古典概型解题思路分析—— 排列与组合综合应用
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中非常重要的一个知识点，同时也是考试中经常出现的题型。
古典概型是指在某个事件中，样本空间中的每个元素都有相同的概率出现。
在古典概型题中，常见的几种问题包括排列、组合、分配等，不同类型的问题需要使用不同的解题技巧。
下面我们将介绍一些古典概型问题的解题技巧。
一、排列问题的解题技巧排列是指n个不同元素按照一定顺序取出r个，这个过程叫做排列。
对于排列问题，我们可以使用以下几种解题技巧：1. 直接计算法：当n和r较小的时候，我们可以直接利用排列的定义来进行计算。
有5张纸牌，要从中取出3张纸牌进行排列，共有5*4*3=60种排列方法。
2. 公式法：当n和r较大的时候，直接计算可能会比较麻烦，可以使用排列的公式进行计算。
排列的计算公式为Anr=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。
3. 分类讨论法：有些排列问题并不是直接套用公式就能解决的，这时我们可以采用分类讨论的方法。
从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行排列，可以分为以A开头的排列、以B开头的排列、以C开头的排列和以D开头的排列四种情况来进行讨论计算。
3. 排列与组合的关系：有时候我们需要求解组合问题，但是可以先通过排列问题进行计算，再通过排列与组合的关系进行转化。
从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行组合，可以先求出排列的个数，再通过排列与组合的关系计算出组合的个数。
1. 划分法：当分配的元素数目是不受限制的时候，我们可以使用划分法进行计算。
划分法是指将n个不同的元素分成r份，每份可以有0个或者多个元素，然后按照不同的划分方法进行计算。
2. 公式法：有些分配问题可以通过公式进行计算，例如将n件商品分给r个人，每个人可以得到不同数目的商品，可以使用分配的公式进行计算。
3. 排列组合法：有些分配问题可以通过排列组合的方法进行计算，例如将n个人分配到r个小组中，可以先通过排列计算出所有可能的分配情况，再通过组合计算出符合条件的分配情况。
专题一 排列与组合
专题一排列与组合应用题一、知识提要1.排列与组合应用题，是高考的常见题型，且与后面学习的古典概型问题联系密切。
高考中重点考查有附加条件的应用问题，解决的方法主要从以下三个方面考虑：(1)以元素为主，特殊元素优先考虑（2）以位置为主，特殊位置优先考虑（3）间接法：暂不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合条件的情况。
2.排列组合综合问题一般思路：先组合后排列，即先选元素后排列，同时注意按性质分类或按时间的发生过程分步。
3.解决首先纸条的排列、组合问题的一般策略有：（1）特殊元素优先考虑安排的策略；（2）正难则反，等价转化的策略；（3）相邻问题捆绑处理策略；（4）不相邻问题插空处理策略；（5）定序问题、平均分组问题除法策略；（6）“小集团”排列问题宪政体后局部策略；（7）分排问题直排处理策略；（8）构造模型的策略。
二、典型问题（一）排队问题例1.4男3女坐在一排，分别求下列各种排法的种数（1）某人必须在中间（2）某两人必须站在两端（3）某人不在中间和两端（4）甲不在最左端且乙不能在最左端（5）甲乙两人必须相邻（6）甲乙两人不能相邻（7）甲乙两人必须相隔1人（8）4男必须相邻，3女也必须相邻（9）3女不能相邻（10）甲必须在乙的左边（11）4男不等高，按高矮顺序排列点评：排队问题中常分为“在和不在”、“邻与不邻”、“顺序固定”等问题。
变式练习：1、四个人参加一次聚会，若任意两人不同是到场，则甲比乙先到的情况有＿＿种，若甲乙丙三人中甲先到，其次是乙，丙最后到的情况有＿＿＿种。
2、三名男歌手，两名女歌手联合举行一场音乐会，演出的出场顺寻要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，不同的出场顺序有＿＿＿种。
3、有6名同学参加了演讲比赛，决出了第一至第六的名次，评委告诉甲，乙两位同学“你们都没有拿到冠军，但甲不是最差”则这6名同学的排名顺序有＿＿＿种。
（二）分组问题：1．弄清是否为平均分租，若是平均分组，则需用除法策略２．分组后是否需分配，若分配则需要排列．（先分组在排列）例２．六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？（１）分成三堆，一堆一本，一堆二本，一堆三本。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧高中数学必修三中的古典概型是概率论中的重要内容之一，也是考试中的常见题型，解题技巧的掌握对于我们正确解题非常重要。
下面将介绍几种解题技巧。
一、排列与组合排列与组合是古典概型中常见的几个基本概念，掌握好它们对于解题非常有帮助。
1. 排列：将若干个不同的元素按照一定的顺序排列成一列，这个过程称为排列。
例如：从字母A、B、C中任取三个字母，按顺序排列，共有3的阶乘种。
2. 组合：从n个不同元素中任取m个，不考虑顺序，这个过程称为组合。
例如：从字母A、B、C中任取两个字母，不考虑顺序，共有3个组合。
二、古典概型的解题步骤古典概型的解题步骤可以分为以下几个步骤：1. 明确问题与假设条件：首先要明确问题的描述和假设条件，理解题意非常重要。
例如：某班有男生10名，女生8名，从中随机选出两名学生，求出两名学生都是男生的概率。
2. 确定事件：根据问题的描述和假设条件，确定所求事件。
例如：确定所求事件为“从10个男生中选出两个男生”，记为A事件。
3. 确定样本空间：确定样本空间，即实验的所有可能结果的集合。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以样本空间为所有可能的组合数，记为S={C(10,2)}。
4. 确定事件A发生的可能数：确定事件A发生的可能数，即满足所求事件的有利组合数。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以有利组合数为C(10,2)。
5. 求解所求事件的概率：根据概率的定义，求解所求事件的概率。
例如：所求事件的概率为P(A)=有利组合数/样本空间。
1. 从n个人中随机选出m个人的概率。
解题思路：根据排列与组合的知识，所求事件的概率为C(n,m)/C(n,m)。
3. 从一扑克牌中随机取出一张牌，结果是红桃的概率。
解题思路：所求事件的概率为红桃的数量/总的牌的数量。
四、注意事项在解题过程中，要注意以下几个问题：1. 明确问题的假设条件，理解题意非常重要。
2. 注意样本空间的确定，样本空间是实验中所有可能结果的集合。
高中数学复习教案：排列与组合问题的应用与分析
排列与组合问题的应用与分析摘要:排列与组合问题是高考常考题型,明确分类与分步，辨别有序与无序以及元素与位置的区别，灵活应用各种方法，是正确有效解决问题的关键.关键词：排列与组合，分类与帆布，有序与无序，元素与位置，方法1. 引言与约定1.1 引言排列与组合问题是高中数学教学中的一个重要部分，也是高考常考题型。
其中，明确问题是分类还是分布，辨别其中的元素排列是有序还是无序，界定事物是元素还是位置，对于正确解答问题相当重要；而灵活运用各种思想方法，如“分类讨论思想”“等价转化思想”“捆绑法"“插空法”“插板法”,能使得问题解答得更快速便捷；直接法与间接法的正确运用，也能使疑难迎刃而解。
1.2 约定m n A =!!m n =n*（n-1)＊（n —2）*…＊(n —m+1） mn C =m m m n A A =n ＊（n-1)＊(n-2)*…＊（n —m+1）m!=n!m!（n —m)！2. 基本概念和原理两个基本原理（1） 分类基数原理 做一件事，完成它可以有n 类方法,在第一类办法中有m1种不同的方法，在二类办法种有m2种不同方法，…，在n 类办法中有nm 种不同办法,那么完成这件事共有N=n m m m+++ 21种不同的方法. （2） 分布计数原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第二有m2种不同方法，……，做第n 步有nm 种不同的方法。
3. 排列组合问题中须明确区别的几个常见问题、解题步骤及解题方法3.1 须明确区别的几个问题3.1.1 分类与分布（1）分类：“做一件事，完成它可以有n 类方法” 复杂事件A 的排列与组合问题，需要对A 在一个标准下分类讨论，把A 分解为n 类简单问事件A1,A2，A3，…,An 。
分类的原则是:A=nA A A ⋃⋃⋃ 21 Ai ⋂Aj =Φ(i ≠j ，i 。
j=1,2，…，n ）.在这样的原则下对事件A分类，能够确保使分类不重不漏，把A 分为A1、A2、…、An 的同时,对应的办法S 也随之被分为n 类办法S1,S2，…,Sn且S=S1∪S2∪…∪Sn ，Si ∩Sj ≠φ (i ≠j ，i 。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中的一种重要概念，它是指一个事件发生的可能性相同且互不影响的情况下，求解概率的问题。
在高中数学的必修三中，我们学习了多种古典概型的解题技巧，下面将针对其中的几种技巧进行详细介绍。
我们来看排列组合的解题技巧。
排列是指从一组对象中按照一定顺序取出若干个对象，组成一个序列的方法数。
组合是指从一组对象中取出若干个对象，组成一个集合的方法数。
在解题中，我们需要灵活运用排列组合的知识，包括使用公式计算，找到适当的切入点，辨别问题中的约束条件等。
在解决选择与安排问题时，我们可以使用乘法原理求解，即把分步进行的多次选择和安排看成一个整体，求整体的方法数。
而在解决分发与邮件问题时，我们可以使用加法原理求解，即将问题划分为多个情况，再将各个情况的方法数相加。
通过灵活运用排列组合的知识，我们可以快速解决各类概率问题。
我们来看事件的互斥与对立的判断。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况，对立事件是指两个事件一定有一个发生的情况。
在解题中，我们需要根据问题的描述和事件的性质来判断互斥事件和对立事件。
在解决投掷硬币的问题时，我们可以把事件定义为“正面向上出现”和“反面向上出现”，这两个事件即为对立事件，因为它们一定有一个发生。
而在解决从一个扑克牌中选取一张红色牌的问题时，我们可以把事件定义为“选择一张红桃牌”和“选择一张方块牌”，这两个事件即为互斥事件，因为红桃牌和方块牌不可能同时被选取。
通过正确判断互斥事件和对立事件，我们可以简化概率计算过程，提高解题效率。
我们还要注意事件的独立性和依赖性。
独立事件是指两个事件的发生与否彼此无关的情况，依赖事件是指一个事件的发生与否依赖于另一个事件的情况。
在解题中，我们需要根据问题的描述和事件的性质来判断事件的独立性和依赖性。
在解决从一个扑克牌中选择两张黑桃牌的问题时，如果我们选择完第一张黑桃牌后，放回去再选择第二张黑桃牌，那么这两个事件是独立的，因为第一张黑桃牌的选择不会影响第二张黑桃牌的选择。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中的重要内容，也是我们生活中经常会用到的思维模式。
在解题时，可以运用一些特定的技巧来简化问题，提高解题效率。
下面就是古典概型的一些解题技巧，希望能帮助大家更好的掌握这一知识点。
一、排列组合原理在解古典概型的问题时，我们可以运用排列组合原理。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的次序排成一列。
排列的计算公式是A(n,m) = n!/(n-m)!，其中“！”表示阶乘。
运用排列组合原理可以帮助我们简化问题，快速计算出结果，提高解题效率。
还可以将问题转化为排列或组合的形式，从而更容易求解。
二、分步计数法在解古典概型的问题时，我们可以运用分步计数法。
分步计数法是一种将问题分解成几个简单子问题，然后计算每个子问题的结果并求和的方法。
通过分解问题，我们可以更容易地求解复杂的古典概型问题。
当问题中存在多个步骤或多个子问题时，我们可以首先计算每个步骤或子问题的结果，然后将它们的结果相乘或相加，得到最终的解答。
这样可以大大简化问题，提高解题效率。
三、利用对立事件在解古典概型的问题时，我们可以运用对立事件的方法。
对立事件是指与某事件相对立的另一个事件。
在古典概型中，我们可以利用对立事件的思维模式，简化问题，提高解题效率。
四、利用分组思想在解古典概型的问题时，我们可以运用分组思想。
分组思想是指将问题中的元素按照某种特定的规则进行分组，从而简化问题，提高解题效率。
五、利用概率加法和乘法规则在解古典概型的问题时，我们可以运用概率加法和乘法规则。
概率加法和乘法规则是指根据问题中的不同情况，运用加法或乘法规则来计算概率的方法。
概率加法规则是指当事件A和事件B互斥时，它们的概率之和等于它们的并集的概率。
概率乘法规则是指当事件A和事件B相互独立时，它们的概率之积等于它们的交集的概率。
利用概率加法和乘法规则可以帮助我们简化问题，快速计算出结果，提高解题效率。
通过将问题分解成不同情况，然后分别计算每种情况的概率，并用加法或乘法规则求解最终的概率。
数学复习排列与组合问题的解题技巧与实例分享
数学复习排列与组合问题的解题技巧与实例分享一、引言数学中的排列与组合问题在高中和大学阶段经常出现，是数学复习中的重点之一。
掌握解题技巧对于应对这类问题非常重要。
本文将分享一些解题技巧，并结合实例进行详细说明。
二、排列与组合的基本概念1. 排列排列是指从给定的元素集合中取出若干元素按照一定的顺序排列，形成不同的序列。
排列问题可以分为有重复元素和无重复元素的情况。
- 无重复元素的排列：从n个不同元素中取出r个元素进行排列，排列的种数用P(n, r)表示。
- 有重复元素的排列：从n个元素中取出r1个相同的元素，r2个相同的元素，...，rk个相同的元素进行排列，排列的种数用P(n; r1, r2, ..., rk)表示。
2. 组合组合是指从给定的元素集合中取出若干元素不考虑顺序的组合方式。
组合问题同样可以分为有重复元素和无重复元素的情况。
- 无重复元素的组合：从n个不同元素中取出r个元素进行组合，组合的种数用C(n, r)表示。
- 有重复元素的组合：从n个元素中取出r1个相同的元素，r2个相同的元素，...，rk个相同的元素进行组合，组合的种数用C(n; r1, r2, ..., rk)表示。
三、排列与组合问题的解题技巧1. 理解题意在解题过程中，首先要理解题意，明确给定的条件和问题要求。
根据题目所描述的具体情形，确定是要求排列还是组合，以及所涉及的元素个数。
2. 使用数学公式根据问题的具体情况，运用排列组合的基本公式来解决问题。
对于排列问题，使用排列公式计算排列的种数；对于组合问题，使用组合公式计算组合的种数。
3. 分解问题有时候，一个排列或组合问题可以转化为多个小问题的组合。
通过分解问题，可以简化解题的过程。
将整个问题划分为子问题，逐一解决，最后将得到的结果进行组合。
4. 注意特殊情况在解题过程中，要注意考虑特殊情况。
例如，当n和r相等时，即n个元素中取出n个元素进行排列或组合时，排列和组合的种数都只有1种。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧1、排列组合问题古典概型中的排列组合问题是指从 n 个不同元素中取 r 个元素，考虑元素之间的排列或不考虑排列，求其组合数或排列数。
1.1 组合数设有 n 个不同元素，则从中取出 r 个元素的组合数为 C(n,r)。
其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)例如，从 5 个不同字母中取出 3 个，不考虑排列方式，其组合数为：C(5,3)=5!/(3!×2!)=101.2 排列数2、二项式定理二项式定理是代数中的重要定理，它可以将一个二项式的幂展开为多项式。
二项式定理可以推广到实数、复数或矩阵等范畴中，但本文中仅考虑其在古典概型中的应用。
2.1 二项式定理的基本形式(a+b)^n=C(n,0)×a^n+C(n,1)×a^(n-1)b+⋯+C(n,k)×a^(n-k)b^k+⋯+C(n,n)×b^n其中，a、b 是任意实数，n 是任意非负整数，C(n,k) 为组合数。
二项式定理可以用于求和式，其中最常见的是求幂和式，例如：1+2+3+⋯+n=?分析该式，可将其改写为：再利用二项式定理，展开为多项式：(1+1)^2-(1^2)=2^2-(2^2)+3^2-(3^2)+⋯+n^2-(n-1)^2整理后得到：当从 n 个元素中取出 r 个元素，并排列时，元素可重复，其排列数为 n^r。
4^3=644、贝努利试验和二项分布贝努利试验是实验条件非常简单的一类随机试验，其特点是只有两个可能的结果，例如正反面、违法合法等。
二项分布是指对 n 次独立的贝努利试验中，成功次数的统计分布。
4.1 贝努利试验在贝努利试验中，设试验只有两个可能的结果，其中一个记作成功，发生的概率为 p，另一个记作失败，发生的概率为 q=1-p。
则进行 n 次独立的贝努利试验，设成功的次数为 X，则 X 的可能取值为 0 到 n，其分布律为：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,⋯,n其中 P(X=k) 表示成功 k 次的概率，C(n,k) 表示从所有试验中取出 k 次成功的组合数。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
在高中数学必修三中，古典概型是一个非常重要的概念。
古典概型是指一个实验中所有可能的元素都是等概率发生的，且实验间相互独立的情况。
解题时，可以使用以下几种技巧：
1. 树形图法：树形图法是一种直观的解题方法，可以清晰地展示出实验的过程和每个事件的发生情况。
将实验的每个步骤用树状结构表示出来，然后根据题目给出的条件计算出每个事件的概率，最后求出所需的概率。
2. 排列组合法：排列组合法是一种常用的解题方法，在古典概型中也可以有效地运用。
对于排列问题，可以使用排列公式计算出不同元素排列的数量；对于组合问题，可以使用组合公式计算出不同元素组合的数量。
根据题目的要求，计算出所需的事件发生的概率。
3. 计数法：在某些情况下，使用计数法可以更简单地解题。
计数法包括乘法原理和加法原理。
乘法原理可以用来求解多个独立事件同时发生的概率，而加法原理可以用来求解至少发生一个事件的概率。
4. 两个集合的关系：在古典概型中，常常涉及到两个集合之间的关系，例如并集、交集、差集等。
通过理解和运用集合的基本运算规律，可以简化解题过程。
特别是当两个集合之间相互独立时，可以直接使用集合的概率计算方法求解。
5. 概率的加法与乘法原理：概率的加法原理指的是当两个事件互斥时，它们的概率相加等于它们各自发生的概率之和；概率的乘法原理指的是当两个事件相互独立时，它们的概率相乘等于它们各自发生的概率之积。
这两个原理是古典概型解题中常用的技巧，可以根据题目条件合理运用。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论最基本的概念。
在高中数学必修三中，学生需要学习几种古典概型的解题技巧。
下面将介绍几种常见的技巧。
一、排列组合的概念排列组合是解决古典概型问题的基本工具。
排列是指从n个不同元素中取出m个，按照一定顺序排列的所有可能性的总数，一般用P(n,m)表示。
组合是指从n个不同元素中取出m个，不考虑顺序的所有可能性的总数，一般用C(n,m)表示。
排列和组合的计算公式如下：排列公式：P(n,m) = n × (n-1) × (n-2) × … × (n-m+1) = n!/(n-m)!组合公式：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)其中，!表示阶乘，即连续整数的乘积。
二、基本古典概型1、 n个元素任取m个的排列总数为P(n,m);三、古典概型题目的解题思路1、若A与B、C中任意一件发生必须有A发生，则P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(BC)。
4、n个元素中任取m个，先按顺序排列，再任意交换其中若干对元素的总数为m!C(n,m)。
1、从m个不同的球中，任意取出n个，将这些球按照一定次序排列，有多少种不同的排列方法。
解：这是一个排列数的问题，总数为P(m,n)。
2、五张牌任选三张，且其中必有一张黑桃，求有几种取法。
解：方法一：先计算黑桃牌的数量，在计算不含黑桃的牌的数量。
从而使用第一种思路计算概率。
方法二：从52张牌中取出含黑桃的牌有13*（C（3，1）+C（3，2）+C（3，3）），总共有C（52，3）种取法。
得到概率为13*(C(3,1)+C(3,2)+C(3,3))/C(52,3)。
3、一个集装箱共有4个托盘，每个托盘中分别放有8个斑马球和4个狮子球，现从中任取4个托盘，求这4个托盘中共有3个托盘都选择了斑马球。
解：这是一个组合数的问题，需要考虑所有含有3个托盘都选择了斑马球的情况和含有4个托盘选择斑马球的情况。
排列与组合问题的常用方法
排列与组合问题的常用方法排列与组合是组合数学中的两个重要概念。
它们在概率论、统计学、计算机科学、组合优化等领域中有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本概念、常用方法和应用。
一、排列排列是指从一组元素中按照一定的顺序选择若干元素的方式。
假设有n个元素，要求从中选择m个元素，且要按照一定的顺序排列。
则这样的选择方式叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用P(n, m)表示。
1.全排列全排列是指对n个元素进行排列，将它们按照不同的顺序排列的方法总数。
全排列的个数为n!（n的阶乘）。
2.有重复元素的排列当n个元素中有重复元素时，全排列的个数存在重复。
此时，需要除以重复元素的个数来去除重复的排列。
3.部分元素排列有时候，从n个元素中选择r个元素进行排列，即P(n, r)，其中r小于n。
这时，排列的个数为n*(n-1)*...*(n-r+1)，即n的降序排列的前r项的乘积。
二、组合组合是指从一组元素中选择若干元素的方式，不考虑其顺序。
假设有n个元素，要求从中选择m个元素，但不考虑它们的顺序。
则这样的选择方式叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C(n, m)表示。
1.递推公式组合数满足以下递推公式：C(n,m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)，其中C(n, 0) = C(n, n) = 1。
2.全组合全组合是指从n个元素中选择0个、1个、2个......直到n个元素进行组合的方法总数。
全组合的个数为2^n。
3.有重复元素的组合当n个元素中有k个重复元素时，组合的个数存在重复现象。
此时，可以引入多重组合数的概念，表示从n个元素中选择m个元素的组合个数，但是允许每个元素选择的次数有上限。
多重组合数的计算可以通过动态规划等方法进行。
三、常用方法1.迭代法排列与组合问题可以通过迭代的方法求解。
可以使用递归或循环的方式进行迭代，根据问题的要求和具体情况选择合适的方法。
2.数学公式有时候，排列与组合问题可以通过数学公式进行求解。
古典概型解题技巧
古典概型解题技巧摘要概率论是数学学科中从数量的侧面来研究部分随机现象的规律性方面，其理论和方法渗透到了自然科学的各个领域，而古典概型是古典概率论的主要研究内容之一，也是概率论的研究中的一个经典的研究概型。
古典概型的主要研究对象是等可能事件，深入研究古典概型有助于我们更好地理解概率论中一些基本的概念，掌握概率论中的基本规律，有助于我们提高分析问题和解决问题的能力。
本文主要研究古典概型中的摸球问题，分球入盒问题，随机取数问题等几种模型，分析其解题思路，总结解题技巧以及思考其应用范围。
关键词：古典概型；分球入盒；摸球问题TitleAbstractKeywords：1 古典概型简介随机现象，是现实生活中非常常见，非常普遍的一种现象。
事件的发生或者是其走向，都是由随机决定的。
而这些随机性的事件都可以用概率模型来进行一定的分析，以求得相对准确的期望值。
随机性虽然容易给人们生活带来一定的烦恼，但同时也是最公平的象征。
在模拟计算，统计运筹中都有运用概率论的思想以及方法，所以，概率论有着明显的现实意义以及数学应用范畴。
在概率论的发展过程中，数学家们根据不同的问题，从各个不同的角度，给与了概率不同的定义和计算的方法。
但是这些定义或者计算的方法往往针对的是非常具体类型的事件和情况，所以多数都有一定的缺点，常常只是经验公式。
而经过长期的发展，概率论先后给出了古典概率，几何概率，统计概率，最后才给出了概率的数学定义。
在所有的随机事件中，有一类随机事件有两个明显的特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，每个结果发生的可能性相同。
这类随机事件是概率论初期的研究对象，我们也把这类事件叫做古典概型。
2 古典概型的计算我们可以根据古典概型的等可能性和有限性的特点，得出模型下的概率。
古典概型的概率计算过程可以分解为三个步骤：第一，确定所研究的对象为古典概型；第二，计算样本点数；第三，利用公式计算概率。
如果本次随机事件只有有限个可能的结果，并且每一个可能的结果出现的可能性相同，则可以确定该事件为古典概型问题。
专题38 排列组合与古典概型--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】
专题排列组合与古典概型【热点聚焦】近几年的高考试题，计数原理常与古典概型综合考查.排列组合、古典概型问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．对排列组合除了独立考查外，也常与古典概型综合考查，也有在解答题中与古典概型等概率计算相结合进行考查的情况．另外，古典概型与统计、与数学文化、与时代气息等综合考查成为一种趋势.【重点知识回眸】（一）基础知识1．两个计数原理3.1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素. 例如：用组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.3、先取再排（先分组再排列）：排列数是指从个元素中取出个元素，再将这个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列. （三）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边 （2）要从题目中判断是否需要各自排序3、错位排列：排列好的个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这个元素的一个错位排列.例如对于，则是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住4、依次插空：如果在个元素的排列中有个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这个元素排好位置，再将个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空）5、不同元素分组：将个不同元素放入个不同的盒中6、相同元素分组：将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子.7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可. （四）古典概型0,1,2,3,4mn A n m m n n ,,,a b c d ,,,d c a b n m m n m -1+n m n m 11m n C --n ()1n -()1m -n m m1. 随机事件的概率 （1）事件的相关概念（2）频率与概率的关系在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率f n (A )＝n An 会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． （3）事件的关系与运算①任何事件A 的概率都在[0,1]内，即0≤P (A )≤1，不可能事件的概率为0，必然事件Ω的概率为1. ②如果事件A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ③事件A 与它的对立事件A 的概率满足P (A )＋P (A )＝1. ④结论：如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，则称这n 个事件互斥，其概率有如下公式：P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 2．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 3．古典概型的特点4．古典概型的概率计算公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.【典型考题解析】热点一 两个计数原理的综合应用【典例1】（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种 B ．24种C ．36种D ．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式， 故选：B【典例2】（2020·全国·高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称ai ，aj ，ak 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称ai ，aj ，ak 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．15【答案】C【分析】根据原位大三和弦满足3,4k j j i -=-=，原位小三和弦满足4,3k j j i -=-= 从1i =开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i -=-=．∴1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===．原位小三和弦满足：4,3k j j i -=-=．∴1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===． 故个数之和为10． 故选：C ．【典例3】（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}1,2,3M =-，{}4,5,6,7N =--，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ） A ．18 B ．16C ．14D ．10【答案】C【分析】分M 中的元素作点的横坐标，N 中的元素作点的纵坐标和N 中的元素作点的横坐标，M 中的元素作点的纵坐标两类讨论求解. 【详解】分两类情况讨论：第一类，从M 中取的元素作为横坐标，从N 中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有326⨯=（个）； 第二类，从M 中取的元素作为纵坐标，从N 中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有248⨯=（个）， 由分类加法计数原理，所以所求个数为6814+=． 故选：C【典例4】（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（ ）种A ．36B ．48C ．54D ．72【答案】D【分析】符合条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，再利用分步乘法计数原理分别求出其方法数，相加即可求得结果. 【详解】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方⨯⨯⨯⨯种方案，即48种方案；法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有43212区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，⨯⨯⨯⨯种方案，即24种方案；由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有43211所以符合条件的涂色方案共有72种，故选：D.【总结提升】1.基本步骤：2.特别提醒(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成．(2)较复杂的问题可借助图表来完成．(3)对于涂色问题：分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以使用同类元素． 热点二 排列问题【典例5】（2016·四川·高考真题（理））用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） A ．24 B ．48 C ．60 D ．72【答案】D【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为44372A =，故选D. 【典例6】（2022·湖北·高三开学考试）将语文､数学､英语､物理､化学､生物六本书排成一排，其中语文､数学相邻，且物理､化学不相邻，则不同的排法共有种___________.（用数字作答） 【答案】144【分析】先利用捆绑法安排语文书、数学书，再用插空法安排物理书､化学书即可求解.【详解】先利用捆绑法把语文书、数学书看作一个整体，有22A 2=种；再把其与英语书、生物书进行全排列，有33A 6=种；再用插空法安排物理书､化学书，有24A 12=种； 所以一共有2612144⨯⨯=. 故答案为：144【典例7】3名女生和5名男生排成一排． (1)若女生全排在一起，有多少种排法？ (2)若女生都不相邻，有多少种排法？ (3)若女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？ (5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？ 【答案】(1) 4320．(2) 14400．(3) 14400．(4) 20160.(5)30960．【解析】(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有66A 种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有23A 种排法，因此共有66A ·23A ＝4320种不同排法．(2)(插空法)先排5名男生，有55A 种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 36种排法，因此共有5356A A ⋅＝14400种不同排法．(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有A 25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有2656A A ⋅＝14400种不同排法．法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有36A 种排法，其余位置无限制，有55A 种排法，因此共有5356A A ⋅＝14400种不同排法.(4)8名学生的所有排列共88A 种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占12，因此符合要求的排法种数为1288A ＝20160.(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有16A 种，其余人全排列，共有116666A A A 种不同排法．由分类加法计数原理知，共有77A ＋116666A A A ＝30960种不同排法．法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有17A 种排法，余下7个位置全排，有77A 种排法，但应剔除乙在最右边时的排法A 16·A 66种，因此共有1777A A －1666A A ＝30960种排法．法三(间接法)：8名学生全排列，共88A 种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有77A 种排法，乙在最右边时，有种77A 排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有66A 种排法．因此共有88A －277A ＋66A ＝30960种排法． 【规律方法】求解排列应用问题的六种基本方法热点三组合问题【典例8】（2020·海南·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C⋅=⨯=种.故选：C【典例9】（2016·全国·高考真题（理））如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24B．18C．12D．9【答案】B【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．故选B．【典例10】（2018·全国·高考真题（理））从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C=种选法，从6名学生中任意选3人有3620C=种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【规律方法】组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．热点四排列组合综合问题【典例11】（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案，故选：C.【典例12】（2020·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ） A ．12 B ．120 C ．1440 D ．17280【答案】C【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有3254351440C C A =种不同安排方法.【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有3243C C 种情况，再分别担任5门不同学科的课代表，共有55A 种情况.所以共有3254351440C C A =种不同安排方法.故选：C【典例13】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生当选； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选．【答案】(1) 350种．(2) 165种．(3) 825(种))．(4) 966种．【解析】(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有1458C C ＝350种． (2)两队长当选，共有23211C C ＝165种．(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有14211C C ＋23211C C ＝825种．(或采用排除法：551311C C -＝825(种))．(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有2314558588C C C C C ++＝966种．【规律方法】求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 热点五 分组、分配问题【典例14】（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．2种 B ．3种 C ．6种 D ．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种 故选：C【典例15】（2022·甘肃白银·高三开学考试（理））6名志愿者要到A ，B ，C 三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去A 社区，则不同的安排方法共有（ ） A ．105种 B ．144种 C ．150种 D ．210种【典例16】（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C=现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A=根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种故答案为：36.【规律方法】分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；②部分均匀分组，应注意不要重复；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解．热点六古典概型【典例17】（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【典例18】（2021·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8【典例19】（2019·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．516B．1132C．2132D．1116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问【典例20】（2022·全国·高考真题（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310##0.3用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下：①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型．②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数．③求值，代入公式P(A)求值．【精选精练】一、单选题1．（2022·福建·高三阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（）A．120种B．150种C．210种D．216种【答案】C【分析】用甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加的方法数，减去3名学生所选活动课程全部相同的方法数，从而求得正确答案.【详解】依题意，每名同学都有6种选择方法，所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有366210-=种.故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）核糖核酸RNA是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（）A．4100B．1004C．1002D．104【答案】B【分析】根据分步乘法计数原理进行计算即可.【详解】每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为1004．故A，C，D 错误.故选：B.3．（2022·山西·高三阶段练习）从属于区间[]2,10的整数中任取两个数，则至少有一个数是合数的概率为（）A．59B．56C．1314D．11144．（2022·重庆·高三阶段练习）用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．600个B．540个C．480个D．420个【答案】A【分析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是3个奇数1个偶数，或3个偶数1个奇数，分两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.【详解】解：依题意要使各位数字之和为奇数则可能是3个奇数1个偶数，或3个偶数1个奇数，若为3个奇数1个偶数，则偶数一定排在个位，从4个偶数中选一个排在个位有14C 4=种，再在5个奇数中选出3个排在其余三个数位，有35A 60=种排法，故有1345C A 240=个数字；若为3个偶数1个奇数，则奇数不排在个位，从5个奇数中选一个排在前三位有1153C A 15=种，再在4个偶数中选出3个排在其余三个数位，有34A 24=种排法，故有113534C A A 360=个数字；综上可得一共有240360600+=个数字； 故选：A5．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））春节是中华民族的传统节日，人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满30元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（ ） A ．29B ．127C ．19D ．136．（2022·安徽·高三开学考试）如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人， 且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（ ）A ．14B ．18C ．30D ．36【答案】B【分析】先求出总的安排方案数，再求出两名女航天员在一个舱内的方案数，两者相减即可. 【详解】将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为411621C C C 30=其中两名女航天员在一个舱内的方案数为212421C C C 12=所以满足条件的方案数为181230=-种. 故选:B.7．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））从2名女同学和3名男同学中任选2人参加志愿者服务，则选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为（ ） A ．0.4 B ．0.3 C ．0.6 D ．0.58．（2022·河南安阳·高三开学考试（文））某学校开展劳动实习，将两名男生和两名女生分配到两个农场，每个农场需要两人，则两名女生被分配到不同农场的概率为（ ） A ．23B ．12C ．13D．149．（2022·重庆八中高三开学考试）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（）A ．6B ．10C ．16D ．20【答案】B【分析】根据题意，分情况讨论，求出每种情况对应的染色方法种数，即可得出结果【详解】解：依题意，第一个格子必须为黑色，则出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有： ①全染黑色，有 1 种方法；②第一个格子染黑色，另外四个格子中有1个格染白色，剩余的都染黑色，有14C 4=种方法；③第一个格子染黑色，另外四个格子中有2个格染白色，剩余的都染黑色，有1223C C 5+=种方法；所以出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法有14510++=种， 故选：B10．（2021·上海市行知中学高三开学考试）定义域为集合{}1,2,3,,14上的函数()f x 满足：①()1f 、()8f 、()14f 构成等比数列；②()11f =；③()()()111,2,,13f x f x x +-==；这样的不同函数()f x 的个数为（ ）A ．456B ．465C ．546D ．564【答案】C【分析】分析出()f x 的所有可能取值，得到使()f x 中()1f 、()8f 、()14f 构成等比数列时对应的项，再运用计数原理及排列组合求出这样的不同函数()f x 的个数即可.【详解】解：()f x 的取值的最大值为x ，最小值为2x -，并且成以2为公差的等差数列， 故()8f 的取值为8，6，4，2，0，2-，4-，6-，()14f 的取值为14，12，10，8，6，4，2，0，2-，4-，6-，8-，10-，12-，所以能使()f x 中的()1f 、()8f 、()14f 成等比数列时，。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧高中数学必修三古典概型是数学中非常重要的一个部分，它涵盖了排列、组合和二项式定理等内容。
对于很多学生来说，古典概型的问题常常是解题困难的地方，因此需要一些解题技巧来帮助学生更好地理解和解决古典概型的问题。
本文就将介绍古典概型的几种解题技巧，希望能够帮助学生更好地掌握这一部分内容。
1. 排列和组合的区别和应用在古典概型中，排列和组合是两个非常重要的概念。
排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素，组成一个序列，这个序列就是一种排列。
而组合则是从一组元素中取出一部分元素，不考虑元素之间的顺序，这个取出的元素的集合就是一种组合。
在解决古典概型的问题时，学生首先要清楚排列和组合的区别，并根据问题的具体情况选择使用排列还是组合的方法。
如果问题需要考虑元素的顺序，就应该使用排列的方法；而如果问题不考虑元素的顺序，就应该使用组合的方法。
掌握这一点可以帮助学生更准确地解决古典概型的问题。
2. 使用数列的思想解决排列和组合的问题在解决古典概型的问题时，有时候可以使用数列的思想帮助我们更好地理解和解决问题。
在排列和组合的问题中，可以将问题中的元素看作数列中的元素，然后根据数列的性质来解决问题。
这样做可以帮助学生更加直观地理解问题，并且可以减少一些繁杂的计算，提高解题速度。
二项式定理是古典概型中常用的计算公式，它可以帮助我们快速计算排列和组合的个数。
在解决古典概型的问题时，可以运用二项式定理来简化计算过程，提高解题效率。
学生也应该掌握二项式定理的基本性质，以便在解题过程中灵活运用。
4. 利用化简和递推的方法解决古典概型的问题在解决古典概型的问题时，学生应该根据问题的具体情况选择合适的解题方法，灵活运用排列、组合、二项式定理等知识，同时也要注重化简和递推的方法，以便更好地理解和解决问题。
希望以上几种解题技巧能够帮助学生更好地掌握古典概型的知识，提高解题能力，取得更好的学习成绩。
排列组合在古典概型中的应用
排列组合在古典概型中的应用作者：王蓓来源：《数学大世界·中旬刊》2018年第09期【摘要】排列组合知识抽象，学生不易理解，将其与古典概型相关题目结合在一起，难度进一步增加，不少学生望而生畏。
为帮助学生切实掌握这一重点知识，树立学习排列组合、古典概型的自信心，教师应注重结合典型题目，探讨排列组合在古典概型相关题目中的应用。
本文结合多年教学实践，结合具体题目，对排列组合在古典概型中的应用谈谈自己的看法，以供参考。
【关键词】高中数学；排列组合；古典概型；应用；探究排列组合与古典概型是高中数学的基础知识，是各类测试及高考的必考内容，难度或大或小，占有较高分值。
部分学生对基础知识掌握不牢固，或对题目创设的情景理解不深入，面对题目要么束手无策，要么计算错误，白白失分，因此，在教学实践中，教师应立足具体题目加强训练，帮助学生掌握解答排列组合与古典概型相关题目技巧。
一、在选择题中的应用选择题是古典概型常见题目类型，通常融入排列组合知识，对学生分析问题的能力要求较高，尤其部分题目会创设一种新的情景，学生感觉较为陌生，不知道如何分析与计算，错选其他选项，因此，教学实践中，教师应多讲解一些具有代表性的、新穎的题目，引导学生进行分析解答，逐渐提升学生应用排列组合知识解答古典概型题目的能力。
排列组合与古典概型知识联系密切，测试中常将两者结合起来出题，难度较大，学生得分较低，因此，教学实践中教师应认真分析排列组合与古典概型相关题目类型，并针对不同题型列举典型例题，包括选择题、填空题、综合题，与学生一起分析、解答，使学生感受应用排列组合知识解答古典概型题目的过程，加深学生的理解与认识，掌握古典概型相关题目的解题技巧与方法。
【参考文献】[1]谢滟馨.基于排列组合的古典概型及应用[J].读与写（教育教学刊），2017，14（01）：122-123+165.[2]徐锡滨.关于古典概型的三个典型例题及其在解题中的应用[J].中学生数理化（学研版），2012（11）：30.[3]李启勇.例谈排列组合常见类型应用题及其处理方法[J].考试（高考数学版），2012（09）：56-58+48.。
基于排列组合的古典概型及应用
基于排列组合的古典概型及应用作者：谢滟馨来源：《读与写·教育教学版》2017年第01期摘要：概率简单而直观的说法就是：概率是随机事件发生的可能性大小，概率论史上最先开始研究概率的方法是古典概率方法。
古典概型是高中数学教学的重要内容之一，在高考及实际生活中起重要作用。
高中数学教学的一个重点和难点是如何应用排列组合的知识解决古典概型问题，本文一排列组合为基础来研究古典概型及其应用，结果表明古典概率方法具有简单、直观，不需要做大量重复试验的优点。
关键词：概率排列组合古典概型随机事件中图分类号：O212 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2017）01-0122-03概率论是研究随机现象的模型（即概率分布），其最基本的一个问题就是概率的定义及其确定方法，概率是随机事件发生的可能性大小，是介于0和1之间的一个实数。
分析近几年高考数学真题可知，每年都要涉及到概率统计的内容，以概率统计为背景知识的题目很常见，特别是对古典概型的考查。
古典概型是一种比较特殊的概率模型，确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形；它简单、直观，不需要做大量重复试验，而是在经验事实的基础上，对被考察事件的可能性进行逻辑分析后得出该事件的概率。
高考数学中概率统计主要考查的是：在等可能性条件下的概率统计计算问题及运用概率统计知识来分析、解决高考数学中遇到的实际问题，其特点是常以应用题的形式出现，其难度不大，这与高考数学的发展方向是相符合的。
1 古典概率方法的基本思想（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个。
（2）每个样本点发生的可能性相等（称为等可能性）。
例如，抛一枚均匀硬币，“出现正面”与“出现反面”的可能性相等；抛一枚均匀骰子，出现各点（1～6）的可能性相等。
（3）若事件含有个样本点，则事件的概率为P（A）==，其中Ω是样本空间2 排列组合知识排列与组合是古典概率的基础。
排列与组合都是计算“从n个元素中任取r个元素”的取法总数公式，其主要区别在于：如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式，否则用排列公式。
关于排列组合在古典概型中应用
关于排列组合在古典概型中应用作者：陈庆娥来源：《科学与财富》2019年第06期摘要：排列组合是培养学生抽象概论的重要载体，也是训练高中生推理论证能力的模块.它和现实生活息息相关，有着深刻的实际背景和现实意义.本文介绍排列组合在古典概型中的应用.为学生学习排列组合提供参考和帮助。
关键词：排列组合;古典概型;应用在古典概型问题中，经常会涉及到高中所学过的排列组合的应用题.而且学习排列组合时的数学思想方法在古典概型中一样适用.如何应用排列组合知识解决古典概型问题，首先得弄清楚这一类型的应用是属于排列还是属于组合或者两者皆有的问题.然后在进一步探讨求出古典概型中n 和m 的值.1排列问题的概率在学习古典概型时研究的问题几乎都是建模题.而学生对此类问题的掌握又相对不好.因此，在教学中应该选择先让学生深刻体会理解其概念.排列与组合问题主要是对某些不同元素的研究，在这些元素中取部分或者取全部进行排列，可以用几种不同方法的问题.而且关于排列的问题与排列顺序有关.所以求它的概率时，如果遇到与顺序有关的问题时，应该先了解m、n与排列数是什么样的关系，最后再利用古典概型的公式解答.例1某团队小组成员有5名女教师，3名男教师.根据条件求下列事件的概率.（1）将这8位教师排成一排，求教师甲必须站在排头的概率？（2）将这8位教师排成一排，求教师甲不站在排头或排尾的概率？（3）将这8位教师排成一排，求其中任何两名男教师都不相邻的概率？2组合问题的概率在古典概型中，组合类问题与排列类问题之间的区别主要在于是否要考虑所选元素是不是有顺序，如果不用考虑顺序的则是组合类问题，如果要考虑顺序的就是排列类问题，因为组合是与元素顺序无关的.所以在解古典概型问题中首先要清楚组合数的求解方法，最后再思考其中的m， n是如何求得的.例2甲、乙两同学参加学校组织的抽奖活动，现场共有10张卡片，代表了 10个球，其中有六个篮球，四个足球，按顺序两人各自翻一次卡片，求下面事件的概率：（1）乙抽到篮球，甲抽到足球的概率是多少？（2）甲、乙两位同学至少有一人翻到篮球的概率又是多少？分析甲乙两人各自翻一张卡片，先翻的有10张卡片，后翻的只有9张，所以该题是古典概型中的组合问题. 而且第二问要求甲、乙两人中至少有一人翻到篮球，则可能出现的结果有：甲翻到乙没翻到、乙翻到甲没翻到、或者甲、乙都翻到.3排列和组合综合问题的概率在古典概型问题的解决中，其实单纯的排列问题或者组合问题是很少出现的，一般都是即涉及排列问题又涉及组合问题的综合性问题.面对这一类综合性问题，一般要先组合，后排列，并且根据元素的性质进行“分类”、按事件发生的过程进行“分步”;然后再通过古典概型的公式解得排列与组合综合问题的概率.例3一个盒子中有大小相同的4粒红球，2粒白球。
古典概型解题思路分析—— 排列与组合综合应用
本节课，我们重点介绍如何利用排列组合的知识来求解
一、特殊元素先安排 例：A,B,C,D四人去照相，要求A,B在中间，有多少种不同 的站法？ A,B站中间的概率呢?
二、排列、组合混合问题，“先选后排” 例：从2,4,6,8中选两个数，再从1,3,5,7,9中选三个数， 可以组成多少个没有重复的三位数
三、利用“捆绑法”解决相邻问题 例：ABCD四人去照相，要求AB在一起，有多少种不同 的站法？ AB在一起的概率呢？
四、利用“插入法”解决不相邻问题 例：ABCD四人去照相，要求AB不在一起，有多少种不同 的站法？ AB不在一起的概率呢？ P56 #9 五、平均分组问题 例：把ABCDEF平均分配到三个小组，有多少种方法？ 例：把ABCDEF平均分成三份，有多少种方法？ 例：把ABCDEF分成三份(1,2,3)，有多少种方法？ 例：把ABCDEF分成三份(1,2,3)，并分配到三个小组 有多少种方法？ 例：把ABCDEF分成三份(1,1,4)，有多少种方法？ 例：把ABCDEF分成三份(1,1,4)，并分配到三个小组 有多少种方法？ P58#10 P59#1 P60#11
六、有序与无序要注意 例：P59 #5,6,3 P58#8 P60#8 P59#2 P59#4 P59#4 P60#9 P6利用列举方法把试验的所有结果一一都写出来再从中找出事件a所包括的结果的个数课本中的方法2利用排列和组合以及分步与分类的原理进行计算本节课我们重点介绍如何利用排列组合的知识来求解一特殊元素先安排例
古典概型解题思路分析 —— 排列与组合综合应用
古典概型是高中阶段一个重要的概率模型，在各类考试中 都占有相当重要的地位 1.明确古典概型的特点（两性质 ） 2.注意古典概型的解题格式 3.在利用古典概型解题是，关键是要求2个值 (1)试验所产生的所有结果的个数。(即基本事件的总数) (2)事件A中所包含的基本事件的个数 4.在求上述2个值时，有2种处理方法 (1)利用列举方法，把试验的所有结果一一都写出来，再 从中找出事件A所包括的结果的个数（课本中的方法） (2)利用排列和组合以及分步与分类的原理，进行计算
排列、组合在古典概型中的应用
排列、组合在古典概型中的应用【摘要】古典概型是一种特殊的概率模型，在概率理论中占有重要地位，是高中数学的重要学习内容，它在我们的生产和实际生活中有着广泛的应用。
而如何应用排列组合的知识解决古典概型问题，是我们高中数学教学的一个重点。
本文从排列问题的概率；组合问题的概率；排列与组合综合问题的概率。
三个方面阐述排列、组合在古典概型中的应用。
【关键词】古典概型；排列；组合；概率概率论是中学数学分支中最基础的内容，它研究的是随机现象中有关事件的概率。
在近几年的高考试卷中，概率与统计的内容每年都有涉及，应用题的知识背景多以概率统计为主。
古典概型也是考查的一个重要内容。
古典概型是一种特殊的概率模型，它在概率理论中占有重要地位，在我们的生产和实际生活中有着广泛的应用。
并为应用数学知识解决实际问题提供了新的思想方法。
古典概型学习的好坏将直接影响到互斥事件、对立事件、独立事件等概率的学习，它是数理统计的基础。
古典概型的特点：(1)试验的所有可能结果只有有限个：(2)每一个试验结果出现的可能性相同。
因此，根据古典概型的特点，求事件的概率，可以不通过大量重复试验，只通过对一次试验中可能出现m(m是事件A包含的基体事件数，n是试验的的结果进行分析和计算即可。
古典概型的定义公式是：P(A)=n基本事件总数)。
应用这个公式进行计算时，其步骤：(1)计算一次试验中的基本事件总数n；(2)计算某事件A 包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求值。
古典概型问题经常涉及到我们所学过的排列和组合的应用题。
排列和组合的应用题又是高中数学中的一个难点，是初等代数中较为独特的内容，它研究的对象以及研究问题的方法与旧知识联系的少，且内容比较抽象。
因此在教学中要注重培养学生的逻辑思维能力。
古典概型的知识与排列组合的联系十分紧密，许多考查的内容都是排列组合知识的进一步应用。
因此，如何应用排列组合知识解决古典概型问题是我们高中数学教学的一个重点。
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本节课，我们重点介绍如何利用排列组合的知识来求解
一、特殊元素先安排 例：A,B,C,D四人去照相，要求A,B在中、排列、组合混合问题，“先选后排” 例：从2,4,6,8中选两个数，再从1,3,5,7,9中选三个数， 可以组成多少个没有重复的三位数
古典概型解题思路分析 —— 排列与组合综合应用
古典概型是高中阶段一个重要的概率模型，在各类考试中 都占有相当重要的地位 1.明确古典概型的特点（两性质 ） 2.注意古典概型的解题格式 3.在利用古典概型解题是，关键是要求2个值 (1)试验所产生的所有结果的个数。(即基本事件的总数) (2)事件A中所包含的基本事件的个数 4.在求上述2个值时，有2种处理方法 (1)利用列举方法，把试验的所有结果一一都写出来，再 从中找出事件A所包括的结果的个数（课本中的方法） (2)利用排列和组合以及分步与分类的原理，进行计算
六、有序与无序要注意 例：P59 #5,6,3 P58#8 P60#8 P59#2 P59#4 P59#4 P60#9 P60#14
三、利用“捆绑法”解决相邻问题 例：ABCD四人去照相，要求AB在一起，有多少种不同 的站法？ AB在一起的概率呢？
四、利用“插入法”解决不相邻问题 例：ABCD四人去照相，要求AB不在一起，有多少种不同 的站法？ AB不在一起的概率呢？ P56 #9 五、平均分组问题 例：把ABCDEF平均分配到三个小组，有多少种方法？ 例：把ABCDEF平均分成三份，有多少种方法？ 例：把ABCDEF分成三份(1,2,3)，有多少种方法？ 例：把ABCDEF分成三份(1,2,3)，并分配到三个小组 有多少种方法？ 例：把ABCDEF分成三份(1,1,4)，有多少种方法？ 例：把ABCDEF分成三份(1,1,4)，并分配到三个小组 有多少种方法？ P58#10 P59#1 P60#11