公式法
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根的判别式b2-4ac
务必将方程化 为一般形式
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）.
巩固练习 1\111 用公式法解下列方程
（1）x2+2x-5=0
（2）2x2+3x-1=0
（3）3(x-1)2=x(x-1)（4）x2 2 3x 3 0
1.化:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)； 2.移项:把常数项移到方程的右边； 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4.开方:根据平方根的意义,方程两边开平方，求出方程的解．
二、用配方法解一元二次方程：
2x2 4x 1 0
用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出 一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
(3)9x2 + 12x + 4 = 0.
解：(1) Δ = (-6 )2 – 4×1×1= 32 > 0 , ∴有两个不相等的实数根.
(2) Δ = (-1 )2 – 4×2×2= -15 < 0 , ∴无的实数根.
(3) Δ = ( 12 )2 – 4×9×4= = 0, ∴有两个相等的实数根.
感悟与收获
1、一元二次方程求根公式？ 2、如何判断一元二次方程根的情况？ 3、用公式法解方程应注意问题是什么？
b2 4ac 4a2
.
5.开方:根据平方根意义,方程 两边开平方;
x b b2 4ac . 当b2 4ac 0时,
2a
2a
6.求解:解一元一次方程;
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
7.定解:写出原方程的解.
x1 b
b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
时无解
3、代入求根公式 : x b b2 4ac 2a
4、写出方程的解： x1、x2
典例详解
例1：解方程 x2 - 7x –18 = 0. 解：这里 a =1 , b =-7 , c = -18. ∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0,
∴ x 7 121 7 11 .
小试牛刀
【例题】用公式法解下列方程.
(1). 2x2-4x－1＝0；
1.x1
2 2
6 ; x2
2 2
6.
(2). 5+2＝3x2 ；
2.x1
2;
x2
1. 3
(3). (x-2)(3x-5) =1;
3.x1
11 6
13
;
x2
11 6
13
.
知识总结
公式法
求根 公式
步骤
x b b2 4ac 2a
21
来自百度文库
2
即 x1 = 9 x2 = -2.
典例详解
例2：解方程 4x2 + 1 = 4x
解：将原方程化为一般形式,得 4x2 -4x + 1 = 0 .
这里a = 4 , b = -4, c = 1.
∵ b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4×4×1 = 0 ,
∴
即
x (4) 0 1 . 24 2
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b x c 0 aa
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2 b x c . aa
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝 对值一半的平方;
x2
b
x
b
2
b
2
c.
a 2a 2a a
4.变形:方程左边分解因式,右边合并 同类项;
x
b 2a
2
x1 = x2 = 1 .
2
典例详解
例3：解方程： 3x2 2x 1
解:a=3,b=2,c=1 ∵b2-4ac=22-4×2×1 =-4<0 ∴ 方程无解
知识小结 一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
根的判式是:
b2 4ac
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
判别式的情况
根的情况
定理与逆定理
b2 4ac 0 两个不相等实根
b2 4ac 0 两个相等实根 b2 4ac 0 无实根(无解)
0 两不相等实根
0 两相等实根 0 无实根
小试牛刀
不解方程判别下列方程的根的情况.
(1)x2 - 6x + 1 = 0; (2)2x2 – x + 2 = 0;
用公式法解一元二次方程
学习目标
教学目标：
1．一元二次方程的求根公式的推导． 2．会用求根公式解一元二次方程． 3．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．
教学重点：
掌握用公式法解一元二次方程．
教学难点：
对公式法中求根公式的推导过程的理解．
复习回顾
一、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
x b
9
2 2
b 2 4ac 2a 17
4.代入:把有关数值代入公式计算;
9 17 . 4
x1
9
4
17
;
x2
9
4
17
.
5.定根:写出原方程的根.
知识小结 用公式法解一元二次方程的一般步骤
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出判别式 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0
b
x2
b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
特别注意:当b2 4ac 0 时无解;
例题演示
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗? 1.变形:化已知方程为一般形式;
解 a 2,b 9,c 8.2.确定系数:用a,b,c写出各项
系数;
b2 4ac 92 4 28 17 0. 3.计算: b2-4ac的值;
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0),吗？
复习引入
（1）2x2 4x 1 0；
解：两边都除以2，得： x2 2x 1 0 2
移项，得
x2 . 2x= 1 2
配方，得
x2 2x. 1= 1 1 2
即 x 12. = 3
2
∴
x1 1
6 2
，x2.=1+
6 2
合作交流
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
务必将方程化 为一般形式
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）.
巩固练习 1\111 用公式法解下列方程
（1）x2+2x-5=0
（2）2x2+3x-1=0
（3）3(x-1)2=x(x-1)（4）x2 2 3x 3 0
1.化:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)； 2.移项:把常数项移到方程的右边； 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4.开方:根据平方根的意义,方程两边开平方，求出方程的解．
二、用配方法解一元二次方程：
2x2 4x 1 0
用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出 一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
(3)9x2 + 12x + 4 = 0.
解：(1) Δ = (-6 )2 – 4×1×1= 32 > 0 , ∴有两个不相等的实数根.
(2) Δ = (-1 )2 – 4×2×2= -15 < 0 , ∴无的实数根.
(3) Δ = ( 12 )2 – 4×9×4= = 0, ∴有两个相等的实数根.
感悟与收获
1、一元二次方程求根公式？ 2、如何判断一元二次方程根的情况？ 3、用公式法解方程应注意问题是什么？
b2 4ac 4a2
.
5.开方:根据平方根意义,方程 两边开平方;
x b b2 4ac . 当b2 4ac 0时,
2a
2a
6.求解:解一元一次方程;
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
7.定解:写出原方程的解.
x1 b
b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
时无解
3、代入求根公式 : x b b2 4ac 2a
4、写出方程的解： x1、x2
典例详解
例1：解方程 x2 - 7x –18 = 0. 解：这里 a =1 , b =-7 , c = -18. ∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0,
∴ x 7 121 7 11 .
小试牛刀
【例题】用公式法解下列方程.
(1). 2x2-4x－1＝0；
1.x1
2 2
6 ; x2
2 2
6.
(2). 5+2＝3x2 ；
2.x1
2;
x2
1. 3
(3). (x-2)(3x-5) =1;
3.x1
11 6
13
;
x2
11 6
13
.
知识总结
公式法
求根 公式
步骤
x b b2 4ac 2a
21
来自百度文库
2
即 x1 = 9 x2 = -2.
典例详解
例2：解方程 4x2 + 1 = 4x
解：将原方程化为一般形式,得 4x2 -4x + 1 = 0 .
这里a = 4 , b = -4, c = 1.
∵ b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4×4×1 = 0 ,
∴
即
x (4) 0 1 . 24 2
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b x c 0 aa
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2 b x c . aa
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝 对值一半的平方;
x2
b
x
b
2
b
2
c.
a 2a 2a a
4.变形:方程左边分解因式,右边合并 同类项;
x
b 2a
2
x1 = x2 = 1 .
2
典例详解
例3：解方程： 3x2 2x 1
解:a=3,b=2,c=1 ∵b2-4ac=22-4×2×1 =-4<0 ∴ 方程无解
知识小结 一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
根的判式是:
b2 4ac
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
判别式的情况
根的情况
定理与逆定理
b2 4ac 0 两个不相等实根
b2 4ac 0 两个相等实根 b2 4ac 0 无实根(无解)
0 两不相等实根
0 两相等实根 0 无实根
小试牛刀
不解方程判别下列方程的根的情况.
(1)x2 - 6x + 1 = 0; (2)2x2 – x + 2 = 0;
用公式法解一元二次方程
学习目标
教学目标：
1．一元二次方程的求根公式的推导． 2．会用求根公式解一元二次方程． 3．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．
教学重点：
掌握用公式法解一元二次方程．
教学难点：
对公式法中求根公式的推导过程的理解．
复习回顾
一、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
x b
9
2 2
b 2 4ac 2a 17
4.代入:把有关数值代入公式计算;
9 17 . 4
x1
9
4
17
;
x2
9
4
17
.
5.定根:写出原方程的根.
知识小结 用公式法解一元二次方程的一般步骤
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出判别式 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0
b
x2
b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
特别注意:当b2 4ac 0 时无解;
例题演示
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗? 1.变形:化已知方程为一般形式;
解 a 2,b 9,c 8.2.确定系数:用a,b,c写出各项
系数;
b2 4ac 92 4 28 17 0. 3.计算: b2-4ac的值;
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0),吗？
复习引入
（1）2x2 4x 1 0；
解：两边都除以2，得： x2 2x 1 0 2
移项，得
x2 . 2x= 1 2
配方，得
x2 2x. 1= 1 1 2
即 x 12. = 3
2
∴
x1 1
6 2
，x2.=1+
6 2
合作交流
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?