中考数学中的探究性问题动态几何(终审稿)

中考数学中的探究性问

题动态几何

Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

中考数学中的《探究性问题——动态几何》

动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查

学生的综合分析和解决问题的能力。

有关动态几何的概念，在很多资料上有说明，但是没有一个统一的定义，在这里就不在赘述了。本人只是用2005 年的部分中考数学试题加以说明。

一、知识网络

《动态几何》涉及的几种情况动点问题?

动线问题动形问题?

?

二、例题经典

1.【05 重庆课改】如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1 个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B

开始在线段BA 上以每秒2 个单位长度的速度向点A 移动,设点P、Q 移动的时间为t 秒．

(1) 求直线AB 的解析式；

y

(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似

24

A

(3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为

个平方单位

5

P Q

【解】（１）设直线AB 的解析式为y＝k x＋b 由题意，得b＝6

8k＋b＝0

3

解得k＝－b＝6

4

3

所以，直线AB 的解析式为y＝－x＋6．

4

（２）由AO＝6，BO＝8 得AB＝10

所以AP＝t ，AQ＝10－2t

1°当∠APQ＝∠AOB 时，△APQ∽△AOB．

t 10 2t 30

所以＝解得t＝

(秒)

6 10 11

2°当∠AQP＝∠AOB 时，△AQP∽△AOB．

t 10 2t 50

所以＝解得t＝

10 6 13

(秒) （３）过点Q 作QE 垂直AO 于点E．

BO 4

在Rt△AOB 中，Sin∠BAO＝

＝

AB

5 O

y

y

A

P Q

O

A

Q

y

B

B

B

x

x

x

P

O

A

x P Q

E

O

在Rt△AEQ 中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·

1 1

所以，S AP·QE＝t·(8－

△APQ

＝2

2

4 24

＝－ 2

t＋4t＝

5 5

解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．

8

5

t)

4

5

＝8－

8

5

t

2.【05 青岛】如图，在矩形ABCD 中，AB＝6 米，BC＝8 米，动点P 以2 米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1 米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P、Q 两点移动t 秒（0

（1）求面积S 与时间t 的关系式；

（2）在P、Q 两点移动的过程中，四边形ABQP 与△CPQ 的面积能否相等若能，求出此时点P 的位置；若不能，请说明理由。

【解】（1）过点P 作PE⊥BC于E

RtABC中，AC =AB2 +BC2 =62 +82 =10（米）

由题意知：AP =2t，CQ =t，则PC =10 2t

由AB⊥BC，PE⊥ΒC得PE / /AB ∴PE =

PC

AB AC

即：PE t ，PE t t

=

10 2 3 10 2 6

∴=( ) =+6

?

6 10 5 5

=1 ××=

又QS

ABC

6 8 24

2

24 1 6 3

ABC PCQ

6

∴S=S S=t(t+) =t3t+24

2

2 5 5

即：S =3 t t +

2 3 24

5

（2）假设四边形ABQP与CPQ的面积相等，则有： 3

5 t 3t +24 =12 2

即：t2 5t +20 =0 Q b2 4ac =(5)2 4 ×1×20 <0

∴方程无实根

∴在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与CPQ的面积不能相等。

3.【05乌鲁木齐】四边形OABC

是等腰梯形，OA∥BC。在建立如图的

平面直角坐标系中，A （4，0），B（3，

2），点M 从O 点以每秒2 单位的速度

向终点A 运动；同时点N 从B 点出发

以每秒1 个单位的速度向终点C 运动，

过点N 作NP 垂直于x 轴于P 点连结

A C 交NP 于Q，连结MQ。（1）写出C

点的坐标；

（2）若动点N 运动t 秒，求Q 点的坐

标（用含t 的式子表示

（3）其△AMQ 的面积S 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围。（4）当t 取何值时，△AMQ 的面积最大；（5）当t 为何值时，△AMQ 为等腰三

角形。

【解】（1）C（1，2）

（2）过C 作CE⊥x 轴于E，则CE＝2

当动点N 运动t 秒时，NB＝t ∴点Q 的横坐标为3—t|

y 1

Q+t

设Q 点的纵坐标为y Q 由PQ∥CE 得 3

=∴

2 y

Q

=2 2t

+

3

2 2

+t

∴点Q（3 ,

t）

3

（3）点M 以每秒2 个单位运动，∴OM＝2t，AM＝4—2t

1 1

2 2t 2 2 2

+