品质因数计算

电路理论基础论文

名称：电路品质因数的定义及计算方法

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2013年12月

电路品质因数的定义及计算方法

XXX

（哈尔滨工业大学 控制科学与工程 哈尔滨150001）

摘要：品质因数是谐振电路中非常重要的一个参数。本文将介绍品质因数的三种定义及之间的相互关系并对谐振电路中品质因数的计算方法进行讨论，给出了一般RLC 电路谐振时品质因数的简单计算方法。 关键词：品质因数；定义；计算方法；谐振电路；等效阻抗；等效导纳；

品质因数是谐振电路中一个非常重要的参数，然而在课程教材只是在RLC 串联、并联谐振电路中直接给出了谐振电路的品质因数的计算公式并由计算公式定义了品质因数，但对于品质因数的原始定义、其物理意义及在较为复杂的RLC 混联电路中的计算方法却并没有说明。本文将介绍品质因数的原始定义，并从原始定义分别推导RLC 串联、并联谐振电路的品质因数定义式，最终给出复杂RCL 谐振电路的品质因数计算的简单方法。

1. 品质因数的定义及相互间的关系

1.1 从能量的角度定义

=2Q π

电路中存储的最大能量电路在一周期内消耗的总能量

品质因数的原始定义是由能量来定义的，表示了电路中能量之间的转换的关系，即电路的储能效率。从能量定义品质因数可以清楚地表达品质因数的物理意义,对于各种电路具有普遍意义,但在电路中利用能量定义来计算品质因数Q 值则相对比较复杂。

1.2 在RLC 串联谐振电路中的定义

R

L

C

图一：RCL 串联电路

RLC 串联电路图如图所示，电路处于谐振状态时，L 、C 为RLC 串联电路中的电感及电容，C L =

ρ，ρ称为RLC 串联电路的特性阻抗。则品质因数R

Q ρ=。 1.3 在RLC 并联谐振电路中的定义

R

L C

图二：RLC 并联电路

由电流源激励的RLC 并联电路图如图所示，谐振时电感电流或电容电流与总电流之比称为RLC 并联电路的品质因数：

0L C I I Q CR I I ω=

===1.4 由品质因数的能量定义推导RLC 串联谐振电路品质因数

R

L

C

图三：RCL 串联电路

如图所示RLC 串联电路，设电路两端电压为()t U ωcos 22u 0=，当电路处于串联谐振

时，C L ωω1=

，电路中电流()t I R

u

i ωcos 2==。电路中存储的电能为电感和电容存储电能之和。且电感和电容储能分别为：221Li W L =，2

2

1c C Cu W =，且电容两端电压c u 为：

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-==πωωω21cos 211t I C C j i

u c 根据品质因数的能量定义得：

()

=2=2L C RT

W W Q W π

π

+电路中存储的最大能量电路在一周期内消耗的总能量

RT W 为在一个周期内电阻消耗的电能。将以上电感储能、电容储能带入得： ()()()2222002200222222222

2

00111cos cos cos sin 2=2=2U U U U L L R R R

R U U R

R

t t t t C C Q T

T

ωωωωπωωππ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭

在串联谐振电路中，C

L ωω1

=

，带入上式化简得，

，由此我们便证明了在串联谐振电

路中品质因数的定义可以从能量定义的品质因数推导得出，体现了品质因数不同定义间的等效性。

1.5 由品质因数的能量定义推导RLC 并联谐振电路品质因数

R

L C

图四：RLC 并联电路

如图所示为RLC 并联谐振电路，不妨设设电路两端激励为电流源()t I i ωcos 2=，当

电路处于并联谐振时，C L ωω1

=

。电路中存储的电能为电感和电容存储电能之和。且电感和电容储能分别为：221l L Li W =，2

2

1c C Cu W =，在并联电路中电容两端电压等于电阻两端

电压所以可得电容两端电压：()t RI Ri u c ωcos 2=

=。通过电感的电流为

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-===

πωωωω21cos 2t L RI L j Ri L j u i c l 根据品质因数的能量定义得：

()

=2=2L C RT

W W Q W π

π

+电路中存储的最大能量电路在一周期内消耗的总能量

RT W 为在一个周期内电阻消耗的电能。将以上电感储能、电容储能带入得：

()()()22

222

2222222222

21cos cos sin cos 2=2=2R I

R I

t CR I t t CR I t L L Q I RT I RT ωωωπωωωππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭

在并联谐振电路中，C

L ωω1

=

，带入上式化简得，L C R C R Q ==ω，由此我们便证

明了在并联谐振电路中品质因数的定义可以由从能量定义的品质因数推导得出，体现了品质

因数不同定义间的等效性。

2. 品质因数的计算方法

对于简单的RLC 串联、并联电路品质因数的计算我们可以直接套用品质因数在RLC 串联、并联电路中的定义式进行计算，但是对于稍复杂的RLC 谐振电路这些公式就不再适用。通过品质因数最原始的定义即能量定义一定是可以计算的任意谐振电路的品质因数，但是却会较为繁琐。下面将介绍对于复杂RLC 谐振电路中品质因数计算的简单方法，并对其正确性进行证明。

2.1 品质因数计算简单方法

对于任意的含L, C 元件的任一无源二端电路，一定可以求得其电路等效阻抗为：