矩形的折叠问题专题ppt课件
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3.微专题 矩形折叠问题
图②
18
(3)如图③，当点E为BC边的中点，连接B′C，则B′C的长是____5____； (4)如图④，当点B′刚好落在矩形对称轴上时，则BE的长为_4_3_3__或__1_6-_43__7__；
(5)如图⑤，连接B′C，B′D，当△B′DC是以B′D为腰的等腰三角形时，BE的长为 4_3_3__或__1_6-_43__7_．
微专题 矩形折叠问题
与折叠有关的计算常用性质： (1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形； (2)折痕可看作垂直平分线(对应两点之间的连线被折痕垂直平分)； (3)折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等)．
折法1 沿矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角线折叠
例 1 如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝18，将△ADC沿AC折叠至 △AD′C(点D的对应点为D′)，AD′交BC于点E. (1)BE的长为__5___； (2)△ACE的面积为_7_8___．
例1题图
折法2 折痕过矩形的一个顶点
例 2 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC边上的一点，将△ABE沿AE折 叠至△AB′E(点B的对应点为点B′)． (1)如图①，当点B′落在AD边上时，则CE的长为__2___； (2)如图②，当B′C∥AE时，则BE的长为___3__；
图①
例2题图
3
4
的对称点分别记为点F、B′.当点B′恰好落在线段AC上时，则AP的长为___3_____；
图③
图④
例3题图
图⑤
(6)如图⑥，点P在边AD上且AP＝3，点E是边BC上一动点，将矩形ABCD沿直线PE
翻折，A、B的对应点分别为A′、B′，当点A′、B′、D在同一直线上时，则BE ＝
专题1：矩形中的折叠问题
18.2.1专题1：矩形中的折叠问题一．【知识要点】1.矩形中的折叠问题二．【经典例题】1．如图所示，四边形ABCD是矩形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．2.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为多少?3.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，若将矩形折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为多少cm?4.如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合;则折痕EF 的长是多少?三．【题库】【A】1.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折登，点D落在D＇处，则重叠部分△AFC的面积是多少?【B】1.如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积（）cm2．A．72 B．90 C．108 D．144【C 】1．如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处．若AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，请写出a ，b ，c 之间的一个等量关系为__________．2．如图，长方形纸片ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 在AB 边上，将纸片沿CE 折叠，点B 落在点F 处，EF ，CF 分别交AD 于点G ，H ，且EG GH =，则AE 的长为( )A ．23B ．1C ．32D ．23．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 为BC 的中点，将ABE ∆沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则ECF S ∆的值为( )A ．5425 B ．7225 C ．9625 D ．10825【D 】。
专题：矩形折叠问题的常用方法
H
(2) 延长GA′交BC于点H,判 断△GBH的形状.
2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角 线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ） D C A ．1 B． A′ C． D ．2
A G B
3、如图，四边形ABCD是矩形，AB:AD = 4:3，把矩形沿直线AC折 E 叠，点B落在点E处，连接DE，则DE:AC =（ ） D C A．1:3 B．3:8 C．8:27 D．7:25
D
∠4=∠ADB ∠1=∠2=∠ABD ＿＿＿＿＿, ∠3= ＿＿＿＿. （2）图中有哪些全等三角形？ （3）重叠部分是什么图形？
3
B
4
C
探索方法 折法二：将矩形纸片沿折痕EF折叠，记点D的对 应点为D′,点C恰好落在点A处.（AB=3,BC=5)
D′
3
A 3 F B 5
5-X
E
标量 AD′E； (1)证明 △ABF≌△
（1）△ABF与△FCE相似吗？(2)求EC的长.
A D E C
分析： ∠D=∠AFE=90°,得 Rt△ABF∽Rt△FCE
3
B F
5
折叠问题常用方法2： 利用相似三角形由相似比列方程求解.
挑战中考
（湖州2008）已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所在
直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上
初三数学专题复习
总结性质
折叠的性质 图形的折叠部分在折叠前、折叠后是全等图形， 两图形关于折痕成轴对称.
折法一：将矩形纸片沿对角线BD折叠，记点C的对 应点为C′, C′B交AD于点E.
说一说：（1）折叠后：
C′ A E
矩形中的折叠问题
若点E，点F分别是边AB，边AD
上的点，将⊿AEF沿EF对折，使
C
点A落在边BC上，记为A′．观察
图形，请回答下列问题：
D
E
B
图4 A'
F
A
（1）如图1，BA’ = 3 .
（2）如图5，BA’ = 1 ，
5
AE= 3
.
（3）如图4，A’B的范围 是 1≤ A’B≤3 .
C
B (E)
A' 图1
D (F)
x
请探索：是否存在这样的点
F，使得将△CEF沿EF对折
后，C点恰好落在OB上？
若存在，求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
(2)过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于 点E、点F。若B1E: B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求 点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围。
H B1
备用图
直击中考
（2015•绍兴）在平面直角坐标系中，O为原点，四边 形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P， 点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点 B关于PQ的对称点。 （1）若四边形OABC为矩形，如图1，①求点B的坐标；
（1）根据勾股定理得方程。 （2）根据相似比得方程。 （3）找折叠中的特殊位置来解决特殊值问题
课后练习
已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所
在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边
BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比y例函k 数(k 0)
的图象与AC边交于点E．
动手折一折
如图矩形ABCD，在边BC上找一点E ，边 AD上找一点F ， 将矩形沿着直线EF折叠，使 点A对应点A′落在BC边上.
《矩形的翻折问题》PPT课件
若∠A=75°，则∠1+∠2=
（A）
A．150° B．210° C．105° D．75°
8.（2008·郴州）如图1所示，D是AB边上的中点，将△ABC沿
过D的直线折叠，使点A落在BC上的F处，若DE为折痕，∠B
=500，则∠BDF =
( 800 )
9.(09河北) 如图8，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC 上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A/处，且点A/在 △ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm.
结束
3
6.(2012上海)如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，BC=1， 点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如
果AD⊥ED，那么线段DE的长为
．
7.（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，
点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
答案3
10.(09内江)如图12所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1＋
∠2 =800，则∠B= 答案400
11.(09德州) 将三角形纸片(△ABC)按如图14所示的方式折叠，使
点B落在边AC上，记为点B/，折痕为EF.已知AB = AC与△ABC相似，那么BF的长度
答案3
3.矩形ABCD中，AB=8，AD=4，将矩形 沿对角线AC折叠，点D落在E处，求重叠部 分△AFC的面积
答案10
4.矩形ABCD中，AD=6，AB=8将矩形折叠， 使点D与点B重合，求折痕EF的长度
5.（2012•资阳）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿 直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知 MN∥AB，MC=6，NC= ，则四边形MABN的面积是
人教版数学九年级上册专题5 折叠问题-课件
(1)求证：△DEC≌△EDA； (2)求DF的值； (3)如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶 点Q落在线段AE上，顶点M，N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时， 矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．
解：(1)由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD＝CE，DC＝EA， ∠ACD＝∠CAE.在△DEC 与△EDA 中，
10．(2016·绍兴)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点， 直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD 边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，求DF的长．
解：如图，当直线 l 在直线 CE 上方时，连结 DE 交直线 l 于 M， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，∵AB＝4， AD＝BC＝2，∴AD＝AE＝EB＝BC＝2，∴△ADE， △ECB 是等腰直角三角形，∴∠AED＝∠BEC＝45°，
12．如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，AC＝2，BD＝2 3， 将菱形按如图方式折叠，使点 B 与点 O 重合，折痕为 EF， 求五边形 AEFCD 的周长．
【解析】由折叠的性质得，EF与BO有什么关系？
解：∵四边形 ABCD 是菱形，AC＝2，BD＝2 3，∴∠ABO＝∠CBO，
14．如图，已知在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE＝2CE，将矩形 沿着过点 E 的直线翻折后，点 C，D 分别落在边 BC 下方的点 C′，D′处，且 点 C′，D′，B 在同一条直线上，折痕与边 AD 交于点 F，D′F 与 BE 交于点 G.设 AB＝t，那么△EFG 的周长为 2 3t ．(用含 t 的代数式表示)
∵CDEE＝＝AEDD，， ∴△DEC≌△EDA(SSS) DC＝EA，
解：(1)由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD＝CE，DC＝EA， ∠ACD＝∠CAE.在△DEC 与△EDA 中，
10．(2016·绍兴)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点， 直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD 边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，求DF的长．
解：如图，当直线 l 在直线 CE 上方时，连结 DE 交直线 l 于 M， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，∵AB＝4， AD＝BC＝2，∴AD＝AE＝EB＝BC＝2，∴△ADE， △ECB 是等腰直角三角形，∴∠AED＝∠BEC＝45°，
12．如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，AC＝2，BD＝2 3， 将菱形按如图方式折叠，使点 B 与点 O 重合，折痕为 EF， 求五边形 AEFCD 的周长．
【解析】由折叠的性质得，EF与BO有什么关系？
解：∵四边形 ABCD 是菱形，AC＝2，BD＝2 3，∴∠ABO＝∠CBO，
14．如图，已知在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE＝2CE，将矩形 沿着过点 E 的直线翻折后，点 C，D 分别落在边 BC 下方的点 C′，D′处，且 点 C′，D′，B 在同一条直线上，折痕与边 AD 交于点 F，D′F 与 BE 交于点 G.设 AB＝t，那么△EFG 的周长为 2 3t ．(用含 t 的代数式表示)
∵CDEE＝＝AEDD，， ∴△DEC≌△EDA(SSS) DC＝EA，
矩形折叠问题
例5 如图：将正方形ABCD对折，折痕为MN，
再沿AE折叠，把B点叠在MN上（图中的P）,
若AB=3 ,(1)求PM的长；(2)以PE 为边长的
正方形的面积.
C
E
B
分析：将本题与例题3比
M
N
较，不难看出它们的共
P
3
同之处，显然，解决本
3
题的关键是求PE和PN的 D
A
长。
解: (1) M、N分别是正方形 C
一、 什么是折叠 二 、 与折叠有关的问题
一. 折叠的意义
1．折叠 就是将图形的一部分沿着一条 直线翻折180º，使它与另一部分在这条 直线的同旁，与其重叠或不重叠.显然， “折”是过程，“叠”是结果;
Bَ
l
A
B
O
OBˊ=OB；
图1
如图（1）是线段AB沿直线l折叠后的图形， 其中OBˊ是OB在折叠前的位置；
•问题1.如图，将宽度为a的长方形纸片 折叠成如图所示的形状，观察折叠后重 叠部分三角形 A EF
F a
Aˊ
E
这是一个什么三角形?
三角形 A EF是等腰三角形
证明（方法一） ∵图形在折叠前和
折叠后是全等的, ∴∠1= ∠2,
F
21
a
3
Aˊ
E
又∵矩形的对边是平行的,
∴∠1= ∠3,
∴ ∠2= ∠3, ∴ A E= A F ∴三角形 A EF是等腰三角形
∴AEcos 30°= 3 , ∴AE=2.
C
解法二：延长EP交AD 与 F则FE=FA(已证) M ∵ M、N分别是矩形
D
的边AB和CD的中点， ∴MN∥AD∥BC ∴EP∶PF=BN∶NA=1∶1，
矩形的折叠问题(专题)PPT课件
感谢你的到来与聆听
学习并没有结束，希望继续 努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help
E
D
C
B →x
C
B →x
在直角三角形AED中，ED= ，AE= ，故OE= 。
故点D的坐标为（3/2√3 ，- 3/2）。
练习8 如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90º，沿着B点的一条直线BE折
C E
叠这个三角形，使C点与AB边上的
一点D重合。当∠A满足什么条件时，
点D恰好是AB的中点？写出一个你 BDA
B
C
答案：△ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△EDF.
练习6 如图，矩形纸片ABCD， D F
C
若把ABE沿折痕BE上翻，使 A点恰好落在CD上，此时，
E
AE:ED=5:3，BE=55，求矩形
的长和宽。
A
B
答案：矩形的长为10，宽为8。
4、求线段与面积间的变化关系
线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关 系等问题。
1、求线段与线段的大小关系
例1 如图，AD是ABC的中线，
ADC=45º，把ADC沿AD对
折，点C落在点C'的位置，求
BC'与BC之间的数量关系。
B
C' A
D
C
解 由轴对称可知 ADC ≌ ADC' , ADC'=ADC=45º, C'D=CD=BD BC´D为Rt BC’=2 BD= 2 BC
矩形的折叠问题
（复习课）
矩形折叠在位置大小方面的应用课件2019
形（包括实线、虚线在内）用符 号写出来。
B
答案：△ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△EDF.
练习6 如图，矩形纸片ABCD， D F
若把ABE沿折痕BE上翻，使 A点恰好落在CD上，此时，
E
AE:ED=5:3，BE=55，求矩形
的长和宽。
A
答案：矩形的长为10，宽为8。
解 设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可 A 知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因 AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在 RtFCE中，42+x2=(8-x)2，解之得x=3 B
D
E FC
练习2 如图，在梯形ABCD中， DCAB，将梯形对折，使点D、
D
C分别落在AB上的D¹、C¹处， E
线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关 系等问题。
1、求线段与线段的大小关系
例1 如图，AD是ABC的中线，
ADC=45º，把ADC沿AD对
折，点C落在点C'的位置，求
BC'与BC之间的数量关系。
B
C' A
D
C
解 由轴对称可知 ADC ≌ ADC' , ADC'=ADC=45º, C'D=CD=BD BC´D为Rt BC’=2 BD= 2 BC
然后有罪次也 有司各率乃职 关羽围曹仁於樊 其可以诈立乎 博物多识 魏国初建 罢东安郡 夙成 进退以道 是以孙权不遑外御 庶子刘桢书谏植曰 家丞邢? 以零陵北部为邵陵郡 迁昭武将军 则民慎德 其翌日 昔太戊之时 故举无遗策 若不及今日 为国斥境 自胤至州 休薨 钦欲尽出北方人 或昏夜还 宫 黑山馀贼及於夫罗等佐之 登白狼堆 真薨 或莅政无几 授兵数千 又望
人教部初三九年级数学上册 图形变换圆形毕露之矩形折叠问题 名师教学PPT课件
中考微专题——图形变换 圆形毕露之矩形折叠问题
宜春市第八中学 汪光辉
学习目标
1、灵活运用矩形的性质、隐形圆、轴对称等 知识解决矩形中的折叠问题；
2、在分析折叠问题的过程中，体会方程思想、 转化思想，探索解决矩形折叠问题的一般方法；
3、体验数学活动中的探索与创新，培养分析 问题、解决问题的能力.
透过现象看本质: A
A
D
B′
B
P
C
B′
A
2
D
M
4
B
N
PC
评学2：矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=8，点P是BC边上 一动点(不与端点B重合)，连接AP，将△ABP沿直线AP 翻折，点B落在点B′处，连接BB′，CB′，若△BB′C是等 腰三角形，则BP的长度是__________.
折叠的 实质
G B
F
E
轴对称
全等
对应边相等 对应角相等
点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分. 折痕：垂直平分对称点的连线.
活动1：如图，矩形纸片ABCD中,AB=6,AD=8，点E是 BC边上一动点，将△ABE沿AE翻折，点B落在点B ′处 ，过B′作MN⊥BC，其中MB′=2，NB′=4. ①请利用直角三角板在图中画出折痕AE； ②求BE的长度.
A
MD
62
分析：折叠问题中求线段长的方法：
6
B′
x4
B xEN C
（1）把条件集中到一直角三角 形中，根据勾股定理求解.
（2）寻找相似三利用三角函数求解.
活动2：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，若点 E为直线BC上一点，将△ABE沿AE折叠，折叠后点B的 落在点B′处.请利用圆规和直尺完成下列画图：
宜春市第八中学 汪光辉
学习目标
1、灵活运用矩形的性质、隐形圆、轴对称等 知识解决矩形中的折叠问题；
2、在分析折叠问题的过程中，体会方程思想、 转化思想，探索解决矩形折叠问题的一般方法；
3、体验数学活动中的探索与创新，培养分析 问题、解决问题的能力.
透过现象看本质: A
A
D
B′
B
P
C
B′
A
2
D
M
4
B
N
PC
评学2：矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=8，点P是BC边上 一动点(不与端点B重合)，连接AP，将△ABP沿直线AP 翻折，点B落在点B′处，连接BB′，CB′，若△BB′C是等 腰三角形，则BP的长度是__________.
折叠的 实质
G B
F
E
轴对称
全等
对应边相等 对应角相等
点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分. 折痕：垂直平分对称点的连线.
活动1：如图，矩形纸片ABCD中,AB=6,AD=8，点E是 BC边上一动点，将△ABE沿AE翻折，点B落在点B ′处 ，过B′作MN⊥BC，其中MB′=2，NB′=4. ①请利用直角三角板在图中画出折痕AE； ②求BE的长度.
A
MD
62
分析：折叠问题中求线段长的方法：
6
B′
x4
B xEN C
（1）把条件集中到一直角三角 形中，根据勾股定理求解.
（2）寻找相似三利用三角函数求解.
活动2：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，若点 E为直线BC上一点，将△ABE沿AE折叠，折叠后点B的 落在点B′处.请利用圆规和直尺完成下列画图：
矩形的折叠问题(专题)
1、线段与线段的位置关系
例6 将长方形ABCD的纸片， A
FH D
沿EF折成如图所示，延长C`E 交AD于H，连结GH。求证：
B
G
E
C
EF与GH互相垂直平分。
D'
证明：由题意知FH∥GE，FG∥HE，∴
C'
。
又
，
∴四边形 是
，∴FE与GH互相垂直平分。
2、点的位置的确定
↑y
例7 已知：如图，矩形AOBC，
O
B →x
过点D作Y轴垂线，垂足为E，
ED
在直角三角形AED中，ED= ，AE= ，故OE= 。
故点D的坐标为（3/2√3 ，- 3/2）。
练习8 如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90º，沿着B点的一条直线BE折
C
E
叠这个三角形，使C点与AB边上的
一点D重合。当∠A满足什么条件时，
点D恰好是AB的中点？写出一个你 B
解 设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可 A 知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因 AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在 RtFCE中，42+x2=(8-x)2，解之得x=3 B
D
E FC
练习2 如图，在梯形ABCD中， DCAB，将梯形对折，使点D、
D
C分别落在AB上的D¹、C¹处， E
折痕为EF。若CD=3，EF=4，
则AD¹+BC¹=
。2
A
D'
C F
C' B
练习3 如图，将矩形ABCD纸片 对折，设折痕为MN，再把B点叠
BE
C
在痕折AE痕的线长M为N（上，C 若）A。B=3，则折M G B'
相关主题
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
E
沿一对角线 BD折叠一次（折痕 A
与折叠后得到的图形用虚线表
F
示），将得到的所有的全等三角
形（包括实线、虚线在内）用符 号写出来。
B
答案：△ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△EDF.
练习6 如图，矩形纸片 ABCD， D F
若把? ABE沿折痕BE上翻，使
A点恰好落在 CD上，此时，
E
AE:ED=5:3 ，BE=5? 5，求矩形
的长和宽。
A
答案：矩形的长为10，宽为8。
D C
C
B
8
4、求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片 ABC，面积为25，BC的长为 10，? B和? C都为锐角， M为AB上的一动点 (M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交 AC于点N，设MN=x.
线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关 系等问题。
1、求线段与线段的大小关系
例1 如图，AD是? ABC的中线，
? ADC=45o，把? ADC沿AD对
折，点 C落在点 C'的位置，求
BC'与BC之间的数量关系。
B
C' A
D
C
解 由轴对称可知 ? ADC ≌ ? ADC' , ? ? ADC'=? ADC=45o, C'D=CD=BD ? ? BC′D为Rt? ? BC'= ? 2 BD= ? 2 BC
O
B →x
过点D作Y轴垂线，垂足为 E，
ED
在直角三角形 AED中，ED= ，AE= ，故OE= 。
故点D的坐标为（ 3/2√3 ，- 3/2）。
12
练习8 如图，在直角三角形 ABC中，
∠C=90o，沿着B点的一条直线 BE折 C E
叠这个三角形，使 C点与AB边上的
一点D重合。当∠ A满足什么条件时，
C
作NF⊥AB于F，则有Rt△MNF≌ ,∴FM=AE=x, 从
而CN=BM-FM= =
。∴S梯形BCNM=
。
=?(x-a/2) 2+3/8 a2 . ∴当x=a∕2 时，Smin=(3∕8 )a2. 10
二、在“位置”方面的应用
由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置 发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。
2 3
练习1 如图，有一块直角三角形 纸片，两直角边 AC=6，BC=8，
A
现将直角边 AC沿直线AD折叠，
E
使它落在斜边 AB上，且与 AE重 合，则CD等于（ B ）
CD
B
(A)2 (B)3 (C )4 (D)5
例2 如图，折叠矩形的一边 AD，点D落在BC边上点F
处，已知 AB=8，BC=10，则EC的长是
(1)用x表示△AMN的面积SΔ AMN。
(2)Δ AMN沿MN折叠，设点 A关于Δ AMN对称的点为 A1， Δ A1MN与四边形BCMN重叠部分的面积为 y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量 X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积 y最大，最大为多 少？
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练习7 如图，把一张边长为 a的正 A E
A
(C )45o
(D)60o
C E
FD
6
3、求图形的全等、相似和图形的周长
例4 如图，折叠矩形 ABCD一边AD，A
使点 D落在 BC边的一点 F处，已知折
痕AE=5? 5 cm，且tan? EFC=3/4.
(1)求证：? AFB∽? FEC；
(2)求矩形ABCD的周长。
B
D E
FC
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练习5 如图，将矩形纸片 ABCD
C
以O为坐标原点， OB、OA分别
在x轴，y轴上，点 A坐标为(0,3)， O
∠OAB=60o，以AB为轴对折后， 使C点落在D点处，求 D点坐标。
B →x
D
↑y
解由题意知， OA=3，∠OAB=60o， A
C
∴OB=3tan60o=3√3 . ∵Rt△ACB≌Rt△ADB, ∴AD=AC=OB=3√3 .
方形的纸进行折叠，使 B点落在AD 上，问 B点落在 AD的什么位置时，
M
折起的面积最小，并求出这最小值。
B
解： 如图，设MN为折痕，折起部
分为梯形 EGNM，B、E关于MN对
AE
称，所以 BE⊥MN，且BO=EO，设
AE=x，则BE=
。
MO
由Rt△MOB∽
，得：
，F
∴BM=
=
=
.
B
D G N
C
D G N
。
解 设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可 A 知：EF=DE=8-x，AF=AD=10 ，又因
AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4 。在 Rt? FCE中，42+x2=(8-x)2，解之得 x=3 B
D
E FC
4
练习2 如图，在梯形 ABCD中，
DC??AB，将梯形对折，使点 D、
D
C分别落在 AB上的 D1、 C1处，
点D恰好是AB的中点？写出一个你 B
认为适当的条件，并利用此条件证
DA
明D为AB中点。
条件： ∠A=30o
证明：由轴对称可得，△ BCE≌△BDE，∴ BC=BD ，
A
D
5
2、求角的度数
例3 将长方形 ABCD的纸片， A
F
D
沿EF折成如图所示；已知
? EFG=55o，则? FGE= 70o 。
B
G
E
C
D' C'
练习4 如图，矩形 ABCD沿
B
BE折叠，使点 C落在AD边上
的F点处，如果 ? ABF=60o，
则? CBE等于（ A ）。
(A)15o
(B)30o
矩形的折叠问题
（复习课）
1
几何研究的对象是：图形的形状、大小、 位置关系；
主要培养三方面的能力：思维分析能力、 空间想象能力和逻辑推理能力；
折叠型问题的特点是：折叠后的图形具 有轴对称图形的性质；
两方面的应用：一、在“大小”方面的 应用；二、在“位置”方面的应用。
2
一、在“大小”方面的应
用 折叠型问题在“大小”方面的应用，通常有求
1、线段与线段的位置关系
例6 将长方形 ABCD的纸片， A
FH D
沿EF折成如图所示，延长 C`E 交AD于H，连结GH。求证：
B
G
E
C
EF与GH互相垂直平分。
D'
证明： 由题意知 FH∥GE，FG∥ HE，∴
C'
。
又
，
∴四边形
是
，∴FE与GH互相垂直平分。
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2、点的位置的确定
↑y
例7 已知：如图，矩形 AOBC， A
E
折痕为 EF。若CD=3 ，EF=4 ，
则AD1+BC1=Fra bibliotek。2A
D'
C F
C' B
练习3 如图，将矩形 ABCD纸片
对折，设折痕为 MN，再把B点叠 B E
C
在折痕线 MN上，若AB=? 3，则
折痕AE的长为（C ）。
MG
B'
N
(A) 3? 3/2
(B) 3 ? 3/4
(C ) 2
(D) 2 ? 3