品质因数计算

电路理论基础论文
名称：电路品质因数的定义及计算方法
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2013年12月
电路品质因数的定义及计算方法
XXX
（哈尔滨工业大学 控制科学与工程 哈尔滨150001）
摘要：品质因数是谐振电路中非常重要的一个参数。

本文将介绍品质因数的三种定义及之间的相互关系并对谐振电路中品质因数的计算方法进行讨论，给出了一般RLC 电路谐振时品质因数的简单计算方法。

关键词：品质因数；定义；计算方法；谐振电路；等效阻抗；等效导纳；
品质因数是谐振电路中一个非常重要的参数，然而在课程教材只是在RLC 串联、并联谐振电路中直接给出了谐振电路的品质因数的计算公式并由计算公式定义了品质因数，但对于品质因数的原始定义、其物理意义及在较为复杂的RLC 混联电路中的计算方法却并没有说明。

本文将介绍品质因数的原始定义，并从原始定义分别推导RLC 串联、并联谐振电路的品质因数定义式，最终给出复杂RCL 谐振电路的品质因数计算的简单方法。

1. 品质因数的定义及相互间的关系
1.1 从能量的角度定义
=2Q π
电路中存储的最大能量电路在一周期内消耗的总能量
品质因数的原始定义是由能量来定义的，表示了电路中能量之间的转换的关系，即电路的储能效率。

从能量定义品质因数可以清楚地表达品质因数的物理意义,对于各种电路具有普遍意义,但在电路中利用能量定义来计算品质因数Q 值则相对比较复杂。

1.2 在RLC 串联谐振电路中的定义
R
L
C
图一：RCL 串联电路
RLC 串联电路图如图所示，电路处于谐振状态时，L 、C 为RLC 串联电路中的电感及电容，C L =
ρ，ρ称为RLC 串联电路的特性阻抗。

则品质因数R
Q ρ=。

1.3 在RLC 并联谐振电路中的定义
R
L C
图二：RLC 并联电路
由电流源激励的RLC 并联电路图如图所示，谐振时电感电流或电容电流与总电流之比称为RLC 并联电路的品质因数：
0L C I I Q CR I I ω=
===1.4 由品质因数的能量定义推导RLC 串联谐振电路品质因数
R
L
C
图三：RCL 串联电路
如图所示RLC 串联电路，设电路两端电压为()t U ωcos 22u 0=，当电路处于串联谐振
时，C L ωω1=
，电路中电流()t I R
u
i ωcos 2==。

电路中存储的电能为电感和电容存储电能之和。

且电感和电容储能分别为：221Li W L =，2
2
1c C Cu W =，且电容两端电压c u 为：
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-==πωωω21cos 211t I C C j i
u c 根据品质因数的能量定义得：
()
=2=2L C RT
W W Q W π
π
+电路中存储的最大能量电路在一周期内消耗的总能量
RT W 为在一个周期内电阻消耗的电能。

将以上电感储能、电容储能带入得： ()()()2222002200222222222
2
00111cos cos cos sin 2=2=2U U U U L L R R R
R U U R
R
t t t t C C Q T
T
ωωωωπωωππ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭
在串联谐振电路中，C
L ωω1
=
，带入上式化简得，
，由此我们便证明了在串联谐振电
路中品质因数的定义可以从能量定义的品质因数推导得出，体现了品质因数不同定义间的等效性。

1.5 由品质因数的能量定义推导RLC 并联谐振电路品质因数
R
L C
图四：RLC 并联电路
如图所示为RLC 并联谐振电路，不妨设设电路两端激励为电流源()t I i ωcos 2=，当
电路处于并联谐振时，C L ωω1
=。

电路中存储的电能为电感和电容存储电能之和。

且电感和电容储能分别为：221l L Li W =，2
2
1c C Cu W =，在并联电路中电容两端电压等于电阻两端
电压所以可得电容两端电压：()t RI Ri u c ωcos 2=
=。

通过电感的电流为
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-===
πωωωω21cos 2t L RI L j Ri L j u i c l 根据品质因数的能量定义得：
()
=2=2L C RT
W W Q W π
π
+电路中存储的最大能量电路在一周期内消耗的总能量
RT W 为在一个周期内电阻消耗的电能。

将以上电感储能、电容储能带入得：
()()()22
222
2222222222
21cos cos sin cos 2=2=2R I
R I
t CR I t t CR I t L L Q I RT I RT ωωωπωωωππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
在并联谐振电路中，C
L ωω1
=
，带入上式化简得，L C R C R Q ==ω，由此我们便证
明了在并联谐振电路中品质因数的定义可以由从能量定义的品质因数推导得出，体现了品质
因数不同定义间的等效性。

2. 品质因数的计算方法
对于简单的RLC 串联、并联电路品质因数的计算我们可以直接套用品质因数在RLC 串联、并联电路中的定义式进行计算，但是对于稍复杂的RLC 谐振电路这些公式就不再适用。

通过品质因数最原始的定义即能量定义一定是可以计算的任意谐振电路的品质因数，但是却会较为繁琐。

下面将介绍对于复杂RLC 谐振电路中品质因数计算的简单方法，并对其正确性进行证明。

2.1 品质因数计算简单方法
对于任意的含L, C 元件的任一无源二端电路，一定可以求得其电路等效阻抗为：
()Ceq L q X X j R Z -+=eq e
其中: Z —无源二端电路的等效阻抗，单位：Ω; q R e —无源二端电路中的等效电阻，单位：Ω;
eq L X —无源二端电路中的等效感抗，单位：Ω; eq C X ———无源二端电路中的等效容抗，单位：Ω; 根据q R e ，eq L X ，eq C X 就可以计算出电路的等效电阻、电感及电容。

即对于任意的RLC 电路，我们一定可以将其等效成如下简单RLC 串联的形式：
Req
Leq
Ceq
图五：等效RLC 电路图
然后根据在简单RCL 串联电路中品质因数的定义，代入求得的等效后的电阻、电感和电容直接进行计算即可。

品质因数的简单计算公式为：
eq eq q C L Q e R 1=
2.2 举例说明两种计算方法
R1
L
C
R2
图六：RLC 混联电路图
如上图所示为稍复杂的RLC 谐振电路，电路参数为1R ，2R ，L 和C 。

通过1R 的电流
()t I i ωcos 2=，且此时电路处于谐振状态，求该电路的品质因数Q 。

1）利用品质因数的能量定义求解品质因数
图六所示电路处于谐振状态，求得整个电路的等效阻抗为：
0j R C CR L R C R R Z ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-+++=2
2222222222111ωωωω 且电路谐振时等效总阻抗的虚部为0，即0e =Z R ，推得
2
2
2
2221R C CR L ω+= （1） 电阻1R 在一个周期内消耗的电能为：
T R I W R 121= （2）
电感L 上存储的电能为：
2
2
1Li W L =
（3） 根据2R 和C 并联，利用导纳求得通过2R 的电流大小为： ()
()θωω-+=
t I CR I R cos 122
22，其中()2arctan CR ωθ= （4）
当电路处于谐振状态时，2CR ω很大，所以πθ2
1
≈ （5） 电阻2R 在一个电路周期中消耗的电能为：
T R I W R R 22
222⎪⎭
⎫ ⎝⎛= （6）
电容两端电压与电阻2R 两端电压相同，则 22R I u R c = （7） 电容上存储的能量为：
22
1
c C Cu W = （8）
根据品质因数的能量定义有：
2
122R R L
C W W W W Q ++==π
π总能量
电路在一周期内消耗的电路中存储的最大能量 （9）
将以上（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）共9个式子联立，可解得该电路的品质因数2
1CR L
R L
Q +
=
ω。

由以上我们可以看出通过品质因数的基本定义，即能量的定义，一定可以解出任意RLC 串联、并联电路的品质因数，但是从整个计算过程中我们也可以看到使用该基本定义计算复杂的电路的品质因数是很繁琐的。

2）利用品质因数的简单计算公式求解
由式子j R C CR L R C R R Z ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-+++=22222222222111ωωωω，直接可以求得电路中的等效电
阻2
2
222
1e 1R R C R R q ω++=，等效电感L L eq =，等效电容22222221CR R C C eq ωω+=，直接带入简单计算公式，结合电路处于谐振状态有（1）式成立，得：
2
1CR L
R L
Q +
=
ω
可以看出经过简单公式计算的结果与通过品质因数的能量定义推出的结果是一样的，这也就证明了简单计算公式的正确性。

对于上面较简单电路品质因数的求解，使用品质因数的能量定义就经过了复杂的计算，对于更复杂的电路通过能量定义去计算品质因数则会相当困难，甚至难以求解。

而通过品质因数简单计算公式只需要求得电路的等效阻抗就能很容易的
求出所要的结果，证明了品质因数简单计算公式能够大幅度化简繁复的运算，使问题的求解更加容易。

3.结论
品质因数的能量定义清楚地表达了品质因数的物理意义，对于各种电路具有普遍意义，但是如果利用它去求解较为复杂的谐振电路的品质因数则相当困难，甚至难以求解。

串联和并联谐振电路的品质因数的定义，是从电路参数的角度对品质因数直接下了定义，这种定义有利于求解品质因数的计算，但是从理解的角度讲,不如品质因数的能量定义更加明确，更容易看清其所包含的物理意义。

从第一部分的证明我们可以看出串联、并联谐振电路的品质因数的定义可以由品质因数的能量定义推导得出的，两者是相互等效的。

本文给出的任一谐振电路推导品质因数的简单计算公式，对于各种集总参数谐振电路品质因数计算公式的推导均有效，尤其对于较为复杂的谐振电路，只要求出电路谐振条件下等效的其等效电阻、电感及电容，就可以直接套用串联谐振电路品质因数计算，直接求得电路的品质因数。

该方法简便易行，尤其对于复杂电路的求解体现出了极大的优越性。

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