罗尔定理 PPT课件
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Pn (x0 ) a0， Pn(x0 ) 1 a1，Pn(x0 ) 2!a2， ，
Pn(n) (x0 ) n!an ,
可知
a0
f (x0 )，a1
f (x0 )，a2
1 2!
f
(
x0
),
，an
1 n!
f
(n) (x0 ),
从而得到由f(x)构造的n次多项式
Pn (x)
f
(x0 )
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x),
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0 能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
ba
拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直
不难发现 f (x) 1 ，在[－2,0]上不满足连续的 x
条件，因此应排除A.
对于f (x) (x 4)2，在[－2,4]上连续，在(－2,4)
内可导；f(－2)=36，f(4)=0，f (2) f (4)，因此
应排除B.
对于f (x) sin x，在[ 3 π, π]上连续, 在( 3 π, π)内
f
(x0 )(x
x0 )
1 2!
f
(
x0
)(
x
x0 )2
1 n!
f
(n)
( x0
)( x
x0
)n
.
若用 Pn (x) 在点 x0 附近来逼近f(x)，有下列两个结论： (1)余项rn(x)=f (x)–Pn(x)是关于(x–x0)n的高阶无穷小，即
rn (x) o((x x0 )n ). (2)如果f(x)在(a,b)内有直至(n+1)阶导数，则rn(x)可以
则至少存在一点 (a,b)，使f '( ) 0.
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：
若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧 上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个 端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点， 过该点的切线必定平行于x轴.
则至少存在一点 (a,b)，使 f ( ) f (b) f (a) . g( ) g(b) g(a)
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
五、泰勒公式
由微分的概念知道，如果y=f(x)在点 x0 处可导， 则有 y dy o(x)，即
例如 f (x) (x 1)2 在[0,3]上不满足罗尔定理的条
件( f (0) f (3)), 但是存在 1(0,3) ，使 f (1) 0 .
三、拉格朗日中值定理
定理4.2 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
例如f(x)=|x|在[－1,1]上连续，且f(－1)=f(1)=1,但
是|x|在(－1,1)内有不可导的点，本例不存在 (1,1), 使f '( ) 0.
又如f(x)=x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，但是
f(0)=0，f(1)=1，本例不存在 (0,1) ，使 f ( ) 0 .
B. f (x) (x 4)2 , x [2,4]. C. f (x) sin x, x [ 3 π, π].
22 D. f (x) | x |, x [1,1].
分析 注意罗尔定理的条件有三个: (1)函数y=f(x) 在 [a,b]上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).
设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使 与f(x)尽可能相近，希望
Pn (x0 ) f (x0 ) (在x0处相等) Pn(x0 ) f (x0 ) (在x0处有相同的切线) Pn(x0 ) f (x0 ) (x0处两条曲线有相同的弯曲方向)
P(n) (x0 ) f (n) (x0 )
上述近似公式有两点不足： 1. 精度往往不能满足实际需要；
2. 用它作近似计算时无法估计误差. 因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式. 在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望 能用多项式 Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 来近似表达函数f(x)，并使得当x x0 时， f (x) Pn (x) 为比 (x x0 )n高阶的无穷小,还希望能写出 f (x) Pn (x) 的具体表达式，以便能估计误差.
其中C为某常数. 事实上，由已知条件及导数运算性质可得 [ f (x) g(x)] f (x) g(x) 0.
由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.
例1 选择题.选出符合题意的选项. 下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有
( ).
A. f (x) 1 , x [2,0]. x
1
1
由于0 x，因此
进而知 即
1 1 1,
1 x 1
x x x,
1 x 1
x ln(1 x) x . 1 x
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利
用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明 不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
四、柯西中值定理
定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续， (2)在开区间(a,b)内都可导， (3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
弧两端点连线对应的纵坐标之差.
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
ba
由于f(x)在[a,b]上连续，因此 (x) 在[a,b]上连续.
由于f(x)在(a,b)内可导，因此 (x) 在(a,b)内可导. 又由于 (a) 0 (b), 因此(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少 存在一点 (a,b)，使 ( ) 0 ，即
由拉格朗日定理可知，必定存在 (1,3), 使 f ( ) f (b) f (a) .
ba
由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(－1)=4,而f ( ) 4 1 .
因此有
4 1 16 4 3.
3 (1)
可解得 1 ，因此本例应选D.
例4 试证 | arctan b arctan a || b a |. 对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变
再如
f (x)
x,
0 x 1, f(x) 在(0,1)内可导，
0, x 1,
f(0)=0=f(1)，但是f(x)在[0,1]上不连续，本例不存在
(0,1), 使f ( ) 0.
还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必 要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定 理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.
f ( ) f (b) f (a) 0,
ba
从而有f ( ) f (b) f (a) ，或表示为
ba
f (b) f (a) f ( )(b a).
上述结论对b<a也成立.
如果f(x)在(a,b)内可导，x0 (a,b), x0 x (a,b), 则 在以 x0与x0 x为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日 中值定理，即
表示为
rn (x)
f (n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
)n
1,
其中在x0与x之间.
综上所述，可以描述为：
泰勒公式Ⅰ 设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有直 至n阶导数，则当 x (a,b) 时有
f
(x)
事实上，对于(a,b)内的任意两点 x1, x2 ，由拉格朗 日中值定理可得
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) 0,
位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性
可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.
推论2 若在(a,b)内恒有 f (x) g(x) ，则有 f(x)=g(x)+C,
则f(t)=ln(1+t) 在区间[0,x]上满足拉格朗日中值
定理，因此必有一点 (0, x) 使得.
f (x) f (0) f '( )x.
f (t) ln(1 t)，f '(t) 1 ，f '( ) 1 ,
1 t
1
ln(1 x) ln1 1 [(1 x) 1] x ,
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) o(x x0 ) 因此当| x x0 | 很小时，有近似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) . 从几何上看，上述表达式可以解释为:在点x0的附 近用曲线y=f(x)在点 (x0, f (x0 ))处的切线来代替曲线 y=f(x).(简言之，在点x0附近，用切线近似曲线.)
例3 选择题.函数 f (x) 2x2 x 1在区间[－1,3]上满
足拉格朗日中值定理的 =( ).
A. 3; B. 0; C. 3; D. 1 . 4
分析 由于 f (x) 2x2 x 1在[－1,3]上连续，在(－1,3) 内可导，因此f(x)在[－1,3]上满足拉格朗日中值 定理条件.
(arctan
x)
1
1 x
2
从而有
arctan b arctan a
1
1
2
(b a),
a
b.
由于1 2 1，因此
|
arctan b
arctan
a
|
1
1
2
|
b
a
||
b
a
|.
例5
当x>0时,试证不等式
1
x
x
ln(1
x)
x
.
分析 ln(1 x) ln(1 x) ln1
取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.
A.仅有一条；
B.至少有一条；
C.不一定存在；
D.不存在.
分析 由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在[a,b]上
满足罗尔定理条件，可知至少存在一点 (a,b), 使得 f ( ) 0.
又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在 ( , f ( ))
处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本
例应选B.
22
22
可导,
f ( 3 π) 1 f (π).因此sin x在[ 3 π, π]上满足罗
2
2
22
尔定理.应选C.
对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可 导，因此应排除Ｄ.
综合之，本例应单选Ｃ.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，
f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( ).
于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 ( , f ( )),
使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
弦线的方程为 y f (a) f (b) f (a) (x a) . ba
作辅助函数
(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
ba
即可. ( x) 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线
f (x0 x) f (x0 ) f ( )x, 其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x)x, 0 1
或
y f (x0 x)x, 0 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论： 推论1 若 f (x)在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必 为某常数.
量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x. 证 设f(x)=arctan x ,不妨设a<b .
由于arctan x在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.
因此arctan x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件.
可知必定存在一点 (a,b) ,
使得 f (b) f (a) f ( )(b a) . 由于
第一节 微分中值定理
一、引理 二、罗尔定理 三、拉格朗日中值定理 四、柯西中值定理 五、泰勒公式
一、引理
引理 设f(x)在 x0 处可导,且在 x0 的某邻域内恒有 f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )), 则有 f (x0 ) 0 .
二、罗尔定理
定理4.1 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
Pn(n) (x0 ) n!an ,
可知
a0
f (x0 )，a1
f (x0 )，a2
1 2!
f
(
x0
),
，an
1 n!
f
(n) (x0 ),
从而得到由f(x)构造的n次多项式
Pn (x)
f
(x0 )
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x),
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0 能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
ba
拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直
不难发现 f (x) 1 ，在[－2,0]上不满足连续的 x
条件，因此应排除A.
对于f (x) (x 4)2，在[－2,4]上连续，在(－2,4)
内可导；f(－2)=36，f(4)=0，f (2) f (4)，因此
应排除B.
对于f (x) sin x，在[ 3 π, π]上连续, 在( 3 π, π)内
f
(x0 )(x
x0 )
1 2!
f
(
x0
)(
x
x0 )2
1 n!
f
(n)
( x0
)( x
x0
)n
.
若用 Pn (x) 在点 x0 附近来逼近f(x)，有下列两个结论： (1)余项rn(x)=f (x)–Pn(x)是关于(x–x0)n的高阶无穷小，即
rn (x) o((x x0 )n ). (2)如果f(x)在(a,b)内有直至(n+1)阶导数，则rn(x)可以
则至少存在一点 (a,b)，使f '( ) 0.
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：
若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧 上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个 端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点， 过该点的切线必定平行于x轴.
则至少存在一点 (a,b)，使 f ( ) f (b) f (a) . g( ) g(b) g(a)
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
五、泰勒公式
由微分的概念知道，如果y=f(x)在点 x0 处可导， 则有 y dy o(x)，即
例如 f (x) (x 1)2 在[0,3]上不满足罗尔定理的条
件( f (0) f (3)), 但是存在 1(0,3) ，使 f (1) 0 .
三、拉格朗日中值定理
定理4.2 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
例如f(x)=|x|在[－1,1]上连续，且f(－1)=f(1)=1,但
是|x|在(－1,1)内有不可导的点，本例不存在 (1,1), 使f '( ) 0.
又如f(x)=x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，但是
f(0)=0，f(1)=1，本例不存在 (0,1) ，使 f ( ) 0 .
B. f (x) (x 4)2 , x [2,4]. C. f (x) sin x, x [ 3 π, π].
22 D. f (x) | x |, x [1,1].
分析 注意罗尔定理的条件有三个: (1)函数y=f(x) 在 [a,b]上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).
设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使 与f(x)尽可能相近，希望
Pn (x0 ) f (x0 ) (在x0处相等) Pn(x0 ) f (x0 ) (在x0处有相同的切线) Pn(x0 ) f (x0 ) (x0处两条曲线有相同的弯曲方向)
P(n) (x0 ) f (n) (x0 )
上述近似公式有两点不足： 1. 精度往往不能满足实际需要；
2. 用它作近似计算时无法估计误差. 因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式. 在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望 能用多项式 Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 来近似表达函数f(x)，并使得当x x0 时， f (x) Pn (x) 为比 (x x0 )n高阶的无穷小,还希望能写出 f (x) Pn (x) 的具体表达式，以便能估计误差.
其中C为某常数. 事实上，由已知条件及导数运算性质可得 [ f (x) g(x)] f (x) g(x) 0.
由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.
例1 选择题.选出符合题意的选项. 下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有
( ).
A. f (x) 1 , x [2,0]. x
1
1
由于0 x，因此
进而知 即
1 1 1,
1 x 1
x x x,
1 x 1
x ln(1 x) x . 1 x
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利
用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明 不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
四、柯西中值定理
定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续， (2)在开区间(a,b)内都可导， (3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
弧两端点连线对应的纵坐标之差.
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
ba
由于f(x)在[a,b]上连续，因此 (x) 在[a,b]上连续.
由于f(x)在(a,b)内可导，因此 (x) 在(a,b)内可导. 又由于 (a) 0 (b), 因此(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少 存在一点 (a,b)，使 ( ) 0 ，即
由拉格朗日定理可知，必定存在 (1,3), 使 f ( ) f (b) f (a) .
ba
由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(－1)=4,而f ( ) 4 1 .
因此有
4 1 16 4 3.
3 (1)
可解得 1 ，因此本例应选D.
例4 试证 | arctan b arctan a || b a |. 对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变
再如
f (x)
x,
0 x 1, f(x) 在(0,1)内可导，
0, x 1,
f(0)=0=f(1)，但是f(x)在[0,1]上不连续，本例不存在
(0,1), 使f ( ) 0.
还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必 要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定 理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.
f ( ) f (b) f (a) 0,
ba
从而有f ( ) f (b) f (a) ，或表示为
ba
f (b) f (a) f ( )(b a).
上述结论对b<a也成立.
如果f(x)在(a,b)内可导，x0 (a,b), x0 x (a,b), 则 在以 x0与x0 x为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日 中值定理，即
表示为
rn (x)
f (n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
)n
1,
其中在x0与x之间.
综上所述，可以描述为：
泰勒公式Ⅰ 设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有直 至n阶导数，则当 x (a,b) 时有
f
(x)
事实上，对于(a,b)内的任意两点 x1, x2 ，由拉格朗 日中值定理可得
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) 0,
位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性
可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.
推论2 若在(a,b)内恒有 f (x) g(x) ，则有 f(x)=g(x)+C,
则f(t)=ln(1+t) 在区间[0,x]上满足拉格朗日中值
定理，因此必有一点 (0, x) 使得.
f (x) f (0) f '( )x.
f (t) ln(1 t)，f '(t) 1 ，f '( ) 1 ,
1 t
1
ln(1 x) ln1 1 [(1 x) 1] x ,
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) o(x x0 ) 因此当| x x0 | 很小时，有近似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) . 从几何上看，上述表达式可以解释为:在点x0的附 近用曲线y=f(x)在点 (x0, f (x0 ))处的切线来代替曲线 y=f(x).(简言之，在点x0附近，用切线近似曲线.)
例3 选择题.函数 f (x) 2x2 x 1在区间[－1,3]上满
足拉格朗日中值定理的 =( ).
A. 3; B. 0; C. 3; D. 1 . 4
分析 由于 f (x) 2x2 x 1在[－1,3]上连续，在(－1,3) 内可导，因此f(x)在[－1,3]上满足拉格朗日中值 定理条件.
(arctan
x)
1
1 x
2
从而有
arctan b arctan a
1
1
2
(b a),
a
b.
由于1 2 1，因此
|
arctan b
arctan
a
|
1
1
2
|
b
a
||
b
a
|.
例5
当x>0时,试证不等式
1
x
x
ln(1
x)
x
.
分析 ln(1 x) ln(1 x) ln1
取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.
A.仅有一条；
B.至少有一条；
C.不一定存在；
D.不存在.
分析 由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在[a,b]上
满足罗尔定理条件，可知至少存在一点 (a,b), 使得 f ( ) 0.
又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在 ( , f ( ))
处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本
例应选B.
22
22
可导,
f ( 3 π) 1 f (π).因此sin x在[ 3 π, π]上满足罗
2
2
22
尔定理.应选C.
对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可 导，因此应排除Ｄ.
综合之，本例应单选Ｃ.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，
f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( ).
于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 ( , f ( )),
使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
弦线的方程为 y f (a) f (b) f (a) (x a) . ba
作辅助函数
(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
ba
即可. ( x) 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线
f (x0 x) f (x0 ) f ( )x, 其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x)x, 0 1
或
y f (x0 x)x, 0 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论： 推论1 若 f (x)在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必 为某常数.
量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x. 证 设f(x)=arctan x ,不妨设a<b .
由于arctan x在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.
因此arctan x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件.
可知必定存在一点 (a,b) ,
使得 f (b) f (a) f ( )(b a) . 由于
第一节 微分中值定理
一、引理 二、罗尔定理 三、拉格朗日中值定理 四、柯西中值定理 五、泰勒公式
一、引理
引理 设f(x)在 x0 处可导,且在 x0 的某邻域内恒有 f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )), 则有 f (x0 ) 0 .
二、罗尔定理
定理4.1 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),