第三章 正弦交流电路
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m m
• 实际应用中矢量长度通常不用最大值，而用有效值，有 U 效值相量用 I 、 、E 表示 • 相量的加、减运算就可以按平行四边形法则进行。
u • [例3.3 ] V， 2 50 V。写出表示u1和u2的相量，画相量图。 • [解] V U1 10060 • V U 2 50 60 •
e 2Bm L sin
• 取为感应电动势的最大值
Em 2Bm L
• 如果使线圈从中性面开始，以角速度ω匀速转动 时，则上式也可写成 • 如果从线圈平面与中性面成一夹角时开始计时，， 经过时间t线圈平面与中性面间的角度是，感应 电动势的公式就变成 •
e Em sin
e Em sin t
• 正弦交流电路中电阻元件 的平均功率为
p 1 T
T
0
pdt
1 T
T
0
UI (1 cos 2t )dt UI
• 电阻元件的平均功率等于 电压电流有效值的乘积
U2 p UI I R R
2
• 平均功率是电路中实际消 耗的功率，所以称有功功 率，简称功率
u 100 2 sin(t 30) • [例3.6] 某电阻R=100Ω，R两端的电压 V,求 • （1）通过电阻R的电流i和I 。 • （2）电阻R消耗的功率P。 • （3）作U 、I 的相量图。 • [解]（1）
U LI X L I
X L L
• 3）相位关系 • 电感上电压和电流相位关系为
ui u i 125 45 170 0
•
表 明电压u滞后于电流i170°。
• [例3.2] 分别写出图3-8中各图的电流相位差，并说明的 相位关系。
• [解]
1 0 ， 2 90 ， 90 （a） 12 1 2 ，表明 i1 滞后于 i 2 90°。 • （b）1 2 ， 12 1 2 0 ，表明二者同相。
e Em sin Em sin(t )
• 三、周期和频率
• 正弦量交变一次所需的时间称为周期，用字母T 表示，单位为秒（s）.如图3-5所示。一个周期 内的波形称为周波。 • 每秒内的周波数称为频率，用字母f表示，单位为 赫兹（Hz）简称赫。 1 f • 频率与周期互为倒数，即 T • 每秒钟所经历的弧度称为角频率，用字母ω表示， 单位为弧度每秒( rad/s）。 2 2f T
i u 100 2 sin(t 30) 2 sin(t 30 ) R 100 I 2 I m 1 2 2
• (2) P UI 100 1 100(W ) • (3）电阻电路中电压与电流同相位，电压和电流的相量 分别为 I 1 30 U 100 30 • 相量图如图所示。
• （c） 12
1 2
，表明二者反相。
• （d） ，表明 i 2 超前于3π/4。
1 0
2 3 4 ， 12 1 2 3 4 ，
• 五、有效值
• 正弦交流电在变化过程中任一瞬间所对应的数值，称为 瞬时值，用小写字母e、u、i表示。
• 正弦量瞬时值中的最大值叫做振幅值，也叫峰值。用大 写字母带下标“m”表示，如Um、Im。 • 正弦量的三要素 最大值、频率和初相位。 • 有效值 交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量 和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量 相等，则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写字母表示，如I、U等。 • 有效值又称为均方根值
(3 cos60 j3sin 60 ) [4 cos(30) j 4 sin(30 )] 4.96 j 0.6 56.9
• 总电流
i i1 i2 5 2 sin(314t 6.9)
• [解法二] 用几何方法求和 • i1、i2 的相量图如图3-11所示， • 用平行四边形法则求得
第三章 正弦交流电路
• • • • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 正弦交流电的基本概念 正弦量的相量表示法 单一参数电路元件的交流电路 正弦交流电路的一般分析方法 电阻、电感、电容串联电路 电路的谐振 功率因数的提高
第一节 正弦交流电的基本概念 • 一、电力生产过程介绍
• e1 和 e2 是两个频率相等、初相位不同的的正弦电动 势，它们的函数式为：
e1 Em1 sin(t 1 )
e2 Em2 sin(t 2 )
• 相位差为：
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
• （1）当 12 1 2 0 且 12 ，如图3-7 • （a）所示， 称为 u1 超前于 u 2 ，或称 u2 滞后于 u 1 。超前或滞后的角度为 12 。
图3-1 火力发电生产及输送过程示意图wk.baidu.com
• 水力发电:
• 将自然界的水所蕴藏的能量转换成电能的生产过程。 • 水能量的大小与其流量的大小和落下高度（称为落差） 有着直接的关系，水的流量和落差越大，则水蕴藏的 能量越大，即水能量与水流量和落差成正比。
• 二、发电机的工作原理
B Bm sin
第三节 单一参数电路元件的交流电路
• 电阻元件、电感元件和电容元件是交流电路的基本 元件
• 一、电阻电路
• 1．电压电流关系 • 当图所示的线性电阻R两端加上正弦电压u时，电阻 中便有电流i通过。在任一瞬间电压u和i的瞬时值服 从欧姆定律。电压和电流为关联参考方向下，交流 电路中电阻元件的关系式如下：
• 四、相位和相位差
• 相位或相位角 (t ) 被称为正弦量的。在不 同的时刻，对应不同的相位，就有不同的电动势 值。 • 初相位 反映正弦量初始值的物理量，是计时开 始时的相位角，简称“初相”。一般初相用小于 或等于180°的电角度来表示。具有初相角 的 交流电，在t时刻的相位角为 。 • 相位差 两个同频率正弦 (t ) • 量的相位之差. • 两个同频率正弦量的相位 • 差，等于它们的初相之差。
• 二、电感电路
• 当一个线圈的电阻小到可以忽略不计时，可以看成是一 个纯电感。图3-16a）为电感元件的交流电路。 • 1．电感元件的电压电流关系 • 1）瞬时关系 • 在图3-16a)所示的关联参考方向下
u e L
• 电感元件上电压 和电流的瞬时关系 是微分关系，即电 压与电流的变化率 成正比。
12
• [例3.1]
i 已知 u 220 2 sin(t 235 ) V， 10 2 sin(t 45 ) A，求u和i的初相及两者的相位关系。 u 220 2 sin(t 235 ) 220 2 sin(t 125 ) • [解] • 所以电压u的初相角为-125°，电流i的初相角为45°。 •
di dt
• 2）大小关系 • 在正弦交流电路中，设电流i为参考正弦量，即
• 则 u L di LI m cos t U m sin(t 90 ) dt • 式中
U m LI m
i I m sin t
• u、i的有效值关系
• X L 被称为电感元件的感抗，当ω单位为rad/s，L的单 位为H时,单位为Ω。感抗是用来表示电感线圈对电流阻 碍作用的物理量。感抗大小与正弦电流的频率成正比， 频率越高，感抗越大，因此电感线圈对高频电流有较大 的阻碍作用。而对直流来说，频率为零，感抗也就为零， 故电感元件在直流电路中的电压有效值为零，相当于短 路。
• (2）当 12 1 2 0 且 12 ，称 u 1 滞后于为 u2 ，或称 u2 超前于 u 1 。超前或滞后 的角度为 。 • （3）当 12 1 2 0 ，称这两个正弦量同相， 如图3-7(b)所示。 • （4）当 12 1 2 ，称这两个正弦量反相， 如图3-7(c)所示。 • （5）当 12 1 2 2 ，称这两个正弦量正 交，如图3-7(d)所示。
• 正弦交流电
1 I T
T
0
i 2 dt
Im I 2
Um U 2
Em E 2
第二节 正弦量的相量表示法
• 一、正弦量的相量表示法
• 正弦量的相量 用复数来表示正弦量。 • 所谓相量图表示法，就是用一个在直角坐标系中用绕原 点旋转的矢量表示正弦交流电的方法。 • 现以正弦电动势e=Emsin(ωt＋φ)为例说明如下：
• 图3-9中，从坐标原点作一矢量 ，矢量长度等于正弦交 流电动势的最大值Em，矢量与横轴正方向的夹角取正弦 交流电的初相φ，将该矢量以正弦交流电动势的角频率为 角速度，绕原点逆时针旋转，可以发现，在任一瞬间， 旋转矢量在纵轴上的投影就是正弦交流电动势的瞬时值。 • 交流电本身并不是矢量，而是时间的正弦函数。为了与 电场强度、力等一般的空间矢量相区别，我们把表示正 U E 弦交流电的这一矢量称为相量，用 I m 、 m 、 m 表示， 本例中 E E 。
I
2 I 12 I 2 32 4 2 A 5 A
• 图中
arctan
• 可见 I 56.9
I1 3 arctan 36.9 I2 4
i i1 i2 5 2 sin(314t 6.9)
• 由本例可知，同频率的正弦量可画在同一相量图上进行 比较或加、减运算。
• 电力生产的任务是把一次能源如煤炭、石油、天然 气、水力、核能、风力、地热等转换成电能，并输 送、分配、销售给用户。 • 提高发、供电设备的效率，节约厂用电，降低线损 率，是提高电力生产经济效益的三条主要途径
• 火力发电是指把煤、石油、天然气等燃料的化学能， 通过火力发电设备转化为电能的生产过程。
u1 100 2 sin(t 60 )
2 sin(t 60 )
• 相量图见图。
• 二、同频率正弦量的求和运算
• 几个同频率的正弦量相加或相减，其和或差还是一个同 频率的正弦量。 • 同频率正弦量的相量和，等于它们和的相量。 • [例3.4] 已知 i1 3 2 sin(314t 60 ) A， 4 2 sin(314t 30 ) i2 A，求总电流 i1 i2 ? • [解法一] 用复数方法求和 • i1、i2 的有效值相量分别为 I1 360 I 2 4 30 • 所以 I I I 360 4 30 1 2
• 电阻元件上电压与电流相量为同相关系
• 3．电阻元件的功率
• 交流电路中，任一瞬间，元件上电压的瞬时值与电流的 瞬时值的乘积叫做该元件的瞬时功率，用小写字母p表示， 即 p=ui • 电阻元件通过正弦交流电时，在关联参考方向下，瞬时 功率为 U I 2 m m (1 cos 2t ) UI (1 cos 2t ) p ui Um I m sin t • 2 • 电阻元件的瞬时功率曲线如图3-14所示。由功率曲线可知， 电阻元件的瞬时功率以电源频率的两倍作周期性变化。 在电压和电流为关联参考方向时，在任一瞬间，电压与 电流同号，电阻电路中的瞬时功率恒为正值，即p≥0， 说明电阻始终在消耗能量。 • 正弦交流电路中电阻元件的平均功率为
• 1）电流和电压之间的瞬时值关系 • u Ri • 2)电流和电压之间的有效值关系
U RI
• 3) 电流和电压之间的相位关系
• 因电阻是纯实数，在电压和电流为关联参考方向时，电流 和电压同相。图3-13b)是电阻元件上电流和电压的波形图。 • 2．电压与电流的相量关系
U RI
• 实际应用中矢量长度通常不用最大值，而用有效值，有 U 效值相量用 I 、 、E 表示 • 相量的加、减运算就可以按平行四边形法则进行。
u • [例3.3 ] V， 2 50 V。写出表示u1和u2的相量，画相量图。 • [解] V U1 10060 • V U 2 50 60 •
e 2Bm L sin
• 取为感应电动势的最大值
Em 2Bm L
• 如果使线圈从中性面开始，以角速度ω匀速转动 时，则上式也可写成 • 如果从线圈平面与中性面成一夹角时开始计时，， 经过时间t线圈平面与中性面间的角度是，感应 电动势的公式就变成 •
e Em sin
e Em sin t
• 正弦交流电路中电阻元件 的平均功率为
p 1 T
T
0
pdt
1 T
T
0
UI (1 cos 2t )dt UI
• 电阻元件的平均功率等于 电压电流有效值的乘积
U2 p UI I R R
2
• 平均功率是电路中实际消 耗的功率，所以称有功功 率，简称功率
u 100 2 sin(t 30) • [例3.6] 某电阻R=100Ω，R两端的电压 V,求 • （1）通过电阻R的电流i和I 。 • （2）电阻R消耗的功率P。 • （3）作U 、I 的相量图。 • [解]（1）
U LI X L I
X L L
• 3）相位关系 • 电感上电压和电流相位关系为
ui u i 125 45 170 0
•
表 明电压u滞后于电流i170°。
• [例3.2] 分别写出图3-8中各图的电流相位差，并说明的 相位关系。
• [解]
1 0 ， 2 90 ， 90 （a） 12 1 2 ，表明 i1 滞后于 i 2 90°。 • （b）1 2 ， 12 1 2 0 ，表明二者同相。
e Em sin Em sin(t )
• 三、周期和频率
• 正弦量交变一次所需的时间称为周期，用字母T 表示，单位为秒（s）.如图3-5所示。一个周期 内的波形称为周波。 • 每秒内的周波数称为频率，用字母f表示，单位为 赫兹（Hz）简称赫。 1 f • 频率与周期互为倒数，即 T • 每秒钟所经历的弧度称为角频率，用字母ω表示， 单位为弧度每秒( rad/s）。 2 2f T
i u 100 2 sin(t 30) 2 sin(t 30 ) R 100 I 2 I m 1 2 2
• (2) P UI 100 1 100(W ) • (3）电阻电路中电压与电流同相位，电压和电流的相量 分别为 I 1 30 U 100 30 • 相量图如图所示。
• （c） 12
1 2
，表明二者反相。
• （d） ，表明 i 2 超前于3π/4。
1 0
2 3 4 ， 12 1 2 3 4 ，
• 五、有效值
• 正弦交流电在变化过程中任一瞬间所对应的数值，称为 瞬时值，用小写字母e、u、i表示。
• 正弦量瞬时值中的最大值叫做振幅值，也叫峰值。用大 写字母带下标“m”表示，如Um、Im。 • 正弦量的三要素 最大值、频率和初相位。 • 有效值 交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量 和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量 相等，则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写字母表示，如I、U等。 • 有效值又称为均方根值
(3 cos60 j3sin 60 ) [4 cos(30) j 4 sin(30 )] 4.96 j 0.6 56.9
• 总电流
i i1 i2 5 2 sin(314t 6.9)
• [解法二] 用几何方法求和 • i1、i2 的相量图如图3-11所示， • 用平行四边形法则求得
第三章 正弦交流电路
• • • • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 正弦交流电的基本概念 正弦量的相量表示法 单一参数电路元件的交流电路 正弦交流电路的一般分析方法 电阻、电感、电容串联电路 电路的谐振 功率因数的提高
第一节 正弦交流电的基本概念 • 一、电力生产过程介绍
• e1 和 e2 是两个频率相等、初相位不同的的正弦电动 势，它们的函数式为：
e1 Em1 sin(t 1 )
e2 Em2 sin(t 2 )
• 相位差为：
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
• （1）当 12 1 2 0 且 12 ，如图3-7 • （a）所示， 称为 u1 超前于 u 2 ，或称 u2 滞后于 u 1 。超前或滞后的角度为 12 。
图3-1 火力发电生产及输送过程示意图wk.baidu.com
• 水力发电:
• 将自然界的水所蕴藏的能量转换成电能的生产过程。 • 水能量的大小与其流量的大小和落下高度（称为落差） 有着直接的关系，水的流量和落差越大，则水蕴藏的 能量越大，即水能量与水流量和落差成正比。
• 二、发电机的工作原理
B Bm sin
第三节 单一参数电路元件的交流电路
• 电阻元件、电感元件和电容元件是交流电路的基本 元件
• 一、电阻电路
• 1．电压电流关系 • 当图所示的线性电阻R两端加上正弦电压u时，电阻 中便有电流i通过。在任一瞬间电压u和i的瞬时值服 从欧姆定律。电压和电流为关联参考方向下，交流 电路中电阻元件的关系式如下：
• 四、相位和相位差
• 相位或相位角 (t ) 被称为正弦量的。在不 同的时刻，对应不同的相位，就有不同的电动势 值。 • 初相位 反映正弦量初始值的物理量，是计时开 始时的相位角，简称“初相”。一般初相用小于 或等于180°的电角度来表示。具有初相角 的 交流电，在t时刻的相位角为 。 • 相位差 两个同频率正弦 (t ) • 量的相位之差. • 两个同频率正弦量的相位 • 差，等于它们的初相之差。
• 二、电感电路
• 当一个线圈的电阻小到可以忽略不计时，可以看成是一 个纯电感。图3-16a）为电感元件的交流电路。 • 1．电感元件的电压电流关系 • 1）瞬时关系 • 在图3-16a)所示的关联参考方向下
u e L
• 电感元件上电压 和电流的瞬时关系 是微分关系，即电 压与电流的变化率 成正比。
12
• [例3.1]
i 已知 u 220 2 sin(t 235 ) V， 10 2 sin(t 45 ) A，求u和i的初相及两者的相位关系。 u 220 2 sin(t 235 ) 220 2 sin(t 125 ) • [解] • 所以电压u的初相角为-125°，电流i的初相角为45°。 •
di dt
• 2）大小关系 • 在正弦交流电路中，设电流i为参考正弦量，即
• 则 u L di LI m cos t U m sin(t 90 ) dt • 式中
U m LI m
i I m sin t
• u、i的有效值关系
• X L 被称为电感元件的感抗，当ω单位为rad/s，L的单 位为H时,单位为Ω。感抗是用来表示电感线圈对电流阻 碍作用的物理量。感抗大小与正弦电流的频率成正比， 频率越高，感抗越大，因此电感线圈对高频电流有较大 的阻碍作用。而对直流来说，频率为零，感抗也就为零， 故电感元件在直流电路中的电压有效值为零，相当于短 路。
• (2）当 12 1 2 0 且 12 ，称 u 1 滞后于为 u2 ，或称 u2 超前于 u 1 。超前或滞后 的角度为 。 • （3）当 12 1 2 0 ，称这两个正弦量同相， 如图3-7(b)所示。 • （4）当 12 1 2 ，称这两个正弦量反相， 如图3-7(c)所示。 • （5）当 12 1 2 2 ，称这两个正弦量正 交，如图3-7(d)所示。
• 正弦交流电
1 I T
T
0
i 2 dt
Im I 2
Um U 2
Em E 2
第二节 正弦量的相量表示法
• 一、正弦量的相量表示法
• 正弦量的相量 用复数来表示正弦量。 • 所谓相量图表示法，就是用一个在直角坐标系中用绕原 点旋转的矢量表示正弦交流电的方法。 • 现以正弦电动势e=Emsin(ωt＋φ)为例说明如下：
• 图3-9中，从坐标原点作一矢量 ，矢量长度等于正弦交 流电动势的最大值Em，矢量与横轴正方向的夹角取正弦 交流电的初相φ，将该矢量以正弦交流电动势的角频率为 角速度，绕原点逆时针旋转，可以发现，在任一瞬间， 旋转矢量在纵轴上的投影就是正弦交流电动势的瞬时值。 • 交流电本身并不是矢量，而是时间的正弦函数。为了与 电场强度、力等一般的空间矢量相区别，我们把表示正 U E 弦交流电的这一矢量称为相量，用 I m 、 m 、 m 表示， 本例中 E E 。
I
2 I 12 I 2 32 4 2 A 5 A
• 图中
arctan
• 可见 I 56.9
I1 3 arctan 36.9 I2 4
i i1 i2 5 2 sin(314t 6.9)
• 由本例可知，同频率的正弦量可画在同一相量图上进行 比较或加、减运算。
• 电力生产的任务是把一次能源如煤炭、石油、天然 气、水力、核能、风力、地热等转换成电能，并输 送、分配、销售给用户。 • 提高发、供电设备的效率，节约厂用电，降低线损 率，是提高电力生产经济效益的三条主要途径
• 火力发电是指把煤、石油、天然气等燃料的化学能， 通过火力发电设备转化为电能的生产过程。
u1 100 2 sin(t 60 )
2 sin(t 60 )
• 相量图见图。
• 二、同频率正弦量的求和运算
• 几个同频率的正弦量相加或相减，其和或差还是一个同 频率的正弦量。 • 同频率正弦量的相量和，等于它们和的相量。 • [例3.4] 已知 i1 3 2 sin(314t 60 ) A， 4 2 sin(314t 30 ) i2 A，求总电流 i1 i2 ? • [解法一] 用复数方法求和 • i1、i2 的有效值相量分别为 I1 360 I 2 4 30 • 所以 I I I 360 4 30 1 2
• 电阻元件上电压与电流相量为同相关系
• 3．电阻元件的功率
• 交流电路中，任一瞬间，元件上电压的瞬时值与电流的 瞬时值的乘积叫做该元件的瞬时功率，用小写字母p表示， 即 p=ui • 电阻元件通过正弦交流电时，在关联参考方向下，瞬时 功率为 U I 2 m m (1 cos 2t ) UI (1 cos 2t ) p ui Um I m sin t • 2 • 电阻元件的瞬时功率曲线如图3-14所示。由功率曲线可知， 电阻元件的瞬时功率以电源频率的两倍作周期性变化。 在电压和电流为关联参考方向时，在任一瞬间，电压与 电流同号，电阻电路中的瞬时功率恒为正值，即p≥0， 说明电阻始终在消耗能量。 • 正弦交流电路中电阻元件的平均功率为
• 1）电流和电压之间的瞬时值关系 • u Ri • 2)电流和电压之间的有效值关系
U RI
• 3) 电流和电压之间的相位关系
• 因电阻是纯实数，在电压和电流为关联参考方向时，电流 和电压同相。图3-13b)是电阻元件上电流和电压的波形图。 • 2．电压与电流的相量关系
U RI