4.2、角动量及其守恒定律解析
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1 dr r sin a ds 2 2m 开普勒第二定律（P157） 2m dt dt
r
行星受力方向与矢径在一条
dS：矢径在dt 时间 直线（有心力），故角动量守恒。====扫过的面积
（下一页）
二、 刚体的角动量
角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量 质点对点的角动量为： Z L r p r mv ri vi 刚体上的一个质元△mi ,绕固 m i 定轴做圆周运动角动量为：
M1 R1
M2 R2
答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的 轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只能 对某一个轴进行计算。另当两柱体边缘没有相对滑动 时v1，v2方向相反，所以应为 1R1 2 R2 正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于 两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反,力矩和冲量 矩的大小正比于半径,方向相同:
角动量守恒定律也适用于微观、高速领域。
（下一页）
例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度
射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度 损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒 长为l ,质量为M. 解: 以 f 代表棒对子弹的阻力,对子弹有: 3 fdt m(v v0 ) 4 mv 0 子弹对棒的反作用力对棒的冲 M 量矩为： f 'ldt l f ' dt J
2
Li ri mi vi ri mi
2 i
所以整个刚体绕此轴的角动量为：
i
L Li ( mi ri ) J
（下一页）
2、刚体定轴转动的角动量定理 d dL d ( J ) 转动定律 M J J M dt dt dt t L Mdt dL L L0 Mdt dL t L
0
冲量矩（角冲量） 单位： 牛顿· 米· 秒 表示合外力矩在t0t 时间内的累积作用。
0
角动量定理
J不变时， Mdt L J J0
t t0
作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。
（下一页）
J 改变时
L J J 00
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律 dL 在M 中，若M 0 dt 则L 常矢量，即L （ 0 J C）
（下一页）
角动量守恒定律 一、质点的角动量及其守恒定律 L 质点的动量 p 和 1、质点的角动量
（这是个新的概念） 质量为m的质点做圆周 运动时对圆心的角动量
4-3
角动量
矢径 r 不互相垂直
L
O
r
90 0
p
m
O
m r
p
d
wk.baidu.com
90 0
L pr mvr mr =Jω
r F M0
所以得
角动量定律
也可写成
Mdt dL
dL M0 dt
方向相同，叉乘为零
称为冲量矩
（下一页）
3、 质点的角动量守恒定律
若 M0 0 d L 由 角动量定律 M 0 L 常矢量 dt v r dr a L L m vrsin a m r sin a m dt
当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量 保持不变。——角动量守恒定律 角动量守恒的条件 M = 0的原因，可能 F＝0；r = 0; F∥r ； ====在定轴转动中还有 M ≠0，但力与轴平行，即 Mz= 0 ,对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动 量依然守恒。
（下一页）
应用角动量守恒定律的两种情况： 1、转动惯量保持不变的单个刚体。
因
f ' f ， 由两式得
v0
m
v
（下一页）
3mv 0l 9mv 0 1 2 这里 J Ml 4J 4Ml 3
请问:子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么?
不守恒——上端有水平阻力
M
总角动量守恒吗?----若守恒,
v0 m v
其方程应如何写?
v0 mv 0l m l J 4
（下一页）
例2、质量分别为M1、M2,半径分 别为R1 、R2的两均匀圆柱,可分别 绕它们本身的轴转动,二轴平行。
原来它们沿同一转向分别以10 ， 20 的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘相 接触,如图所示.求最后在接触处无相对滑动时,每个圆 柱的角速度1，2 。 对上述问题有以下的解法:在接触处无相对滑动时,二 圆柱边缘的线速度一样,故有 1R1 2 R2 1 二圆柱系统角动量守恒故有 J1 M 1 R12， 2 J110 J 220 J11 J 22 其中 1 2 J 2 M 2 R2 由以上二式就可解出 1，2 。 2 这种解法对吗? （下一页）
（下一页）
2、力对定点的力矩 Mo
质点的角动量定理
o
r
d
F
力对定点的力矩：
M0 r F
大小：
M 0 Fd Fr sin
（下一页）
方向：用右手螺旋法规定
dB dA d * 应用微分公式 ( A B) A B dt dt dt dL dp dr r p r F v p dt dt dt
当M 0时，J J 0 , 则 0
2、转动惯量可变的物体或物体系。
当J增大时，就减小； 当J减小时，就增大，从而J保持不变
加速旋转时，团身、收拢四肢，减小J ； 旋转停止时，舒展身体、伸展四肢，增大J 。
实例很多：舞蹈、跳水、花样滑冰等等……
上节回顾
●刚体 形状和大小都不发生变化的物体。 这是一种理想化了的模型。 如果物体的形状和大小变化甚微， 以至可以忽略不计，这种物体也 可以近似地看作是刚体。 ●刚体绕定轴的转动惯量 J =∑（△mi）ri2 ri 是质元△mi 到转轴的距离。 ●力矩 M = r ×F ●刚体绕定轴的转动定律 M = J
2
L pd pr sin mvr sin 2 mr sin
（下一页）
取 m r2 J 叫转动惯量
用叉积定义
角动量
v
L r p r mv
a
m r
L
p
角动量大小:
r
方向用右手螺旋法规定
角动量方向
L mv d
也可叫动量矩
r
行星受力方向与矢径在一条
dS：矢径在dt 时间 直线（有心力），故角动量守恒。====扫过的面积
（下一页）
二、 刚体的角动量
角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量 质点对点的角动量为： Z L r p r mv ri vi 刚体上的一个质元△mi ,绕固 m i 定轴做圆周运动角动量为：
M1 R1
M2 R2
答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的 轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只能 对某一个轴进行计算。另当两柱体边缘没有相对滑动 时v1，v2方向相反，所以应为 1R1 2 R2 正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于 两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反,力矩和冲量 矩的大小正比于半径,方向相同:
角动量守恒定律也适用于微观、高速领域。
（下一页）
例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度
射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度 损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒 长为l ,质量为M. 解: 以 f 代表棒对子弹的阻力,对子弹有: 3 fdt m(v v0 ) 4 mv 0 子弹对棒的反作用力对棒的冲 M 量矩为： f 'ldt l f ' dt J
2
Li ri mi vi ri mi
2 i
所以整个刚体绕此轴的角动量为：
i
L Li ( mi ri ) J
（下一页）
2、刚体定轴转动的角动量定理 d dL d ( J ) 转动定律 M J J M dt dt dt t L Mdt dL L L0 Mdt dL t L
0
冲量矩（角冲量） 单位： 牛顿· 米· 秒 表示合外力矩在t0t 时间内的累积作用。
0
角动量定理
J不变时， Mdt L J J0
t t0
作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。
（下一页）
J 改变时
L J J 00
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律 dL 在M 中，若M 0 dt 则L 常矢量，即L （ 0 J C）
（下一页）
角动量守恒定律 一、质点的角动量及其守恒定律 L 质点的动量 p 和 1、质点的角动量
（这是个新的概念） 质量为m的质点做圆周 运动时对圆心的角动量
4-3
角动量
矢径 r 不互相垂直
L
O
r
90 0
p
m
O
m r
p
d
wk.baidu.com
90 0
L pr mvr mr =Jω
r F M0
所以得
角动量定律
也可写成
Mdt dL
dL M0 dt
方向相同，叉乘为零
称为冲量矩
（下一页）
3、 质点的角动量守恒定律
若 M0 0 d L 由 角动量定律 M 0 L 常矢量 dt v r dr a L L m vrsin a m r sin a m dt
当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量 保持不变。——角动量守恒定律 角动量守恒的条件 M = 0的原因，可能 F＝0；r = 0; F∥r ； ====在定轴转动中还有 M ≠0，但力与轴平行，即 Mz= 0 ,对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动 量依然守恒。
（下一页）
应用角动量守恒定律的两种情况： 1、转动惯量保持不变的单个刚体。
因
f ' f ， 由两式得
v0
m
v
（下一页）
3mv 0l 9mv 0 1 2 这里 J Ml 4J 4Ml 3
请问:子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么?
不守恒——上端有水平阻力
M
总角动量守恒吗?----若守恒,
v0 m v
其方程应如何写?
v0 mv 0l m l J 4
（下一页）
例2、质量分别为M1、M2,半径分 别为R1 、R2的两均匀圆柱,可分别 绕它们本身的轴转动,二轴平行。
原来它们沿同一转向分别以10 ， 20 的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘相 接触,如图所示.求最后在接触处无相对滑动时,每个圆 柱的角速度1，2 。 对上述问题有以下的解法:在接触处无相对滑动时,二 圆柱边缘的线速度一样,故有 1R1 2 R2 1 二圆柱系统角动量守恒故有 J1 M 1 R12， 2 J110 J 220 J11 J 22 其中 1 2 J 2 M 2 R2 由以上二式就可解出 1，2 。 2 这种解法对吗? （下一页）
（下一页）
2、力对定点的力矩 Mo
质点的角动量定理
o
r
d
F
力对定点的力矩：
M0 r F
大小：
M 0 Fd Fr sin
（下一页）
方向：用右手螺旋法规定
dB dA d * 应用微分公式 ( A B) A B dt dt dt dL dp dr r p r F v p dt dt dt
当M 0时，J J 0 , 则 0
2、转动惯量可变的物体或物体系。
当J增大时，就减小； 当J减小时，就增大，从而J保持不变
加速旋转时，团身、收拢四肢，减小J ； 旋转停止时，舒展身体、伸展四肢，增大J 。
实例很多：舞蹈、跳水、花样滑冰等等……
上节回顾
●刚体 形状和大小都不发生变化的物体。 这是一种理想化了的模型。 如果物体的形状和大小变化甚微， 以至可以忽略不计，这种物体也 可以近似地看作是刚体。 ●刚体绕定轴的转动惯量 J =∑（△mi）ri2 ri 是质元△mi 到转轴的距离。 ●力矩 M = r ×F ●刚体绕定轴的转动定律 M = J
2
L pd pr sin mvr sin 2 mr sin
（下一页）
取 m r2 J 叫转动惯量
用叉积定义
角动量
v
L r p r mv
a
m r
L
p
角动量大小:
r
方向用右手螺旋法规定
角动量方向
L mv d
也可叫动量矩