2020届全国大联考高三联考数学(理)试题

2020届全国大联考高三联考数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数552i z i i -=

-，则z =（ ）

A B ．C ．D ．

2．设集合{|{|19}A x y B x x ==

=<≤，则()A B =R （ ） A ．(1,3) B ．(3,9) C ．[3,9] D ．∅

3．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）

A ．6.25%

B ．7.5%

C ．10.25%

D ．31.25% 5．已知2

1

532121,,log 353a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<

C ．c a b <<

D ．b c a << 6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数

()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）

A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭

Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭

Z

7．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩

且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值

范围是（ ）

A ．[1,)-+∞

B ．(,1]-∞-

C ．(1,)-+∞

D ．(,1)-∞-

8．过双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，

若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A

B

C ．2 D

9．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，

液面以上空余部分的高为2h ，则12

h h =（ ）

A ．21r r

B ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭

D

10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是

A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦

B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦

C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

D ．[]0,1

11．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）

A

．8 B

．6 C

．8 D

．6

12．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝

⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭

二、填空题 13．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则94

S a =______. 14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB =，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()

CB CA AD -⋅=______. 15．已知圆22 : 4O x y +=，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，()2,2A ，若2240AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为___________.

三、双空题

16．()6

2122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______.

四、解答题

17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =． ()1求C ；

()2若2a =，求，ABC 的面积ABC

S

18．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.

（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.

（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.

（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；

（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围. 可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=.

19．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边6AB =，214F F =，D ，C 是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿CE ，DE 将四边形1BCEF 和2ADEF 折起，使1F ，2F 重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M ，N 分别为CD ，EF 的中点.

（1）证明：MN ⊥平面ABCD .

（2）求直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值.

20．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12

，P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F △的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线2,AP QF 交于点M .

（1）求椭圆方程；

（2）若直线2PF 与椭圆交于另一点N ，且224AF M AF N S S =△△，求点P 的坐标.

21．设函数()1f x x x

=-，()ln g x t x =，其中()0,1x ∈，t 为正实数.