费马小定理数论的证明方法

费马小定理数论的证明方法

2007年12月28日星期五 01:29 P.M.

费马小定理数论的证明方法

Mod的简单介绍 (Congruence) a=b(mod m) a和b除以m以后有相同的余数

不失一般性地另a>b 则a=km+b比如7=1 mod 2 9=4 mod 5

简单的Congruence 计算

如果a=b mod m c=d mod m 则a=km+b c=tm+d

直接可推出 a+b=c+d (mod m) a-b=c-d (mod m) ab=cd (mod m)

并且可得存在正整数c 使得ac=bc (mod mc) 当然ac=bc(mod m)

费马小定理如果a,p互质且q是质数则a^(p-1)=1 (mod p)

考虑数列An= a,2a,3a,4a…… (p-1)a

假设An中有2项ma, na 被p除以后的余数是相同的.那么必然有ma=na (mod p)

即a(m-n)=0(mod p) 由于a和p互质,所以m-n=0(mod p) 但是m,n属于集合{1,2,3..p-1} 且m不等于n,所以m-n不可能是p的倍数.和假设产生矛盾所以An中任意2项被p除

得到的余数都是不同的, 并且对于任一个整数被p除以后的余数最多有p-1个,分别是

1,2,3,….p-1 而数列An中恰好有p-1个数,所以数列中的数被p除以后的余数一定正好包含所有的1,2,3,4,5…. p-1 由此我们可以用Congruence的乘法性质,

a*2a*3a*…(p-1)a=1*2*3*4..*(p-1) (mod p)

对两边进行化简,即可以得到a^(p-1)=1 (mod p)

Euler’s Totient function

定义o(n)是所有比n小且和n互质的数的总数(包括1) 例如o(5)=4 o(10)=8

我们发现引入这个以后费马小定理可以改写为a^o(p)=1 (mod p)

事实上,这个结论对所有的正整数n都成立即a^o(n)=1 (mod n)

证明过程其实和前面的证明类同.只需考虑数列An=b1*a,b2*a,b3*a…bo(n)*a

其中数列b1,b2…bo(n) 表示比n小且和n互质的数.其余证明皆相似

掌握了a^o(n)=1 (mod n)以后,最后一个问题就是如何计算o(n)

显然n是质数时 o(n)=n-1

n=p^k, p为质数,k为非负整数时 o(n)=p^k-p^(k-1)

因为只有p,2p,3p..p^(k-1)p这些和p^k有共因数.这里面共有p^(k-1)个数

所以o(p^k)=p^k-p^(k-1)

最后证明o(mn)=o(m)*o(n)当m,n互质时

考虑数列Am A1,A2,A3…Ao(m) 数列Bn B1,B2,B3…Bo(n)

因为m,n互质所以我们总能找到c,d使得cm=1 (mod n) dn=1 (mod m)

考虑Emn=Am*dn+Bn*cm

这里显然cm能被m 整除, 所以Emn=Am*dn(mod m)=Am (mod m)

所以Emn和m互质同样可以证明Emn和n互质

所以Emn和mn也互质

而对于Emn

如果Emn>mn 我们可以通过减去k倍的mn(不影响其性质),同样得到比mn小和mn互质的整数并且如果Am, Bn变换时Emn也会变换而Am,Bn总共变化可以有o(m)*o(n)种

所以o(mn)=o(m)o(n)