北京林业大学复变函数与积分变换结课论文

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北京林业大学复变函数与积分变换结课论文

复变函数与积分变换结课论文题目：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用指导老师：学号：姓名：班级：学院：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用摘要拉普拉斯变换是一种用来解线性微分方程的较简单的工具。

它在电学、力学、控制论等很多工程技术与科学领域有着广泛的应用，由于它对像原函数f(t)要求的条件比傅氏变换要弱，故研究拉氏变换有极重要的意义。

本文将简单介绍拉普拉斯变换的定义以及其性质，并对其在解微分方程（组）中的应用做了简单的归纳总结。

关键词：拉普拉斯变换，性质，微分方程一、拉普拉斯变换的概念及其性质1.1问题的提出我们知道，一个函数当它除了满足狄氏条件外，还在（—∞，+∞）内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅里叶变换。

但绝对可积的条件是比较强的，许多函数（如单位阶跃函数、正弦、余弦函数等）都不满足这个条件；其次，可以进行傅里叶变换的函数必须在整个是数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 作为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或者不用考虑的，想这些函数都不能取傅里叶变换。

虽然在引入δ函数后，傅里叶变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但仍然无法解决以指数级增长的函数。

[1]对于任意一个函数φ（t ），若用单位阶跃函数u （t ）乘φ（t ），则可以使积分区间由（—∞，+∞）换成[0，+∞），用指数衰减函数tβ-e（β>0）乘φ（t ）就有可能使其变得绝对可积，因此只要β选的恰当，一般来说，任意函数φ（t ）的傅氏变换是存在的，这样就产生了拉普拉斯变换。

1.2拉普拉斯变换的定义当函数)(t f 满足条件：（1）当t<0时，)(t f =0；（2）当0≥t 时，函数)(t f 连续；（3）当∞→t 时，)(t f 的增长速度不超过某个指数函数，即存在常数M 及α，使得t Me t f α≤|)(|，则含参数s 的无穷积分收敛。

复变函数结课论文

学院：工学院班级：电气10-1姓名：乔林翰学号：101054118 指导老师：王学顺2011年11月19日北京林业大学工学院电气10-1 乔林翰学号：101054118关键词：傅里叶级数，傅里叶变换，三角级数，周期函数。

摘要：为了研究周期函数，我们可以将其展开为傅里叶级数的形式。

将变为傅里叶级数有利于研究函数在实际中的分析。

此处，我们将以阶跃信号为例，讨论信号的傅里叶级数与傅里叶变换。

正文：1.傅里叶级数在客观世界中，许多运动是周期性的，我们通常用周期函数的形式来描述这些函数，其中最简单的一类就是正弦函数（以简谐运动为例，我们用y=Asin（t+ɸ）对其进行描述，在上式中T（周期）=2/。

y为动点的位置，A为振幅，为角频率，ɸ为初相。

）因此我们就想，是否可以利用n多个正弦函数的叠加来表达相对复杂的周期函数。

非常自然的，我们想到了级数，具体说来就是我们有,很多以T为周期的正弦函数sin（n t+），将这n个正弦函数相加，就构成了可以描述较复杂周期函数f（x）的级数（）利用数学手段，我们可以对它进行变化，使之成为我们容易利用的形式:（）=sin cosn t+cos sinn t令=，=sin=cos，则有此为函数展开的三角级数形式。

在区间]正交，即三角函数系(1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,···cosnx, sinnx···)中任意不同两函数的乘积在区间]上的积分等于0：1.(n=1,2,3,···)2(n=1,2,3,···)3.(k,n=1,2,3,···)–4.(k,n=1,2,3···，k) –5.(k,n=1,2,3,···，k)证明此处省略。

在三角函数系中，两相同函数的乘积在区间的积分不为零。

“复变函数与积分变换”教学改革的几点思考

系和内容进行改革，出一条数学理论与专业课走
程应用，培养学生的数学素质，高其数学认知能提
力和应用数学知识解决实际问题的能力，养学培生的创新意识，高学生的综合素质。该课程的提
程相结合的新路子。这样，定一个较为详细的制
教学大纲就显得尤为必要了。该大纲需明确规定
每节课的内容及要求，出重点与难点，有教师指并
每节课授课大体时间表，后安排班级试用，过之通试用效果和学生的反映来对每次课的教学计划进
许多理论与方法在其他自然科学和各种工程领域特别是信号处理以及物理学等研究方面有着广泛
本课程的数学基础知识，且通过对实际问题的而
具体分析，引导学生从纯数学的学习转变到数学与实际问题的紧密结合：方面使学生掌握复变一
函数与积分变换的基础理论和方法，为学习有关
程需要用时又要从头学起（乎每一年都可以听几到这样的反馈信息）重复性较大，加了很多课，增时。教材没有真正使专业课和专业基础课中所涉
分变换 ” 课程本身的理论性又是极强的了。所以
要使学生喜爱这门课程，师必须从第一节课开教
［者简介］王淑艳（９８一）山东人，作１７，东北农业大学理学院副教授，在读博士；研究方向：生态数学、农业经济管理

复变函数与积分变换论文电子信息

将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
(3)求方程的全解
Y(0)=A+B+1/3=1
解得A=5/2,B=-11/6
拉氏变换方法
由本例题可以看出经典方法和拉氏变换方法都能解决连续信号系统的零输入响应、零状态响应、完全响应方面的问题。经典方法做题，思路比较简单，容易想出办法，但是计算比较繁琐，容易出错。用拉氏变换方法思路上稍显麻烦，但是计算要简单得多，减少了错误发生的概率。如果微分方程右边激励项较复杂，用经典方法就难以处理，用拉氏变换方法将数学模型转化为代数式，做起来就显得容易很多，既明了又简洁。如果激励信号发生变化，用经典方法做，就需要全部重新求解，相对与拉氏变换就麻烦得多。如果初始信号发生变化，用经典方法做题要全部重新求解，相当复杂。经典方法是一种纯数学的方法，无法突出系统响应的物理概念。拉氏变换相对的能够突出系统响应的物理概念。具体用哪种方法做题还得依题而论，如果题目比较简单，激励信号不发生变化，初始条件不发生变化，就用经典方法做题，因为经典方法思路比较简单，方法比较好想，减少了做题的时间，如果题目比较复杂，或者激励信号，初始条件发生变化，就用拉氏变换方法，做题步骤简单，节省时间，又减少了错误发生的概率。
由于篇幅有限，本文介绍的复变函数与积分变换中与解决本专业的问题只是冰山一角。在复变函数和积分变换的学习中，我们得到的不仅要作为科学创新基础的数学原理，还有一些创新思想方法，如解析函数高阶导数和积分变换中导数公式的归纳法思想、复数几何意义的直观性在初等几何中的应用思想、保形变换和积分变换中，对称思维、两类积分变换应用的同中求异和理论中的异中求同、复势应用中的猜想与证明，观察与实验等等都体现了创新思维的火花。我们在学习中掌握了这些方法，有利于在今后的工作和生活中发挥巨大的作用，因此，复变函数与积分变换课程的学习，有助于我们创新思维能力的训练和培养，培养我们运用基本理论和方法，解决实际问题的意识，兴趣和能力，尤其是解析函数在平面向量场中的应用，留数理论的应用，积分变化换在解微分方程中的应用和求广义积分，培养我们打破思维定势，打破常规惯例，用新的眼光看复变函数和积分变换，就是说变量从实数到复数，积分从直线到曲线，尤其是封闭曲线。

复变函数与积分变换结业论文

基于matlab对复变函数与积分变量的研究姓名：徐庆学号：101044113单位：北京林业大学工学院自动化10-1内容摘要：《复变函数与积分变量》这门课程作为自动化专业的专业基础课程，对于后继课程有着极其重要的意义，但在学习过程中，很多量的求解需要繁琐的计算步骤与复杂的计算过程。

同时，作为一种抽象的函数，复变函数一般来说很难用具体图像来描绘其信息。

Matlab作为一款功能强大的科学计算软件，利用一些编程语句可以很轻松的解决上述问题。

例如，利用matlab可以对一个复常数进行基本的求模，求幅角，求实部、虚部的运算。

更进一步地，还可以求复数的指数、对数，对复数进行三角运算。

在对于复变函数的研究中，可以求解复变函数的留数，并用来求复变函数的积分，对复变函数进行泰勒级数展开。

在积分变换方面，可以对函数进行傅里叶变换、逆变换，进行拉普拉斯变换、逆变换。

在编程化的语句中，可以对同一类的问题进行统一的解决。

关键字：复变函数积分变量matlab语句运算结果目录1 matlab在复常数中的应用 (4)1.1 Matlab中对单个复常数的简单运算 (4)1.2 Matlab中对于单个复常数进行复杂的运算 (5)1.3Matlab中对于两个复常数之间进行乘法、除法运算 (7)2.利用matlab对函数进行泰勒级数展开 (8)3 matlab在留数和积分中的应用 (9)3.1利用matlab计算复变函数的留数 (9)3.2在matlab中，利用留数定理求解复变函数的积分 (10)4 利用matlab对信号做傅氏、拉氏变换 (11)4.1 利用matlab对信号做傅里叶变换 (11)4.2 利用matlab对信号做拉普拉斯变换 (13)5 利用matlab绘制复变函数 (14)1 matlab在复常数中的应用1.1 Matlab中对单个复常数的简单运算在matlab中，生成复数的形式分为两种：代数形式（如z=x+y*i）与指数形式（如z=r*exp(theta i)，其中r为模长，theta为幅角的弧度值）。

复变函数论文

复变函数论文《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用系别：专业名称：学号：姓名：指导老师：年月日《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。

由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。

文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。

关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。

1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。

例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。

复变函数与积分变换总结_1

复变函数与积分变换总结_1复变函数与积分变换总结_11.复变函数复变函数是定义在复数域上的函数。

和实变函数类似，复变函数也具有实部和虚部。

复变函数有很多重要的性质和定理，以下是其中的一些重要内容：（1）柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v为实变函数，它们分别表示f的实部和虚部。

如果f在局部有定义且可导，则f满足柯西-黎曼方程：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。

这个方程是复变函数可导的充分必要条件。

（2）柯西积分定理：柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理，它表示若f是一个在区域D上解析的函数，则对于D内任意闭合曲线C，有∮Cf(z)dz=0。

这个定理说明，对于解析函数来说，沿着闭合曲线的积分值为0。

（3）柯西积分公式：柯西积分公式是复变函数理论中的另一个重要定理，它给出了在解析函数上对闭合曲线上的导数的表达式。

设f是D内的解析函数，z0是D内任意一点，且C是以z0为中心的一条简单闭曲线，且完全在D内，则有f(n)(z0)=n!/2πi∮C(f(z)/(z-z0)^(n+1))dz，其中n为正整数，f(n)(z0)表示f的n次导数在z0处的值。

2.积分变换积分变换是将一个函数通过其中一种数学变换转换为另一个函数的过程，常用的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换。

（1）傅里叶变换：傅里叶变换是将一个时间域上的函数转换为频域上的函数。

对于一个函数f(t)，它的傅里叶变换表示为F(ω)，其中ω是频域上的变量。

傅里叶变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。

傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理等领域。

（2）拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将一个时间域上的函数转换为复平面上的函数。

对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复平面上的变量。

拉普拉斯变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。

拉普拉斯变换在控制系统、信号处理等领域具有重要应用。

关于《复变函数与积分变换》课程的几点教学思考

47关于《复变函数与积分变换》课程的几点教学思考崔晓梅（吉林化工学院吉林吉林 132022）摘要：针对复变函数与积分课程的重要性，提出几点教学思考。

通过培养学生兴趣、优化教学内容、增加实验提高动手能力和让学生参与教学等方面提高课程的教学效果。

ꢀ关键词：复变函数与积分变换；实验教学；兴趣ꢀ复变函数与积分变换是高校工科某些专业的一门基础必修课，很多课程如工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统与自动控制等等都以复变函数与积分变换为先修课，电工信号等课程更要大量用到积分变换的知识。

而传统的以教师讲课为主的教学中，学生普遍反应难度较高，每节课的授课量较大，教学效果受到极大的制约。

因此教师迫切的需要以现代教研理论为指导，积极尝试新型教学方法、模式，不断优化教学内容，才能激发学生的学习兴趣，建立学生学习的信心，提高学生分析问题、解决问题的能力。

一、培养学生对课程的兴趣无论是什么课程，无论多好的教学模式和老师，首先都应该让学生产生兴趣，因为兴趣是最好的老师。

首先我们应该在第一次课的时候，让学生对复变函数与积分变换有一个正确的认识，让他们觉得这门课有意思、有用，学不好会影响后面专业课程的学习，而不是对一门数学课程的畏惧。

应该给学生讲讲它的背景，发展史等，尤其书上涉及到的重要定理的历史及数学家的故事，如柯西、黎曼等，通过历史故事使学生对定理内容产生好奇心，同时激发了学生的学习兴趣，为后继内容的讲解奠定基础。

在教学过程中渗入课程的应用激发学生兴趣。

复变函数的魅力还在于它广泛的应用。

不仅在数学领域的许多分支用到复变函数的理论，在许多工程领域也大量用到复变函数知识。

在讲共形映射时，可以向学生介绍俄国的茹科夫斯基在设计飞机时，如何通过共形映射研究机翼外部的绕流问题，计算出飞机机翼剖面压力，从而解决了机翼的造型的例子。

如此知识的讲解更加生动有趣，同时培养了学生综合应用的能力。

二、针对不同专业需求优化教学内容以往复变函数与积分变换，我们采用统一教材，相同的授课计划，对不同专业对课程需求差异性没有做深入的思考。

复变函数结课论文

复变函数结课论文——《论复变函数的历史发展及专业应用》复数的概念源于求解方程组的根。

二次、三次代数方程的求根公式中就出现了负数开方的情况。

在16世纪中期，意大利的数学家卡尔丹诺在解三次方程时，首先产生了复数开平方的思想。

在17世纪到18世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题。

复变函数论产生于18世纪，由数学家欧拉做出。

同时，复变函数是我国数学工作者从事研究最早也是最有成效的数学分支之一。

我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数方面的研究成果，也都达到了当时的国际水平。

复数的一般形式是a+bi，i是虚数单位。

一复数作为自变量的函数叫做复变函数，与之相关的呢就是欧拉所做的复变函数论了。

解析函数是复变函数中具有解析一类性质的函数，复变函数论就是研究复数域之中的解析函数。

复变函数的许多概念理论等都是实变函数在复数范围内的推广与发展。

所以他们之间有着很大的相似之处。

但复变函数和事变函数也同样有着不同之处。

函数的理论、方法和概念在数学、自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。

能够解决例如流体力学、热学、电磁学和弹性理论值的平面理论等诸多问题，在自然科学和生产技术发展的同时极大的推动了复变函数的发展并丰富了其内容。

我们在学习之中要正确的理解和掌握复变函数的数学概念和方法，逐步培养利用这些方法概念去解决实际问题的能力。

复变函数在很多领域都有非常重要的应用，其涵盖的范围十分广泛，甚至也已用来解决一些复杂的计算问题。

作为最富饶的科学的一类分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。

特别是在解析函数的微分理论（cauchy-riemann方程），积分理论（cauchy积分定理与积分公式），weierstrass的级数理论（taylor级数和laurent级数）等方面的应用。

除了这些之外，在别的领域里面的应用也是非常常见的。

比如说，物理学上有很多的不稳定场，所谓的场就是每点对应的有物理量的一个区域，对他们的计算就是通过复变函数来解决的。

复变函数与积分变换课程教学经验的总结与探讨

复变函数与积分变换课程教学经验的总结与探讨摘要：本文研究了复变函数与积分变换课程内容与工科相关课程之间的联系，总结了复变函数与积分变换课程的教学现状，针对教学现状中存在的问题提出了几点教学改革上的想法。

关键词：复变函数与积分变换多媒体MatlabMathematic1 引言工科高校所有的数学公共基础课程中，复变函数与积分变换作为最后一门学习的课程，是与各学科专业基础课程紧密联系的一门课程，它是解决诸如流体力学、空气动力学、电磁学、热学及弹性力学中平面问题的有力工具，同时也是研究微分方程、积分方程、数学物理方程、积分变换等数学分支的必要工具，更是学习自动控制、电子工程、信息工程与机电工程等专业课的理论基础[1-2]。

当同学们已经学习了高等数学、线性代数及概率论与数理统计几门数学基础课程后，已经具备一定的数学基本理论基础及数学素养，具备了一定的运用数学理论分析问题、归纳问题、解决问题的基本能力。

复变函数理论一方面为学生向更深层次的数学理论的学习做好铺垫，另一方面也可以为其它数学理论提供一种重要的解析工具，工科学生将来的学习、科研、计算都离不开诸多的解析理论和变换理论，所以复变函数与积分变换课程对于工科学生来说是分量很重的一门课程，它决定着学生将来专业基础课程的学习效果。

然而，复变函数与积分变换课程的内容相对来讲比高等数学更加抽象，理解难度更大，所以传统的纯粹的板书教学方式已经远远不能适应学生的需要，不能反应时代特征，我们必须从教材、备课、授课、联系、复习等环节进行有效的改进以达到期望的教学效果，下面浅谈几点想法。

2 课程理论体系及教学现状复变函数与积分变换是以实变函数为基础发展起来的一门理论，基本理论与实变函数有着千丝万缕的联系，在相当一部分的定义、定理及性质都有相似的理论体系，所以因为实变函数课程只在数学本科专业的教学计划中有所体现，那么工科的同学在没有实变函数课程学习经历的情况下，如何学好复变函数与积分变换理论就是一个十分棘手的问题。

复变函数与积分变换学习小结

工程数学学习小结在结束了大一两个学期的高等数学学习后，我们迎来了专为工科专业设置的两门工程数学课程：复变函数和积分变换。

刚接触这两门课程时，我并没有做出特别的心理准备，以为它跟其他课程一样，都有高中知识做铺垫，只要认真去体会，就能明白其中的含义。

但后来发现我的“以为”是错误的，尽管两门课程的课本加起来还不及高等数学一册书的厚度，但其中蕴含的知识的难度却非常大。

刚开始学习到复变函数和解析函数的概念时，我还依旧尝试着用原来积累的知识的底子去理解它，虽然感觉很吃力。

就这样一直持续到复变函数学习的结束，感觉自己的大脑里识别的仍然是那些先前学过的旧知识，而对新加入的类似柯西黎曼方程、柯西古萨定理等等的知识仅仅停留在概念表面而已，对它们并没有一个系统的认识，就好像它们和大脑里原来识别的东西有排斥一样，自己始终没有接受这些东西。

在复变函数学的半清不楚的状态下，我们又迎来了积分变换的学习。

完全措手不及。

在课上大容量的信息灌输下我完全没有时间静下心去体会每个公式蕴含的含义以及它们之间的各种联系。

此时此刻，我想到了两个特别贴切的比喻。

复变函数好比是“雪”，而积分变换则好比是“霜”，所以，两门课程前后连在一起，构成了我当时十分尴尬的境地。

不过，好在还有“绝地逢生”这种说法。

当我被折磨得感觉实在无望的时候，却有同学告诉我：“积分变换特别好学，只要把公式背过就OK了。

”虽然他的话的准确性有待考证，但是它却提醒了我，我似乎把问题想复杂了，应该换一种角度去理解这两门课程的真正内涵所在。

翻开两本书的第一页，我看到复变函数和积分变换两门课程所包含的理论方法大都应用在数学、自然科学和工程技术中，是解决很多工程问题的有力工具。

那一刻，我仿佛才明白了赋予它工程数学这个名称的含义。

后来在网络上的查询中我又了解到线性代数也属于工程数学，怪不得学习复变和积分两门课程的困难、疑惑有种似曾相识的感觉，原来这都归因于我对工程数学的理解及适应不够到位。

复变函数论文

复变函数论文复变函数论文复变函数的精确之美学习复变的感想对于理科类学科的学习而言，最重要的一点莫过于概念的清晰程度。

因为所有的推导、证明以及应用，归根结底都是在基本概念的基础上衍生而来的。

因此只有将相关概念真正理解同时牢记于心，才可以真正地走进一门学科，真正的领略一门学科的美妙与精华所在。

在我的理解看来，复变函数从某种意义上来说可以看成是大一所学的高等数学的一种延伸与拓展。

在高等数学，也就是我们通常所说的微积分学中，我们所研究讨论的对象都是实函数，也就是函数的定义域与值域所代表的集合都是实数集合。

这样的研究将许多生活中遇到的数学问题用实变函数的微分与积分表达出来，让我们能够很快地了解一些微积分中的基本概念、知识以及应用技巧。

但是同时，实变函数的应用范围十分狭窄。

尤其是电气工程等方面的计算和问题中，实变函数几乎可以算是毫无用武之地。

因此为了能够更好地解决工程中遇到的问题，我们便对现有的实变函数进行了拓展延伸，创建了复变函数体系，并总结发现了一系列复变函数的定义、定理、方法以及技巧。

精确是所有理科研究学科，尤其是数学学科的一个重要特点，这一点在复变函数中也体现的尤为明显。

复变函数是将复数域之间的映射的特点和关系进行全面系统的总结和归纳。

其研究对象就是复数域之间映射的函数关系。

因此在复变函数的研究中基本都是代数运算，没有带数字之后为计算方便而出现约等的情况。

当然复变函数的精确美远远不止表现与这些方面。

为了解决问题的方便，复变函数的研究中总结归纳了许多的定理和方法。

但每一种的定理与方法都有其十分明确的适用范围和使用方法。

这是为了保证它们在被使用于求解相应问题时不出现错用、误用而最终导致结果有偏差甚至完全错误。

比如在我们在计算闭路积分时常运用的留数定理就有其很明确的适用范围。

此外，复变函数在许多相似概念的区分上也做到了精确二字。

如可导、连续以及解析之间的区别，在复变函数中就体现的尤为明显。

作为一门研究数的学科，复变函数对于结果的精确程度是有着相当高的要求的。

复变函数与积分变换总结

第二章小结
本章主要介绍了解析函数的概念，给出了一些初等函数的定义，并研究了这些初等函数的性质, 主要知识点有
一、与函数解析有关的问题：要看解析，先看可导
1. 解析与可导的关系：
区域内等价，一点处并不等价，一点处解析是比一点处可导更强的概念
2. 一元实变函数具有的一些求导运算法则对复变函数同样成立，如四则运算、复合运算、反函数求导等
3.形式较简单的函数在一点可导的判断及求导方法
(1). 可导定义
(2). 转化为这些复变函数对应的两个二元实变函数的讨论
a. 判断可导：可微性、C-R 方程
b. 求导：'()u v f z i x x
∂∂=+∂∂ 4. 形式较复杂函数在一点可导判断及求导步骤：
拆解为一些形式较简单的函数；研究这些函数的可导性并求导；利用求导法则得原函数的可导性及导数
二、与初等函数有关的问题及要求
1. 熟记各种初等函数的定义公式、解析性及求导公式
2. 高数中的初等函数与复变函数中初等函数的区别
z e 仅是一个记号、指数函数的周期为2()k i k Z π∈；负实数的对数有意义、
11
,n
n n Lnz nLnz Lnz Lnz ==在复数范围内不再成立；(0)b bLna a e a =≠；sin 1,cos 1z z ≤≤在复数范围内不再成立
三、与三角函数及双曲函数有关的复数方程的求解步骤
1. 根据三角函数及双曲函数的定义将所给方程用iz e 或z e 表示
2. 整理为关于iz e 或z e 的一元二次方程后并配方、开方
3. 利用方程w e z =解的公式得原方程解公式
例求解方程shz i =。

复变函数积分论文

（二〇〇八年六月本科毕业论文题目：分离变量方法在微分方程求解中的应用分析学生姓名：王小飞学院：理学院系别：数学系专业：信息与计算科学班级：信计04-2指导教师：任文秀副教授摘要分离变量法是求解微分方程的最基本方法之一，对此法进行探索研究具有重要的理论和实践意义.为了让大家更透彻地理解分离变量法，本文首先在引言中详细地介绍了常微分方程分离变量法的起源及其进展情况；紧接着,在第一章综述了基于Sturm-Liouville 问题的传统分离变量法，内容涉及到分离变量法的力学背景、理论基础、基本思想、计算步骤、算例等几方面. 作为对偏微分方程求解方法的补充，我们还就非线性领域的分离变量法做了一个摘要; 最后, 在本文的主体部分—第二章中力图进一步完善辛-Fourier展开法（基于Hamilton体系的分离变量法）的应用体系, 主要工作包括以下三方面：第一，在Hamilton体系下尝试求解常微分方程并验证了该解法的正确性；第二，利用辛-Fourier展开法在Hamilton体系下求出了二阶椭圆型方程的通解,这比前人所做的工作都完善；第三，利用辛-Fourier展开方法初步探讨了抛物型方程，虽然没有得出满意的结果，但是也取得了一些收获.关键词：传统分离变量法；Sturm-Liouville问题；Hamilton系统；辛空间；辛-Fourier展开法AbstractThe method of Separation of variables is one of the most basic methods to solve differential equations. It provides importantly theoretical and practical significance to exploit and research this method.To make us understand about method of separation of variables, firstly, in the introduction, we study the origin and progress of this method for the ordinary differential equations; after that, we investigate the traditional method of separation of variables based on Sturm-Liouville problem in 1st chapter, which involves the mechanical background, the theoretical foundation, the basic idea, calculated steps, examples and other areas. As a supplementary of the method to solve partial differential equations, we also do a abstract about separation of variables on the non-linear field; finally, in the main part of this paper: 2nd chapter aimed to further improve symplectic-Fourier expansion method (namely, method of separation of variables based on Hamiltonian system) on application, we do the works as following: First, verify the correctness to solve ordinary differential equations in the Hamilton system; Second, take use of symplectic-Fourier expansion method to solve the second-order elliptic equation in Hamiltonian system, the results are more perfect than the work done by their predecessors; Third, try to discuss the parabolic equation by this new method. Although we do not obtain effective results, some techniques are showed in whole process.Key words: traditional method of separation of variables; Sturm-Liouville problem;Hamiltonian system; symplectic space; symplectic-Fourier expansionmethod目录绪论 (1)第一章偏微分方程中的传统分离变量法 (4)1.1力学背景 (4)1.2理论基础 (5)1.2.1线性叠加原理 (5)1.2.2 Sturm-Liouville理论 (6)1.3分离变量法的思想及实例 (7)1.3.1思想步骤 (7)1.3.2实例 (8)1.4非线性系统中的分离变量法简介 (9)1.4.1形式分离变量法 (10)1.4.2多线性分离变量法 (10)1.4.3泛函分离变量法 (11)1.4.4导数相关泛函分离变量法 (11)第二章 Hamilton体系下的分离变量法 (13)2.1辛空间的相关理论知识 (13)2.2 辛-Fourier展开法概述 (15)2.3 应用举例 (16)总结 (29)参考文献 (30)附录 (32)谢辞 (35)绪论说到分离变量法,就不得不提到微分方程, 因为分离变量法不仅是在求解微分方程过程中被提出的, 而且是在这个过程中不断被完善发展的. 一般地，微分方程包括常微分方程(简称ODE ）和偏微分方程(简称PDE)，是指含未知函数及未知函数导数的方程. 它起源于17世纪物理学的探索.17世纪末，分离变量法在ODE 中首次被提出. 由于该法在求解微分方程时体现出一定的优越性，所以吸引了众多专家学者的注意，在他们不懈地努力下，分离变量法从ODE 被逐步引入到PDE, 从线性领域跨越到非线性领域，甚至求解体系从欧式空间渗透到辛空间.下面，我们先从ODE 入手来叙述这一重要方法.一、起源与基本概念1691年，Leibniz （德国数学家、物理学家和哲学家）在给Huggens 的一封信中首次提出了常微分方程的分离变量法[1]. 他将形如)()(y g x f dy ydx =的方程写成ydy y g x f dx )()(=，然后两边进行积分，从而得到了原方程的解. 同一年，他利用变换zx y =将线性齐次方程)('xy f y = 变为可用分离变量法求解的方程xz z f dx dz -=)(. 1695年，James.Bernoulli 在某一学报中提出了Bernoulli 方程[1] n y x q y x p dxdy )()(+=. 一年后， Leibniz 利用变量替换n y z -=1把Bernoulli 方程化成线性方程（关于y 和'y 的一次方程）. 1698年，James 又在同一学报中本质上用分离变量法把Bernoulli 方程解出，进一步扩大了分离变量法的应用范围. 此外，Riccati 也为这一方法做出了贡献并且得到如下著名的定理：定理[2] 设Riccati 方程为 ,2m bx ay dxdy =+其中m b a ,,都是常数. 且设0≠a ，又设0≠x 和0≠y ，则当124,124,2,0--+--=k k k k m ),2,1( =k 时，Riccati 方程可通过若干适当的变换化为可分离变量的方程.综上,一般我们把形如)()(y g x f y =' （1）的方程称为可分离变量方程, 其中)(x f 和)(y g 分别是变量x 和y 的连续函数.不难看出，该方程具有特点：右端项为两个变量独立的一元函数之积. 往往可通过这一特征来判断方程是否为分离变量型，当然还可以通过Maple 程序包odeadvisor()来实现，详见文[3]中的介绍. 主要的处理代码如下> restart;> p:=eqs()> with(DEtools):> odeadvisor(p);> separablesol(p,y(x));且其求解方法可总结为:（1）如果0y 使得0)(0=y g ，则0y y =是（1）的解.（2）如果0)(≠y g ,可对方程（1）先分离变量，得dx x h dy y g )()(1=，再两边积分，即得原方程通解. 上述解法被称为分离变量法.二、选题背景与本文的主要工作可分离变量ODE 虽然形式较为简单，但它在实际中有很多应用，比如雪球融化问题、化学反应问题、跳伞的速度问题等等，都可以用这一数学模型来解决，因此对它的求解方法—分离变量法的探讨具有实践意义.然而分离变量思想有着更为宽广的应用背景，它更为广泛地体现于PDE 问题的求解中，通常，我们把PDE 中的分离变量法称为传统分离变量法[4-7]. 利用传统分离变量法求解偏微分方程经常会导致自共轭算子的特征值问题，即Sturm-Liouville 问题(简称S-L 问题)，该问题的求解已经形成了一套系统的理论（详见第一章介绍），但S-L 问题自身有一定的局限性，这样导致相当一大部分方程用传统分离变量法难以求解，比如椭圆型方程（本文在第二章中将要用新的方法来确定）.怎样处理这类传统分离变量法解决不了的问题呢？1991年, 钟万勰院士在文[8]中利用结构力学与最优控制的模拟理论，将无穷维Hamilton 体系应用到弹性力学等相关领域，并把传统方法难以解决的一类二阶椭圆型方程和条形板弯曲问题导向Hamilton 体系. 从而，首次为用分离变量法求解PDE 指出新的导向, 拓宽了基于S-L 问题的传统分离变量法.2000年, 周建方、卓家寿等对于S-L 问题，在Hamilton 体系下实施分离变量法，结果发现所得结果与传统分离变量法一致.从而说明了Hamilton 体系下的分离变量法（称之为辛-Fourier 方法）的正确性和潜在能力[9].我们认为基于Hamilton 体系的分离变量法的研究还仅仅是开始，但已显现出一定的优越性，相信随着研究的深入，必将给我们解决目前一些难以解决的问题提供更多的机会.本文意在介绍传统分离变量法和辛-Fourier 方法（即Hamilton 体系下的分离变量法）的思想.由于传统分离变量法已经形成了一套完善的理论，所以本文第一章对传统分离变量法只是作了一个综述，以方便所需之人阅读. 而辛-Fourier 方法还没有形成一套成熟的理论，也就成为了本文第二章研究的主要对象.我们首先在Hamilton 体系下尝试了常微分方程的分离变量法，发现所得结果与ODE 分离变量法一致. 紧接着，利用辛-Fourier 方法探讨了一个二阶椭圆型方程的定解问题⎪⎩⎪⎨⎧=====-++).(),1(),(),0(0)1,()0,(02y g y u y f y u x u x u eu cu bu au yy xy xx 相比文献[12]，我们的结果更具有一般性,而且积分常数是在辛正交的前提下直接确定的. 最后, 又利用辛-Fourier 方法探讨了抛物型方程 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=>=+∂∂=><<∂∂=∂∂l x x x u t t l hu x t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(00),(),(,0),0(0,0222ϕ虽没有顺利得出最后的结果，但还是把详细的解题过程给出了，希望能为日后的研究工作提供一个参考.第一章偏微分方程中的传统分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的最基本方法之一. 通常,对偏微分方程实施分离变量之后, 将导致自伴算子的本征值问题, 对此已经有了全套的理论, 即S-L 理论.本章我们首先介绍PDE 中分离变量法的起源及最基本的S-L 理论; 其次结合算例,综述分离变量法的基本思想与步骤; 最后根据文献[10]，对分离变量法在非线性领域的发展情况做了摘要.1.1力学背景分离变量法是受驻波的启示而被提出的. 大体而言, 驻波是由两列等振幅相干波沿相反方向传播时叠加而成. 下面, 我们将利用波的叠加原理来介绍驻波的形成.设有两列振动方向相同、振幅相同、频率相同的平面余弦波：)(2cos ),.(1λγπx t A t x u -=；)(2cos ),(2λγπx t A t x u += 分别沿x 轴的相反方向传播，其中A 表示振幅，γ表示频率. 按照叠加原理，可合成驻波的波函数为 )](2cos )(2[cos A ),(),(),(21λγπλγπx t x t t x u t x u t x u ++-=+=. （1-1）利用三角函数关系，将式（1-1）简化为 ,2cos 2cos 2),(t x A t x u πγλπ⋅= （1-2）这里我们称(1-2)为驻波.为了更加形象地看到由余弦波),(1t x u 与),(2t x u 叠加形成驻波的过程，我们分别把2,4,8πππ=t 时的驻波图形画出来，即图1.1 不同时刻的驻波图形图中虚线表示),(1t x u ，长点划线表示),(2t x u ，实线表示合成的驻波),(t x u .我们都知道，在力学中，两端固定弦(假定长为l )的自由振动问题[5-6] ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=≥==><<∂∂=∂∂==== )x (0 )( )( 0)(t 0 ) 0 0 ( 00022222l x t u x u u u t l,x x u a t u t t l x x ψϕ，（1-3）能够形成驻波，而且弦线上驻波的形成是有条件的，它要求弦线长等于半波长的整数倍. 这样, 由驻波的表达式(1-2), 使我们很自然地想到，可设其特解形如 )()(),(t T x X t x u =, （1-4）其中)(x X 和)(t T 分别是变量x 和t 的待定函数. 将式（1-4）分别代入原方程及其定解条件中，就可确定)(x X ,)(t T . 从而, PDE 中的分离变量法(俗称驻波法)就被提出来了, 并逐步趋于完善, 最终成为求解PDE 定解问题最基本的方法之一.1.2理论基础1.2.1线性叠加原理在线性领域中研究分离变量法，线性叠加原理是重要的理论基础之一，该原理多次被应用到分离变量法的过程中，比如，我们最后得到的PDE 定解问题的解就是由所有特解线性叠加而成的，还有在处理非齐次PDE 定解问题时，我们通常把方程和边界条件视为几种类型叠加的结果等等.定理2.1(线性叠加原理)[4-7] 设i u 满足线性问题i i f Lu =; i i g Bu = ),2,1( =i其中L 和B 分别是线性偏微分算子和线性定解条件算子. 若级数i i i u c ∑∞=1收敛，且可以逐项微分，同时级数i i i f c ∑∞=1和i i i g c ∑∞=1都收敛，则i i i u c ∑∞=1是定解问题i i i f c Lu ∑∞==1; i i i g c Bu ∑∞==1的解.1.2.2 Sturm-Liouville 理论Sturm-Liouville 问题（简称S-L 问题）源起于十九世纪初叶J.Fourier 对热传导问题的数学处理中，到十九世纪三十年代时，Q.Sturm 和J.Liouville 又把Fourier 的方法进行了一般性的讨论. 后来，他们所得的结果成为了解决一大类PDE 定解问题的理论基础，也就是我们所谓的S-L 理论.继线性叠加原理，S-L 理论为分离变量法奠定了又一重要理论基础，它为分离变量法的应用提供了广阔的前景.分离变量法的本质特征是把PDE 的定解问题通过变量分离转化为一个特征值问题(ODE 问题)，而对于大量的特征值问题，其特征值及特征函数是不容易求出的，甚至，只能求助于数值解法求得近似解.但是有了S-L 问题的基本定理后，即使我们并不知道具体的特征值或特征函数的形式，我们仍然可以通过基本定理得到解的表达式，由此可见S-L 理论对于分离变量法的重要性.下面我们来看一下S-L 理论中的一些基本定理[11].为了简单起见，我们着重讨论二阶ODE 的特征值问题，即S-L 问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='+='-=-- .0)()(0)0()0( 0)(])([2121l y b l y b y a y a y x s dx dy x p dx d λ 在S-L 问题中，假定系数)(x p 和)(x s 都是实函数且满足条件：（1）],0[)(],,0[)(1l C x s l C x p ∈∈;（2）在],0[l 上0)(,0)(0≥≥≥x s p x p ,参数)2,1(0,0=≥≥i b a i i 且0,022212221≠+≠+b b a a .定理1.2 S-L 问题的所有特征值λ都是实数.定理1.3 S-L 问题的所有特征值λ都是非负的.定理1.4 S-L 问题的所有特征值λ组成一个单调非减, 并以无穷远点为凝聚点的序列，即 ≤≤≤≤n λλλ21,且+∞=∞→n n λlim .定理1.5 S-L 问题不同的特征值所对应的特征函数在区间],0[l 上带权)(x s 正交，即当特征值k j λλ≠时，相应的特征函数)(x y j 和)(x y k 有关系式.0)()()(0=⎰dx x y x y x s k lj )(k j ≠定理1.6 S-L 问题的所有特征函数{}∞=1)(n n x y 能构成空间],0[2l L *的一组完全正交基，即对任意的函数∈)(x f ],0[2l L *可以按特征函数系{}∞=1)(n n x y 展成广义Fourier 级数 )()(1x y c x f n n n ∑∞==,其中 ,)()()()()(020⎰⎰=ln l n n dx x y x s dxx y x f x s c ),2,1( =n亦即0)()(lim *21=-∑=∞→L N n n n N x y c x f . 须说明的是以上摘录的定理是S-L 理论中最基本的结论,其余结论可参阅文[11].1.3 分离变量法的思想及实例1.3.1 思想步骤分离变量法作为PDE 的最基本解法之一，它的思想相对来说较为简单，解题步骤也很清晰，将其总结如下:基本思想[12]：将PDE 定解问题的解表示成单变量函数之积，即令解形如（1-3），然后将其带入原PDE ，从而，使PDE 降阶或化为带有参数的ODE ，达到简化问题的目的.基本步骤：（1）变量分离，设解的形式为（1-3）；（2）解ODE 的特征值问题，即确定特征值 n λ和特征函数)(x X n ；（3）求其余ODE 的解（一般为)(t T n ），并与特征函数相乘得到特解),(t x u n ;（4）将特解线性叠加，即得),(),(1t x u c t x u n n n ∑∞==;（5）用Fourier 级数法来确定待定系数n c .1.3.2 实例这里我们以有界弦的自由振动问题（1-3）为例，来说明用分离变量法求解PDE 定解问题的过程.为了简单起见，不妨设弦振动问题(1-3)，两端固定，且在初始时刻0=t 时处于水平状态，位移速度为)(x l x -，即相当于考虑在0)(=x ϕ, )()(x l x x -=ψ的特殊情形下，来求位移函数),(t x u .首先设问题(1-3)的解形如变量分离式(1-4), 将(1-4)代入(1-3)中的波动方程,有)()()()(2x X x X t T a t T ''=''λ-=, （常数）即;0)()(2=+''t T a t T λ (1-5) ,0)()(=+''x X x X λ (1-6) 这里函数)(t T 不恒等于零，故由（1-3）中的边界条件知0)()0(==l X X . (1-7) 经验证，只有当02>=βλ时，特征值问题(1-6)才有非零解，且其通解为x B x A x X ββsin cos )(+=. (1-8) 把边界条件(1-7)代入(1-8)中, 可推得特征值为 ,2⎪⎭⎫ ⎝⎛=l n n πλ（ ,2,1=n ）从而得特征函数是x l n B x X n n πsin )(=.（ ,2,1=n ）将n λ代入方程(1-5)解得 .sin cos )(lat n D l at n C t T n n n ππ'+'=（ ,2,1=n ）则波动方程(1-3)的形式解为x l n l at n D l at n C t T x X t x u n n n n n πππsin sin cos )()(),(⎪⎭⎫ ⎝⎛+==,（ ,2,1=n ）其中参数n n n n nn B D D B C C '='= ,. 因为定解问题中的方程和定解条件均为齐次，由线性叠加原理1.1知, 解 ∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==11sin sin cos ),(),(n n n n n x l n l at n D l at n C t x u t x u πππ (1-9) 仍满足式(1-3)中的边界条件. 故将其代入(1-3)中的初始条件,可得∑∞====10sin 0n n t x l n C u π; ∑∞===-=∂∂10sin )(n n t x ln l a n D x l x t u ππ. 上两式表明参数n C 和la n D nπ分别为函数0与)(x l x -在区间],0[l 上的Fourier 级数展开式的系数, 利用定理1.6的Fourier 系数公式, 自然可得;0sin 020⎰=⋅=l n xdx ln l C π ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰为偶数为奇数n n n l xdx l n x l x a n D l n ,0,4sin )(23330πππ再将n C 和n D 代入式(1-9), 就产生了定解问题(1-3)的解： ⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑∞=∞=为偶数为奇数n n x ln l at n n l t x u t x u n n n ,0,sin sin 4),(),(13331πππ且1=n ，3=n ，5=n 时, 某时刻解的图形如下图1.2 解在n 取不同值时的图形在所学范围内，我们认为分离变量法一般适用于齐次线性方程的齐次定解问题, 这里不再多举例.1.4 非线性系统中的分离变量法简介对于线性系统，人们已经有了比较深入的了解和应用，但是线性系统只是对于复杂事物近似的线性抽象和描述.为了更近一步探索复杂事物的本质，往往把目光放到了非线性系统，从而非线性科学得到了蓬勃的发展. 随着科学的进步, 我们一直探索的分离变量法也随之进入了非线性系统. 目前大体研究方向如下1.4.1 形式分离变量法形式分离变量法实际上就是最早由我国著名学者曹策问教授提出的非线性化方法，后来发展为李翊神教授和程艺教授的对称约束法.目前我国还有许多专家学者在致力于这方面的研究.通常这种方法只适用于Lax 可积系统. 楼森岳和陈黎丽将它推广到了不可积系统并称之为形式分离变量法，在文[7]中作者给出了求解非线性系统的形式分离变量法的一般过程，其描述如下：对于N 阶1+n 维非线性系统，0)(),,,,,,,,(121=≡⋅⋅⋅u F u u u u x x x t F N i j i i j i i x x x x x x n , (1-10)引入一组变量分离形式分离方程,i x K i =ψ ,,,,2,1,00t x n i ≡= (1-11) 其中,),,,(21T M x i ψψψψ ≡),,,,,(21n i i x x x t ψψ≡)(ψi i K K =是有M 个分量的矩阵函数. 根据相容性条件i j j i x x x x ψψ=, 要求i K 必须满足 0))()((],[0''=+-+∂∂≡-≡=εεψεψεi j i i j j i j i K K K K K K K K K K . (1-12) 假定（1-10）的解与ψ之间的关系为)(ψU u =, (1-13) 把(1-11)和(1-13)代入(1-10)后确定出函数U 和i K ，由此可得到形式分离变量解.可以看到，ψ是},,,,{21n x x x t 的函数，所以形式分离变量解中函数的变量并没有真正地实现分离，而只是1+n 个变量分别显现在1+n 个方程(1-11)中, 详见参考文献[10]的第六章. 1.4.2 多线性分离变量法上面提到的形式分离变量法本质上并没有真正的实现变量分离，因此为了实现真正意义上的变量分离，1996年搂森岳和陆继宗在关于DS 系统的论文中提出了一种分离变量法，即多线性分离变量法的雏形. 之后一直没有任何进展，直到5年后，才在已有的多线性分离变量法雏形的基础上开展了进一步的研究，建立了完善的多线性分离变量法，使得多线性分离变量法真正得到发展, 以致能够推广应用于大量的非线性模型.到目前为止，多线性分离变量法已经成功求解了一大类的2+1维非线性系统和一些1+1和3+1维的非线性系统.多线性分离变量法也已经成功的应用到了差分微分系统.我们称这些可以用多线性分离变量法求解的非线性PDE 为多线性分离变量可解方程，对应的解被称为多线性分离变量解.我们发现所有的非线性系统的多线性分离变量解都可以由一个形式上统一的式子表示.特别地，这个通式中包含了低维任意函数.此外，多线性分离变量法还可以被进一步推广为一般多线性分离变量法，从而得到一些非线性系统的一般多线性分离变量解，这个解包含了更多低维的变量分离函数.详见文[10]的第四章.1.4.3 泛函分离变量法泛函分离变量法主要是由俄罗斯的Zhdanov 和我国的屈长征教授等发展的，在文献（Qu C Z,Zhang S L,Liu R C.Physica D,2000,144:97）中作者提出了泛函分离变量法并建立了利用一般条件对称对方程进行归类和求解的步骤和实现方法.以N 阶1+1维非线性系统0)(),,,,,,,(=≡u F u u u u u t x F t t x x t x (1-14) 为例，可以对其求乘积型分离变量解 )()(t x u ψφ=(类同于传统分离变量法的形式解)或和式分离变量解)()(t x u ψφ+=.然而，绝大多数非线性系统没有此种解，因此可以进而寻求泛函分离变量解 )()()(t x u f ψφ+= (1-15) 其中)(u f 是可逆函数，泛函分离变量解(1-15)满足约束条件0)(=+≡t x t x u u u g u η,其中)()()(u f u f u g '''≡.这一问题等价于寻求方程(1-16)的一般条件对称 .])([uu u u g u u V t x t x ∂∂+≡∂∂=η 由此可以给出系统(1-14)具有泛函分离变量解(1-15)的完全归类, 并给出归类方程的泛函分离变量解, 详见文[10]的第五章.1.4.4 导数相关泛函分离变量法导数相关泛函分离变量法是泛函分离变量法的更一般的推广，它能够给出完整的分离变量解归类.对于非线性系统(1-14)，可定义下列4种形式的分离变量解：(1))()(),(t x u u f x ψφ+=;(2))()()()(),(t x t x u u f x ηξψφ++=;(3) );()())()((),,,,,,(11t x t x u u u u u u f i Ni i M i i i t t t x x x t x ηξψφ∑∑==++=(4)),(),,,,,,(ηξF u u u u u u f t t t x x x t x = ),(t x ξξ=),(t x ηη=.在利用导数相关泛函分离变量法对一些类型的非线性系统进行导数相关泛函分离变量可解的完全归类的研究中，对一些不同类型的非线性模型，先要求各种场量及其导数的某种（泛函）组合可以有加法或乘法的变量分离解；然后根据这一要求来确定相应的一般条件对称，进而利用一般条件对称、不变曲面条件和群论方法来确定所有可能的方程和可能的泛函组合，定出方程的所有可能的等价类；最后再分别求出导数相关泛函分离变量解.至今已经利用此方法对一般非线性扩展型方程、一般非线性波动方程和一般KdV 型方程做出了完整的分离变量可解归类，并且给出了这类非线性系统的严格解以及解的对称群解释.详见文[10]的第五章.从以上的摘录中,我们看到了分离变量法在非线性领域中的应用也是很广泛的,那么它的求解体系是否也能拓展呢? 我们将在下一章中讨论.第二章 Hamilton 体系下的分离变量法在第一章中通过对传统分离变量法的探讨，可以看出，能够应用传统分离变量法求解的偏微分方程总会导致自共轭算子的特征值问题，即S-L 问题. 然而，在实际应用中很多问题并不能导致自共轭算子，这就超出了传统分离变量法的应用范围. 为了克服这个困难，1991年钟万勰教授将无穷维Hamilton 系统引入到弹性力学，结合无穷维Hamilton 算子建立了弹性力学求解新体系.从而，为用分离变量法求解方程开辟出一条新道路, 拓宽了基于S-L 问题的传统分离变量法.2000年周建方等对S-L 问题，如波方程和调和方程在Hamilton 体系下实施分离变量法，结果发现所得结果与传统分离变量法一致，那么对常微分方程、传统方法所解决不了的二阶椭圆型方程、抛物型方程在Hamilton 体系下实施分离变量法结果会怎样？这就是本章所要解决的问题.2.1 辛空间的相关理论知识辛空间是研究面积的(或研究做功的), 不同于欧几里德空间, 它是指装备了一种具有特定性结构的空间, 是Hamilton 系统的数学基础. 下面以有限维(偶数维)辛空间为例来说明将要用到的相关基本知识[13].定义 2.1 设W 是实数域R 上的一个n 2维相空间,对W 中的任意两个向量α,β依一定法则对应着一个实数,这个数称为辛内积,记作],[βα, 并且辛内积],[βα运算满足下列4个条件:(1)反对称性：],[],[αββα-=；(2)齐次性：],[],[βαβαk k =，其中k 为任意实数；(3)可加性：],[],[],[βγβαβγα+=+，其中γ是W 中的任意向量；(4)非退化性：若向量α对W 中任一向量β均有0],[=βα, 则0=α，称定义有这样辛内积的相空间为辛空间(symplectic space).特别声明的是由辛内积的反对称性知,任一向量与其自身的辛内积一定是零,即对任意向量α, 有0],[=αα,这一点与欧氏空间是有本质区别的, 在欧氏空间中0],[2≥=a αα.定义 2.2 设在n 2维实向量空间n R 2中,对任意向量T n x x x x ),,(221 =,T n y y y y ),,(221 =, 定义一种辛内积为y J x y x y x y J x y x n T ni i i n i n i n 212)(),(],[=-==∑=++,其中矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002nn n I I J , (2-1) 这里称n J 2为单位辛矩阵,简记为J . 定义2.3 若向量α,β的辛内积0],[=βα,则称α与β辛正交; 否则, 则称α与β辛共轭.定义 2.4 对于n 个自由度的保守力学系统,设广义坐标n q q ,,1 , 广义共轭动量n p p ,,1 , 若系统描述为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂-=⋅⋅,;i i i i p H q q H p ),,1(n i = (2-2) 或改写成形式)(z H J dtdz ∇= 其中T n n p p q q z ),,,,(11 =,H ∇为能量函数H 的梯度向量,称式(2-2)为经典Hamilton 方程(有限维Hamilton 系统).定义2.5[14-15] 设X 为Hilbert 空间,X X X X H D H ⨯→⨯⊂)(:为微分算子,若H 满足JHJ H =*,则称如下发展方程(组)为无穷维Hamilton 正则系统Hu u =., (2-3)其中J 的表达式为(2-1).定义 2.6[14-15] 设X 为Hilbert 空间,X X D C B A →:,,,,若B B =*,C C =*, A D -=*,则称 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A H 为无穷维Hamilton 正则算子,简称为Hamilton 算子.定理2.7 如μ是Hamilton 算子H 的本征值，重数为m ，则μ-也一定是其本征值，重数也为m ；如Hamilton 算子H 存在零本征值，则重数一定为偶数.定理2.8 有限维Hamilton 算子H 具有归一加权)(x s 辛正交特征函数系, 即算子H 的特征函数系{k U }, ,,,2,1n k ±±±=满足⎩⎨⎧≠+=+=0,00,])(,[l k l k JU x s U l k 非零常数还有很多有关辛空间的理论,详见姚伟岸、钟万勰的专著[11].2.2 辛-Fourier 展开法二十世纪九十年代初, 钟万勰院士首次根据结构力学与最优控制理论,将由原变量及其对偶变量组成的辛空间(偶数维)引入到弹性力学,从而使分离变量思想及按辛本征函数展开的直接解析法得以实现,形成了弹性力学求解新体系,被学者们称之为辛-Fourier 展开法.这个新方法不同于偏微分方程求解的传统思路,它充分利用到了Hamilton 系统的优势：(1)一切真实耗散不计的过程都可以包容在当中；（2）使得方程组从形式上看降低了阶次为一阶，对一类问题可以在Hamilton 体系下实施Fourier 展开法;(3)从结构属性上，线性Hamilton 正则系统具有分离变量形式. 随着研究的深入，它往往不仅仅局限于弹性力学，也可以应用在偏微分方程的定解问题中. 具体的方法是将研究问题引入到无穷维Hamilton 系统，然后利用无穷维Hamilton 算子特征函数系展开给出形式解, 再讨论其收敛性. 这里我们将求解过程大致总结如下:(1)设法寻求一个满足定义2.6的Hamilton 正则算子，将要解决的方程导入形如(2-3)的Hamilton 体系;(2)对新引入的状态变量V 实施分离变量,即令)()(x X t T V n n =，从而导致Hamilton算子的特征值问题,并解得特征值n λ与特征函数;(3)类似于前一章介绍的传统分离变量法, 写出形式解;(4)验证相应Hamilton 算子的特征函数系的辛正交性(此步是该法的关键);(5)利用Fourier 展开方法确定形式解中的待定参数.此法尚在完善之中, 有很多工作有待进一步解决[16-17].由于知识所限, 我们暂不考虑该法关于收敛性方面的严格数学证明, 只在下一节中直接分析它的应用.。

《复数函数的积分变换》论文

《复数函数的积分变换》论文
《复数函数的积分变换》
近年来，复数函数在微分方面的研究有了很大发展。

虽然复数函数在积分上仍然存在许多挑战，然而，有一种重要的积分变换，可以有效解决此问题--复数函数的积分变换。

本文从复数
函数的积分变换出发，详细介绍了它的原理和应用。

首先，本文介绍了复数函数的积分变换的原理。

对于一个复数函数f(z)，其积分变换F(z)定义为：F(z)=∫f(x)dx,其中z是变量，x是积分区间上的一个变量。

这里，积分变换不仅仅涉及复数
函数的计算，也涉及复数函数原有函数的变换。

因此，复数函数的积分变换又被称为“变换积分法”。

其次，本文介绍了复数函数的积分变换的应用。

复数函数的积分变换在现代数学应用中有着重要的地位。

例如，在解决常微分方程的问题中，使用复数函数的积分变换可以获得十分有效的解决方案。

此外，应用复数函数的积分变换，还可以更好地理解某些特殊复数函数的性质。

因此，复数函数的积分变换有着广泛的应用前景。

最后，本文总结了复数函数的积分变换，指出复数函数的积分变换不仅仅涉及复数函数的计算，还涉及复数函数原有函数的变换，具有广泛的应用前景。

虽然今天的研究已经取得了一定的成果，但复数函数的积分变换在它的应用方面仍然具有很大的可探索空间。

最后，本文对此进行了展望，指出将来进一步的研究可以使这一领域的理论更加完善。

综上所述，本文全面介绍了复数函数的积分变换的原理及其应用，扩大了人们关于复数函数积分变换的认识。

本文还对将来关于这一领域的研究方向作了展望，为增进人们对复数函数积分变换的理解提出了新的思考。

复变函数与积分变换苯基

复变函数与积分变换苯基
一、复变函数
复变函数是指定义在复平面上的函数，其自变量和因变量都是复数。

复变函数具有许多特殊的性质，例如解析性、调和性、全纯性等等。

复变函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

复变函数的研究可以追溯到18世纪，欧拉是最早研究复变函数的数学家之一。

19世纪初，高斯和柯西对复变函数的研究做出了重要贡献，他们发现了复变函数的解析性和调和性之间的关系，奠定了复变函数理论的基础。

二、积分变换
积分变换是指将一个函数通过积分运算转换成另一个函数的过程。

常见的积分变换有拉普拉斯变换、傅里叶变换、Z变换等等。

积分变换在信号处理、控制理论、电路分析等领域都有广泛的应用。

积分变换的研究可以追溯到19世纪初，傅里叶是最早研究积分变换的数学家之一。

20世纪初，拉普拉斯对积分变换做出了重要贡献，他发现了拉普拉斯变换的重要性，并将其应用于电路分析和控制理论中。

三、苯基
苯基是指苯分子中的一个苯环上的一个氢原子被取代后形成的基团。

苯基是有机化学中常见的基团之一，它具有稳定性和反应活性，可以参与许多有机反应。

苯基的研究可以追溯到19世纪初，当时化学家们开始研究苯分子的结构和性质。

20世纪初，苯基的化学性质和反应机理得到了进一步的研究，为有机合成和材料科学等领域的发展做出了重要贡献。

复变函数与积分变换课程的教学实践与改革

复变函数与积分变换课程的教学实践与改革1. 引言1.1 背景介绍复变函数与积分变换课程是数学专业中重要的理论课程之一，它涉及到复数域上的函数论和积分变换的理论与方法。

随着数学教育的不断发展和科技的不断进步，复变函数与积分变换课程的教学也在不断改革与完善。

背景下，本文旨在探讨复变函数与积分变换课程的教学实践与改革，以期取得更好的教学效果，培养学生扎实的数学基础和创新思维能力。

传统的复变函数与积分变换课程教学往往注重理论知识的传授，课堂内容较为抽象，缺乏实际应用的案例分析。

而当前社会对高等教育的要求越来越强调实践能力和创新意识，因此课程教学模式亟待改革。

本文将从教学实践探索与改革方向、课程教学方法探讨、案例分析和教学效果评估等方面展开探讨，以期为复变函数与积分变换课程的教学改革提供一些借鉴和参考。

1.2 研究意义复变函数与积分变换课程作为数学学科中的重要内容之一，对于学生的数学思维能力和问题解决能力具有重要的培养作用。

通过对复变函数与积分变换课程的教学实践与改革，不仅可以提高学生对复杂数学概念的理解和运用能力，还可以促进学生对数学知识的探索和创新，培养学生的数学建模和分析能力。

对复变函数与积分变换课程的教学实践与改革具有重要的研究意义。

通过对课程教学方法的探讨和教学效果的评估，可以进一步完善课程教学内容和方式，推动数学教育的发展和提高学生的数学学习效果。

【研究意义】1.3 目的目的是通过对复变函数与积分变换课程的教学实践与改革进行深入探讨和分析，探索出更加有效的教学方法和教学内容的更新。

通过对课程教学现状的分析，找出存在的问题和不足之处，进而提出相应的改革方向和措施。

通过案例分析和教学效果评估，对教学改革进行量化评估和实证分析，总结出有效的教学模式和策略。

最终旨在提高学生对复变函数与积分变换课程的学习兴趣和知识掌握，培养他们的分析和解决问题的能力，为他们未来的学习和工作打下坚实的基础，并为教师提供更为有效的教学指导和借鉴。

复变函数与积分变换论文-

学习《复变函数与积分变换》心得这个学期，我们学习了复变函数与积分变换这门课程，作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。

同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。

近年来高校扩招，基础类课程学时缩减成为一种大的趋势。

在这种情况下，复变函数与积分变换这门课程如何取得最佳的教学效果，是需要探索和实践的。

复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。

它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。

传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。

而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。

如单位脉冲函数，对于集中于一点或一瞬时的量如点电荷、脉冲电流等，这些物理量都可以用通常的函数形式来描述。

在老师的教学中，老师向我们详细介绍该课程在所属学科领域的地位、用途和应该掌握的内容，学好这门课程的方法以及该课程的后继课程有哪些。

让学生了解该课程与先修课程间的联系，了解到复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的，在理论研究的各个方面既有区别又有联系。

老师注重启发式的教学，启发学生去发现已学知识与所学知识之间的联系，让学生学会在已学知识的基础上去推广得到新的结论并对新的结论进行论证。

这样既提高了学生发现问题分析问题的能力，也使学生在学习的过程中真正理解相关概念和定理，从而降低了学习难度。

我们学电气专业的，结合学生的相关专业，老师给我们补充一些与实际紧密结合的问题，用课堂所学内容予以解决，既能激发我们学习复变函数与积分变换这门课程的兴趣，又能使我们更好的了解本专业方向，为以后专业课的学习打下良好的数学基础。

复变函数与积分变换结课感想

工程数学的科学魅力------《复变函数与积分变换》结课论文《复变函数与积分变换》是继《高等数学》之后的一门工科电类专业的公共基础课程。

通过对它的学习使自己进一步认识了数学世界，认识了工程数学的无穷魅力，感叹于前人灵光一闪的发现，惊讶于人类智慧的浩瀚无尽，同时也学会了学习，学会了如何运用学到的数学工具解决一些简单问题。

数学之于其他自然科学的高度抽象性和基础性使之当之无愧地成为众学科之父，《复变函数与积分变换》作为数学的一个小的分支自然而然地对我们的学习产生了近乎革命性的影响。

为何学习以及学习心态。

如果抛弃“学以致用”、高投资回报率与实用主义的世俗信条而单纯以科学探索的长远眼光看待数学，那么数学史便是一部大师发现创造的历史，人类社会百年以至更长时间的文明积淀凝结成书，今天这份同样饱含了前人智慧思想的《复变函数与积分变换》便是往圣先贤无数次苦思冥想无数次灵光闪现后经历时代检验的文明成果。

学习它，就是回溯人类文明的足迹，与大师对话，重走发现之旅；与大师交流，以获得创造并改变世界的数学工具。

千百年，大师归去，然而优秀的数学思想却薪尽火传，我们得以承接人类文明的接力棒，不亦乐乎？尽管我们可能只是庞大社会机器上的一枚螺丝钉，但仍然有必要去了解整个机器的构造，以虔诚、敬重、学习的心态对待前人的发现创造，以便更好地掌握“一角冰山”，学好《复变函数与积分变换》这门课程。

如何学习以及学习方法。

将前人百年来的思想成果用有限的几十个学时全部接受甚至融会贯通似乎是不现实的。

学会查阅，以较短的时间找到所需的知识的能力是大学说要传授我们的“渔”。

正如老师所说，有些知识可能要等到工作实践时才能恍然大悟，而有些知识甚至可能我们永远都理解不了。

查找知识的能力适用于其他任何学科。

一个人不可能掌握所有的知识，但他必须学会如何学习，正所谓学习能力比学习本身更重要。

查阅之后反复使用才能转化为自己的东西，而工程数学给我们实践所学更多的机会，使之更接近一门技术。

读《复变函数》与《积分变换》有感

班级B10202 姓名李建良学号36读《复变函数》与《积分变换》有感在学了《高等数学》之后，我们进一步学习《复变函数》和《积分变换》这两本书，这两本书是《高等数学》的微积分扩展和延伸，还有将复数将以深入学习和扩展，并引入函数的概念。

因此感觉有一定的深度和难度。

它们都利用数学的理论来解决实际问题。

复变函数中有很多概念，其中理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们有许多相似之处，但是复变函数与实变函数有不同之点。

就拿第一章来说，复数与复变函数，本课程研究对象就是自变量为复数的函数。

在中学阶段，我们已经学习过复数的概念和基本运算。

本章将原来的基础上作简要的复习和补充。

然后再介绍在复变平面上区域以及复变函数的极限和连续性等概念，为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。

概括一下，以前学过方程x2=-1是无解的，因而设有一个实数的平方等于-1。

第一节是复习原来的内容，然后逐步引入函数的概念。

再引进对复变函数的表达式和复变函数重幂与方根以及加减法研究。

由于上学期，我们学习函数概念中，引入极限的概念，然而复变函数也有极限特性。

所以对复变函数极限分析有着相似之处，因此可以借鉴学函数极限方法来研究复变函数，然而复变函数又有其独特特性，研究时必然会给我们带来很多困难和意想不到的问题，所以就是它的不同之处。

后面将复变函数引入微积分的概念，刚开始觉得挺好学，按照以前学微积分的思想就能接纳复变函数的微积分，当我遇到了用函数微积分解决复变函数时，复变函数的转化和变形却是难题，但是经过一番努力，我逐渐领悟到复变函数在微积分在数学中的独特魅力。

在学习复变函数中，要勤于思考，善于比较分析其共同点，更要领越复变函数的独特魅力，如果这样才能抓住本质，融会贯通。

而《积分变换》研究的是将复杂的运算转化为较简单的运算。

本书讲解了积分在数学中的应用，常用的两种积分变换Fourier变换和Laplace变换。

利用Fourier变换和Laplace变换将复杂的积分转化为简单的积分变换，有利于对复杂积分的求解，所以学习《积分变换》的思路就不像学习《复变函数》一样，它的解题思路和《积分变换》截然不同，就拿Fourier 变换而言，先引进Fourier定理，然后利用Fourier定理解决数学中一些难解的积分，用积分变换也可以解决工业中一些工程计算。

北京林业大学复变函数与积分变换结课论文