专题67 几何概型的方法破析-高考数学80个热点难点吃透大全

专题67 几何概型的方法破析
考纲要求:
(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.
(2)了解几何概型的意义.
基础知识回顾:
一、几何概型
1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．特点：(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．
二、几何概型的概率公式：P(A)＝
构成事件A的区域长度角度
试验全部结果所构成的区域长度角度
应用举例:
类型一、与长度角度有关的几何概型
例1、甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①，“C为弧AB的中点”)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC时甲胜，指向圆弧BC时乙胜．后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD，取AD中点E，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE时甲胜，指向线段ED时乙胜．然后继续游戏，你觉得此时游戏还公平吗？
答案：________，因为P甲________P乙(填“<”，“>”或“＝”)．
【答案】不公平
例2【2018届福建省闽侯第四中学高三上期中】已知，是上的两个随机数，则到点的距离大于其到直线x=-1的距离的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
例3【2018届广西桂林市第十八中学高三上第三次月考】若在上任取实数，则的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴的概率为
故选：A.
点评：求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．类型二、与体积有关的几何概型
例4、在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机抽取一点，则该点在三棱锥A1-ABC内的概率是________．
【答案】
【解析】由题意可知，为几何概型的体积比，不妨设正方体的棱长为1，所以概率
.填
.
例5、一个球形容器的半径为，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取水含有感冒病毒的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
例6【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】在球内任取一点，则点在球的内接正四面体中的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
类型三、与面积有关的几何概型
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有：
(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题．
例7【2017届黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高三第三次模拟】如图，四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也为正方形，连接，，则向多边形
中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
(2)与线性规划知识交汇命题的问题．
例8【2017届黑龙江省齐齐哈尔市高三上第一次模拟】已知点满足则其满足“”的槪率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题． 例9、已知P 是△ABC 所在平面内一点，
PB
→
＋PC
→
＋2PA
→
＝0.现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )
A.14
B.13
C.23
D.12
解析：由题意知点P 位于BC 边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC 内为事件D ，则P (D )＝ABC P 三角形三角形S S BC ＝1
2
.
(4)与定积分交汇命题问题．
例10【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设是由轴，直线 和曲线
围成的曲边三角形区域，集合 ，若向区域上随机投一点，点落在区域
内的概率为，则实数的值是( )
A.
B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1=1，区域A即曲边三角形的面积为
，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则有，解可
得，，故选D．
点评：
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区
域，通用公式：P(A)＝构成事件A的区域的测度
试验的全部结果所组成的区域的测度
.方法、规律归纳:
1、与长度角度有关的几何概型的公式：P(A)＝构成事件A的区域长度角度
试验全部结果所构成的区域长度角度
2、与体积有关的几何概型的公式：P(A)＝
构成事件A的区域体积
试验全部结果所构成的区域体积
.
实战演练:
1.【2018届衡水11月联考】如图所示是油罐车的轴截面图形，在此图形中任取一点，则此点取自中间矩形部分的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
2.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】在区间上随机取一个的值，执行如下的程序框图，则输出的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由条件知，当0≤x≤6，2x﹣1≥3，解得2≤x≤6；当6＜x≤8时，，无解，
∴输出的y≥3的概率为.
3.【2018届甘肃省兰州第一中学高三上学期第二次月考】《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
4.【2017届云南省红河州高三毕业生复习统一检测】在区间上任取两个实数，则函数
在区间没有零点的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
5.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方
图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
6.【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底】《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设水深为尺，则，解得，即水深12尺.又葭长13尺，则所求概率,
故选B.
7.点是区域内的任意一点，则使函数在区间上是增函数的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
8.【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】设是圆上任意一点，定点，则
的概率是__________．
【答案】
【解析】由得 ,因此的概率是
9．【2018届江苏省南通中学高三10月月考】记函数定义域为，在区间上随机取一个数，则的概率是_______.
【答案】
【解析】函数有意义，则：，求解对数不等式可得：，
结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：.
10．【2018届湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上学期第二次月考】记抛物线与圆所围成的封闭图形为区域则从圆中随机选取一点恰好的概率为
______________.
【答案】
11．【2017届广西省高三上诊断性联考】若从上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于4的概率为__________．
【答案】
【解析】由已知可得所求的概率为 .
12．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注
文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用勾股（股勾）朱实黄实弦实，化简，得，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为__________．
【答案】134。