北京林业大学复变函数与积分变换结课论文

复变函数与积分变换

结课论文

题目：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用指导老师：

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拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用

摘要

拉普拉斯变换是一种用来解线性微分方程的较简单的工具。它在电学、力学、控制论等很多工程技术与科学领域有着广泛的应用，由于它对像原函数f(t)要求的条件比傅氏变换要弱，故研究拉氏变换有极重要的意义。本文将简单介绍拉普拉斯变换的定义以及其性质，并对其在解微分方程（组）中的应用做了简单的归纳总结。

关键词：拉普拉斯变换，性质，微分方程

一、拉普拉斯变换的概念及其性质

1.1问题的提出

我们知道，一个函数当它除了满足狄氏条件外，还在（—∞，+∞）内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅里叶变换。但绝对可积的条件是比较强的，许多函数（如单位阶跃函数、正弦、余弦函数等）都不满足这个条件；其次，可以进行傅里叶变换的函数必须在整个是数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 作为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或者不用考虑的，想这些函数都不能取傅里叶变换。

虽然在引入δ函数后，傅里叶变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但仍然无法解决以指数级增长的函数。[1]

对于任意一个函数φ（t ），若用单位阶跃函数u （t ）乘φ（t ），则可以使积分区间由（—∞，+∞）换成[0，+∞），用指数衰减函数t

β-e

（β>0）乘φ（t ）就有可能使其变得绝对可积，因

此只要β选的恰当，一般来说，任意函数φ（t ）的傅氏变换是存在的，这样就产生了拉普拉斯变换。

1.2拉普拉斯变换的定义

当函数)(t f 满足条件：（1）当t<0时，)(t f =0；（2）当0≥t 时，函数)(t f 连续；（3）当∞→t 时，)(t f 的增长速度不超过某个指数函数，即存在常数M 及α，使得

t Me t f α≤|)(|，则含参数s 的无穷积分 收敛。（s=β+jω）[2] 我们称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换（或称为像函数），记为F(s)= )](

[t f L 。 相反的，从F(s)到f(t)的对应关系称为拉普拉斯逆变换（或称为像原函数）。即

)]([)(1s F L t f -=.

1.3拉普拉斯变换的性质

1、线性性质[3]

设α、β为常数，且)()]([),()](

[s G t g L s F t f L ==，则有 0

()()st F s f t

e dt +∞

-=⎰

()12(1)[()]()(0)(0)(0).

n n n n n L f t s F s s f s f f ---'=---

-).

()()]()([),()()]()([1

-t g t f s G s F L s G s F t g t f L βαβαβαβα±=±±=±

2、相似性质[4]

设),()]([s F t f L =则对任一常数a>0有

),(1

)]([a

s

F a at f L =

3、微分性质

①导数的像函数

设),()]([s F t f L =则有 ),0()()]([‘

f s sF t f L -= 一般地，有 其中，)0()

(k f

应理解为)()(0lim t f k t +

→.

特殊地，有

).0(')0()()](

''[2

f sf s F s t f L --= ②像函数的导数

设),()](

[s F t f L =则有 )],([-)('t tf L s F = 一般地，有

)].([-1)()((n)

)（t f t L s F n n =

4、积分性质[5]

①积分的像函数

设),()]([s F t f L =则有 ),(1

])([0s F s

t f L t

=

⎰

一般地，有 ).(1

])([次

s F s

dt t f dt dt L n

n t

t t =

⎰⎰⎰

1212()()()().

f t f t f f t d τττ+∞

-∞

*=-⎰

②像函数的积分

设),()]([s F t f L =则有 ],

)

([)(t

t f L ds s F s

=⎰

∞

一般地，有

].)

([)(次

n n s s s t t f L ds s F ds ds =⎰⎰⎰∞

∞

∞

5、延迟性质

设),()]([s F t f L =当t<0时,0)(=t f 则对任一非负实数τ有

).()]-([s F e t f L s ττ-=

6、位移性质

设),()]([s F t f L =则有 )()]([a s F t f e L at

-= (a 为一复常数). 7、周期函数的像函数[6]

设)(t f 是),0[+∞内以T 为周期的函数，且)(t f 在一个周期内逐段光滑，则

.)(11)]([0

⎰---=

T

st

sT

dt e t f e t f L 8、卷积与卷积定理[7]

①卷积

我们已知两个函数的卷积是指

如果，则有0)()(时，0满足当)(与)(

2121==

)()()()()()(2

1

20

12-1τττττττττd t

f f d t f f d t f f t

-=

-=

-⎰⎰

⎰

+∞

+∞

∞

即，

.）0（,)()()(*)(0

2

1

21≥-=

⎰t d t

f f t f t f t

τττ