式數字謎．橫式數字謎經常和數論裏面的知識結合考察，有些時候也可以轉化為豎式數字謎；2.豎式數字謎通常有如下突破口：末位和首位、進位和借位、個位數字、位數的差別等．3.數字謎的常用分析方法有：個位數字分析法、高位數字分析法、數字大小估算分析法、進位錯位分析法、分解質因數法、奇偶分析法等．4.除了數字謎問題常用的分析方法外，還會經常採用比較法，通過比較算式計算過程的各步驟，得到所求的最值的可能值，再驗證能否取到這個最值．5.數字謎問題往往綜合了數字的整除特徵、質數與合數、分解質因數、個位數字、餘數、分數與小數互化、方程、估算、找規律等題型。
例題精講【例 1】 有四個不同的數字，用它們組成最大的四位數和最小的四位數，這兩個四位數之和是11469，那麼其中最小的四位數是多少？【例 2】 將一個四位數的數字順序顛倒過來，得到一個新的四位數，如果新數比原數大7902，那麼所有符合這樣條件的四位數中原數最大的是 ． 7902D C BA AB CD -【例 3】 在下面的算式中，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 分別代表1～9中的數字，不同的字母代表不同的數字，恰使得加法算式成立．則三位數EFG 的最大可能值是 ．2006A B C DE F G +【巩固】 如圖，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字，那麼四位數“奧林匹克”最大是奥林匹克+奥数网2008【例 4】 下麵是一個n 進制中的加法算式，其中不同的字母表示不同的數，求n 和ABCDE 的值． A B C DC B E B C E A B E+【例 5】 右式中的a ，b ，c ，d 分別代表0～9中的一個數碼，並且滿足()2a b c d +=+，被加數最大是多少？5a bc d +【巩固】 下式中的a ，b ，c ，d 分別代表0～9中的一個數碼，並且滿足()2a b c d +=+，被減數最小是多少？3ab c d-【例 6】 從1—9這9個數字中選出8個不同的數字填入右面的方格中，使得豎式成立．其中的四位數最大可能是 ．【例7】如圖，在加法算式中，八個字母“QHFZLBDX”分別代表0到9中的某個數字，不同的字母代表不同的數字，使得算式成立，那麼四位數“QHFZ”的最大值是多少？20091Q H F Z Q H L B Q H D X+【例8】把0，1，2，…，8，9這十個數字填到下列加法算式中四個加數的方格內，要求每個數字各用一次，那麼加數中的三位數的最小值是多少？2007+【例9】如圖，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字．“美妙數學花園”代表的6位數最小為．2007美妙数学花园好好好好【例10】面算式由1～9中的8個組成，相同的漢字表示相同的數，不同的漢字表示不同的數.那麼“數學解題”與“能力”的差的最小值是__________.【例11】右邊的加法算式中，每個“□”內有一個數字，所有“□”內的數字之和最大可達到。
数学 《数字谜中的最值》讲义
少？
ab
5
cd
【答案】 35 【分析】
如果不发生进位，则c a，
d b 5，c d (a b) 5，不 可能还有a b 2(c d )，所以一 定进位了，c a 1， d b 5 10 b 5， c d (a b) 4，又有 a b 2(c d )，所以c d 4 ， 和最大为 40，被加数最大为 35．
9 (bc 8 ef ) gh1 此时 e 的加权为 720，远超 g 的 加权（100），故e 7； 9 (bc 8 7 f ) gh1 b、c、f、g、h 的加权分别为 90、 9、72、100、10，故知g 6，b 5， f 4，h 3，c 2； 9 (52 8 74) 631 6427
e f ，g h i 1（i 没有任何 加权，故 i 必为 1）； 分析d ef 可知d e；d 的加权 （ef a）大于 b 的加权（10a）， 故d b 因d 1，故e b， f c； 即使把最小的 1、2、3、4、5 分 配给 b、c、d、e、f，bc d ef 也 能组合成 31 5 42 241 100， 故知a g ；（将 a、d 的值互换， 比较两式之差这个方法）分析 a、 d 可知a d ，可见 a 的优先度大 于所有其他各数，故a 9； 9 (bc d ef ) gh1 d 的加权为9 ef 100，故d g ， 可见 d 的优先度大于其它各数， d 8；
【答案】 59895 【分析】
根据题意，abcba 45deed ，则 abcba为 45 的倍数，所以 a 应为 0 或 5，又 a 还在首位，所以 a=5，
现在要让 abcba 尽可能的大，首 先需要位数高的尽可能的大，所
以令b 9,为了满足
a b c b a是 9 的倍数，c 8， 59895 45 1331符合条件. 最小值：若以数论方法分析，最 小值并不易求. 但是我们已经得 到了最大的商是 1331，那么最小 值得到的商只可能是 1001、1111、 1221 中的一个，枚举可知只有 451221 54945是最小值. 同 时也会发现此题只有 2 个答案.
小学奥数之最值中的数字谜解法(完整版)
小学奥数之最值中的数字谜解法1. 掌握最值中的数字谜的技巧2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题数字谜中的最值问题常用分析方法1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型。
【例 1】 有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是11469，那么其中最小的四位数是多少？【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设这四个数字是a b c d >>>，如果0d ≠，用它们组成的最大数与最小数的和式是11469a b c dd c b a +，由个位知9a d +=，由于百位最多向千位进1，所以此时千位的和最多为10，与题意不符．所以0d =，最大数与最小数的和式为0011469a b c c b a +，由此可得9a =，百位没有向千位进位，所以11a c +=，2c =；64b c =-=．所以最小的四位数cdba 是2049．【答案】2049【例 2】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大7902，那么所有符合这样条件的四位数中原数最大的是 ．5-1-2-4.最值中的数字谜（一）教学目标知识点拨例题精讲7902D C B A A B CD - 【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 用A 、B 、C 、D 分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式．从首位来看A 只能是1或2，D 是8或9；从末位来看，102A D +-=，得8D A =+，所以只能是1A =，9D =．被减数的十位数B ，要被个位借去1，就有1B C -=．B 最大能取9，此时C 为8，因此，符合条件的原数中，最大的是1989．【答案】1989【例 3】 在下面的算式中，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 分别代表1～9中的数字，不同的字母代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则三位数EFG 的最大可能值是 ．2006A B C D E F G +【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 可以看出，1A =，6D G +=或16．若6D G +=，则D 、G 分别为2和4，此时10C F +=，只能是C 、F 分别为3或7，此时9B E +=，B 、E 只能分别取()1,8、()2,7、()3,6、()4,5，但此时1、2、3、4均已取过，不能再取，所以D G +不能为6，16D G +=．这时D 、G 分别为9和7；且9C F +=，9B E +=，所以它们可以取()3,6、()4,5两组．要使EFG 最大，百位、十位、个位都要尽可能大，因此EFG 的最大可能值为659．事实上134********+=，所以EFG 最大为659． 【答案】659【巩固】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么四位数“奥林匹克”最大是奥林匹克+奥数网2008【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6年级，1试，第2题 【解析】 显然“2≤奥”，所以“1=奥或2”，如果“2=奥”，则四位数与三位数的和超过2200，显然不符合条件，所以“1=奥 ”，所以“9≤林 ”，如果“9=林 ”那么“200819001008+=--=匹克数网 ”，“0=匹=数”，不符合条件，所以“林”最大只能是8，所以“20081800100108+=--=匹克数网”，为了保证不同的汉字代表不同的数字，“匹克”最大是76，所以“奥林匹克”最大是1876。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第十一讲 数阵图与数字谜 竞赛篇(解析版)全国通用
第十一讲数阵图与数字谜编写说明在四年级秋季第九、十讲和春季第三讲我们对数阵图进行了讲解,在寒假第6、7讲对数字谜进行了讲解. 本讲我们将针对这两部分知识进一步巩固和提高. 此部分内容我们在一步步分析时比较占用时间,所以本讲的例题量设置较少！同时教师也可用来缓解前几讲习题的压力！你还记得吗【复习1】请你把1～7这七个自然数,分别填在右图的圆圈内,使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？分析：关键在于确定中心数a和每条直线上几个圆圈内数的和k. 为了叙述方便,先在各圆圈内填上字母,如右下图.设每条直线上的数字和为k.根据题意可得：2a＋28=3k 由于28与2a的和为3的倍数,a又为1～7中的数字,经过尝试可知:a为1、4或7.若a=1,则k=10,直线上另外两个数的和为9. 得到一个解为：a=1,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=5.若a=4,则k=12,直线上另外两个数的和为8. 得到第二个解为：a=4,b=1,c=2,d=3,e=7,f=6,g=5.若a=7,则k=14,直线上另外两个数的和为7. 得到第三个解为：a=7,b=1, c=2,d=3,e=6,f=5,g=4.【复习2】将1～7这七个数分别填入右图的○里,使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等.分析：所有的数都是重叠数,中心数重叠两次,其它数重叠一次. 所以三条边及两个圆周上的所有数之和为：(1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数.因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等,所以这个和应该是5的倍数,再由中心数在1至7之间,所以中心数是4. 每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝12.中心数是4,每边其余两数之和是12-4=8,两数之和是8的有1,7；2,6；3,5. 于是得到右下图的填法.【复习3】在右图所示的竖式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字。
如果：巧+解+数+字+谜=30,那么“数字谜”所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位,5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”,“谜”必定是5（0显然可以排除）； 接着看十位,四个“字”相加再加上进位2,结果尾数还是“字”,那说明“字”只能是6； 再看百位,三个“数”相加再加上进位2,结果尾数还是“数”,“数”可能是4或9； 再看千位,（1）如果“数”为4,两个“解”相加再加上进位1,结果尾数还是“解”,那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24,30-24=6,“巧”等于6与“字”等于6重复,不能；（2）如果“数”为9,两个“解”相加再加上进位2,结果尾数还是“解”,那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28,30-28=2,可以. 所以“数字谜”代表的三位数是965.数 阵 图数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵. 幻方是特殊的数阵图,一般地,将九个不同的数填在3×3（即三行三列）的方格中,使每行、每列、及二条对角线上的三数之和均相等,这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. n 阶幻方的定义与三阶幻方相仿！【例1】 （1）将九个数填入下图（1）的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k,则中心方格中的数必为3k.请你说明理由！（2）将九个数填入下图（2）的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有：2a be +=.请你说明理由！（3）将九个数填入下图（3）的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有：2a bc +=.请你说明理由！分析：（1）因为每行的三数之和都等于k,共有三行,所以九个数之和等于3k.如右下图所示,经过中心方格的有四条虚线,每条虚线上的三个数之和都等于k,四条虚线上的所有数之和等于4k,其中只有中心方格中的数是“重叠数”,九个数各被计算一次后,它又被重复计算了三次.所以有：九数之和+中心方格中的数×3=4k, 3k+中心方格中的数×3=4k,中心方格中的数=3k （2）和=3e ,a+e+b=和=3e,所以a+b=2e,即得：2a be +=.（3）设中心数为d. 每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d. 由此可得右图,那么有：c +（2d-b ）= a +（2d-c ）,由此可得：2a bc +=. 值得注意的是,这个结论对于a 和b 并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数；可以相同,也可以不同.【巩固】在下图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.分析：右下角的数为（8＋10）÷2=9,中心数为（5＋9）÷2=7,且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图 的填法.【巩固】（必讲题目）在右图的每个空格中,填入不大于12且互不相同的八个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21 .分析：中央一数必定是21÷3=7．从而一条对角线为8,7,6．另两个角上的数,和为14=2＋12=3＋11=4＋10=5＋9,不难验证只有3、11与4、10两种符合要求．于是填法有：【例2】 将1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3×3的方格内,使其构成一个幻方.分析：（法1）：易得中心数为9,然后将剩余那么其余8个数分为4组,每组两个数的和是18,把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内,实验可得结果,如右图. 答案不唯一,仅供参考.（法2）：其实会学习的小朋友就知道理利用已经学习过的一些典型题目结果加以变形得到新题答案.事实上我们可以把结果中的幻方看作是1～9填图的幻方相应位置数字乘2减1得来的.推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的形式.我们可以把它推广到等差数的幻方 ,等差数列可与序号1～9一一对应,把等差数填在相应的序号中.【前铺】将自然数1至9,分别填在右图的方格中,使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等.分析：（法1）：三行的总和=1＋2＋3＋4＋…＋9=45,所以每行三个数的和是45÷3=15,所以E代表15÷3=5,由于在同一条直线的三个数之和是15,因此若某格中的数是奇数,那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.因此,四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则,若A为奇数,则I为奇数.此时若B 为奇数,则其余所有格亦为奇数；若B为偶数,则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形,都与1至9中有5个奇数,4个偶数这一事实矛盾.）因此,B、D、F、H为奇数.我们不妨认为A=2（否则,可把3×3方格绕中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8.此时有两种选择：C=4或G=4.因而,G=6或C=6.其他格的数随之而定.如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话,一共只有两种不同的填数法：A=2,C=4或A=Z,G=4（2,4被确定位置后,其他数的位置随之而定）.（法2）：从法1知道中心数为5,那么其余8个数分为4组,每组两个数的和是10,把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内,实验可得结果.这种试填的方法更易让学生接受.【拓展】如图（1）的3×3的阵列中填入了l～9的自然数,构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个3×3的阵列,如图（2）,请选择9个不同自然数填人9个方格中,使得其中最大者为20,最小者大于5,且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.分析：①观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数,其中最大的数是9,最小的数是1,且横加、竖加、对角线方式相加结果相等.②根据题意,要求新制的幻方最大数为20,而9+11=20,因此,如果原表中的各数都增加11,就能符合新表中的条件了.【例3】在1～13这十三个自然数中选十二个填在图中的空格内,使每横行四数之和相等,每数列三数之和相等.分析：由和的整除性质,首先确定使用哪十二个数填图．由于每横行四数之和相等．每竖行三数之和相等知十二个数之和既是3的倍数也是4的倍数,因此是12的倍数,由此可知不用填图的数字是7,所选十二个数和为：[(1+13)×1 3÷2]-7=84,每横行四个数和为：84÷3=28,每竖行三个数和为：84÷4=21．由于竖行和为21,因此可知1,2,3,4在不同竖行,而5只能跟3或4在同一竖行,由此可确定竖行分组有如下两种情况：(1,8,12),(2,9,10),(3,5,13),(4,6,11)或(1,9,11),(2,6,13),(3,8,10),(4,5,12)．再根据横行和为28,易得如下结果：【拓展】右图是一个四阶幻方,请将其补全：分析：根据各行,各列,各对角线和相等为34,可得图（1）,此时我们可以设未知数,如图（2）,将一些数表示出来,进而根据和为34求得x代表9,随后得到答案,如图（3）.【拓展】在图中所示方格表的每个方格内填入—个恰当的字母；可使每行、每列及两条对角线上4个方格中字母都是A、B、C、D,那么标有“＊”的方格内应填的字母是什么？分析：考虑含A和＊的对角线上的元素．第二行第二个元素与C同行,因此不是C,第三行第三个元素与C同列,因此也不是C,所以＊代表的元素必为C．【巩固】在右图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4.分析：如下图所示,受列及对角线的限制,a处只能填1,从而b处填3；进而推知c处填4,d处填3,e处填4,……右下图为填好后的数阵图.【例4】在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个,使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k,并且k不能被未标出的数整除.分析：标出的八个数是每面四个数和的2倍,是偶数,1～9和为45 ,因此未标出的数是一个奇数,在1,3,5,7,9中选一个数,并使余下八个数之和的一半不能被这个数整除,依此可知未标出的数是7.下面用余下的8个数填图,每面四个数和为：（45-7）÷2=19.如果已知某一面上四个数和为19.那么与其平行的面上四数和也必为19.因此我们只考虑有公共顶点的三个面即可.下面我们考虑以9为公共顶点的三个面.由于8,9不公面,因此8在顶点9的对顶点上,有公共点9的三个面上,每面其余三个数和为10,且每两个面有一个公共顶点.由此试验易得三个面上的数分别为：（6,3,1）,（5,4,1）,（3,2,5）,填图如右下图.【例5】右图中大三角形被分成九个小三角形,大三角形的每条边都与其中五个小三角形有公共点,试将1～9九个自然数分别填入这九个小三角形内,使得每条边上的五个小三角形内的数字之和都相等.问这个和最小值是多少？最大值是多少？分析：1～9和为45.设3个只属于一条边的数的和为k,则每条边上五个数和为：（45×2-k）÷3=30-13 k.K最小时,取k=1+2+3=6,一边上的和为：30-13×6=28；K最大时,取k=7+8+9=24,一边上的和为：30-13×24=22,因此这个和最大为28,最小为22.【巩固】将自然数1～11填入右图的11个○中,使得每条直线（共10条）上的三个数字之和都相等.分析：左下角的数属于5条直线共有,对角线上中间的数属于4条直线共有,其余数只属于2条或3条直线,所以左下角的数和对角线上中间的数处于特殊地位,应当首先确定这两个数以及每条直线上三数之和.设每条直线上三数之和为k.由图（1）中5条实线上所有数字之和,可列方程：5k=（1+2+…+11）+4a ,即6645ak+=；因为k是整数,所以a只能取1,6或11；再由图（2）中四条实线上所有数字之和,可列方程：4k=（1+2=…+11）+a , 即664a k+ =.得到a只能取2,6或10. 综合以上讨论知a＝6,k＝18.在图（3）中的5条实线中,只有b属于3条实线共有. 注意到这5条实线上的数字没有6,在剩下的十个数字中,三个数的和等于18的共有以下八组：3＋4＋11；1＋8＋9；1＋7＋10；3＋5＋10；2＋7＋9；2＋5＋11；3＋7＋8；4＋5＋9,其中同时出现在三个算式中的数只有3和9,所以b只可能是3或9,此时c等于9或3. 由同时含有3的三个算式知,若b＝3,c＝9,则d,e只能取4,11或5,10或7, 8,由于每条直线上的三个数之和为18,且c＝9,故d,e不能等于10或11,所以d,e只能取7,8. 由此可得左下图中的答案.同理,若b＝9,c＝3,则可得右下图的另一答案.【巩固】右图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志. 请将1～9分别填入五个圆相互分割的九个部分,并且使每个圆环内的数字之和都相等.分析：设每个圆内的数字之和为k,则五个圆内的数字之和是5k,它等于1～9的和45,再加上两两重叠处的四个数之和. 而两两重叠处的四个数之和最小是1＋2＋3＋4＝10,最大是6＋7＋8＋9＝30,所以,5k≤45＋30＝75且5k≥45＋10＝55,即11≤k≤15 .当k＝11,13,14时可得四种填法（见右下图）,k＝12,15时无解.【例6】自然数1～12中已有一些填人图中的圆圈中,试填入其余各数,使得每条直线上的四数之和相等.分析：十二个数中每个数都出现在两条直线上,每条直线上四个数之和为：[（1+12）×12÷2]×2÷6=26.考虑以a、b、c标出顶点的大三角形的三条边,如图（1）：则：10264261226a bb cc a++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,可得a=4,b=12,c=10同理可得另一个大三角形三个顶点的数.结果如图（2）：【例7】自然数1～12中有一些已填入图中圆圈内,请将其余的分别填入空圆圈内,使得圆中的四个三角形周边上的数字之和相等.分析：如下图（1）,我们设六条边和分别为S1～S6,则根据题目有S 1 +S 2 +S 3 = S 1 +S 5 +S 6 =S 2 +S 4 +S 6 = S 3+S 4+S 5 , 于是我们有：56233526S S S S S S S S +=+⎧⎨+=+⎩,进而可得：2536S S S S =⎧⎨=⎩因此图中六边和满足：142536,,S S S S S S ===,由14S S =及已知1和3的位置知1S 和4S ,两边圆圈中的数差2,同理,另两组对应相等边中的空圆圈中的数差为4和4.也就是说我们要把2,4,6,8,10,12分成三组差分别为2,4,4的数,这里的分法不唯一,给出答案如图（2）仅供参考.142536,,S S S S S S ===数 字 谜【例8】 在下面的算式中,汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1,2,3,4,5,6,7,8,9中的7个数字,不同的汉字代表不同的数字,恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于多少？分析：根据加法规则,“第”=1．“届”+“赛”=6或“届”+“赛”=16．若“届”+“赛”=6,只能是“届”、“赛”分别等于2或4,此时“一”+“杯”=10 只能是“一”、“杯”分别为3或7．此时“十”+“华”=9,“十”、“华’’分别只能取 (1,8),(2,7),(3,6),(4,5)．但l,2,3,4均已被取用,不能再取．所以,“届”+ “赛”=6填不出来,只能是“届”+“赛”=16．这时“届”、“赛”只能分别取9和7．这 时只能是“一”+“杯”+1=10,且“十”+“华”+1=10,也就是“一”+“杯”=9, 同时“十”+“华”=9．所以它们可以分别在(3,6),(4,5)两组中取值．因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．【例9】 右面算式寓意第8届华杯赛于新世纪的第1年举办．新、世、纪、华、杯、赛代表1,2,3,4,5,6,7,8,9中的六个数字(不同的文字代表不同的数字),请把这个算式恢复出来．分析：原式变形为=华杯赛新世纪8．华杯赛最大可能是987．易知新=1. 由12×8=96,13×8=104,可知世=2．若纪≥5,新世纪×8≤987＜1000,所以纪等于4或3；若纪=4,124×8=992,出现华=杯=9,世=赛=2,与题设条件不符； 若纪=3,123×8=984,合乎题意． 所以,题设等式恢复出来是81984123=.【例10】 将0～9中的8个不同的数字分别用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 替换．在替换规则下：g×g =db ,g ×c=bd ,g ×f=ef ,ag b eh +=,如上面4个式子中,“+”、“×”、“=与平常算术中相应的符号意义相同,而且也是十进位制．在这种替换规则下,ca e ⨯的数值等于 .分析：由g×g =db 知,g≥4． 若g=4,d=1,与g ×c=bd 是偶数矛盾； 若g=5,则d=2,b=5,与g ≠b 矛盾； 若g=6,则d=3,b=6,与g ≠b 矛盾；若g=7,则d=4,b=9,由g×c =bd =94,得到c =4÷7=3137也不合题意； 若g=8,则d=6,b=4,由g×c =bd 46,得到c=46÷8=354,仍不合题意； 若g=9,则d=8,b=1,由g×c =bd =18,得到c=18÷9=2,再由g ×f=ef ,f=5,e=4,再由ag b eh +=,得a=e-1=3.所以23492ca e ⨯=⨯=.【例11】 下面算式中不同的汉字代表不同的数字,相同的汉字代表相同的数字。
中考数学几何模型 第11讲阿氏圆最值模型(解析版)
中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A B P O【模型建立】如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25 OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。
故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DPMPDCBA【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM 即可得13． 变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④=237.例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE +PD ≤DE ，在Rt △DCE 中，DE ＝＝5，∴PD +PC 的最小值为5．②连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF ⊥BC 于F ．∵PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，∴BP 2＝BE •BD ，∴＝，∵∠PBE ＝∠PBD ，∴△PBE ∽△DBP ， ∴＝＝，∴PE ＝PD ，∴PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），∵PE +PC ≥EC ，在Rt △EFC 中，EF ＝，FC ＝，∴EC ＝，∴PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______。
五年级秋季班第十一讲 数字谜综合
二． 例题精讲
例 1： 有一个四位整数， 在它的某位数字前面加上一个小数点， 再与这个四位数相加， 得数是 2000.81。 求这个四位数是多少？ 【分析】设四位整数 A 的某位数字前加上小数点得到一个新的数 B，A 与 B 的和为 2000.81。而小 数只能由 B 得到，且 0.81 肯定是 B 的小数部分，所以小数点加在 A 的百位与十位之间，即缩小了 100 倍。有 A+0.01=2000.81，所以 A=1981.
例 2：请你用 1、4、5、6 四个数，适当进行加、减、乘、除运算，每个数恰好用一次，使得计算 结果等于 24. 【分析】6÷（5÷4－1）=24 或 4÷（1－5÷6）=24
例 3：循环小数 0. AB 化成最简分数后，分子与分母之和为 40，那么 A 喝 B 分别是多少？
AB ,由于约分后分子分母之和为 40，没约分之前分子分母之和应该是 40 的倍数，40︱ AB +99 99 21 7 ，满足条件。A=2，B=1. 所以， AB =21，61.其中 0.21 99 33 【分析】0. AB
五年级秋季班第十一讲
数字谜综合
李海君
五年级秋季班第十一讲
一． 经典精讲
数字谜综合
数字谜是杯赛中非常重要的一块，特别是迎春杯，数字谜是必考的，一般学生在做数字谜的 时候都采用尝试的方式，但是这样会在考试中浪费很多时间。本节课主要讲横式数字谜及乘除竖 式数字谜的解题方法，学会通过找突破口来解决问题。最后通过例题的学习，总结解数字谜问题 的关键是找到合适的解题突破口。在确定各数位上的数字时，首先要对填写的数字进行估算，这 样可以缩小取值范围，然后再逐一检验，去掉不符合题意的取值，直到取得正确的解答。 数字谜， 一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式， 这种不完整的算式， 就像 “谜” 一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的性质（和差积商的位数，数的整除性， 奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断。 解数字谜，一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口，推理时应注意： （1） 数字谜中的文字，字母或其它符号，只能取 0～9 中得某个数字； （2） 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件； （3） 必要时应采用枚举和筛选组合的方法（试验法） ，逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； （4） 数字谜解出之后，最好验算一遍。
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8
【答案】 12 ´ 98 = 96 + 1080 = 1176 【分析】第一个部分积是 2 位数，是乘以 8 得来的；第二个部分积是 3 位数，只能是乘以 9 来的；一 个两位乘数，乘以 8 的积小于 100（卡住了上限） ，乘以 9 的积大于 100（卡住了下限） ，满足要求 的只有 12，故这个乘法是 12 ´ 98 ，依此填出其他位置即可. 【点评】这道题是学而思三年级的讲义上的一道例题，很简单，但却是一道非常典型的用位数卡范围 的题. 这是乘、除法竖式中最常用的分析方法. 分析部分积的范围，进而分析对应的乘数的范围， 应该是一道乘、 除法竖式谜的分析主体. 同时可以发现： 乘、 除法中不再有数字和或进位点的分析， 所以相较于加法竖式谜， 乘、 除法竖式谜的考点更为单一 （基本上都是范围分析） ， 思路更好找. 第 二单元例 3 与本题的思路如出一辙，再加上“最小”的思想即可.
6 3 3 8 5 5 0
→
2 6 2 3 3 8 5 5 0
→
7 1 5
2 6 2 3 3 8 1 5 1 5 0 2 2 0 4 1 5 6 4 8 4 6 1 1 6 2 3 6 3 8 5 6 5 6 0
→
7 8
2 6 2 3 1 5 6 3 86 2 3 1 5 6 3 4 6 8 1 5 6 1 5 6 0
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 【具体题目和方法】 例子的重要性： 【第一单元 3】右边的加法算式中，每个“ □ ”内有一个数字，所有“ □ ”内的数字之和最大可达到 多少？
【答案】60 【分析】首先注意百位一定向千位进了 2. 分析数字和可知下方的数字和为 6，若要上方数字和最大， 则需进位点尽量多. 最多有 6 个进位点（个位向十位、十位向百位、百位向千位都进了 2） ，故上 方数字和最大为 6 + 9 ´ 6 = 60 . 这个值是可以达到的，例子： 668 + 668 + 668 = 2004 . 【点评】不要小看第一步的“百位向千位进 2” ，如果本题改问最小值，则最小值为 6 + 9 ´ 2 = 24 ，例 子： 901 + 901 + 202 = 2004 ，就是因为这 2 个进位是一定确定的. 最后一步的例子也是不能少的， 无论题目中或竖式里有何种要求，无论你对题目分析得多么透彻，都不如一个实实在在的例子有 说服力. 无论你的答案是什么，都要举出对应的例子，或者说都要将所有的位置全填出来. 一道标准的加法竖式谜： 【第一单元 4】将数字 1～9 填入下图竖式的 9 个方格中，每个数字只能用一次，那么和的最小值 为多少？
1
1 4 1 × 1 0 0 1 4 3 2 4 3
是正确的，故答案是 143 + 17 = 160 .
3 7 1 1
【点评】标准的乘法题目，标准的乘法思路：先填一定确定的→整除分析→范围分析→用最值思想填 出一种. 主体是范围分析.
学而思培优北京分校·小学理科教研组出品
4
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 一道标准的除法竖式谜： 【第二单元 4】在“□”内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小，那么商最小是 多少？
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 同学们容易犯的错误： “最小？那答案最小就是 3123 咯！ ”这种想法确实是最值思想，大方向 也是正确的， 但没有考虑到题中有隐含的数字和关系的限制： 下方三个位置之和是 9 的倍数. 如果 只从最值的角度去枚举，将耗时耗力. 从解题过程可以看出： 加法竖式的分析过程往往是三种分析方法相互交叉使用， 缺一不可. 以 及最后要举出例子. 这就是一道标准的加法竖式谜的思考、解答过程. 乘法竖式基本方法： 【第二单元 1】下面是一个乘法算式：问：当乘积最大和最小时，所填的四个数字的和分别是多 少？
学而思培优北京分校·小学理科教研组出品
5
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 1 a b c d e 1 a b c d 7 1 4 2 8 5 7
a b c d
3 e 1 a b c d
3 3 7 1 4 2 8 5 7 1
【第三单元 3】自然数 M 乘以 13 的积的末三位是 123，求 M 的最小值. 【答案】471 【分析】转化为竖式谜，不断利用尾数分析逐步推出 M 的每一位：
a b c b a 是 9 的倍数， c 8 ， 59895 45 1331 符合条件.
×
【答案】 19 ´ 5 = 95 ， 10 ´ 5 = 50
5
【分析】整除分析可知积的末位是 5 或 0；范围分析可知：积是两位数，故乘数小于 20，故最大为
19 ´ 5 = 95 ；第一个乘数是两位数，最小是 10，此时乘积最小： 10 ´ 5 = 50 .
【点评】非常简单的题目，但已经道出到了乘、除法竖式最常用的分析方法：整除分析（尾数最常见） 和范围分析（位数是决定范围的第一要素，其次是高位数字）. 一道经典的范围分析题： 【拓展】完成下面的乘法竖式：
1 3 3 1 3 1 1 3 1 1 2 3 1 3 1 7 1 4 7 1 3 1 9 1 9 1 2 5 2 1 2 3 1 2 3 1 3
1 2 3
3
我们并不需要考虑千位或更高位，M 只需要最小值，则只需要满足末三位，前面得几无所谓，减 少无用的计算量. 涉及位值原理与整除分析的横式数字谜： 【第三单元 5】满足式子 abcba 45 deed 的五位数 abcba 最大是多少？最小是多少？ 【答案】59895，54945 【分析】根据题意， abcba 45deed ，则 abcba 为 45 的倍数，所以 a 应为 0 或 5，又 a 还在首位，所 以 a=5 ，现在要让 5bcb5 尽可能的大，首先需要位数高的尽可能的大，所以令 b 9 , 为了满足
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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 一道标准的乘法竖式谜： 【拓展】如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数的和是多少？
【答案】160 【分析】首先填一定确定的位置（高位与末位） ，很容易填出：
× 1 1 0 1 3 2 1
接下来是对第二个部分积“1□3”的范围分析：三位数乘以一位数得到 1□3，那只能是 1□3×1=1□3，故有：
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结
第十一讲
数字谜中的最值
本讲是数字谜中可能值的最大值或最小值的求法， 并不要求全部的填法. 本讲的一个重要思想是学 会从极端情况考虑. 【重要知识点】 加减法竖式注意： （1）减法竖式可变为加法竖式； （2）加数多于 2 个时注意进位点不光可以进 1. 加法竖式一般过程： （1） 先填上必然确定的东西（容易分析的有： 高位数字、 末位数字、 高位进位点、 和的数字和等） ； （2）分析数字和，确定进位点； （3）整个过程结合最值思想，给出符合要求的一种填法. 【点评】一般的加法竖式，这三个方面要综合考虑. （1）是前提， （3）是整个过程都要注意的思想， 下面的乘除法竖式亦是如此. 而（2）作为加法竖式的特有分析方法，一般是题目的主体过程. 乘除法竖式注意： （1）乘法竖式的本质是多位数和一位数的乘法和多位数加法； （2）除法竖式的本质是多位数和一位数的乘法和多位数减法； （3）分析的主体在于竖式中的每一个部分积. 要看好每一个部分积是由哪些部分相乘而来. 乘除法竖式一般过程： （1）先填上必然确定的东西（容易分析的有：高位数字、末位数字、直接拉下来的数字等） ； （2）分析每一个部分积； （3）整个过程结合最值思想，给出符合要求的一种填法. 最常用的部分积分析方法： （1）整除分析（末位、整除特征、分解质因数等） ； （2）范围分析（位数决定范围、试除法等） ； 【点评】一般的乘除法竖式，部分积的范围分析是最重要的分析. 横式数字谜注意：简单的横式可以转变为竖式. 最常用的横式数字谜分析方法： （1）整除分析（末位、整除特征、分解质因数等） ； （2）范围分析（首位、试除法） ； （3）位值原理. 【点评】本讲给出的横式数字谜都是比较简单的横式数字谜，没有涉及到复杂的位值原理计算或复杂 的数论知识. 总体而言，本讲是简单的，因为本讲是数字谜中的最值（只用求出“最大”或“最小”的答 案） ，而不是数字谜计数（求出所有符合要求的答案）. 所以在做题时，紧紧抓住“最大”或“最 小” 这两个词会降低题目的分析难度， 甚至直接确定某些位置. 数字谜中的计数将会在六年级学习. 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 1
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【点评】由此可看出除法竖式的填写过程与乘法并无多少区别，因为两者的关键都是多位数乘以一位 数得到部分积. 可转化为竖式的横式： 【第三单元 4】我们用 abc 表示 a、b、c 三个数相乘的积，而 abc 则表示一个百位是 a、十位是 b、 个位是 c 的三位数. 那么，满足 fabcde 3 abcdef 的最小的六位数 abcdef 是多少？ 【答案】142857 【分析】向竖式转化，要 abcdef 最小也就是要 fabcde 最小，则 f=1，再从后向前逐个推：
3 1 7 × 1 1 0 1 3 2 1
上图中整除分析可知第二个乘数的个位为 7（因为 3 只有乘以 7 才能使积的个位为 1）. 最后是这道题的主体部分：对第一个部分积的范围进行分析，即分析： 1□3×7=10□1 由于积是 1000 多，故乘数不能太小，否则达不到 1000 以上；同时积的百位是 0，又说明乘数不能 太大；用 1000 除以 7，估算出乘数应为 140 多，故有两种填法： 143´ 7 = 1001 ， 153´ 7 = 1071 ， 其中填 143 乘积较小. 此时注意一定要填出所有位置来验证正确与否：
2 0 1 3
【答案】3135 【分析】 （1）先填最容易填的：四位数加数的千位是 2 或 3； （3）结合最值思想：希望和最小，故先暂定加数千位为 2，这样和可以达到 3100 多，比较小； （2）分析数字和：整体数字和为 1 2 9 2 0 1 3 51 ，除以 9 余 6，故上、下数字和除 以 9 都余 3，故知下方三个方框的数字和为 9 的倍数； （3）结合最值思想：希望和最小，故考虑下方三个方框的数字和为 9；3126 最小，但 2 已经用过， 不能重复；次小为 3135； （2）分析数字和：下方数字和为 12，上方数字和为 39，差为 27，所以进了 3 次位. 分析题目发 现题目中已给的数字都太小，本题不可能出现一次进 2 的情况，故每个数位都进了 1； 填出一种：第二个加数的百位为 9，十位两个方框之和为 12，只能是 4 加 8，个位还剩 6 和 7， 个 位之和确实为 15，正确（由于是按照正确的数字和与进位点来填的，故只剩下个位时，个位一定 正确） ，故有例子： 42 + 906 + 2187 = 3135 （例子不唯一）. 结合前面的分析可知 3135 是最小值. 【点评】本题是 2013 年迎春杯四年级初赛题，难度并不高，这里我特意将过程详细地写出来，为的是 让同学们体会一下（1）先填确定的； （2）数字和、进位点； （3）最值思想，这三部分是如何相互 配合的. 学而思培优北京分校·小学理科教研组出品 2