2020届全国大联考高三联考数学(理)试题
全国大联评2020届高三第一次大联考数学(理)试卷 Word版含答案
全国大联评2020届高三第一次大联考理科数学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|1}A x y x ==-和集合2{|}B y y x ==，则A B I 等于（ ） A ．{}(0,1),(1,0) B ．[0,)+∞ C ．[1,1]- D ．[0,1]2．已知x R ∈，复数11i z x =+，22i z =-，若12z z ⋅为纯虚数，则实数x 的值为（ ） A ．2- B ．12-C ．2或12- D ．1 3．如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高条形图，阴影部分的高表示参加社团的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为600人（所有学生都参加了调查），现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取45人，则抽取的高二学生人数为（ ）A.9B.18C.27D.364．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，则5S =（ ） A ．1123 B ．112 C ．12127D ．121 5．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．若“p q ∧”为假命题，则“p q ∨”为假命题B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“若1x >，则11x<”的逆否命题为真命题 D ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤”6．已知直线240x y +-=经过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点2F ，且与椭圆在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，1F 是椭圆的左焦点，且1||||AB AF =，则椭圆的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y += C ．221106x y += D ．2215x y +=7．为了得到函数cos 2y x =的图象，可以将函数sin(2)4y x π=+的图象（ ）A ．向左移4π个单位 B ．向左移8π个单位 C ．向右移4π个单位D ． 向右移8π个单位8．如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该多 面体的侧面最大面的面积为（ ）A ．B ． CD ．29. 设20201202020192019,2019log ,2020log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A.c b a >>B.b c a >>C.b a c >>D. a b c >>10．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在(0,1)上恰有一个极值点和一个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．3(,]2ππ B ．3[,)2ππ C ． (,]2ππ D ． [,)2ππ 11．已知O 为ABC ∆的外心，若2AO BC BC ⋅=u u u r u u u r u u u r ，则ABC ∆为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定12．过双曲线22221xy a b-=（0a b >>）右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=u u u r u u u r ，O 为坐标原点，且OAB ∆内切圆半径为12a ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 1 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020届全国大联考高三联考数学(理)试题(解析版)
2020届全国大联考高三联考数学（理）试题一、单选题 1．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z 【详解】55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故||z ==故选：B 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.2．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则()A B =R I ð（ ）A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅【答案】A【解析】求函数定义域求得集合A ，由此求得()R A B ⋂ð. 【详解】因为{|3}A x x =≥，所以()(1,3)R A B ⋂=ð. 故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题.3．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2230q q --=，运算即可得解.【详解】解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 5．已知21532121,,log 353a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C【解析】加入0和1这两个中间量进行大小比较，其中2510()13<<，132()15->，21log 03<，则可得结论.【详解】205110()()133<<=Q ，10322()()155->=， 221log log 103<=， c a b ∴<<.故选：C. 【点睛】本题考查了指数幂，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问题，其中选择中间量0和1是解题的关键，属于基础题.6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为07．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=u u u v u u u v，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B 3C ．2D 5【答案】C【解析】由0FA FB +=u u u r u u u r 得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可 【详解】因为0FA FB +=u u u r u u u r，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 9．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 【答案】B【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x-的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-Q ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-Q 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤Q 对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.11．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．B C D 【答案】A【解析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r .因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =.因为321OD OC CD =-=-=，所以221131(4)8DMr =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689R QB a r ==+=. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题12．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U【答案】C【解析】()f x 恰有两个极值点，则()0f x ¢=恰有两个不同的解，求出()f x ¢可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,+?，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以()0f x ¢=恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在()0,+?上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、填空题13．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则94S a =______. 【答案】18【解析】先由712a a =-，可得12a d =-，再结合等差数列的前n 项和公式求解即可. 【详解】解：因为711+62a a d a ==-，所以12a d =-，()19544194992183a d S a d a a a d d+⨯====+. 故答案为：18. 【点睛】本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前n 项和公式，属基础题. 14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB =，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=u u u v u u u v u u u v______.【答案】14425【解析】先由等面积法求得AD ，利用向量几何意义求解即可. 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥， 所以()214425CB CA AD AB AD AD -⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故答案为：14425【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.15．()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______. 【答案】3 -260【解析】(1)令1x =求得所有项的系数和； (2)先求出612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含21x 的系数，再求()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项. 【详解】将1x =代入()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，得所有项的系数和为3.因为的展开式中含21x 的项为()424621602C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含常数项()333612160C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60320260-=-.故答案为：3； -260 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题. 16．已知圆22:4O x y +=，直线l 与圆O 交于,P Q 两点，(2,2)A ，若22||||40AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为_______.【答案】【解析】设(,)M x y 为PQ 的中点，根据弦长公式，只需||OM 最小，在,APM AQMV V中，根据余弦定理将22||,||AP AQ 表示出来，由AMP AMQ π∠+∠=，得到2222||||2||2||AP AQ AM MQ +=+，结合弦长公式得到22||||16AM OM -=，求出点M 的轨迹方程，即可求解. 【详解】设(,)M x y 为PQ 的中点，在APM △中，222||||||2||||cos AP AM MP AM MP AMP =+-∠，① 在AQM V 中，222||||||2||||cos AQ AM MQ AM MQ AMQ =+-∠，②,cos cos 0AMP AMQ AMP AMQ π∠+∠=∴∠+∠=Q①+②得2222222||||2||||||2||2||AP AQ AM MP MQ AM MQ +=+=++， 即()222402||2||||AM OQ OM =+-，2220||4||AM OM =+-，22||||16AM OM -=.()2222(2)(2)16x y x y -+--+=，得20x y ++=.所以min ||22OM ==，max ||22PQ =. 故答案为：22.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、相交弦长的最值，解题的关键求出点M 的轨迹方程，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =．()1求C ；()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V【答案】(1) 12π．(2)． 【解析】()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】() 1Q 由已知可得ccosB bsinC =，又由正弦定理b csinB sinC=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈Q ，4B π∴=，2221cosA cos A cos A ==-Q ，即2210cos A cosA --=，又()0,A π∈，12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π=，12C A B ππ∴=--=．()223A π=Q ，4B π=，2a =， ∴由正弦定理a bsinA sinB=，可得22a sinBb sinA ⋅===()1sin 22224sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=+-⨯=⎪⎝⎭Q ，11222ABC S absinC ∴==⨯=V ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围.可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=. 【答案】(1)60%；(2) （i ）0.12 （ii ） 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i ）利用二项分布求解；（ii ）甲、乙两市上线人数分别记为X ，Y ，得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）（i ）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.（ii ）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ， 依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市， 所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23p ≥， 又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.19．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边6AB =，214F F =，D ，C 是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿CE ，DE 将四边形1BCEF 和2ADEF 折起，使1F ，2F 重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M ，N 分别为CD ，EF 的中点.（1）证明：MN ⊥平面ABCD .（2）求直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）23【解析】(1)先证CN EF ⊥，再证DN EF ⊥，由EF BC ∥可得BC ⊥平面CDN ，从而推出MN ⊥平面ABCD ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量与CN u u u r，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.【详解】（1）证明：连接CF ，DN ，由图1知，四边形BCEF 为菱形，且60CEF ∠=︒， 所以CEF ∆是正三角形，从而CN EF ⊥. 同理可证，DN EF ⊥， 所以EF ⊥平面CDN .又EF BC ∥，所以BC ⊥平面CDN ，因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面CDN ⊥平面ABCD .易知CN DN =，且M 为CD 的中点，所以MN CD ⊥， 所以MN ⊥平面ABCD . （2）解：由（1）可知3CN =，2MN =，且四边形ABCD为正方形.设AB 的中点为G ，以M 为原点，以MG ，MC ，MN 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -，则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,2N ，()1,0,2F ，所以()0,2,0AB =u u u r，()1,1,2AF =-u u u r ，()0,1,2CN =-u u u r .设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =r，由0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得20,20,y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 取()2,0,1n =r.设直线CN 与平面ABF 所成的角为θ，所以22sin 333CN n CN nθ⋅===⨯u u u r r u u u r r ， 所以直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值为23.【点睛】本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F△的周长为6，点P关于原点的对称点为Q，直线2,AP QF交于点M.（1）求椭圆方程；（2）若直线2PF与椭圆交于另一点N，且224AF M AF NS S=△△，求点P的坐标.【答案】（1）22143x y+=；（2）135,24⎛⎫⎪⎝⎭或135,24⎛-⎝⎭【解析】（1）根据12PF F△的周长为22a c+，结合离心率，求出,a c，即可求出方程；（2）设(,)P m n，则(,)Q m n--，求出直线AM方程，若2QF斜率不存在，求出,,M P N 坐标，直接验证是否满足题意，若2QF斜率存在，求出其方程，与直线AM方程联立，求出点M坐标，根据224AF M AF NS S=△△和2,,P F N三点共线，将点N坐标用,m n表示，,P N坐标代入椭圆方程，即可求解.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，12PF F△的周长为6，设椭圆的焦距为2c，则222226,1,2,a ccab c a+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得2a=，1c=，3b=所以椭圆方程为22143x y+=.（2）设(,)P m n，则22143m n+=，且(,)Q m n--，所以AP的方程为(2)2ny xm=++①.若1m=-，则2QF的方程为1x=②，由对称性不妨令点P在x轴上方，则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即91,2M ⎛⎫⎪⎝⎭. 2PF 的方程为3(1)4y x =--，代入椭圆方程得2293(1)124x x +-=，整理得276130x x --=，1x =-或137x =，139,714N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. 222219|227419|21||4AF MAF N AF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件.若1m ≠-，则2QF 的方程为(1)1ny x m -=---， 即(1)1ny x m =-+③. 联立①，③可解得34,3,x m y n =+⎧⎨=⎩所以(34,3)M m n +.因为224AF M AF N S S =△△，设(,)N N N x y所以2211|42|||2M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M N y y =. 又因为,M N 位于x 轴异侧，所以34N ny =-. 因为2,,P F N 三点共线，即2F P uuu u r 应与2F N u u u u r共线，223(1,),(1,)4N n F P m n F N x =-=--u u u u r u u u u r所以()31(1)4N n n x m -=--，即734N m x -=， 所以2273344143m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143m n +=， 所以2272839m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得12m =，所以n =±所以点P的坐标为1,24⎛ ⎝⎭或1,2⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.21．设函数()1f x x x=-，()ln g x t x =，其中()0,1x ∈，t 为正实数. （1）若()f x 的图象总在函数()g x 的图象的下方，求实数t 的取值范围； （2）设()()()221ln 1e 11xH x x x x x ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭，证明：对任意()0,1x ∈，都有()0H x >.【答案】（1）(]0,2 （2）证明见解析【解析】(1)据题意可得()()()1ln 0F x f x g x x t x x=-=--<在区间()0,1上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的t 的取值范围；(2)不等式整理为2e 1e 1ln x x x x x x x -<-+，由(1)可知当2t =时，212ln x x x ->，利用导数判断函数e e 1xx x x -+的单调性从而证明e 2e 1xx x x <-+在区间()0,1上成立，从而证明对任意()0,1x ∈，都有()0H x >. 【详解】（1）解：因为函数()f x 的图象恒在()g x 的图象的下方， 所以()()1ln 0f x g x x t x x-=--<在区间()0,1上恒成立. 设()1ln F x x t x x=--，其中()0,1x ∈， 所以()222111t x tx F x x x x-+'=+-=，其中24t ∆=-，0t >. ①当240t -…，即02t <…时，()0F x '…， 所以函数()F x 在()0,1上单调递增，()()10F x F <=，故()()0f x g x -<成立，满足题意.②当240t ->，即2t >时，设()()2101x x tx x θ=-+<<， 则()x θ图象的对称轴12tx =>，()01θ=，()120t θ=-<， 所以()x θ在()0,1上存在唯一实根，设为1x ，则()1,1x x ∈，()0x θ<，()0F x '<，所以()F x 在()1,1x 上单调递减，此时()()10F x F >=，不合题意.综上可得，实数t 的取值范围是(]0,2. （2）证明：由题意得()()21e ln 1e 1xx H x x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭()()21e 1e ln xx x x x x x--+=-， 因为当()0,1x ∈时，e 10x x x -+>，ln 0x <， 所以()()()21e 10eln x xx x x H x x x--+>⇔>2e 1e 1ln x x x x x x x-⇔<-+. 令()()e 101xh x x x =--<<，则()e 10xh x '=->，所以()h x 在()0,1上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，所以()2e 1111xx x x x x x -+>+-+=+，从而2e e e 11x xx x x x <-++. 由（1）知当2t =时，12ln 0x x x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得212ln x x x->.令()()2e 011xm x x x =<<+，则要证()0H x >，只需证()2m x <.因为()()()222e 101x x m x x-'=>+，所以()m x 在()0,1上单调递增，所以()()e122m x m <=<，即()2m x <在()0,1上恒成立. 综上可得，对任意()0,1x ∈，都有()0H x >成立. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是11cos ,421sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转3π，交曲线C 于点N ，求||||OM ON ⋅的最大值.【答案】（1）sin 6π⎛⎫ρ=θ+⎪⎝⎭（2）最大值为34【解析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程，再转化为极坐标方程.（2）设出,M N 两点的坐标，求得||||OM ON ⋅的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得||||OM ON ⋅的最大值. 【详解】（1）由11cos ,421sin ,42x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去α得曲线C的普通方程为22102x y x y +--=.所以C的极坐标方程为1cos 22ρ=θ+θ， 即sin 6π⎛⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭.（2）不妨设()1,M ρθ，2,3N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，10ρ>，20ρ>，[0,2)θπ∈， 则12||||sin sin 663OM ON πππρρθθ⎛⎫⎛⎫⋅==+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin cos 6θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos cos 22θθθ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭112cos 2444θθ=++11sin 2264πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 当6πθ=时，||||OM ON ⋅取得最大值，最大值为34. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.23．已知函数()|2||3|f x x x =++-. （1）解不等式()32f x x ≤-；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211a b +++的最小值.【答案】（1）7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）169【解析】（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得13211a b +++的最小值. 【详解】（1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35x ≥，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤；当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=， 所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=，1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦.当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号.故13211a b +++的最小值为169.【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
全国大联考2020届高三4月联考数学(理)试卷
理科数学试卷注意事项：1．考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置。
2．考试时间120分钟，满分150分。
3．本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料。
4．考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1. 不等式>-x110成立的充分不必要条件是 A. x>1 B. x>−1 C.x<−1或0<x< 1 D. −1<x<1 2. 复数z=1+2i 的共轭复数是z ，则z ·z = A.3 B. 3 C. 5 D. 53. 已知随机变量X~N(2, 2σ) ，若P （1<X<3)=0.36，则P （X ≥3)= A ．0.64 B ．0.32 C ．0.36 D ．0.724. 设m,n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是 A. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α B. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C. 若α∥β，m ⊂ α，则m ∥β D. 若m ∥β，m ⊂ α，则α∥β5. 已知sin 2323-=⎪⎭⎫⎝⎛-απ ，则 cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ3A.23 B. - 23C. 21D. -216. 如图是某高校用于计算500名学生某学科（满分为100分） 期末考试及格率q 的程序框图，图中空白框内应填入A.MNq= B.NMq= C.NMNq+= D.NMMq+=7. 右图是某几何体的三视图，该几何体的体积为A.121B.61C.31D.218. 设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-122xyxyx表示的平面区域为m，则A. m的面积为29B. m内的点到x轴的距离有最大值C. 点A(x,y)在m内时，2+xx＜2 D. 若点p(x0,y0)∈m，则x0+y0≠29. 已知,log,41,3133132π=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=cba则a,b,c的大小关系为A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a10. 函数y=f(x)的定义域为R，且φ(x)-f(x)-f(x+a)，对任意a＜0，φ(x)在R上是增函数，则函数y=f(x)的图象可以是11. 双曲线E: 2222by a x -=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作一条直线与两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若A F B F 112=，||2||21OB F F =，则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．312. 已知函数f(x)=alnx+(a-1)x 2+1(a ＜0)，在函数f(x)图象上任取两点A ，B ，若直线AB 的斜率的绝对值都不小于5，则实数a 的取值范围是 A.（-∞，0） B.（-∞，4632-） C.（-∞，-4632-） D.（4632-，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知(3x-1)5=a 0+a 1x+a 2x 2+……+a 5x 5，则a 1+a 3+a 5= 14. 已知P 是抛物线y 2=4x 上的动点，A （2,15），若点P 到y 轴的距离为d 1，点P到点A 的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值是_________.15. 已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f(1)=0，且f(x)的导函数f ’(x)满足f ’(x)+1＜0，则不等式f(lnx)+lnx ＞1的解集为_______.（结果用区间表示）16. 如图,点P 是正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1外的一点,过点P 作直线l,记直线l 与直线AC1，BC 的夹角分别为θ1，θ2， 若sin(θ1 −50º)=cos(140º−θ2)=21，则满足条件的直 线l 有 条。
2020届全国第三次(3月)在线大联考(新课标Ⅲ卷)数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届全国第三次（3月）在线大联考（新课标Ⅲ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是 A ．1x = B ．1y = C ．0x = D ．0y =答案:D 解：因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ． 2．已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-答案:C 解：因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}AB =.故选C ．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若953S a =，则一定成立的是 A ．46S S = B ．45S S =C ．57S S =D ．56S S =答案:B 解：因为95593S a a ==，所以50a =，则5454S S a S =+=.故选B ．4．国家统计局发布数据显示，2020年1月份全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨5.4%，环比上涨1.4%.下图是2019年1月到2020年1月全国居民消费价格同比（与去年同期相比）和环比（与上月相比）涨跌幅，则下列判断错误的是A ．各月同比全部上涨，平均涨幅超过3%B ．各月环比有涨有跌，平均涨幅超过0.3%C ．同比涨幅最大的月份，也是环比涨幅最大的月份D ．环比跌幅最大的月份，也是同比涨幅最小的月份 答案:D 解：由统计图可知，各月同比全部上涨，平均涨幅为(1.7 1.5 2.3 2.5 2.7 2.7 2.8 2.8++++++++3.0 3.84.5 4.55.4)131% 3.09%++++÷⨯≈，超过3%，故A 正确；各月环比有涨有跌，平均涨幅为(0.5+1.00.40.10.00.10.40.70.90.90.40.0 1.4)131%0.446%-++-+++++++÷⨯≈，超过0.3%，故B 正确；同比涨幅最大的是2020年1月，环比涨幅最大的也是2020年1月，故C 正确；环比跌幅最大的是2019年3月，同比涨幅最小的是2019年2月，故D 错误，故选D ．5．已知实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩，则2x y +的取值范围是A ．(3,6]-B ．[3,6]-C ．3(,6]2-D ．3[,6]2-答案:B 解：作出不等式组2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移该直线，当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值，由220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，则max 426=+=z ；当直线2y x z =-+经过点C 时，z 取到最小值，易得(1,1)C --，则min 213=--=-z ，所以2x y +的取值范围是[3,6]-.故选B ．6．函数52sin ()([π,0)(0,π])33x xx xf x x -+=∈--的图象大致为A ．B ．C ．D ．答案:A 解： 因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以()f x 是偶函数，排除B,D ，因为ππ5π(π)033f -=>-，排除C ，故选A.7．已知向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，则当y 最小时，cos ,=a b A 25B ．25C ．55-D 5答案:B 解： 2222221112(1)32(1)31111y t t t t t t =-+=++-≥+⋅-=-+++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时，取等号，y 取得最小值为1-，此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则225cos ,||||515⋅-===-⋅⨯a b a b a b .故选B ．8．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．5答案:B 解：初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ． 9．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 满足，则数列{}n a的前60项的和为 A ．1830 B ．1830- C ．3660 D ．3660-答案:D 解：当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．10．将函数2()cos f x x x x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.对于下列四种说法，正确的是 ①函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称②函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点③函数()g x 在区间ππ[,]24--，最小值为2-④函数()g x 在区间ππ(,)44-上单调递增 A ．①② B ．②③C ．②③④D ．①③④答案:B 解：21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到π())6g x x +的图象.对于①，π4ππ())336g +=()g x 的图象不关于点12{x y =-=成中心对称，所以①错误；对于②，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得()g x 在(π,π)-上有8个极值点，所以②正确；对于③，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤()g x 的最大值为，最小值为-，所以③正确；对于④，当ππ44x -<<时，5ππ7π4666x -<+<，故函数()g x 在区间ππ(,)44-上不单调，所以④错误.故选B ． 11．如图平面多边形中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，外侧4个三角形均为正三角形.若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，则此四棱锥的外接球的表面积为A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案:D 解：连接,AC BD ，设ACBD H =，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD .设O为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上，连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==，如图所示.因为正方形ABCD 2，所以1,2,1CH SC SH ===，所以,H O 重合，即四棱锥的外接球的半径为1R =，所以四棱锥的外接球的表面积为24π4πS R ==.故选D ． 12．已知过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，则||||||OA OB AB +的最大值为A ．1B ．2C 2D ．22答案:C 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m+=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +.故选C ． 二、填空题13．5(21)x y +-的展开式中22x y 的系数为___________. 答案:120- 解：由题意，5(21)x y +-的展开式中含22x y 的项为2222122531C C (2)C (1)120x y x y ⨯⨯⨯-=-，所以所求系数为120-.14．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则πsin(2)3α+=___________.答案:9解：因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又因为π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()6α+==.则πππ1sin(2)2sin()cos()2()(3663ααα+=++=⨯-⨯=. 15．已知双曲线E ：2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，M 在E 的右支上，若12ππ[,]43F MF ∠∈，则12MF MF ⋅的最大值为___________.答案:2 解：设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 2θ≤12cos θ≤≤1111cos θ-≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅的最大值为2. 16．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________． 答案:解：设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m<，2(,)B n n a +，因为21()f x x'=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n m n a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min ()(2h t h ==-，所以实数a的最小值为2-三、解答题17．已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =.（1）若5cos 3ABD ∠=，求BD ，BC ； （2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠.答案:（1）3BD =，25123BC =-（2）15sin CBD +∠= 解：（1）在Rt ABD △中，由5cos ABD ∠=22sin 1cos 3ABD ABD ∠-∠，所以3sin ADBD ABD==∠.在BCD中，由余弦定理得2222232cos 3423425123BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-， 所以25123BC =-（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-，在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，在BCD 中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD=∠，即45πsin sin()6BD x x =-，所以24π5πsin sin()sin()66x x x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.由sin 0x >得15sin x +=，所以15sin CBD +∠=. 18．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，23CN =（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ； （2）求二面角C MN D --的余弦值. 答案:（1）证明见解析；（2）22解：（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ，因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,23BC CN ==，得2222BN CN BC =-=，由2NA AB ==，可得AB AN ⊥，在直角梯形ABMN 中,可得22MN =，由4BM =，22BN MN ==，可得222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BCBN B =，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-,(2,2,2)CN =-,(0,2,2)DN =-,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩，取11x =，得(1,1,2)=n .设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则00MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩， 取21z =，得(1,1,1)=m ， 设二面角C MN D--的平面角为θ，则cos ||||θ⋅===n m n m由图可知二面角C MN D --的余弦值为3. 19．为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取100名学生，统计了他们的竞赛成绩，已知这100名学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到频数分布表（如下）.（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？（2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中“不合格”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望()E X .附参考公式及临界值表：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.答案:见解析 解：（1）补充完整的22⨯列联表如下：则2K的观测值2()100(24122836)8.654 6.635()()()()60404852n ad bc ka b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯． 因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关． （2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为4021005=.根据题意得2(3,)5~X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3， 00332327(0)C ()()55125P X ==⨯⨯=，11232354(1)C ()()55125P X ==⨯⨯=，22132336(2)C ()()55125P X ==⨯⨯=，3303238(3)C ()()55125P X ==⨯⨯=.所以X 的分布列为所以X 的数学期望2()3 1.25E X =⨯=. 20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积.答案:（1）22143x y +=；（2）3. 解：（1）设c =12,l l π2sin 3c =1c =，由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b == 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y+=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=，所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++， 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3. 21．已知函数()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-. （1）设()()g x f x '=，求证：1()g x x<； （2）讨论()f x 的单调性.答案:（1）证明见解析；（2）()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数 解：（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数,所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号. 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<. （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0<g x ，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0<g x ，所以当(1,)x ∈+∞时()0<g x ，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线(0)4πθρ=>与l 和C 分别交于点,A B ，求||AB ．答案:(1)直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠;曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=;（2）||AB =解： （1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=． （2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠， 将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=所以|||||A B AB ρρ=-== 23．已知函数()|21||1|f x x ax =+--，a R ∈． （1）当2a =时，求不等式1()1f x -≤≤的解集；（2）当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，求实数a 的取值范围．答案:(1)11[,]44-；（2）[4,0)-解：（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，当21x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为1124211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩，解得1144x -≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44-． （2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+，所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<． 当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意． 当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a<<， 因为当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a -⊆，所以212a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-．。
2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。
2020届高三联考数学理科试题(含答案)
2020年高三联考理科数学试题本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝R ，集合{/|1|1}A x x =-<, 1{0}xB xx-=≤,则A ∩(∁U B )＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1, 2) D ． (0,2)2. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且（x ﹣2）i ﹣y=1，则(1)x yi -+的值为（ ） A ．4 B ． ﹣4C ． ﹣2iD ． ﹣2+2i3、已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．7-B ．71-C ．7D ．714. 等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公q 的值是（ ）A. 1B.－12 C. 1或－12 D. － 1或－125．定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(- 13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13)6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 A ．π12 B ． π3 C ．π34 D ．π3127．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+ 8. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}；③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A.①② B .②④ C .①④ D .②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（8～13题）9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为10. 设31(5)nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．11. 下列说法：①“x ∃∈R ，23x >”的否定是“x ∀∈R ，23x ≤”；②函数sin(2)sin(2)36y x x ππ=+- 的最小正周期是π；③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则0()0f x '=”的否命题是真命题；④()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，0x >的解析式是()2xf x =，则0x <时的解析式为()2xf x -=-．其中正确的说法是__________．12. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，则向量a ，b 的夹角是钝角的概率是 ．13．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.（ ） ▲ 14．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 （请选择正确标号填空） （1）3sin 2=ρθ （2）3cos 2=ρθ （3）3sin 2=ρθ （4）3cos 2=ρθ 15. 如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E . 若EB ＝6，EC ＝62，则BC 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)联考 理科数学+答案+全解全析
D． 2 2
13． (x + 2 y −1)5 的展开式中 x2 y2 的系数为___________.
14．若
sin(α
+
π )
6
=
−
1 3
,α
∈ (0, π)
，则
sin(2α
+
π )
3
=
___________.
15．已知双曲线 E
：
x2 a2
−
y2
= 1(a
>
0)
的左、右焦点分别为 F1, F2
a,b
=
A． 2 5 5
B． − 2 5 5
C． − 5 5
D． 5 5
9．已知[x] 表示不超过
x
的最大整数，数列{an} 满足
an
=
[
(−1)
n −1 ] 2
n
2
，则数列{an} 的前
6030
C． 3660
理科数学 第 2 页（共 13 页）
D． −3660
10．将函数 f (x) =
如图所示，正方形 ABCD 所在平面与梯形 ABMN 所在平面垂直，MB∥AN， NA = AB = 2 ， BM = 4 ，
CN = 2 3 .
（1）证明：平面 DMN ⊥ 平面 BCN ； （2）求二面角 C − MN − D 的余弦值.
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
x2 C： a2
+
y2 b2
不迟到的概率的范围； （2）在这 10 天中任取 2 天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为 Y ，求 Y 的分布列 和数学期望. 附：若随机变量 X 服从正态分布 N (µ,σ 2 ) ，则 P(µ − σ < X < µ + σ ) = 0.6826 ，P(µ − 2σ < X < µ + 2σ ) = 0.9544 ， P(µ − 3σ < X < µ + 3σ ) = 0.9974 . 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) = cos(x −1) + x(1 − ln x) . （1）设 g(x) = f ′(x) ，求证： g(x) < 1 ；
2020年4月全国大联考2020届高三毕业班联考质量检测数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前全国大联考2020届高三毕业班下学期4月联合质量检测数学(理)试题(解析版)2020年4月注意事项：1.考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置.2.考试时间120分钟，满分150分.3.本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料.4.考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布.5.本卷考查内容：高考全部内容.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.不等式110x ->成立的充分不必要条件是（ ） A. 1x > B. 1x >- C. 1x <-或01x << D. 10x -≤≤或1x >【答案】A【解析】【分析】 求解不等式110x->的解集，其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】解110x ->，()10,10x x x x ->->， 得()(),01,x ∈-∞+∞，其充分不必要条件即该解集的真子集，结合四个选项A 符合题意.故选：A【点睛】此题考查充分不必要条件的辨析，关键在于准确求解分式不等式，根据充分条件和必要条件的集合关系判定.2.复数12z i =+的共轭复数是z ，则z z ⋅=（ ）B. 3C. 5【答案】C【解析】【分析】 根据 12z i =+，写出其共轭复数 12z i =-，即可求解.【详解】由题 12z i =+，其共轭复数 12z i =-，()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=.故选：C【点睛】此题考查共轭复数的概念和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的乘法运算.3.已知随机变量()22,XN σ，若()130.36P X <<=，则()3P X ≥=（ ） A. 0.64B. 0.32C. 0.36D. 0.72 【答案】B【解析】【分析】根据正态分布密度曲线性质()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 【详解】由题：随机变量()22,XN σ，若()130.36P X <<=， 则()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 故选：B【点睛】此题考查根据正态分布密度曲线性质求解概率，关键在于熟练掌握正态分布密度曲线的相关性质，结合对称性求解.。
全国大联考2020届高三第五次联考数学(理)试题及答案
全国大联考2020届高三第五次联考·数学试卷考生注意：1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上．3．本试卷主要考试内容：前四次联考内容（30%），计数原理、概率与统计（40%），算法初步、推理与证明、复数（30%）．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6iB ．6i -C ．6-D ．62．已知全集U R =，集合3|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}2|20B x x x =+->，则()U C A B =I （ ） A ．{|31}x x -≤<B ．{|12}x x ≤<C ．{|31}x x -≤≤-D ．{|12}x x <≤3．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N b ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ） A ．3B ．5C ．6D ．74．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年5．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．236．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．15167．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同结束的概率为（ ） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.368．已知33a b ==r r ，且(2)(4)a b a b -⊥+r r r r ，则2a b -r r 在a r方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．79．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m nx y 的系数之和为（ ）A ．640B ．416C ．406D ．236-11．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．25312．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)(3,)e +∞UB ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．某大学A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为3.2%、4.8%、4%、5.2%，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129人调查毕业后的就业情况，则D 专业应抽取_________人．14．“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________． 15．已知“在ABC ∆中，sin sin sin a b cA B C==”，类比以上正弦定理，“在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 与平面ACD 所成的角为3π、与平面BCD 所成的角为512π，则BCD ACD S S ∆∆=________．16．已知抛物线2:16C y x =的对称轴与准线的交点为M ，直线:4l y kx k =-与C 交于A ，B 两点，若4AM BM =，则实数k =__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2220a ab b --=． （1）若3C π=sin B C =．（2）若23C π=，7c =，求ABC ∆的面积． 18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90BCD ∠=︒，PA CD ⊥，112BC CD AD ===，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．（1）求证：2PC EF =．（2）若EF PC ⊥，求二面角P BE F --的余弦值． 19．已知函数321()26F x x x a =-++，()ln G x a x =，设()()()f x F x G x '=-． （1）当3a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）设方程()f x c '=（其中c 为常数）的两根分别为α，β()αβ<，证明：02f αβ+⎛⎫''<⎪⎝⎭． （注：()f x ''是()f x '的导函数）20．第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中．为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取50户居民进行调查，得到如下的22⨯列联表．已知在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58．（1）请将上面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；（2）已知在试点前分类意识强的9户居民中，有3户自觉垃圾分类在12年以上，现在从试点前分类意识强的9户居民中，随机选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12年以上的户数为X ，求X 分布列及数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．下面的临界值表仅供参考21．已知椭圆22:143x y C +=的右顶点为D ，E 为上顶点，点A 为椭圆C 上一动点． （1）若DE AE ⊥，求直线AD 与y 轴的交点坐标；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，过点()4,0M 与x 轴垂直的直线为0l ，FM 的中点为N ，过点A 作直线0l 的垂线，垂足为B ，求证：直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上．22．某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在[)65,85的为劣质品，在[)85,105的为优等品，在[]105,115的为特优品，销售时劣质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．图1 图2 （1）求每件产品的平均销售利润；（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对该企业近5年的年营销费用i x 和年销售量i y ，()1,2,3,4,5i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5115i i v v ==∑．根据散点图判断，by ax =可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程． ①求y 关于x 的回归方程；②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取 3.5936e=）附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，L ，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()51521ˆii i i i uu v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 2020届高三第五次联考·数学试卷参考答案1．A 本题考查复数的运算．因为()()5z i i --=，所以56z i i i=+=- 2．B 本题考查集合的运算．依题意{|31}A x x =-≤<，{| 3 1}U C A x x x =<-≥或，{|12}B x x =-<<，故(){}|12U C A B x x =≤<I ．3．C 本题考查正态分布的应用．4μ=Q ，3σ=，(2)(42)(42)(6)()P X P X P X P X P X a ∴≤=≤-=≥+=≥=≥，6a ∴=．4．C 本题考查统计图表由表易知A 、B 、D 项均正确，2010年中国GDP 为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP 为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C项错误．5．A 本题考查古典概型概率，由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12． 6．D 本题考查程序框图．执行该算法框图可得12341111150222216S =++++=． 7．B 本题考查独立性事件的概率．甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为0.50.20.20.40.30.40.3P =⨯+⨯+⨯=．8．C 本题考查向量的数量积与投影．由(2)(4)a b a b -⊥+r r r r可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=r r r r r r r r ，因为||3||3a b ==r r ，所以2a b ⋅=-r r ．故2a b -r r 在a r方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===r rr r r r r r． 9．D 本题考查逻辑推理．由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．10．B 本题考查二项式定理当2m n +=时，35(1)(2)x y --的展开式中m nx y 的系数为358()55353535(1)(2)(1)22m m m n n n n n m n n m n n m n m n C x C y C C x y C C x y ---+---⋅-=⋅⋅-⋅=⋅⋅．当0m =，2n =时，系数为3211080⨯⨯=；当1m =，1n =时，系数为4235240⨯⨯=；当2m =，0n =时，系数为523196⨯⨯=；故满足2m n +=的mnx y 的系数之和为8024096416++=．11．B 本题主要考查归纳推理，以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ，则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=12．A 本题考查复合函数的零点．由题意得3ln 30ln x a xa x x-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln xg x x =，则上述方程转化为3(()3)10()g x a g x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =．因为2ln 1()(ln )x g x x -'=，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故3ln ()3ln x a xf x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠ 13．39 本题考查分层抽样由于A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数的比例为8:12:10:13，故D 专业应抽取的人数为13129398121013⨯=+++．14．24 本题考查排列组合第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有222A =种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有232312A A =种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为22322324A A A =．15．2本题考查类比推理．类比正弦定理可得 5sinsin312BCD ACD S S ππ∆∆=，故sin35sin 12BCD ACD S S ππ∆∆===，16．43±本题考查抛物线与平面几何知识直线:4l y kx k =-过抛物线C 的焦点()4,0F ，过A ，B 分别作C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，由抛物线的定义知AP AF =，||||BQ BF =． 因为////AP MF BQ ，所以||||||||||||PM AF AP QM BF BQ ==．因为90APM BQM ∠=∠=︒，所以APM BQM ∆∆:，从而||||||4||||||AM AP AF BM BQ BF ===．设直线l 的倾斜角为α，0απ≤<，则||1cos cos 4||1cos 1cos pAF T p BF αααα+-===-+，解得3cos 5α=，4tan 3k α==，或||1cos 1cos 4||1cos 1cos pAF p BF αααα-+===+-解得3cos 5α=-，4tan 3k α==-，综上，43k =±． 17．解：本题考查利用正余弦定理解三角形．（1）由余弦定理得222222222cos 23c a b ab C a b ab a ab b b =+-=+-=--+， 由2220a ab b --=得到223c b =，由正弦定理得22sin 3sin C B =． 因为B ，()0,C π∈sin B C =． （2）由题意及余弦定理可知2249a b ab ++=，① 由2220a ab b --=得()(2)0a b a b +-=，即2a b =，②联立①②解得b =，a =1sin 2ABC S ab C ∆== 18．解：本题考查点线面位置关系的证明与求二面角．（1）证明：连接EC ，90BCD ADC ∠=∠=︒Q ，AD CD ∴⊥．PA CD ⊥Q ，PA AD A =I ，CD ∴⊥平面PAD ． CD ⊂Q 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ．PA PD =Q ，E 为AD 的中点，PE AD ∴⊥．Q 平面ABCD I 平面PAD AD =，PE ∴⊥平面ABCD ．EC ⊂Q 平面ABCD ，PE EC ∴⊥．F Q 为Rt PEC ∆斜边PC 的中点，2PC EF ∴=，（2）EF PC ⊥Q ，∴由（1）可知，PEC ∆为等腰直角三角形，则PE EC ==E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)E，P ，(0,1,0)B，11,,222F ⎛- ⎝⎭，则(0,1,0)EB =u u ur 11,22EF ⎛=- ⎝⎭u u u r ，记平面EBF 的法向量为(),,m x y z =r由00m EB m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r得到0110222y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 取2x =，可得z =，则m =r．易知平面PEB 的法向量为(1,0,0)n EA ==u uu r r ．记二面角P BE F --的平面角为θ，且由图可知θ为锐角，则||cos ||||3m n m n θ⋅===r rr r ，所以二面角P BE F --19．解：本题考查函数的单调性、导数相关知识．21()()()2ln 2f x F x G x x x a x '=-=-+-，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()222a x x af x x x x-+-'=-+-=．（1）当3a =-时，222323(3)(1)()x x x x x x f x x x x-++---+'==-=-，由()0f x '>得03x <<，由()0f x '<得3x >， 故函数()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减． （2）证明：由条件可得()2a f x x x '=-+-，0x >，2()1af x x''∴=-+， Q 方程()f x c '=的两根分别为α，β()αβ<，()f c α'∴=，且()f c β'=，可得a αβ=． 法一：222244()1102()()()a f αβαβαβαβαβαβ+--⎛⎫''=-+=-+=<⎪+++⎝⎭． 法二：224441112()()2a f αβαβαβαβαββα+⎛⎫''=-+=-+=-+⎪++⎝⎭++， 0αβ<<Q ，01αβ∴<<，2αββα∴+>，4111022a f aβαββ+⎛⎫''∴=-+<-+= ⎪⎝⎭++成立． 20．解：本题考查概率统计、独立性检验和数学期望．（1）根据在抽取的50户居民中随机抽取1户，到分类意识强的概率为0.58，可得分类意识强的有29户，故可得22⨯列联表如下：因为2K 的观测值250(201659)60509.9347.87925252921609k ⨯-⨯==≈≥⨯⨯⨯， 所以有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．（2）现在从试点前分类意识强的9户居民中，选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12年以上的户数为X ，则0X =，1，2，3故36395(0)21C P X C ===，21633915(1)28C C P X C ===， 1263393(2)14C C P X C ===，33391(3)84C P X C ===， 则X 的分布列为51531()0123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合，（1）由题知()2,0D ，(E ，则2DE k =-．因为DE AE ⊥，所以3AE k =，则直线AE的方程为y x =+，联立223143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得482525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故48,25A ⎛-⎝⎭．则254814225DA k ==+，直线AD的方程为2)y x =-．令0x =，得7y =-，故直线AD 与y轴的交点坐标为0,7⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． （2）证明：因为(1,0)F ，(4,0)M ，所以5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭．设点()00,A x y ，则()04,B y ． 当01x =时，设31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则34,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时直线AF 与x 轴垂直， 其直线方程为1x =， 直线BN 的方程为305205242y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，即52y x =-． 在方程52y x =-中，令1x =，得32y =-，得交点为（31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然在椭圆C 上． 同理当31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，交点也在椭圆C 上． 当01x ≠时，可设直线BN 的方程为055242y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，即02532y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，联立方程0002532(1)1y y x y y x x ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪=-⎪-⎩， 消去y 得00025(1)321y y x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，化简并解得005825x x x -=-． 将005825x x x -=-代入00(1)1y y x x =--中，化简得00325y y x =-．所以两直线的交点为0000583,2525x y x x ⎛⎫-⎪--⎝⎭． 因为22000058311425325x y x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()222200000022200025806432580641242525425x x y x x y x x x -+-++=+=---， 又因为2200143x y +=，所以22004123y x =-， 则()()()()222200000022200025258064124202514252525x x x y x x x x x --++-+===---， 所以点0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭在椭圆C 上．综上所述，直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上．22．解：本题考查离散型随机变量的期望以及非线性回归方程．（1）设每件产品的销售利润为X ，则X 的可能取值为0.8-，4，6．由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为0.25、0.65、0.1．所以(0.8)0.25P X =-=；(4)0.65P X ==；(6)0.1P X ==．所以X 的分布列为所以()(0.8)0.2540.6560.13E X =-⨯+⨯+⨯=（元）． 即每件产品的平均销售利润为3元．（2）①由b y a x =⋅，得()ln ln ln ln b y a x a b x =⋅=+， 令ln u x =，ln v y =，ln c a =，则v c bu =+，由表中数据可得()()()515210.541ˆ 1.623i ii ii u u v v b u u ==--===-∑∑， 则23.4116.35ˆˆ 4.68 1.09 3.59535c v bu =-=-⨯=-=，所以1ˆ 3.593v u =+，即13.5931ˆln 3.59ln ln 3y x e x ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭， 因为取 3.5936e =，所以13ˆ36yx =，故所求的回归方程为1336y x =． ②设年收益为z 万元，则11333336108z y x x x x x =-=⨯-=- 令130t x =>，则3108z t t =-，()221083336z t t '=-=--，当06t <<时，0z '>，当6t >时，0z '<，所以当6t =，即216x =时，z 有最大值432．即该企业每年应该投入216万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为432万元．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020届全国大联考高三联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数552i z i i -=-，则z =（ ）A B ．C ．D ．2．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则()A B =R （ ） A ．(1,3) B ．(3,9) C ．[3,9] D ．∅3．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25% 5．已知21532121,,log 353a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a << 6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z7．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-8．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2 D9．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,111．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A．8 B．6 C．8 D．612．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭二、填空题 13．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则94S a =______. 14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB =，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=______. 15．已知圆22 : 4O x y +=，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，()2,2A ，若2240AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为___________.三、双空题16．()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______.四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =． ()1求C ；()2若2a =，求，ABC 的面积ABCS18．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围. 可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=.19．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边6AB =，214F F =，D ，C 是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿CE ，DE 将四边形1BCEF 和2ADEF 折起，使1F ，2F 重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M ，N 分别为CD ，EF 的中点.（1）证明：MN ⊥平面ABCD .（2）求直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F △的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线2,AP QF 交于点M .（1）求椭圆方程；（2）若直线2PF 与椭圆交于另一点N ，且224AF M AF N S S =△△，求点P 的坐标.21．设函数()1f x x x=-，()ln g x t x =，其中()0,1x ∈，t 为正实数.（1）若()f x 的图象总在函数()g x 的图象的下方，求实数t 的取值范围；（2）设()()()221ln 1e 11x H x x x x x ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭，证明：对任意()0,1x ∈，都有()0H x >.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是11cos ,421sin 42x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转3π，交曲线C 于点N ，求||||OM ON ⋅的最大值.23．已知函数()|2||3|f x x x =++-.（1）解不等式()32f x x ≤-；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211a b +++的最小值.参考答案1．B【分析】先求z ，并根据复数除法法则以及模的定义求结果.【详解】552i z i i -=∴-()525551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故z ==故选：B【点睛】本题考查复数除法法则以及模的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2．A【解析】【分析】求函数定义域求得集合A ，由此求得()R A B ⋂. 【详解】因为{|3}A x x =≥，所以()(1,3)R A B ⋂=.故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题.3．C【分析】由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2230q q --=，运算即可得解.【详解】解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =.故选：C.本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.4．A【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】 水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++. 故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．C【分析】加入0和1这两个中间量进行大小比较，其中2510()13<<，132()15->，21log 03<，则可得结论.【详解】 205110()()133<<=， 10322()()155->=， 221log log 103<=， c a b ∴<<.故选：C.【点睛】本题考查了指数幂，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问题，其中选择中间量0和1是解题的关键，属于基础题.6．B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z . 故选：B【点睛】 本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为07．A【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 8．C【解析】【分析】由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==. 故选：C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 9．B【分析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=， 所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：B【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.10．A【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x -的最大值和1x -的最小值即可得到结果.【详解】()()f x f x =- ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤- 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题. 11．A 【分析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r .因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =.因为321OD OC CD =-=-=，所以8DM ==. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥.因为QP QB ==即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径R QB ===. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题 12．C 【分析】()f x 恰有两个极值点，则0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.13．18 【分析】先由712a a =-，可得12a d =-，再结合等差数列的前n 项和公式求解即可. 【详解】解：因为711+62a a d a ==-，所以12a d =-，()19544194992183a d S a d a a a d d+⨯====+. 故答案为：18. 【点睛】本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前n 项和公式，属基础题. 14．14425【分析】先由等面积法求得AD ，利用向量几何意义求解即可. 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥， 所以()214425CB CA AD AB AD AD -⋅=⋅==. 故答案为：14425【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题. 15．【分析】取PQ 的中点为M ，由2240AP AQ +=可得2216AM OM -=，可得M 在20x y ++=上，当OM 最小时，弦PQ 的长才最大. 【详解】设M 为PQ 的中点，()22222(2)AP AQ AM PQ +=+，即222222AP AQ AM MQ +=+，即()2224022AM OQ OM=+-，22204AMOM =+-，2216AM OM -=.设(),M x y ，则()2222(2)(2)16x y x y-+--+=，得20x y ++=.所以min OM ==max PQ =故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题. 16．3 -260 【分析】(1)令1x =求得所有项的系数和； (2)先求出612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含21x 的系数，再求()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项.【详解】将1x =代入()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，得所有项的系数和为3.因为的展开式中含21x 的项为()424621602C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含常数项()333612160C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60320260-=-.故答案为：3； -260 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题.17．(1) 12π．(2) 【分析】()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】() 1由已知可得ccosB bsinC =，又由正弦定理b csinB sinC=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈，4B π∴=，2221cosA cos A cos A ==-，即2210cos A cosA --=，又()0,A π∈，12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π=，12C A B ππ∴=--=．()223A π=，4B π=，2a =， ∴由正弦定理a bsinA sinB=，可得23a sinB b sinA ⋅===，()1sin 2sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=+-=⎪⎝⎭11222ABCSabsinC ∴==⨯=．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．(1)60%；(2) （i ）0.12 （ii ） 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i ）利用二项分布求解；（ii ）甲、乙两市上线人数分别记为X ，Y ，得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）（i ）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.（ii ）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ， 依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p . 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市， 所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23p ≥， 又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.19．（1）证明见解析 （2）3(1)先证CN EF ⊥，再证DN EF ⊥，由EF BC ∥可得BC ⊥平面CDN ，从而推出MN ⊥平面ABCD ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量与CN ，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解. 【详解】（1）证明：连接CF ，DN ，由图1知，四边形BCEF 为菱形，且60CEF ∠=︒， 所以CEF ∆是正三角形，从而CN EF ⊥. 同理可证，DN EF ⊥， 所以EF ⊥平面CDN .又EF BC ∥，所以BC ⊥平面CDN ， 因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面CDN ⊥平面ABCD .易知CN DN =，且M 为CD 的中点，所以MN CD ⊥， 所以MN ⊥平面ABCD . （2）解：由（1）可知CN =MN =ABCD 为正方形.设AB 的中点为G ，以M 为原点，以MG ，MC ，MN 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -，则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C，(N，(F ， 所以()0,2,0AB =，(AF =-，(0,CN =-. 设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20,0,y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩取()2,0,1n =.设直线CN 与平面ABF 所成的角为θ，所以sin 3CN n CN nθ⋅===，所以直线CN 与平面ABF.【点睛】本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.20．（1）22143x y +=；（2）12⎛ ⎝⎭或1,2⎛ ⎝⎭ 【分析】（1）根据12PF F △的周长为22a c +，结合离心率，求出,a c ，即可求出方程； （2）设(,)P m n ，则(,)Q m n --，求出直线AM 方程，若2QF 斜率不存在，求出,,M P N 坐标，直接验证是否满足题意，若2QF 斜率存在，求出其方程，与直线AM 方程联立，求出点M 坐标，根据224AF M AF N S S =△△和2,,P F N 三点共线，将点N 坐标用,m n 表示，,P N 坐标代入椭圆方程，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，12PF F △的周长为6， 设椭圆的焦距为2c ，则222226,1,2,a c c abc a +=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得2a =，1c =，b =所以椭圆方程为22143x y +=.（2）设(,)P m n ，则22143m n +=，且(,)Q m n --，所以AP 的方程为(2)2ny x m =++①. 若1m =-，则2QF 的方程为1x =②，由对称性不妨令点P 在x 轴上方，则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即91,2M ⎛⎫⎪⎝⎭. 2PF 的方程为3(1)4y x =--，代入椭圆方程得2293(1)124x x +-=，整理得276130x x --=，1x =-或137x =，139,714N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. 222219|227419|21||4AF MAF N AF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件.若1m ≠-，则2QF 的方程为(1)1ny x m -=---， 即(1)1ny x m =-+③. 联立①，③可解得34,3,x m y n =+⎧⎨=⎩所以(34,3)M m n +.因为224AF M AF N S S =△△，设(,)N N N x y所以2211|42|||2M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M N y y =. 又因为,M N 位于x 轴异侧，所以34N n y =-. 因为2,,P F N 三点共线，即2F P 应与2F N 共线，223(1,),(1,)4N n F P m n F N x =-=--所以()31(1)4N n n x m -=--，即734N m x -=， 所以2273344143m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143m n +=，所以2272839m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得12m =，所以n =±所以点P 的坐标为1,24⎛ ⎝⎭或1,24⎛-⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.21．（1）(]0,2 （2）证明见解析 【分析】(1)据题意可得()()()1ln 0F x f x g x x t x x=-=--<在区间0,1上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的t 的取值范围；(2)不等式整理为2e 1e 1ln x xx x x x x -<-+，由(1)可知当2t =时，212ln x x x ->，利用导数判断函数e e 1xx x x -+的单调性从而证明e 2e 1xx x x <-+在区间0,1上成立，从而证明对任意()0,1x ∈，都有()0H x >.【详解】（1）解：因为函数()f x 的图象恒在()g x 的图象的下方， 所以()()1ln 0f x g x x t x x-=--<在区间0,1上恒成立. 设()1ln F x x t x x=--，其中()0,1x ∈， 所以()222111t x tx F x x x x-+'=+-=，其中24t ∆=-，0t >. ①当240t -，即02t <时，()0F x '，所以函数()F x 在0,1上单调递增，()()10F x F <=， 故()()0f x g x -<成立，满足题意.②当240t ->，即2t >时，设()()2101x x tx x θ=-+<<，则()x θ图象的对称轴12t x =>，()01θ=，()120t θ=-<， 所以()x θ在0,1上存在唯一实根，设为1x ，则()1,1x x ∈，()0x θ<，()0F x '<， 所以()F x 在()1,1x 上单调递减，此时()()10F x F >=，不合题意.综上可得，实数t 的取值范围是(]0,2.（2）证明：由题意得()()21e ln 1e 1x x H x x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭()()21e 1e ln x x x x x x x --+=-， 因为当()0,1x ∈时，e 10x x x -+>，ln 0x <，所以()()()21e 10e ln x xx x x H x x x --+>⇔>2e 1e 1ln x x x x x x x -⇔<-+. 令()()e 101x h x x x =--<<，则()e 10x h x '=->，所以()h x 在0,1上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，所以()2e 1111x x x x x x x -+>+-+=+，从而2e e e 11x xx x x x <-++. 由（1）知当2t =时，12ln 0x x x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得212ln x x x->. 令()()2e 011xm x x x =<<+，则要证()0H x >，只需证()2m x <. 因为()()()222e 101x x m x x -'=>+，所以()m x 在0,1上单调递增，所以()()e 122m x m <=<，即()2m x <在0,1上恒成立. 综上可得，对任意()0,1x ∈，都有()0H x >成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.22．（1）sin 6π⎛⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭（2）最大值为34 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程，再转化为极坐标方程. （2）设出,M N 两点的坐标，求得||||OM ON ⋅的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得||||OM ON ⋅的最大值.【详解】（1）由11cos ,421sin ,2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去α得曲线C的普通方程为22102x y x y +--=. 所以C的极坐标方程为1cos 22ρ=θ+θ， 即sin 6π⎛⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭. （2）不妨设()1,M ρθ，2,3N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，10ρ>，20ρ>，[0,2)θπ∈， 则12||||sin sin 663OM ON πππρρθθ⎛⎫⎛⎫⋅==+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin cos 6θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos cos 22θθθ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭112cos 2444θθ=++11sin 2264πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 当6πθ=时，||||OM ON ⋅取得最大值，最大值为34. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题. 23．（1）7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）169【分析】（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得13211a b +++的最小值. 【详解】 （1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35x ≥，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤； 当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=，所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=， 1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦.当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号. 故13211a b +++的最小值为169. 【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。