《组合数学》课程简介.
组合数学--组合数学第一章
1.2排列与组合
定义：从n个不同元素中取r个不重复的元 素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序， 称为从n个中取r个的无重组合。 组合的个数用C(n,r)表示。
1.2排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是从n 个不同的球中,取出r个,放入r个不同的 盒子里,每盒1个。第1个盒子有n种选择， 第2个有n-1种选择，······，第r个有nr+1种选择。
例：长度为n的0，1符号串的数目为多少?
一一对应原理
• “一一对应”概念是一个在计数中极为 基本的概念。一一对应既是单射又是满 射。
• 如我们说A集合有n个元素 |A|=n，无非 是建立了将A中元与[1,n]元一一对应的 关系。
• 在组合计数时往往借助于一一对应实现 模型转换。
• 比如要对A集合计数，但直接计数有困难， 于是可设法构造一易于计数的B，使得A 与B一一对应。
1.2排列与组合
例 有5本不同的日文书，7本不同 的英文书，10本不同的中文书。 1)取2本不同文字的书； 2)取2本相同文字的书； 3)任取两本书
1.2排列与组合
解 1) 5×7+5×10+7×10=155; 2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2) =10+21+45=76; 3) 155+76=231=( 5+27+10)
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
• 证2 从n个元素中取偶数个数的组合数
（包含0）,等于取奇数个数的组合数。
• r为偶数的组合和r为级数的组合之间建 立一一对应即可。
• 举例说明
1.7 若干等式及其组合意义
组合数学主要内容
组合数学主要内容全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：组合数学是数学的一个分支领域，主要研究对象是离散的结构和对象之间的组合关系。
它涉及到许多领域，如排列、组合、图论、离散概率等，对于解决各种计数问题和优化问题具有重要的意义。
组合数学在计算机科学、统计学、密码学、算法设计等领域都有极其广泛的应用。
组合数学的研究对象主要有排列和组合两种。
排列是指从若干对象中按照一定规则选取一定数量的对象，再按照一定的顺序排列。
组合是指从若干对象中按照一定规则选择一定数量的对象，而不考虑排列的顺序。
排列和组合是组合数学中最基本的概念，也是解决组合问题的基础。
排列和组合的计算方法在组合数学中有很多种，常用的有数学归纳法、递推法、生成函数法、容斥原理等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的组合问题。
对于排列问题，常用的方法是使用数学归纳法和递推法，而对于组合问题则常用生成函数法和容斥原理。
除了排列和组合外，组合数学还涉及到很多与其相关的概念和问题，如二项式系数、多重集合组合、斯特林数、分块数等。
这些概念和问题在解决复杂的组合问题时起到了重要的作用，为组合数学的发展提供了丰富的研究内容。
组合数学还与概率统计密切相关。
在概率统计中，常常涉及到对一定数量的事件进行计数，并推导出它们的概率分布或期望值。
组合数学中的排列和组合问题可以提供这种计数方法，帮助解决概率统计中的问题。
组合数学还在密码学和信息安全领域有着重要的应用。
密码学是研究保护信息安全的科学，其中使用了很多组合数学工具来设计加密算法和破解密码。
组合数学的方法可以保障密码的安全性，防止信息泄露。
组合数学是一门重要的数学分支，它不仅在数学领域有着广泛的研究内容和应用，还在各种其他学科中有着深远的影响和作用。
掌握组合数学的基本原理和方法，可以帮助人们更好地理解计算问题和优化问题，提高问题解决的效率和准确性。
希望未来组合数学能够得到更多的关注和研究，为人类社会的发展做出更大的贡献。
组合数学第一讲
决策树
在决策树中，通过计算每 个分支的概率来评估每个 决策的优劣。
05 组合优化
组合优化的定义和性质
定义
组合优化是研究在一定约束条件下， 从给定的组合对象中选取出满足某种 特定条件的对象，使得某种度量达到 最优的问题。
性质
组合优化问题具有离散性、约束性、 最优化和可行解多样性等性质。
组合优化的计算方法
在计算机科学中，排列可以用于生成 不同的算法和数据结构，提高程序的 效率和稳定性。
在密码学中，排列可以用于生成加密 密钥，提高信息的安全性。
04 组合概率
概率的基本概念
01
02
03
事件
在特定条件下可能发生或 可能不发生的结果。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，取值范围为0到1，其 中0表示事件不可能发生， 1表示事件一定会发生。
组合数学的应用领域
计算机科学
算法设计、数据结构、 离散概率论等都涉及到
组合数学。
统计学
样本空间、概率分布、 决策理论等都与组合数
学紧密相关。
信息理论
编码理论、数据压缩、 信息熵等都运用了组合
数学的概念。
运筹学
组合数学在图论、最优 化理论、线性规划等领
域有广泛应用。
组合数学的基本概念
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03
04
排列数的计算方法
计算公式
排列数表示为Amn=n!/(n-m)!，其中"!"表示阶乘，即n!=n×(n-1)×(n2)×...×3×2×1。
举例
A53=5×4×3=60。
排列的应用实例
体育比赛
在体育比赛中，如乒乓球、羽毛球等， 参赛选手需要按照一定的顺序进行比 赛，排列的应用就十分重要。
《组合数学》课程教学大纲
《组合数学》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务组合数学是高等师范院校数学及计算机专业的专业选修课之一，是专业主干课。
随着计算机的广泛使用，对计算机的算法的研究变得日益重要。
其中组合算法解决搜索、排序、组合优化等问题，而它的数学基础就是组合数学。
本课程主要学习组合计数的各种方法和技巧，有包含排斥原理的应用，递推关系和生成函数法等。
通过该课程的学习，使学生正确理解组合数学的基本概念，深入掌握基本理论和主要方法，为学习组合优化、图论等后继课程打下基础。
通过该课程的学习，可以训练学生提高分析问题和初步解决某些实际问题的能力。
（二）课程教学的目的和要求通过本课程的学习，理解组合理论的基本概念，掌握组合理论的基本方法和技巧，了解一些简单算法，为深入研究组合数学打好基础。
课程要求掌握排列组合原理、鸽巢原理和包含排斥原理、组合恒等式、生成函数与递推关系，并能应用这些方法解决某些实际问题。
掌握：鸽巢原理、集合及多重集的排列和组合、二项式定理、组合恒等式、非降路径问题、牛顿二项式定理、多项式定理、包含排斥原理、多重集的组合数、错位排列、有限制条件及有禁区的排列问题、Fibonacci数列、递推关系的求解、生成函数与多重集的组合数、指数生成函数与多重集的排列数。
理解：鸽巢原理的加强形式、Ramsey定理、用生成函数求解递推关系、Catalan数和Stirling数。
了解：Poly定理。
（三）课程教学方法与手段根据学生的实际情况，因地制宜。
讲授为主，占总课时80%，习题课占20%。
尽量结合实际问题，激发学生学习的兴趣。
（四）课程与其他课程的联系本课程与数学系的基础课程数学分析、线性代数有一定联系，是后继学科如组合优化、图论等的重要基础。
（五）教材与教学参考书教材：曹汝成编，《组合数学》，华南理工大学出版社，2005年参考书: 1、卢开澄编，《组合数学算法与分析》（上册），清华大学出版社2、刘振宏编著，《应用组合论》，高教出版社二、课程的教学内容、重点和难点第一章引言组合数学背景、基本概念（组合数学、存在性问题、组合计数问题、优化问题）、通过实例介绍组合学特有的技巧和方法重点：背景与基本概念；难点：通过实例介绍组合学特有的技巧和方法。
第三部分组合数学简介
组合数学简介
组合数学中的著名问题(续 组合数学中的著名问题 续)
任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些任务。 任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些任务。 ）：有一些员工要完成一些任务 各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。 各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。每个员工只分配 一项任务。每项任务只被分配给一个员工。 一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎样分配员工与任 务以使所花费的时间最少？这是线性规划的问题。 务以使所花费的时间最少？这是线性规划的问题。 是否存在稳定婚姻的问题：假如能找到两对夫妇（如张（男）-是否存在稳定婚姻的问题：假如能找到两对夫妇（如张（ 和赵（ ）），如果张 如果张（ 李（女）和赵（男）--王（女）），如果张（男）更喜欢王 王 ），而王 而王（ 也更喜欢张（ ），那么这样就可能有潜 （女），而王（女）也更喜欢张（男），那么这样就可能有潜 在的不稳定性。组合数学的方法可以找到一种婚姻的安排方法， 在的不稳定性。组合数学的方法可以找到一种婚姻的安排方法， 使得没有上述的不稳定情况出现（当然这只是理论上的结论）。 使得没有上述的不稳定情况出现（当然这只是理论上的结论）。 一个实际的用途： 这种组合数学的方法却有 一个实际的用途：美国的医院在确定 录取住院医生时，他们将考虑申请者的志愿的先后次序， 录取住院医生时，他们将考虑申请者的志愿的先后次序，同时 也给申请排序。 也给申请排序。按这样的 次序考虑出的总的方案将没有医院和 申请者两者同时后悔的情况。 申请者两者同时后悔的情况。
组合数学简介
漳州师范学院计算机科学与工程系
组合数学简介
组合数学, 也称组合分析或组合学, 是近年来发展很快的一门数学分支, 组合数学 也称组合分析或组合学 是近年来发展很快的一门数学分支 是离散数学的重要组成部分. 它主要研究的是离散对象的组合问题, 包括: 是离散数学的重要组成部分 它主要研究的是离散对象的组合问题 包括
组合数学主要内容
组合数学主要内容组合数学是数学的一个分支，主要研究集合的组合和排列问题，以及相关的概率、图论、数论等数学结构。
以下是组合数学的一些主要内容：1.排列与组合：•排列（Permutations）：研究从给定元素集合中取出一定数量元素，按照一定的次序进行排列的方式。
•组合（Combinations）：研究从给定元素集合中取出一定数量元素，不考虑排列次序的方式。
2.二项式定理与多项式展开：•二项式定理：表示两个数的幂的展开公式。
•多项式展开：将一个多项式表示为若干单项式的和，是二项式定理的推广。
3.组合恒等式与恒等式证明：•组合恒等式：包含组合数的等式，通常用于证明一些数学恒等式。
•恒等式证明：利用组合数学方法证明数学等式的过程。
4.递推关系：•递推关系（Recurrence Relations）：描述一个数列中的每一项与它前面的一些项之间的关系。
在组合数学中，递推关系常用于求解组合数。
5.图论与排列组合：•图论中的组合方法：研究图的组合性质，如图的着色问题、匹配问题等。
•排列组合与图同构：将排列组合的方法应用于图的研究，探讨图的同构关系。
6.生成函数：•生成函数（Generating Functions）：是一种将序列转换为多项式的工具，用于处理组合数学中的序列和递推关系。
7.概率与组合数学：•概率与组合：研究概率论与组合数学的交叉点，如概率分布中的组合计数问题、随机图等。
8.数论与组合数学：•数论中的组合数学：研究数论中与组合数学相关的问题，如整数拆分、二项式定理的数论应用等。
组合数学的应用领域非常广泛，涵盖了数学的多个分支，并在计算机科学、统计学、物理学等领域有着重要的应用。
《组合数学》课程大纲
课程基本信息（Course Information）
课程代码
（Course Code）
MA4115/MA
414
*学时
（Credit Hours）
48
*学分
（Credits）
3
*课程名称
（Course Name）
（中文）组合数学
（英文）Combinatorics
课程性质
(Course Type)
computer science ,coding and cryptography.
课程教学大纲（course syllabus）
*学习目标(Learning Outcomes)
1.掌握基本的组合数学工具，如容斥原理，鸽笼原理等以及在实际研究中的应用。A4,A5
2.掌握概率方法的基本思想，数学期望法，局部引理法以及在现代组合数学中的具体应用。A4,A5,B2,B3
*课程简介（Description）
《组合数学》研究的内容主要涉及离散类对象，是计算机出现后迅速发展的一个数学分支，在代数，几何，计算机科学，编码与密码等领域有着重要作用。本课程主要研究组合结构的存在性问题，计数问题，构造问题以及组合最优化问题，重点介绍本学科前沿的概率方法，线性代数方法等。通过本课程的学习，让学生掌握组合数学中的基本研究方法与工具，为从事组合数学，代数，理论计算机科
（1）考试，占总成绩的60％。
（2）课程大作业成绩，占20％。
（3）作业成绩（课堂报告＋出勤），占20％。
*教材或参考资料(Textbooks& Other
Materials)
Extremal Combinatorics: with applications in computer science, Stasys Jukna, Springer, 2011, 2ed, ISBN: 9783642173646
组合数学课程
初等计数方法，组合恒等式，生成函数理论，形式幂级数，普通生成函数，指数型生成函数，Dirichlet生成函数，容斥原理，M\"obius反演，偏序集上的M\"obius反演，递归，生成函数与容斥原理，鸽笼原理及其应用，Ramsey理论，相异代表系与Hall定理，置换与置换群，Burnside引理，P?lya计数原理，特殊计数序列，Catlan数，Schroeder数，第一、二类Sterling数，分拆理论，*凸集和线性规划，*算法问题。
三、图论简介（12学时）
图和子图，邻接矩阵，圈和路，Sperner引理，树，割集和边割集，连通度和边连通度，Menger定理，完全匹配，独立与覆盖，Euler图和Hamilton图，中国邮路问题，点着色和边着色，点色数和边色数，Vizing定理，应用问题，平面图的刻划，五色定理，四色定理，完美图介绍，超图的概念和简单性质。
*二、组合设计（9学时）
区组设计，t-设计的定义及初等性质，Bruck-Ryser-Chowla定理，存在性问题简介，陆家羲定理，对称设计，差集，乘子定理，Hadamard设计和Hadamard矩阵，有限域上的射影几何和仿射几何，有限几何作为设计，Singer定理，有限射影平面，编码理论，码对设计的应用，密码学简介。
四、代数及概率方法（11学时）
集合相交的经典结果，多项式空间，初等例子，线Hale Waihona Puke 与修补，二阶矩，Lovász局部定理。
教材与参考书：
1、J.H. van Lint and R. Wilson, A Course in Combinatorics, Cambridge University Press, 1992.
开课院系
数学科学学院
组合数学课程介绍
12
• 斯坦福数学系的教授研究了这个问题， 设立了一个小小的奖项来征集答案， 100美金.
• 数学家和计算机学者都来参与了 • 谁赢了呢？
– 伊利诺大学计算机系的比尔.卡特勒借助计算机 得出的答案是17152种拼法
– 数学家用纸和笔对排列进行分类，共24个基本 族，基本解法是536种，考虑旋转32种，答案 也是17152种。
大禹(2205BC -2105BC)
492 357 816
10
• 组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。
• 1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带 上了幻方以作为人类智慧的信号。
2200BC
4 9 2神 3 5 7农
幻
8 1 6方
15世纪
1 15 14 4 ４ 12 6 7 9 阶
幻 8 10 11 5 方
31
• “6度分离” —对每个人来说，平均大约只需要通过６ 个人就能将信寄到目的地。
• 研究无尺度网络，对于防备黑客攻击、防治流行病、和 开发新药等，都具有重要的意义。
• 在1999年，Barab´asi et al.发现在因特网上，任意两个 网页间的链接即网页之间的“距离”平均为18.59 。从 任意一个网页出发， 原则上可以通过不超过19次链接到 达互联网中的任何网页。 (Nature 401, 1999)
/zh-cn/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6
Combinatorics: Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete (and usually finite) objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics.
组合数学教学大纲
《组合数学》课程教学大纲一课程说明1.课程基本情况课程名称：组合数学英文名称：Combinatorics课程编号：2411221开课专业：数学与应用数学开课学期：第6学期学分/周学时：3/3课程类型：专业方向选修课2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）组合数学是当今发展最快的数学分支之一. 它的内容和思想方法已在自然科学、管理科学、计算机科学等领域起着重要的作用。
组合数学对于未来的中学数学教师更是十分需要, 它是激发学生思维能力的一种理想工具, 它是各级数学竞赛的一类常见内容。
3．本课程的教学目的和任务本课程的目的是要求学生掌握组合数学的基础内容和组合所用的思想方法。
内容包括组合恒等式、反演公式、容斥原理、递推关系、生成函数、鸽笼原理、Ramsey 定理以及组合设计等。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求通过这门课程的学习，可以使学生掌握计数理论的基本概念,方法以及一般技巧,为计算机科学中的数据结构，操作系统，编译理论，算法分析，系统结构等课程的学习奠定必要的数学基础。
5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书1.组合数学，屈婉玲编，北京大学出版社。
2.组合数学引论，孙淑玲编著,中国科学技术大学出版社。
3.组合数学及其算法, 杨振生编著,中国科学技术大学出版社。
三教学方法和教学手段说明以讲授为主的教学模式，适当地加入了一些讨论式教学方法。
四成绩考核办法以学校教务处相关文件规定进行考核。
五教学内容第一部分鸽子原理（15学时）一、教学目的掌握鸽笼原理及其使用方法，了解Ramsey数及其推广形式。
熟练掌握二项式定理，多项式定理及其获得各种不等式的技术。
熟练使用四个计数原理，主要是加法原理和乘法原理。
并会用这些原理解决各种排列组合问题。
二、教学重点鸽笼原理及其应用；加法原理，乘法原理及其应用。
三、教学难点鸽笼原理及其应用；加法原理，乘法原理及其应用；组合恒等式的证明。
四、讲授要求掌握鸽笼原理及其使用方法，了解Ramsey数及其推广形式。
组合数学教学大纲(72学时)
《组合数学》课程教学大纲【课程名称】组合数学（Combinatorics）【课程代码】08012004【适应专业】数学与应用数学【授课对象】普通本科【课程简介】组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。
组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
本课程主要介绍组合数学涉及的基本计数问题、鸽巢原理、容斥原理、递推关系与母函数、生成函数、Polya计数理论等基本内容。
【教学目标】通过组合数学的学习，使学生了解和掌握组合数学的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用做好准备。
【参考学时】72学时【参考书目】1．卢开澄，卢华明编著：《组合数学(第4版)，北京：清华大学出版社，2006年2．姜建国，岳建国编著：《组合数学》(第2版)，西安：西安电子科技大学出版社，2007年3．李乔编著：《组合学讲义》，北京：高等教育出版社，2008年4．布鲁迪(Brualdi R.A.)编著：《组合数学》(原书第4版)，北京：机械工业出版社，2005年【教学内容】●第一单元基本计数问题●§1加法原理与乘法原理§2排列与组合§3多重集合的排列与组合§4二项式系数§5集合的分划与第二类Stirling数§6正整数的分拆§7分配问题综述●基本要求：1．理解并掌握多重集合的排列与组合问题中一些结论及其证明过程，第二类Stirling 数及正整数分拆数的递推公式及其证明方法；2．掌握几种组合恒等式的证明方法，理解Ferrers图的含义及其应用于正整数的无序分拆的意义；3．理解并熟练掌握八种分配问题的计数方法；4．熟练利用组合分析的方法证明组合恒等式及某些计数问题。
●重点、难点：八种基本的计数问题的求解方法；第二类Stirling数及正整数分拆数的递推公式及其证明方法，以及用组合分析的方法证明组合恒等式及某些计数问题。
组合数学 教学大纲
《组合数学》课程教学大纲课程名称：组合数学英文名称：Combinatorial Mathematics 课程代码: ZS1051001课程类别: 专业选修学分: 3 学时: 48开课单位: 理学院适用专业: 数学与应用数学（师范教育方向）制订人：审核人：审定人:一、课程性质与目的（一）课程的性质组合数学是高等师范院校数学与应用数学专业的专业选修课。
组合数学起源于古代的数学游戏和美学消遣，它以无穷的魅力激发人们的聪明才智和数学兴趣。
组合数学的离散性及其算法与计算机的结合已在现代科学技术中发挥出极为重要的作用。
它的一个重要组成部分——试验设计有着重大的应用价值，它的数学原理就是组合设计。
用组合设计的方法解决实际应用中的试验设计问题在西方发达国家已经得到了广泛的重视，并投入了大量的人力物力进行相关的研究与产品的开发。
所以说，组合数学是一门提高思维分析能力和自我构造算法本领的课程。
（二）课程的目的通过本课程的学习要求学生理解组合数学的基本概念与基本原理，掌握组合理论的基本方法和技巧，提高学生综合应用排列与组合、代数与编码、优化与规划的能力，为深入研究组合数学打好基础。
二、与相关课程的联系与分工本课程是数学与应用数学专业的专业选修课，它以数学分析、高等代数、概率论为基础，培养学生逻辑推理能力，科学计算能力，解决实际问题的能力，对离散问题的分析能力，为编程与编码作准备。
组合数学不仅在计算机软件科学技术中有着重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析，电子工程、数字通讯等诸多领域中也具有广泛而重要的应用。
三、教学内容及要求第一章排列与组合【教学要求】掌握加法法则与乘法法则，会利用排列与组合解决具体的实际问题。
【教学重点】加法法则与乘法法则；一一对应；排列与组合；组合意义的灵活运用；【教学难点】排列的生成算法；允许重复的组合与不相邻的组合；【教学内容】第一节加法法则与乘法法则第二节一一对应第三节排列与组合一、排列与组合的模型二、排列与组合问题的举例第四节圆周排列第五节排列的生成算法一、序数法二、字典序法三、换位法第六节允许重复的组合与不相邻的组合一、允许重复的组合二、不相邻的组合三、线性方程的整数解的个数问题四、组合的生成第七节组合意义的解释第八节应用举例第九节Stirling公式*一、Wallis公式*二、Stirling公式的证明第二章递推关系与母函数【教学要求】会利用递推关系与母函数解决实际问题。
组合数学课程简介
《组合数学》课程简介
“组合数学”课程是数学与应用数学专业必修的学科专业课课程。
它主要研究一组离散对象满足一定条件的安排的存在性，以及这种安排的构造、枚举个数及优化问题。
组合数学源远流长，它起源于古代的数学游戏和美学消遣，以无穷的魅力激发人们的聪明才智和数学兴趣。
随着计算机科学，数学通讯理论，规划论和实验设计等近代科学技术的发展，组合数学分析已成为很多前言学科的基础。
特备是计算机科学的飞速发展，给组合数学注入了新的生机和活力。
组合数学的离散性及算法与计算机的联姻在现代科学技术中正发挥着越来越大的作用，并且在计算机科学、管理科学、电子工程、数字通讯等诸多领域具有极为广泛的应用。
通过教学使学生掌握解决组合问题的思路和方法，培养“组合思维”、熟练“组合技巧”、提高解决较复杂组合问题的能力。
结合数学竞赛问题，阐述组合数学的基本思想、基本方法和常用技巧，推动中学数学竞赛的普及与发展。
组合数学课程主要内容包括：一、排列与组合，包括加法原理和乘法原理，排列与组合，二项式系数，有限集的子集类，分配；二、抽屉原理，包括抽屉原理的简单形式，抽屉原理的加强形式，抽屉原理的一般形式；三、容斥原理，包括容斥原理的简单形式，在数论中的应用，错位，容斥原理的一般形式；四、递推关系，包括Fibonacci数列，常系数线性齐次递推关系，迭代与递归，差分表；
五、生成函数，包括形式幂级数，生成函数，线性递推关系，一个几何学问题，可重组合与可重排列；六、幻方，包括幻方的概念与有关性质，奇阶幻方的构造方法，偶阶幻方的构造方法。
组合数学的课程教学探讨
组合数学的课程教学探讨
1. 组合数学的介绍：
组合数学是一门重要的数学学科，它研究的对象是离散的对象的
组合和排列问题。
组合数学在计算机科学、密码学、统计学等领域有
广泛的应用，因此其重要性不言而喻。
2. 组合数学的教学目的：
组合数学作为一门具有工程化特点的数学学科，其教学目的应该
以应用为导向，提高学生的计算和实践能力。
3. 组合数学的教学方法：
为了达到上述目标，数学教学应该注重实践教学，包括案例分析、实验课堂、探究性教学等，通过这些方式让学生充分体验组合数学的
应用情境，增强学生的兴趣和激情。
4. 组合数学的教学内容：
组合数学的教学内容应该紧密结合应用实践，充分体现其实用性
和实用价值。
主要包括排列与组合、二项式定理、斯特林数、欧拉数等。
5. 组合数学的教学手段：
组合数学的教学手段应该采用“学生为主导”的教学方式，老师
应该站在学生的角度出发，量身定制适当的教学方式，例如PPT讲解、问题导入、课堂讨论等，注重培养学生的主动学习的能力。
6. 创新教学的要求：
随着时代的发展和教学的需求，组合数学的教学也需要不断创新。
例如，可以采用情境教学，让学生通过各种游戏和任务，让学生在愉
悦的心情下学会数学，提高学生对数学的认识和理解。
总之，组合数学的教学需要重视其应用实践，并采用具有创新性
的教学方式，让学生在学校获得更丰富的数学知识和实践经验，使其
能够胜任多种数学相关的工作。
第五讲 组合数学简介
概述
建立组合数学模型
组合数学是计算机出现以后 迅速发展起来的一门数学分支
应用相关的组合数学知识， 应用相关的组合数学知识，得出计 算公式（经常是递推公式） 算公式（经常是递推公式）。
介绍一下组合数学在比赛中 的一些应用
问题解决 了？
N
Y
结 束
解组合数学题目的一般步骤
考虑能否解出递推公式中的递归关 降低时间复杂度； 系，降低时间复杂度；考虑能否得 出新的公式，使得计算过程简便， 出新的公式，使得计算过程简便， 计算精度提高； 计算精度提高；或做出其他的一些 思考和改进。 思考和改进。
Q = ∑ E[i ] * ( n − 1 − E[i ])
i =1 n
答案R=S－T=n*(n-1)*(n-2)/6-Q/2
解题方法 ——组合数学中的递推关系
建立递推关系的关键在于寻找第n项与前面几 项的关系式，以及初始项的值 下面介绍几种典型的递推关系
Fibonacci数列
有雌雄一对兔子，假定过两个月便可繁殖雌雄各一的一对小 兔子。问过n个月后共有多少对兔子？ 解：设满x个月共有兔子Fx对，其中当月新生的兔子数目为 Nx对。第x-1个月留下的兔子数目设为Ox对。则： Fx=Nx+Ox 而 Ox=Fx-1， Nx=Ox-1=Fx-2 (即第x-2个月的兔子到第x个月成熟了) ∴ Fx=Fx-1+Fx-2 边界条件： F0=0，F1=1
1 2 n
Pólya原理及其应用
本例中有4个置换
转0° 转90° a1= a2=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 6 3 4 5 10 7 8 9 12 11 16 13 14 15
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《组合数学》课程简介
06191350 组合数学 3
Combinatorics 3－0
预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数
面向对象：三、四年级本科生
内容简介：
《组合数学》是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。
组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法，主要包括：排列与组合、母函数与递推关系、容斥原理、反演公式、鸽巢原理、Pólya计数定理、区组设计与编码理论等内容。
通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。
推荐教材或主要参考书：
《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003
《组合数学》教学大纲
06191350 组合数学 3
Combinatorics 3－0
预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数
面向对象：三、四年级本科生
一、教学目的和基本要求：
《组合数学》是一门应用广泛的学科。
它在计算机科学、信息论、管理科学以及其它现代科技领域都有着重要的应用。
本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法。
通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。
二、主要内容及学时分配：
（1）引言2学时
（2）排列与组合8学时
（3）母函数与递推关系12学时
（4）容斥原理3学时
（5）反演公式3学时
（6）鸽巢原理3学时
（7）Pólya计数定理5学时
（8）区组设计6学时
（9）编码理论6学时
三、教学方式：课堂讲授
四、相关教学环节安排：
五、考试方式及要求：笔试
六、推荐教材或主要参考书：
《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003
七、有关说明：。