正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

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正、余弦函数(二)_奇偶性、单调性

y
1 -3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1 1
π
2
π
y
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
-3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还思考5 正弦曲线除了关于原点对称外，关于其它的点和直线对称？关于其它的点和直线对称？思考6 余弦曲线除了关于y轴对称外，思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？关于其它的点和直线对称？ π 点 +kπ,0)(k ∈Z)和线x = kπ(k ∉Z) ( 直 2
你能求y=3sin(π/4-2x)的单调区间的单调区间你能求
作
业
P40-41练习： 40-41练习：练习 T1⑴⑷，2⑴⑵，3⑴⑵，5⑵⑷，6.
π 思考: 正弦函数在每一个开区间（ kπ，思考:1、正弦函数在每一个开区间（2kπ，＋2kπ) 2 (k∈Z)上都是增函数上都是增函数， (k∈Z)上都是增函数，能否认为正弦函数在第
π
+2kπ, k ∈Z
y
1 -3π
−
余弦曲线
π
2
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
3π 2

正弦,余弦函数的单调性和奇偶性

总结余弦函数的单调性
总结正弦函数的奇偶性
总结余弦函数的奇偶性
对正弦,余弦函数单调性和奇偶性的总结
01
02
03
04
深化对不同三角函数单调性和奇偶性的理解
探讨函数的性质在实践中的应用
探索函数性质与其他数学分支的联系
对未来研究方向的展望
在实际应用中要充分考虑函数的性质
在解决实际问题时，如能充分利用函数的单调性和奇偶性等性质，往往能简化计算过程，提高解决问题的效率。
xx年xx月xx日
《正弦,余弦函数的单调性和奇偶性》
正弦函数的单调性和奇偶性余弦函数的单调性和奇偶性正弦,余弦函数单调性和奇偶性的比较总结与展望
contents
目录
01
正弦函数的单调性和奇偶性
$y=\sin x$的定义域为$x \in R$，即所有实数。
正弦函数的单调性
在区间$(2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2})$内，$y=\sin x$单调递增；在区间$(2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\pi)$内，$y=\sin x$单调递减。其中，$k \in Z$。
余弦函数
在区间(0,π)内是单调递减的，而在区间(π,2π)内是单调递增的。
比较
正弦函数和余弦函数在单调性上具有相反的趋势。
单调性的比较
奇偶性的比较
余弦函数
具有奇偶性，是偶函数。
比较
正弦函数和余数
具有奇偶性，是奇函数。
应用场景的比较
04
总结与展望
总结正弦函数的单调性
对实际应用的思考和建议
通过实践加深对理论知识的理解
通过解决实际问题，可以加深对函数性质的理解和掌握，提高数学应用能力。

正弦,余弦函数的单调性和奇偶性

04
正弦、余弦函数的应用举例
利用正弦、余弦函数的单调性求最值
单调性
正弦函数在$[0, \pi]$上单调递增，在$[\pi, 2\pi]$上单调递减；余弦函数在$[0, \pi]$ 上单调递减，在$[\pi, 2\pi]$上单调递增。
求最值
利用正弦、余弦函数的单调性，可以求出函数在某个区间上的最大值和最小值。例如，对于正弦函数$y = \sin x$，在$[0, \frac{\pi}{2}]$上单调递增，所以当$x =
对于余弦函数，同样可以根据其周期性和相位来判断其在任意区间上的单调性。
03
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数的奇偶性
奇函数
正弦函数是奇函数，因为对于任意x，都有sin(-x)=-sin(x)。
偶函数
正弦函数也是偶函数，因为对于任意x ，都有sin(x)=sin(-x)。
余弦函数的奇偶性
• 偶函数：余弦函数是偶函数，因为对于任意x，都有cos(-x)=cos(x)。
02
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
增区间
正弦函数在$[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi], k \in Z$上是增函数。
减区间
正弦函数在$[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi], k \in Z$上是减函数。
单调性
在区间$[0, \pi]$上，余弦函数是单调递减的；在区间$[\pi, 2\pi]$ 上，余弦函数是单调递增的。
正弦、余弦函数的定义域和值域
定义域
正弦函数的定义域为$x \in \mathbb{R}$；余弦函数的定义域为$x \in \mathbb{R}$。

三角函数正弦余弦正切

三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。

它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。

本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。

正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。

5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。

二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。

余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。

5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。

三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。

正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。

(最新整理)正弦函数余弦函数的单调性奇偶性最值

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1．正、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
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∴cosπ8<cosπ9，即
17π 37π cos 8 <cos 9 .
2021/7/2632人教A版必Fra bibliotek四·新课标·数学
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正、余弦函数的最值问题【例 4】求下列函数的最大值和最小值： (1)y＝3＋2cos(2x＋π3)； (2)y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈[π3，23π]； (3)y＝ssiinnxx－＋12.
29
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规律归纳关于三角函数值大小比较的方法 (1)比较同名三角函数值的大小，关键是考查同一单调区间上的同名三角函数的单调性，由自变量的大小确定函数值的大小． (2)比较不同名的三角函数的大小，应先根据诱导公式化为同名三角函数，然后再进行比较．
2021/7/26
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2.求函数 y＝3cos(3x－4π)的单调区间．解：令 2kπ＋π≤3x－π4≤2kπ＋2π，则 2kπ＋54π≤3x≤2kπ ＋94π，即23kπ＋51π2≤x≤23kπ＋34π，于是函数的单调递增区间为[23kπ＋51π2，23kπ＋34π]，k∈Z，同理可求得其单调递减区间为[23kπ＋1π2，23kπ＋51π2]，k∈Z.

三角函数的性质

三角函数的性质
三角函数是数学中的基本初等函数之一，具有多种性质，以下是一些主要的性质：
1.周期性：三角函数具有周期性，即它们的值在每隔一定的
角度后重复出现。

正弦函数和余弦函数的周期为360度
（或2π弧度），而正切函数的周期为180度（或π弧
度）。

2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，这意味着对于任
何角度θ，sin(-θ) = -sinθ和tan(-θ) = -tanθ。

余弦函数是
偶函数，即cos(-θ) = cosθ。

3.有界性：正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，这意味
着它们的值始终在这个范围内。

正切函数的值域是实数集R，没有上界和下界。

4.单调性：在特定的区间内，正弦函数和余弦函数可以是增
函数或减函数。

正切函数在其定义域内的某些区间内也是增函数或减函数。

5.和差角公式：三角函数满足一些和差角公式，这些公式允
许我们计算两个角的和或差的正弦、余弦和正切值。

6.倍角公式：三角函数也满足一些倍角公式，这些公式允许
我们计算一个角的两倍的正弦、余弦和正切值。

7.三角恒等式：三角恒等式是一组恒真的等式，涉及正弦、
余弦、正切等三角函数。

这些恒等式在三角函数的计算和证明中非常有用。

8.单位圆上的定义：三角函数也可以定义为单位圆上的各种
线段的长度，这为它们提供了几何解释。

9.无穷级数表示：三角函数也可以用无穷级数来表示，这允
许我们将它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

这些性质使得三角函数在数学、物理、工程、信号处理等领域中有广泛的应用。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)

跟踪训练
2．判断下列函数的奇偶性： 2x＋5π； (1)f(x)＝ 2sin 2 (2)f(x)＝ 2sin x－1.
解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于原点对称， 2x＋5π＝ 2cos 2x，且 f(x)＝ 2sin 2 显然有 f(－x)＝ 2cos(－2x)＝ 2cos 2x＝f(x)， 2x＋5π是偶函数； ∴函数 f(x)＝ 2sin 2
－π＋2kπ，π＋2kπ ，(k∈Z) 增函数 2 2 (k∈Z) 减函数增函数减函数
π＋2kπ，3π＋2kπ， 2 2
思考应用 1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦
函数在第一象限是增函数”？
解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函
数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为
2．使 y＝sin x 和 y＝cos x 均为减函数的一个区间是( 0，π π，π A. B. 2 2 π，3π 3π，π C. D. 2 2
)
解析：由y＝sinx，x∈[0,2π]
与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象知：y
＝sin x和y＝cos x的均为减函数的
三角函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin4x－cos4x＋cos 2x；
1－sin x－cos x (2)f(x)＝ . 1＋sin x＋cos x
分析：本题考查函数的奇偶性问题．解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于原点对称，且f(－x)＝sin4(－x)－cos4(－x)＋cos(－2x)＝sin4x－cos4x ＋cos 2x＝f(x)，
基础梳理一、正弦函数和余弦函数的单调性

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1

2
4

4
y 1
y=|sinu|

2
2

3 2

2
O -1

2

3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即：增区间为减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k

2
], k Z

4
, k , k

10

10

)
2

18

又 y=sinx
)
在[

18

2
,

2
] 上是增函数

10
sin(
5

10
) < sin(

18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
3 3
2

正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性)解读

正弦、余弦函数的性质（奇偶性、单调性）教学目的：知识目标：理解三角函数的奇、偶性和单调性；能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性，并能根据正、余弦函数的单调性解题德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生勇于探究创新的精神。

教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用教学过程：一、复习引入：(学生小组选派学生回答)定义域、值域、周期性？偶函数、奇函数的定义？图像有什么特征呢？设计意图：回顾三角函数的周期性，为引入三角函数的其他性质做准备。

二、讲解新课：1．奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，你还能发现它们具有什么好的性质？如图象的对称性，你能证明吗？设计意图：让学生从直观发现对称，进而反映到代数性质上，发现正弦函数，余弦函数的奇偶性，使学生能从“形”与“数”两个方面来理解它们的奇偶性。

师生活动：师生——引导学生观察，不难发现各种对称性，进一步引导学生思考，这些对称性反映了函数什么特征？（奇偶性）从代数角度如何具体证明它们的奇偶性呢？共同归纳总结正弦函数，余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

考虑到学生的基础，打算先带领学生回顾函数奇偶性的概念。

(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。

例如：f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3π)；…… cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y )也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。

(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。

高等数学中的三角函数

高等数学中的三角函数数学是自然科学中的一门基础学科，具有广泛的理论应用价值。

作为数学的一个分支，三角函数是高等数学中最基本的概念之一。

在各个领域中，三角函数都有着非常重要的应用，如物理学、工程学、天文学、地球物理学等。

本文将为您详细介绍高等数学中的三角函数。

一、基本概念三角函数指的是由单位圆上的一点P(x,y)到x轴的垂线段OA和P到原点的线段OP的比值构成的函数关系。

其中，x的取值范围为实数集合，y的取值范围为[-1,1]。

常见的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)、正割函数(sec)、余割函数(csc)。

另外，它们的倒数cos、sin、cot、tan、csc、sec也是有用的三角函数。

二、性质在高等数学中，三角函数具有一些基本性质，如周期性、奇偶性、单调性等。

1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即f(x+2π)=f(x)，而正切函数和余切函数的周期均为π，即f(x+π)=f(x)。

2. 奇偶性：正弦函数为奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，余弦函数为偶函数，即cos(-x)=cos(x)。

而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数均为奇偶不定的函数。

3. 单调性：正弦函数和余弦函数均为周期为2π的函数，在一个周期内其均在[-1,1]区间内单调递增、递减，且在各自的最大、最小值处导数为0。

而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数则不具有单调性。

三、公式定理三角函数在高等数学中具有非常重要的公式定理，包括和差公式、倍角公式、三倍角公式、万能公式以及欧拉公式等等。

1. 和差公式：sin(a±b)=sinacosb±cosasinb，cos(a±b)=cosacosb∓sinasinb2. 倍角公式：sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1，tan2x=(2tanx)/(1-tan^2x)3. 三倍角公式：sin3x=3sinx-4sin^3x，cos3x=4cos^3x-3cosx4. 万能公式：sin^2x+cos^2x=1, tanx=sinx/cosx, 1+tan^2x=sec^2x, 1+cot^2x=csc^2x5. 欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e^-ix=cosx-isinx四、应用领域三角函数在各个领域中都有广泛的应用。

高二数学正弦和余弦函数的性质

vyd02wau
了千万里之外的故乡，返回到了似乎有一些遥远了的童年时代，想到了母亲，想到了妹妹，想到了慈祥的姥娘和姥爷，想到了舅舅一家，也想到了童年的伙伴们，尤其是心灵手巧温顺善良的秀儿、憨厚豪爽的大壮走了一会儿神，耿正无比美妙的二胡乐曲声儿又将耿英拉回到了眼前的现实中。眼前，除了这几乎可以说是天籁之音的二胡乐曲声之外，屋子里再没有一点点其他的声音了。耿英抬头望望白幺爹。但见他微微闭目，轻轻晃动着身体，双手无声地拍打着自己的双膝盖，一副陶醉享受的样子。耿英感觉非常欣慰，心下里想，以后白幺爹每次出江回来，都要让哥哥给他拉二胡听！白家这个当家人也真够不容易的，一年里绝大部分时间都在长江上漂。温馨的家对于这个善良憨厚的魁梧汉子来说，更像是人生旅途中的客栈一样，但他怎么对妻子和女儿对他的关爱就那么不领情呢！耿英有点儿不解地轻轻地摇摇头，苦笑了一下。这样想着，耿英再转头看看乔氏母女。只见小青正陶醉在另外一种境界中：与其说她是在用心地聆听乐曲儿，还不如说她是在瞪大眼睛看乐曲儿；不，是在看耿正正在拉着的二胡，看耿正拉二胡的手和胳膊，看耿正拉二胡的姿态慢慢地，她的目光从耿正的胳膊上移动到了脸上，目不转睛且柔情似水。一会儿，竟然羞涩地低下了头，只敢偷偷地瞄一眼耿正支撑着二胡琴筒的膝盖、微微摆动的裤腿和踩在地上的鞋子。耿英再看看乔氏，发现她正在满脸欣喜地看着耿正，眼眶里似乎还有一些清澈的东西在不算太明亮的灯光下闪闪发光。然而，端坐在那里专注地拉二胡的耿正，对于母女二人的这些有点儿反常的表现浑然不觉！耿英心里暗叫：“不好！莫不是”隔着哥哥，耿英看不明了爹爹和弟弟的表情。耿英知道，弟弟年幼尚不知晓大人们的那些个情感之事，因此间心里只念着：爹爹呀，你可别像白幺爹那样闭着眼睛听啊！夜慢慢深了，但除了耿英之外，拉曲儿的、听曲儿的和看拉曲儿的，似乎都忘记了时间怎么来唤醒大家呢？想一想，耿英慢慢地挪动身子，努力地伸长右腿，再伸长一点儿，终于够得着哥哥的脚尖了；再往前用力推一推，耿正终于从忘我的状态中回过神儿来。他完全领会了妹妹的意思，轻松地拉了一小段过门儿曲后，乐曲声儿戛然而止。少顷，大家也从各自忘情的姿态中回归了。耿直高兴地说：“哥哥，你拉得太好了！好久没有听到这么好听的曲儿了！”乔氏拿手绢擦擦眼睛，笑着说： “看我，怎么高兴地都给流眼泪了！”她又转头看看女儿，高兴地说：“我们娘儿俩从来没有听过这么好听的曲儿，今儿个可真是开了眼界了！” 小青也红着脸笑着说：“是呀，真正是开了眼界哩！”白百大则意味深长地说：“正伢子啊，幺爹多么想每天听你拉二胡啊！”耿老

正弦-余弦函数的单调性和奇偶性

①看函数定义域是否关于原点对称
②化简函数解析式
③计算 f (x) 并判断与 f (x) 关系
注：若函数定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数
再观察正弦函数图像 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数 y sin x 在
在每个闭区间 [ 2k , 2k ](k Z ) 上是增函数，
作业:课本65页习题4.8 5、6、7（1）
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
我们把具有这种特点的函数叫偶函数
定义：一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域
x 内的任意一个，都有 f (x) f ( x) 则称 f (x) 为
这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于 y
轴对称。
定义：一般地，如果对于函数的定义
域内的任意一个 x都 f ( x) f ( x) ,则称 f (x)
5
5
cos1(011748O)
cos
17
4
cos
4x
0 3 1 ,且y cos x在[0, ]上是减函数
45
cos 3 cos 即cos 3 －cos 0
5
4
5
4
cos( 23 ) cos( 17 ) 0 课本练习P64 8
5
4
高考体验
1.（06广东）在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）
2
2
其函数值从-1增大到1
在每个闭区间 [ 2k , 3 2k ](k Z ) 是减函数，
2
2
其函数值从1减小到-1

数学：6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质教案(3)

6.1正,余弦函数奇偶性单调性（3）一．正，余弦函数奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性sin(-x)= -sinx (x ∈R)y=sinx (x ∈R)x6πyo-π-12π3π4π5π-2π-3π-4π1π是奇函数x6πo-π-12π3π4π5π-2π-3π-4π1πycos(-x)= cosx (x ∈R)y=cosx (x ∈R)是偶函数定义域关于原点对称正弦、余弦函数的奇偶性二．正，余弦函数的单调区间1．正弦函数的单调区间正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦函数的单调性y=sinx (x ∈R)增区间为[ ，] 其值从-1增至12π-2πxyo-π-12π3π4π-2π-3π1π2π23π-25π27π2π-23π25π-sinxx2π-2π23π…0 ……π…-11-1减区间为[ ，] 其值从1减至-12π3π[+2k π,+2kπ],k ∈Z 2π23π[+2k π,+2k π],k ∈Z 2π-2π正弦、余弦函数的奇偶性、单调性余弦函数的单调性y=cosx (x ∈R)cosxx2π-2π-π……0 ……π-101-1增区间为其值从-1增至1[+2k π,2k π],k ∈Z π-减区间为，其值从1减至-1[2k π,2k π+ π], k ∈Zyxo-π-12π3π4π-2π-3π1π2π23π-25π27π2π-23π25π-正弦函数的对称性xyo-π-12π3π4π-2π-3π1π2π23π-25π27π2π-23π25π-)0,πk 对称中心（2ππ+=k x 对称轴：余弦函数的对称性yxo-π-12π3π4π-2π-3π1π2π23π-25π27π2π-23π25π-)0,2ππ+k 对称中心（πk x =对称轴：4.推广①)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间Z k k x k ∈+≤+≤-,2222ππϕωππ x ⇒的范围为)sin(ϕω+=x A y 单调递增区间Z k k x k ∈+≤+≤+,23222ππϕωππx ⇒的范围为)sin(ϕω+=x A y 单调递减区间②)0,0)(cos(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间Z k k x k ∈≤+≤-,22πϕωππ x ⇒的范围为)cos(ϕω+=x A y 单调递增区间 Z k k x k ∈+≤+≤,22ππϕωπ x ⇒的范围为)cos(ϕω+=x A y 单调递减区间二. 例题解析：例1.求下列函数的单调区间解： ()Z k ∈增区间 ()Z k ∈减区间（2）)4sin(2π+-=x y 的单调递减区间解：)4sin(2π+-=x y )4sin(2)]4(sin[2ππ--=--=x xZ k k x k ∈+≤-≤-,22422πππππZ k k x k ∈+≤≤-⇒,43242ππππ单调减区间 Z k k x k ∈+≤≤+⇒,472432ππππ单调增区间例2. （1）求函数)12cos(π-=x y 的单调递增区间；解：Z k k x k ∈≤-≤-,2122ππππZ k k x k ∈+≤≤-⇒,12212112ππππ（2）求函数]0,(),62sin(2ππ-∈+=x x y 的单调递减区间.解：Z k k x k ∈+≤+≤+,2326222πππππZ k k x k ∈+≤≤+⇒,326ππππ(1) y=3sin(2x-)4π224222πππππ+≤-≤-k x k 388k x k ππππ∴-≤≤+2324222πππππ+≤-≤+k x k 3788k x k ππππ∴+≤≤+]0,(365,1πππ--≤≤--= x k ]3,65[ππ--⇒单调减区间（3）)cos (sin log 31x x y -=的单调递增区间.解：0)4sin(2cos sin >-=-πx x x Z k k x k ∈+<-<+⇒,2422πππππ)4sin(2cos sin π-=-x x x 的单调递减区间Z k k x k ∈+<<+⇒,452432ππππ单调递增区间（4）)(2sin 3cos 22R a a x x y ∈++=的单调递增区间. 解： )(2sin 3)22cos 1(2R a a x xy ∈+++=)(2sin 32cos 1R a a x x y ∈+++=⇒ )(1)62sin(2R a a x y ∈+++=π)](6,3[Z k k k x ∈+-∈⇒ππππ例3. 判断下列函数的奇偶性 1）x x y sin 2= 2）)225sin(x y -=π3）x x x y 2cos cos sin 44+-= 4）x x y tan cot -= 5）)sin 1lg()sin 1lg(x x y +--= 解：1）奇 2）偶 3）y=0既奇又偶 4）x xy 2sin 212cos =奇5）解：)(22221sin 1Z k k x k x ∈+<<-⇒<<-ππππ关于原点对称xxx x y sin 1sin 1lg )sin 1lg()sin 1lg(+-=+--=)(sin 1sin 1lg )sin 1sin 1lg(sin 1sin 1lg )sin(1)sin(1lg)(1x f xxx x x x x x x f -=+--=+-=-+=-+--=--奇函数例4． )2sin(3)(ϕ+=x x f 是偶函数的充要条件为_____________. 解：)2sin(3)(ϕ+=x x f ϕϕsin 2cos 3cos 2sin 3x x += 所以0cos =ϕZ k k ∈+=⇒,2ππϕ例5. )2cos(3)2sin(ϕϕ+++=x x y 为奇函数且在]4,0[π上是减函数的ϕ的一个解：)2c o3)2s i ϕϕ+++=x x y x x 2c )c 3(2s )s 3(ϕϕϕϕ++-= 则0cos 3sin =+ϕϕ3tan -=⇒ϕ3,32ππϕ-=⇒ ]2,0[2,2sin )sin 3(cos πϕϕ∈-=x x y 原式变为：，如果递减0sin 3cos <-⇒ϕϕ 所以32πϕ=。

专题37 正、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值(解析版)

专题37 正、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值考点1 正弦函数、余弦函数的周期性1.如果函数y＝sin（πx＋θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么（）A．T＝2，θ＝π2B．T＝1，θ＝πC．T＝2，θ＝πD．T＝1，θ＝π2【答案】A【解析】由题意得sin（2π＋θ）＝1，又0＜θ＜2π，∴θ＝π2，最小正周期T＝2ππ＝2.2.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于D，x∈（－1,1）时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数.3.定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[−π2,0)时，f（x）＝sin x，则f(−5π3)的值为（）A．－12B．12C．－√32D．√32【答案】D【解析】f(−5π3)＝f(π3)＝－f(−π3)＝－sin(−π3)＝sinπ3＝√32.4.设函数f（x）＝sinπ3x，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2013）＝________. 【答案】√3【解析】∵f（x）＝sinπ3x的周期T＝2ππ3＝6.∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2013）＝335[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f （5）＋f（6）]＋f（2011）＋f（2012）＋f（2013）＝335·(sinπ3＋sin23π＋sinπ＋sin43π＋sin53π＋sinπ)＋f（335×6＋1）＋f（335×6＋2）＋f（335×6＋3）＝335×0＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝sinπ3＋sin23π＋sinπ＝√3.考点2 正弦函数、余弦函数的奇偶性5.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y＝sin（2x＋π2）B．y＝cos（2x＋π2）C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sin x＋cos x【答案】B【解析】由于函数y＝sin（2x＋π2）＝cos2x为偶函数，故排除A；由于函数y＝cos（2x＋π2）＝－sin2x为奇函数，且周期为2π2，故B满足条件；由于函数y＝sin2x＋cos2x＝√2sin（2x＋π4）为非奇非偶函数，故排除C；由于函数y＝sin x＋cos x＝√2sin（x＋π4）为非奇非偶函数，故排除D，故选B.6.下列命题中正确的是（）A．y＝－sin x为奇函数B．y＝|sin x|既不是奇函数也不是偶函数C．y＝3sin x＋1为偶函数D．y＝sin x－1为奇函数【答案】A【解析】y＝|sin x|是偶函数，y＝3sin x＋1与y＝sin x－1都是非奇非偶函数. 7.设f（x）＝12sin（2x＋φ）（φ是常数）.（1）求证：当φ＝π2时，f（x）是偶函数；（2）求使f（x）为偶函数的所有φ值的集合.【答案】（1）证明当φ＝π2时，f（x）＝12sin（2x＋π2）＝12cos2x，f（－x）＝f（x），f（x）是偶函数.（2）解由题意：f（－x）＝f（x），可得12sin（－2x＋φ）＝12sin（2x＋φ）对一切实数x成立，－2x＋φ＝2x＋φ＋2kπ或－2x＋φ＝π－（2x＋φ）＋2kπ，k∈Z，对一切实数x成立，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z ，f （x ）为偶函数的φ值的集合是{φ|φ＝k π＋π2，k ∈Z }. 8.函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0,0≤φ≤π）是R 上的偶函数. （1）求φ的值.（2）若f （x ）图象上的点关于M （3π4，0）对称，①求ω满足的关系式；②若f （x ）在区间[0，π2]上是单调函数，求ω的值.【答案】（1）由f （x ）是偶函数，可得f （0）＝±1，故sin φ＝±1，即φ＝k π＋π2，结合题设0≤φ≤π，解得φ＝π2.（2）由（1）知f （x ）＝sin (ωx +π2)＝cos ωx ， ∵f （x ）图象上的点关于M （34π，0）对称，∴f （34π）＝cos 34ωπ＝0，故34ωπ＝k π＋π2（k ∈Z ），即w ＝23（2k ＋1），k ＝0,1,2，…∵f （x ）在区间[0，π2]上是单调函数，可得π2≤12·2πω，即ω≤2，又∵ω＝23（2k ＋1），k ＝0,1,2，… ∴综合以上条件，可得ω＝23或ω＝2. 9.f （x ）＝2√3sin （3ωx ＋π3）（ω＞0）.（1）若f （x ＋θ）是周期为2π的偶函数，求ω及θ值；（2）在（1）的条件下求函数f （x ）在[−π2,π3]的值域.【答案】（1）由于f （x ）＝2√3sin （3ωx ＋π3），可得f （x ＋θ）＝2√3sin[3ω（x ＋θ）＋π3]＝2√3sin （3ωx ＋3ωθ＋π3），再根据f （x ＋θ）是周期为2π的偶函数，可得2π3ω＝2π，3ωθ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z . 求得ω＝13，θ＝k π＋π6，f （x ）＝2√3sin （x ＋π3）. （2）由x ∈[−π2,π3]，可得x ＋π3∈[－π6，2π3]，故当x ＋π3＝－π6时，f （x ）取得最小值为－√3，当x ＋π3＝π2时，f （x ）取得最大值为2，故函数f （x ）的值域为[－√3，2√3]. 考点3 正弦函数、余弦函数的单调性10.函数y ＝sin （－2x ＋π3）在区间[0，π]上的单调递增区间为（） A ．[5π12,11π12] B ．[0,5π12] C ．[π6,2π3] D ．[2π3,π] 【答案】A【解析】y ＝sin （－2x ＋π3）＝－sin （2x －π3），当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π2时，k ∈Z ，函数单调递增，∴函数在区间[0，π]上的单调递增区间为[5π12,11π12].11.函数y ＝lgsin (π6−2x)的单调递减区间是（）A ．(kπ−π6,kπ+π3)（k ∈Z ）B ．(kπ+π3,kπ+5π6)（k ∈Z ）C ．(kπ−π6,kπ+π12)（k ∈Z ）D．(kπ−7π12,kπ+5π6)（k∈Z）【答案】C【解析】令sin(π6−2x)＞0，即sin(2x−π6)＜0，由此得2kπ－π＜2x－π6＜2kπ，k∈Z，解得kπ－5π12＜x＜kπ＋π12，k∈Z，由复合函数的单调性知，求函数y＝lgsin(π6−2x)的单调递减区间即是求t＝sin(π6−2x)＝－sin(2x−π6)单调递减区间，令2kπ－π2＜2x－π6＜2kπ＋π2，解得kπ－π6＜x＜kπ＋π3，k∈Z，{x|kπ－π6＜x＜kπ＋π3，k∈Z}∩{x|kπ－5π12＜x＜kπ＋π12，k∈Z}＝(kπ−π6,kπ+π12)（k∈Z）.12.设函数f（x）＝sin（ωx＋π2）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）（）A．在（0，π2）单调递减B．在（π4，3π4）单调递减C．在（0，π2）单调递增D．在（π4，3π4）单调递增【答案】A【解析】∵函数f（x）＝sin（ωx＋π2）（ω＞0）的最小正周期为π，∴π＝2πω，ω＝2.∴f（x）＝sin（2x＋π2），由2kπ＋π2≤2x＋π2≤2kπ＋3π2，k∈Z，可得k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，函数f （x ）＝sin （2x ＋π2）在（0，π2）单调递减. 13.下列关系式中正确的是（） A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 【答案】C【解析】∵sin168°＝sin （180°－12°）＝sin12°，cos10°＝sin （90°－10°）＝sin80°. 由正弦函数的单调性得sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°. 14.已知函数f （x ）＝2sin （2x －π3），x ∈R ，（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数f （x ）的单调区间.【答案】（1）根据三角函数的周期公式可得周期T ＝2π2＝π. （2）由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故函数的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，解得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z ，故函数的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z . 15.已知函数f （x ）＝√2sin （2x ＋π4）－1，x ∈R . （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数f （x ）的单调递增区间；（3）求函数f （x ）的最值.【答案】（1）由周期公式T ＝2πω，得T ＝2π2＝π， ∴函数f （x ）的最小正周期为π；（2）令－12π＋2k π≤2x ＋π4≤12π＋2k π，k ∈Z ， ∴k π－38π≤x ≤k π＋18π，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为[k π－38π，k π＋18π]（k ∈Z ）. （3）根据正弦函数的性质可知，－1≤sin （2x ＋π4）≤1， ∴－√2≤√2sin （2x ＋π4）≤√2，∴－√2－1≤√2sin （2x ＋π4）－1≤√2－1， ∴函数的最大值为√2－1，最小值为－√2－1. 16.已知函数f （x ）＝sin （2x －π3）. （1）求f （x ）的单调增区间；（2）求f （x ）取最大值时x 值的集合；（3）函数y ＝f （x ）－m 在[0，π2]上有零点，求m 的取值范围. 【答案】（1）∵函数f （x ）＝sin （2x －π3），令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，∴函数f （x ）的增区间为[－π12＋k π，5π12＋k π]，k ∈Z .（2）令2x －π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ＝5π12＋k π，k ∈Z ，此时f （x ）＝1.∴f （x ）取得最大值时x 的集合是{x |x ＝5π12＋k π，k ∈Z }.（3）当x ∈[0，π2]时，2x －π3∈[－π3，2π3]， ∴－√32≤sin （2x －π3）≤1，∴函数y ＝f （x ）在x ∈[0，π2]上的值域是[－√32，1]，若函数y ＝f （x ）－m 在x ∈[0，π2]上有零点，则m 的取值范围是－√32≤m ≤1.考点4 正弦函数、余弦函数的最值17.下列函数中，与函数y ＝√x 3定义域相同的函数为（）A ．y ＝1sinx B ．y ＝lnx xC ．y ＝x e xD．y＝sinxx【答案】D【解析】∵函数y＝√x3的定义域为{x∈R|x≠0}，∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}（k∈Z），故A不满足；对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满足；对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满足；对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满足.18.函数y＝cos(x+π6)，x∈[0,π2]的值域是（）A．[−√32,12]B．[−12,√32]C．[√32,1]D．[12,1]【答案】B【解析】∵0≤x≤π2，∴π6≤x＋π6≤2π3.∴cos2π3≤cos(x+π6)≤cosπ6，∴－12≤y≤√32，故选B.19.已知函数f（x）＝2sin（2x＋π6）－1（x∈R），则f（x）在区间[0，π2]上的最大值与最小值分别是（）A．1，－2B．2，－1C．1，－1D．2，－2【答案】A【解析】∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，∴当2x＋π6＝π2时，即sin（2x＋π6）＝1时，函数取得最大值为2－1＝1，当2x＋π6＝7π6时，即sin（2x＋π6）＝－12时，函数取得最小值为－12×2－1＝－2.20.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为[−1,12]，则b－a的最大值和最小值之和等于（）A．4π3B．8π3C．2πD．4π【答案】C【解析】利用函数y＝sin x的图象知（b－a）min＝2π3，（b－a）max＝4π3，故b－a的最大值与最小值之和等于2π.21.函数y＝cosωx（ω＞0）在区间[0,1）上至少出现2次最大值，至多出现3次最大值，则ω的取值范围是（）A．2π≤ω≤4πB．2π＜ω≤4πC．2π＜ω≤6πD．2π＜ω＜6π【答案】C【解析】∵函数y＝cosωx（ω＞0）的周期为T＝2πω，且在区间[0,1）上至少出现2次最大值，至多出现3次最大值， ∴13≤T ＜1，即13≤2πω＜1，解得2π＜ω≤6π.22.设f （x ）＝2cos （π4x ＋π3），若对任意的x ∈R ，恒有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，则|x 1－x 2|的最小值是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A【解析】∵f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），∴x 1、x 2是函数f （x ）取最大、最小值时对应的x 的值，故|x 1－x 2|一定是T2的整数倍，∵f （x ）＝2cos （π4x ＋π3）的最小正周期T ＝2ππ4＝8，∴|x 1－x 2|＝n ×T2＝4n （n ＞0，且n ∈Z ）， ∴|x 1－x 2|的最小值为4.23.函数f （a ）＝cos 2θ＋a cos θ－a （a ∈[1,2]，θ∈[π6，π3]）的最小值是（） A ．√3−23B ．cos 2θ＋cos θ－1C．3＋（√3－1）a D．cos2θ＋2cosθ－2 【答案】D【解析】∵θ∈[π6，π3]，∴cosθ－1＜0，∴f（a）＝cos2θ＋a cosθ－a＝（cosθ－1）a＋cos2θ在[1,2]上单调递减，∴f（a）的最小值为f（2）＝cos2θ＋2cosθ－2.24.已知f（x）＝－2a sin(2x+π6)＋2a＋b，x∈[π4,3π4]，是否存在常数a，b∈Q，使得f（x）的值域为{y|－3≤y≤√3－1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.【答案】∵π4≤x≤3π4，∴2π3≤2x＋π6≤5π3，∴－1≤sin(2x+π6)≤√32.假设存在这样的有理数a，b，则当a＞0时，{−√3a+2a+b=−3,2a+2a+b=√3−1,解得{a=1,b=√3−5,（不合题意，舍去）当a＜0时，{2a+2a+b=−3,−√3a+2a+b=√3−1,解得{a=−1,b=1,故a，b存在，且a＝－1，b＝1.25.已知函数f（x）＝√2a sin（x－π4）＋a＋b.（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）当a＜0时，f（x）在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值.【答案】（1）∵当a＝1时，f（x）＝√2sin（x－π4）＋1＋b，∴当x－π4∈[π2＋2kπ，3π2＋2kπ]，k∈Z时，函数f（x）的单调递减区间是[3π4＋2kπ，7π4＋2kπ]，k∈Z.（2）∵f（x）在[0，π]上的值域为[2,3]，∴不妨设t＝x－π4，x∈[0，π]，t∈[－π4，3π4]，∴f（x）＝g（t）＝√2a sin t＋a＋b，∴f（x）max＝g（－π4）＝－a＋a＋b＝3，①f（x）min＝g（π2）＝√2a＋a＋b＝2，②∴由①②解得，a＝1－√2，b＝3.26.（1）求函数y＝2－cos x3的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合；（2）求函数y＝cos2x－4cos x＋1，x∈[π3，23π]的值域.【答案】（1）令z＝x3，∵－1≤cos z≤1，∴1≤2－cos z≤3，∴y＝2－cos x3的最大值为3，最小值为1.当z＝2kπ，k∈Z时，cos z取得最大值，2－cos z取得最小值，又z＝x3，故x＝6kπ，k∈Z.∴使函数y＝2－cos x3取得最小值的x的集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}；同理，使函数y＝2－cos x3取得最大值的x的集合为{x|x＝6kπ＋3π，k∈Z}.（2）∵x∈[π3,23π]，∴－12≤cos x≤12.∵y ＝cos 2x －4cos x ＋1＝（cos x －2）2－3， ∴当cos x ＝－12时，y max ＝134；当cos x ＝12时，y min ＝－34，∴y ＝cos 2x －4cos x ＋1的值域为[−34,134].27.已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ），其中φ为实数，若f （x ）≤|f （π6）|对x ∈R 恒成立，且f （π2）＞f （π），求f （x ）的单调递增区间.【答案】由f （x ）≤|f （π6）|对x ∈R 恒成立知，2×π6＋φ＝2k π±π2（k ∈Z ），得到φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z .代入f （x ）并由f （π2）＞f （π）检验，得φ的取值为－5π6，由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z ，所以单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3]（k ∈Z ）. 考点5 正弦函数、余弦函数的综合应用28.函数y ＝sin （－2x ＋π4）的单调递增区间是（） A ．[2k π＋38π，2k π＋78π]（k ∈Z ） B ．[k π＋38π，k π＋78π]（k ∈Z ） C ．[k π－18π，k π＋38π]（k ∈Z ） D ．[k π－58π，k π－18π]（k ∈Z ）【答案】B【解析】由于函数y ＝sin （－2x ＋π4）＝－sin （2x －π4），故函数y ＝sin （－2x ＋π4）的单调递增区间为函数y ＝sin （2x －π4）的减区间. 令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z ，故所求的函数y ＝sin （－2x ＋π4）的单调递增区间是[k π＋38π，k π＋78π]（k ∈Z ）. 29.对于函数y ＝2sin （2x ＋π6），则下列结论正确的是（） A ．函数的图象关于点（π3，0）对称 B ．函数在区间[－π3，π6]递增 C ．函数的图象关于直线x ＝－π12对称 D ．最小正周期是π2 【答案】B【解析】由于点（π3，0）不在函数y ＝2sin （2x ＋π6）的图象上，故函数图象不关于点（π3，0）对称，故排除A.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，故函数的增区间为[－π3，π6]，故B 正确.当x ＝－π12时，函数值y ＝0，不是最值，故函数的图象不关于x ＝－π12对称，故排除C. 由函数的解析式可得，最小正周期等于T ＝2π2＝π，故D 不正确. 综上可得，只有B 正确.30.已知函数f （x ）＝log 12cosπx 3，函数g （x ）＝a sin （π6·x ）－2a ＋2（a ＞0），x ∈（0,1），若存在x 1，x 2∈（0,1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（）A ．（12，43） B ．（23，1） C ．（43，32） D ．[12,43]【答案】A【解析】由于x ∈（0,1），可得f （x ）的值域为（0,1），函数g （x ）＝a ·sin (π6x)－2a ＋2（a ＞0）的值域为（2－2a,2－3a2），由于存在x 1，x 2∈（0,1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立，故（0,1）∩（2－2a,2－3a 2）≠∅，若（0,1）∩（2－2a,2－3a2）＝∅，则有2－2a ≥1或2－3a2≤0. 解得a ≤12或a ≥43，故a 的范围为（12，43）.31.函数f （x ）＝M sin （ωx ＋φ）（ω＞0）在区间[a ，b ]上是增函数，且f （a ）＝－M ，f （b ）＝M ，则函数g （x ）＝M cos （ωx ＋φ）在[a ，b ]上（） A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值M ，可以取得最小值－MD ．可以取得最大值M ，没有最小值【答案】C【解析】∵函数f （x ）在区间[a ，b ]上是增函数，且f （a ）＝－M ，f （b ）＝M . 采用特殊值法，令ω＝1，φ＝0，则f （x ）＝M sin x ，设区间为[－π2，π2].∵M ＞0，g （x ）＝M cos x 在[－π2，π2]上不具备单调性，但有最大值M .32.设f （x ）＝sin （2x ＋φ），若f （x ）≤f （π6）对一切x ∈R 恒成立，则： ①f （－π12）＝0；②f （x ）的图象关于点（5π12，0）对称；③f （x ）既不是奇函数也不是偶函数；④f （x ）的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3]（k ∈Z ）. 以上结论正确的是________（写出所有正确结论的编号）. 【答案】①②③【解析】∵f （x ）≤f （π6）对一切x ∈R 恒成立，∴f （x ）＝sin （2x ＋φ）在x ＝π6时取得最大值，即2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，因此函数表达式为f （x ）＝sin （2x ＋π6＋2k π），∵f （－π12）＝sin[2×（－π12）＋π6＋2k π]＝sin2k π＝0，故①是真命题； ∵f （5π12）＝sin （2×5π12＋π6＋2k π）＝sin （π＋2k π）＝0，∴x ＝5π12是函数y ＝f （x ）的零点，得点（5π12，0）是函数f （x ）图象的对称中心，故②是真命题；∵函数y ＝f （x ）的图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，∴f （x ）既不是奇函数也不是偶函数，故③是真命题；令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴f（x）的单调递增区间是[－π3＋kπ，π6＋kπ]（k∈Z），故④是假命题.由以上的讨论，可得正确命题为①②③，共3个，故答案为①②③.33.已知函数f（x）＝√2cos（2x－π4），x∈R. （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.【答案】（1）f（x）的最小正周期T＝2π|ω|＝2π2＝π.当2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π，即kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8，k∈Z时，f（x）单调递减，∴f（x）的单调递减区间是[kπ＋π8，kπ＋5π8]，k∈Z.（2）∵x∈[－π8，π2]，则2x－π4∈[－3π4，3π4]，故cos（2x－π4）∈[－√22，1]，∴f（x）max＝√2，此时2x－π4＝0，即x＝π8；f（x）min＝－1，此时2x－π4＝－3π4，即x＝－π4.34.设函数f（x）＝√1－2sinx.（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的值域及取最大值时x的值.【答案】（1）由1－2sin x≥0，根据正弦函数图象知，定义域为{x|2kπ＋5π6≤x≤2kπ＋13π6，k∈Z}.（2）∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，∵1－2sin x≥0，∴0≤1－2sin x≤3，∴f（x）的，k∈Z时，f（x）取得最大值.值域为[0，√3]，当x＝2kπ＋3π2。

正余弦函数的奇偶性与单调性

探究三
例2: 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：. 9 8 (1) si n 与 si n ; 8 7 25 13 ( 2) cos 与 cos( ) 8 9 9 8 3 解： 2 8 7 2 3 y sin x在，上单调递减 2 2 9 8 sin sin . 8 7
探究三
例2: 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：. 25 13
( 2) cos 与 cos( )
必须将角化为 25 ( 2) cos cos cos ，同一单调区间 8 8 8 13 5 4 cos( ) cos cos . 8 9 9 4 又0 , 而y cos x在区间0，上是减函数 8 9 4 4 即 cos cos , cos cos . 8 9 8 9 5 13 于是 cos cos( ). 8 9

4
,

而f( ) 4 f (

cos

4
1 sin

4

2 2 2
2 1

) f( )且f ( ) f( ). 4 4 4 4

练习二
2. 比较下列各组数的大：小（1） sin(

16
)和 sin(

2

13
);

24 17 ( 2) cos( )和 cos( ). 5 4
y
1 -3
5 2
(4-4)
y=cosx (xR)

2
-2
3 2
-

正弦函数、余弦函数的图象和性质7

(2) y=3sin(2x-
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ上单调递增函数在 2 2
4

)

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 9 )sin2x
解： 0 tan 9 1
8
8
单调减区间为单调增区间为
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(

) – sin( 18

10
)
解： 2 10 18 sin(
5

2
又 y=sinx 在[
)

10
) < sin(

18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
3 5
3 5
=cos
4
又 y=cosx 在 [0, ] 上是减函数即： cos
17 ) 4
3 5
– cos

4
<0
<0
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x ) 解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
解： 2k 2 x 2k
3 4 2 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以：单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 , k ] 单调减区间为 [k 8 8 k x k
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性