五年级下第3讲 最值问题(二)
小学五年级奥数关于最值问题的讲解
【导语】“最⼩、最多最少、最长最短等问题”称之为“最值问题”，最值问题是普遍的应⽤类问题，主要解决有“最”字的描述的问题，涉及类⽬⼴泛，是数学、物理中常见的类型题⽬。
以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助！【篇⼀】 最值问题 【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，⼜要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最⼩的代价取得的效益。
这类应⽤题叫做最值问题。
【数量关系】⼀般是求值或最⼩值。
【解题思路和⽅法】按照题⽬的要求，求出值或最⼩值。
例1在⽕炉上烤饼，饼的两⾯都要烤，每烤⼀⾯需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟? 解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了⼀⾯，这时将第⼀块饼取出，放⼊第三块饼，翻过第⼆块饼。
再过3分钟取出熟了的第⼆块饼，翻过第三块饼，⼜放⼊第⼀块饼烤另⼀⾯，再烤3分钟即可。
这样做，⽤的时间最少，为9分钟。
答：最少需要9分钟。
例2在⼀条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千⽶，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。
现在要把所有的煤集中到⼀个煤场⾥，每吨煤运1千⽶花费1元，集中到⼏号煤场花费最少? 解我们采⽤尝试⽐较的⽅法来解答。
集中到1号场总费⽤为1×200×10+1×400×40=18000(元) 集中到2号场总费⽤为1×100×10+1×400×30=13000(元) 集中到3号场总费⽤为1×100×20+1×200×10+1×400×10=12000(元) 集中到4号场总费⽤为1×100×30+1×200×20+1×400×10=11000(元) 集中到5号场总费⽤为1×100×40+1×200×30=10000(元) 经过⽐较，显然，集中到5号煤场费⽤最少。
第03讲极值与最值(课件)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)
所以 的最小值为 −2 = ln −2 − 2，无最大
值．
综上，当 ≥ 0时，�� 无最值；
当 < 0时， 的最小值为ln −2 − 2，无最大值．
题型四：求函数的最值（含参）
【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 = ln 1 + + e− ．
A．[−3,6]
B．(−3,6)
C．(−∞, −3] ∪ [6, +∞)
【答案】A
【解析】因为() = 3 + 2 + ( + 6)，
所以′() = 3 2 + 2 + + 6，
因为()无极值，所以(2)2 − 4 × 3 × ( + 6) ≤ 0，
解得−3 ≤ ≤ 6，所以a的取值范围为[−3,6]．
在 −1,0 内单调递增，
1
所以 > −1 = e > 0，
所以′ > 0， 在 −1,0 内单调递增，
π
2
【解析】因为函数 = tan + ln 1 − , ∈ − , 1 ，
所以′ =
1
cos2
+
−1
1−
=
1
cos2
+
1
−1
=
−1+cos2
，
−1 cos2
设ℎ = − 1 + cos 2 ，ℎ′ = 1 − 2cossin = 1 − sin2 ≥ 0，
有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值 ；
第03讲 二次函数的增减性与最值问题(原卷版)
第3讲 二次函数的增减性与最值问题考点一：二次函数的最值【知识点睛】❖ 无区间范围的二次函数最值由a 与定点纵坐标共同决定对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 开口向上⇔ a ＞0⇔二次函数有最小值ab ac 442-； 开口向下⇔a ＜0⇔二次函数有最大值ab ac 442-； ❖ 区间范围内的二次函数最值通常需要分类讨论区间范围内由二次函数最值求参数字母值问题的解题步骤：①找对称轴画抛物线简图（不需要画平面直角坐标系）；②分类讨论：让对称轴分别在对应取值范围的左边、中间、右边；结合抛物线的增减性找到最值时的等量关系列方程求解③判断所求出的参数字母的值是否在对应分类讨论的取值范围内，不在则舍去。
【类题训练】1．已知二次函数的图象（0≤x ≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值2，有最小值﹣2.5B ．有最大值2，有最小值1.5C ．有最大值1.5，有最小值﹣2.5D ．有最大值2，无最小值2．已知函数y ＝x 2﹣6x +2，当﹣1＜x ＜4时，则y 的取值范围为 ．3．设二次函数y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣m ﹣k ）（a ＞0，m ，k 是实数），则（ ）A ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣aB ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣2aC ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣aD ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣2a4．已知抛物线y ＝（x ﹣b ）2+c 经过A （1﹣n ，y 1），B （n ，y 2），C （n +3，y 3）三点，y 1＝y 3．当1﹣n ≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（）A．﹣5B．3C．D．45．已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（）A．1B．C．或﹣8D．1或﹣86．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（）A．a≥6B．3≤a≤6C．0≤a≤3D．a≤07．在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，则下列说法正确的是（）A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值8．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或39．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（1，0），点B（0，3），点P在该抛物线上，其横坐标为m，若该抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．则m的值为（）A．m＝3B．C．D．m＝3或10．已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于．11．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为4，则a的值为．12．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A ．﹣B ．或﹣C ．2或﹣D ．2或﹣或﹣13．当a ﹣1≤x ≤a 时，二次函数y ＝x 2﹣4x +3的最小值为8，则a 的值为（ ）A ．﹣1 或5B ．0或6C ．﹣1或6D ．0或514．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象的顶点坐标是（1，﹣3），且过点（2，﹣）．（1）求该二次函数的表达式．（2）若该二次函数图象与直线y ＝m （m 是常数）交于点A 、B ，AB ＝6，则m ＝ ．（3）当﹣3＜x ＜3时，y 的取值范围是 ．15．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于A （﹣3，0）、B （0，﹣3），二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象经过点A ．（1）求一次函数y ＝kx +b 的表达式；（2）若二次函数y ＝x 2+mx +n 图象与y 轴交点为（0，3），请判断此二次函数的顶点是否在直线y ＝kx +b （k ≠0）的图象上？（3）当n ＞0，m ≤5时，二次函数y ＝x 2+mx +n 的最小值为t ，求t 的取值范围．考点二：二次函数的增减性【知识点睛】❖ 常规问题需要由a 与对称轴共同确定，且抛物线的增减性必须有对应的范围对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：a ＞0时，图象开口向上； 当ab x 2-≤时，y 随x 的增大而减小，反之则y 随x 的增大而增大； a ＜0 时，图象开口向下； 当ab x 2-≤时，y 随x 的增大而增大，反之则y 随x 的增大而减小； ❖ y 1、y 2比较大小问题规律总结：若点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象上的两个点，则：当a ＞0时，A 、B 两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越小；当a ＜0时，A 、B 两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越大；【类题训练】1．关于抛物线y ＝﹣x 2+2，下列说法正确的是（ ）A ．开口向上B．对称轴是y轴C．有最小值D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小2．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞1B．﹣1＜m≤1C．m＞0D．﹣1＜m＜23．已知二次函数y＝（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，下列判断正确的是（）A．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2B．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2C．若x1+x2＞1，则y1＞y2D．若x1+x2＜1，则y1＞y24．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，且2≤x≤3时，y的最大值为10，则a的值为（）A．﹣3B．3C．D．±35．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y26．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在该函数图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y27．已知a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，若b＞0，则二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤﹣1D．m≥﹣110．若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．11．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是．12．已知：二次函数y＝ax2﹣2ax+3a﹣1．（1）求这个二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数图象抛物线开口向上，当0≤x≤4时，y的最小值是3，求当0≤x≤4时，y的最大值；（3）若点A（n+1，y1），B（n﹣1，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+3a﹣1（a＜0）上，且y1＜y2，求n的取值范围．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数y＝x2+bx﹣3 的图象上．（1）当m＝n时，求b的值；（2）在（1）的条件下，当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围；（3）若﹣1≤x≤2时，函数的最小值为﹣5，求m+n的值．14．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．。
部编版数学五年级暑假第3讲.棋盘中的数学.超常体系
国际象棋的历史
关于国际象棋的产生，国际上流传着一个有趣的故事。据说 2000 年以前，印度有一个非 常残暴的国王，自己独断专行，想干什么就干什么。国王有个亲信大臣，他想拿“君王不能 离开臣民而存在”的道理来劝告国王，但又不敢公开提出自己的意见。他想出了一个暗示的 办法：在木制棋盘上，用骨制的棋子组成两支军队进行战斗；每一方都有一个首脑——王， 另有车、马、象、兵四个兵种，组合成一个阵容的整体，王是最主要的棋子，王一死，战斗 便结束；王同时又是很弱的一环，他只能依靠战友——即别的更有力的棋子保护，这些棋子 必须在整个战斗过程中同心协力来保卫王。它一方面往西传到波斯、阿拉伯和欧洲，经过改 变(如：增加了“后”)，形成现代的国际象棋；另一方面往东传到缅甸、东南亚和中国。
(2)用若干个
和
能否恰好不重不漏地覆盖住 15×15 的方格棋盘．
(3)用标准的俄罗斯方块的某些图形，能否恰好不重不漏地覆盖住 5×6 的方格棋盘． 【分析】(1)B，从奇偶性考虑
(2)不能，从奇偶性考虑 (3)不能， 俄罗斯方块每块均是 4 格，4 不能整除 5×6 小结：此题提示孩子，在覆盖问题中，首先从面积大小及整除性来判断．覆盖中的最值问 题也会用到此类思想．
【分析】不能，对 4 5 长方形作黑白染色
8 第 9 级上 超常体系 教师版
黑格数 白格数，但若对
、
①
②
、
、
③
、
④
这五个图形进行
⑤
黑白染色，图①②③⑤黑格白格，但图④黑 白，所以办不到．
例7
(1) 能不能用 15 个
将图形黑白相间染色后，发现有 21 黑，19 白，黑、白格数目不等，而 1×2 的小长方形覆 盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到． (2)右图是一个 5×7 的方格，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，
专题二 第3讲 三角恒等变换与解三角形
例 1 (1)(2021·南通模拟)已知 α∈0，π2，2sin 2α－cos 2α＝1，则 cos α 的 值为
A.15
B.
5 5
C.
3 3
√D.2
5 5
解析 由题意得4sin αcos α＋1－2cos2α＝1， 所以4sin αcos α＝2cos2α， 因为 α∈0，π2，所以 2sin α＝cos α， 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以14cos2α＋cos2α＝1， 所以 cos2α＝45，因为 α∈0，π2，所以 cos α＝255.
b2＋c2－a2 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝ 2bc . 3.三角形的面积公式：S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A.
例 2 (1)在△ABC 中，AC＝ 5，BC＝ 10，cos A＝255，则△ABC 的面 积为
√A.52
B.5
C.10
10 D. 2
索
考点三
引
专题强化练
1 考点一 三角恒等变换
PART ONE
核心提炼
1.三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”. 2.三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，如1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等. (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α， α＝(α－β)＋β等. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化.
跟踪演练 3 (2021·常州模拟)在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所
对的边.在①(2a－c)cos B＝bcos C；②
→ 3BA
五年级寒假奥数教案第3讲：最值问题
（一）星海遨游1（10分钟）
一把钥匙只能打开一个房间,现有20把钥匙和20个房间,但不知哪把钥匙开哪个房间,如要打开所有的房间,最多要开几次？
师：同学们!我们来看这道题,用钥匙开门我们在家里都看过吧?
生：看过。
师：一把钥匙是不是只能开一个房门?
生：是。
师：这里总共有20把钥匙和20个房间,要把所有房间都打开,我们先看第一扇门,如果运气很好,是不是一拿就能拿到这扇门的钥匙,但我们不可能每次运气都这么好的是不是?
二、太空遨游（30分钟）
（一）太空遨游1（10分钟）
有一架天平,只有5克和30克的砝码各一个,现在要把300克盐分成三等份,问最少需要用天平称多少次？
师：天平同学们还记得吗?
生：记得。
师：天平有什么啊,同学们告诉我?
生：称重的砝码。
师：是的,你们太棒了。今天我们要用天平把这300克等分成3等份,你们告诉我,等分之后,每份多少克？
师：同学们,今天我们来玩个游戏好不好？
生：好。
师：（拿出猪头）你们知道这是什么吗？
生：猪头。
师：你们太聪明了,没错这就是猪头,老师手上还有猪眼睛和鼻子,现在我要请两位小朋友上来,在这里找出猪鼻子和眼睛并贴在相应的位置,谁用的时间最少,谁就赢了。
师：谁想上来试一试？
生：我……（游戏结束,给予奖励）
师：同学们,你们知道吗,在我们平时生活中,会出现很多这种要求最大值或者最小值的问题,这就是我们今天要学的最值问题。【出示课题：最值问题】
板书:
长+宽=36÷2=18(米)
长=宽=18÷2=9(米)
9×9＝81（平方米）
答：围成菜园的最大面积是81平方米。
三、火星漫步（5分钟）
第3讲(学生)完全平方公式----讲义
第3讲 完全平方公式【知识及方法】（一）整式的除法1.单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的_________一起作为商的一个.2.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这多项式的每一项___________这个单项式，再把所得的商__________.(二)完全平方公式：(a+b )2=a 2+2ab +b 2 (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2其中a 、b 可以是一个数，也可以是一个代数式。
注意公式的逆用【范例及拓展】1.单项式除以单项式【例1】计算：（1）-a 7x 4y 4÷（-43ax 4y 2）； （2）2a 2b·（-3b 2）÷（4a b 3）．2.多项式除以单项式【例2】计算：（1）（14a 3-7a 2）÷（7a ）； （2）（15x 3y 5-10x 4y 4-20x 3y 2）÷（-5x 3y 2）．3．完全平方公式例3、⑴、（2a －b ）2⑵19982 (3)2012(4).(31x +y )(31x －y )(91x 2-y 2) (5)已知x + y = 5, ,求x －y 之值拓展（1）已知4,1222=+=+y x y x 求xy 的值(2)已知,1)(,3)(22=-=+y x y x 求22y x +的值（3）已知，求的值(4)已知x 2+x-8=0,求代数式x 5+2x 4+4x 3+4x 2-87x+1的值(6)若(x+a)(x+b)=x 2+mx+n,则m=______,n=______,(x÷a+2)(x÷b+2)=_____.平方差公式及完全平分公式一．平方差公式 (a+b)(a –b )＝a 2–b 2例题1 20052÷(2006×2004+1) 例题2 已知m=3,n=2.求代数式(m+n)2-(m-n)2的值二．完全平方公式 (a ＋b )2=a 2＋2ab ＋b 2 (a －b )2=a 2－2ab ＋b 2例题3 若4x 2+mx+196是一个完全平方式,则m 的值是多少?例题4 的最小值是多少？2011692+--x x 的最大值是多少？训练题一．计算题1．20032–2004×2. (x-y+3)(x-y-3) 3.(3a-2b)(-2b-3a)4. (x2y+4)(x2y-4)-(x2y+2)(x2y-3)5. (2x+3y)(4x+5y)(2x-3y)(-4x+5y)6. 2(3a+1)(1-3a)+(a-2)(2+a)7．97×99×101×103 8. 10.2×9.8 9．(x－3y) 2－(x+3y) 2 10. (2x-3y)(2x+3y)(4x2-9y2)11.(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) 12. (4x+5y) 2 (4x-5y) 2二．解答题1 . 化简(a-b) 2+b(a-b) 2．已知a2-b2=4,a-b=2, 求(a+b) 2的值3．计算199319922÷(199319912+199319932-2)4.计算：199319922199319912+199319932-2= ？练习计算2119992+200120012-2的结果为.2、平方差公式的逆向应用例1计算:199****1192+9311999932129932-2.逆用多个公式例2、 若 a=19952+19952·19962+19962 求证：a 是一个完全平方数．平方差公式和完全平方公式巩固及拓展练习一．选择题1、若x 2－k xy +16y 2是一个完全平方式，则k 的值是（）A.8B.16C.±8D.±162、(x +y )2－M =(x －y )2，则M 为（）A.2xyB.±2xyC.4xyD.±4xy3、已知a +a 1=3，则a 2+21a的值是（） A.9B.7 C.11D.54.在多项式x 2+xy +y 2，x 2－4x +2，x 2－2x +1，4x 2+1，a 2－b 2，a 2+a +41中是完全平方式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5、如果x 2+mx +4是一个完全平方式，那么m 的值是( )A.4B.－4C.±4D.±86、整式(－x －y )( )=x 2－y 2中括号内应填入下式中的（）A.－x －yB.－x +yC.x －yD.－x +y7、在下列各多项式乘法中不能用平方差公式的是（） A.(m +n )(－m +n ) B.(x 3－y 3)(x 3+y 3) C.(－a －b )(a +b ) D.(31a －b )( 31a +b ) 二．填空题8、用完全平方公式计算：（1）992=___________=_____________=_____________. （2）9x 2+(_________)+y 2=(3x －y )2（3）.m 2－4mn +_________=(m －_________)29、(2x －3y )2=_____,(41a +52b )2=_____. 10、9x 2+_____+25y 2=(_____)2；_____+10xy +1=(_____+1)2. 11、用完全平方公式计算1972=( )2=________________=_______.12、x 2－2x +_____=(_____)2；m 2+4mn +_____=( )2.13、(a +b )2=(a －b )2+_____,(x +21)2=x 2+_____. 14、若4x 2+mx +49是一个完全平方式，则m =_____.15、若(x －m )2=x 2+x +a ,则m =_____,a =_____.16、(x +x 1)2=x 2+21x +_____. 17、若(3x +4)2=9x 2－kx +16,则k =_____. 18、41a 2++9b 2=(21a +3b )2. 19、(a －2b )2+(a +2b )2=.20、(5x +3y )·( )=25x 2－9y 220、 (－0.2x －0.4y )( )=0.16y 2－0.04x 221、 (－23x －11y )( )=－49x 2+121y 222、若(－7m +A )(4n +B )=16n 2－49m 2,则A =，B =.23、(1－5n )(1+5n )=_______________ 24、1002－972=(_____+_____)(_____－_____)=_____25、(x －1)(x +1)=_____，(2a +b )(2a －b )=_____，(31x －y )(31x +y )=_____. 26、(x +4)(－x +4)=_________，(x +3y )(_________)=9y 2－x 2,(－m －n )(_________)=m 2－n 227、98×102=(_________)(__________)=( )2－( )2=_________.28、－(2x 2+3y )(3y －2x 2)=__________, (a －b )(a +b )(a 2+b 2)=___________.29、(_____－4b )(_____+4b )=9a 2－16b 2,(_____－2x )(_____－2x )=4x 2－25y 230、(xy －z )(z +xy )=___________，(65x －0.7y )(65x +0.7y )=_____. 31、(41x +y 2)(____________)=y 4－161x 2 三．计算题 32、498233、(a m +1－b n +1)234、 (a +21b )2－(a －21b )235、(x +y )2－2(x +y )(x －y )+(x －y )236、(m +3)2(m －3)237、(x －y )(x +y )－(x +y )2+2y (y －x ),其中x =1,y =3.38、已知(x +y )2=8,(x －y )2=4,求x 2+y 2及xy 的值.39、(2x 2+3y )(3y －2x 2). 40、(p －5)(p －2)(p +2)(p +5).41、(x 2y +4)(x 2y －4)－(x 2y +2)·(x 2y －3).42、设x+y=6，x－y=5，求x2－y243、计算(x+y－1)(x+y+1)44、若m、n为有理数，式子(8m3+2n)(8m3－2n)+(2n－3)(3+2n)的值及n有没有关系？为什么？45、计算a4+(1－a)(1+a)(1+a2)的计算结果46、已知a+b=7，ab=12，求(a－b)2的值.47、如图，是一个机器零件，大圆的半径为r+2，小圆的半径为r－2，求阴影部分的面积.整式的运算A 卷（100分）一.选择题.（每小题3分，共30分）1.代数式:πab x x x abc ,213,0,52,17,52--+-中,单项式共有( )个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.下列各式正确的是( )A.2224)2(b a b a +=+ B.C.32622x x x -=÷-D.523)()()(y x x y y x -=-- 3.计算结果为( ) A.591a B.691a C.69a - D. 4.的运算结果是( )A. B. C. D.5.若))((b x a x +-的乘积中不含x 的一次项,则b a ,的关系是( )A.互为倒数B.相等C.互为相反数D.b a ,都为06.下列各式中,不能用平方差公式计算的是( )A.)43)(34(x y y x ---B.)2)(2(2222y x y x +-C.))((a b c c b a +---+D.))((y x y x -+-7.若y b a 25.0及的和仍是单项式，则正确的是( )A.x=2,y=0B.x=－2,y=0C.x=－2,y=1D.x=2,y=18.观察下列算式：12=2，22=4，32=8，42=16，52=32，62=64，72=128，82=256，…… 根据其规律可知108的末位数是 ……………………………………………（ ）A 、2B 、4C 、6D 、89.如果(3x 2y －2xy 2)÷M =－3x +2y ，则单项式M 等于( )A 、xyB 、－xyC 、xD 、－y10.若A ＝5a 2－4a ＋3及B ＝3a 2－4a ＋2,则A 及B( )A 、A ＝B B 、A ＞BC 、A ＜BD 、以上都可能成立二.填空题.（每小题4分，共24分） 11.多项式13254242+---x y x y x π是一个 __ 次 __ 项式,其中最高次项的系数为. 12.当k =时,多项式8313322+---xy y kxy x 中不含xy 项. 13.)()()(12y x y x x y n n --⋅--=.14.(1)29___))(________3(x x -=--；(2)-+2)23(y x =2)23(y x -. 15.计算:02397)21(6425.0⨯-⨯⨯-=. 16.若、a b 互为倒数,则20122011b a ⨯=.三.计算题.(每小题5分，共10分)17、25223223)21(})2()]()2{[(a a a a a -÷⋅+-⋅-18、)2(3)121()614121(22332mn n m mn mn n m n m +--÷+--四．用简便方法计算（每小题6分，共18分）22、)21)(12(y x y x --++23、22)2()2)(2(2)2(-+-+-+x x x x2424422222)2()2()4()2(y x y x y x y x ---++五．解答题26.解方程:0)1)(1(3)12)(23()3(2=-++-+--x x x x x （8分）27.已知将32()(34)x mx n x x ++-+乘开的结果不含3x 和2x 项.（10分） （1）求m 、n 的值；（2）求22()()m n m mn n +-+的值。
一元二次不等式所表示的平面区域及求最值问题
3.3.2（二）
x＋2y－5>0， 2．设实数 x，y 满足不等式组2x＋y－7>0，
x≥0，y≥0
且 x，y 为整
数．则 3x＋4y 的最小值是
(B )
A．14
B．16
C．17
D．19
本 讲
解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，
栏
目
开
关
点 A(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故 3x＋4y 的最小值是 3×4＋4×1＝16.
x∈Z，y∈Z
时，求 z＝5x＋
4y 的最大值及最优解．
本 讲 栏 目 开
解 若不考虑 x∈Z，y∈Z，则当直线经过点 A95，2130时， z＝1815，∵x∈Z，y∈Z，∴z∈Z.
关
令 z＝18，则 5x＋4y＝18.
∵4y 为偶数，18 为偶数，∴5x 为偶数，∴x 为偶数． 结合可行域可知 x＝2，从而 y＝2. 经检验(2,2)在可行域内．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.3.2（二）
3．在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近
的乡镇．现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用．每
辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙
本 讲
型货车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台．若每辆车至
栏 目
故当 x＝20，y＝24 时，Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)
答案 20 24
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.2（二）
例 2 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张 钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
中考数学总复习资料：第3讲《最值问题》精品总结
第三讲 最值问题最值问题的解决方法通常有两种： 1.运用代数证法：① 运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式。
2. 应用几何性质：① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短；③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
④数轴表示两点间距离。
1）代数最值问题1设x 、y 为实数，代数式5x 2+4y 2－8xy+2x+4的最小值为2.x 的值为_________。
3.|x+1|+|x-1|的最小值是|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少？4.定义：对于数轴上的任意两点A ，B 分别表示数1,2x x ，用12x x -表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点1122(,),(,)A x y B x y 我们把1212x x y y -+-叫做A ，B 两点之间的直角距离,记作d （A ，B ）．（1）已知O 为坐标原点，若点P 坐标为（－1，3），则d (O,P )＝_____________;（2）已知C 是直线上y ＝x ＋2的一个动点，①若D （1，0），求点C 与点D 的直角距离的最小值；②若E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C 与点E 的直角距离的最小值．x5.某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B 型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3。
（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用。
（总费用=生产成本+运费）重点：对称形最值问题6.正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是7.河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短8. ，是内一点，，、分别是和上的动点，求周长的最小值。
第3讲 不等式的恒成立与存在性问题(解析版)-高考数学复习《导数与解析几何》必掌握问题
第3讲 不等式的恒成立与存在性问题典型例题构造中间值函数证明不等式【例1】已知函数()e x f x =,求证:曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方. 【分析】要证函数()f x 的图像恒在另一个函数()g x 图像的上方,即证()()f x g x >,可用作差法,构造新函数()()()h x f x g x =-,利用导数证明()0h x >.也可以考虑中间值法,找到一个函数()x ϕ使()()()f x x g x ϕ>>. 【解析】证法一 构造中间值函数:1y x =+. 令()()e 1x F x x =-+,则()e 1x F x '=-.因为0x >,所以e 1x >,则e 10x ->,所以()0F x '>,故()F x 在()0,∞+上单调递增. 因为()00F =,所以()0F x >,即e 1x x >+. 令()()()12ln 1ln G x x x x x =+-+=--,则 ()111(0).x G x x x x'-=-=> 令()0G x '=,得1x =.当x 变化时,()(),G x G x '在()0,∞+上的变化情况见表3.1.表3.1所以当1x =时,()G x 有最小值()10G =.所以()0G x ,则12ln x x ++,即e 2ln x x >+,所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方.证法二 构造中间值函数:e y x =.令()e e (0)x H x x x =->,则()e e x H x '=-.令()0H x '=,得1x =. 当x 变化时,()(),H x H x '在()0,∞+上的变化情况见表3.2.表3.2所以当1x =时,()H x 有最小值()10H =.所以()0H x ,即e e x x ,当且仅当1x =时,“=”成立. 令()()e 2ln x x x ϕ=-+,则()1e 1e .x x x xϕ-=-=' 令()0x ϕ'=,得1ex =.当x 变化时,()(),x x ϕϕ'在()0,∞+上的变化情况见表3.3表3.3则当1e x =时,()x ϕ有最小值1112ln 0e e ϕ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()0x ϕ,即e 2ln x x +,当且仅当1e x =时,"=”成立.所以e 2ln x x >+(=“”不能同时成立). 所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方. 证法三 构造差函数.设()()()2ln e ln 2(0)x g x f x x x x =-+=-->,则()1e x g x x =-'.令()1e x h x x=-,则()21e 0x h x x=+>'.所以()h x 在()0,∞+上单调递增,即()g x '在()0,∞+上单调递增. 因为()121e 20,1e 102g g ''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以()g x '在()0,∞+上存在唯一的0x ,使得()0001e 0x g x x =-=',即001e x x =,则00ln x x =-,且0112x <<.当x 变化时,()g x '与()g x 在()0,∞+上的变化情况见表3.4表3.4则当0x x =时,()g x 取得最小值()000001e ln 22x g x x x x =--=+-. 因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()0001220.g x x x =+->= 因此()0g x >,即()2ln (0)f x x x >+>,所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方.【点睛】因为不等式与函数关系密切,所以经常将证明不等式恒成立的问题转化为求对应函数或构造新函数问题,而研究什么函数、如何构造函数是解题的关键.本题给出了几种证明不等式的方法,前两种方法都用到中间值法,寻找某函数在某点处的切线方程,进而利用差函数判断这条切线是否位于两个函数之间.在证法一中,1y x =+是函数e x y =在()0,1处的切线方程,也恰好是函数2ln y x =+在()1,2处的切线方程;在证法二中,y ex =是函数e x y =在()1,e 处的切线方程.这两种方法只要找到不等号两边的中间值函数,往往就可以使问题变得容易处理.证法三是直接构造差函数,利用导数的性质,以及灵活运用极值点处导数为0的方程,将函数的最值转化成均值不等式求解.构造差函数是常用的方法,但是对于导函数性质的研究需要深入,并且需要综合不等式的相关知识,难度稍大些. 参变分离求参数取值范围【例2】已知函数()ln f x x x =,若对任意1x 都有()1f x ax -,求实数a 的取值范围. 【分析】对于不等式恒成立问题,可以考虑构造差函数,对参数进行分类讨论,利用导数研究差函数的取值范围;也可以考虑将参数分离出来,研究参数分离之后的新函数的图像和性质;还可以考虑将定义域内的特殊值代入不等式,首先限定参数的取值范围,再对参数进行分类讨论.【解析】解法一 直接构造差函数,分类讨论.()()()1ln 1,g x f x ax x x ax =--=-+令则()()1ln .g x f x a a x =-=-+''(1)若1a ,当1x >时,()1ln 10g x a x a '=-+>-,故()g x 在()1,∞+上为增函数. 所以当1x 时,()()110g x g a =-,即()1f x ax -.(2)若1a >,方程()0g x '=的根为10e a x -=.此时,若()01,x x ∈,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.所以当()01,x x ∈时,()()110g x g a <=-<,即()1f x ax <-,与题设()1f x ax -相矛盾.综上所述,满足条件的a 的取值范围是(],1∞-. 解法二 参变分离.依题意,得()1f x ax -在[)1,∞+上恒成立,即不等式1ln a x x+对于[)1,x ∞∈+恒成立.令()1ln g x x x=+,则 ()211111.g x x x x x '⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当1x >时,因为()1110g x x x '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,故()g x 是()1,∞+上的增函数,所以()g x 的最小值为()11g =,因此a 的取值范围是(],1∞-. 解法三 取特殊值.令()()()1ln 1g x f x ax x x ax =--=-+,由题意知对任意1x 都有()0g x ,所以()110g a =-,则1a ,因此()()1ln 0g x a x =-+',故()g x 在()1,∞+上为增函数. 所以当1x 时,()()min ()10g x g x g =,即()1f x ax -恒成立. 所以a 的取值范围是(],1∞-.【点睛】对于不等式恒成立问题,构造差函数、对参数进行分类讨论研究差函数的符号,是解决这类问题的常用方法.但是有时分类讨论过于烦琐,而参变分离构造的新函数由于脱离了参数的千扰,易于研究其图像和性质.适当使用特殊值,将参数的范围界定在更小的范围内,有时会得到意想不到的效果.构造差函数求解恒成立问题【例3】已知函数()ln f x x x =,若对于任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()1f x ax -,求实数a 的取值范围.【分析】对于不等式恒成立问题,通常转化为函数的问题来求解,构造差函数是最常用的一种解决办法.本题可直接构造差函数()()()1h x f x ax =--,问题即可转化为()0h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立时求a 的取值范围,可通过求()h x 的最大值来求解.【解析】解法一 参变分离构造新函数. 当1e e x 时,不等式()ln 1f x x x ax =-,等价于1ln a x x+. 令()11ln ,e e g x x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,则()221111,e .e x g x x x x x ⎛⎫-⎡⎤=-=∈' ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭当1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0g x '<,所以()g x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减;当(]1,e x ∈时,()0g x '>,所以()g x 在区间()1,e 上单调递增.因为()1111ln e e 1 1.5,e lne 1 1.5.e e e e g g ⎛⎫=+=->=+=+< ⎪⎝⎭所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1e 1e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以当e 1a -时,对于任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()1f x ax -.所以实数a 的取值范围是e 1a -. 解法二 直接构造差函数.设()()()1ln 1h x f x ax x x ax =--=-+,则()0h x 对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.对()h x 求导,得()1ln .h x x a =+-'令()0h x '=,得ln 1x a =-,所以1e a x -=.当x 变化时,()(),h x h x '在()0,∞+上的变化情况见表3.5. 表3.5当11e e a -,即0a 时,()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以()max ()e e e 10h x h a ==-+,则11ea +,不满足0a ,舍去.当11e e e a -<<,即02a <<时,()h x 在11,e e a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在(1e ,e a -⎤⎦上单调递增, 于是(e)0,10,e h h ⎧⎪⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩所以11,e e 1.a a ⎧+⎪⎨⎪-⎩又因为02a <<,所以e 12a -<.当1e e a -,即2a 时,()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以max 1()0e h x h ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则e 1a -,满足2a .综上所述,实数a 的取值范围是e 1a -. 解法三 先等价变形,再构造差函数.因为0x >,所以不等式()ln 1f x x x ax =-等价于1ln x a x-.设()11ln ln x x a x a x x ϕ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭,即()0x ϕ对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.对()x ϕ求导,得()22111.x x x x xϕ-=-='由解法一知,()x ϕ在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在区间()1,e 上单调递增.所以()10,e e 0,ϕϕ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩即e 1,11,e a a -⎧⎪⎨+⎪⎩故e 1a -. 【点睛】对于含有参数的不等式恒成立问题,构造差函数后,分析导数的符号情况时,通常要对参数进行分类讨论.有时,对不等式进行等价变形后再构造差函数,会使问题更加容易解决利用二次函数性质判断参数取值范围【例4】已知函数()()321232af x x x x a =-+-∈R .若对于任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,求实数a 的取值范围.【分析】若原函数是三次函数,则其导数为二次函数.有关导数的不等式恒成立问题可以由二次函数的图像和性质直接求解,也可以利用参变分离结合构造的新函数的图像和性质求解.【解析】解法一 参变分离构造新函数. 对函数()f x 求导,得()2 2.f x x ax '=-+-因为对于任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,即222x ax a -+-<-成立.因为10x ->,所以对于任意()1,x ∞∈+都有21x a x <-成立.令()()()21,1x g x x x ∞=∈+-,则 ()()()222222122.(1)(1)(1)x x x x x x x g x x x x ----===---' 令()0g x '=,得2x =.当x 变化时,()(),g x g x '在()1,∞+上的变化情况见表3.6.表3.6所以()min ()24g x g ==,故实数a 的取值范围是4a <. 解法二 直接研究二次函数.对函数()f x 求导,得 ()2 2.f x x ax '=-+-若对任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,即222x ax a -+-<-成立,亦即20x ax a -+>成立.设()2h x x ax a =-+,则二次函数()h x 的图像是开口向上的抛物线,对称轴为2a x =.由题意,对于任意()1,x ∞∈+都有()0h x >,则()1,1,2210Δ0,a a h ⎧⎧>⎪⎪⎨⎨⎪⎪><⎩⎩或即2,2,04,a a a a ⎧>⎧⎨⎨∈<<⎩⎩R 或 所以2a 或24a <<.所以实数a 的取值范围是4a <.解法三 参变分离结合均值不等式.由解法一知,对于任意()1,x ∞∈+都有21x a x <-成立,则()()22(1)21111 2.111x x x x x x x -+-+==-++--- 因为10x ->,所以()()1122124,1x x x -++-=- 当且仅当11,11,x x x ⎧-=⎪-⎨⎪>⎩即2x =时,“=”成立.所以实数a 的取值范围是4a <.【点睛】二次函数是基本初等函数之一,在研究函数的导数符号时会经常遇到.二次函数与二次方程、二次不等式在有关函数问题的求解中起到重要作用,对二次函数的图像和性质要予以足够的重视. 等价转化求解恒成立或存在性问题【例5】已知函数()e x f x x =-,当[]0,2x ∈时,不等式()f x ax >恒成立,求实数a 的取值范围.【分析】我们在解决不等式恒成立问题时,可以将不等式等价变形,通过移项、去分母或者乘以(除以)某一正项,再分离参数、构造新函数,将不等式问题等价转化为函数问题,就可以利用导数来研究函数的图像和性质了. 【解析】解法一 参变分离构造新函数. 由()f x ax >,得()1e x a x +<.当0x =时,上述不等式显然成立,则a ∈R .当02x <时,将()1e xa x +<等价变形得e 1x a x <-,令()e 1xg x x=-,则()()21e x x g x x-='. 令()0g x '>,解得1x >;令()0g x '<,解得1x <.所以()g x 在()0,1上单调递减,在()1,2上单调递增.所以当1x =时,()g x 取得最小值e 1-,因此所求实数a 的取值范围是(),1e ∞--.解法二 等价变形后构造新函数.由题意,不等式()e x f x x ax =->,当0x =时,()010f =>恒成立,a ∈R .当02x <时,将()1e xa x +<等价变形得e 10xa x-->.设()e 1(02)xh x a x x=--<,则()()21e xx h x x -=',由解法一知,()min ()1e 10h x h a ==-->,所以e 1a <-,故所求实数a 的取值范围是(),e 1∞--.解法三 直接构造差函数,分类讨论.设()()e x x f x ax x ax ϕ=-=--,则()e 1x x a ϕ=--'.由题意知,对于任意[]()0,2,0x x ϕ∈>恒成立,等价于min?()0x ϕ>.①当1a -时,10a --,因为e 0x >,所以()0x ϕ'>,则()x ϕ在[]0,2上单调递增,所以()min ()010x ϕϕ==>,故1a -满足题意.(2)当1a >-时,则()e 10x x a ϕ=--=',得e 1x a =+,所以()ln 1x a =+. 当x 变化时,()(),x x ϕϕ'在(),∞∞-+上的变化情况见表3.7.表3.7当()ln 10a +,即011,10a a <+-<时,()x ϕ在[]0,2上单调递增,则()min?()010x ϕϕ==>,所以10a -<,满足题意.当()0ln 12a <+<,即2211e ,0e 1a a <+<<<-时,()x ϕ在()()0,ln 1a +上单调递减,在()()ln 1,2a +上单调递增,则()()()()min ()ln 11ln 1ln 1x a a a a a ϕϕ=+=+-+-+()()11ln 10,a a ⎡⎤=+-+>⎣⎦ 因为()10,1ln 10a a +>-+>,所以01e a <+<,因此0e 1a <<-. 当()ln 12a +,即221e ,e 1a a +-时,()x ϕ在[]0,2上单调递减,则()min()2e 220x a ϕϕ==-->,所以2e 12a <-,不满足2e 1a -.综上所述,实数a 的取值范围是(),e 1∞--.【点睛】不等式恒成立或存在性问题常常转化为对应函数的最值问题,可以通过不等式的等价变形,找到易于研究的函数求解. 分类讨论研究函数的图像和性质【例6】设函数()e 1(0)x f x ax a =-+>,当1x <时,函数()f x 的图像恒在x 轴上方,求a 的最大值.【分析】函数()f x 的图像恒在x 轴上方(或下方)之类的问题,转化为代数语言即()0f x >(或()0)f x <恒成立的问题,本质上还是不等式问题.此时,求解参数的取值范围,一种思路是通过研究导数的零点而研究原函数的图像和性质,找到()f x 的最小值或取值范围,即可找到参数的取值范围;另一种思路是将参数直接分离出来,研究分离后的新函数的图像和性质.这两种思路通常都需要用到分类讨论的思想方法.【解析】解法一 因导数零点的不确定性而分类讨论.对()f x 求导,得()e x f x a '=-.令()0f x '=,即e x a =,则ln x a =.①当ln 1a <,即0e a <<时,对于任意(),ln x a ∞∈-,有()0f x '<,故()f x 在(),ln a ∞-上单调递减;对于任意()ln ,1x a ∈,有()0f x '>,故()f x 在()ln ,1a 上单调递增.因此当ln x a =时,()f x 有最小值()()ln ln 11ln 10.f a a a a a a =-+=-+> 故0e a <<成立.②当ln 1a ,即e a 时,对于任意(),1x ∞∈-,有()0f x '<,故()f x 在(),1∞-上单调递减.因为()0f x >恒成立,所以()10f ,即e 10a -+,所以e 1a +,则e e 1a +. 综上所述,a 的最大值为e 1+. 解法二 因分离参数而分类讨论.由题设知,当1x <时,()e 10x f x ax =-+>.① 当01x <<时,e 1x a x +<.设()e 1x g x x+=,则()()221e 1e e 10.xx x x x g x x x '----==<故()g x 在()0,1上单调递减,因此,()()1e 1g x g >=+,所以e 1a +. ② 当0x =时,()20f x =>成立.③ 当0x <时,e 1x a x +>,因为e 10x x +<,所以当e 1a =+时,e 1x a x +>成立. 综上所述,a 的最大值为e 1+.【点睛】何时需要分类讨论?是不是有参数就一定要分类讨论?其实,这是没有一定之规的,关键是按照研究的需要而定.本题的两种解法提供了两种分类讨论的角度,解法一讨论的是参数,解法二讨论的是自变量.因为解法一中导数的零点ln x a =含参数,所以无法确定其与定义域()(),1x ∞∈-的关系,于是就要按照ln a 与1的大小关系来分类讨论;而解法二是为了分离参数,由()0f x >得e 1x ax +,不等式两边同时除以x ,因确知x 的符号而进行分类讨论.解题时不要墨守成规,要根据实际情况灵活选用恰当的方法.关注特殊值,优化分类讨论【例7】已知函数()e ax f x x =-,当1a ≠时,求证:存在实数0x 使()01f x <. 【分析】为证明“存在实数0x 使()01f x <”,只需找到一个满足条件的实数0x 即可.因函数()f x 中含有参数a ,故考虑对参数a 进行分类讨论.当实数0x 容易寻找时,可直接得出结论;当实数0x 不能直接发现时,可以将不等式()01f x <等价转化为函数()f x 的最小值小于1.【解析】证法一 当0a 时,显然有()1e 101a f =-<,即存在实数0x 使()01f x <. 当0,1a a >≠时,对函数()f x 求导,得()e 1.ax f x a =-' 由()0f x '=可得11ln x a a =.所以当11,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '<,则函数()f x 在11,ln a a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;当11ln ,x a a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,则函数()f x 在11ln ,a a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()111ln 1ln f a a a a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是()f x 的最小值.由函数()e ax f x x =-可得()01f =,由1a ≠可得11ln 0a a ≠,所以()11ln 01f f a a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 综上所述,当1a ≠时,存在实数0x 使()01f x <.证法二 当0a 时,显然有()1e 101a f <-<,即存在实数0x 使()01f x <. 当0,1a a >≠时,由()0f x '=可得11ln x a a =.所以当11,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '<,则函数()f x 在11,ln a a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;当11ln ,x a a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,则函数()f x 在11ln ,a a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.所以111ln ln af a a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭是()f x 的极小值.设()1ln x g x x +=,则()2ln (0)xg x x x-=>'.令()0g x '=,得1x =. 当x 变化时,()(),g x g x '在()0,∞+上的变化情况见表3.8.表3.8所以当1x ≠时,()()11g x g <=,所以11ln 1f a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭.综上所述,当1a ≠时,存在实数0x 使()01f x <.【点睛】证明存在性(或不存在性)问题,只需找到满足条件的变量即可,这时要注意观察函数结构,可以结合不等式性质、定义域等寻找特殊值.常取的自变量的值一般首先考虑0,1,1-,112,e,,2e,等等,还要注意端点的函数值以及极值、最值等,具体要根据实际情况而定.有时特殊值选取恰当,可以起到事半功倍的效果.另外,还要注意等价转化的恰当使用,如转化为求函数的最值问题等,可以使目标更加明确. 先找必要条件再证充分性【例8】 设函数()2ln f x ax a x =--,其中a ∈R .确定a 的所有可能取值,使得()11e xf x x->-在区间()1,∞+内恒成立. 【分析】当()1,x ∞∈+时,211ln e xax a x x--->-恒成立,求参数a 的取值范围.常规的解法有两种.第一种:将所有项移到左边构造函数,令()211ln e x g x ax a x x -=---+,对该函数求导,求出在()1,∞+内的最小值(含参数a ),再令最小值大于0,求得a 的取值范围.第二种:分离参数得121ln e 1x x x a x -+->-,右边不含参数,利用导数求其最大值,则可得a 的取值范围.这两种方法容易想到,但操作过程异常复杂,利用高中知识很难解决,所以可以尝试变形改变结构,将该不等式的结构变为易于处理的形式,把对数、指数都移到一边:()212111ln e 1ln e .x x ax a x a x x x x---->-⇔->+- 这样至少左边的函数是我们比较熟悉的.猜想存在一个函数()h x 满足()()2111ln e x a x h x x x -->>+-,我们的想法是先证明()11ln e x h x x x->+-,然后再由()()21a x h x ->求得a 的取值范围.这种方法的本质是利用不等式的传递性,用切线作中间量,此外还有如下思路:设命题()211:ln e 0x p g x ax a x x -=---+>在区间()1,∞+内恒成立,易见()10g =,于是根据导数的定义,有()()()()1111lim lim 11x x g x g g x g x x ++→→'-==--(符号1x +→表示从1的右侧趋近于1),可知若命题p 成立,则有命题():10q g '成立.即命题q 是命题p 的必要条件,于是命题p 对应的范围是命题q 所对应的范围的子集.利用此方法我们可以得到一个大致的范围.【解析】解法一 利用不等式的传递性,用切线作中间量. 由题意,有()212111ln e 1ln e .x x ax a x a x x x x---->-⇔->+- 设()11ln e x G x x x -=+-,则()1211e 0(1),x G x x x x-'=-+>> 所以函数()G x 在()1,∞+上单调递增.以点()1,0A 为切点,对应的切线为:1G l y x =-. 下面证明()G x 的图像位于直线G l 的下方,即11ln e 1xx x x-+-<-. ()()1111ln e 1ln e 1,x x H x x x x x x x --=+---=+--+则()1211e 1.x H x x x-'=-+- 因为ln 1x x <-, 则1111ln.x x e x x--<⇔< 所以()2122211111(1)e 110.xx H x x x x x x x --=-+-<'-+-=-<因此()H x 在()1,∞+上单调递减.因为()10H =,所以()0H x <,即结论成立. 于是()21111ln e xa x x x x-->->+-,则问题转化为()211(1)a x x x ->->,求参数a 的范围.化简上式可得()11a x +>,易得12a ,所以1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭. 解法二 必要性先行.设()211ln e x g x ax a x x -=---+,则()10g =,对()g x 求导,得()12112e x g x ax x x -=-+-'由()10g ',得()1210g a =-',即12a. 下面再证明充分性,即当1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时,()211ln e 0x g x ax a x x -=---+>.因为12a,所以()()221112a x x --在()1,∞+上恒成立.于是不等式转化为()()21111ln e 2x g x x x x ----+,则只需证明()21111ln e 02x x x x----+>即可. 有以下两种证法: 证法一 令()()21111ln e ,2x H x x x x -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭对()H x 求导,得()()()212221111111e 0,xx x x H x x x x x x x x x --+-=-+->-+-=>'其中指数函数的放缩技巧参考解法一.所以()H x 在()1,∞+上单调递增,故()()10H x H >=,即()21111ln e 2x x x x-->+- 证法二令()()21111ln e 2x H x x x x -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,则()1211e ,x H x x x x -=-'+- ()3112331221e e .xx x x H x x x x--'+-=+-+='+ 因为()1,x ∞∈+,所以320x x +->,则()0H x ''>,所以()H x '在()1,∞+上单调递增,而()10H '=,于是()0H x '>,则()H x 在()1,∞+上单调递增,所以()()10H x H >=.综上可知,a 的取值范围为1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.【点睛】解法一的核心思路是利用不等式的传递性,把切线作为中间量,既转化了问题,又降低了难度.也就是,先证明()11ln e x h x x x->+-,然后再由()()21a x h x ->求得a 的取值范围.最简单的函数就是一次函数了,这样我们就自然想到了切线,设()11ln e x G x x x-=+-,设想存在一条()G x 的切线y kx b =+满足()kx b G x +>,这样的话说明切线应该位千函数()G x 的图像上方,那究竟是不是这样呢? 我们先利用导数来判断()G x 的单调性,()1211e 0(1)x G x x x x-'=-+>>,说明该函数在()1,∞+上单调递增,那么它的形态到底是图3.1还是图3.2呢?图3.1图3.2事实上这里就涉及函数的“凹凸性”问题,但鉴于高中阶段的教学内容中没有“凹凸性”的定义,所以我们只能用代数方式来证明()G x 的图像是图3.2的形式,也就是说,()G x 图像上任意一点处的切线都在()G x 图像的“上方”,那么在这个问题里,我们选哪个点为切点呢?因为现在给定的区间是()1,∞+,所以我们选择了端点. 我们的目标是要证明()0H x '<,因为()10H '=,并且()1211e 1x H x x x-=-+-'中前面两个函数都是分式函数,于是考虑将指数1e x -放缩为分式函数.该解法最难的部分是“凹凸性”的代数证明,函数()G x 的“凹凸性”确保了该解法的正确性.如果函数()G x 是“向下凸”也即图3.1,则“切线法”就失效了,因此“切线法”有其局限性.解法二的精髄在于,先求得一个大致的范围,即寻找一个必要条件,再结合题千信息证明其充分性.对于比较难的题目,我们可通过弱化题目要求,先解决问题的一部分,自行降低难度,先获得一些简单的结论,再将其扩充至一般情形,这是一种“以退为进”的策略.。
第3讲最优性条件
第三讲最优性条件无约束优化问题()f x严格局部极小值点局部极小值点严格全局极小值点x1.无约束优化问题考虑无约束优化问题()x f n R∈x min 定理1.1（一阶必要条件）若是无约束优化问题的局部最优值点,且在的一局部邻域内是连续可微的,则*x ()0f x *∇=f *x稳定点的类型(*,*)f x (*,*)f x (*,*)f x 1x 2x *x *x 1x 2xTaylor 展式●一阶Taylor展式：◆Peano型余项◆Lagrange型余项●二阶其中多元函数Taylor展式令，得多元函数的二阶Taylor展式1. 无约束优化问题定理1.2（二阶必要条件）若是无约束优化问题的局部最优值点,且在点附近二阶连续可微,则且半正定.定理1.3（二阶充分条件）若满足且正定,则是无约束优化问题的严格局部最优解.*x *x ()0=∇*x f ()*∇x f 2*x ()0=∇*x f ()*∇x f 2f *x2.约束优化问题设可微,为中的子集,考虑约束优化问题其中.什么样的点才是最优点？最优点处有哪些性质？R f:R n→()x f Xx ∈min 最优点处的所有可行方向均不是下降方向.X n R {}|(),;(),0 0i j X x c x i c x j I ε==∈≥∈设为约束优化问题的局部最优解,则点的任一可行方向满足.*x *x s ()0T s f x *∇≥处下降方向集：()(){} 0n TSd x s R s f x =∈∇<(){}[,] 00 n Sf x s R x s X δαδα=∈∃>∀∈+∈，有x 处可行方向集：x凸约束的优化问题设可微,为非空闭凸集,考虑R f:R n→()x f Xx ∈min X (){} nSf x s R s x x,x X ''=∈=-∈处可行方向集：x *x ()*∇x f Xx ∈X *x ()()Φx Sd x Sf =** 为约束优化问题的局部最优解,则且即为约束优化问题的稳定点，X x ∈*()()X x ,x f x x T ∈∀≥∇-**0*x约束优化问题此问题的Lagrange 函数为称为Lagrange 函数的鞍点,若存在()(),(),, 0T i i i i I L x f x c x i Iελλλ∈⋃=-≥∈∑()**,λx ()()(),,, 0ni L x ,λL x ,λL x,λi I x R λ****≤≤∀≥∈∈设可微,为中的子集,考虑约束优化问题其中R f:R n→()x f X x ∈min X n R {}|(),;(),0 0i j X x c x i c x j I ε==∈≥∈**,,0n i x R i I λ∈≥∈(){}(){}arg min arg max ,0i x L x,λx X λL x ,λi I λ****⎧=∈⎪⎨=≥∈⎪⎩换句话说，鞍点即为同时满足如下方程的点若约束优化问题的Lagrange 函数的鞍点,则x ∗为该约束优化问题的全局最优解.()**,λx凸规划问题设为凸函数,为非空闭凸集,考虑凸规划问题若目标函数为严格凸函数,则成为严格凸规划问题.R f:R n→X ()x f Xx ∈min 性质1:凸规划问题的任一局部最优解为全局最优解.性质2:若严格凸规划问题有最优值点,则它必唯一.性质3:设连续可微,则凸规划问题的稳定点与最优值点等价.f例：求原点到直线的距离,就是在限制条件和情况下,计算函数的最小值.1236x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩1x y z ++=236x y z ++=(,,)222f x y z x y z =++该优化问题为222min s.t. 1236x y z x y z x y z ++++=++=该问题的Lagrange 函数为(),,,,()()2221236L x y z x y z x y z x y z λμλμ=++-++--++-,,,,20220230102360x y z L x L y L z x y z x y z λμλμλμ=--=⎧⎪=--=⎪⎪=--=⎨⎪++-=⎪++-=⎪⎩通过方程组得到唯一的稳定值点,由于该问题为凸规划问题,故其为全局最优值点.,,517333x y z =-==考虑得对约束进行扰动，得扰动问题。
五年级奥数巧上加巧第3讲巧解平均数问题(二)
第3讲巧解平均数问题（二）巧点睛——方法和技巧本讲介绍运用“消元法”和“和差公式法”求解平均数问题的方法。
此外，适当应用整体法、转化法、移补法，有助于快速解决平均数问题。
巧指导——例题精讲A级竞赛初阶一、运用平均数的概念解题【例1】七位评委给一位歌唱演员打分，平均分为9.6分。
去掉一个最高分，平均分为9.55分；去掉一个最低分，平均分为9.7分。
如果最高分和最低分都去掉，那么这位歌唱演员的平均分是多少？做一做 1 五位评委给一位歌唱演员打分，去掉一个最高分，平均分为9.46分；去掉一个最低分，平均分为9.58分。
，那么这位歌唱演员的最高分和最低分相差多少？二、巧用“消元法”和“和差公式法”【例2】A、B、C、D四个数的平均数是84。
已知A、B的平均数是72，B、C的平均数是76，B、D 的平均数是80，求D是多少。
做一做 2 已知A、B、C、D四个数的平均数是38，A、B的平均数是42，B、C、D三个数的平均数是36，求B是多少。
【例3】某次考试，甲、乙、丙、丁四个人的成绩统计如下：甲、乙、丙三人的平均成绩为94分，乙、丙、丁三人的平均成绩为92分，甲、丁两人的平均成绩是96分。
问：甲得了多少分？做一做 3 某次考试，A、B、C、D、E五人的成绩统计如下：A、B、C、D四人的平均分为75分；A、C、D、E四人的平均分为70分；A、D、E三人的平均分为60分；B、D两人的平均分为65分。
求A得了多少分？B级更上层楼三、综合运用，发散思考【例4】如下图1，在七个圆圈内各填一个数，要求每条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数。
现在已填上两个数，求x代表的数。
做一做4在下图中的七个圆圈内各填一个数，要求每条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数。
现在已填上两个数，求x代表的数。
【例5】小明前五次考试的总分是428分，第六次至第九次的平均分比前五次的平均分多1.4分。
现在要进行第十次考试，要使后五次的平均分高于所有十次的平均分，问：小明第十次至少要考多少分？（注：每次考试的分数都是整数）做一做 5 今年前五个月，小明平均每月储蓄4.2元，从六月份起，小明每月储蓄6元。
五年级下学期数学 最值问题 完整版PPT带作业带答案
准备题7:
用一根10米长的绳子可以围出多少种不同的长方形？ （要求边长是整数。）
和一定：长+宽=10÷2=5(m) 长4m，宽1m 长3m，宽2m
2种。
知识提炼：
10米是长方形的_周__长___，则长加宽的和是_5__米___。
准备题8:
怎样用绳子围一个面积最大的长方形？
和同近积大，使长和宽的长度尽量的接近， 即围成一个正方形是面积最大的。
知识提炼：
根据“和同近积大”原理，长与宽越接近，面积越__大____。
例题4
一个长方形的周长是30厘米，且长和宽都是整数。这个长方形 的最大面积是多少？
长+宽：30÷2=15(m) 15=7+8 最大面积：7×8=56(m2) 答：这个长方形的最大面积是56平方米。
知识点总结：
1、被减数越大，减数越小，差越大。 被减数越小，减数越大，差越小。
练习6:
用1、3、4、6、8、9组成两个三位数（每个数字只能用一次）， 要使乘积最大，这两个三位数分别是多少？要使乘积最小，这两个 三位数分别是多少？
百位9和8，十位6和4，个位3和1 差最小，积最大： 941×863=812083
百位1和3，十位4和6，个位8和9 差最大，积最小： 148×369=54612
最大：999-10=989 最小：100-99=1
知识提炼： 最大的三位数是_9__9_9_，要想差最大， 应该减去__1__0__。最小的三位数是_____，要 想10差0最小，应该减去_____。 99
例题1
用1 ~ 8这八个数字组成两个四位数，要使这两个四位数的差尽量小， 这个差是多少?
被减数最小：5123 减数最大：4876 差总结：
第3讲 费马点与胡不归最值问题
第3讲费马点与胡不归最值问题➢知识点睛费马问题思考：如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值=BP AP CP BP PQ QE BE++++≥➢ 精讲精练例1： 已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点 . ∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°. 求证：GA+GB+GC 的值最小.练习1: 如图，P 是边长为1的等边ABC ∆内的任意一点，求t PA PB PC =++的取值范围.例2：已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为26+，求正方形的边长．练习2: 若P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC =60°，PA =3，PC =4, 求PB 的值.例3： 如图，矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入口，现拟在货场内建一个收费站P ，在铁路线BC 段上建一个发货站台H ，设铺设公路AP 、DP 以及PH 之长度和为l ，求l 的最小值．600mDACPBH练习3: 如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）例4：如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CD＝AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y＝kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）在第二问的条件下，设G为y轴上一点，点P从直线y＝kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G 点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，不要求证明）➢巩固练习1. 如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．第1题图 第2题图第3题图2. 如图，P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若AB ＝2，则AP +BP +CP 的最小值为（ ） A ．+B ．+C ．4D ．33．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，且∠ABC ＝∠ABE ＝60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，则AM +BM +CM 的最小值为 ．4．将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B 、C 落在格点上，点A 在BC 的垂直平分线上，∠ABC ＝30°，点P 为平面内一点． （1）∠ACB ＝ 度；（2）如图，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）； （3）AP +BP +CP 的最小值为 ．ABCDME5．如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为公里．6．已知，在△ABC中，∠ACB＝30°（1）如图1，当AB＝AC＝2，求BC的值；（2）如图2，当AB＝AC，点P是△ABC内一点，且PA＝2，PB＝，PC＝3，求∠APC的度数；（3）如图3，当AC＝4，AB＝（CB＞CA），点P是△ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为．7．如图l，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的长（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC＝3，AB ＝6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值．胡不归最值模型➢ 知识点睛在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题； （2）阿氏圆． 【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”然而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？2驿道【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为1V ，在直线MN 上运动的速度为2V ，且21V V ＜，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V的值最小．2M【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CHk AC=，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．M【模型总结】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．M➢精讲精练例1: 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则55CD BD +的最小值是_______．练习1-1: 如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则32PB PD +的最小值等于________．练习1-1: 如图，△ABC 中，∠BAC ＝30°且AB ＝AC ，P 是底边上的高AH 上一点．若AP +BP +CP 的最小值为2，则BC ＝ ．ABCDEABCDP例2: 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为．练习2: 如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P 从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）例3: 直线y＝与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是．练习3: 如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．（1）填空：点A的坐标为，点B的坐标为；（2）直线l1的表达式为；（3）在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，说明理由．（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．例4: 已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？练习4: 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（﹣8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？➢巩固练习1. 如图，在平面直角坐标系中，点()3,3A ，点P 为x 轴上的一个动点，当OP AP 21+最小时，点P 的坐标为___________.2. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M 为对角线BD （不含点B ）上的一动点，则BM AM 21+的最小值为___________.3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （0，﹣），C （2，0），其对称轴与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，求点M 的坐标；（3）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求PB +PD 的最小值．4. 【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n＝2，则时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得+的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝；（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）【综合运用】（4）如图③，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．5. 如图，△ABC是等边三角形．（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．6. 如图，已知抛物线y＝（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y 轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？7. 已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∥x轴交直线BC于Q，求线段PQ 的最大值；（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．8. 如图，在Rt △ABC中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，点D 、F 分别是边AB ，BC 上的动点，连接CD ，过点A 作AE ⊥CD 交BC 于点E ，垂足为G ，连接GF ，则GF +FB 的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 抛物线26236y x =+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．E B 1O 1P A B CF yx O。
小学五年级《最值问题》奥数教案
生：18+23=41（分钟）；30+12=42（分钟）；8+14+17=39（分钟）。
师：很棒，看来你们都很聪明。
板书：（8+12+14+17+18+23+30）÷3=40……2(分钟)18+23=41（分）；30+12=42（分钟）；8+14+17=39（分钟）答：最少经过42分钟完成化妆任务。
（PPT出示）练习1：（6分）山姆大叔机床公司需要维修7辆卡车，如果派一名工人维修，这7辆卡车修复需要的时间分别为12,17,8,18,23,30和40分钟，现在由3名工作效率相同的维修工各自独立工作，最快多少分钟可以完成任务？（PPT出示）分析：如果不单独维修，理论上需要（12+17+8+18+23+30+40）÷3=49……1（分钟），现在由3名维修工单独维修，我们只需将卡车分为3组，使之最接近49即可。
板书：（12+17+8+18+23+30+40）÷3=49……1（分钟）分为3组，使时间最接近平均数：12+40=52（分钟）；30+18=48（分钟）；17+8+23=48（分钟）答：最快52分钟可以完成任务。
（PPT出示）（二）例题2：（13分）把1，2，3，4，5……16这16个数分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内的数的和相等。
问这个和的最大值是多少？（PPT出示）师：同学们，我们看大三角形，每个角的两个数是不是有两条边共用？生：是的。
师：那为了使每条边的和相等且最大，你们认为角上的数应该怎么填呢？生：填大的数，并且加起来要相等。
师：是的，真棒。
那我们看看满足条件的3组数是什么呢？生：11和16；12和15；13和14。
师：哇，说得真好。
这三组的和都为27，我们把它填在三个角的两个小三角形内。
师：你们认为1填在哪里呢？生：填在最中间的小三角形内。
师：没错，真有想法。
我们再来看看2到10，它们的总和是多少呢？生：54。
师：没错，那我们就可以知道每边的平均数是54÷3=18。
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第3讲最值问题（二）
一、教学目标
1.熟练分析题目的意思找到突破口
2.熟练掌握几种常见的解决最值问题的办法。
3.培养综合分析问题的能力。
二、知识要点
1.从极端的情况考虑问题。
2.用枚举法解决最值问题。
3.公式法解决最值问题。
（和一定时，数越接近，乘积越大。
积一定时，数越接近，和越小）
4.综合法解决最值问题
三、例题精选
【例1】有10个同学要进行乒乓球比赛，他们准备分成三组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛。
他们一共最多能比赛多少场？
【巩固1】有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛。
他们一共最多能比赛多少场？
【例2】长方形的面积是144cm2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？
【巩固2】长方形的面积是1260cm2，当它的长和宽分别为多少时（长和宽都是整厘米数），它的周长最短？【例3】有20个自然数，其中奇数比偶数多，它们的总和是100。
那么，这20个数中最多有多少个偶数？
【巩固3】一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？
【例4】有13个不同的自然数，它们的和是100。
问其中偶数最多有多少个？
【巩固4】一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25。
除1之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。
问：这组数之和的最大值是多少？
【例5】一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。
为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个？
【例6】23个不同自然数的和是4845，这23个数的最大公因数最大可能是多少？
四、回家作业
【作业1】在一个直角三角形中，两条直角边的和为9厘米，则三角形的最大面积是多少？
【作业2】一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。
为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？
【作业3】一个长方形的面积是600cm2，如果它的长和宽都是整数，那么当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？
【作业4】90个自然数，它们的和是10000，在这些数里，奇数的个数比偶数多。
那么，这些数中最多有多少个偶数?
【作业5】15个不重复的自然数的和是130，其中最多有多少个偶数？。