17定轴转动刚体的角动量守恒定律
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定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
Iz
( 1 ml 2 12
mr 2 )
代入得 mgr cos 2mr dr
dt
v
dr dt
g cos 2
g
2
cos
t
7 lg 24v 0
cos(12v 7l
0t
)
L 0 J 常量
即：合外力为对转轴的力矩为零时，刚体的角动量守恒
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小, J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量
。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对
转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角
动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
1
ml 2
mvl
1
ml 2
3
3
（2）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。
’取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右
摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为
例12、如图所示，长为L，质量为m1的均匀细棒 能绕一端在铅直平面内转动。开始时，细棒静止于
垂直位置。现有一质量为m2的子弹，以水平速度v0
射入细棒下断而不复出。求细棒和子弹开始一起运 动时的角速度？
题意分析：由于子弹射入细棒的时间极为短促，我们 可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于垂 直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就 是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的 合外力（重力和轴支持力相等）对转轴O的力矩都为 零。根据角动量守恒定律，系统对于O轴的角动量守 恒。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
§3-3定轴转动刚体的角动量守恒定律
v0
1 2 J ml 3
解：系统的合外力矩为零,角动量守恒
mv l mv l 0 m7l
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动 dv d2 x dx a 2 v dt dt dt 1 2 Pmv EK mv 2 刚体的定轴转动 d d2 d 2 dt dt dt 1 2 LJ EK J 2
也变， 不变；若 J 变，
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击、碰撞等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
例1 一根质量为 M ，长为l 的均匀细棒，可绕通 过棒中心的垂直轴 Z ，在 xy 平面内转动。开始时 静止，今有质量为 m 的小球以速度 v0 垂直碰撞 棒的端点，假设碰撞是完全非弹性的，小球与棒碰 撞后粘在一起，试求碰撞后系统转动的角速度
§3-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律 一、 定轴转动刚体的角动量定理 由转动定律
d ( ) d ( J ) d L M J J d t d t d t
或写作
t 2
M d t d L
t 2
对于一段时间过程有
M d t d L L L 末 初
t 1 t 1
F
d A F d x
m
M
J
Fdt
d A M d M dt
F ma
M J
0
d t P P F
d t L L M
0
v0
m
M l
x
y
z
解：系统的合外力矩 为零.角动量守恒 碰撞前 球角动量: mv
0
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
P
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 11
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量 刚体对转轴z 轴的角动
量就是刚体上各质元的角动
量之和． Li miri2
z
Lz
r
mv
mv
L Li (miri2 ) ( miri2 ) J
i
i
i
的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂
直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中
木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此
时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 .
解 击中瞬间，在水平
面内，子弹与木块组成
的系统沿 v0方向动量守 恒，即有
mv0 (m M )v1
置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处,
并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量
均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多
大速率向细杆端点爬行?
解: 碰撞前后系统角动量 守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)
2
12v0 7l
第3章 刚体力学基础
第3章 刚体力学基础
第4节
大学物理学(力学与电磁学) 6
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 2
(m
M)v21
1 2
(m
M)v22
1 2
k (l
l0 )2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的
弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
第四章 刚体的定轴转动
9
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
例1 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， (A)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 (B)它受热膨胀时角速度变大，遇冷收缩时 角速度变小 (C)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大 (D)它受热膨胀时角速度变小，遇冷收缩时
in
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第四章 刚体的定轴转动
7
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 茹可夫斯基凳
m
m
ω
第四章 刚体的定轴转动
r2
r1
8
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律 直升机螺旋桨的设置
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
3
刚体定轴转动的角动量定理
质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
in 合外力矩 M 对定轴转的刚体 i 0 ，
dLi d( J ) d 2 Mi (mi ri ) dt dt dt
ex d d ( J ) 2 M M i ( mi ri ) dt d t d( J ) dL 刚体定轴转动 M dt dt 的角动量定理
第四章 刚体的定轴转动
5
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从 t1到 t 2内，角速度从 ω1变为 ω2，积分可得：
9
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
例1 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， (A)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 (B)它受热膨胀时角速度变大，遇冷收缩时 角速度变小 (C)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大 (D)它受热膨胀时角速度变小，遇冷收缩时
in
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第四章 刚体的定轴转动
7
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 茹可夫斯基凳
m
m
ω
第四章 刚体的定轴转动
r2
r1
8
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律 直升机螺旋桨的设置
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
3
刚体定轴转动的角动量定理
质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
in 合外力矩 M 对定轴转的刚体 i 0 ，
dLi d( J ) d 2 Mi (mi ri ) dt dt dt
ex d d ( J ) 2 M M i ( mi ri ) dt d t d( J ) dL 刚体定轴转动 M dt dt 的角动量定理
第四章 刚体的定轴转动
5
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从 t1到 t 2内，角速度从 ω1变为 ω2，积分可得：
5.5 定轴转动刚体的角动量守恒
解：1）杆 + 子弹：竖直位置，外力（轴 O 处的 力和重力）均不产生力矩，
故碰撞过程中角动量守恒：
O
2l 1 2l 2 2 mo [ M l m ( ) ] 3 3 3
2l 3
6m o 解得： l (3 M 4m )
系统的动量守恒吗？
mo A
18
5.5 角动量守恒定律
同高从静止 开始往上爬
28
5.5 角动量守恒定律
讨 论 : 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o'
T
m
v
p
o
v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 动量守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒。 机械能不守恒。
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 29 机械能守恒。
2）杆在转动过程，机械能守恒：
1 1 2l 2 2 l 2l 2 [ M l m ( ) ] Mg mg 2 3 2 3 3 O l 2l 零势面 M g co s - m g co s 2l 2 3 3 6m o 由前： mo A l(3 M 4m ) 2l 2 ( mo ) 3 cos 1 1 2l 2 l 2l 2 2 [ Ml m ( ) ]( Mg mg ) 19 3 3 2 3
考虑到
7lg 12v0 dr g cost cos( t) dt 2 24v0 7l
t
27
5.5 角动量守恒定律
讨论
质点系 忽略轮、绳质量及轴摩擦。
，系统受合外 若 力矩为零，角动量守恒。
《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
定轴转动动量矩定理和守恒定律.ppt
➢ 在冲击等问题中M in M exL 常量
➢ 动量矩守恒定律是自然界的一个基本定律.
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
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应用事例 常平架上的回转仪
A
LB
C
B
C
精确制导
A
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
m r
2 刚体定轴转动的动量矩
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
i
L J
z
转动的动量矩定理
由刚体定轴转动定律 M J d
dt
M d(J) dL
dt dt
刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.
将上式变形后积分
Mdt d(J) dL
t2 t1
Mdt
J2
子o
弹 击 入 杆
v
以子弹和杆为系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒．
o'
圆 锥 摆
T
m oR
p v
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒．
例1 一质量为 m 的登月飞船，在离月 球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船采 用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向 外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相 切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船所 喷气体相对飞船的速度为 u 1.00 104 m s1 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料
vB (R h)v0 R 1 709 m s1
飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的 过程中，机械能守恒
➢ 动量矩守恒定律是自然界的一个基本定律.
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
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应用事例 常平架上的回转仪
A
LB
C
B
C
精确制导
A
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
m r
2 刚体定轴转动的动量矩
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
i
L J
z
转动的动量矩定理
由刚体定轴转动定律 M J d
dt
M d(J) dL
dt dt
刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.
将上式变形后积分
Mdt d(J) dL
t2 t1
Mdt
J2
子o
弹 击 入 杆
v
以子弹和杆为系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒．
o'
圆 锥 摆
T
m oR
p v
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒．
例1 一质量为 m 的登月飞船，在离月 球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船采 用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向 外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相 切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船所 喷气体相对飞船的速度为 u 1.00 104 m s1 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料
vB (R h)v0 R 1 709 m s1
飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的 过程中，机械能守恒
17定轴转动刚体的角动量守恒定律
啮合过程机械能损失J：1 J 2
E
E0 E
(1 2
J112
1 2
J
2
22
)
1 2
(
J1
J2
)
2
J1J2 (1 2 )2
2(J1 J2 )103由于刚体的角动量等于刚体的转动惯量和角速度 的乘积。定轴转动刚体角动量的情况有两种：
a)对于定轴转动的刚体，其转动惯量I为常数，其角
速度 也为常数， =0。
0 0 , 0 0 C , C
即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止， 原来转动的将永远转动下去。证明了牛顿第一定律。
端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知 小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和u，则碰撞后
棒绕轴转动的角速度 为多大？
解: 对于整个系统不考虑轴间摩擦阻力矩,则系统不受外力
矩作用, 碰撞前后角动量守恒.
m2vl I m2ul
细棒绕O转动的转动惯量为
I
1 3
m1l 2
m2 v
uA
O
m1
代入上式求得 3(v u)m2
定轴转动刚体的 角动量守恒定律
1
一、定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定律： M I I d d(I) dL
dt dt dt
M dL dt
定轴转动刚体角动量 定理微分形式
定轴转动刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量
对时间的变化率。
将 M dL 两边同时乘以dt并积分，得：
dt
t
L
Mdt t0
I2 I0 2ml22 60 2 5 0.22 60.4kg m 2
2
I11
I2
3 70 60 .4
E
E0 E
(1 2
J112
1 2
J
2
22
)
1 2
(
J1
J2
)
2
J1J2 (1 2 )2
2(J1 J2 )103由于刚体的角动量等于刚体的转动惯量和角速度 的乘积。定轴转动刚体角动量的情况有两种：
a)对于定轴转动的刚体，其转动惯量I为常数，其角
速度 也为常数， =0。
0 0 , 0 0 C , C
即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止， 原来转动的将永远转动下去。证明了牛顿第一定律。
端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知 小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和u，则碰撞后
棒绕轴转动的角速度 为多大？
解: 对于整个系统不考虑轴间摩擦阻力矩,则系统不受外力
矩作用, 碰撞前后角动量守恒.
m2vl I m2ul
细棒绕O转动的转动惯量为
I
1 3
m1l 2
m2 v
uA
O
m1
代入上式求得 3(v u)m2
定轴转动刚体的 角动量守恒定律
1
一、定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定律： M I I d d(I) dL
dt dt dt
M dL dt
定轴转动刚体角动量 定理微分形式
定轴转动刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量
对时间的变化率。
将 M dL 两边同时乘以dt并积分，得：
dt
t
L
Mdt t0
I2 I0 2ml22 60 2 5 0.22 60.4kg m 2
2
I11
I2
3 70 60 .4
定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
O
C
零点， 表示棒这时的角速度, 零点，用ω表示棒这时的角速度,则
l 1 11 2 2 2 mg = J ω ＝ ml ω 2 2 23
（ 1）
第二阶段是碰撞过程 。 因碰撞时间极短， 第二阶段是 碰撞过程。 因碰撞时间极短 ， 自由的 碰撞过程 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力， 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略 这样，棒与物体相撞时， 。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对 的外力矩为零，所以， 转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角 动量守恒。 表示物体碰撞后的速度， 动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
讨论： 讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体， 保持不变 保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体 当合外力矩为零时，其角速度恒定。 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当 M z = 0时， J =恒量
ω
=恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时, 若系统由若干个刚体构成 统的角动量依然守恒。 统的角动量依然守恒。J 大→ ω , J 小→ 大。 小 ω
(6)
l h = + 3 µ s − 6 µ sl 2
的匀质细杆， 例13：一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定 13： 水平轴在铅垂面内自由转动， 水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位 置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O点 l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行 处的杆上， ，如图所示。若要使杆以匀角速度转动 如图所示。 求: 昆虫沿杆爬行的速度。 昆虫沿杆爬行的速度。
r r vi ∆m i L r ri
C
零点， 表示棒这时的角速度, 零点，用ω表示棒这时的角速度,则
l 1 11 2 2 2 mg = J ω ＝ ml ω 2 2 23
（ 1）
第二阶段是碰撞过程 。 因碰撞时间极短， 第二阶段是 碰撞过程。 因碰撞时间极短 ， 自由的 碰撞过程 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力， 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略 这样，棒与物体相撞时， 。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对 的外力矩为零，所以， 转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角 动量守恒。 表示物体碰撞后的速度， 动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
讨论： 讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体， 保持不变 保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体 当合外力矩为零时，其角速度恒定。 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当 M z = 0时， J =恒量
ω
=恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时, 若系统由若干个刚体构成 统的角动量依然守恒。 统的角动量依然守恒。J 大→ ω , J 小→ 大。 小 ω
(6)
l h = + 3 µ s − 6 µ sl 2
的匀质细杆， 例13：一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定 13： 水平轴在铅垂面内自由转动， 水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位 置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O点 l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行 处的杆上， ，如图所示。若要使杆以匀角速度转动 如图所示。 求: 昆虫沿杆爬行的速度。 昆虫沿杆爬行的速度。
r r vi ∆m i L r ri
刚体的转动 角动量守恒定律
L
r
mv
二.力矩
M
r
F
大小：M
方向： r
rF F
sin
单位： N m 量纲： ML2T 2
三.角动量定理
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时
间的变化率
M
dL
dt
2.8 角动量 角动量守恒定律
一L.角动r量 mv二.力M矩 r三.角F动量定理
M
dL
dt
四.角动量守恒定律：如果对于某一固定点，质 点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定
x dx
IB
1 3
m L2
1 mL2 12
m
L 2
2
B A h O质
IC
1 XmL2 12
IA
1 12
m L2
m h2
IB
1 mL2 12
m
L
2
2
平行轴定理：绕任意轴的转 动惯量等于绕过质心的平行 的转动惯量加上质量与两轴 间距的平方
I IC md2
d
A
C
例2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆 盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与 环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
质心运动定理反映了物体的平动规律。
2.刚体的定轴转动 刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆 周运动，称为刚体作定轴转动。
3.刚体的一般运动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示 为一个随质心的平动加上绕质心的转动。
三. 刚体定轴转动的特点
每一质点都作圆心在轴上，圆平面垂直轴，
且角位置.角速度.角加速度都相同的圆周运动
复习
冲量：
dI Fdt
I
动量定理：
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律.
l 1 l 2 2 mv0 m l m( ) 4 12 4
12 v 0 7 l
12 v 0 7 l
由角动量定理
dL d ( I ) dI M dt dt dt
即
d 1 dr 2 2 mgr cos ( ml mr ) 2mr dt 12 dt
※ 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动对轴上一点的角动量（自学） ：
结 论：
一般情况下，刚体定轴转动对轴上一点的角动 量并不一定沿角速度（即转轴）的方向，而是与其 成一定夹角；但对于质量分布与几何形状有共同对 称轴的刚体，当绕该对称轴转动时，刚体对轴上任 一点的角动量与角速度的方向相同.
4 m 2m M
[讨论] ① M>>m ② M<<m
作 业：
7.4.3. 思 考： 7.4.1.
例:
已知均匀直杆(l ,M),一端挂在光滑水平轴上，开始时静止 在竖直位置，有一子弹（m.vo)水平射入而不复出。求杆与子弹 一起运动时的角速度.
解：
子弹进入到一起运动，瞬间完成.
I
i i
i
const.
但角动量可在内部传递。
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若 M 0 ，则 讨论
守 恒条件:
L I 常量
M 0
若 I 不变， 不变；若 I 变， 也变，但 L I 不变. 内力矩不改变系统的角动量. 在冲击等问题中
M in M ex L 常量
现在讨论力矩对时间的积累效应。
※ 现在讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： dL 对点： M 外
dt
5.5 刚体定轴转动的角动量守恒定律
周期约1.19 s
脉冲星的精确周期性信号
J z const .
星体不被惯性离心力甩散，必须满足条件：
GM 4 2 3 R , ( M R ) 2 3 R
3 2 3 11 3 10 kg / m 4 G GT 2 3 3
恒星 红巨星 中子星 脉冲星是高速旋转的中子星。
5.5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
一、角动量定 理 质点系 对点 对轴 刚体
M外
dL dt
Lz J z
M 外z dLz dt
d ( J z ) Mz dt
刚体的角动量定理
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
d ( J z ) Mz dt
M 外z 0
J z
t2 M 外z t1
d t J z 2 J z 1
——刚体定轴转动的角动量定理
【例题】一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止 悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失 3/4,求子弹穿出后棒的角速度 解：棒对子弹的阻力为 f
M
l
对子弹 fdt m( 0 ) m0 4
Fe 7.8 10 kg / m 白矮星 黑洞
三、角动量定理的另一形式 对点
M外
冲量矩
t2 M外 t1
dL dt
M外 d t d L
d t L2 L1
t2
t1
M 外 d t 力矩对时间的积累效应
刚体定轴转动
d ( J z ) Mz dt
子弹对棒的反作用力
m
f3Leabharlann 对棒的冲量矩0
3 f ldt l f dt l fdt lm0 J 4 9m0 3 lm0 4J 4Ml
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解 : 对于整个系统不考虑轴 间摩擦阻力矩 , 则系统不受外力 矩作用 , 碰撞前后角动量守恒 .
m2vl I m2ul
细棒绕 O转动的转动惯量为
1 I m1l 2 3
m2
v
A
O
u
m1
3(v u )m2 代入上式求得 m1l
9
例4：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分 别为 1 、2，求两飞轮啮合后共同的角速度 。啮合 过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,合 外力矩为0，系统角动量守恒。 L0 L C
即 L＝ 常 矢 量
当刚体受到的合外力矩为0 时，其角动 刚体角动量 守恒定律 量保持不变，即刚体的角动量守恒。 a)角动量守恒是对一段时间而言的。
b)对定轴转动的刚体，角动量守恒的条件是所 说明： 受的合外力矩为零，而不是冲量矩为零。 c) M 0，可以是r=0,也可以是 F 0 ,还可能 是轴与F同向或反向。
2
I2
60 . 4
角速度增加。
8
例3 有一长为l，质量为m1的均匀细棒，静止平放在 光滑水平桌面上，它可绕通过其端点O，且与桌面垂 直的固定光滑轴转动。另有一质量为m2 、水平运动 的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一 端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知 小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和u，则碰撞后 棒绕轴转动的角速度 为多大？
J 11 J 22 ( J 1 J 2 ) J 11 J 2 2 共同角速度
J1 J2
1
2
啮合过程机械能损失： 1 1 1 2 2 2 ( J J ) ( J J ) E E 0 E 2 1 1 2 2 2 2 1 2 J1 J 2 (1 2 ) 2 2( J1 J 2 )
定轴转动刚体的 角动量守恒定律
1
一、定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定律： M
I
dL M dt
d d ( I ) dL I dt dt dt
定轴转动刚体角动量 定理微分形式
定轴转动刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量 对时间的变化率。 dL 将M 两边同时乘以dt并积分，得： dt
Mdt
t0
t
L L0
dL L L0
定轴转动刚体角动量 定理积分形式
作用在刚体上的冲量矩等于在作用时间内角动量 的增量。
2
a)M是合外力矩，L是刚体的角动量。 注意： b)M和L必须是对同一转轴的。
如果M＝0则 0 dt
二、定轴转动刚体的角动量守恒定理 t L dL Mdt dL L L0 M t0 L0 dt dL
5
0 例1：在摩擦系数为桌面上 有细杆，质量为 m、长度为 l， o m , l 以初始角速度 0 绕垂直于杆 的质心轴转动，问细杆经过多 长时间停止转动。 解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。
确定细杆受的摩擦力矩 细杆的质量密度为：
m /l 分割质量元dm dm dx 质元受的摩擦力矩 dM dmgx
l/2
1 细杆受的摩擦力矩 M l / 2dM mgl 4
6
始末两态的角动量为：
由角动量定理：
t t0
L0 I0 ,
L 0
M dt L L 0
0
o
t
0
1 1 2 mglt ml 0 m ,l 4 12 l /2 l 0 t 3 g
3
由于刚体的角动量等于刚体的转动惯量和角速度 的乘积。定轴转动刚体角动量的情况有两种： a)对于定轴转动的刚体，其转动惯量I为常数，其角 速度 也为常数， =0。
0 0 , 0 0 C , C
即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止， 原来转动的将永远转动下去。证明了牛顿第一定律。 b)对于定轴非刚体，转动惯量是变化的，角动量守恒， 即I和的乘积保持不变， I=C。
I I
4
例如：花样滑冰运动员的“旋”动作， 当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转 速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快。 再如：跳水运动员的“团身 --展体”动作，当运动员跳水时 团身，转动惯量较小，转速较快； 在入水前展体，转动惯量增大， 转速降低，垂直入水。 强调：由质点和刚体组成的系统中，即有质点的运动， 又有刚体的转动。在这种情况下，一般按转动问题来 处理毕竟方便。当研究的是质点与刚体的碰撞问题时， 可以把质点和刚体看成一个系统，在碰撞期间，由于 系统所受的合外力矩为零，所以可对系统应用角动量 守恒定律。
1 mgldt 0 I 0 4
dm l / 2
x
dx
x
本题也可用运动学方法求解，由 M=I, 和 =0+ t, 求出 t = 0/ 。
7
例2：人与转盘的转动惯量J0=60kg·m2,伸 臂时臂长为 1m，收臂时臂长为 0.2m。人 站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上， 每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸臂时转 动角速度 1 = 3 s-1,求收臂时的角速度 2 。
10
解：整个过程合外力矩为0，角动量守恒，
o
1
o
I11 I 22
I1 I 0 2ml 60 2 5 1 70 kg m
2 1
2
2
Байду номын сангаас
2
2 2 60 . 4 kg m 60 2 5 0 . 2 I 2 I 0 2ml2 I11 3 70 -1 2 3 .5s 由转动惯量的减小，
m2vl I m2ul
细棒绕 O转动的转动惯量为
1 I m1l 2 3
m2
v
A
O
u
m1
3(v u )m2 代入上式求得 m1l
9
例4：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分 别为 1 、2，求两飞轮啮合后共同的角速度 。啮合 过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,合 外力矩为0，系统角动量守恒。 L0 L C
即 L＝ 常 矢 量
当刚体受到的合外力矩为0 时，其角动 刚体角动量 守恒定律 量保持不变，即刚体的角动量守恒。 a)角动量守恒是对一段时间而言的。
b)对定轴转动的刚体，角动量守恒的条件是所 说明： 受的合外力矩为零，而不是冲量矩为零。 c) M 0，可以是r=0,也可以是 F 0 ,还可能 是轴与F同向或反向。
2
I2
60 . 4
角速度增加。
8
例3 有一长为l，质量为m1的均匀细棒，静止平放在 光滑水平桌面上，它可绕通过其端点O，且与桌面垂 直的固定光滑轴转动。另有一质量为m2 、水平运动 的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一 端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知 小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和u，则碰撞后 棒绕轴转动的角速度 为多大？
J 11 J 22 ( J 1 J 2 ) J 11 J 2 2 共同角速度
J1 J2
1
2
啮合过程机械能损失： 1 1 1 2 2 2 ( J J ) ( J J ) E E 0 E 2 1 1 2 2 2 2 1 2 J1 J 2 (1 2 ) 2 2( J1 J 2 )
定轴转动刚体的 角动量守恒定律
1
一、定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定律： M
I
dL M dt
d d ( I ) dL I dt dt dt
定轴转动刚体角动量 定理微分形式
定轴转动刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量 对时间的变化率。 dL 将M 两边同时乘以dt并积分，得： dt
Mdt
t0
t
L L0
dL L L0
定轴转动刚体角动量 定理积分形式
作用在刚体上的冲量矩等于在作用时间内角动量 的增量。
2
a)M是合外力矩，L是刚体的角动量。 注意： b)M和L必须是对同一转轴的。
如果M＝0则 0 dt
二、定轴转动刚体的角动量守恒定理 t L dL Mdt dL L L0 M t0 L0 dt dL
5
0 例1：在摩擦系数为桌面上 有细杆，质量为 m、长度为 l， o m , l 以初始角速度 0 绕垂直于杆 的质心轴转动，问细杆经过多 长时间停止转动。 解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。
确定细杆受的摩擦力矩 细杆的质量密度为：
m /l 分割质量元dm dm dx 质元受的摩擦力矩 dM dmgx
l/2
1 细杆受的摩擦力矩 M l / 2dM mgl 4
6
始末两态的角动量为：
由角动量定理：
t t0
L0 I0 ,
L 0
M dt L L 0
0
o
t
0
1 1 2 mglt ml 0 m ,l 4 12 l /2 l 0 t 3 g
3
由于刚体的角动量等于刚体的转动惯量和角速度 的乘积。定轴转动刚体角动量的情况有两种： a)对于定轴转动的刚体，其转动惯量I为常数，其角 速度 也为常数， =0。
0 0 , 0 0 C , C
即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止， 原来转动的将永远转动下去。证明了牛顿第一定律。 b)对于定轴非刚体，转动惯量是变化的，角动量守恒， 即I和的乘积保持不变， I=C。
I I
4
例如：花样滑冰运动员的“旋”动作， 当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转 速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快。 再如：跳水运动员的“团身 --展体”动作，当运动员跳水时 团身，转动惯量较小，转速较快； 在入水前展体，转动惯量增大， 转速降低，垂直入水。 强调：由质点和刚体组成的系统中，即有质点的运动， 又有刚体的转动。在这种情况下，一般按转动问题来 处理毕竟方便。当研究的是质点与刚体的碰撞问题时， 可以把质点和刚体看成一个系统，在碰撞期间，由于 系统所受的合外力矩为零，所以可对系统应用角动量 守恒定律。
1 mgldt 0 I 0 4
dm l / 2
x
dx
x
本题也可用运动学方法求解，由 M=I, 和 =0+ t, 求出 t = 0/ 。
7
例2：人与转盘的转动惯量J0=60kg·m2,伸 臂时臂长为 1m，收臂时臂长为 0.2m。人 站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上， 每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸臂时转 动角速度 1 = 3 s-1,求收臂时的角速度 2 。
10
解：整个过程合外力矩为0，角动量守恒，
o
1
o
I11 I 22
I1 I 0 2ml 60 2 5 1 70 kg m
2 1
2
2
Байду номын сангаас
2
2 2 60 . 4 kg m 60 2 5 0 . 2 I 2 I 0 2ml2 I11 3 70 -1 2 3 .5s 由转动惯量的减小，