罗尔定理 PPT课件
合集下载
微分中值定理【高等数学PPT课件】
可导，且
证：设辅助函数
显然 在 因此至少存在
上满足罗尔定理条件, 使得
推广： 存在
使
例3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
的零点. 的零点.
(2) 提示: 欲证:
使
只要证
亦即
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又 经验: 欲证
故所证等式在定义域
上成立.
时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
即 因为
故 推论2: 若函数f 和g 均在区间上可导,且
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
罗尔定理
四、柯西中值定理
定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续， (2)在开区间(a,b)内都可导， (3)在开区间(a,b)内，g′(x) ≠ 0,
f ′(ξ ) f (b) − f (a) 则至少存在一点ξ ∈ (a,b)，使 = . g′(ξ ) g(b) − g(a)
上述近似公式有两点不足： 1. 精度往往不能满足实际需要； 2. 用它作近似计算时无法估计误差. 因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式. 在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望 能用多项式
P (x) = a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + an (x − x0 ) n
2
n
来近似表达函数f(x)，并使得当x → x0 时， f ( x) − P ( x) n 为比 (x − x0 )n高阶的无穷小,还希望能写出 f ( x) − P ( x) n 的具体表达式，以便能估计误差.
设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使 与f(x)尽可能相近，希望
P (x0 ) = f (x0 ) (在x0处相等) n P′ (x0 ) = f ′(x0 ) (在x0处有相同的切线 ) n P′′(x0 ) = f ′′(x0 ) (x0处两条曲线有相同的弯 曲方向 ) n
1 x ∴ln(1 + x) − ln1 = [(1 + x) −1] = , 1+ ξ 1+ ξ
由于 < ξ < x，因此 0
1 1 < < 1, 1+ x 1+ ξ
进而知
x x < < x, 1+ x 1+ ξ
罗尔定理
2、费马（Fermat)引理
若函数 f ( x )在 ( a , b )内一点 x0取得最值， 且f ( x )在点x0可微，则 f ( x0 ) 0
y
y f ( x)
o a
1
2 b
x
二、
罗尔(Rolle)定理
如果函数 f ( x ) (1).在[a , b]上连续; (2).在( a , b ) 内可导; (3). f ( a ) f ( b ) . 那 么 在 ( a , b ) 内 至 少 有 一 点 ( a b ) , 使 得
则 f ( x )在[0,1]连续,
由介值定理
且 f (0) 1, f (1) 3.
x 0 (0,1), 使 f ( x 0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 使得f ' ( )=0. 2、罗尔定理的结论
几何意义:曲线有水平切线. 3 、罗尔定理的条件是充分非必要条件. ' 4、罗尔定理研究的是导数方程 f (x)=0 的 根的存在性问题。
一、罗 尔（Rolle） 定 理
主讲人: 龙薇 (惠州广播电视大学)
罗尔简介
罗尔(1652-1719)法国数学家
罗尔年轻时因家境贫困，仅受过初等教育，靠自学精通了代数 和丢蕃图方程分析理论。1682年，他解决了数学家奥扎南提出的 一个数学难题，受到学术界的好评，从此他的生活有了转机。 罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程 的研究。他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和 微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理 的结论恰好相当于多项式的导数）。 但在一百多年后，龙斯托.伯 拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把 此定理命名为罗尔定理.
《罗尔定理》PPT课件
f(x) 在 [x0 , x1] 上满足罗尔定理的条件
ξ (x0 , x1 ),使得 f () 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1))
x 为f(x) 0唯一正实根, 矛盾。
0 15
习题布置： P 126 1、3、5
16
f ( x)在该点的导数等于零，即
f '() 0
3
几何解释:
y
C
y f (x)
o a 1
在曲线弧AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
2 b x
4
引例：
f ( x) x 2 2x 3 ( x 3)( x 1). 在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0, f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
14
例2 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于 1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
(3) f (0) f (1).
不 ,使f ( ) 0.
0
1x
10
例2 f ( x) x , x [1,1];
y
(1) f ( x) C[1,1];
(2) f ( x) D(1,1);
(3) f (1) f (1).
1 0
不 ,使f ( ) 0.
例3 f ( x) x, x [0,1]; y (1) f ( x) C[0,1];
ξ (x0 , x1 ),使得 f () 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1))
x 为f(x) 0唯一正实根, 矛盾。
0 15
习题布置： P 126 1、3、5
16
f ( x)在该点的导数等于零，即
f '() 0
3
几何解释:
y
C
y f (x)
o a 1
在曲线弧AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
2 b x
4
引例：
f ( x) x 2 2x 3 ( x 3)( x 1). 在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0, f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
14
例2 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于 1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
(3) f (0) f (1).
不 ,使f ( ) 0.
0
1x
10
例2 f ( x) x , x [1,1];
y
(1) f ( x) C[1,1];
(2) f ( x) D(1,1);
(3) f (1) f (1).
1 0
不 ,使f ( ) 0.
例3 f ( x) x, x [0,1]; y (1) f ( x) C[0,1];
罗尔定理与拉格朗日中值定理
定理1(罗尔定理) 如果函数了(X)满足下列条件： (1) 在［a,可上连续； ■ (2) 在(a,幻内可导； ⑶ f(a)= f(b)，
那么至少存在一点g E (a, b)，使得 广(8) = 0.
注：定理条件只是充分的，罗尔定理的三个假设条件缺一不可.
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理
罗尔定理
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——问题的引入
了(b)一仙)=/(&)(")
件 * 广(&)=
b-a
路程函数、二./(,)
北京某过街天桥上的公式
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理
问题的引入
2丝二 2。
2
罗尔定理
拉格朗日中值定理
>
微分中值定理应用
1
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——主要内容
(2) 在[x, x + Ax] Q [a, <&](△* > 0)或[x + Ax, x] Q [a,b]^^x V 0) 上应用拉格朗日中值定理，有 /(% + Ax) — /(%) = f{x + OAx) - Ax, 0 V。V 1. 上式等价 于
BAy = f'(x + OAx) • Ax, 0 < 0 < 1.
例3证明方程工5 + x — 1 = 0只有惟一实根.
例4设f(x)在［GM］上连续，在(GM)内二阶可导，又若f3)的 图形与联结两点的弦交于点C(cJ(c)) {a<c <幻.证明在(GM)内 至少存在一点本，使得广'修)=0.
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——微分中值定理应用
拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理.
罗尔定理.
y f (a) y f (x) f 0 b
xy
f (b)
两端点的函数值不相等
f (a)
y
y f (x)
f (a)
f (b)
0a b
x
区间内有不连续的点
0a
x0 b
x
图3-2
例1 设函数f (x) = (x +1) (x1) (x2) (x3)， 证明方程f (x)=0有三个实根，并指出它们所在的区间。 证：显然, f (x)分别在闭区间[1, 1], [1, 2], [2, 3]上连续，
第1节 微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西定理
一、罗尔定理
若函数 f (x)满足下列条件： （i）在闭区间[a, b]上连续； （ii）在开区间(a, b)内可导； （iii）f (a)= f (b).
则至少存在一点 (a, b) 使 f ( ) 0
罗尔定理的几何意义:
C
如果连续曲线除端点 y
外处处都具有不垂直ox 轴
的切线，且两端点处的纵
A
y f (x) B
坐标相等，那么其上至少
x
O
有一条平等于ox 轴的切线.
a
b
图3-1
值得注意的是，该定理要求函数y=f(x)应同时满
足三个条件.若定理的三个条件不完全满足的话，则
定理的结论可能成立，也可能不立.(如图3-2)
在（1,2）内可导 且 x (1,2)时，F(x) 0.
又f (1) 1, f (2) 8, F(1) 2, F(2) 5, f (x) 3x2, F(x) 2x
设 f (2) f (1) 3 2 ,解得＝14 （1,2）
罗尔Rolle中值定理
2
[ f ( x) sin x ] x 0 解题关键
证明至少存在一点 ( 0 ,
2
), 使
f ( ) cos 0.
容易验证: g( x ) 在 [ 0, ] 上满足罗尔定理条件. 2 由罗尔定理得: 至少存在一点 ( 0, ), 使得 2 g( ) 0
即
f ( ) cos 0.
证明: 设 g( x ) f ( x ) sin x
0
1
x
例2 f ( x ) x , x [1,1];
y
(1) f ( x ) C[1,1]; ( 2) f ( x ) D( 1,1); ( 3) f ( 1) f (1).
1
0
1 x
不存在 ( 1,1), 使 f ( ) 0.
例3 f ( x ) x , x [0,1];
罗尔（Rolle）中值定理
主讲：潘 洁
安徽理工大学
微分中值定理
罗尔中值定理
泰勒中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
问题的引出：
y
C
T 与x轴
这样的 可能有多个
a
1
2
b
x
一、罗尔(Rolle)中值定理
y
D
若函数 f ( x ) 满足：
(1) 在 [a , b] 上连续；
f ( x )在 [a , b] 上 连续， f ( x)在 [a, b] 上必有最大值 M 和最小值 m.
(1)若 M m.则 f ( x) M . 由此得 f ( x ) 0, x (a, b). (a, b),都有 f ( ) 0.
f (a ) f (b), (2)若 M m. 最值不可能同时在端点处取得. 不妨设 M f (a ),
[ f ( x) sin x ] x 0 解题关键
证明至少存在一点 ( 0 ,
2
), 使
f ( ) cos 0.
容易验证: g( x ) 在 [ 0, ] 上满足罗尔定理条件. 2 由罗尔定理得: 至少存在一点 ( 0, ), 使得 2 g( ) 0
即
f ( ) cos 0.
证明: 设 g( x ) f ( x ) sin x
0
1
x
例2 f ( x ) x , x [1,1];
y
(1) f ( x ) C[1,1]; ( 2) f ( x ) D( 1,1); ( 3) f ( 1) f (1).
1
0
1 x
不存在 ( 1,1), 使 f ( ) 0.
例3 f ( x ) x , x [0,1];
罗尔（Rolle）中值定理
主讲：潘 洁
安徽理工大学
微分中值定理
罗尔中值定理
泰勒中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
问题的引出：
y
C
T 与x轴
这样的 可能有多个
a
1
2
b
x
一、罗尔(Rolle)中值定理
y
D
若函数 f ( x ) 满足：
(1) 在 [a , b] 上连续；
f ( x )在 [a , b] 上 连续， f ( x)在 [a, b] 上必有最大值 M 和最小值 m.
(1)若 M m.则 f ( x) M . 由此得 f ( x ) 0, x (a, b). (a, b),都有 f ( ) 0.
f (a ) f (b), (2)若 M m. 最值不可能同时在端点处取得. 不妨设 M f (a ),
注意若罗尔定理的三个条件中有一个不满足.
(a , b ) 内至少有一点(a b ) ，使等式
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y f (a ) ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB,
f ( x) C ,
x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2 arcsin x arccos x . 2
x 例2 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x 证 设 f ( x ) ln(1 x ),
第六章 微分中值定理及其应用
第一节 拉格朗日中值定理和函 数的单调性 一 罗尔定理与拉格朗日定 理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续, 在开区间(a , b ) 内可导, 且在区间端点的函数 值相等，即 f (a ) f (b ) , 那末在(a , b ) 内至少有一点 (a b ) ,使得函数 f ( x ) 在该点的导数等于零，
x x0
则f在点x0可导, 且f ( x0 ) lim f ( x).
x x0
二 单调函数
单调性的判别法
y
y f ( x) B
A
y
y f ( x)
o
a
b
x
o
x
定理 设函数 y f ( x)在 I上可导, 则f ( x)在I上
递增(减)的充要条件是 f ( x) 0( 0).
从而是f的极值点 .又f在(a, b)内可导, f在点处 可导, 故由费马定理推知 f ( ) 0
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y f (a ) ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB,
f ( x) C ,
x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2 arcsin x arccos x . 2
x 例2 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x 证 设 f ( x ) ln(1 x ),
第六章 微分中值定理及其应用
第一节 拉格朗日中值定理和函 数的单调性 一 罗尔定理与拉格朗日定 理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续, 在开区间(a , b ) 内可导, 且在区间端点的函数 值相等，即 f (a ) f (b ) , 那末在(a , b ) 内至少有一点 (a b ) ,使得函数 f ( x ) 在该点的导数等于零，
x x0
则f在点x0可导, 且f ( x0 ) lim f ( x).
x x0
二 单调函数
单调性的判别法
y
y f ( x) B
A
y
y f ( x)
o
a
b
x
o
x
定理 设函数 y f ( x)在 I上可导, 则f ( x)在I上
递增(减)的充要条件是 f ( x) 0( 0).
从而是f的极值点 .又f在(a, b)内可导, f在点处 可导, 故由费马定理推知 f ( ) 0
第一节 罗尔定理与微分中值定理
0 , x1 之间满足罗尔定理的条
件,
? 至少存在一个? (在 x0, x1 之间),使得 f ?(?) ? 0.
但 f ?(x) ? 5(x 4 ? 1)? 0, (x ? (0,1)) 矛盾,
? 为唯一实根 .
例2设f (x) ? (x ? 1)(x ? 1)(x ? 2)(x ? 3),证明方程
值相等，即f (a) ? f (b),那末在(a,b) 内至少有一点
?(a ? ? ? b),使得函数f (x)在该点的导数等于零，
即f ' (?) ? 0
几何解释:
y
在曲线弧 AB 上至少有一
C
点C , 在该点处的切线是
水平的 .
o a ?1
y ? f (x)
?2 b x
例如, f (x) ? x2 ? 2x ? 3 ? (x ? 3)(x ? 1).
在 [? 2,2] 上除 f ?(0) 不存在外 ,满足罗尔定理
的一切条件 , 但在区间 [-2，2]内找不到一点能
使 f ?( x ) ? 0.
又例如 ,
? x, x ? [0,2)
y ? ??0,
; x?2
(不满足第一个条件)
y ? x2, x? [1,2]. (不满足第三个条件)
例1 证明方程 x 5 ? 5 x ? 1 ? 0 有且仅有一个小于
f ?( x ) ? 0有三个实根，并指出他 们所在的区间 .
证 显然, f ( x )在区间[? 1,1],[1,2],[ 2,3]上都满足
罗尔定理条件, 所以至少有 ? 1
?
(? 1,1),? 2
?
(1,2),
? 3 ? (2,3)使f ?(? 1 ) ? 0, f ?(? 2 ) ? 0, f ?(? 3 ) ? 0,即方
件,
? 至少存在一个? (在 x0, x1 之间),使得 f ?(?) ? 0.
但 f ?(x) ? 5(x 4 ? 1)? 0, (x ? (0,1)) 矛盾,
? 为唯一实根 .
例2设f (x) ? (x ? 1)(x ? 1)(x ? 2)(x ? 3),证明方程
值相等，即f (a) ? f (b),那末在(a,b) 内至少有一点
?(a ? ? ? b),使得函数f (x)在该点的导数等于零，
即f ' (?) ? 0
几何解释:
y
在曲线弧 AB 上至少有一
C
点C , 在该点处的切线是
水平的 .
o a ?1
y ? f (x)
?2 b x
例如, f (x) ? x2 ? 2x ? 3 ? (x ? 3)(x ? 1).
在 [? 2,2] 上除 f ?(0) 不存在外 ,满足罗尔定理
的一切条件 , 但在区间 [-2，2]内找不到一点能
使 f ?( x ) ? 0.
又例如 ,
? x, x ? [0,2)
y ? ??0,
; x?2
(不满足第一个条件)
y ? x2, x? [1,2]. (不满足第三个条件)
例1 证明方程 x 5 ? 5 x ? 1 ? 0 有且仅有一个小于
f ?( x ) ? 0有三个实根，并指出他 们所在的区间 .
证 显然, f ( x )在区间[? 1,1],[1,2],[ 2,3]上都满足
罗尔定理条件, 所以至少有 ? 1
?
(? 1,1),? 2
?
(1,2),
? 3 ? (2,3)使f ?(? 1 ) ? 0, f ?(? 2 ) ? 0, f ?(? 3 ) ? 0,即方
罗尔定理
x
f sin f cos 0 .
相关例题3
题： 设函数 f x , g x 在 a, b 上连续， 在 a, b 内
可导，且 f a f b 0 ，证明在 a, b 内存在一
点 ，使 f f g 0 ．
在 0, 内可导，且 F 0 F 0 ，故由罗尔
相关例题4
知对任何数 在 0, 0,1 内至少存在一点
点 ，使 F 0 ，即
e
x
f x x
x
e f 1 f 0 ，
1 且 f 0 f 1 0 ， f 1 ，证明：对任何数 2
在 0,1 内至少存在一点 ，使
f f 1 ．
1 解：记 g x f x x ， g x 在 ,1 连续，且 2
x
0，
解题步骤2
亦即
a ． b
常见错误
不会建立恰当的辅助函数，这只有通过较多 的练习后才能逐步掌握．
方法总结
相关例题1
题：设函数 f x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，
且 f 1 0 ，证明在 0,1 内存在一点 ，使
解：取 F x f xe g x ，F x 在 a, b 上连续，在
a, b 内可导，且 F a F b 0 ，由罗尔定理
知在 a, b 内至少存在一点 ，使 F 0 ，即
相关例题3
f xe
g x
x
解：取 F x f x sin x ， F x 在 0, 上连续，
罗尔定理PPT课件
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
2
罗尔定理几何意义：
若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线 弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两
个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一
点，过该点的切线必定平行于x轴.
3
例如f(x)=|x|在[－1,1]上连续，且f(－1)=f(1)=1, 但是|x|在(－1,1)内有不可导的点，本例不存在 (1,1), 使f '( ) 0 .
定理4.2 设函数f(x)满 足(1) 在闭区间[a,b]上连续；
(2) 在开区间(a,b)内可导； 则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x),
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0
可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.
11
推论2 若在(a,b)内恒有f (x) g(x) ，则
有
f(x)=g(x)+C,
其中C为某常数.
事实上，由已知条件及导数运算性质可得
[ f (x) g(x)] f (x) g(x) 0.
由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.
能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
6
ba
拉格朗日中值定理的几何意义：
如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂 直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点( , f ( )),
使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
2
罗尔定理几何意义：
若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线 弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两
个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一
点，过该点的切线必定平行于x轴.
3
例如f(x)=|x|在[－1,1]上连续，且f(－1)=f(1)=1, 但是|x|在(－1,1)内有不可导的点，本例不存在 (1,1), 使f '( ) 0 .
定理4.2 设函数f(x)满 足(1) 在闭区间[a,b]上连续；
(2) 在开区间(a,b)内可导； 则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x),
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0
可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.
11
推论2 若在(a,b)内恒有f (x) g(x) ，则
有
f(x)=g(x)+C,
其中C为某常数.
事实上，由已知条件及导数运算性质可得
[ f (x) g(x)] f (x) g(x) 0.
由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.
能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
6
ba
拉格朗日中值定理的几何意义：
如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂 直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点( , f ( )),
使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
02-060、罗尔定理举例
例1 验证罗尔定理对函数 f(x)= x2-2x+3在区间[-1,3]上的正确性．
解 显然 f(x)= x2-2x+3在[-1,3]上满足罗尔定理的三个条件,
由 f(x)=2x-2=2(x-1), 可知 f(1)=0, 因此 存在=1∈(-1,3), 使f(1) =0．
注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定 成立.
由连续函数介值定理知至少存在一点 x0 ∈［0,1］, 使得F( x0)0，即f( x0) x0 ，下面证明在［0，1］上 仅有一点 x0 ，使 x0 )0．．
假设另有一点F(x1 ∈［0,1］,使得 F( x1 )0．
不妨设x0 < x1 ，则由罗尔定理可知,在[ x0, x1]上至少有
一点 ξ ，使 F′(ξ)=0, 即f′(ξ)=1, 这与原题设矛盾．这就证明了在［0，1］内有且仅有
一个 x0，使 f(x0) x0
作业：P134 1 5 7 8 12
至少存在一点
f (x) 在以 在 x0 , x1 之间
但
矛盾, 故假设不真!
例３ 设 f(x) 在［0,1上可导，当 0≤x≤1 时，
0≤ f(x) ≤1,且对于(0,1) 内所有 x，有f′(x)≠1，求证
在［0,1］上有且仅有一个x，0 使 f( x0 ) x0
证 令 F(x) = f(x) - x, 则 F(1)=f(1)-1≤0, F(0)=f(0)≥0．
例2. 证明方程
正实根 .
有且仅有一个小于1 的
证: 1) 存在性 .
设f (x) x5 5x 1,则f (x) 在 [0 , 1 ]定理知 存在x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
解 显然 f(x)= x2-2x+3在[-1,3]上满足罗尔定理的三个条件,
由 f(x)=2x-2=2(x-1), 可知 f(1)=0, 因此 存在=1∈(-1,3), 使f(1) =0．
注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定 成立.
由连续函数介值定理知至少存在一点 x0 ∈［0,1］, 使得F( x0)0，即f( x0) x0 ，下面证明在［0，1］上 仅有一点 x0 ，使 x0 )0．．
假设另有一点F(x1 ∈［0,1］,使得 F( x1 )0．
不妨设x0 < x1 ，则由罗尔定理可知,在[ x0, x1]上至少有
一点 ξ ，使 F′(ξ)=0, 即f′(ξ)=1, 这与原题设矛盾．这就证明了在［0，1］内有且仅有
一个 x0，使 f(x0) x0
作业：P134 1 5 7 8 12
至少存在一点
f (x) 在以 在 x0 , x1 之间
但
矛盾, 故假设不真!
例３ 设 f(x) 在［0,1上可导，当 0≤x≤1 时，
0≤ f(x) ≤1,且对于(0,1) 内所有 x，有f′(x)≠1，求证
在［0,1］上有且仅有一个x，0 使 f( x0 ) x0
证 令 F(x) = f(x) - x, 则 F(1)=f(1)-1≤0, F(0)=f(0)≥0．
例2. 证明方程
正实根 .
有且仅有一个小于1 的
证: 1) 存在性 .
设f (x) x5 5x 1,则f (x) 在 [0 , 1 ]定理知 存在x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 ( , f ( )),
使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
弦线的方程为 y f (a) f (b) f (a) (x a) . ba
作辅助函数
(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
ba
即可. ( x) 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线
第一节 微分中值定理
一、引理 二、罗尔定理 三、拉格朗日中值定理 四、柯西中值定理 五、泰勒公式
一、引理
引理 设f(x)在 x0 处可导,且在 x0 的某邻域内恒有 f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )), 则有 f (x0 ) 0 .
二、罗尔定理
定理4.1 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x. 证 设f(x)=arctan x ,不妨设a<b .
由于arctan x在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.
因此arctan x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件.
可知必定存在一点 (a,b) ,
使得 f (b) f (a) f ( )(b a) . 由于
上述近似公式有两点不足： 1. 精度往往不能满足实际需要；
2. 用它作近似计算时无法估计误差. 因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式. 在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望 能用多项式 Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 来近似表达函数f(x)，并使得当x x0 时， f (x) Pn (x) 为比 (x x0 )n高阶的无穷小,还希望能写出 f (x) Pn (x) 的具体表达式，以便能估计误差.
设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使 与f(x)尽可能相近，希望
Pn (x0 ) f (x0 ) (在x0处相等) Pn(x0 ) f (x0 ) (在x0处有相同的切线) Pn(x0 ) f (x0 ) (x0处两条曲线有相同的弯曲方向)
P(n) (x0 ) f (n) (x0 )
则至少存在一点 (a,b)，使f '( ) 0.
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：
若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧 上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个 端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点， 过该点的切线必定平行于x轴.
例如f(x)=|x|在[－1,1]上连续，且f(－1)=f(1)=1,但
是|x|在(－1,1)内有不可导的点，本例不存在 (1,1), 使f '( ) 0.
又如f(x)=x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，但是
f(0)=0，f(1)=1，本例不存在 (0,1) ，使 f ( ) 0 .
再如
f (x)
x,
0 x 1, f(x) 在(0,1)内可导，
0, x 1,
f(0)=0=f(1)，但是f(x)在[0,1]上不连续，本例不存在
(0,1), 使f ( ) 0.
还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必 要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定 理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.
22
22
可导,
f ( 3 π) 1 f (π).因此sin x在[ 3 π, π]上满足罗
2
2
22
尔定理.应选C.
对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可 导，因此应排除Ｄ.
综合之，本例应单选Ｃ.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，
f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( ).
弧两端点连线对应的纵坐标之差.
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
ba
由于f(x)在[a,b]上连续，因此 (x) 在[a,b]上连续.
由于f(x)在(a,b)内可导，因此 (x) 在(a,b)内可导. 又由于 (a) 0 (b), 因此(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少 存在一点 (a,b)，使 ( ) 0 ，即
不难发现 f (x) 1 ，在[－2,0]上不满足连续的 x
条件，因此应排除A.
对于f (x) (x 4)2，在[－2,4]上连续，在(－2,4)
内可导；f(－2)=36，f(4)=0，f (2) f (4)，因此
应排除B.
对于f (x) sin x，在[ 3 π, π]上连续, 在( 3 π, π)内
例如 f (x) (x 1)2 在[0,3]上不满足罗尔定理的条
件( f (0) f (3)), 但是存在 1(0,3) ，使 f (1) 0 .
三、拉格朗日中值定理
定理4.2 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
由拉格朗日定理可知，必定存在 (1,3), 使 f ( ) f (b) f (a) .
ba
由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(－1)=4,而f ( ) 4 1 .
因此有
4 1 16 4 3.
3 (1)
可解得 1 ，因此本例应选D.
例4 试证 | arctan b arctan a || b a |. 对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x),
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0 能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
ba
拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直
1
1
由于0 x，因此
进而知 即
1 1 1,
1 x 1
x x x,
1 Байду номын сангаас 1
x ln(1 x) x . 1 x
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利
用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明 不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
四、柯西中值定理
定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续， (2)在开区间(a,b)内都可导， (3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
f
(x0 )(x
x0 )
1 2!
f
(
x0
)(
x
x0 )2
1 n!
f
(n)
( x0
)( x
x0
)n
.
若用 Pn (x) 在点 x0 附近来逼近f(x)，有下列两个结论： (1)余项rn(x)=f (x)–Pn(x)是关于(x–x0)n的高阶无穷小，即
rn (x) o((x x0 )n ). (2)如果f(x)在(a,b)内有直至(n+1)阶导数，则rn(x)可以
事实上，对于(a,b)内的任意两点 x1, x2 ，由拉格朗 日中值定理可得
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) 0,
位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性
可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.
推论2 若在(a,b)内恒有 f (x) g(x) ，则有 f(x)=g(x)+C,
B. f (x) (x 4)2 , x [2,4]. C. f (x) sin x, x [ 3 π, π].
22 D. f (x) | x |, x [1,1].
分析 注意罗尔定理的条件有三个: (1)函数y=f(x) 在 [a,b]上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).
(arctan
x)
1
1 x
2
从而有
arctan b arctan a
1
1
2
(b a),
a
b.
由于1 2 1，因此
|
arctan b
arctan
a
|
1
1
2
|
b
a
||
b
a
|.
例5
当x>0时,试证不等式
1
x
x
ln(1
x)
x
.
分析 ln(1 x) ln(1 x) ln1
取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.
Pn (x0 ) a0， Pn(x0 ) 1 a1，Pn(x0 ) 2!a2， ，
Pn(n) (x0 ) n!an ,
可知
a0
f (x0 )，a1
f (x0 )，a2
1 2!
f
(
x0
),
，an
1 n!
f
(n) (x0 ),
从而得到由f(x)构造的n次多项式
Pn (x)
f
(x0 )
f (x0 x) f (x0 ) f ( )x, 其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x)x, 0 1
或
y f (x0 x)x, 0 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论： 推论1 若 f (x)在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必 为某常数.
使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
弦线的方程为 y f (a) f (b) f (a) (x a) . ba
作辅助函数
(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
ba
即可. ( x) 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线
第一节 微分中值定理
一、引理 二、罗尔定理 三、拉格朗日中值定理 四、柯西中值定理 五、泰勒公式
一、引理
引理 设f(x)在 x0 处可导,且在 x0 的某邻域内恒有 f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )), 则有 f (x0 ) 0 .
二、罗尔定理
定理4.1 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x. 证 设f(x)=arctan x ,不妨设a<b .
由于arctan x在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.
因此arctan x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件.
可知必定存在一点 (a,b) ,
使得 f (b) f (a) f ( )(b a) . 由于
上述近似公式有两点不足： 1. 精度往往不能满足实际需要；
2. 用它作近似计算时无法估计误差. 因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式. 在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望 能用多项式 Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 来近似表达函数f(x)，并使得当x x0 时， f (x) Pn (x) 为比 (x x0 )n高阶的无穷小,还希望能写出 f (x) Pn (x) 的具体表达式，以便能估计误差.
设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使 与f(x)尽可能相近，希望
Pn (x0 ) f (x0 ) (在x0处相等) Pn(x0 ) f (x0 ) (在x0处有相同的切线) Pn(x0 ) f (x0 ) (x0处两条曲线有相同的弯曲方向)
P(n) (x0 ) f (n) (x0 )
则至少存在一点 (a,b)，使f '( ) 0.
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：
若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧 上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个 端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点， 过该点的切线必定平行于x轴.
例如f(x)=|x|在[－1,1]上连续，且f(－1)=f(1)=1,但
是|x|在(－1,1)内有不可导的点，本例不存在 (1,1), 使f '( ) 0.
又如f(x)=x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，但是
f(0)=0，f(1)=1，本例不存在 (0,1) ，使 f ( ) 0 .
再如
f (x)
x,
0 x 1, f(x) 在(0,1)内可导，
0, x 1,
f(0)=0=f(1)，但是f(x)在[0,1]上不连续，本例不存在
(0,1), 使f ( ) 0.
还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必 要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定 理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.
22
22
可导,
f ( 3 π) 1 f (π).因此sin x在[ 3 π, π]上满足罗
2
2
22
尔定理.应选C.
对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可 导，因此应排除Ｄ.
综合之，本例应单选Ｃ.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，
f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( ).
弧两端点连线对应的纵坐标之差.
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
ba
由于f(x)在[a,b]上连续，因此 (x) 在[a,b]上连续.
由于f(x)在(a,b)内可导，因此 (x) 在(a,b)内可导. 又由于 (a) 0 (b), 因此(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少 存在一点 (a,b)，使 ( ) 0 ，即
不难发现 f (x) 1 ，在[－2,0]上不满足连续的 x
条件，因此应排除A.
对于f (x) (x 4)2，在[－2,4]上连续，在(－2,4)
内可导；f(－2)=36，f(4)=0，f (2) f (4)，因此
应排除B.
对于f (x) sin x，在[ 3 π, π]上连续, 在( 3 π, π)内
例如 f (x) (x 1)2 在[0,3]上不满足罗尔定理的条
件( f (0) f (3)), 但是存在 1(0,3) ，使 f (1) 0 .
三、拉格朗日中值定理
定理4.2 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
由拉格朗日定理可知，必定存在 (1,3), 使 f ( ) f (b) f (a) .
ba
由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(－1)=4,而f ( ) 4 1 .
因此有
4 1 16 4 3.
3 (1)
可解得 1 ，因此本例应选D.
例4 试证 | arctan b arctan a || b a |. 对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x),
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0 能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
ba
拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直
1
1
由于0 x，因此
进而知 即
1 1 1,
1 x 1
x x x,
1 Байду номын сангаас 1
x ln(1 x) x . 1 x
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利
用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明 不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
四、柯西中值定理
定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续， (2)在开区间(a,b)内都可导， (3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
f
(x0 )(x
x0 )
1 2!
f
(
x0
)(
x
x0 )2
1 n!
f
(n)
( x0
)( x
x0
)n
.
若用 Pn (x) 在点 x0 附近来逼近f(x)，有下列两个结论： (1)余项rn(x)=f (x)–Pn(x)是关于(x–x0)n的高阶无穷小，即
rn (x) o((x x0 )n ). (2)如果f(x)在(a,b)内有直至(n+1)阶导数，则rn(x)可以
事实上，对于(a,b)内的任意两点 x1, x2 ，由拉格朗 日中值定理可得
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) 0,
位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性
可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.
推论2 若在(a,b)内恒有 f (x) g(x) ，则有 f(x)=g(x)+C,
B. f (x) (x 4)2 , x [2,4]. C. f (x) sin x, x [ 3 π, π].
22 D. f (x) | x |, x [1,1].
分析 注意罗尔定理的条件有三个: (1)函数y=f(x) 在 [a,b]上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).
(arctan
x)
1
1 x
2
从而有
arctan b arctan a
1
1
2
(b a),
a
b.
由于1 2 1，因此
|
arctan b
arctan
a
|
1
1
2
|
b
a
||
b
a
|.
例5
当x>0时,试证不等式
1
x
x
ln(1
x)
x
.
分析 ln(1 x) ln(1 x) ln1
取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.
Pn (x0 ) a0， Pn(x0 ) 1 a1，Pn(x0 ) 2!a2， ，
Pn(n) (x0 ) n!an ,
可知
a0
f (x0 )，a1
f (x0 )，a2
1 2!
f
(
x0
),
，an
1 n!
f
(n) (x0 ),
从而得到由f(x)构造的n次多项式
Pn (x)
f
(x0 )
f (x0 x) f (x0 ) f ( )x, 其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x)x, 0 1
或
y f (x0 x)x, 0 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论： 推论1 若 f (x)在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必 为某常数.